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Matemáticas Nelson Rodríguez	 Juan Duarte Lizzie Zambrano	 Carolina Martínez
Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White                                           Viceministra de Educa...
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Así es esta cartilla       Querido estudiante:       Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural...
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Tabla de contenidoMÓDULO       1   El fantástico           mundo           de los números | 8Guía       1           ¿Cómo ...
MÓDULO       4    La magia            del movimiento | 74       11                                             6Guía      ...
El fantástico                                           mundo    MÓDULO                                           de los n...
Contenidos    Guías          Contenidos                         Procesos             Números relativos      1      Números...
El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en elmódulo.                                ...
¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tuscompañeros y tu pro...
Guía                     Los hermanos Castillo, cada viernes muy temprano en su canoa                     a pescar. Horas ...
Para responder las preguntas anteriores, fue necesario tomaruna referencia numérica que sirve como punto de partidapara ex...
Este conjunto se denota así:                            Z = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}                            Z ...
>> ¿Cuál es el opuesto de 0?>> Si a representa un número entero, ¿cómo se representa su opuesto?Forma pareja con uno de tu...
Guía                ¿Has visto el trabajo que realiza una hormiga?                Ellas se encargan de llevar el alimento ...
-4 y +4, respectivamente, sin embargo, en ambos casos seobserva que las hormigas recorren 4 metros.La distancia que separa...
1.	 Indica algunos sitios reconocidos que se encuentren en la         vereda o región donde vives. Pueden ser el puesto de...
3.	 Muy temprano en la mañana María y Francisco salen a sus    trabajos respectivos.     1       2          3        4    ...
Guía              Las actividades que realizamos a diario siguen              cierto orden.              >> Por ejemplo, p...
a.	¿Cuál es la hora cero?  b.	¿Realizas más actividades antes o después de la hora cero?  c.	¿Cuáles de esas actividades r...
>> ¿El número -2 queda está ubicado a la derecha o la        izquierda del número     >> -5? ¿Cuál es mayor en este caso? ...
3.	 Escribe el signo que permite comparar las siguientes parejas    de números:   a. 	 2 y 3	             b. 	9 y -6	     ...
1.	 Miguel y sus hermanos se reúnen a jugar en la canchas         de baloncesto que hay en el polideportivo del pueblo.   ...
3.	 El siguiente diagrama es un plano cartesiano.	   Su representación consiste en trazar dos rectas    perpendiculares de...
Que aprendí                     1.	 Al subir una montaña, la temperatura baja 5 ºC cada 300                         metros...
4.	 Si cada unidad representa 1000 metros, escribe la distan-    cia de:    a.	 El río al restaurante.    b.	 La Alcaldía ...
Usemos                                             los números     MÓDULO                                             ente...
En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que sedesarrolla en cada una de ellas.Contenido...
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Todos los movimientos describen una trayectoria, aunque a         Guía      veces no pueda percibirse. Por ejemplo, cuando...
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Observa la representación gráfica.                                   (+4)                                                 ...
En conclusión, la suma de números enteros de diferente signo     se obtiene restando los valores absolutos (el mayor del m...
a la derecha. ¿A cuántos pasos se encuentra de la posición     inicial?   	 Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta sit...
Ahora vuelvan al punto de inicio y desplácense cinco pasos       a la izquierda y luego ocho pasos a la derecha. ¿A qué pu...
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Todas las personas somos diferentes. Algunas son altas y      Guía       otras son bajas. Algunas tienen sus ojos de color...
>> ¿Recuerdas cuál es la operación inversa de la adición?>> ¿Cómo compruebas que 10 - 6 = 4?>> ¿Qué número le adicionas a ...
En conclusión: restar un número es lo mismo que sumar                          su opuesto.                          Ejempl...
1.	 Responde las preguntas.   a.	Mercede tiene 4 granadillas. ¿Cuántas debe adicionar para obtener 12?   b.	Para la segund...
Duplicar y triplicar son expresiones que se escuchan con       Guía     frecuencia. Por ejemplo, para informar que la cant...
>> Traza en tu cuaderno, una recta numérica para representar el   producto de (-2) × 3>> Comienza representando el product...
Indica cuál es el signo del producto en cada caso.                                 Aplicando la propiedad distributiva, ta...
Forma un grupo con dos compañeros o compañerasde la clase.Lean cada una de las situaciones que se presentan acontinuación....
Guía                  En el diagrama se muestra el recorrido entre                  fusagasugá y la línea     Realizando  ...
Si una operación comienza con un número negativo se puede suprimir el parénte-sis de éste. Por ejemplo, en lugar de escrib...
1.	 Responde con base en la información de la tabla, ¿cuál es         la temperatura final en cada ciudad?           Ciuda...
b.	 Durante un cambio inesperado de temperatura en una       ciudad, la temperatura descendió 3 ºC cada minuto.       ¿Cuá...
Que aprendí              1.	 Don Miguel recibe el siguiente extracto bancario.              	 ¿Cuál es el saldo que tiene ...
3.	 Si don Miguel paga $ 75 000 pesos mensuales por con-    cepto de servicio de agua, ¿cuál sería el registro total en el...
¿Cuál es la ficha                                   que falta para completar                                   el rompecab...
Utilizo métodos informales (ensayo-error, complementa-ción) en la solución de ecuaciones.   La realización de las activida...
El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.                          Módulo 3    ...
¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentosen los que tú, tus compañeros y tu pro...
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  1. 1. Matemáticas Nelson Rodríguez Juan Duarte Lizzie Zambrano Carolina Martínez
  2. 2. Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media | Mónica López Castro Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros Fundación Manuel Mejía © 2010 Ministerio de Educación Nacional Dirección General | Mauricio Perfetti del Corral Todos los derechos reservados Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño por cualquier medio de recuperación de información, sin Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López permiso previo del Ministerio de Educación Nacional. Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz© Ministerio de Educación Nacional Asesoría Pedagógica | Carolina Cortés , Solman Yamile DíazISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN obra: XXX-XXX-XXX-XXX-X Autores | Nelson Rodríguez, Juan Duarte, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez. Dirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón y Media Subdirección de Estándares y Evaluación Diseño y diagramación | Víctor GómezMinisterio de Educación Nacional Bogotá, Ilustración | Richard Rivera Ortiz Colombia, 2009 www.mineducacion.gov.co Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz
  3. 3. PresentaciónEn el marco de los modelos flexibles que promueve el Pro-yecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacionalconsideró necesario hacer una revisión del modelo Postprima-ria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de estemodelo, se actualizaron y complementaron los materialespedagógicos para su implementación en procura de aumen-tar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes dela zona rural y garantizar su permanencia en el sistema edu-cativo. La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizadapor la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudiosrealizados en el año 2005, por el Centro de estudios regiona-les, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regionalpara el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CER-LALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar losavances de la política educativa de calidad, específicamenteen lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque decompetencias y los estándares básicos de competencia, entreotros. Los materiales educativos del modelo Postprimaria ruralcumplen un papel central para el desarrollo o el fortaleci-miento de las competencias básicas. Es así como con estaserie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenesque adelantan sus estudios de educación básica secundariaen instituciones o centros educativos con el modelo Postpri-maria rural, así como sus docentes y directivos, encuentrenuna base para la realización de actividades pertinentes parael contexto rural con las que puedan desarrollar conceptosa través de la propuesta del aprendizaje significativo en elmarco de los referentes de calidad de la política educativa. Ministerio de Educación Nacional
  4. 4. Así es esta cartilla Querido estudiante: Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural. Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para tí y para todos los integrantes de tu comunidad educativa. Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos. La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal. En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar. Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria. Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento. Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono. Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten. Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.4
  5. 5. Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo. Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento. Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias. El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten. Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo. Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de maneraque pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.
