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Derivada
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  • 1. La derivada de una función es una medida dela rapidez con la que cambia el valor de dichafunción según cambie el valor de su variableindependiente.La derivada de una función es un conceptolocal, es decir se calcula como el limite de larapidez de cambio media de la función de uncierto intervalo, cuando el intervaloconsiderado para la variable independiente setoma cada vez mas pequeño.Por ello se habla del valor de la derivada deuna cierta función en un punto dado
  • 2. Los problemas típicos que dieron origen al calculo infinitesimal,comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia,(siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos deresolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra deIsaac newton y gottfried).En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipogeométrico que le dieron origen:El la problema de la tangente de una curva(perge)El teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre)En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce comocalculo diferencial. Gottfried
  • 3. Siglo XVIILos matemáticos perdieron el miedo que losgriegos le habían tenido a los infinitos: Johanneskepler y Buenaventura cavalieri fueron losprimeros en usarlos, empezaron a andar uncamino que llevaría en medio siglo aldescubrimiento del cálculo infinitesimal.A mediados del siglo XVII, las cantidadesinfinitesimales fueron cada vez más usadas pararesolver problemas de cálculos de tangentes,áreas, volúmenes; los primeros darían origen alcálculo diferencial, los otros al integral.
  • 4. NEWTON Y LEIBNIZA finales del siglo XVII sintetizaron en dosconceptos, métodos usados por suspredecesores los que hoy llamamos«derivadas» e «integrales». Desarrollaronreglas para manipular las derivadas (reglas dederivación) y mostraron que ambos conceptoseran inversos (teorema fundamental delcálculo). IsaacNewton desarrolló en Cambridge su propiométodo para el cálculo de tangentes. En 1665encontró un algoritmo para derivar funcionesalgebraicas que coincidía con el descubiertopor Fermat. A finales de 1665 se dedicó areestructurar las bases de su cálculo,intentando desligarse de los infinitesimales, eintrodujo el concepto de fluxión, que para élera la velocidad con la que una variable Leibniz«fluye» (varía) con el tiempo.
  • 5. leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollarel cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicarlos mismos resultados que newton descubriera 10 añosantes. En su investigación conservó un caráctergeométrico y trató a la derivada como un cocienteincremental y no como una velocidad. Fue quizás elmayor inventor de símbolos matemáticos. A él se debenlos nombres de: calculo diferencial y calculointegral, asícomo los símbolos y el símbolo de la integral
  • 6. Conceptos yaplicacionesEl concepto de derivada esuno de los dos conceptoscentrales del calculoinfestimal. El otro conceptoes la «anti derivada» ointegral; ambos estánrelacionados por el teoremafundamental del calculo. Asu vez, los dos conceptoscentrales del cálculo estánbasados en el concepto delimite, el cual separa lasmatemáticas previas, comoel Álgebra, la Trigonometríao la Geometría Analítica, delCálculo. Quizá la derivadaes el concepto másimportante delCálculo Infinitesimal.
  • 7. La derivada es un concepto que tiene variadasaplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde esnecesario medir la rapidez con que se produce elcambio de una magnitud o situación. Es unaherramienta de cálculo fundamental en los estudiosde física, química y biología, o en ciencias socialescomo la economía y la sociología. Por ejemplo,cuando se refiere a la grafica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de larecta tangente del gráfico en el punto . Se puedeaproximar la pendiente de esta tangente como ellimite cuando la distancia entre los dos puntos quedeterminan una recta secante tiende a cero, es decir,se transforma la recta secante en una recta tangente.Con esta interpretación, pueden determinarsemuchas propiedades geométricas de los gráficos defunciones, tales como concavidad o convexidad
  • 8. N= Q N= NUMERO y Naturales N= 1,2,3,4,5,6….Q= Números Enteros Z= -5,-4,-3,-2,-1 Fracciones Q= x = 1/3, ½ , 1/5….. x
  • 9. 1 n-1 1ª- si F (x) =xh n=Q=F (x)=hx ejemplos dF dF1 F(x) = x = x = dx =1x = 1x0 = 1(1) = 1 dx =1 1-1
  • 10. Condiciones de continuidad de una funciónUna función continua es aquella cuya regla decorrespondencia asigna incrementos pequeños en lavariable dependiente a pequeños incrementos de loselementos del dominio de dicha función, es decir, ,y usando la expresión , queda donde en este caso, . Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa enconsecuencia por un teorema de límites (un límite existe siy sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) quetoda función que cumpla cones continua con el punto
  • 11. Condición no recíprocaLa relación no funciona a la inversa: el que unafunción sea continua no garantiza su derivabilidad.Es posible que los límites laterales seanequivalentes pero las derivadas laterales no; eneste caso la función presenta un punto anguloso endicho punto.Un ejemplo puede ser la función valorabsoluto(también llamada módulo) en el punto (0,0).Dicha función se expresa:
  • 12. Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambasramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en elpunto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sinembargo, las derivadas resultan:Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultadosdiferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, apesar de que sea continuo.De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntasagudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
  • 13. Definición analítica de derivada como un límiteEn terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficienteen que una cantidad y ,cambia a consecuencia de un cambio en otracantidad x .En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenecea cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funciónbase, etc.En física, coeficiente es una expresión numérica que mediantealguna fórmula determina las características o propiedades de uncuerpo.En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficientedel que hablamos vendría representado en el punto de la funciónpor el resultado de la división representada por la relación , quecomo puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantieneconstante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangenteen el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que eltriangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto ,por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figuraproporcional el resultado de es siempre el mismo.
  • 14. Esta noción constituye la aproximaciónmás veloz a la derivada, puesto que elacercamiento a la pendiente de la rectatangente es tanto por la derecha comopor la izquierda de manera simultánea.Considerando la función f definida en elintervalo abierto I y un punto a fijo en I,se tiene que la derivada de la función fen el punto se define como sigue: