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Ecuaciones diferenciales

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  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDENECUACIONES LINEALES DE 1ER ORDENSolución: Multiplicando ambos miembros de la ecuación por la función tenemos: Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada con la función , es decir: Integrando miembro a miembro: Finalmente se obtiene: La cual llamaremos Solución General.ECUACIONES DE BERNOULLIExisten Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en Lineales. Unas de éstas esla denominada Ecuación de Bernoulli. Una ecuación de Bernoulli tiene la forma:donde . Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos: Dividir entre Cambiar de variable Además derivando la nueva variable con respecto a : 1
  • 2. Despejando : Al realizar las sustituciones necesarias: La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable . Encontrar Encontrar , empleando el cambio de variable utilizado.ECUACIONES SEPARABLESSon Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la forma:Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros.Para resolver la ecuación multiplicamos por y por para obtenerLuego integramos a ambos lados:donde se han juntado las dos constantes de integración en un solo símbolo . La última ecuación proporcionauna solución implícita de la ecuación diferencial. RESOLUCIÓN USANDO EL FACTOR INTEGRANTE Dividimos la ecuación entre para obtener la forma canónica: ,donde y . Ahora queremos determinar (factor integrante) de modo que el lado izquierdo de la ecuaciónmultiplicada: sea precisamente la derivada del producto : Es claro que . Para hallar tal función, reconocemos que la ecuación es una ecuación diferencial separable, que podemos escribir como . Al integrar ambos la dos tenemos 2
  • 3. Con esta elección de , la solución de la ecuación nos queda: Resumiendo: a) Escriba la ecuación en forma canónica: b) Calcule el factor integrante: c) Multiplique la ecuación en forma canónica por y, recordando que el lado izquierdo es precisamente , obtenga d) Integre la última ecuación y determine dividiendo entre para obtener la soluciónECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEASi una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma , entonces decimos que la ecuación eshomogénea. Para obtener se hace lo siguiente: Se realiza el cambio de variable para convertirla en una ecuación donde e puedan separar sus variables. Despejando tenemos: Derivando con respecto a , se obtiene:ECUACIONES EXACTASUna Ecuación Diferencial es exacta si y sólo si Si es exacta, entonces . Integre esta última ecuación con respecto de para obtener Para determinar , calcule la derivada parcial con respecto de de ambos lados de la ecuación anterior: y sustituya en vez de . Ahora podemos hallar . Integre para obtener salvo una constante numérica. Al sustituir en la ecuación se obtiene . 3
  • 4. ECUACIÓN LINEAL DE 2º ORDENCON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA , conTomando el caso particular de que , la ecuación diferencial queda:La 2ª ecuación se llamaforma homogéneade la 1ªecuación; es la “no homogeneidad”.Al observar la formahomogénea vemos que sus soluciones deben tener la propiedad de que su segunda derivada pueda expresarsecomo combinación lineal de sus derivadas de orden uno y cero. Esto sugiere tratar de hallar una solución de laforma , ya que las derivadas de son precisamente constantes por . Si sustituimos en laforma homogénea, obtenemos:Como nunca es 0 sólo hay que resolver la ecuación de 2º grado del interior del paréntesis.La ecuación es la ecuación auxiliar (o ecuación característica) asociada a la ecuación homogénea. Una vezresuelta la ecuación auxiliar las soluciones serán y . Podemos construir infinitas soluciones de la ecuaciónmediante combinaciones lineales de y para cualquier elección de y . Si la ecuación auxiliar tiene raíces reales distintas y , entonces y son soluciones de y la solución general es: Si la ecuación auxiliar tiene una raíz repetida , entonces y son soluciones de y la solución general es: Si la ecuación auxiliar tiene raíces complejas conjugadas y . Remplazando en tenemos: Como y : Entonces dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea son: y Y la solución general es: 4
  • 5. CON COEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGÉNEALa forma de este tipo de ecuaciones diferenciales es:La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria yuna solución particular .La Solución complementaria satisface la ecuación homogéneaLa Solución particular satisface la ecuación no homogéneaSi es de forma polinómica, exponencial o trigonométrica de términos senos y cosenos, se la puededeterminar empleando el llamado Método de los coeficientesindeterminados.En estos casos, de acuerdo con la forma de la solución particular es deducible. Si (un polinomio) entonces Hacemos Y sustituimos los valores de en la ecuación no homogénea y con un sistema de ecuaciones se despejan los coeficientes Si entonces Si entoncesLa solución particular aparece multiplicada por ; esto es para el caso de que existan soluciones particularesque no sean linealmente independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad de utilizar .ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIORPara resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de coeficientes constantes, podemospensar en procedimientos análogos a las ecuaciones de 2º orden: Se resuelve la ecuación complementaria yluego la particular. 5
