Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y sus métodos de solución. Explica ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden como las lineales y las separables. También cubre ecuaciones de segundo orden como las homogéneas y las no homogéneas. Además, introduce conceptos como las transformadas de Fourier y Laplace y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales. Por último, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES LINEALES DE 1ER ORDEN
Solución:
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por la función tenemos:
Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada
con la función , es decir:
Integrando miembro a miembro:
Finalmente se obtiene:
La cual llamaremos Solución General.
ECUACIONES DE BERNOULLI
Existen Ecuaciones Diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en Lineales. Unas de éstas es
la denominada Ecuación de Bernoulli. Una ecuación de Bernoulli tiene la forma:
donde . Para encontrar su solución, se siguen los siguientes pasos:
Dividir entre
Cambiar de variable
Además derivando la nueva variable con respecto a :
1

2. Despejando :
Al realizar las sustituciones necesarias:
La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable .
Encontrar
Encontrar , empleando el cambio de variable utilizado.
ECUACIONES SEPARABLES
Son Ecuaciones Diferenciales, lineales o no lineales, que se pueden expresar de la forma:
Entonces, el método de solución será integrando, ambos miembros.
Para resolver la ecuación multiplicamos por y por para obtener
Luego integramos a ambos lados:
donde se han juntado las dos constantes de integración en un solo símbolo . La última ecuación proporciona
una solución implícita de la ecuación diferencial.
RESOLUCIÓN USANDO EL FACTOR INTEGRANTE
Dividimos la ecuación entre para obtener la forma canónica: ,donde
y . Ahora queremos determinar (factor integrante) de modo que el lado
izquierdo de la ecuaciónmultiplicada:
sea precisamente la derivada del producto :
Es claro que . Para hallar tal función, reconocemos que la ecuación es una ecuación
diferencial separable, que podemos escribir como . Al integrar ambos la dos tenemos
2

3. Con esta elección de , la solución de la ecuación nos queda:
Resumiendo:
a) Escriba la ecuación en forma canónica:
b) Calcule el factor integrante:
c) Multiplique la ecuación en forma canónica por y, recordando que el lado izquierdo es
precisamente , obtenga
d) Integre la última ecuación y determine dividiendo entre para obtener la solución
ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA
Si una Ecuación Diferencial puede ser expresada de la forma , entonces decimos que la ecuación es
homogénea. Para obtener se hace lo siguiente:
Se realiza el cambio de variable para convertirla en una ecuación donde e puedan separar sus
variables.
Despejando tenemos:
Derivando con respecto a , se obtiene:
ECUACIONES EXACTAS
Una Ecuación Diferencial es exacta si y sólo si
Si es exacta, entonces . Integre esta última ecuación con
respecto de para obtener
Para determinar , calcule la derivada parcial con respecto de de ambos lados de la ecuación
anterior:
y sustituya en vez de . Ahora podemos hallar .
Integre para obtener salvo una constante numérica. Al sustituir en la ecuación
se obtiene .
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4. ECUACIÓN LINEAL DE 2º ORDEN
CON COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÉNEA
, con
Tomando el caso particular de que , la ecuación diferencial queda:
La 2ª ecuación se llamaforma homogéneade la 1ªecuación; es la “no homogeneidad”.Al observar la forma
homogénea vemos que sus soluciones deben tener la propiedad de que su segunda derivada pueda expresarse
como combinación lineal de sus derivadas de orden uno y cero. Esto sugiere tratar de hallar una solución de la
forma , ya que las derivadas de son precisamente constantes por . Si sustituimos en la
forma homogénea, obtenemos:
Como nunca es 0 sólo hay que resolver la ecuación de 2º grado del interior del paréntesis.La ecuación
es la ecuación auxiliar (o ecuación característica) asociada a la ecuación homogénea. Una vez
resuelta la ecuación auxiliar las soluciones serán y . Podemos construir infinitas soluciones de la ecuación
mediante combinaciones lineales de y para cualquier elección de y .
Si la ecuación auxiliar tiene raíces reales distintas y , entonces y son soluciones
de
y la solución general es:
Si la ecuación auxiliar tiene una raíz repetida , entonces y son soluciones de
y la solución general es:
Si la ecuación auxiliar tiene raíces complejas conjugadas y . Remplazando en
tenemos:
Como y :
Entonces dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea son:
y
Y la solución general es:
4

5. CON COEFICIENTES CONSTANTES NO HOMOGÉNEA
La forma de este tipo de ecuaciones diferenciales es:
La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria y
una solución particular .
La Solución complementaria satisface la ecuación homogénea
La Solución particular satisface la ecuación no homogénea
Si es de forma polinómica, exponencial o trigonométrica de términos senos y cosenos, se la puede
determinar empleando el llamado Método de los coeficientesindeterminados.
En estos casos, de acuerdo con la forma de la solución particular es deducible.
Si (un polinomio) entonces
Hacemos
Y sustituimos los valores de en la ecuación no homogénea
y con un sistema de ecuaciones se despejan los coeficientes
Si entonces
Si entonces
La solución particular aparece multiplicada por ; esto es para el caso de que existan soluciones particulares
que no sean linealmente independientes de las soluciones complementarias. Es decir, a necesidad de utilizar
.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, si son lineales de coeficientes constantes, podemos
pensar en procedimientos análogos a las ecuaciones de 2º orden: Se resuelve la ecuación complementaria y
luego la particular.
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6. TRANSFORMADA DE FOURIER
DEFINICIÓN (SERIE DE FOURIER)
Sea una función continua por partes en el intervalo . La serie de Fourier de es la serie trigonométrica
Donde , y están dadas por las fórmulas siguientes
COEFICIENTES DE FOURIER SEGÚN LA SIMETRÍA DE
Si es una función impar, los coeficientes serán todos nulos.
Si es una función par, los coeficientes serán todos nulos.
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER
Convergencia puntual
Si y son continuas por partes en y es continua en , entonces la serie de Fourier converge
alpromedio de los límites por la izquierda y por la derecha en puntos donde es discontinua.
Convergencia uniforme
Si es continua en y periódica con período 2 , y es continua por partes en ,
entonces la serie de Fourier para converge uniformemente a en y por tanto en cualquier
intervalo. Entonces, para cada existe un entero (que depende de ) tal que
para toda y para toda .
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea una función en . La transformada de Laplace de es la función definida mediante la integral
El dominio de está formado por todos los valores de para los que la integral existe. La transformada de
Laplace de se denota como o .
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7. DEFINICIÓN (CONTINUIDAD POR PARTES)
Una función es continua por partes en un intervalo finito si es continua en cada punto de
excepto en un número finito de punto donde tiene una discontinuidad de salto.
Una función es continua por partes en si es continua por partes en para toda .
DEFINICIÓN (ORDEN EXPONENCIAL)
Una es de orden exponencial si existen constantes positivas y M tales que
, para toda
TEOREMA (CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMAD DE LAPLACE)
Si es continua por partes en y de orden exponencial , entonces existe para .
TEOREMA (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR)
Sean continuas en y sea continua por partes en , con todas
estas funciones de orden exponencial . Entonces, para ,
Sea y suponga que es continua por partes en y de orden exponencial ,
entonces ,
TABLA DE ALGUNAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
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8. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
para cualquier constante
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN
Sean y continuas por partes en y de orden exponencial ; sean y
. Entonces
o, de manera equivalente,
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Suponga que se tienes dos ecuaciones diferenciales que involucra dos variables dependientes y :
Su representación matricial sería:
Si llamamos:
Tenemos un sistema lineal cuya solución general es la suma de una solución
complementaria y una solución particular. Es decir:
Primero la solución complementaria satisface el sistema homogéneo y es de
la forma . Entonces . Reemplazando y simplificando:
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9. La última expresión es un sistema homogéneo que debe tener soluciones no triviales. De la ecuación
auxiliar se obtiene el o los valores de , que igual que anteriormente, pueden darse tres
casos:
o y son reales y diferentes, en tal caso:
o reales e iguales, en tal caso:
o complejas conjugadas, en tal caso:
Para ver la relación entre y y la relación entre y hay que resolver los sistemas
simultáneos y .
Segundo, la Solución Particular satisface el sistema no homogéneo y
depende de .
Supongamos que ; es decir, los término independientes son constantes. Entonces
y . Reemplazando y simplificando tenemos:
Las constantes y se las determinan resolviendo el sistema simultáneo:
PUNTOS CRÍTICOS EN SISTEMAS LINEALES
Los puntos críticos son aquellos en los que . La estabilidad de se estudia a partir del
sistema
Naturaleza del punto crítico
del sistema lineal
Naturaleza de las raíces de la
Estabilidad del punto crítico
ecuación característica de L
Asintóticamente estable si las
Reales, desiguales y del mismo signo Nodo
raíces son negativas; inestable
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10. si las raíces son positivas
Reales, desiguales y de signo
Punto de silla Inestable
contrario
Asintóticamente estable si las
Reales e iguales Nodo raíces son negativas; inestable
si las raíces son positivas
Asintóticamente estable si la
Complejas conjugadas pero no parte real de las raíces es
Punto espiral
imaginarias puras negativa; inestable si la parte
real de las raíces es positiva
Estable, pero no
Imaginarias puras Centro
asintóticamente estable
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES
Consideremos el sistema autónomo real no lineal
Donde son constantes reales y y poseen derivadas parciales primeras continuas para
todo y son tales que satisfacen
En consecuencia, el sistema en consideración puede escribirse en la forma
TEOREMA
Considerando el sistema no lineal
donde satisfacen las condiciones enunciadas anteriormente. Consideremos también el sistema
lineal correspondiente
Obtenido a partir del sistema no lineal despreciando los términos no lineales y . Ambos
sistemas poseen un punto crítico aislado en . Sean y las raíces de la ecuación característica
del sistema lineal.
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11. PUNTOS CRÍTICOS EN SISTEMAS NO LINEALES
El punto del sistema no lineal es del mismo tipo que el del sistema lineal en los siguientes casos:
Naturaleza de las
raíces de la
ecuacióncaracterística Estabilidad del
punto crítico
Asintóticamente
estable si las raíces
Reales, desiguales y
Nodo son negativas,
del mismo signo
inestable si son
positivas
Reales, desiguales y de
Punto de silla Inestable
signo contrario
Reales e iguales y no
ocurre que , Nodo
Asintóticamente
estable si la parte
Complejas conjugadas
real de las raíces
pero no imaginarias Punto espiral
es negativa,
puras
inestable si es
positiva
El punto del sistema no lineal no es necesariamente del mismo tipo que el del sistema lineal en los
siguientes casos:
Naturaleza de las raíces de la
Estabilidad del punto crítico
ecuacióncaracterística
Reales e iguales y ocurre que
Nodo o punto espiral
,
Estable, pero no
Imaginarias puras Centro o punto espiral asintóticamente estable, o
inestable
SISTEMAS DINÁMICOS CONSERVATIVOS NO LINEALES
Consideremos una partícula de masa en movimiento rectilíneo bajo la acción de una fuerza recuperadora
que es función del desplazamiento únicamente. La ecuación diferencial del movimiento es entonces
donde supone que es analítica para todos los valores de . Esta ecuación diferencial es equivalente al
sistema autónomo no lineal
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12. Eliminando obtenemos la ecuación diferencial de las trayectorias, definidas por las soluciones del sistema
autónomo no lineal en el plano de fases :
Separando variables en esta ecuación obtenemos . Supongamos que e
en . Integrando entonces, encontraremos
Pero es la energía cinética del sistema y
Es la energía potencial. Entonces la ecuación toma la forma
donde la constante es la energía total de dicho sistema.
Para representar las trayectorias directamente debajo del plano de fases se despeja :
TEOREMA
Consideremos el sistema autónomo equivalente a la ecuación diferencial :
y sea un punto crítico de este sistema. Sea la función energía potencial del sistema dinámico cuya
ecuación diferencial es ; es decir, es la función definida por . Se concluye
entonces lo siguiente:
Si la función energía potencial posee un mínimo relativo en , el punto crítico es un centro y es
estable.
