Apostila topografia fasb 2010
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Apostila topografia fasb 2010 Apostila topografia fasb 2010 Document Transcript

  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1. INTRODUÇÃO O homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de sobrevivência, orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. No princípio a representação do espaço baseava-se na observação e descrição do meio. Cabe salientar que alguns historiadores dizem que o homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. Com o tempo surgiram técnicas e equipamentos de medição que facilitaram a obtenção de dados para posterior representação. A Topografia foi uma das ferramentas utilizadas para realizar estas medições. A palavra “Topografia” deriva das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen” (descrever), o que significa “a descrição exata e minuciosa de um lugar” (DOMINGUES, 1979). A seguir são apresentadas mais algumas de suas definições: • “A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos utilizados para obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre uma superfície plana” DOUBEK (1989). • “A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987). O objetivo principal é efetuar o levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e desníveis) que permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados para a posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico. A topografia, então, apresenta como finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos elaborados de Engenharia (DOMINGUES, 1979). De acordo com o objetivo supracitado observa-se que a Topografia é imprescindível para qualquer projeto ou obra realizada por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, sistemas de irrigação e drenagem, implantação de culturas, reflorestamento, paisagismo, trabalhos de obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, usinas hidrelétricas, telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo, etc., se desenvolvem em função do terreno sobre o qual assentam (DOMINGUES, 1979). Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto, quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço. Na Topografia trabalha-se com medidas (lineares e angulares) realizadas sobre a superfície da Terra e a partir destas medidas são calculados áreas, volumes, coordenadas, etc. Além disto, estas grandezas poderão ser representadas de forma gráfica através de mapas Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] ou plantas. Para tanto é necessário um sólido conhecimento sobre instrumentação, técnicas de medição, métodos de cálculo e estimativa de precisão (KAHMEN; FAIG, 1988). A Topografia pode ser entendida como parte da Geodésia, ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensões da Terra. Muitas vezes a Topografia é confundida com a Geodésia pois se utilizam dos mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade mapear uma pequena porção daquela superfície (área de raio até 30 km), a Geodésia, te por finalidade, mapear grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito mais abrangente. Geodésia O termo Geodésia, em grego Geo = terra, désia = 'divisões' ou 'eu divido', foi usado, pela primeira vez, por Aristóteles (384-322 a.C.), e pode significar tanto 'divisões (geográficas) da terra' como também o ato de 'dividir a terra' (por exemplo entre proprietários). A Geodésia é uma Engenharia e, ao mesmo tempo, um ramo das Geociências. Ela trata, global e parcialmente, do levantamento e da representação da forma e da superfície da terra com as suas feições naturais e artificiais. A Geodésia é a ciência da medição e representação da superfície da Terra.. Helmert (1880) Na visão de Torge (1991), a Geodésia pode ser dividida em três grupos: Geodésia Global, Geodésia Local e levantamentos no plano topográfico.(Topografia) A Geodésia Global é responsável pela determinação da figura da Terra e do seu campo gravitacional externo. A Geodésia local estabelece as bases para determinação da superfície e campo gravitacional de uma região da terra, um país, por exemplo. Neste caso implanta-se um grande número de pontos de controle formando as redes geodésicas e gravimétricas que servirão de base para os levantamentos no plano topográfico. Os levantamentos no plano topográfico são responsáveis pelo detalhamento do terreno inclusive cadastro e levantamentos para engenharia. Alguns autores classificam a Topografia como Geodésia Inferior. De acordo com BRINKER;WOLF (1977), o trabalho prático da Topografia pode ser dividido em cinco etapas: 1) Tomada de decisão, onde se relacionam os métodos de levantamento, equipamentos, posições ou pontos a serem levantados, etc. 2) Trabalho de campo ou aquisição de dados: fazer as medições e gravar os dados. 3) Cálculos ou processamento: elaboração dos cálculos baseados nas medidas obtidas para a determinação de coordenadas, volumes, etc. 4) Mapeamento ou representação: produzir o mapa ou carta a partir dos dados medidos e calculados. 5) Locação. 1.1 Áreas de atuação Os Técnicos em Geomensura poderão atuar em empresas públicas ou privadas e como profissionais liberais nas mais diversas áreas, tais como: projetos e locação de estradas, construção de obras de engenharia, levantamento topográfico, cadastramento, reflorestamento, Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] construção de barragens, açudes, hidrovias e irrigação, telefonia, eletrificação e abastecimento de água, mineração e prospecção mineral, cartografia, aerolevantamentos e sensoriamento remoto, controle, fiscalização e preservação do meio ambiente. O Técnico em Geomensura possui habilitação para executar os seguintes serviços técnicos: a - Levantamentos Topográficos; b - Levantamentos Geodésicos; c - Foto-interpretação; d - Projetos de Loteamentos (levantamento e locação); e - Desmembramentos; f - Locações de Obras; g - Cadastro Técnico; h – Georreferenciamento. Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto, fornecendo informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando locações e fazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Conceitos fundamentais usados no posicionamento terrestre Geomática Geomática, conforme a definição nos Referenciais Curriculares Nacionais(2000) , consiste em um campo de atividades que, usando uma abordagem sistemática, integra todos os meios utilizados para a aquisição e gerenciamento de dados espaciais necessários como parte de operações científicas, administrativas, legais e técnicas envolvidas no processo de produção e gerenciamento de informações espaciais. Agrimensura Agrimensura é a área que trata da medição, demarcação e divisão legal da propriedade, usando métodos topográficos e geodésicos de acordo com as prescrições legais,normas técnicas e administrativas em vigor. Geomensura Geomensura é a área da atuação que trata das questões legais das propriedades territoriais. Possui amplos conhecimentos jurídicos e das técnicas de medições (Geodésia), além dos conhecimentos técnicos, sociais e de informática. Possui uma ligação muito grande com levantamento e mapeamento, integrando elementos como topografia, cartografia, hidrografia, geodésia e agrimensura com as novas tecnologias. Plano topográfico Plano topográfico; é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum vertical brasileiro; a - o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão; b - a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; c - o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das peculiaridades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada importante. (NBR 13133/1994). Ponto topográfico Ponto Topográfico é uma posição de destaque, estrategicamente situado na superfície terrestre. Dentro deste contexto podemos destacar: Pontos cotados: Pontos que, nas suas representações gráficas, se apresentam acompanhados de sua altura. Pontos de apoio: Pontos, convenientemente distribuídos, que amarram o terreno ao levantamento topográfico e, por isso, devem ser materializados por estacas, piquetes, marcos de concreto, pinos de metal, tinta, dependendo da sua importância e permanência. Pontos de detalhe: Pontos importantes dos acidentes naturais e/ou artificiais,definidores da forma do detalhe e/ou do relevo, indispensáveis à sua representação gráfica.(NBR 13133). Alinhamento topográfico É um alinhamento definido por dois pontos topográficos. Serve de origem para o levantamento dos detalhes da superfície. 1.2 Representação Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica. Podemos dizer então que, não só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal. A esta projeção ou imagem figurada do terreno chamamos de Planta ou Plano Topográfico. A figura abaixo (ESPARTEL, 1987) representa exatamente a relação da superfície terrestre e de sua projeção sobre o papel. SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA E PLANTA TOPOGRÁFICA. 1.3 Levantamento topográfico De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: “Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré- determinada e/ou pontos cotados.” Os levantamentos topográficos compreendem o conjunto de atividades dirigidas para as medições e observações que se destinam a representação do terreno em um plano ou desenho topográfico em escala. Podem ser executados para fins : a - de controle; fornecem arcabouço de pontos diversos com coordenadas e altitudes, destinadas à utilização em outros levantamentos de ordem inferior. b - legais cadastrais; destinado ao levantamento, detalhamento e avaliação de áreas rurais ou urbanas, enfatizando a quantificação da ocupação humana e suas intervenções. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] c - para fins de engenharia; empregado na locação, instalação e construção de obras civis de engenharia e serviço de parcelamento de imóveis etc. d - topográficos; destinados ao levantamento da superfície topográfica, seus acidentes naturais, culturais e a configuração do terreno. O Levantamento Topográfico pode ser entendido como um conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos e distâncias com instrumentos adequados, implanta e materializa pontos para o detalhamento topográfico necessário. Com os dados de campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na forma de mapas, perfis longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução de um levantamento topográfico, além da necessidade de se conhecer os instrumentos utilizados nas medições requer conhecimentos de geometria, trigonometria plana e esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua compensação. O Levantamento topográfico pode ser dividido em: 1) Levantamento Topográfico Planimétrico Levantamento dos limites e confrontações de uma propriedade, pela determinação do seu perímetro, incluindo,quando houver, o alinhamento da via ou logradouro com o qual faça frente, bem como a sua orientação e a sua amarração a pontos materializados no terreno de uma rede de referência cadastral, ou, no caso de sua inexistência, a pontos notáveis e estáveis nas suas imediações. Quando este levantamento se destinar à identificação dominial do imóvel, são necessários outros elementos complementares, tais como: perícia técnico-judicial, memorial descritivo, etc. Compreende o conjunto deoperações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y (representação bidimensional). 2) Levantamento Topográfico Altimétrico Levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma superfície de referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-se o conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície levantada. Compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência, terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de nível através de suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional). 3) Levantamento Topográfico Planialtimétrico Levantamento topográfico planimétrico acrescido da determinação altimétrica do relevo do terreno e da drenagem natural. A figura seguinte ilustra o resultado de um levantamento topográfico planialtimétrico de uma área. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] DESENHO REPRESENTANDO O RESULTADO DE UM LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO. Podemos então dizer que, classicamente, a Topografia é dividida em Topometria e Topologia. A Topometria é o conjunto de métodos abrangidos pela planimetria e pela altimetria, e é mais conhecida como Planialtimetria. A Topologia, por sua vez, utilizando-se dos dados obtidos através da topometria, tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno e das leis que regem o seu modelado. É importante ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos e executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda, ambos os levantamentos. Como exemplo podemos citar o dimensionamento de um sistema de irrigação, que exige o Levantamento Planialtimétrico da área à ser irrigada. 1.4 Sistemas de Coordenadas Um dos principais objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. Para tanto, é necessário que estas sejam expressas em um sistema de coordenadas. São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição tridimensional de pontos: sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de coordenadas esféricas. 1.4.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional. No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X e Y. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. Na abaixo é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15). REPRESENTAÇÃO DE PONTOS NO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura abaixo. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, DEXTRÓGIRO E LEVÓGIRO. Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981, não paginado). Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90 no sentido anti-horário. Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido horário. 1.4.2 Sistemas de coordenadas esféricas Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca, conforme a figura abaixo, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β). A próxima figura ilustra este sistema de coordenadas. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS. Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional: 1.5 Superfícies de Referência Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície. 1.5.1 Modelo Esférico Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é representada como se fosse uma esfera. O produto desta representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou seja, o terreno representado segundo este modelo apresenta-se bastante deformado no que diz respeito à forma de suas feições e à posição relativa das mesmas. Um exemplo deste tipo de representação são os globos encontrados em livrarias e papelarias. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] GLOBO TERRESTRE. Uma vez analisados os modelos utilizados para representação da superfície terrestre e tendo como princípio que o Elipsóide de Revolução é o modelo que mais se assemelha à figura da Terra, é importante conhecer os seus elementos básicos. A próxima figura permite reconhecer os seguintes elementos: FIGURA MOSTRANDO AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS, EQUADOR E MERIDIANO DE ORIGEM. - Linha dos Pólos ou Eixo da Terra: é a reta que une o pólo Norte ao pólo Sul e em torno do qual a Terra gira (Movimento de rotação). - Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos. - Paralelos: são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do Equador. Os Paralelos mais importantes são: Trópico de Capricórnio (Ф = 23o 23’ S) e Trópico de Câncer (Ф = 23o 23’ N). Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] - Meridianos: são as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos paralelos. - Vertical do lugar: é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta linha é materializada pelo “fio de prumo” dos equipamentos de medição (teodolito, estação, nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a força da gravidade. - Normal ao Elipsóide: é toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de referência. Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar. - Pontos da vertical do lugar: o ponto (Z = ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o ponto (Z’ = NADIR) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na definição de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com origem Z ou em Z’. - Plano horizontal do observador: é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica num ponto qualquer desta superfície. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. TERRA ESFÉRICA - COORDENADAS ASTRONÔMICAS. - Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o Equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. FIGURA INDICANDO A LATITUDE Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] - Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich. FIGURA INDICANDO A LONGITUDE - Coordenadas geográficas (Φ, Λ): é o nome dado aos valores de latitude e longitude que definem a posição de um ponto na superfície terrestre. Estes valores dependem do elipsóide de referência utilizado para a projeção do ponto em questão. 1.5.2 Modelo Elipsoidal É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal. A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução, conforme pode ser observado na figura à seguir. O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação. a = semi-eixo maior da elipse b = semi-eixo menor da elipse Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO. As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas na figura abaixo: - Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. - Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste. A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. COORDENADAS ELIPSÓIDICAS. No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são: a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222101 Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.5.3 Modelo Geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura seguinte são representados de forma esquemática a superfície Topográfica da Terra, elipsoidal e o geoidal. RELAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA, ELIPSOIDAL E GEOIDAL. O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado. As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura seguinte ilustra este conceito. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] VERTICAL 1.5.4 Modelo plano Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km. Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são: a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas: Δl (mm) = - 0,001 l3 (km) Δh (mm) = +78,1 l2 (km) Δh´(mm) = +67 l2 (km) onde: Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm. Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em mm. l = distância considerada no terreno, em km. d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante. Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma: Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste). A seguinte figura ilustra este plano: PLANO EM TOPOGRAFIA Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo, na figura abaixo: EIXOS DEFINIDOS POR UMA DIREÇÃO NOTÁVEL. 1.5.4.1 Efeito da curvatura na distância e altimetria A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura à seguir tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico. EFEITO DA CURVATURA PARA A DISTÂNCIA A diferença entre S´e S será dada por: ΔS = S´ – S (1) Calculando S e S´e substituindo na equação (1) tem-se: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] S’ = R tg θ (2) S=Rθ (3) ΔS = R tgθ - R θ (4) ΔS = R (tg θ − θ) (5) Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos: (6) (7) onde θ = S/R, logo: (8) (9) A tabela à seguir apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias. EFEITO DA CURVATURA PARA DIFERENTES DISTÂNCIAS. S (km) ∆s 1 0,008 mm 10 8,2 mm 25 12,8 cm 50 1,03 m 70 2,81 m Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura observada anteriormente: EFEITO DA CURVATURA NA ALTIMETRIA. Analisando a figura acima é possível perceber que: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Isolando Δh na equação anterior: De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que: tem-se: A tabela à seguir apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias: EFEITO DA CURVATURA NA ALTIMETRIA. S ∆s 100 m 0,8 mm 500 m 20 mm 1 km 78 mm 10 km 7,8 m 70 km 381,6 m Como pode ser observado através das tabelas, o efeito da curvatura é maior na altimetria do que na planimetria. Durante os levantamentos altimétricos alguns cuidados são tomados para minimizar este efeito, com será visto nos capítulos posteriores. 1.6 Teoria dos erros 1.6.1 Conceitos 1.6.1.1 Erro Absoluto verdadeiro: é a diferença, em valor absoluto, existente entre a medição de uma grandeza física e o seu verdadeiro valor. Na prática não se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza física; conhece-se o valor mais provável desta grandeza. 1.6.1.2 Erro absoluto aparente (e): é a diferença, em valor absoluto, existente entre a medição de uma grandeza física (Xi) e o seu valor mais provável ( ). Daqui para frente será chamado apenas de erro absoluto. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.1.3 Resíduo ou desvio ou erro (r): designação dada para a conceituação anterior, quando se considera o sinal da diferença existente entre as duas medidas. 1.6.1.4 Discrepância: é a diferença existente entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza física, obtidas por dois experimentadores diferentes. As vezes é designada incorretamente pela palavra erro. 1.6.1.5 Erro relativo (er): é a relação existente entre o erro absoluto e o valor mais provável da grandeza ( ). Este erro é mais importante para avaliar a qualidade de uma medida que o erro absoluto. Matematicamente, tem-se: 1.6.1.6 Valor mais provável de uma grandeza física ( ): é a média aritmética das medidas efetuadas, desde que mereçam a mesma confiança. 1.6.1.7 Erro absoluto médio (em): é a média aritmética dos erros absolutos cometidos em um certo número de medidas (n). 1.6.1.8 Erro médio quadrático ou desvio padrão (s): é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos resíduos, a menos de um grau de liberdade. 1.6.1.9 Erro tolerável (et): é dado pelo triplo do erro médio quadrático. Na prática, medidas cujos resíduos são maiores que o erro tolerável, devem ser abandonadas. 1.6.1.10 Precisão: é a tolerância do erro de medição para um determinado medidor. Portanto, se o erro tolerável for atendido, as medidas são consideradas precisas. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.1.11 Precisão absoluta: quando expressa em percentagem de toda a faixa da escala de medidas. Seja, por exemplo, um medidor de vazão com escala de zero a 200m3/h, com precisão de ± 1% de fundo de escala (f.e); isto significa que a tolerância de erro é de ± 2m 3/h, em qualquer ponto da escala. 1.6.1.12 Precisão relativa: quando expressa em percentagem do valor instantâneo da escala de medidas. Seja o mesmo exemplo anterior, com precisão de ± 1% do valor instantâneo (v.i); significa que quando o ponteiro indicar uma vazão de 80m3/h, a tolerância de erro é de ± 0,80m3/h. A precisão de ± 1% em v.i é obviamente melhor que a precisão de ± 1% em f.e. 1.6.1.13 Exatidão: aquilo que está de acordo com uma referência tomada como padrão (referência verdadeira). Uma medida precisa não significa que seja exata. Pode-se dizer que um grupo de medidas mostra precisão se os resultados concordam entre si; a concordância não é, contudo, uma garantia de exatidão, visto poder haver alguma pertubação sistemática, que faça todos os valores estarem em erro. Suponha-se, por exemplo, que um pesquisador esteja comparando duas escalas (A e B) com uma terceira escala considerada como padrão (C). O grupo de medidas feitas com a escala (A) concordam entre si mas não concordam com as medidas feitas pela escala (C); já o grupo de medidas feitas pela escala (B) além de concordarem entre si, concordam também com a escala (C). Isto significa que a escala (A) é precisa mas não é exata e a escala (B) é precisa e exata, devendo ser a escolhida para as medidas. 1.6.1.14 Erros grosseiros ou enganos: decorre da falta de cuidado ou falta de prática do observador. São exemplos de erros grosseiros: • erros de leitura: ler 28,3 no lugar de 23,8; • erros de cálculo; • leitura errada de uma escala; • erros de paralaxe: para evitar este erro, a leitura deve ser feita sempre em posição normal à escala; se a leitura for feita em posição inclinada, comete-se o erro de paralaxe. Os erros grosseiros podem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições, um resultado muito discordante dos outros deve ser abandonado. Na verdade, a vantagem de se tomar, pelo menos, três leituras não está no uso do valor médio, mas na confiança adquirida, quando os valores concordam, de não se ter cometido erros grosseiros. Os erros desse tipo não estão sujeitos a tratamento matemático. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.1.15 Erros sistemáticos ou constantes ou regulares: caracterizam-se por ocorrerem sempre em um mesmo sentido e conservarem, em medições sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das imperfeições do observador, do instrumento e do método usado. a) Erros sistemáticos introduzidos pelo observador. Exemplos: • Atraso ou adiantamento ao acionar um cronômetro; • Erros cometidos por deficiência de visão. b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento. Exemplos: • Utilização de uma escala em temperatura diferente daquela em que foi aferida; • Deslocamento do zero do instrumento; • Uso de um cronômetro que atrasa ou adianta; • Uso de instrumentos em condições diferentes daquelas para as quais foram calibrados. c) Erros sistemáticos introduzidos pelo método. Exemplos: • Determinação do peso de um corpo no ar em lugar de fazê-lo no vácuo (o empuxo do ar falseia o resultado); • Utilização de um método baseado em uma equação matemática não representativa da realidade física do fenômeno. Os erros pessoais, sempre que possível, podem ser minimizados substituindo-se o observador humano por um mecânico, ou elétrico etc. Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do aparelho por comparação com um padrão de confiança; uma curva de calibração ou uma tabela de correção podem ser elaboradas para serem corrigidos os erros. Em muitos casos, os erros sistemáticos devio ao método podem ser calculados e os resultados corrigidos. 1.6.1.16 Erros acidentais ou aleatórios ou residuais ou experimentais: decorrem de causas desconhecidas sobre as quais não se tem controle. Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso quaisquer que sejam os observadores, os instrumentos e os métodos. Eles respondem pela disperção das medidas. Dentre os erros acidentais, destacam-se: • Erro absoluto; • Erro relativo; • Erro absoluto médio ou erro promédio ou erro médio; Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] • Erro médio quadrático; e • Erro tolerável. 1.6.2 Algarismos significativos 1.6.2.1 Conceito: algarismos significativos ou simplesmente significativos de uma medida são seus algarismos contados a partir do primeiro diferente de zero e o seu primeiro algarismo duvidoso. O primeiro algarismo duvidoso é indicado pelo primeiro algarismo significativo do erro máximo cometido na medição. Exemplos: a) 73,202 m ± 0,02 m Significa que o erro máximo cometido na medição (± 0,02 m) já afeta a segunda casa decimal da medida. Portanto, a medida tem apenas quatro algarismos significativos e a notação correta é: 73,20 m ± 0,02 m. b) Em muitos casos o erro máximo não é indicado explicitamente. Assim, fica implícito que o último algarismo é duvidoso, sendo o erro máximo, de uma unidade da casa incerta. Quando se escreve, por exemplo, a medida de 28,5 cm, subentende-se que é o mesmo que escrever 28,5 cm ± 0,1 cm. Nesse caso, a medida tem três algarismos significativos. c) A notação científica simplificada, em muito, a definição dos algarismos significativos de uma medida. Seja, por exemplo, a medida de 0,040 m que, em notação científica fica escrita como 4,0 