  • 6. TRANSFORMADA DE FOURIERDEFINICIÓN (SERIE DE FOURIER)Sea una función continua por partes en el intervalo . La serie de Fourier de es la serie trigonométricaDonde , y están dadas por las fórmulas siguientesCOEFICIENTES DE FOURIER SEGÚN LA SIMETRÍA DE Si es una función impar, los coeficientes serán todos nulos. Si es una función par, los coeficientes serán todos nulos.CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER Convergencia puntual Si y son continuas por partes en y es continua en , entonces la serie de Fourier converge alpromedio de los límites por la izquierda y por la derecha en puntos donde es discontinua. Convergencia uniforme Si es continua en y periódica con período 2 , y es continua por partes en , entonces la serie de Fourier para converge uniformemente a en y por tanto en cualquier intervalo. Entonces, para cada existe un entero (que depende de ) tal que para toda y para toda .TRANSFORMADA DE LAPLACESea una función en . La transformada de Laplace de es la función definida mediante la integralEl dominio de está formado por todos los valores de para los que la integral existe. La transformada deLaplace de se denota como o . 6
  • 7. DEFINICIÓN (CONTINUIDAD POR PARTES)Una función es continua por partes en un intervalo finito si es continua en cada punto deexcepto en un número finito de punto donde tiene una discontinuidad de salto.Una función es continua por partes en si es continua por partes en para toda .DEFINICIÓN (ORDEN EXPONENCIAL)Una es de orden exponencial si existen constantes positivas y M tales que , para todaTEOREMA (CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMAD DE LAPLACE)Si es continua por partes en y de orden exponencial , entonces existe para .TEOREMA (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR) Sean continuas en y sea continua por partes en , con todas estas funciones de orden exponencial . Entonces, para , Sea y suponga que es continua por partes en y de orden exponencial , entonces ,TABLA DE ALGUNAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE 7
  • 8. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE para cualquier constanteTEOREMA DE CONVOLUCIÓNSean y continuas por partes en y de orden exponencial ; sean y . Entonceso, de manera equivalente,SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESSuponga que se tienes dos ecuaciones diferenciales que involucra dos variables dependientes y :Su representación matricial sería:Si llamamos:Tenemos un sistema lineal cuya solución general es la suma de una solucióncomplementaria y una solución particular. Es decir: Primero la solución complementaria satisface el sistema homogéneo y es de la forma . Entonces . Reemplazando y simplificando: 8
  • 9. La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. De la ecuación auxiliar se obtiene el o los valores de , que igual que anteriormente, pueden darse tres casos: o y son reales y diferentes, en tal caso: o reales e iguales, en tal caso: o complejas conjugadas, en tal caso: Para ver la relación entre y y la relación entre y hay que resolver los sistemas simultáneos y . Segundo, la Solución Particular satisface el sistema no homogéneo y depende de . Supongamos que ; es decir, los término independientes son constantes. Entonces y . Reemplazando y simplificando tenemos: Las constantes y se las determinan resolviendo el sistema simultáneo:PUNTOS CRÍTICOS EN SISTEMAS LINEALESLos puntos críticos son aquellos en los que . La estabilidad de se estudia a partir delsistema Naturaleza del punto crítico del sistema lineal Naturaleza de las raíces de la Estabilidad del punto crítico ecuación característica de L Asintóticamente estable si las Reales, desiguales y del mismo signo Nodo raíces son negativas; inestable 9
  • 10. si las raíces son positivas Reales, desiguales y de signo Punto de silla Inestable contrario Asintóticamente estable si las Reales e iguales Nodo raíces son negativas; inestable si las raíces son positivas Asintóticamente estable si la Complejas conjugadas pero no parte real de las raíces es Punto espiral imaginarias puras negativa; inestable si la parte real de las raíces es positiva Estable, pero no Imaginarias puras Centro asintóticamente estableSISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALESConsideremos el sistema autónomo real no linealDonde son constantes reales y y poseen derivadas parciales primeras continuas paratodo y son tales que satisfacenEn consecuencia, el sistema en consideración puede escribirse en la formaTEOREMAConsiderando el sistema no linealdonde satisfacen las condiciones enunciadas anteriormente. Consideremos también el sistemalineal correspondienteObtenido a partir del sistema no lineal despreciando los términos no lineales y . Ambossistemas poseen un punto crítico aislado en . Sean y las raíces de la ecuación característicadel sistema lineal. 10
