3. Presentación
En el marco de los modelos flexibles que promueve el Pro-
yecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional
consideró necesario hacer una revisión del modelo Postpri-
maria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de
este modelo, se actualizaron y complementaron los mate-
riales pedagógicos para su implementación en procura de
aumentar la calidad de la educación básica de los niños y
jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el
sistema educativo.
La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada
por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios rea-
lizados en el año 2005, por el Centro de estudios regionales,
cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para
el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CERLALC, y,
particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de
la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo
a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y
los estándares básicos de competencia, entre otros.
Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural
cumplen un papel central para el desarrollo o el fortaleci-
miento de las competencias básicas. Es así como con esta
serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes
que adelantan sus estudios de educación básica secundaria
en instituciones o centros educativos con el modelo Postpri-
maria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren
una base para la realización de actividades pertinentes para
el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos
a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el
marco de los referentes de calidad de la política educativa.
Ministerio de Educación Nacional
3
4. Así es esta cartilla
Querido estudiante:
Bienvenido a este nuevo curso de de la Postprimaria rural.
Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para ti y para todos los
integrantes de tu comunidad educativa.
Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma
como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que
se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos
transversales y de los proyectos pedagógicos productivos.
La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso
y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento
adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un
compromiso serio que te ayude en tu formación personal.
En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás
unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.
Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te
disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia
el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que
has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria.
Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada
al conocimiento.
Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos
conocimientos estarán acompañadas de este ícono.
Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización,
y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten.
Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán
mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y
como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad
y con el lugar en el que vives.
4
5. Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que
te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad
en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones
diferentes a las presentadas en las actividades en las que
aprendiste algo nuevo.
Identificadas con este ícono encontrarás actividades de
aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido
te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida
cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras
áreas del conocimiento.
Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán
establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas
desarrollando tus competencias.
El análisis de los resultados que obtengas en su realización te
ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para
superar las dificultades que se hayan podido presentar o a
determinar las formas de mejorar tus competencias de manera
que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.
Si las actividades están acompañadas de este ícono, es
importante que las realices solo y pongas en ellas tu
mejor esfuerzo.
Cuando las actividades están acompañadas de este ícono,
debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda
respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que
la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de
competencias en todos los integrantes del grupo.
Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera
que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.
5
6. Tabla de contenido
2 Los números
que encontramos a
1
nuestro alrededor | 24
MÓDULO
“El País de los
números” | 8
MÓDULO 4 ¿Cuánto tengo, cuánto
me falta? | 28
1
Guía
Guía ¿En dónde usamos
los números? | 12
5 ¿Cuántas veces son
muchas veces? | 32
2 ¿Son ordenados
los números? | 16
6 Repartos equitativos | 36
3
3
¿Cómo representar
los números? | 20
La naturaleza
de los números | 44
MÓDULO
Guía
7 ¿Sabes cómo se
relacionan los
números? | 48
8 ¿Conoces
a los primos? | 52
9 ¿Conoces los mayores y
los menores? | 58
6
7. 5
MÓDULO
La medida
es cosa seria | 90
Guía 14 ¿Qué está cerca
y qué está lejos? | 94
15 ¿Cuál región es más
extensa? | 98
16
¿Cuánto tiempo ha
pasado? | 102
4
6
Rutas y mapas | 66
Recolec ción
Guía 10 Elementos gráficos
de Geometría | 70
MÓDULO
e interpretación
de datos | 110
11 ¡Anda
caballito! | 74
17
¿Qué hacen mis
Guía compañeros en el
tiempo libre? | 114
12 ¿Quién dejó esta
huella? | 78
18
¿Cuánto pesan mis
compañeros
de clase? | 120
13 Elementos gráficos
de Geometría | 82
19 Otra forma de ver los
datos recogidos | 124
7
8. “El País
MÓDULO
de los números”
¿Qué vas a aprender?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
>> Describo, comparo y cualifico situaciones con los números
naturales
>> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas
relativas y de variación en las medidas.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
>> Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación
utilizando el lenguaje natural, dibujos y graficas.
>> Represento y relaciono patrones numéricos con tablas
y reglas verbales.
8
9. Pensamiento métrico y sistemas de medida
>> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación
La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este
módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el
desarrollo de los pensamientos variacional, numérico y métrico a través del concepto
de números naturales. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.
Contenidos
Guías Concepto de ecuación Procesos
>> Identifica y resuelve problemas que
Sistema de numeración
1 decimal
surgen de situaciones matemáticas y
experiencias cotidianas
>> Utiliza el lenguaje simbólico para
representar e interpretar situaciones.
Características del >> Representa y comunica
2 conjunto de los números ideas matemáticas mediante
Naturales representaciones concretas o
diagramas.
>> Crea situaciones en las cuales tiene
Números naturales en la sentido proponer y solucionar
3 recta numérica – orden. conceptos matemáticos.
9
10. El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar
los conceptos.
Sistema de numeración decimal
El conjunto de los
Números Naturales
Se representa
Con la letra N
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
en él se establecen
Relaciones Representación grafica Escritura
que pueden ser de
Recta Posición
Orden Equivalencia numérica
a es mayor que b a>b a=b Ordinales
a es menor que b a<b y cardinales
¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?
Todos sabemos para qué sirven los números 1, 2, 3, etc. Lo sabemos
desde primaria. Lo hemos aprendido en los primeros juegos con nues-
tros padres y compañeros. Si nos preguntan por el número de pupitres
que existen en nuestro salón de clase, podemos contar y decir, con
toda seguridad, el número de ellas. Ahora ampliaremos sus aplicacio-
nes para representar gráficamente y por escrito las diferentes situacio-
nes de la vida cotidiana.
10
11. ¿Cómo se te va a evaluar?
Vas a desarrollar las competencias básicas donde tu aprendizaje será enriquecido
por situaciones problema significativas y comprensivas que te permiten avanzar en
las guías del modulo. Las cuales permiten ampliar tus conocimientos y habilidades
sobre el tema.
En las evaluaciones se proponen evaluar tu aprendizaje explorando tus conoci-
mientos que tú has adquirido por medio de las actividades de las guías teniendo en
cuenta lo significativo , lo comprensivo y en particular las situaciones problema a fin
de reconstruir y validar en forma personal el saber matemático.
Explora tus conocimientos
Cuando aprendes a contar, a ordenar y a leer los números por diversas razones y
con mucha frecuencia necesitas contar objetos. Cuando vas a la tienda, a la plaza,
cuando juegas u observas un campeonato deportivo y tomas nota de los resulta-
dos a favor o en contra de un equipo, lo realizas en la mayoría de veces haciendo
comparaciones o relaciones en busca de un resultado que te permita aclarar una
situación en particular.
Observa el dibujo y responde las siguientes preguntas:
>> ¿Cuántas fichas de color verde puedes ver?
>> ¿Cuántas fichas de color amarillo puedes ver?
>> ¿Qué color tiene el número mayor de fichas?
>> ¿Cuál sería el orden de los colores si los organizamos de mayor a menor?
>> ¿Cuál color tendría más fichas que las de color rojo?
>> ¿Cuál es el número total de las fichas?
11
12. Guía
Observa la siguiente figura:
¿En dónde
usamos los
números?
Ahora responde ¿Cuántos cubos hay en la figura? ¿Cómo usamos
los números en esta actividad? ¿Para qué más nos sirven los
números? ¿En dónde usamos los números?
Para estudiar los números observemos la organización de un
país. Tiene un número determinado de habitantes, tiene sus
propias reglas y sus habitantes las respetan. Resulta intere-
sante conocer el origen y las características de sus habitan-
tes; las correspondientes leyes que los rigen; los tipos de
relaciones; la posición; la magnitud de sus tierras y el orden
que se dan entre ellos.
Realizaremos nuestro recorrido por los caminos de este
interesante país.