  6. 6. Tabla de contenidoMÓDULO 1 El fantástico mundo de los números | 8Guía 1 ¿Cómo se organizan las sartas de pescado? | 12 6 A duplicar y triplicar | 44 2 ¿Sabes cómo se comporta una hormiga? | 16 7 Realizando cálculos fácilmente | 48 3 3 ¿Eres ordenado u ordenada? | 20 ¿Cuál es la ficha 2 que falta para completar el rompecabezas? | 54 Usemos los MÓDULO númerosMÓDULO enteros | 28 Guía 8 ¿Cómo hallar la información oculta? | 58Guía 4 Nos movemos en la recta para sumar | 32 9 ¡Decifremos la respuesta! | 62 10 ¿Qué significa que 5 algo tiene x peso? | 66 ¿Y cuál es la diferencia? | 40
  7. 7. MÓDULO 4 La magia del movimiento | 74 11 6Guía Máquinas en movimiento | 78 Interpreto y concluyo sobre datos de mi entorno | 118 12 Arte y movimiento | 82 MÓDULO 13 La pintura y el movimiento | 86 Guía 17 ¿Cuál es la producción promedio de Mauricio en su finca? | 122 18 ¿Sabes lo que significa ser el mediano de la 5 familia? | 126 ¿Como se deben MÓDULO acomodar las cosas para ser trasportadas? | 94 19 ¿Sabes lo que es estar de moda? | 130Guía 14 ¿Cómo se expresa el volumen? | 98 15 ¿Qué diferencia existe entre la capacidad y el volumen? | 104 16 ¿Cuántos cm3 de medicina debo dar a josefina? | 110
  8. 8. El fantástico mundo MÓDULO de los números ¿Que vas a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par- tir de los números relativos es posible describir situaciones de la cotidia- nidad y al mismo tiempo situaciones que corresponden específicamente al campo de las matemáticas. Con el concepto de valor absoluto y las relaciones de orden se comienza el estudio de las operaciones entre números enteros. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.8
  9. 9. Contenidos Guías Contenidos Procesos Números relativos 1 Números enteros >> Relacionar el lenguaje cotidiano con el lenguaje y los símbolos matemáticos al asignar números relativos a diferentes situaciones. 2 Valor absoluto >> Usa modelos como la recta numérica en sus validaciones acerca de las propiedades de los números enteros. >> Formula problemas a partir de Orden en el conjunto de situaciones cotidianas que pueden ser 3 los números enteros. descritas con números relativos. 9
  10. 10. El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en elmódulo. Módulo 1 Pensamiento numérico El concepto de número Como Ente de conteo Aplicado a Los números relativos Los números enteros Mediante los cuales Resolver situaciones ¿Para qué te sirve lo que vas a aprender? Los números enteros tienen aplicaciones tanto en situaciones de la vida cotidiana como en situaciones de las ciencias. Por ejemplo, para cono- cer la variación de la temperatura, para conocer ganancias o pérdidas, para el crecimiento o la disminución de la cantidad de agua en el río en diferentes épocas del año. Con los números relativos es posible conocer a partir de un punto de referencia, qué tan cerca o qué tan lejos queda una vereda vecina, el río más cercano, o la escuela. Es posible conocer acontecimientos antes y después de un nacimiento por ejemplo, o simplemente saber la altura o la profundidad respecto al nivel del mar.10
  11. 11. ¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tuscompañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste encuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los númerosnaturales y la recolección de datos estadísticos. La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividadesevaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades,problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, asícomo a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades paraexpresar tus ideas y pensamientos.Explora tus conocimientosEl director de la escuela organizó GRADO 7la información de la cantidad deestudiantes que hay en la escuela. Cantidad de Grado estudiantes 6º. 12 7º. 8 8º. 5 9º. 9Cada curso debe tener 9 estudiantes.>> ¿Qué grupos tienen más de esa cantidad?>> ¿Qué grupos tienen menos?>> ¿Cuántos estudiantes menos hay en grado 7º?>> ¿Cuántos estudiantes más hay en grado 6º?>> Si a la escuela llegan 11 estudiantes nuevos, esa cantidad de estudiantes ¿es suficiente para organizar otro grupo?>> Si los estudiantes ingresan a 8º, grado, ¿cuántos estudiantes sobrepasan el cupo?>> Si se reparten seis estudiantes para grado 8º y el resto en grado 9º, ¿en cuánto sobrepasarían el cupo deseado en cada curso? 11
  12. 12. Guía Los hermanos Castillo, cada viernes muy temprano en su canoa a pescar. Horas más tarde regresan con lo que han pescado para venderlo en el mercado, el fin de semana. ¿Cómo se Una vez son tratados para su consumo, organizan los pescados son ubicados en una cuerda, las sartas de uno tras otro, formando una fila. Esto pescado? comúnmente se conoce como una sarta. Para la organización de las ventas en el mercado, los hermanos Castillo han elaborado la siguiente tabla: Clase de Número de pescados pescado en la sarta Bocachico 5 Bacalao 3 Trucha 4 Mojarra 9 >> Si en cada sarta colocan seis pescados, ¿es suficiente el número de pescados que hay de cada clase para armar las sartas? >> Si se quisiera conformar una sarta con las mojarras, ¿cuántos pescados sobrarían? >> Si quiere formar tres sartas completas de truchas, ¿cuántos pescados faltarían? >> En la siguiente figura se representa la loma donde viven los hermanos Castillo y el sitio en el que realizan la pesca. Loma Nivel del agua Lago >> ¿Cómo puedes escribir los números para diferenciar la altura de la loma de la profundidad del lago?12
  13. 13. Para responder las preguntas anteriores, fue necesario tomaruna referencia numérica que sirve como punto de partidapara expresar, en este caso, la cantidad de pescados quesobran o faltan para completar una sarta, una altitud o unaprofundidad. Cuando se ubica un punto de referencia, se da lugar a ladeterminación de los números relativos. Los números relativos se asocian a expresiones como:antes, después, menos que, más que, a la derecha, a laizquierda, por encima de, por debajo de, deudas, ganancias. Para escribir números relativos se emplean notacionescomo: +3, -5, -200, +6, +18, -367, -45, +19. Por ejemplo, si una sarta de pescados se organiza concinco unidades, la cantidad de pescados que sobra despuésde organizar la sarta, se indica con números positivos. En el caso contrario, es decir, que falten peces para com-pletar una sarta, entonces se utilizan los números negativos. Por ejemplo, con el número -1 se representa el número detruchas que faltan para completar una sarta. Con el número +4, se indica la cantidad de mojarras quesobran después de formar una sarta.>> ¿Con cuál número relativo se indica la cantidad de bacalaos que faltan para completar una sarta?>> ¿Qué situación se representa con el número -2?>> ¿Qué número se está tomando como referencia en esta Los números situación? que están>> Para indicar la altura de la loma de figura anterior, ¿cuál acompañados por el es el punto de referencia? signo +, se conocen>> ¿La profundidad del lago la indicas con una cantidad como enteros positiva o negativa? positivos; y los que>> ¿Y la altura de la loma? están acompañados por el signo -, La unión de los enteros positivos, los enteros negativos y se conocen comoel cero, forman el conjunto de los números enteros. enteros negativos. 13
  14. 14. Este conjunto se denota así: Z = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…} Z = Z- U {0} U Z+ Usualmente los números enteros se representan sobre una línea recta. Sobre ella se escoge un punto para ubicar el cero, luego, se toma una unidad de referencia y, hacia la derecha se ubican los enteros positivos. Con un proceso similar, y con la misma unidad, se ubican los enteros negativos hacia la izquierda de cero. ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5... Enteros negativos Cero Enteros positivos Indica hacia qué lado de la recta se ubican los números: 7; 13; -9; 20; -15; >> ¿Cuál es el punto de referencia? >> ¿Ese valor es positivo o negativo? >> ¿Cómo se representa el conjunto de los números negativos? >> ¿Cómo se representa el conjunto de los números positivos? >> En la figura anterior, Cuenta las unidades que hay desde 0 hasta 4. ¿Cuántas hay? >> Cuenta las unidades que hay desde 0 hasta -4. ¿Cuántas hay? >> ¿Cómo son esas distancias? >> Repite la actividad, contando las unidades que hay, primero, entre 0 y 3, luego 0 y -3. ¿Cómo son esas Los números distancias?que están a lamisma distancia de Observa la figura:cero, pero tienen 2 2signos diferentes sedenominan númerosopuestos. ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5... >> 2 es el opuesto de +2 o, +2 el opuesto de -2. >> ¿Cuál es el opuesto de 1? >> ¿Cuál es el opuesto de -4? >> ¿Cuál es el opuesto de 3? >> ¿Cuál es el opuesto de -5?14
