Ecuaciones diferenciales

1
Ecuaciones Diferenciales
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
0
y
u
x
u
0yyy3y
0dy)xy(dx)yx(
0yx
dx
dy
2
2
2
2
2
ING. JUAN MANUEL MARTÍNEZ NOGALES

1000
2
2
)(;)( yxyyxy
x
dx
yd
1100
2
2
)(;)( yxyyxy
x
dx
yd
2

Problemas de valores iniciales (PVI)
Sea la solución general de la Ecuación Diferencial
F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la
constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se
pueda determinar una solución particular de la ED.
Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de
Resolver :
con condiciones:
Se le llama problema de valor inicial.
Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.
Si el problema es de contorno
3
),,',,( )1(n
n
n
yyyxf
dx
yd

10
)1(
1000 )(,,)(',)( n
n
yxyyxyyxy 
Cxy
1100 )(;)( yxyyxy

Resolver:
sujeta a:
Resolver:
sujeta a:
4
00)(:
),(:
yxytosubject
yxf
dx
dy
solve
1000
2
2
)(',)(:
)',,(:
yxyyxytosubject
yyxf
dx
yd
solve
PVIs de primer y segundo orden:
son problemas de valor inicial de primer y
segundo orden, respectivamente.
Fácilmente interpretables de manera
geométrica, como vemos en las figuras.

Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia
uniparamétrica de soluciones de la
EDO:
y’ = y en (- , ).
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una
solución de este problema de valor
inicial.
Si queremos una solución que pase
por (1, -2), entonces la condición es:
y(1) = -2. De modo que -2 = ce,
c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.
5
y = 3ex
y = -(2/e)ex

6
Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de
x + 16x = 0.
Hallar una solución del siguiente PVI:
x + 16x = 0, x( /2) = −2, x ( /2) = 1.
Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en
x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x ( / 2) = 1 obtenemos
c2 = ¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t

7
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Si asignamos y(0) = -1, obtenemos c = -1.
Considérense las siguientes distinciones:
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1)
es el conjunto de todos los números reales
excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de
definición mayores posibles son (- , 1),
(-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, con
y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es
(-1, 1).

Teorema de Existencia y Unicidad
8
Sea R la región rectangular en el
plano xy definida por
a x b, c y d que contiene el
punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y)
y f/ y son continuas en R,
entonces existe algún intervalo Io:
xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido
en a x b y una función única y(x)
definida en Io que es una solución
del PVI .
Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias...

ED Lineales de Primer Orden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple
con el Principio de Superposición respecto al término
independiente q(x).
Métodos para resolver una ED de Primer Orden:
i) Análisis Caulitativo (gráfico)
ii) Técnicas Analíticas
iii) Aproximaciones Numéricas.
(no se estudiará en este curso)
xqy)x(p
dx
dy
9

Para este análisis consideraremos
EDOs Autónomas y NO Autónomas
10

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
autónoma tiene la forma de
es decir si la derivada es función solamente de la variable
dependiente.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
NO autónoma tiene la forma de
Es decir si su derivada es una función tanto de la variable
dependiente como de la independiente.
yxfy ,
yfy
)1( yyy
yxy 2
11

12
Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden
analizando una EDO cualitativamente.
(a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente
una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y)
proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los
puntos (x,y).
(b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y)
representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos
elemento lineal.
Curvas solución "sin una función solución"
dy/dx = 0.2 xy = f(x, y)

13
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una
red o malla de puntos rectangular en el plano xy,
y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y)
de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el
campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones

14
Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma
dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a).
Compárese con la figura (b) donde se han
representado unas curvas de la familia de soluciones.

15
Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar
una curva solución aproximada de la ecuación
autónoma dy/dx = sen y, con y(0) = −3/2.
Solución:
Apelando a la continuidad de f(x, y)
= sen y y f/ y = cos y, el teorema
de existencia y unicidad garantiza
la existencia de una única curva
solución que pasa por algún punto
especificado en el plano. Ahora
dividimos la región que contiene a
(-3/2, 0) en una malla rectangular.
Calculamos el elemento lineal de
cada nodo para obtener la
siguiente figura:

16
EDO autónomas y campos de direcciones
La figura muestra el
campo de direcciones de
dy/dx = 2y – 2.
Podemos observar que los
elementos lineales que
pasan por los puntos de
cualquier recta horizontal
mantienen la pendiente.
Recordemos que una EDO autónoma es de la forma
dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.

Método de las Isoclinas
El procedimiento para dibujar el campo direccional
puede ser simplificado construyendo primero las
isóclinas.
Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la
derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir:
podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las
soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación.
c
dx
dy
y
17

i) Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma:
Donde c es una constante para varios valores de C.
ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la
isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la
solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c.
Dibujar rectas tangentes con pendiente c
iii) Construir soluciones.
iV) Recordar que las soluciones no se intersecan.
Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO
autónomaNocyxf
autónomacyfy
),(
)(
18

Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: 122
yxy
Las isóclinas está definidas estableciendo
calculamos para c=0, c=4 y c=1
Claramente se puede notar que es un círculo
centrado en el origen.
En cada punto de éstas isóclinas trazamos
los campos direccionales.
cy
Mostramos las posibles curvas de solución,
La superior pasa por (0,1)
La de en medio pasa por (0,0)
La inferior pasa a través de (0,-1)
Obsérvese que cada curva de la solución
sigue el flujo de los elementos de línea en el
campo direccional y que no se cortan.
19

Método de las Isoclinas
a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la
ecuación diferencial:
b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas?
c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el
campo de direcciones y algunas curvas solución.
taller
2
x
y
20

21

Métodos de Solución Analítica
 NO existe un método general para resolver
Ecuaciones Diferenciales, es decir, dada una
ecuación diferencial no tenemos un procedimiento
general para hallar su solución analítica.
 Sin embargo, en algunos casos particulares bien
identificados sí se tienen procedimientos para
calcular dicha solución.
22

 El único método entonces consiste en saber
Identificar el tipo de Ecuación Diferencial que se
quiere resolver.
 Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento
correspondiente.
 Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de
variable que la transforme en un caso conocido.
23

 Si no funciona lo anterior, algunas alternativas
consisten en buscar soluciones:
 Basadas en Series
 Numéricas
 Geométricas
24

25
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Primer Orden y Primer Grado
EDO DE
VARIABLE
SEPARABLE
EDO
REDUCIBLE A
VARIABLE
SEPARABLE
EDOS
HOMOGÉNEAS
EDOS
LINEALES
HOMOGÉNEAS
EDOS
REDUCIBLES A
HOMOGÉNEAS
SUSTITUCIÓN
LINEAL
SUSTITUCIÓN
RACIONAL
SUSTITUCIONES
DIVERSAS
EDOS
REDUCIBLES A
HOMOGÉNEAS
IMPLÍCITAS
EDO EXACTAS
EDO
REDUCIBLES
A EXACTAS

26
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Se las representa de la siguiente forma:
Si despejamos la derivada tenemos:
Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma:
Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable
Separable y la solución general se obtiene por integración
directa.
0),,(
dx
dy
yxF
),( yxg
dx
dy
0)()( dyyNdxxM

Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución
es reescribir la ecuación como una ecuación de
variables separadas:
Donde M(x) es una función exclusivamente de x y N(y)
es una función exclusivamente de y.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
Siendo c una constante de integración.
0)()( dyyNdxxM
cdyyNdxxM )()(
27

Ecuación de variables separadas
• Ejemplo: Resolver la ecuación
• Integramos
• Se obtiene:
• La solución es una
familia de circunferencias
concéntricas con c>0
1
22
22
22
cyxc
xy
0ydyxdx
xdxydy
28