La organización de estos habitantes es sorprendente, siem-
pre se presentan de modo ordenado y es fácil identificar quién
esta adelante o detrás de cualquier otro. Dos de los habitan-
tes se disputan el primer lugar desde hace algún tiempo. Son
tantos los habitantes del país que nunca se termina de contar-
los porque siempre se presentan otro habitante que le sigue
al que se creía que era el último, son infinitos.
Estos Habitantes disfrutan de una gran amistad, tienen
buenas relaciones entre sí y permanecen muy ordenados,
todos conocen a su vecino y saben que el de la izquierda es
el menor y el de la derecha es el mayor.
El sistema de numeración decimal es muy parecido a la
organización demográfica de nuestro país, es llamado deci-
mal porque fue inventado por los hindúes y difundido des-
12
13. pués por los árabes, razón por la cual también se llama
sistema indoarábigo. Este sistema consta de diez símbolos
llamados dígitos.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
En cierto pueblo de nuestro maravilloso país se encuen-
tran 537 habitantes si leemos por separado, cada uno de los
números que lo componen, tenemos
5 3 7
Cinco Tres Siete
Centenas Decenas Unidades
Pero si tenemos en cuenta la posición de cada número
podemos observar que el 7 está en la columna de las unida-
des, el 3 está en la columna de las decenas y el 5 está en la
columna de las centenas. Por lo tanto podemos decir que el
sistema numérico decimal es posicional es decir que se tiene
en cuenta la posición que ocupa el número veamos ¿Por qué?.
Para hacer fácil la lectura de los números, usamos espacios
para separar a los dígitos en grupos de tres, llamados posicio-
nes. Cada posición tiene un nombre como unidades, millares,
millones, billones y así sucesivamente por ejemplo reunimos
los habitantes de 11.250 pueblos para mirar cuantos hom-
bres y mujeres había, y en total eran 235.064.140 hombres y
185. 142.390 mujeres, el número de habitantes hombres se
lee doscientos treinta y cinco millones, sesenta y cuatro mil,
ciento cuarenta. Vamos a mostrarte la siguiente tabla donde
muestra la posición de cada dígito.
2 3 5 0 6 4 1 4 0
Millones Millares Unidades
Unidades
Unidades
Unidades
Centenas
Centenas
Centenas
Decenas
Decenas
Decenas
100.000.000
10.000.000
1.000.000
100.000
1.0000
1000
100
10
1
108 107 106 105 104 103 102 101 100
13
14. Ahora bien, cada posición corresponde a una potencia sucesiva de 10, es decir con-
forme nos movemos a la izquierda en esta tabla el valor de la posición es 10 veces
más grande que la columna a su derecha. Esta es la razón por la cual llamamos a
nuestro sistema “sistema de numeración decimal”.
Entonces ahora ¿Podrás hacer lo mismo con el número de mujeres que habitan en
estos 11.250 pueblos?
La representación de un número
La representación de un número puede ser de forma polinómica, es decir el número
se expresa teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras. Por
ejemplo, el número 11.250 de pueblos reunidos anteriormente se puede expresar
en forma polinómica de la siguiente manera:
9.000 + 600 + 400 +1.000 + 200 + 50 ó 4.000 + 7.000 + 1250 ó de muchas mane-
ras más, como tú quieras.
También puedes expresarlo de forma exponencial es decir el número se expresa
teniendo en cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras en forma exponen-
cial. Por ejemplo el número 11.250 anteriormente mencionado, expresado en forma
exponencial es:
(1 x 105) + (1 x 104) + (2 x 103) + (5 x 102)
1. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.
La población 2. 560 pueblos de este país anteriormente mencionado para el 2010 son de
45.541.052 de habitantes. En la tabla aparece esta cifra
Completa la siguiente tabla y conteste las siguientes preguntas:
4 5 5 4 1 0 5 2
Millones Millares
Unidades
Unidades
Unidades
Centenas
Centenas
10.000.000 Decenas
Decenas
Decenas
100.000
1000
10
107 105 103 102 100
>> El valor de 2 de acuerdo con su posición es:
>> El valor de 1 de acuerdo con su posición es:
>> El valor de 0 de acuerdo con su posi
14
15. >> En cierto pueblo de este país se
encuentra una granja, en ella
encontramos animales, nubes,
plantas, etc. Plantea cuantos círculos,
flores, plantas, árboles, vacas, pollitos
encuentras en la imagen y diseña una
tabla donde expreses su escritura en
palabras, la posición, una expresión
polinómica y la notación exponencial
que representa el número exacto que
tienes de cada objeto.
1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa.
a. El sistema decimal fue inventado por los árabes. ( )
b. El sistema decimal es posicional ( )
c. 104 =100 ( )
d. 32 = (3 x 101) + (2 x 100) ( )
e. 35 = treinta y dos ( )
2. Elabore un dibujo donde contenga: 5 Cuadrados, 10 Triángulos, 4
3. nubes, 6 animales, 12 flores, 31 piedras y complete la siguiente tabla.
Forma Forma Escritura en
Objeto Cantidad
polinómica exponencial palabras
Cuadrados
Triángulos
Nubes
Animales
Flores
Piedras
4. En un pueblito existe una escuela llamada santuario del número la cantidad de alumnos
de una escuela es 13.642, responde lo que le preguntaron a Gustavo en la evaluación de
matemáticas.
>> ¿Qué dígito está en la columna de las decenas?
>> ¿Qué dígito está en la columna de las unidades de millares?
>> ¿Qué dígito está en la columna de las centenas?
>> ¿Qué dígito está en la columna de las decenas de millares?
>> ¿Qué dígito está en la columna de las unidades?
15
16. Guía
En el país anteriormente mencionado se van a construir muchas
carreteras, caminos y calles interminables. Por eso tenemos que
ayudar a los habitantes de este país a construirlas, pero debemos
¿Son hacerlo respetando el orden natural de las calles y carreras o de
los caminos de un territorio, por esto en un plano:
ordenados
1. Dibuje las calles primera, tercera, quinta y séptima.
los
números? 2. Dibuje las carreras sexta, novena, decima, cuarta y primera
3. ¿Pueden estar estas calles o carreras en cualquier orden?
4. ¿Para qué sirve que las calles o carreras estén numeradas?
5. ¿Sabes que significa cada número en una dirección de
correspondencia?
El conjunto de los números naturales
Del mismo modo que las calles de nuestra ciudad o nuestro
pueblo están ordenadas para facilitar la ubicación espacial
de las personas, los números naturales lo están y pueden
representarse mediante puntos igualmente distribuidos en
la semirrecta.
Para ellos se traza una semirrecta que continúa de modo
indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica
la dirección a donde se escribirán los números naturales y
se hacen muchas marcas igualmente espaciadas sobre ella.
Luego hacen corresponder los números naturales con los
puntos marcados en la semirrecta, así
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antecesor Número
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número Antecesor
16
17. La idea de sucesor de un número sirve para distinguir el
orden natural de los números y definir el conjunto de los
números naturales
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Los puntos suspensivos se leen,… “y así sucesivamente” e
indican que el conjunto tiene infinitos elementos.
Representación grafica de los números naturales
Para representar gráficamente el conjunto de los números
naturales podemos tomar una regla que utilizamos para
medir en ella observamos lo siguiente:
El cero es el primer elemento y note que cada número
natural tiene un sucesor y cada número mayor a uno tiene un
sucesor y un antecesor. ¿Cuál es el número antecesor de 10 y
¿cuál es el número sucesor de 10?
Los números tienen un doble uso: Cuando se responde a
la pregunta ¿Cuántos?, se responde con el número cardinal 6
por ejemplo. Cuando se pregunta: ¿Cuál? Se responde con el
ordinal del número sexto. Por lo tanto los números naturales
son ordinales y de los cardinales son para contar, pues sirven
para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
En la granja anteriormente mencionada también existían otros
animalitos como los cerditos, los caballos, los patos y muchos
más. Observemos otra foto de la granja y ubica en la recta
numérica cuantos círculos, patos, caballos, cerditos, rocas, flores
hay, y completa la tabla.