  15. 15. >> ¿Cuál es el opuesto de 0?>> Si a representa un número entero, ¿cómo se representa su opuesto?Forma pareja con uno de tus compañeros.1. Escriban la situación opuesta y el número opuesto. a. Llegué una hora antes a la práctica de baloncesto. b. Caminando a la escuela me demoro 25 minutos más que en bicicleta. c. Ayer perdí $ 1500. d. Rodrigo llegó un minuto después de Ángela.2. El doctor Antonio va de visita a San Juan. Él quiere saber en dónde quedan ubicados el montallantas, el hospital, el hotel, el restaurante y el monumento principal. Preguntándole a las personas que pasan por su vía, Antonio recoge la siguiente información: El monumento principal queda a un kilómetro pasando el puente. Tres kilómetros después del monumento se encuentra el montallantas. El hospital queda un kilómetro antes del puente y dos kilómetros antes del hospital queda el restaurante. El hotel está a cinco kilómetros del montallantas. a. Representen la situación en una recta numérica, tomando como punto de referencia el puente. Consideren cada unidad como un kilómetro. b. Escriban el número relativo que representa la ubicación de cada uno de los sitios de interés para Antonio. c. ¿Qué sitios se encuentran ubicados en números relativos opuestos? d. ¿Cuáles son esos números? e. Si se toma el hospital como punto de referencia, ¿qué sitios se encuentran ubicados en números relativos opuestos? ¿Cuáles son esos números?3. Analicen la figura. Q W E T Y U I P L K>> Marquen numéricamente cada uno de los puntos suponiendo que Y es el punto de referencia.4. Realicen el mismo ejercicios suponiendo que U es el punto de referencia. 15
  16. 16. Guía ¿Has visto el trabajo que realiza una hormiga? Ellas se encargan de llevar el alimento desde la superficie hasta el hormiguero y pueden cargar hasta el doble de su peso en la ¿Sabes comida que llevan. Pueden comunicarse para indicar direcciones cómo se acerca del sitio donde se encuentra la comida y dar alarma a sus compañeras para realizar un trabajo en equipo. comporta una hormiga? Imagínate que uno de esos hormigueros se encuentra ubicado entre dos árboles de naranjo; cada mañana las hormigas salen a buscar su alimento distribuyéndose en sentidos contrarios, como lo muestra la figura. ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5... >> ¿Qué número relativo representa la posición del hormiguero? >> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la derecha del hormiguero? >> ¿Qué número relativo representa la posición del árbol a la izquierda del hormiguero? >> Si cada unidad representa un metro, ¿qué distancia hay del hormiguero a cada uno de los árboles? En la situación anterior, la ubicación de los árboles de naranjo respecto a la ubicación del hormiguero, se puede represen- tar con los números relativos16
  17. 17. -4 y +4, respectivamente, sin embargo, en ambos casos seobserva que las hormigas recorren 4 metros.La distancia que separa a un número del punto 0 en la rectanumérica, se denomina valor absoluto. El valor absoluto de -4 y +4 es 4, puesto que cada uno deesos números se encuentra a cuatro unidades del cero en larecta numérica. Para indicar que se desea hallar el valor absoluto de unnúmero entero a, se acostumbra encerrarlo entre barras ver-ticales así: |a|. Sobre la recta numérica se puede verificar que el valorabsoluto de cada par de números opuestos es siempre elmismo. 6 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7... 2 2 ...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5... |-2| = 2 y |2| = 2 En tu cuaderno representa una recta numérica y repre-senta los valores absolutos indicados. |-8| y |8| |-13|y |13|>> ¿Cómo son los resultados obtenidos en cada caso? 17
  18. 18. 1. Indica algunos sitios reconocidos que se encuentren en la vereda o región donde vives. Pueden ser el puesto de salud, la iglesia, la tienda, la plaza, el parque. a. Toma uno de esos sitios como punto de referencia, por ejemplo el parque, y estima la distancia de ese punto a los diferentes sitios que escogiste. b. En tu cuaderno, representa sobre una recta numérica cada uno de los sitios. Considera que cada unidad corresponde a 100 metros. c. Indica cuál es el número relativo que representa la ubicación de cada uno de los sitios y cuál su valor absoluto. d. ¿Cuál de los lugares que mencionaste está más cerca de tu casa? e. ¿Cuál está más lejos? f. Estima la distancia que debes recorrer para llegar a uno de esos sitios, desde tu casa. g. Imagínate que tu casa y todos esos sitios se encuentran en una recta. Representa esa recta y esos sitios, tomando como punto de referencia tu casa. h. Escribe el valor relativo que tiene cada uno de esos sitios, al ubicarlos en la recta numérica Luego halla su valor absoluto. 2. Representa la siguiente situación. Dos lanchas parten de la orilla de un río. Una recorre 35 kilómetros hacia el norte de la vereda y la otra, 40 kilómetros hacia el sur. a. ¿Qué punto se toma de referencia en esta situación? b. ¿Qué número representa ese punto de referencia? c. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha que parte hacia el norte, respecto al punto de partida? d. ¿Cuál número entero representa la posición de la lancha que parte hacia el sur, respecto al punto de partida? e. Calcula el valor absoluto de +40. f. Calcula el valor absoluto de -40. g. ¿Qué puedes concluir respecto a las distancias recorridas por las lancha?18
  19. 19. 3. Muy temprano en la mañana María y Francisco salen a sus trabajos respectivos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trabajo de Francisco trabajo de María a. Si cada unidad representa 1000 kilómetros, ¿qué distancia recorre cada uno? b. ¿Quién recorre mayor distancia? c. ¿Qué valores absolutos estás calculando?5. Dos caballos parten de una finca, como muestra la figura. K -3 -2 -1 p 1 2 MUno de los caballos llega al punto K y el otro al punto M.>> Si una unidad representa 1000 decámetros, ¿qué distancia recorrió cada caballo?>> Representa cada distancia con su valor absoluto.6. Responde las preguntas argumentando tu respuesta.>> Consideren el conjunto de los números enteros. a. ¿Qué números enteros tienen valor absoluto mayor que 7? b. ¿Cuáles tienen valor absoluto menor que 7? c. ¿Cuál es el valor absoluto de cero? d. ¿Por qué el valor absoluto de un número es siempre positivo? 19
  20. 20. Guía Las actividades que realizamos a diario siguen cierto orden. >> Por ejemplo, ponerse los zapatos después de las medias. ¿Eres >> Enjabonarse después de estar mojado con el agua. ordenado u >> Colocar crema en el cepillo de dientes antes de cepillarlos. ordenada? 1. Describe el orden en que realizas las actividades en la mañana. 2. ¿Tienes un horario de clases en la escuela? 3. ¿Qué clase tienes a la primera hora de los viernes? 4. ¿Tienes tus objetos personales ordenados? 5. Escribe en tu cuaderno, las actividades que haces entre las siete de la mañana y las siete de la noche en un día hábil de la semana. a. ¿Todos los días realizas las mismas actividades? b. ¿Cuál es la que más te gusta? ¿Por qué? c. Escribe al frente de cada actividad la hora aproximada en la que la realizas. 6. Traza una recta numérica y ordena las actividades que escribiste en el punto anterior, tomando como punto de referencia las doce del día. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 720