  • 11. PUNTOS CRÍTICOS EN SISTEMAS NO LINEALES El punto del sistema no lineal es del mismo tipo que el del sistema lineal en los siguientes casos: Naturaleza de las raíces de laecuacióncaracterística Estabilidad del punto crítico Asintóticamente estable si las raíces Reales, desiguales y Nodo son negativas, del mismo signo inestable si son positivasReales, desiguales y de Punto de silla Inestable signo contrario Reales e iguales y noocurre que , Nodo Asintóticamente estable si la parteComplejas conjugadas real de las raíces pero no imaginarias Punto espiral es negativa, puras inestable si es positiva El punto del sistema no lineal no es necesariamente del mismo tipo que el del sistema lineal en los siguientes casos: Naturaleza de las raíces de la Estabilidad del punto crítico ecuacióncaracterística Reales e iguales y ocurre que Nodo o punto espiral , Estable, pero no Imaginarias puras Centro o punto espiral asintóticamente estable, o inestable SISTEMAS DINÁMICOS CONSERVATIVOS NO LINEALES Consideremos una partícula de masa en movimiento rectilíneo bajo la acción de una fuerza recuperadora que es función del desplazamiento únicamente. La ecuación diferencial del movimiento es entonces donde supone que es analítica para todos los valores de . Esta ecuación diferencial es equivalente al sistema autónomo no lineal 11
  • 12. Eliminando obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias, definidas por las soluciones del sistemaautónomo no lineal en el plano de fases :Separando variables en esta ecuación obtenemos . Supongamos que een . Integrando entonces, encontraremosPero es la energía cinética del sistema yEs la energía potencial. Entonces la ecuación toma la formadonde la constante es la energía total de dicho sistema.Para representar las trayectorias directamente debajo del plano de fases se despeja :TEOREMAConsideremos el sistema autónomo equivalente a la ecuación diferencial :y sea un punto crítico de este sistema. Sea la función energía potencial del sistema dinámico cuyaecuación diferencial es ; es decir, es la función definida por . Se concluyeentonces lo siguiente: Si la función energía potencial posee un mínimo relativo en , el punto crítico es un centro y es estable. Si la función energía potencial posee un máximo relativo en , el punto crítico es un punto de silla y es inestable. Si la función energía potencial posee un punto de inflexión horizontal en , el punto crítico es un tipo “degenerado” llamado cúspide y es inestable. 12
  • 13. DEPENDENCIA DE UN PARÁMETROConsideramos la ecuación diferencial de un sistema dinámico conservativo en el que la fuerza depende nosolamente del desplazamiento , sino también de un parámetro . Consideramos una ecuación diferencial de laformadonde es analítica para todos los valores de y . La ecuación es equivalente al sistema autónomo no linealPara cada valor fijo del parámetro , los puntos críticos del sistema autónomo no lineal son los puntosdonde las abcisas , son las raíces de la ecuación considerada como ecuación en la incógnita : Si se tienen dos soluciones reales e iguales, se tienen dos puntos críticos que se aproximan si se van dando valores a que vayan acercando la raíz a 0. Si tiene un valor que hace que las raíces sean reales e iguales, los puntos se confunden en uno solo. Si tiene un valor que hace que las raíces sean complejas conjugadas, los puntos críticos no existen. Si las raíces serán iguales y disminuirá el nº de puntos críticos al confundirse. Este valor de recibe el nombre de valor crítico.SISTEMAS AUTÓNOMOS NO LINEALESESTABILIDAD EN EL SE NTIDO DE LYAPUNOVSea un campo escalar que posee derivadas parciales primeras continuas en todos los puntos en undominio quecontiene al origen , entonces: se dice que es una función definida positivaen si y en . se dice que es una función semidefinida positivaen si y en . se dice que es una función definida negativaen si es definida positiva. se dice que es una función semidefinida negativaen si es semidefinida positiva. La derivada temporal de sobre las trayectorias de se denomina derivada orbital, se denota , y esta dada por:Una función que cumple con las condiciones impuestas en el teorema se denomina función deLyapunov.DEFINICIONES Sea un campo escalar que posee derivadas parciales primeras continuas en todos los puntos en un dominio que contiene al origen . La derivada de respecto del sistema 13
  • 14. autónomono lineal , que posee un punto crítico aislado en el origen y y tienen derivadas parciales primeras continuas para todo , es la función definida por: Sea definida positiva para todo en un dominio que contiene al origen y tal que la derivada de respecto al sistema del punto anterior es semidefinida negativa para todo . En este caso recibe el nombre de función de Lyapunov en para el sistema autónomo no lineal.TEOREMA (MÉTODO DIRECTO DE LYAPUNOV)Consideramos el sistemaSupongamos que este sistema tiene un punto crítico aislado en el origen y que y poseen derivadasparciales primeras continuas para todo . Si existe una función de Liapunov para el sistema en algún dominio , es semidefinidanegativa en , conteniendo , el punto crítico del sistema es estable. Si existe una función de Liapunov para el sistema en algún dominio que contenga tal que posee también la propiedad de que es definida negativa en , el punto crítico del sistema es asintóticamente estable.CICLOS LÍMITE Y SOLUCIONES PERIÓDICASDEFINICIÓN. CICLO LÍMITEUna trayectoria cerrada del sistemaa la que tiende de forma espiral una trayectoria no cerrada desde el interior o desde el exterior de , biencuando , se denomina ciclo límite del sistema.CRITERIO DE NO EXISTENCIA DE BENDIXSONSea un dominio en el plano . Consideremos el sistema autónomodonde y poseen derivadas parciales primeras continuas en . Supongamos que tiene elmismo signo en todo . En estas condiciones, el sistema no posee trayectorias cerradas en el dominio . 14
  • 15. DEFINICIONES. SEMITRAYECTORIA Sea una trayectoria del sistema y una solución de dicho sistema que define . Llamaremos entonces semitrayectoria del sistema autónomo al conjunto de todos los puntos de para donde es un valor de . Con otras palabras, entendemos por una semitrayectoria del sistema autónomo el conjunto de todos los puntos con coordenadas para . Designaremos por una semitrayectoria de . Sea una semitrayectoria de definida por para . Sea un punto del plano . Si existe una sucesión de números reales tal que y cuando , recibe el nombre de punto límite de . El conjunto de todos los puntos límite de una semitrayectoria se denomina conjunto límite de y se designará por .TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON; FORMA “FUERTE”Hipótesis 1. Consideremos el sistema autónomo Donde y poseen derivadas parciales primeras continuas en un dominio del plano . Sea un subdominio acotado contenido en y denotemos por el dominio junto con su frontera. 2. Sea una semitrayectoria del sistema autónomo definida por y contenida enteramente en . Supongamos que el conjunto límite de no contiene puntos críticos del sistema autónomo.Conclusiones. Hay dos posibilidades: La semitrayectoria es ella misma una trayectoria cerrada [en este caso y son idénticos] es una trayectoria cerrada a la que tiende de modo espiral desde el interior o desde el exterior [en este caso es un ciclo límite. En cualquiera de los dos casos, existe una trayectoria cerrada de en .TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON; FORMA “DÉBIL”HIPÓTESIS 1. Exactamente igual que en el teorema de la forma fuerte. 2. Supongamos que no contiene puntos críticos del sistema .CONCLUSIÓNSi contiene una semitrayectoria de , contiene también una trayectoria cerradadel sistema autónomo. 15
  • 16. DEFINICIÓN. ÍNDICE DE UNA CURVASea el sistema , donde y poseen derivadas parciales primeras continuas paratodo y suponemos aislados todos los puntos críticos del sistema. Sea el ángulo que forma el sentidopositivo de la dirección con el vector definido por el sistema en . Denotemos por la variación en cuando describe la curva cerrada simple una vez en sentido antihorario. Denominaremos al número índice de la curva respecto al sistema . Por índice de un punto crítico aislado del sistema , entendemos el índice de una curva cerrada simple que encierra en su interior pero ningún otro punto crítico del sistema.Algunos resultados interesantes concernientes al índice de una curva cerrada simple (siempre respecto alsistema donde y poseen derivadas parciales primeras continuas para todoy suponemos aislados todos los puntos críticos del sistema) donde son los siguientes: 1. El índice de una curva cerrada simple que no pasa por un punto crítico del sistema ni contiene punto crítico en su interior, es cero. 2. El índice de una curva cerrada simple que rodea un número finito de puntos críticos del sistema es igual a la suma de los índices de estos puntos críticos. 3. El índice de una trayectoria cerrada del sistema es .A partir de estos resultados se deducen inmediatamente los siguientes resultados: Una trayectoria cerrada del sistema contiene por lo menos un punto crítico de este sistema en sus interior (de otro modo, y según , el índice de tal trayectoria sería cero, lo que está en contradicción con . Una trayectoria cerrada del sistema puede contener en su interior un número finito de puntos críticos del sistema, la suma de los índices de los cuales es +1 esto se deduce inmediatamente de y .TEOREMA DE LIENARD-LEVINSON-SMITHHIPÓTESISConsideremos la ecuación diferencialdonde definida por ,y definida por son funciones reales quesatisfacen las siguientes propiedades: 1. es par y continua para todo . 16
  • 17. 2. Existe un número tal que para y y monótona creciente para . Además, cuando . 3. es impar, posee derivada continua para todo y es tal que para todo . 4. cuando .CONCLUSIÓNLa ecuación diferencial posee una solución periódica no trivial esencialmente única.El sistema equivalente a la ecuación diferencial es:Uno de los ejemplos más importantes de una ecuación con la forma de este teorema que satisface las hipótesises la ecuación de van der Pol:Donde es una constante positiva. Aquí , . 17

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