17
18. Exprese el número
Objeto Número
en ordinal
Círculos
Patos
Caballos
Cerditos
rocas
Flores
1. Dibujo una recta numérica y con ayuda de ella completo cada
una de las siguientes secuencias:
a. __, ___, ____, 8, 9, 10
b. 24,___, ____, 27, 28
c. 1, 2, 3, 2, 3, 4, ___, ___, ___.
d. 2, ___, 6, ___, 10, 12
e. 0, 1, 2, ___, 4, ___, ___.
18
19. 2. Ahora tenemos que darle nombre a nuestras calles construidas
ayuda a los habitantes identificar si el nombre de estas está
escrito en número ordinales o en números cardinales. Marca
con una X según corresponde
Ordinales Cardinales
Calle Octava
Calle Novena
Calle 100
Calle Sexta
Calle 125
Calle Decima
Calle Primera
Calle Tercera
Calle 8
Calle 153
19
20. Guía
Para hablar de representación de los números debemos pensar
en situaciones donde usemos los números, como la siguiente: En
el país se realizo un concurso el cual participaron 5 habitantes del
pueblo y lo transmitieron por el canal regional, el programa de
¿Cómo televisión se llama el “precio es correcto”. El concursante ganador
representar es la persona que se acerque más a (sin sobrepasar) el precio del
los números? articulo en venta.
Viviana Pablo Javier Carlos Diego
$ 4495 $ 4550 $ 4551 $ 4200 $ 4000
a. ¿Qué concursante ganará si están concursando por un
balón que tiene un precio sugerido de $ 4.745?
b. Si el artículo en venta fuera un moral y el precio sugerido es
de $4.390 ¿Qué concursante ganará?
c. Si pudieras concursar con ellos y el artículo en venta es
un libro y el precio sugerido es de $4.553 ¿Qué precio le
pondrías para ganar?
Siguiendo con el análisis de los números, veamos por ejem-
plo el número natural 4 tiene un sucesor 5 y un antecesor 3,
el cero por ser el primer elemento y no tiene antecesor.
0 1 2 3 4 5...
Podemos observar que al movernos hacia la derecha en
la recta los números se hacen más grandes. Como 4 está a
la derecha de 3 decimos que 4 es mayor y se puede usar el
símbolo de > que significa “es mayor que” para escribir este
hecho (4 > 3). Por lo tanto sabemos que 3 es menor que 4 y
se puede usar el símbolo de < que significa “es menor que”
(3 < 4).
20
21. Los números naturales aparte de contar los elementos de
un conjunto, también sirven para ordenar los elementos de
dicho conjunto. Por ejemplo en una carrera automovilismo
que realizan los habitantes de un pueblo, no solamente es
necesario conocer cuántos carros terminan la carrera sino
también es importante saber el orden en que llegan a la meta.
El orden resulta al comparar dos números naturales y deter-
minar cuál es el número menor y cuál es el número mayor.
Visualicemos la carrera
Puesto Puesto
Automóviles
de salida de llegada
Carro 1 5 4
Carro 2 3 6
Carro 3 1 2
Carro 4 4 1
Carro 5 6 3
Carro 6 2 5
Ahora un reportero de prensa requiere que le ayudemos
a escribir un artículo sobre los sucesos de la carrera. Escribe
ese artículo teniendo en cuenta el orden del número del carro,
el puesto de salida y del puesto de llegada.
Entonces Cuando se comparan dos números naturales a
y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:
a. a es mayor que b. Esta relación se simboliza a
b. a es menor que b. Esta relación se simboliza a
c. a es igual a b. Esta relación se simboliza a = b
Por ejemplo En el salón de clases del grado décimo de una
escuela hay 10 estudiantes con las siguientes edades:
11 años, 10 años, 13años, 16 años, 18 años, 14 años, 22
años, 17 años, 12 años, 19 años. Ordene de menor a mayor y
diga cuántos y cuáles son los estudiantes mayores de 15 años
y cuantos estudiantes son menores 21 años.
21
22. 1. Resuelva el siguiente crucigrama
1 2 3
Horizontales
1 a. Número de tres cifras iguales
b. Número que está a la derecha de
200
c. Número que está a la izquierda 851
2 Verticales
a. Número que está a la derecha de 327
b. Número mayor que 304
c. Número menor que 311
3
2. Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.
Escriba uno de los símbolos > o < en el espacio para que el enunciado se verdadero
25 ___29 48___46 85___91 102___101
50 ___30 11___10 45___49 874___870
1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa
2005 < 2009 ( ) 2010 > 2009 ( )
85 > 91 ( ) 102 < 101 ( )
5000 > 300 ( ) 11 < 10 ( )
45 < 49 ( ) 874 > 870 ( )
2. Ordenar los siguientes números con los signos < o >
3, 4, 13, 25, 17, 23, 35, 65, 45, 36, 10
22
23. Que aprendí
Escriba el número que representa:
>> 4 centenas + 3 docenas + 6 unidades
>> 8 centenas + 6 docenas + 2unidades
>> 2 millares + 7 centenas + 4 decenas + 3 unidades
>> 6 millares de millones + 5 decenas + 9 unidades
>> Cuatrocientos cincuenta y seis
>> Veintisiete mil quinientos noventa y siete
>> Siete millones, cuatrocientos cuarenta y tres mil ochocientos sesenta
>> (3 x 101) + (7 x 100)
>> (5 x 103) + (6 x 102) + (1 x 101)
>> (6 x 104) + (2 x 103) + (4 x 102) + (8 x 101)
¿Cómo me ven los demás?
Realiza el siguiente juego con un compañero o compañera. Cada jugador va diciendo
un digito de 1 a 6. Estos números se van adicionando alternativamente, de tal manera
que gana quien primero llegue a 51.
Por ejemplo: María y Juan van a jugar.
>> María inicia con 1.
>> Juan dice 6 entonces van 7.
>> María dice 5, entonces van 12.
>> Juan: dice 4, entonces van 16.
>> Y así sucesivamente hasta llegar a 51.
De acuerdo con el ejemplo, ¿quién ganaría María o Juan?
Me autoevalúo
Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.
Sí A veces No
Identifica y resuelve problemas que surgen de
situaciones matemáticas y experiencias cotidianas
Utiliza el lenguaje simbólico para representar e
interpretar situaciones.
Representa y comunica ideas matemáticas mediante
representaciones concretas o diagramas.
Crea situaciones en las cuales tiene sentido
proponer y solucionar conceptos matemáticos.
23
24. Los números
que encontramos a
MÓDULO
nuestro alrededor.
¿Que vas a aprender?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico
>> Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre
números racionales (simétrica, transitiva, etc.) y de las operaciones
entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentes contextos.
>> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y
propiedades de las operaciones.
>> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y
multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.
>> Pensamiento métrico
>> Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de
estimación.
>> La realización de las actividades propuestas en las guías que
conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos
de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos
24
25. numérico y métrico, a través de los conceptos asociados a la adición, la
sustracción, la multiplicación y la división de números naturales. En la tabla se
muestran los conceptos que aprenderás.
Contenidos
Guías Contenidos Procesos
>> Describir e interpretar propiedades
Adición y sustracción y relaciones de los números y sus
4 de números naturales. operaciones.
Propiedades >> Comprender el fundamento conceptual
base de los algoritmos de las
operaciones básicas con números
Multiplicación de números naturales.
5 naturales. Propiedades
>> Argumentar el uso de los
procedimientos y algoritmos de las
operaciones básicas con números
naturales en distintas situaciones.
>> Resolver problemas que impliquen
6 División de números naturales
las operaciones básicas con números
naturales en distintos contextos.
25
26. En el siguiente esquema observarás la relación existente entre los conceptos que vas
a aprender.
Módulo 2
Pensamiento numérico
y sistemas numéricos
Operaciones con
números
pueden ser
Adición Sustracción Multiplicación División
Que tiene Que tiene
propiedades como propiedades como
Clausurativa Clausurativa
Conmutativa Conmutativa
Asociativa Asociativa
Modulativa Modulativa
Distributiva
¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?