  21. 21. a. ¿Cuál es la hora cero? b. ¿Realizas más actividades antes o después de la hora cero? c. ¿Cuáles de esas actividades realizas después de la hora cero? d. ¿Qué número relativo indica la hora a la que llegas a la escuela? e. ¿Qué haces antes de esa hora? f. ¿Qué actividad realizas dos horas antes de la hora cero? g. ¿Qué actividad realizas tres horas después de la hora cero?Cuando representas las actividades que realizas en un díasobre una recta, lo haces de manera ordenada. Por ejemplo, el baño lo tomas después de levantarte; eldesayuno lo tomas antes del almuerzo; te lavas las manosantes de comer. Así como las actividades que realizas en el día se puedenordenar, en el conjunto de los números enteros también seestablecen relaciones de orden. Es decir se puede determinarqué número está antes o después de otro y por tanto, decircuál de ellos es mayor o cuál es el menor. En la figura se ubicaron algunos números enteros en unarecta numérica. d e c a b -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Cuando ubicas Observa que algunos números enteros se ubican a la dere- números enteros encha o la izquierda de otro tomado como referencia. una recta numérica Por ejemplo, el número 4 está ubicado a la izquierda del horizontal, es mayornúmero 6, o el número 6 está ubicado a la derecha del número aquel número entero4, en estos casos es sencillo determinar cuál de ellos es el que se encuentre a lamayor. ¿Cuál es? derecha de otro. Esta>> ¿Cómo representas matemáticamente esta relación? relación se establece>> ¿El número -2 está ubicado a la derecha o la izquierda mediante los signos: del número 1? < (mayor que) o >>> ¿Cuál es mayor? (mayor que). 21
  22. 22. >> ¿El número -2 queda está ubicado a la derecha o la izquierda del número >> -5? ¿Cuál es mayor en este caso? >> ¿Qué signo debes colocar entre esos números si deseas compararlos? En tu cuaderno representa cada pareja de números en una recta numérica. 3 y -7; 6 y -4; 8 y -3 Concluye: Si un número es positivo y el otro negativo, ¿cuál es menor? >> Representa en tu cuaderno sobre una recta numérica las siguientes parejas de números: -4 y -9; -1 y -12; -7 y -15 Concluye: Si los dos números son negativos ¿cuál es mayor? >> ¿Si se representan en la recta numérica dos números positivos, ¿cuál es mayor? 1. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números enteros. a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12. b. Los enteros positivos menores que 12. c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8. d. Los enteros negativos mayores que -8. e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4. f. Los enteros menores que 5. g. Los enteros mayores que -2. h. Los enteros mayores que 6. 2. Completa cada frase en tu cuaderno. a. +6 está a la __ de +2. Se puede escribir +6 ___+2. b. -7 está a la __ de -5. Se puede escribir -7 ___ -5. c. +8 está a la __ de -2. Se puede escribir +8 ___ -2. d. -10 está a la __ de -4. Se puede escribir -10 ___ -4.22
  23. 23. 3. Escribe el signo que permite comparar las siguientes parejas de números: a. 2 y 3 b. 9 y -6 c. -4 y 2 d. -1 y -7 e. -5 y -8 f. -12 y 34. Escribe tres números enteros que estén entre: a. -5 y +6 b. 0 y +8 c. 0 y -5 d. -17 y +125. En tu cuaderno, representa en la recta numérica los siguientes conjuntos de números enteros. a. Los enteros mayores que 2 pero menores que 12. b. Los enteros positivos menores que 12. c. Los enteros mayores que -6, pero menores que 8. d. Los enteros negativos mayores que -8. e. Los enteros mayores que -4, pero menores que 4. f. Los enteros menores que 5. g. Los enteros mayores que -2. h. Los enteros mayores que 6.6. Cuando se comparan números enteros en una recta vertical, ¿cuál es mayor? Realiza una representación gráfica.7. Los puntos K, L y M ubicados en la recta, representan números enteros. Determina el signo de cada número y la relación de orden que existe entre ellos. M L 0 K 23
  24. 24. 1. Miguel y sus hermanos se reúnen a jugar en la canchas de baloncesto que hay en el polideportivo del pueblo. Ellos practican el lanzamiento desde la mitad de la cancha y anotan con números positivos los aciertos y con números negativos los lanzamientos perdidos. En una serie de cuatro juegos, Miguel obtuvo los siguientes puntajes -12, -8, -4, 5. a. a. ¿Puedes afirmar que el primer puntaje fue el mayor? ¿Por qué? b. b. ¿Crees que Miguel fue mejorando sus lanzamien- tos? Explica tu respuesta. c. c. ¿Cada vez que Miguel jugó, obtuvo un puntaje mejor que el anterior? Explica. 2. José y Ramón los hermanos de Miguel, obtuvieron en el primer juego, -11 y -9 puntos, respectivamente. Entonces decidieron apostar una empanada con gaseosa. Decidie- ron que el ganador sería aquel que elevará más su pun- taje inicial. Los puntajes correspondientes se anotan en la siguiente tabla. Primer Segundo Tercer Cuarto juego juego juego juego José -11 -4 7 9 Ramón -9 -4 9 11 ¿Quién ganó la empanada con gaseosa? Explica tu procedimiento para hallar la respuesta.24
  25. 25. 3. El siguiente diagrama es un plano cartesiano. Su representación consiste en trazar dos rectas perpendiculares de modo que su intersección se convierta en un punto de referencia para dar coordenadas de lugares u objetos. Para cualquier punto que se ubique en el plano, la primera coordenada corresponde a las unidades contadas sobre la recta horizontal a partir del punto de referencia. Será positiva si el conteo se hace hacia la derecha o negativa si se hace hacia la izquierda. La segunda coordenada corresponde a las unidades contadas sobre la recta vertical, a partir del punto de referencia. Será positiva si el conteo se hace hacia arriba o negativa si el conteo se hace hacia abajo. Y B A B 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 A -1 X -2 -3 -4 a. Las coordenadas del punto A son (5, 6). ¿Cuántas uni- dades se desplazó desde el punto de referencia hacia la derecha? b. ¿Cuántas unidades se desplazó desde el punto de refe- rencia hacia arriba? Escribe las coordenadas del punto B y explica lo que significa cada número. c. Desplaza el punto A dos unidades hacia abajo y tres unidades hacia la izquierda. ¿Cuál es su nueva ubica- ción? d. Desplaza el punto B, cinco unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. ¿Cuál es su nueva ubicación? 25
  26. 26. Que aprendí 1. Al subir una montaña, la temperatura baja 5 ºC cada 300 metros. En la base de la montaña la temperatura es de 20 ºC. la montaña tiene una altura aproximada de 2500 metros desde la base de la cima. ¿Cuál será la tempera- tura en la cima? Completa, en tu cuaderno la tabla como ayuda. Altura (m) 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 Temperatura (oC) 20 15 2. Mateo realiza las siguientes transacciones en un banco: Consigna $ 130 000 Retira $ 60 000 Consigna $ 170 000 Retira $ 95 000 >> Escribe cada movimiento de la cuenta con un número entero. >> Si tenía $ 90 000, ¿cuánto dinero le queda en la cuenta? 3. En la figura se han representado algunos sitios sobre una recta. ALCALDIA Si el río es el punto de referencia, escribe el valor relativo que representa: a. La escuela. b. La estación de gasolina c. La Alcaldía d. El hospital. e. El restaurante.26
  27. 27. 4. Si cada unidad representa 1000 metros, escribe la distan- cia de: a. El río al restaurante. b. La Alcaldía al hospital. c. La torre eléctrica a la estación de gasolina. d. La escuela al río. e. Explica cómo calculaste cada una de esas distancias.¿Cómo me ven los demás?Trabajemos en grupos.5. En la gráfica se representa la temperatura registrada en una ciudad, durante una semana. Y 9 (J, 9) (V, 9) 3 (D, 3) (S, 1) (M, 0) 0 X Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Días de la semana -3 (Mc, -3) -9 (L, -9) a. ¿Qué día estuvo más baja la temperatura? b. ¿El miércoles hizo más que el viernes? c. ¿Cómo escribir la temperatura del miércoles para dife- renciarla de la del sábado? d. Utilicen números enteros para ordenar las temperatu- ras de menor a mayor. e. ¿Qué significa la pareja (D, -5)?6. Mencionen tres situaciones en las cuales se utilicen los números enteros.Me autoevalúo>> Utilizo los números enteros en situaciones de comparación.>> Utilizo lenguaje matemático para relacionarlo con números enteros para modelar situaciones.>> Comparo números enteros de menor a mayor y viceversa.>> Resuelvo situaciones que requieran de números relativos.>> Utilizo la recta numérica para ubicar un punto de referencia y determinar los valores relativos.>> Trabajo con mis compañeros aportando mis ideas y respetando las de ellos. 27
  28. 28. Usemos los números MÓDULO enteros ¿QUE VAS A APRENDER? Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, divi- sión y potenciación. Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y pro- piedades de las operaciones. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicati- vas, en diferentes contextos y dominios numéricos. Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento numérico, ya que a par- tir de las operaciones con los números enteros es posible describir situa- ciones de la cotidianidad de manera que se comprendan los diferentes significados de los números enteros, de sus propiedades y de las relacio- nes entre las operaciones28
  29. 29. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que sedesarrolla en cada una de ellas.Contenidos Guías Contenidos Procesos >> Establece conexiones entre las distintas 4 Adición de números enteros representaciones de los números enteros y entre las operaciones y sus representaciones. Sustracción de números en- 5 teros >> Comunica a otros sus ideas sobre las operaciones con números enteros de manera clara y coherente. Multiplicación y división de >> Justifica sus respuestas, procedimientos 5 números enteros y estrategias empleadas en diversas situaciones de los números enteros. Simplificación de signos de >> Resuelve problemas cuya solución 6 las operaciones requiere de los números enteros. 29
  30. 30. El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en elmódulo. Módulo 2 Pensamiento numérico Significado de los número enteros En contexto de Adición Sustrac ción Multiplicación División Con signos Definida como Con signos a÷b=c iguales la operación iguales Definida para Con signos inversa de la Con signos números tales diferentes suma diferentes que a = b × c a – b = a + (-b) ¿PARA QUÉ TE SIRVE LO QUE VAS A APRENDER? Las operaciones con números enteros tienen aplicaciones tanto en situaciones de la vida cotidiana como en situaciones de las ciencias. Por ejemplo, para resolver expresiones matemáticas como x + 10 = -12; para saber cuánto se disminuye una deuda a la que se le abona cierta cantidad, para conocer cuánto dinero tenía hace tres meses, comparado con el que tengo ahora si la cantidad ahorra es la misma. Con las operaciones con los números enteros puedes conocer datos interesantes, cómo saber cuántos años vivió una persona de otra época o conocer la distancia ente un punto y otro.30
  31. 31. ¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tuscompañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste encuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los númerosnaturales y la recolección de datos estadísticos. La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividadesevaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades,problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, asícomo a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades paraexpresar tus ideas y pensamientos.EXPLORA TUS CONOCIMIENTOS>> ¿En la región donde vives o cerca de ella, hay petróleo?>> ¿Conoces los derivados de ese mineral?>> ¿Hay estufa gas en tu casa? Si la respuesta a la pregunta anterior esno, explica cómo cocinan los alimentos, entu casa.¿Sabes cómo se extrae el petróleo? El petróleo se extrae mediante la perfo-ración de un pozo sobre un yacimiento. Eltrépano o broca es la herramienta de corteque permite perforar. a. El trépano puede perforar 60 m por hora. ¿Cuántos metros habrá per- forado en 5 horas? ¿Qué número entero expresa esta profundidad? b. Si el trépano se encuentra a -720 m, ¿cuántas horas han transcurrido desde que se inició la perforación? 31
  32. 32. Todos los movimientos describen una trayectoria, aunque a Guía veces no pueda percibirse. Por ejemplo, cuando vas para la escuela sigues un camino que describe una trayectoria, ya sea recta o curva. Cuando ves pasar un avión por el aire, también se puede describir su trayectoria, lo movimientos que realiza la Tierra, aunque no se puedan ver, si se pueden describir. Nos Para describir la trayectoria de un desplazamiento, es importante indicar si el movimiento se hace hacia la izquierda, movemos hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo. Además se debe en la recta indicar las unidades que se recorren en el desplazamiento. para sumar Las siguientes situaciones representan trayectorias sobre una línea recta. Léelas atentamente. Luego resuélvelas. 1. Roberto lleva todos los días el alimento a los animales de la finca. Al llegar a la caballeriza, primero camina cuatro metros hacia el caballo Pintica, y luego camina tres metros más en la misma dirección hacia donde está el caballo Rúper. Traza una recta numérica y representa la situación. Considera que cada unidad representa un metro. a. ¿En qué punto de la recta termina el primer desplazamiento? b. ¿En qué punto de la recta comienza el segundo desplazamiento? c. ¿A cuántos metros del punto inicial se encuentra Roberto, después de realizar los desplazamientos?32
  33. 33. 2. Roberto prepara los caballos Pintica y Rúper para participar en una competencia que se está organizando a las afueras del pueblo. Pintica ha acumulado algunos puntos a favor obtenidos en competencias en las que ha participado anteriormente, pero Rúper, solo ha acumulado puntos contra. Primera Segunda Competidor Puntaje competencia competencia Puntaje Puntos Puntos Puntos Puntos Primera Segunda final ganados perdidos ganados perdidos Competencia Competencia Pintica 1 0 2 0 1 2 3 Rúber 0 3 0 2 -3 -2 -5>> ¿Qué proceso matemático se siguió para hallar el puntaje final?En la figura se representa el desplazamiento que hace Robertoen la caballeriza. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9>> ¿Cómo se representa matemáticamente esa situación?>> Escribe en tu cuaderno la operación que está representada. Lee nuevamente los datos de la tabla acerca de los puntosacumulados por los caballos en las competencias. En la columna de los puntajes finales, se observan númerospositivos y negativos.>> ¿Por qué el primer puntaje final de Pintica, es positivo?>> ¿Por qué el primer puntaje final de Rúper es negativo?>> ¿La suma de números enteros positivos, es positiva o negativa?>> ¿La suma de números enteros negativos, es positiva o negativa? 33
  34. 34. Observa cómo se representa la adición de números positivos (+1) + (+2): +3 +2 +1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Esta es la representación de enteros negativos: -5 -2 -3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 La suma de números enteros del mismo signo se repre- senta con una flecha cuyo origen es el origen de la primera flecha y su extremo es el extremo de la segunda flecha. Representa en tu cuaderno, sobre una recta numérica la suma de las adiciones: (-3) + (-7) y (-6) + (-5). >> ¿Qué suma obtuviste en cada caso? Encuentra el valor absoluto de cada uno de los sumandos en las adiciones anteriores. |3| = ? |-7| = ? |-6| = ? |-5| = ? Halla la suma de los valores absolutos de cada par de números y compara los resultados con los que obtuviste en En general, la representación gráfica.la suma de enterosnegativos del mismo >> ¿Qué tienen de diferente?signo se obtiene >> ¿Qué puedes hacer para que los resultados sean iguales?adicionando susvalores absolutos Una mañana Roberto entró a las caballerizas y caminó 7y escribiendo en el metros a su derecha, para alimentar al caballo Pillus, y luegoresultado, el signo de se devolvió 3 metros, en línea recta, para sacar agua de unlos números. tanque que se encuentra en ese punto.34
  35. 35. Observa la representación gráfica. (+4) (-3) (+7) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¿A qué distancia del punto inicial se encuentra Roberto?Explica cómo hallaste la respuesta. Si Roberto camina cinco metros a su derecha y luego sedevuelve en línea recta nueve metros, ¿en qué punto queda? (-4) (-9) (+5) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ahora Roberto entra a la caballeriza y camina siete metrosa su izquierda y se devuelve cinco metros. (-2) (+5) (-7) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3¿A cuántos metros queda de la posición inicial? En tu cuaderno, representa en una recta numérica lasiguiente situación.>> Roberto llega a la caballeriza y camina ocho metros a la izquierda. Luego se devuelve once metros, en línea recta. ¿Cuál es su nueva posición respecto al punto de inicio?>> ¿La suma de números enteros de diferente signo siempre es positiva? ¿Por qué?>> ¿La suma de números enteros de diferente signo siempre es negativa? ¿Por qué? 35
  36. 36. En conclusión, la suma de números enteros de diferente signo se obtiene restando los valores absolutos (el mayor del menor) y colocándole al resultado el signo del número que tenga mayor valor absoluto. Observa el ejemplo. Analiza la siguiente operación: (+30) + (-46) Se hallan los valores absolutos de cada número: |+30| = 30 y |-46| = 46 Ahora se restan esos resultados 46 – 30 = 16 Luego se coloca al resultado el signo del número con mayor valor absoluto: (+30) + (-46) = -16 Cuando un número es positivo, generalmente se omite el signo + en su escritura, es decir, (+30) se puede escribir sim- plemente 30. 1. Traza en tu cuaderno una recta numérica. Dibuja y recorta la flecha numérica que representa el número (+6), en una tira de papel. Coloca sobre la recta el origen de la flecha en cada número indicado a continuación. Lee en qué número queda el extremo de la flecha en cada uno de los casos. Ten en cuenta que la distancia entre las unidades de la recta numérica y la flecha sean las mismas. (+2), (-1), (+3), (-5), 0 2. Analiza, responde y representa gráficamente las siguientes situaciones. a. Luisa se desplaza 7 metros hacia la derecha, luego 5 metros hacia la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida? b. Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación? c. José camina tres pasos a la izquierda y luego camina 8 pasos36
  37. 37. a la derecha. ¿A cuántos pasos se encuentra de la posición inicial? Simbólicamente, ¿cómo puedes expresar esta situación?Reúnete con un compañero o compañera y realicen lasactividades que se proponen a continuación.3. Ramón y Miguel son habitantes de una vereda de Pitalito, en el departamento del Huila. Un día se encuentran en la tienda, se saludan y sigue cada uno su camino en bicicleta. Ramón partió hacia la derecha y Miguel a la izquierda de la tienda, al cabo de una hora, Ramón había recorrido tres kilómetros y Miguel cuatro kilómetros en línea recta; después de una hora Ramón decidió devolverse tres kilómetros, mientras que Miguel sólo se devolvió un kilómetro.Representen gráficamente el recorrido de Ramón y Miguel alcabo de una hora. a. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón, en la primera hora? b. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel, al cabo de la primera hora? c. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Miguel después de que se devolvió? d. ¿A qué distancia de la tienda se encuentra Ramón después de que se devolvió? e. Representen en la recta numérica la posición final de Ramón y la de Miguel, con respecto a la tienda. f. ¿Cuántos kilómetros en total recorrió Ramón? g. ¿Cuántos recorrió Miguel?4. Cada integrante del grupo, realice la siguiente. Luego reúnanse y discutan los resultados obtenidos. Escriban una conclusión. Ubíquense frente a al escritorio o pupitre de cada uno. Desplácense ocho pasos a la derecha y luego cinco pasos a la izquierda. Marquen con un lápiz el punto a donde llegaron. 37
  38. 38. Ahora vuelvan al punto de inicio y desplácense cinco pasos a la izquierda y luego ocho pasos a la derecha. ¿A qué punto llegaron? >> ¿Obtuvieron el mismo resultado con respecto al punto inicial en los dos casos? >> Con ayuda de la recta numérica verifiquen que: 4 + (-6) = (-6) + 4 >> ¿Qué conclusión obtienen? >> ¿Recuerdan que nombre recibe esa propiedad de la adición? 5. Representen sobre una recta numérica las siguientes adiciones. a. (-8) + 0 b. 7 + 0 c. 0 + (-11) >> ¿Cómo son los resultados?, ¿por qué se obtuvieron esos resultados? >> ¿Recuerdan que propiedad de la adición es? >> ¿Pueden concluir que la adición de números enteros cumple esa propiedad? 6. Representen las adiciones: a. (-3) + 3 b. 5 + (-5) c. 8 + (-8) >> ¿Qué tienen de particular esas adiciones? >> ¿Cuál es la suma?, ¿es igual en todos los casos? >> Concluyan: >> ¿Qué número se obtiene al adicionar un número con su opuesto? Esta propiedad de la adición de números enteros se conoce como la propiedad del inverso aditivo. 7. Comprueben, con representaciones en la recta numérica, que la adición de números enteros cumple la propiedad asociativa.38
  39. 39. 39
  40. 40. Todas las personas somos diferentes. Algunas son altas y Guía otras son bajas. Algunas tienen sus ojos de color claro y otras tienen ojos negros. Además de las diferencias físicas, también existen diferentes culturas a la que pertenecen dife- rentes grupos de personas. Cada una de esas diferencias nos hace especiales y únicos. ¿Qué cualidades te hacen diferente al resto de tus compañe- ¿Y cuál es la ros de clase? diferencia? En matemáticas la diferencia es uno de los términos de la sustracción. La diferencia indica cuánto falta, cuánto sobra, cuánto más, cuánto menos, etc. Reúnete con un compañero o compañera. Lean la siguiente situación. María, José, Teresa y Luis son compañeros de la clase. Un día salen de la escuela al mismo tiempo y se desplazan así: María 100 metros hacia la derecha, José, 130 metros hacia la derecha; Teresa 20 metros a la izquierda y Luis 80 metros a la izquierda de la escuela. Representen sobre una recta numérica los desplazamientos de María, José, Teresa y Luis. ¿A qué diferencia en metros de distancia se encuentran: >> ¿José de María? >> ¿Luis de Teresa? >> ¿María de Teresa? >> ¿Teresa de José? >> ¿Luis de María? >> ¿José de Luis? >> ¿Qué operación realizaron, para obtener la diferencia de metros de distancia entre estudiantes que salieron de la escuela?40
  41. 41. >> ¿Recuerdas cuál es la operación inversa de la adición?>> ¿Cómo compruebas que 10 - 6 = 4?>> ¿Qué número le adicionas a 6 para obtener 10?Para realizar sustracciones entre números enteros, debesrealizar el mismo proceso: se debe encontrar un númeroentero, tal que sumado con el sustraendo dé el minuendo.>> ¿Cuál es el minuendo en la sustracción anterior?>> ¿Cuál es el sustraendo?>> ¿Cuál es la diferencia? Realiza en tu cuaderno, las siguientes operaciones yobserva lo que sucede cuando se resta a un número enterodiferentes números consecutivos. (+7) – (+2) (-7) – (+2) (+7) – (+1) (-7) – (+1) (+7) – 0 (-7) – 0 (+7) – (-1) (-7) – (-1) (+7) – (-2) (-7) – (-2)Escribe las sustracciones que tienen el mismo resultado. (+7) – (+2) = (+5) y (+7) + (-2) = (+5) (-7) – (-2) = (-5) y (-7) + (+2) = (-5)Continua.>> ¿Cuál es el signo de la primera operación?>> ¿Cuál es el signo de la segunda? En cada caso, compara los números que están en el sus-traendo. ¿Cómo son?>> ¿Una sustracción se puede expresar como una adición?>> Escribe una conclusión al respecto. 41
  42. 42. En conclusión: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Ejemplos: 8 - 3 = 8 + (-3) = 5 10 - 4 = 10 + (-4) = 6 Toda sustracciónpuede expresarse 3 - (-5) = 3 + (5) = 8como una adición: (-6) - (-2) = (-6) + (2) = (-4)a – b = a + (-b) Recuerda que en los enteros positivos se puede omitir el signo +. Al igual que en la adición, la sustracción de enteros tam- bién se representa sobre una recta numérica. Observa la representación de las sustracciones anteriores. +5 -3 +8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Representa la segunda sustracción. Observa la representación de la tercera sustracción. +8 +5 +3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Recuerda que -(-5) significa el opuesto de -5. Representa la cuarta sustracción.42
  43. 43. 1. Responde las preguntas. a. Mercede tiene 4 granadillas. ¿Cuántas debe adicionar para obtener 12? b. Para la segunda ronda del campeonato de microfútbol, el equipo arrayanes empieza con 14 puntos en contra. ¿Cuántos puntos debe ganar para obtener una puntuación final de 8 puntos? c. ¿Qué número debes adicionar a 2 para obtener (-5)? d. ¿Qué número debes adicionar a (-6) para obtener (-8)?2. Escribe las siguientes sustracciones como adiciones. a. 12 - 6 b. 5 - 11 c. -25 – (-6) d. 20 – (-8) e. 7 – 0 f. 40 – 30 g. -10 – (-5) h. 13 – 183. Resuelve las sustracciones anteriores.4. Escribe la sustracción que está representada en cada caso. El minuendo está representado por la primera flecha. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Reúnete con un compañero o compañera para realizar las siguientes actividades.Comprueben si (+17) – [(+11) – (+5)] = [(+17) – (+11)] – (+5).>> Realicen primero las operaciones entre los signos de agrupación.>> ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad asociativa?>> Confirmen su conclusión con otro ejemplo.Verifiquen si (+12) – (+4) = (+4) – (+12).>> ¿Se puede afirmar que la sustracción cumple la propiedad conmutativa?>> Den otro ejemplo.Determinen con varios ejemplos, qué sucede si se sustrae a un número entero su opuestoaditivo.>> ¿Cumple la sustracción la propiedad del inverso aditivo? ¿Por qué? 43
