2. Índice
Propiedades de las funciones cuadráticas
Solución de una función cuadrática
Formas para hallar una solución
3. Propiedades de una ecuación
cuadrática
Forma estándar cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son
constantes.
4. Propiedades de una ecuación
cuadrática
Forma Vértice:
y = a(x – h)2 + k
Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.
El vértice siempre es: (h, k)
5. Solución de una ecuación
cuadrática
La solución de una ecuación cuadrática es
lo mismo que hallar los ceros de la
ecuación cuadrática.
Los ceros de una ecuación cuadrática son
los puntos donde la parábola intercepta el
eje de x.
6. Formas de hallar la solución de
una función cuadrática
Factorización
Raíz cuadrada
Completando al cuadrado
Fórmula Cuadrática
8. Ejemplo 1
Halla la solución mediante factorización:
x2 – 8x + 7 = 0
Observemos si hay factores comunes.
La otra forma de factorizar un trinomio es por tanteo :
( ___ ____ ) ( _____ _____)
Observemos si es cuadrado perfecto.
x x
Factores de x2
Factores de 7 que sumado o restado de a -8
-7 -1
9. Por lo tanto
x2 – 8x + 7 = 0
(x-7) (x-1) = 0
(x-7) = 0 ó (x-1) = 0 Propiedad del producto
de cero
x = 7 ó x = 1
Esto implica que los ceros de esa
parábola son (7,0) y (1,0)
10. Ejemplo 2
Halla la solución mediante factorización:
6x2 – 19x – 7 = 0
( ) ( ) = 02x 3x-7 + 1
Verifica que el término del
medio sea -19x
2x
-21x(2x – 7) = 0 ó (3x + 1) = 0
x = 7/2
ó x = -1/3
Los cero son (3 ½, 0) y (-1/3, 0 )
11. Ejemplo 3
Halla la solución mediante factorización:
x2 - 6x + 5 = 0
( ) ( ) = 0x x- 5 - 1
(x – 5) = 0 ( x – 1 )= 0
x = 5 ó x = 1
Los puntos son (5,0) y ( 1 ,0)
12. Ejemplo 4
Halla la solución mediante factorización:
2x2 = 3x
2x2 - 3x = 0 Igualamos a cero
Hay un factor común por lo tanto la factorización sérá:
x ( 2x – 3) = 0
x = 0 ó x = 3/2
Los interceptos son: (0,0) y (3/2,0)
22. Generalización:
El resultado de la multiplicación mentalmente del
cuadrado de un binomio :
1. Siempre será un trinomio
2. El primer y tercer término es el cuadrado
del primer y segundo término del binomio.
3. El segundo término es el doble del producto
del primer y segundo término del binomio.
24. Solución
1. (x – 6)2
2. (m + 5)2
3. (2t – 5)2
4. No
factorizable
5. No factorizable
6. No factorizable
25. ¿Cómo saber si un trinomio es cuadrado
perfecto?
1. El primer y tercer término son
cuadrados perfectos y positivos.
2. El segundo término es el doble del
producto de un factor de primer y tercer
termino del trinomio.
26. ¿Cómo completar al cuadrado un
trinomio?
Para completar el cuadrado de
un trinomio, se debe obtener el
tercer término.
27. ¿Cómo completar al cuadrado un
trinomio?
El tercer término se obtiene
dividiendo el segundo término por 2 y
cuadralo.
47. Y ¿Cómo se usa?
Ejemplo 1:
Halla los valores de la variable en la
ecuación 2x2 + 6x + 1 = 0
a = 2 ; b = 6 ; c = 1
Al sustituir en la fórmula
cuadrática obtendremos:
48. Y ¿Cómo se usa?
Ejemplo 1:
x
b b ac
a
2
4
2 )2(2
)1)(2(466 2
4
8366
x
6 28
4 4
726
4
72
4
6
2
7
2
3
x
3 7
2
49. Ejemplo 1:
Halla los valores de la variable en la
ecuación 2x2 = -6x - 7
a = 2 ; b = 6 c = 7
x
b b ac
a
2
4
2
2x2 + 6x + 7 = 0
50. Ejemplo 1:
Halla los valores de la variable en la
ecuación 2x2 = -6x - 7
x
6 6 4 2 7
2 2
2
( ) ( )( )
( ) 4
56366
4
206
x
i
6 2 5
4 4
52
4
6 i
2
5
2
3 i
2
53
ó
2
53 i
x
i
x
55. Discriminante
Y....
Si b2 – 4ac es:
> 0 tiene dos interceptos en x
= 0 tiene un intercepto en x
< 0 no tiene intercepto en x
56. En otras palabras:
Si el discriminante es:
> 0 Tendrá dos soluciones reales
< 0 Tendrá soluciones complejas o no
reales
= 0 Tendrá solo una solución real
57. Ejemplo 1:
Halla el discriminante para determinar si la
solución es real o compleja.
1.x2+ 5x – 14 = 0
2.3x2 –7x + 5 = 0
3.x2 – 2x +1 = 0
58. Solución:
1. 81 Implica que tiene dos soluciones
reales
2. -11
Implica que tiene dos soluciones
complejas
3. 0
Implica que tiene una solución
real
59. Ejemplo 2:
Halla los valores de la variable en la
ecuación x2 - x - 1 = 0 , utilizando la
fórmula cuadrática.
a = 1 ; b = -1 c = -1
60. Solución:
Halla los valores de la variable en la
ecuación x2 - x - 1 = 0
a = 1 ; b = -1 c = -1
x
b b ac
a
2
4
2
)1(2
)1)(1(4)1(1 2
x
1 1 4
2 2
51
61. ¿Cómo se halla los interceptos en
una función cuadrática?
Si le das valor de cero a la y podrás
encontrar los valores de x y éstos
serán los interceptos de la función
cuadrática.
62. Ejemplo 3:
Indica cuántos interceptos en x tiene las
siguientes funciones cuadráticas.
1.x2+ 5x – 14 = 0
2.3x2 –7x + 5 = 0
3.x2 – 2x +1 = 0
63. Solución:
1. 81 Implica que tiene dos soluciones
reales
2. -11
Implica que tiene dos soluciones
complejas
3. 0
Implica que tiene una solución
real