Las operaciones con números naturales se aplican en la resolución de
diversos problemas cotidianos tales como el caso del cálculo total de la
producción de una finca, la diferencia entre las cantidades de los bultos
cosechados y los vendidos, el cálculo de la vida útil que le queda a una
máquina, o la determinación de la cantidad de alimento que le corres-
ponde a cada animal de un hato, entre muchos otros usos.
26
27. ¿Cómo se te va a evaluar?
En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus
compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en
cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división de números naturales y sus correspondientes
propiedades.
La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades
evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.
También encontrarás las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación, en las que se
proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en
práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que
retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.
Explora tus conocimientos
BELLA VISTA
ALAMOS
SAN JACINTO
LA ESPERANZA
PUERTO MARÍN
Javier es un niño de 12 años que vive en la población de San Jacinto. En muchas
ocasiones Javier acompaña a su papá, don Pastor, a vender los productos de su finca
hasta Bella Vista, una población cercana, pero primero pasan por Los Álamos, a 15
km de San Jacinto.
a. Si hasta Los Álamos han recorrido la tercera parte del camino, ¿cuál es la dis-
tancia entre San Jacinto y Bella Vista?
b. ¿Cuántos kilómetros recorren en total si se devuelven el mismo día?
c. En esta ocasión, Javier y don Pastor hicieron el recorrido hasta Bella Vista
varias veces el mismo día. ¿Cuántas veces fueron y vinieron, si en total reco-
rrieron 105 km?
d. Si 1 km es igual a 1 000 m, ¿cuál es la distancia en metros entre San Jacinto y
Los Álamos?
27
28. Guía
Forma un grupo con tres compañerosy compañeras para
desarrollar las siguientes actividades en el cuaderno.
Lean la historia y luego contesten las preguntas.
¿Cuánto
Don Pastor, nació en
tengo, San Jacinto el 23 de abril
cuánto me de 1970; se casó el 16
de diciembre de 1995,
falta? y tuvo su primer hijo
a los 27 años de edad.
Además de ser un buen
esposo y padre, es un
excelente agricultor;
por ello compró su finca
en 2001, donde cosechó
una siembra de maíz por
primera vez en 2006.
>> ¿Qué edad tenía don Pastor cuando se casó?
>> ¿Qué año era cuando tuvo su primer hijo?
>> ¿Cuántos años de casado llevaba don Pastor cuando tuvo su
primer hijo?
>> ¿Cuánto años transcurrieron entre la compra de la finca y la
primera cosecha de maíz?
>> ¿Cuántos años tenía su primer hijo cuando don Pastor compró
la finca?
Describan las operaciones que utilizaron para determinar la
respuesta de cada una de las preguntas propuestas en las
actividades anteriores.
>> ¿En qué situaciones de la vida cotidiana es necesario
utilizar este tipo de operaciones? Nombren algunas
de ellas.
En cursos anteriores han estudiando las operaciones que
se pueden efectuar con los números naturales; entre ellas, la
adición y la sustracción. Estas operaciones permiten resol-
ver gran variedad de problemas de la vida cotidiana.
28
29. Cada año, don Pastor vende la cosecha de maíz que pro-
duce su finca. Como quiere analizar las ganancias obteni-
das en los últimos tres años, organizó la información de la
siguiente manera.
Año Cantidad de dinero recibido
2008 $ 890 000
2009 $ 925 000
2010 $ 997 000
>> ¿Cuánto dinero recibió don Pastor en estos tres años?
>> Para encontrar la respuesta a la pregunta anterior,
copien en el cuaderno la siguiente operación, observen
la posición de las cifras de cada sumando y calculen la
suma.
Valor posicional de las cifras
unidades de mil
centenas de mil
decenas de mil
unidades de
unidades
centenas
decenas
millón
8 9 0 0 0 0
9 2 5 0 0 0 Sumandos
+ 9 9 7 0 0 0
Suma
En la adición de números naturales, se suman entre sí las cifras
que tienen el mismo valor posicional.
Don Pastor pagó $ 23 980 000 cuando compró la finca. Si
en unos años la vende en $ 30 000 000, ¿cuánto dinero gana-
ría en la venta?
>> Copia la siguiente operación y complétala para
responder la pregunta.
Valor posicional de las cifras
unidades de millón
decenas de millón
unidades de mil
centenas de mil
decenas de mil
unidades
centenas
decenas
3 0 0 0 0 0 0 0 Minuendo
- 2 3 9 8 0 0 0 0 Sustraendo
Diferencia
29
30. En la sustracción de números naturales, se restan entre sí las
cifras que tienen el mismo valor posicional.
Don Pastor construyó en su finca un galpón para sus gallinas.
Algunas de ellas ponen varios huevos a la semana, como se
muestra en la siguiente tabla.
Nombre de Número de huevos
la gallina semanales
Pura 5
Saraviada 3
Pintada 4
Coqueta 3
Mimosa 2
Motosa 5
Luna 3
>> ¿Cuántos huevos ponen en total Pura y Saraviada?
Escriban la adición que les permite calcular la respuesta.
>> ¿A qué conjunto numérico pertenecen los sumandos y la
suma de esta operación?
>> Comparen las siguientes operaciones y resuélvanlas en
el cuaderno.
Número de huevos Número de huevos Número de huevos Número de huevos
que pone Pintada que pone Coqueta que pone Coqueta que pone Pintada
4 + 3 3 + 4
>> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se operan en
diferente orden?
>> La operación (2 + 5) + 3 permite calcular los huevos que
ponen en total Mimosa, Motosa y Luna. Para encontrar el
resultado, calculen la suma indicada entre el paréntesis
y sumen el tercer sumando a este valor.
Ahora sumen en este orden 2 + (5 + 3).
>> Comparen los dos resultados. ¿Son iguales o diferentes?
>> ¿Cambia la suma cuando los sumandos se asocian de
diferentes maneras?
>> Efectúen las siguientes operaciones.
8+0 0 + 12 29 + 0 0 + 34
>> ¿Qué tienen en común?
>> ¿Cuál es el resultado de sumar cualquier número natural
con 0?
La adición de números naturales cumple algunas propieda-
des que verificaron en la actividad anterior. A continuación se
enuncian de manera general.
30
31. >> Copien en el cuaderno los siguientes enunciados y propongan un ejemplo de
cada uno.
La suma de dos números naturales es otro número natural.
Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera.
Al agrupar tres o más sumandos en diferente orden, la suma no se altera.
Al sumar un número natural con 0, se obtiene el mismo número.
Trabaja individualmente y realiza las actividades en el cuaderno.
Resuelve las siguientes situaciones.
Don Pastor vende los huevos que ponen las gallinas del galpón. Las ventas realizadas por
don Pastor son las siguientes:
Mes 1: 240 Mes 2: 258
Mes 3: 185 Mes 4: 196
>> ¿Cuántos huevos más vendió don Pastor el mes 2 con respecto al mes 4?
>> ¿Cuántos huevos menos vendió el mes 3 con respecto al mes 1?
Don Pastor tiene que hacer el siguiente recorrido por las poblaciones cercanas a su finca.
Desde el túnel hasta el primer pueblo Bacatú hay 368 km. De Bacatú a Santa Cecilia hay
593 km. De Santa Cecilia a La Martina hay 480 km
De La Martina a Santafé hay 539 km. Y de Santafé a Tacutá hay 185 km.
>> Si don Pastor parte desde el túnel, ¿cuántos kilómetros recorre hasta Tacutá?
>> ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre los siguientes recorridos?
Bacatú-Santa Cecilia y Túnel-Bacatú
La Martina-Santafé y Santa Cecilia-La Martina
La Martina-Santafé y Santafé-Tacutá
Don Pastor hizo su recorrido en tren. Si de los 530 pasajeros que salieron de la estación
central junto con don Pastor, 314 se bajaron en Santa Cecilia, y se subieron 153, ¿cuántos
pasajeros siguieron hasta la siguiente estación?
Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el martes
36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y el sábado 21
bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total? ¿Cuántos bultos más debió recoger para
completar 258?
31
32. Guía
Organicen grupos de tres estudiantes para realizar
las siguientes actividades en el cuaderno.
¿Cuántas San Jacinto es un pequeño pueblo rural que cuenta con 2 568
veces son habitantes. En su alcaldía se puede averiguar el número de
muchas habitantes de las poblaciones cercanas, porque en la cartelera
principal aparece la siguiente información.
veces?
más que en
y 1 342 habitantes
• En Puerto Marín ha
San Jacinto. e en
habitantes menos qu
• En Bella Vista hay 875
San Jacinto.
ad de
tres veces la cantid
• Los Álamos tiene
en San Jacinto.
habitantes que hay
bitantes es la cuarta
• En Santa Ana el número de ha
y en San Jacinto.
parte de los que ha
personas al doble
• La Esperanz a sobrepasa en 64 nto.
bitantes de San Jaci
de la cantidad de ha
>> ¿Cuál es el número de habitantes de cada población?
>> Copien en el cuaderno la siguiente tabla, y complétenla con
base en la información dada por el profesor de Javier.
Pueblo Número de habitantes
San Jacinto 2.568
Puerto Marín 3
Bella Vista 4
Los Álamos 2
Santa Ana 5
La Esperanza 3
>> Indiquen las operaciones que realizaron para calcular el
número de habitantes de cada lugar.
32
33. San Jacinto cuenta con un museo natural que es visitado
por los turistas que vienen al pueblo. Si la entrada al museo
cuesta $ 4 500 y hoy ingresaron 28 personas, ¿cuánto dinero
se recibió por este concepto?
Para averiguar la respuesta, copien y completen la siguiente
operación en el cuaderno.
4 500
× 28
Producto de 2 500 x 8
+ Producto de 2 500 x 20
La multiplicación de números naturales es una opera-
ción que permite calcular abreviadamente una suma de tér-
minos iguales.
5 veces 7
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 × 7 = 35
En la multiplicación 5 × 7 = 35, los factores 5 y 7, reciben
los nombres de multiplicando y multiplicador, respectiva-
mente. Mientras que el resultado, 35, se denomina producto.
La multiplicación cumple algunas propiedades que anali-
zarán a continuación.
>> Resuelvan la siguiente situación.
En la plaza principal de San Jacinto, tiene la forma rectan-
gular y está recubierta por lozas cuadradas de igual tamaño,
como se observa en el siguiente plano.
>> Escriban una multiplicación que les permita calcular el
número de lozas que recubren la plaza.
33
34. >> ¿A cuál conjunto numérico pertenecen los factores que
utilizaron?
>> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto?
>> ¿A cuál conjunto numérico pertenece el producto de dos
números naturales cualesquiera?
El producto de dos números naturales es siempre otro número
natural.
Inviertan el orden de los factores en la multiplicación que
escribieron en el numeral anterior y calculen el producto.
>> ¿Cambia el producto cuando se multiplican los factores
en diferente orden?
>> Verifiquen su respuesta anterior, comparando los
resultados de las siguientes operaciones.
9 × 8 y 8 × 9 23 × 18 y 18 × 23
12 × 15 y 15 × 12 93 × 14 y 14 × 93
En la multiplicación de números naturales el orden de los factores
no altera el producto.
En la plaza de mercado de San Jacinto, es posible con-
seguir gran variedad de productos típicos. Por ejemplo, las
almojábanas vienen empacadas en paquetes de tres bolsas
con cinco almojábanas cada una.
>> Dos de las siguientes operaciones permiten calcular
cuántas almojábanas se lleva un turista que compra
siete de estos paquetes. ¿Cuáles son? Expliquen su
elección.
(7 × 3) × 5 (7 × 3) ÷ 5 7 × (3 × 5)
>> ¿En qué se diferencian las operaciones (7 × 3) × 5
y 7 × (3 × 5)?
En una multiplicación de números naturales, el orden en que se
asocien tres o más factores, no altera el producto.
En uno de los puestos de
fruta, una de las vendedo-
ras organiza las naranjas,
ya sea en seis filas de una
unidad o en una fila de
seis unidades, como se
observa en la figura.
34
35. >> ¿Cuántas naranjas utiliza la vendedora en cada arreglo?
>> ¿Es lo mismo 6 × 1 que 1 × 6? Justifiquen su respuesta.
El producto de cualquier número natural por 1 es el mismo
número natural.
Don Pastor compró tres quesos a $ 2 500 cada uno en un
puesto de la plaza de mercado y su esposa compró dos.
Para determinar el dinero que gastaron entre los dos, la
esposa de don Pastor propone la siguiente estrategia:
Sumar la cantidad de quesos y multiplicar el resultado por
el precio de cada queso.
Mientras que don Pastor propone:
Multiplicar el número de quesos que compró cada uno por
el precio correspondiente y luego sumar los resultados.
>> Completen los siguientes cuadros en sus cuadernos con
la operación que se propone en cada caso, hallen los
resultados y compárenlos.
Procedimiento propuesto Procedimiento propuesto
por don Pastor por la esposa
>> ¿Qué diferencia hay entre los resultados obtenidos por
don Miguel y su esposa?
La suma de dos números naturales por un tercero es igual a la
suma de los productos de cada sumando por el tercer número.
Resuelve en el cuaderno, y de manera individual,
las situaciones que se proponen a continuación.
1. En la cooperativa de agricultores de San Jacinto, cada afiliado
debe aportar $ 35 000 mensualmente. Si en total hay 58
afiliados, ¿cuánto dinero recibe la cooperativa cada mes, por
concepto de aportes?
1. Cerca de la finca de don Jacobo, hay un criadero avícola que
cuenta con 325 gallinas. Si cada una cuesta $ 5 700, ¿cuál es el
precio total de las gallinas?
1. Fermín está vendiendo un terreno por parcelas. Si el terreno
tiene forma rectangular de 124 m de largo por 53 m de ancho,
y ofrece cada metro cuadrado a $ 256 000, ¿cuánto dinero
recibirá por la venta total?
35
36. Guía
Organicen grupos de tres estudiantes para realizar
las siguientes actividades en el cuaderno.
Manuel compró un terreno, con las dimensiones que se observan
Repartos en el plano, por un precio de $ 18 750 000.
equitativos
20mt
15
m
t
>> ¿Cuál es el área del terreno?
>> ¿Cuál es el valor de cada metro cuadrado del terreno?
>> ¿Qué operación deben efectuar para resolver la situación
propuesta?
Para resolver la situación, primero se halla el área del terreno:
300 m2. ¿Por qué?
Luego, se puede realizar la siguiente división de núme-
ros naturales:
a. b.
1875’0000 300 1875’0000 300
- 1800 6
75
Como el divisor tiene tres Se busca el número que
cifras se separan tres en multiplicado por 300 de
el dividendo. Pero 187 no aproximadamente 1 875.
se puede dividir por 300, En este caso es 6:
entonces se toma la cifra 300 x 6 = 1 800
siguiente para formar 1 875. Este producto se resta de
1 875.
36
37. c. d.
18750000 300 18750000 300
- 1800 62 - 1800 62500
750 750
- 600 - 600
150 1500
- 1500
00
Se baja la siguiente cifra - 00
para formar el número 750 00
y se busca el número que - 00
multiplicado por 300 de 0
aproximadamente 750. El Se continúa el proceso
número es 2. hasta bajar la última cifra
300 x 2 = 600 del dividendo.
Este producto se resta de
750.
Por lo tanto, el precio de cada metro cuadrado del terreno
es de $ 62 500.
Cada uno de los términos de la división recibe un nombre
particular.
Observen.
Dividendo 50 8 Divisor
-48 6 Cociente
Residuo 2
>> Copien y completen las siguientes frases en el cuaderno.
El dividendo es el número que
El divisor es el número que
El cociente es el
El residuo es el
Manuel quiere repartir el terreno comprado entre sus siete
hijos.
>> ¿Es posible dividir el terreno en siete partes iguales, sin
que sobren metros cuadrados?
>> ¿Cuántos metros cuadrados le corresponden a cada uno?
>> Copien y efectúen la siguiente división.
300 7
37
38. >> ¿Cuál es el residuo de la división?
>> ¿Cuándo una división es exacta?
>> ¿Cuándo una división es inexacta?
Una división es exacta cuando su residuo es cero. Y es
inexacta cuando el residuo es diferente de cero.
>> Realicen cada división e indiquen si es exacta o
inexacta.
45 ÷ 5 83 ÷ 9 108 ÷ 12 96 ÷ 15
>> Ubiquen los términos de una de las divisiones que
resultaron inexactas, donde corresponda en la siguiente
igualdad.
DIVIDENDO = (DIVISOR × COCIENTE) + RESIDUO
= × +
¿Se cumple la igualdad?
En toda división de números naturales se cumple
la siguiente igualdad.
DIVIDENDO = (DIVISOR × COCIENTE) + RESIDUO
Recuerden que la multiplicación de números naturales
cumple algunas propiedades. ¿La división cumplirá propie-
dades similares?. Averígüenlo desarrollando las siguientes
actividades.
Copien y efectúen las siguientes divisiones:
65 ÷ 13 65 ÷ 9
>> ¿Cuál es el resultado de la primera división? ¿Y de la
segunda?
>> ¿La división de dos números naturales es siempre un
número natural? Expliquen la respuesta.
Ahora realicen estas divisiones en el cuaderno.
72 ÷ 6 6 ÷ 72
>> ¿Qué resultado obtuvieron en la primera división?
>> ¿Cuál es el resultado de la segunda división?
>> ¿Es posible intercambiar el orden del dividendo y el
divisor sin que el altere el cociente? Analicen otros
ejemplos.
Calculen el resultado de las siguientes operaciones. Recuer-
den que primero se realizan las operaciones indicadas entre
paréntesis.
(45 ÷ 3) ÷ 5 45 ÷ (3 ÷ 5).
38
39. >> ¿Obtuvieron los mismos resultados?
>> ¿Es posible asociar los términos de una división sin que
se altere el cociente?
>> ¿Es lo mismo 14 ¸1 que 1 ¸ 14? Expliquen su respuesta.
>> ¿Cuáles son los resultados de las siguientes
operaciones? Completen el siguiente proceso en el
cuaderno, para determinar la respuesta.
28 (3 + 4) (28 3) + (28 4)
= = +
= =
>> ¿Dividir un número entre la suma de otros dos es igual
a la suma de los cocientes que se obtienen al dividir el
número entre cada sumando?
Trabaja individualmente en el cuaderno.
Resuelve cada situación.
Calcula la medida del lado desconocido en cada terreno de
forma rectangular.
10 m 20 m 21 m 17 m
A = 250 m2 A = 380 m2 A = 420 m2 A = 510 m2
10 m 20 m 21 m 17 m
>> El terreno comprado por Manuel es de forma rectangular con
medidas 20 m de largo por 15 m de ancho.
>> ¿Cuántos postes debe comprar para cercarlo, si va a colocarlos
cada dos metros alrededor del terreno?
>> Manuel quiere repartir el terreno en cinco partes iguales
para regalarle a sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados le
corresponden a cada uno?
>> Para obtener ganancias, los hijos de Manuel deciden vender el
terreno total por
$ 21 000 000. ¿Cuánto le ganaron a cada metro cuadrado?
39
40. >> En la tienda de doña Rosario se encuentran los
siguientes productos.
Kilo de arroz Docena de huevos Libra de tomate Libra de café
$ 2 400 $ 3 600 $ 1 500 $ 7 500
Paquete de pasta Frasco de aceite Paquete de harina Kilo de papa
$ 1 200 $ 3 500 $ 1 200 $ 1 000
Mario debe llevar: cinco kilos de arroz, tres docenas de
huevos, siete libras de tomate, cuatro libras de café, dos
paquetes de pasta, tres frascos de aceite, cuatro paquetes
de harina y ocho kilos de papa.
¿Mario podrá pagar sus compras con $ 70 000? ¿Por qué?
Mario decide pagar el valor total de sus compras en cuotas.
Si cada una es de $ 17 800, ¿cuántas cuotas debe pagar?
>> Maritza compró ocho paquetes de almojábanas, pero
cuando empieza a desempacarlas se da cuenta que en vez
de tener las 72 unidades que esperaba sólo tiene 64.
¿Cuántas almojábanas pensaba Maritza que debía recibir
por paquete?¿Cuántas almojábanas por paquete recibió
realmente Maritza?
>> Cinco toros con masas iguales pesan entre todos 2 840
kg. ¿Cuál es el peso de cada uno?
>> A las fiestas patronales de Los Pinos asistieron 1 253
hombres, 1 786 mujeres y 175 menores de edad. Si la
plaza de toros del pueblo cobra $ 15 700 por la entrada
y se espera que asistan todos los visitantes, ¿cuánto se
recaudaría por entradas a la corrida de toros?
>> Para empacar 1 500 huevos se dispone de bandejas en
cada una de las cuales caben doce unidades. ¿Cuántas
bandejas se necesitan?
>> Pilar hizo una llamada telefónica de doce minutos de
duración. Si le cobraron $ 1 500, ¿cuál es el costo de
cada minuto?
40
41. Observa la factura. Luego contesta las preguntas.
Cantidad Descripción Valor unitario Valor total
5 Cajas de puntillas $ 3 500 $ 17 500
3 Cajas de tornillos $ 4 200 $ 12 600
50 Chazos $ 100 $ 5 000
20 Tuercas $ 300 $ 6 000
10 Brocas $ 1 500 $ 15 000
>> ¿Cuál es el valor total de la factura?
>> ¿Cuál es el valor unitario de cada uno de los implementos comprados?
>> ¿Cuál sería el costo de comprar tres cajas de puntillas, dos cajas de tornillos y
diez tuercas?
>> Si en un nuevo pedido se duplican las cantidades de implementos, ¿cuál es el
valor de la nueva factura?
En un terreno de forma rectangular que tiene 15 m de ancho y 24
m de largo, cada metro cuadrado tiene un costo de $ 250 000.
>> Si se quiere cercar el terreno con tres hiladas de alambre de
púas, ¿cuántos metros de alambre es necesario comprar?
>> ¿Cuál es el precio total del terreno?
>> Si se logra vender en $ 98 550 000, ¿cuál es la ganancia con
respecto al precio inicial?
En la cosecha del mes de marzo, en una finca se recogieron las
siguientes cantidades; 756 205 bultos de yuca, 256 955 bultos de naranja, 235 580
de plátano. El bulto de papa se vendió a $ 25 850 cada uno, el de naranja $ 12 500
cada uno y el de plátano $18 750 cada uno
>> ¿Cuántos bultos se recolectaron en total?
>> ¿Qué cantidad de dinero se recibió en total por cada producto?
>> En total ¿Cuánto dinero se recibe al vender todas las cosechas?
>> Realiza la operación pertinente para cada caso, y establece las cantidades que se
deben enviar a cada lugar, si se sabe que:
La finca tiene que distribuir de la siguiente manera la cosecha:
>> Para Bucaramanga, Bogotá y Pereira, los bultos de yuca, en cantidades iguales.
>> De naranja van 38 500 bultos para Barranquilla, y lo que queda va en la misma
cantidad para Villavicencio y Popayán.
>> La mitad de los bultos de plátano van para Chiquinquirá, de la mitad restante
98 000 bultos serán despachados para Bogotá, y el resto para Tunja.
41
42. Que aprendí
Lee la información y realiza lo que se indica en cada caso.
La superficie terrestre de nuestro país
está conformada por una parte continen-
tal y otra parte insular. La superficie de la
parte continental es de 1 141 748 km2.
Las aguas territoriales son las franjas
de mar. Colombia tiene un área marítima
de 930 893 km2.
El espacio aéreo está compuesto por
una capa atmosférica de 2 083 406 km2.
El subsuelo es la parte ubicada debajo
de la superficie.
>> Escribe una pregunta que utilice los datos del espacio
colombiano y se resuelva con una adición.
>> Escribe una pregunta en donde se requiera una
sustracción.
>> Resuelve las preguntas que escribiste en los literales
anteriores.
>> Enuncia un problema que pueda plantearse a partir de la
información proporcionada.
Don Ramón quiere comprar una bicicleta y el vendedor le
informa que tiene las siguientes opciones de pago:
>> Si paga de contado, le cuesta $ 1 850 000.
>> Puede pagar con cuatro cheques de $ 470 180: uno al
día y los otros a 30, 60 y 90 días.
>> Puede pagar la mitad y dos cheques posfechados de $
580 000 cada uno.
>> Puede pagar en doce cuotas de $ 190 000 cada una.
>> ¿Cuál es la mejor opción para don Ramón? Explica tu
respuesta.
42
43. ¿Cómo me ven los demás?
Trabaja con dos compañeros o compañeras.
Observen la siguiente cuadrícula y luego distribúyanse el
trabajo como se indica a continuación.
Integrante 1: Calcula la cantidad de cuadraditos que tiene la
cuadrícula con una multiplicación.
Integrante 2: Cuenta los cuadraditos uno por uno.
Integrante 3: Calcula primero los cuadraditos de color gris
claro, luego los de color gris oscuro y suma los resultados.
>> Comparen los resultados obtenidos, entres sí.
>> Comparen los resultados obtenidos por otros grupos de
trabajo.
>> Verifiquen que se cumple la igualdad
8 x (3 + 9) = (8 x 3) + (8 x 9)
Me autoevalúo
Responde según la manera en la que te desenvolviste en el
desarrollo del módulo.
Sí No A veces
Manejo los algoritmos de adición y la sustracción con los
números naturales.
Manejo los algoritmos de multiplicación y la división con
los números naturales.
Aplico las propiedades de las operaciones básicas con
números natural para facilitar el cálculo de los resultados.
Resuelvo situaciones que requieran la aplicación de las
operaciones básicas con números naturales.
Participo de manera activa en clase y respeto la participación
de mis compañeros.
>> Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo.
Establece un plan de seguimiento con tu profesor.
>> Desarrolla en el cuaderno y de manera individual las
actividades que se proponen a continuación.
43
44. La naturaleza
MÓDULO
de los números
¿Qué vas a aprender?
Estándares básicos de competencias
Pensamiento numérico
>> Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas
de la teoría de números, como las de la igualdad, las de las
distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
>> Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y
propiedades de las operaciones.
Pensamiento variacional
>> Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades
variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio
(variación).
44
45. Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, men-
cionados en la parte superior, mediante los conceptos relacionados con múltiplos y
divisores de números naturales. En la siguiente tabla se especifican las guías que con-
tiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas:
Contenidos
Guías Contenidos Procesos
>> Expresar ideas matemáticas
7 Múltiplos y divisores
relacionadas con la divisibilidad
de números naturales.
>> Reconocer patrones y
8 Divisibilidad
regularidades que se establecen
entre los números naturales.
>> Argumentar con validez los
9 Descomposición de números
procesos que se aplican en la
resolución de problemas.
>> Solucionar diferentes situaciones
Mínimo común múltiplo y
10 máximo común divisor
de la vida cotidiana relacionada
con la teoría de números.
45
46. El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.
Módulo 3
Los números
Pensamiento
naturales
numérico
presentan
Relaciones
multiplicativas
como
Ser múltiplo de… Ser divisor de…
determina
Números Números
primos compuestos
¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?
Los múltiplos y divisores de un número, son usados con frecuencia en
muchas de las situaciones de la cotidianidad.
Por ejemplo, para comprar cinco panes de $1200, y saber cuánto se
debe pagar, pues el resultado corresponde a un múltiplo de 1200.
Si todos los días recorres en la bicicleta cierta distancia, entonces la
medida de la distancia recorrida en cinco días es un múltiplo de la dis-
tancia que recorres a diario.
Saber cómo se puede distribuir en bolsas un bulto de naranjas, de
manera que en cada bolsa quede la misma cantidad.
46
47. ¿Cómo se te va a evaluar?
En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus
compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en
cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números
naturales y la recolección de datos estadísticos.
La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades
evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar.
Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se
proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en
práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que
retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.
EXPLORA TUS CONOCIMIENTOS
Javier y su hermano, tiene una pequeña casa en la colina de una montaña. Allí tiene
4 vacas y un caballo. Diariamente los jóvenes ordeñan sus vacas y de cada una saca
dos litro de leche.
>> ¿Cuántos litros de leche recogen al ordeñar la primera vaca?
>> ¿Cuántos litros de leche en total recogen cuando terminan de ordeñar la
segunda vaca?
>> ¿Cuántos litros de leche en total tienen cuándo terminan de ordenar la tercera
vaca?
>> ¿Cuántos litros de leche en total reúnen cuando terminan de ordeñar la cuarta
vaca?
>> Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.
Vaca ordeñada Primera Segunda Tercera Cuarta
Cantidad de leche
en litros en total
2
>> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la tabla?
47
48. Guía
¿Sabes que es un reptil?
¿Alguna vez has visto alguno?
¿Sabes Sabes que en Colombia hay criaderos de reptiles que se
cómo se encuentran ubicados en zonas templadas o calientes. En esos
relacionan criaderos se encuentran diferentes especies de culebras, lagartos,
los tortugas, cocodrilos, y otros más.
números? >> Juan trabaja en uno de esos criaderos de reptiles. Él debe
recoger, cada semana, los huevos que colocan las hembras,
para llevarlos a un sitio seguro y caliente.
>> En esta ocasión recogió los huevos de 16
culebras ratoneras. Ellas colocan entre
3 y 45 huevos, en los meses de junio y
agosto.
>> Juan pasó por cada uno de los 16
terrarios recogiendo los huevos. En
el primer terrario, no había huevos,
en el segundo, recogió 3 huevos, en el
tercero, 6 huevos, en el cuarto, 9 huevos,
en el quinto, Juan encontró 12 huevos, y así
sucesivamente.
>> Escribe la secuencia numérica que se forma con la cantidad de
huevos que recogió Juan en cada terrario.
48
49. Responde en tu cuaderno.
>> ¿Qué procedimiento seguiste para completar la
secuencia anterior?
>> ¿Qué relación hay entre los números que escribiste?
>> ¿Cuántos huevos hay en el sexto terrario?
>> ¿Cuántos huevos hay en el noveno terrario?
>> ¿Cómo hallaste ese resultado?
>> ¿En qué terrario hay 42 huevos?
>> ¿Cómo hallaste la respuesta?
Completa en tu cuaderno el siguiente diagrama
>> ¿Los resultados que 3
obtuviste en el árbol, son
iguales a la secuencia que
x
escribiste en la actividad
inicial?
Los números que escribiste
en la actividad inicial y los 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
obtenidos en el árbol son los
múltiplos de 3. 0 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
>> ¿Cómo se hallan los múltiplos de 3?
Añade otras ramas a tu árbol, y encuentra otros múltiplos
de 3.
>> ¿Este conjunto de múltiplos tiene último elemento?
¿Por qué?
>> ¿Los múltiplos de 3, se dividen exactamente por 3?
Compruébalo realizando algunas divisiones.
Juan organiza cada grupo de huevos de las culebras rato- El producto
neras, en bandejas, para guardarlos en la incubadora del cria- de dos números
dero de reptiles. Para guardar el grupo de 24 huevos encuentra naturales es múltiplo
varias bandejas. de cada uno ellos.
49
50. >> ¿Cuáles son las posibles distribuciones que puede hacer
Juan con los 24 huevos?
>> En tu cuaderno completa el siguiente diagrama.
24
2 x 12
24 = 2 x 12
2 x x 24 = 2 x x = 4x
24 = 2 x x x 3= x3
2 x x x
Los números que aparecen en el diagrama son los factores
de 24.
Los factores de Este diagrama se conoce como diagrama de árbol.
un número también En tu cuaderno, divide a 24 entre cada uno de sus factores.
son divisores de ese ¿Cómo son las divisiones?
número. Los números 2 y 12, 4 y 6, 6, 3 y 8 también son divisores de
24. Solo faltan en la lista los número 1 y 24.
Responde: ¿Cuándo un número es divisor de otro?
Trabaja con dos compañeras o compañeros y
respondan las siguientes preguntas o realicen las
actividades en el cuaderno.
1. ¿Es posible saber cuántos elementos tiene el conjunto de
múltiplos de un número? Expliquen su respuesta.
2. Completen el diagrama del 2 y el diagrama del 4.
2 4
x x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 4 8 ? ? ? ? ? ? ? ?
50
51. 3. Elaboren los diagramas del 5, 6, 7, 8 y 9.
a. En cada caso, ¿de dónde resultan, los números de los
círculos?
b. Los múltiplos de 2 son también múltiplos de 4?
c. Los múltiplos de 4 son también múltiplos de 8?
d. ¿De qué números es múltiplo cero? ¿Por qué?
e. ¿Todo número natural es múltiplo de él mismo? ¿Por qué?
f. ¿Cuántos múltiplos tiene un número?
4. Construyan diagramas de árboles, para hallar los divisores de
36, de 100 y de 144.
a. ¿Cuántos divisores tiene cada número?
b. ¿Los divisores de un número son menores que él? ¿Por qué?
5. Sonia prepara para la venta, galletas de coco. Cada grupo de
24 galletas las empaca en cajas rectangulares, de manera que
no sobren ni falten. ¿Cuáles son las posibles distribuciones que
pueden hacer en las cajas para guardar las galletas?
6. ¿Cuáles serían las posibles distribuciones si las cajas contienen
40 galletas?
Represéntalas.
51
52. Guía
Resuelve individualmente.
En el criadero de reptiles también tienen lagartos de
diferentes especies. Uno de ellas es el lagarto arlequín
¿Conoces a que pone entre 30 y 40 huevos de forma alargada.
los primos? Una mañana Juan recogió huevos de dos hembras de
esta especie. Una de ellas tenía 36 huevos y la otra 37.
Cada grupo de huevos debía acomodarse en una cubeta como la
de la figura.
>> ¿Qué grupo de huevos puede acomodar Juan en las cubetas,
sin que le sobren? Explica
Con los 36 huevos se puede hacer un arreglo de 6 filas en el
que cada fila tenga exactamente 6 huevos.
>> ¿36 es divisible por 6? ¿Por qué?
>> Con el grupo de 37 huevos, ¿se puede formar un arreglo
de seis filas, cada una con igual número de huevos?
>> ¿Se utilizarían todos los huevos? ¿Cuántos sobran?
¿Cuántos?
>> Representa en tu cuaderno la situación.
52
53. >> ¿Por qué Juan no pudo acomodar los 37 huevos en una
sola bandeja?
>> ¿37 es divisible por 6? ¿Por qué?
>> ¿Cuándo un número es divisible por otro?
>> ¿Recuerdas cuáles son los factores de 36? Escríbelos.
>> Ahora halla los factores de 37.
>> ¿Cuáles son?
>> ¿El número 36 es primo o es compuesto? ¿Por qué?
>> ¿El número 37 es primo o es compuesto? ¿Por qué?
Un número
natural mayor que
En tu cuaderno, realiza divisiones para comprobar si: 1, es primo si tiene
>> 36 es divisible entre 2. exactamente dos
>> 36 es divisible entre 3. divisores distintos: 1
>> 36 es divisible entre 5. y el mismo número.
>> 36 es divisible entre 10.
>> ¿Cuáles divisiones fueron exactas?
>> ¿En cuales divisiones se obtuvo un residuo diferente de
cero?
Sigue el mismo procedimiento para comprobar que los núme-
ros 32, 64, 96, 108 y 200 son divisibles entre 2.
Los números 32, 64, 96, 108 y 200, ¿son pares o impares?
¿Por qué sabes que son pares o que son impares?
Responde en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible
entre 2?
Compara lo que escribiste con lo que aparece a
continuación:
Un número es divisible por 2 si el dígito de las unidades es 0, 2,
4, 6, 8.
Este enunciado se conoce como criterio de divisibilidad
entre 2.
>> ¿596 es divisible por 2? ¿Por qué? Un número
>> ¿129 es divisible por 2? ¿Por qué? natural es compuesto
>> Ahora analiza cuándo un número es divisible por 3. si tiene más de dos
>> ¿18 es múltiplo de 3? divisores.
>> ¿18 es divisible entre 3?
>> ¿24 es múltiplo de 3?
>> ¿24 es divisible entre 3?
>> ¿Cuáles cifras forman el número 18?
>> ¿Cuál es la suma de esas cifras?
>> ¿Es 9 divisible por 3?
>> ¿Cuáles cifras forman el número 24?
>> ¿Cuál es la suma de esas cifras?
>> ¿Es 6 divisible por 3?
53
54. Responde en tu cuaderno, en general, ¿cuándo un número es
divisible por 3?
Compara lo que escribiste con lo que aparece a
continuación.
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un
múltiplo de 3. Este es el criterio de divisibilidad por 3.
¿Puedes buscar otros ejemplos? Escríbelos en tu cuaderno.
La semana pasada, Juan organizó tres grupos de huevos
en la incubadora. El primer grupo tenía 15 huevos, el segundo
tenía 35 y el tercero tenía 40.
Los huevos debían guardarse en cubetas como la que se
muestra en la figura.
>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el primer
grupo de huevos?
>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el segundo
grupo de huevos?
>> ¿Cuántas cubetas se utilizaron para guardar el tercer
grupo de huevos?
>> ¿Los números 15, 35 y 40, son divisibles entre 5?
>> Escribe en tu cuaderno, ¿cuándo un número es divisible
entre 5?
>> Según lo que escribiste, ¿270 es divisible entre 5? ¿23 es
divisible entre 5? ¿Por qué?
>> Compara lo que escribiste en tu cuaderno con lo que
aparece a continuación.
Un número es divisible entre 5 si el dígito de las unidades es 0 o
5. Este es el criterio de divisibilidad entre 5
>> ¿98 es divisible entre 5?
>> ¿5 es divisible entre 5?
Estos son otros criterios de divisibilidad
Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es par y
múltiplo de 3.
Estos números son divisibles por 6: 24, 48, 156, 2604. Com-
pruébalo.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina
en cero.
Escribe número de tres y cuatro cifras divisibles por 10.
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55. En el criadero de reptiles hay un lagarto tokay, esta especie
en particular, llama la atención de los expertos porque pone
sus huevos de dos en dos. Ya se han recolectado 78 huevos
de esta clase de lagarto, y se quieren acomodar en cubetas
de tal forma que en cada una de ellas haya un número primo
de huevos.
>> ¿Es posible dicha distribución?
>> ¿Qué estrategia emplearías para saber si 78 tiene otros
divisores primos?
Intenta elaborando un diagrama de árbol para encontrar los
factores de 78.
78
2 x 39 >> 8 es divisible entre 2.
7
>> 9 es divisible entre 3.
3
2 x x >> os números 2, 3 y 13 son primos.
L
Todo número
compuesto se
También puede ser: puede expresar
como producto de
78
>> 78 es divisible por 3. factores primos. El
3 x 26 >> 6 es divisible por 2.
2 proceso para hallar
>> os números 2, 3 y 13 son primos.
L los factores primos
3 x 2 x 13
de un número
natural se denomina
Cuando se escribe 78 como 2 × 3 × 13, se dice que se ha descomposición en
expresado como producto de factores primos. factores primos.
55