  44. 44. Duplicar y triplicar son expresiones que se escuchan con Guía frecuencia. Por ejemplo, para informar que la cantidad de agua lluvia que cayó este año, duplicó la cantidad de agua que cayó el año pasado o que las ganancias por la venta de guayaba en época de cosecha, triplicó las ganancias de hace dos años. A duplicar y triplicar Adicionar dos veces una cantidad es calcular el duplo de ese número. Adicionar tres veces una cantidad es conocer el triple de ese número. >> ¿Cuál es el duplo de tres? >> Observa cómo representarlo. >> Construye en tu cuaderno rectas numéricas y en ellas representa el producto 2 × 3. (+6) (+3) (+3) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 × 3 significa dos veces tres. >> ¿Cuál es el triple de dos? >> Observa cómo representarlo. >> En la siguiente recta se encuentra representado el producto 3 × 2. (+6) (+2) (+2) (+2) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 >> ¿Por qué la flecha que va desde 0 hasta 2, se repite tres veces? >> ¿Qué significa matemáticamente la expresión 3 × 2?44
  45. 45. >> Traza en tu cuaderno, una recta numérica para representar el producto de (-2) × 3>> Comienza representando el producto 2 × 3. (-6) (+6) (+3) (+3) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6>> El tres se duplica y se invierte el sentido de la flecha. ¿Por qué?>> ¿Cuál es el producto de (-2) × 3?>> Representa ahora el producto de dos números negativos. (-2) × (-3) (+6) (-6) (+3) (+3) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6>> ¿Cuántas veces se representa el factor (-3)?>> ¿Por qué se invierte el sentido de la flecha?>> ¿Cuál es el producto de (-2) × (-3)?>> Representa el producto de 3 × (-2).>> Explica el procedimiento que sigues.Utiliza las representaciones anteriores y escribe.>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × 3? ¿Qué signo tiene el producto de 3 × (-2)?>> ¿Qué signo tiene el producto de (-2) × (-3)?Utilizando representaciones en la recta numérica indica,¿cuál es el producto de: a. (-5) × 4 b. (-4) × 5 c. (-5) × (-4) 45
  46. 46. Indica cuál es el signo del producto en cada caso. Aplicando la propiedad distributiva, también se puede jus- tificar el producto de dos números negativos. Observa. Para multiplicardos números enteros, (-5) × [(6 + (-5)] = (-5) × 6 + (-5) × (-5)se multiplican sus (-5) × 1 = -30 +valores absolutos. >> ¿Qué número debe ir en el recuadro?Si los números >> ¿Cómo lo sabes?tienen igual signo, elresultado es positivo. Encuentra los productos teniendo en cuenta la regla anterior.Si tienen signos (-8) × 9 (-12) × 3diferentes tienen (-4) × (-7) (-8) × (-8)signos negativos. >> ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación? >> ¿Cómo compruebas que 24 ÷ 6 = 4? Recuerda que con la división es posible hallar un factor desconocido en una multiplicación. Halla el facto desconocido en cada caso. Realiza la activi- dad en tu cuaderno. a. –9 × = –18 b. –9 × = 18 c. × (-15) = 345 d. × 15 = 345 e. 1 × = 19 f. -1 × = -19 g. 1 × = -19 h. -7 × = 28 En tu cuaderno, escribe las divisiones correspondiente y completa las igualdades. Multiplicación División Multiplicación División a. –9 × = –18 –18 ÷ (–9) = e. 1 × = 19 b. –9 × = 18 f. -1 × = -19 c. × (-15) = 345 g. 1 × = -19 d. × 15 = 345 h. -7 × = 28 Utiliza los resultados anteriores para extraer una regla para dividir números enteros. Para dividirnúmeros enteros sedividen sus valores Analiza.absolutos. Si los >> ¿Es posible encontrar siempre el cociente de dosnúmeros tienen igual números enteros?signo, es resultado >> Muestra ejemplos o contraejemplos.es positivo. Si son dediferente signo, el Ten en cuenta que el divisor debe ser un número diferenteresultado es negativo. de 0.46
  47. 47. Forma un grupo con dos compañeros o compañerasde la clase.Lean cada una de las situaciones que se presentan acontinuación. Luego escriban la expresión matemática que larepresenta y resuélvanlas. a. Mariana vende jugos y gaseosas en el paso del peaje para entrar al departamento del Tolima. Cada semana ahorra $ 25 000 de sus ventas. ¿Cuánto habían variado sus ahorros en cinco semanas? b. Mariana ahorra $ 25 000 cada semana en su venta de jugos y gaseosa. ¿Cuánto dinero tenía hace cinco semanas comparado con el que tiene ahora? c. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos que compra. ¿Cuánto habían variado sus ahorros en cinco semanas? d. Mariana gasta $ 25 000 cada semana en los productos que compra. ¿Cuánto dinero de más tenía hace cinco semanas, comparado con el que tiene ahora? e. Mariana estuvo de viaje por Chaparral y cada día gastaba $ 25 000. Si en total gastó $ 200 000, ¿cuántos días estuvo de viaje?Contesten las siguientes preguntas. a. Comparen los resultados de las operaciones (–3) × 7 y 7 × (–3). ¿Son iguales o diferentes? Expliquen. b. ¿Cuál es el resultado de la operación [(–2) × 5)] × 4? c. ¿Y de (–2) × [(5 × 4)]? d. ¿Se altera el resultado de una multiplicación de tres o más factores si se asocian de maneras distintas? e. ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número entero por 1? f. Resuelvan estas operaciones: g. [–3 × (–6 + 2)] y [–3 × (–6) + (–3 × 2)] h. ¿Cuál es el resultado de la primera operación? ¿Y de la segunda?>> Escriban cuáles son las propiedades de la multiplicación. Den ejemplos de cada una.>> Confirmen si esas propiedades se cumplen o no en la división. Den ejemplos o contraejemplos. 47
  48. 48. Guía En el diagrama se muestra el recorrido entre fusagasugá y la línea Realizando cálculos fácilmente a. ¿Qué altura tiene el Boquerón, respecto al nivel del mar? b. Estima la altura de Cajamarca. c. ¿Cuál es la altura respecto al nivel del mar de Gualanday? d. ¿Cuántos metros de altura tiene la línea. e. Escribe las operaciones que permiten hallar la altura de La Tebaida. Utilizando números relativos la expresión que permite hallar la altura de La tebaida, es: (+1800) + (-1400) + (+100) + (+1400) + (+1200) + (-1900) ¿Esta expresión es igual a la que escribiste en la actividad anterior? Para facilitar los cálculos con números enteros los signos + de los números enteros positivos pueden suprimirse. (+1800) + (-1400) + (+100) + (+1400) + (+1200) + (-1900) = 1800 + (-1400) + 100 + 1400 + 1200 + (-1900) ¿Esta expresión te parece más sencilla? ¿Por qué? Todavía se observan signos dobles en la expresión. Observa cómo se simplifica. Al adicionar un número entero negativo se puede escribir directamente como la sustracción del número positivo. 1800 – 1400 + 100 + 1400 + 1200 – 1900 ¿Cuál es la altura de La Tebaida?48
  49. 49. Si una operación comienza con un número negativo se puede suprimir el parénte-sis de éste. Por ejemplo, en lugar de escribir (-13) + 45 se escribe -13 + 45. Estas indicaciones deben tenerse en cuenta cuando se quiere simplificar expresio-nes con signos de agrupación. Si aparecen varios signos de agrupación en el cálculo,se debe efectuar las operaciones de adentro hacia afuera. Es importante distinguir entre el signo de la operación y el signo del número. Porejemplo: 17 + {[(-6) + (-17 – 11)] + 24} 17 + {[(-6) + (-28)] + 24} 17 + {[(-34)] + 24} 17 + {(-34) + 24} 17 + {(-10)} 17 + (-10) 17 – 10 = 7Forma grupo con tus compañeros para realizar las siguientesactividades.1. Realicen en tu cuaderno las siguientes operaciones en el orden en el que se indican. (-8) + 3 × (-2) (-8) + 3 × (-2) ¿Son iguales los resultados? Para solucionar expresiones en las cuales se plantean varias operaciones, primero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, y luego las sumas y las restas en el orden en que aparecen. Si hay signos de agrupación, primero se realizan las operaciones agrupadas. Según lo anterior, ¿cuál es el resultado correcto en las operaciones anteriores?2. Antonio realizó las siguientes transacciones en su cuenta del banco. Retiró $ 280 000 el lunes, retiró $ 157 000 el martes, consignó $ 325 000 el miércoles, consignó $ 200 000 el jueves, retiró $ 327 000 el viernes. ¿Cuál era su saldo al final de la semana? 49
