Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Lineales y no lineales

Ecuaciones Lineales y no lineales

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  • 1. TUTORA : CICLO : ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACION Octubre 2009- Febrero 2010 Ing. GERMANIA RODRIGUEZ INTEGRANTES : Juan Jumbo Ismael Armijos Anita Poma ECUACIONES DIFERENCIALES lineales y NO LINEALES
  • 2.
    • La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados.
    • los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. El comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.
  • 3.
    • una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.
    • Aditividad:
    • Homogeneidad:
    • Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposición.
    • Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma: F (u) =0, Para algún valor desconocido de u.
    • Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución u . Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.
  • 4.
    • Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución. Las ecuaciones no lineales no poseen esta propiedad de superposición.
  • 5.
    • Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solución en algún intervalo. Sin embargo si una ecuación es no lineal, entonces generalmente no hay manera de hallar su solución. Por esta razón es necesario buscar métodos para describir la naturaleza de una solución sin resolver la ecuación explícitamente.
  • 6.
    • La no-linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:
  • 7. Sea x(t) y y(t) las poblaciones de zorros y conejos respectivamente, en el tiempo t. Si no hubiera conejos, entonces se podría esperar que los zorros , sin un suministro adecuado de alimentos, disminuyan en numero según la ecuación:
  • 8.
    • Cuando están presentes los conejos hay un suministro de alimento y, por consecuencia los zorros se agregan al sistema en una proporción bxy, b>0.
    • Modelo para la población de zorros:
  • 9.
    • Si no hay zorros, entonces la población de conejos, crecerá a una tasa proporcional al numero de conejos presentes en el tiempo t:
    • Tasa a la cual son comidos los conejos durante sus encuentros con los zorros:
  • 10.
    • Las ecuaciones (2) y (4) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
    • (5)
    • Donde a, b, c yd son constantes positivas. Este famoso sistema de ecuaciones se conoce como modelo presa-predador de Lotka-Volterra.
  • 11.
    • Suponga que
    • Representa un modelo presa-predador.
    • Debido a que se tratan poblaciones, se tiene x(t)>=0, y(t)>=0.
  • 12.  
  • 13. Suponiendo que en una competencia entre especies en la cual se compite por recursos o espacio vital
  • 14. Dx /dt = ax y dy/dt= cy Dx /dt = ax - by y dy/dt= cy - dx
  • 15. Dx /dt = a 1 x – b 1 x 2 y Dy /dt = a 2 y – b 2 y 2
  • 16. Dx /dt = a 1 x – b 1 x 2 – c 1 xy=x(a 1 –b 1 x-c 1 y) Dy /dt = a2y – b2y 2 – c 2 xy=x(a 2 –b 2 y-c 2 x)
  • 17. I1(t) =i 2 (t) + i 3 (t) E(t) =i 1 R 1 + L 1 di 2 /dt + i 2 R 2
  • 18. E(t) =i 1 R 1 + L 2 di 3 /dt E(t) =i 3 R 1 + i 2 (R 1 +R 2 ) + L 1 di 2 /dt E(t) =i 3 R 1 + i 2 R 1 + L 2 di 3 /dt
  • 19. E(t) =Ri 2 + Ldi 1 /dt 0 = i 1 - i 2 + RCdi 1 /dt