La ED de la forma:
Se denomina ED de variables separables, ya que es
inmediata su reescritura como una ED con variables
separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211
dx
xg
xg
dy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
Debemos tomar en cuenta que: 0)(0)( 21 xgyf
29

Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables tenemos:
Integrando:
Obtenemos:
0)1()1( 22
dyxydxyx
0
)1()1(
22
dy
y
y
dx
x
x
dx
x
x
dy
y
y
)1()1(
22
Cyxyx )1)(1ln(2)1()1( 22
30

Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a
variables separables, por ejemplo:
Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una
ecuación de variables separadas:
tesconssoncbadondecbyaxf
dx
dy
tan,,),(
cdx
zbfa
dz
zbfa
dx
dz
)(
)(
31

Ejemplo: La ecuación
Se puede reescribir como
Donde:
Integrando se obtiene
Regresando a las variables originales:
taller
1)( 2
dx
dy
yx
2
1
1
zdx
dz
cxzz )(tan 1
1
dx
dz
dx
dy
xzyyxz
)cytan(yx
32

33

Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado n si
f(tx,ty)=tn f(x,y)
Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3
ya que:
)3(),( 323
xxyttytxf
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
)3(3)(3),( 323332332
xxytxtxyttxtytxtytxf
34

La Ecuación Diferencial
se denomina Homogénea, si las funciones
Son homogéneas y del mismo grado.
Para solucionarlas, Realizamos el cambio de variable
Con lo cual se transforma en una Ecuación Diferencial de
Variables separables.
Ejemplos:
0),(),( dyyxNdxyxM
),(),( yxNyxM
gradosegundohomogénea,0)()( 222
dyyxydxyx
homogéneaNo0)()( 3222
dyyxydxyx
xduudxdyuxy
35

Otra forma de determinar la Homogeneidad de la
Ecuación Diferencial
Consiste en expresarla de la forma
0),(),( dyyxNdxyxM
x
y
f
yxN
yxM
dx
dy
),(
),(
Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierte a la siguiente
ED de variables separables:
zzf
dx
dz
x
36

Ejemplo:
Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de
tercer grado.
Realizamos el cambio de variable
Se tiene
03)( 233
dyxydxyx
grado3homogénea3),(
3gradohomogénea)(),(
2
33
xyyxN
yxyxM
xduudxdyuxy
0)(3)( 22333
xduudxxxudxxux
37

• Realizando las operaciones tenemos:
Integrado:
Resulta:
Regresando a la variable original se tiene:
0
21
3
3
2
du
u
u
x
dx
du
u
u
x
dx
3
2
21
3
Cux )21( 32
CxyxC
x
y
x 33
3
3
2
3)21(21(
38

Segunda forma:
• Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea
de tercer grado.
03)( 233
dyxydxyx
2
3
3
2
3
33
2
33
3
1
3
)(
3
)(
x
y
x
y
dx
dy
x
xy
x
yx
dx
dy
xy
yx
dx
dy
Haciendo el cambio de variable u = y/x, se convierten a la
siguiente ED de variables separables:
uuf
dx
du
x
39

Segunda forma:
Reemplazando tenemos:
Separando las variables tenemos:
• Integrando:
La solución implícita es:
u
u
u
dx
du
x 2
3
3
1
dx
x
du
u
u 1
21
3
3
2
dx
x
du
u
u 1
21
3
3
2
Cxyx 33
2
40

ED Homogéneas de Primer Orden
Ejemplo: La función
Es homogénea de grado cero y se puede escribir como:
Por lo tanto la ED
Se puede transformar en la ED con variables separables
Donde z=y/x.
32
32
2
3
),(
yyx
xxy
yxf
3
2
2
3
),(
x
y
x
y
x
y
yxf
32
32
2
3
yyx
xxy
dx
dy
z
zz
z
dx
dz
x 3
2
2
3
41

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