  50. 50. 1. Responde con base en la información de la tabla, ¿cuál es la temperatura final en cada ciudad? Ciudad Temperatura inicial Variación A 12º C Subió 3º C B 8º C Bajó 2º C C 3º C bajo cero Subió 6º C D 5º C bajo cero Subió 7º C 2. Un tanque de agua deja escapar diariamente 430 milili- tros por la llave y 150 mililitros por una grieta. ¿Cuánta agua en total se escapa diariamente del tanque? 3. El alcalde la Villanueva lleva un registro de los habitantes del pueblo, con las modificaciones sucedidas durante su mandato. Población inicial: 4871 Inmigrantes 329 Desplazamientos Emigrantes 562 Nacimientos 65 Natalidad Defunciones 43 a. Escribe el número relativo correspondiente a cada suceso. b. ¿Cuántos habitantes tiene Villanueva al terminar el alcalde su período? 4. Resuelve cada situación. a. a. El equipo de fútbol de una vereda terminó la peor temporada con diferencia de goles de –81. Si juga- ron 27 partidos y en cada uno de ellos obtuvieron la misma diferencia de goles, ¿cuál fue la diferencia de goles en cada partido?50
  51. 51. b. Durante un cambio inesperado de temperatura en una ciudad, la temperatura descendió 3 ºC cada minuto. ¿Cuánto tiempo transcurrió para que la temperatura bajara 21 ºC?5. Teresa, Felipe y Rodrigo juegan a lanzar dos dados cúbi- cos uno azul y el otro rojo. Con el dado azul se gana el número de puntos obtenidos en el lanzamiento, mientras que con el dado rojo, se pierde el número de puntos que se obtenga. Después de varios lanzamientos, Teresa, Felipe y Rodrigo registraron sus resultados en la siguiente tabla. Jugador Puntaje Teresa Felipe Rodrigo A favor 24 45 30 En contra -12 -35 -18 Puntaje final a. Completa la tabla. b. Si teresa lanzó el dado azul seis veces y cada vez obtuvo el mismo puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo en cada lanzamiento? c. ¿Cuántas veces lanzó Felipe el dado rojo, si en todos los lanzamientos obtuvo -5? d. Plantea una secuencia de lanzamientos con la que Rodrigo pudo obtener los resultados que muestra la tabla.6. Cuando se abre el desagüe de un tanque que contiene 1 896 litros de agua, este se desocupa totalmente en 12 horas. a. ¿Qué cantidad de agua sale cada hora por el desagüe? b. ¿Al cabo de cuántas horas de abierto el desagüe, el contenido del tanque es de 790 litros de agua? 51
  52. 52. Que aprendí 1. Don Miguel recibe el siguiente extracto bancario. ¿Cuál es el saldo que tiene don Miguel después de la tran- sacción de la fecha 22-03-2010? BancoMas SEÑOR(A): MIGUEL PEREZ NIT: 654,654,951 DESDE 2010 MAR 15 A 2010 MAR 30 135648564 ESTADO DE CUENTA, CONSOLIDADO EN PESOS RECUERDE QUE SI TIENE DUDAS DE SU CUPO DISPONIBLE, PUEDE CONSULTARLOS EN LA SUCURSAL TELEFÓNICA O VIRTUAL DE SU BANCO FECHA LIMITE DE PAGO PAGO SALDO VALOR PAGADO 2010/ ABR 06 RESUMEN CONSUMO Y INTERESES INTERESES ABONO SALDO ACTUAL SALDO SALDO CARGOS(*) CORRIENTES DE MORA EN MORA FECHA CONCEPTO VALOR SALDO 15-03-2010 Saldo anterior 1 250 000 18-03-2010 Cargo compra –250 000 19-03-2010 Traslado en efectivo 480 000 21-03-2010 Pago de servicios –75 000 22-03-2010 Cargo compra –80 000 23-03-2010 Cargo compra –80 000 25-03-2010 Ingreso en efectivo 450 000 28-03-2010 Cuota de manejo –8 000 29-03-2010 Pago de servicios –75 000 2. ¿Cuál de estas columnas completa la tabla? Argumenta tu respuesta. a. Saldo b. Saldo c. Saldo d. Saldo 1 250 000 1 250 000 1 250 000 1 250 000 250 000 1 000 000 –250 000 –1 000 000 –480 000 1 480 000 480 000 1 480 000 75 000 1 405 000 –75 000 1 405 000 80 000 1 325 000 –80 000 –1 325 000 80 000 1 245 000 –80 000 1 245 000 –450 000 1 695 000 450 000 1 695 000 8 000 1 687 000 –8 000 –1 687 000 –75 000 1 612 000 –75 000 –1 612 00052
  53. 53. 3. Si don Miguel paga $ 75 000 pesos mensuales por con- cepto de servicio de agua, ¿cuál sería el registro total en el extracto bancario por el pago de un año de este servicio?¿Cómo me ven los demás?Trabaja en grupo. Consulten a su profesor cuando sea nece-sario.4. Escriban un ejemplo de cada una de las propiedades de la adición de números enteros.5. Realicen apareamiento entre los enunciados de la dere- cha y los de la izquierda, de tal forma que indiquen la propiedad que se aplicó. (-5) + 3 = 3 + (-5) Clausurativa. (-8) + 0 = 0 + (-8) = -8 Conmutativa. (-2) + 4 = 2 Asociativa. 7 + (-7) = (-7) + 7 = 0 Modulativa. (4 + 3) + (-2) = 4 + (3 + (-2)) Invertiva.6. Respondan las preguntas a. ¿Cuál es el inverso aditivo de 4? b. ¿Cuál es el módulo de la adición de enteros? c. ¿Qué propiedad se cumple en la igualdad 4 + 10 = 10 + 4? d. ¿Qué propiedad permite afirmar que la suma de (-8) y (+7) es un número entero? e. ¿Qué propiedad aplicas para resolver la suma: ((+1) + (-8)) + (+5)? Resuélvela.Me autoevalúo>> Reconozco situaciones de uso de los números enteros.>> Realizo operaciones de adición y sustracción de números enteros.>> Aplico correctamente las propiedades de la adición de los números enteros.>> Utilizo la multiplicación y la división de números enteros en la solución de problemas.>> Participo activamente en la clase.>> Reconozco la importancia de ser ordenado al realizar las actividades en el cuaderno. 53
  54. 54. ¿Cuál es la ficha que falta para completar el rompecabezas? En nuestra cotidianidad encontramos dife- MÓDULO rentes situaciones en las que nos pregunta- mos cuál es el valor o el objeto desconocido u oculto que completa una escena, un juego, una igualdad y hasta una frase. En matemá- ticas, la capacidad de plantear y encontrar el valor numérico oculto da la oportunidad de aplicar y desarrollar competencias relaciona- das con el pensamiento variacional y los site- mas algebraicos. ¿Que vas a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en las medidas. Pensamiento variacional Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas.54
  55. 55. Utilizo métodos informales (ensayo-error, complementa-ción) en la solución de ecuaciones. La realización de las actividades propuestas en las guíasque conforman este módulo te permitirá alcanzar estándaresbásicos de competencias que privilegian el desarrollo de lospensamientos variacional y numérico, a través de los concep-tos asociados a las ecuaciones y su resolución. En la tabla semuestran los conceptos que aprenderás. Guías Concepto de ecuación Procesos 7 Igualdades y ecuaciones >> Expresar enunciados matemáticos mediante el lenguaje algebraico en el Solución de ecuaciones de 8 la forma x + a = b planteamiento de ecuaciones. >> Justificar el proceso seguido para resolver ecuaciones. >> Resolver problemas mediante Solución de ecuaciones de 9 la forma ax + b = c el planteamiento de ecuaciones. 55
  56. 56. El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos. Módulo 3 Pensamiento variacional y sistemas algebraicos Igualdad puede ser Identidad Ecuación Tiene Es Se puede expresar de la forma Un valor Equivalente a x+a=b desconocido otra ó llamado incógnita ax + b = c Cuando Tienen la misma soluciónotra ¿Para qué te sirve? Las ecuaciones sirven básicamente para resolver problemas. Son utilizadas para describir cualquier fenómeno de la naturaleza, desde el movimiento del aire o del agua o la resistencia de las estructuras y tienen su aplicación directa en cuestiones tan norma- les como en hacer unos aviones más seguros, rápidos y cómodos, en explicar fenómenos financieros o, incluso, en la modelización de comportamientos sociales.56
  57. 57. ¿Cómo se te va a evaluar?En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentosen los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar yanalizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de losconceptos relacionados con el conjunto de los números naturalesy la recolección de datos estadísticos. La evaluación será constante, dentro cada una de las guíasencontrarás actividades de evaluación que te permitirán reflexio-nar acerca de cómo vas y que debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen dife-rentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán aponer en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajosindividuales o grupales que retarán tus habilidades para expresartus ideas y pensamientos.Explora tus conocimientosDoña Olga tiene un terreno de con forma de cuadrilátero irregular al que le quierecolocar una cerca con tres hiladas de alambre de púas. Tres de los lados del terreno miden 18 m, 23 m y 17 m. a. a. ¿Cuánto mide el cuarto lado, en una hilada se emplean 78 m de alambre? b. b. ¿Cómo calculas el valor del cuarto lado? Describe tu estrategia. c. c. ¿Cuál es la cantidad total de alambre que debe comprar? 57

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