Si la función energía potencial posee un máximo relativo en , el punto crítico es un punto de
silla y es inestable.
Si la función energía potencial posee un punto de inflexión horizontal en , el punto crítico es
un tipo “degenerado” llamado cúspide y es inestable.
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13. DEPENDENCIA DE UN PARÁMETRO
Consideramos la ecuación diferencial de un sistema dinámico conservativo en el que la fuerza depende no
solamente del desplazamiento , sino también de un parámetro . Consideramos una ecuación diferencial de la
forma
donde es analítica para todos los valores de y . La ecuación es equivalente al sistema autónomo no lineal
Para cada valor fijo del parámetro , los puntos críticos del sistema autónomo no lineal son los puntos
donde las abcisas , son las raíces de la ecuación considerada como ecuación en la incógnita :
Si se tienen dos soluciones reales e iguales, se tienen dos puntos críticos que se aproximan si se van
dando valores a que vayan acercando la raíz a 0.
Si tiene un valor que hace que las raíces sean reales e iguales, los puntos se confunden en uno solo.
Si tiene un valor que hace que las raíces sean complejas conjugadas, los puntos críticos no existen.
Si las raíces serán iguales y disminuirá el nº de puntos críticos al confundirse.
Este valor de recibe el nombre de valor crítico.
SISTEMAS AUTÓNOMOS NO LINEALES
ESTABILIDAD EN EL SE NTIDO DE LYAPUNOV
Sea un campo escalar que posee derivadas parciales primeras continuas en todos los puntos en un
dominio quecontiene al origen , entonces:
se dice que es una función definida positivaen si y en .
se dice que es una función semidefinida positivaen si y en .
se dice que es una función definida negativaen si es definida positiva.
se dice que es una función semidefinida negativaen si es semidefinida positiva.
La derivada temporal de sobre las trayectorias de se denomina derivada orbital, se denota
, y esta dada por:
Una función que cumple con las condiciones impuestas en el teorema se denomina función de
Lyapunov.
DEFINICIONES
Sea un campo escalar que posee derivadas parciales primeras continuas en todos los puntos
en un dominio que contiene al origen . La derivada de respecto del sistema
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14. autónomono lineal , que posee un punto crítico aislado en el origen y y tienen
derivadas parciales primeras continuas para todo , es la función definida por:
Sea definida positiva para todo en un dominio que contiene al origen y tal que la derivada
de respecto al sistema del punto anterior es semidefinida negativa para todo . En
este caso recibe el nombre de función de Lyapunov en para el sistema autónomo no lineal.
TEOREMA (MÉTODO DIRECTO DE LYAPUNOV)
Consideramos el sistema
Supongamos que este sistema tiene un punto crítico aislado en el origen y que y poseen derivadas
parciales primeras continuas para todo .
Si existe una función de Liapunov para el sistema en algún dominio , es semidefinidanegativa en
, conteniendo , el punto crítico del sistema es estable.
Si existe una función de Liapunov para el sistema en algún dominio que contenga tal que
posee también la propiedad de que es definida negativa en , el punto crítico del sistema es
asintóticamente estable.
CICLOS LÍMITE Y SOLUCIONES PERIÓDICAS
DEFINICIÓN. CICLO LÍMITE
Una trayectoria cerrada del sistema
a la que tiende de forma espiral una trayectoria no cerrada desde el interior o desde el exterior de , bien
cuando , se denomina ciclo límite del sistema.
CRITERIO DE NO EXISTENCIA DE BENDIXSON
Sea un dominio en el plano . Consideremos el sistema autónomo
donde y poseen derivadas parciales primeras continuas en . Supongamos que tiene el
mismo signo en todo . En estas condiciones, el sistema no posee trayectorias cerradas en el dominio .
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15. DEFINICIONES. SEMITRAYECTORIA
Sea una trayectoria del sistema y una solución de dicho sistema que define .
Llamaremos entonces semitrayectoria del sistema autónomo al conjunto de todos los puntos de para
donde es un valor de .
Con otras palabras, entendemos por una semitrayectoria del sistema autónomo el conjunto de todos
los puntos con coordenadas para .
Designaremos por una semitrayectoria de .
Sea una semitrayectoria de definida por para .
Sea un punto del plano . Si existe una sucesión de números reales tal que
y cuando , recibe el nombre de punto límite de .
El conjunto de todos los puntos límite de una semitrayectoria se denomina conjunto límite de y
se designará por .
TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON; FORMA “FUERTE”
Hipótesis
1. Consideremos el sistema autónomo
Donde y poseen derivadas parciales primeras continuas en un dominio del plano . Sea un
subdominio acotado contenido en y denotemos por el dominio junto con su frontera.
2. Sea una semitrayectoria del sistema autónomo definida por y contenida
enteramente en . Supongamos que el conjunto límite de no contiene puntos críticos del
sistema autónomo.
Conclusiones. Hay dos posibilidades:
La semitrayectoria es ella misma una trayectoria cerrada [en este caso y son idénticos]
es una trayectoria cerrada a la que tiende de modo espiral desde el interior o desde el
exterior [en este caso es un ciclo límite.
En cualquiera de los dos casos, existe una trayectoria cerrada de en .
TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON; FORMA “DÉBIL”
HIPÓTESIS
1. Exactamente igual que en el teorema de la forma fuerte.
2. Supongamos que no contiene puntos críticos del sistema .
CONCLUSIÓN
Si contiene una semitrayectoria de , contiene también una trayectoria cerrada
del sistema autónomo.
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16. DEFINICIÓN. ÍNDICE DE UNA CURVA
Sea el sistema , donde y poseen derivadas parciales primeras continuas para
todo y suponemos aislados todos los puntos críticos del sistema. Sea el ángulo que forma el sentido
positivo de la dirección con el vector definido por el sistema en . Denotemos por
la variación en cuando describe la curva cerrada simple una vez en sentido antihorario.
Denominaremos al número
índice de la curva respecto al sistema .
Por índice de un punto crítico aislado del sistema , entendemos el
índice de una curva cerrada simple que encierra en su interior pero ningún otro punto crítico
del sistema.
Algunos resultados interesantes concernientes al índice de una curva cerrada simple (siempre respecto al
sistema donde y poseen derivadas parciales primeras continuas para todo
y suponemos aislados todos los puntos críticos del sistema) donde son los siguientes:
1. El índice de una curva cerrada simple que no pasa por un punto crítico del sistema ni contiene punto
crítico en su interior, es cero.
2. El índice de una curva cerrada simple que rodea un número finito de puntos críticos del sistema es igual
a la suma de los índices de estos puntos críticos.
3. El índice de una trayectoria cerrada del sistema es .
A partir de estos resultados se deducen inmediatamente los siguientes resultados:
Una trayectoria cerrada del sistema contiene por lo menos un punto crítico de este sistema en sus
interior (de otro modo, y según , el índice de tal trayectoria sería cero, lo que está en contradicción
con .
Una trayectoria cerrada del sistema puede contener en su interior un número finito de puntos críticos
del sistema, la suma de los índices de los cuales es +1 esto se deduce inmediatamente de y .
TEOREMA DE LIENARD-LEVINSON-SMITH
HIPÓTESIS
Consideremos la ecuación diferencial
donde definida por ,y definida por son funciones reales que
satisfacen las siguientes propiedades:
1. es par y continua para todo .
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17. 2. Existe un número tal que para y y monótona creciente para
. Además, cuando .
3. es impar, posee derivada continua para todo y es tal que para todo .
4. cuando .
CONCLUSIÓN
La ecuación diferencial posee una solución periódica no trivial esencialmente única.
El sistema equivalente a la ecuación diferencial es:
Uno de los ejemplos más importantes de una ecuación con la forma de este teorema que satisface las hipótesis
es la ecuación de van der Pol:
Donde es una constante positiva. Aquí , .
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