x -2 10 , tendo portanto dois algarismos significativos. d) Outros exemplos: • 27,40 m = 2,740 x 10 m, tem quatro significativos • 0,0028 kg = 2,8 x 10-3 kg, tem dois significativos • 33 cv = 3,3 x 10 cv, tem dois significativos • 3260 cm ± 10 cm, tem três significativos, porque a casa das dezenas já é duvidosa 1.6.3 Arredondamento Em muitos casos, conhece-se uma medida com mais significativos que os necessários a determinado fim. Nestes casos, o último algarismo de um número obtido por arredondamento, deve ser acrescido de uma unidade caso o primeiro algarismo posterior a ele seja igual ou superior a cinco. Se for menor do que cinco, permanece com o mesmo valor. Exemplo; uma medida de 85,328 cm feita com uma precisão de 0,03 cm, deverá ter apenas quatro significativos, ou seja: 85,33 cm. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.4 Operações com algarismos significativos 1.6.4.1 Adição e subtração Para somar ou subtrair algarismos significativos deve-se usar todos os termos com o mesmo número de casas decimais; o termo que possui menos casas decimais indica o número de casas decimais a serem usadas. Exemplos: a) 32,5 + 0,02 + 17,25 = 32,5 + 17,3 = 49,8 b) 25 + 3,86 + 0,9 + 2,13 = 25 + 4 + 1 + 2 = 32 c) 35,98 – 0,4 = 36,0 – 0,4 = 35,6 Quando os algarismos significativos vem acompanhados da notação ±, as parcelas de dúvida são consideradas aditivas tanto para a soma quanto para a diferença. Exemplos; a) (637 ± 0,63%) – (426 ± 0,47%) = (637 ± 4) – (426 ± 2) = 211 ± 6 = 211 ± 2,84% Note-se que as parcelas de dúvida são consideradas aditivas, porque a presença de uma dúvida ± significa que uma quantidade pode estar acima (637 ± 4) e a outra abaixo (426 – 2) do valor verdadeiro o que aumenta a faixa de dúvida em termo percentuais. b) (427 ± 1,0%) + (392 ± 2,0%) = (427 ± 4) + (392 ± 8) = 819 ± 12 = 819 ± 1,5% Nota-se que a faixa de dúvida em termos percentuais se mantém aproximadamente na mesma faixa de dúvida que as duas parcelas, no caso da soma. 1.6.4.2 Multiplicação e divisão Para multiplicar ou dividir algarismos significativos, deve-se proceder conforme a seguir: a) arredondar todas as medidas para o mesmo número de significativos daquela que contiver menos significativos; b) se, no item anterior, o primeiro significativo da medida a ser arredondado for a unidade, arredondá-lo (e somente ele) com mais significativos; c) o resultado final conterá o mesmo número de significativos daquela medida que contiver menos significativos. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Exemplos: a) 1732,83 x 0,25 = (1,7 x 103) x (2,5 x 10-1) = 4,25 x 102 Como o menor número de significativos é dois, o resultado final é 4,3 x 102 b) 3,1416 + 0,0125 = 3,14 + 0,0125 = 251,2 = 251 c) 1.6.4.3 Logarítmo decimal A mantissa do logarítmo decimal de um número com n significativos deve ser tomada com n decimais. Exemplo: Log 158 = 2,19856 = 2,199 1.6.5 Propagação dos erros no resultado final Tendo sido estimado o erro de cada variável medida, será então necessário combiná-los entre si para obter-se o erro no resultado final. Admitindo-se que uma grandeza física G seja determinada a partir de várias outras grandezas x, y, z, ....., é válido imaginar-se entre elas uma relação do tipo: G = G (x, y, z, .....,) (1) A lei de propagação dos erros permite determinar o erro de G em função dos erros que corresponde a cada um dos valores de x, y, z, .... O erro que afeta G e as demais grandezas recai principalmente sobre o observador. Uma calibração cuidadosa dos instrumentos, medidas feitas com atenção e o exame crítico dos dados, permite ao observador experimental reduzir o erro nas medidas. Isto permite dizer que a ocorrência dos erros pequenos são mais prováveis que os erros grandes. Usualmente assume-se a distribuição dos erros como normal. Geralmente o erro atribuído à grandeza x não guarda nenhuma relação com os erros atribuídos a y e a z; são ditos independentes. Assumindo as considerações anteriormente feitas, para pequenas variações ou incrementos em x, y, z, ... em torno de seus valores médios, assinalados por dx, dy, dz, a variação dG, resultante para G, na equação 1, é: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] (2) Elevando-se ambos os membros da equação anterior ao quadrado, tem-se: (3) Como x, y, z, ... representam a média aritmética de um grande número de observações e os valores positivos de um incremento têm igual probabilidade de estarem associados a valores positivos ou negativos de outros incrementos, é de se esperar que a soma dos termos de duplo produto tenda para zero, ficando a equação 3 reescrita como: (4) As variações dG, dx, dy, dz, ... representam, na realidade, os erros absolutos eG, ex, ey, ez, ... cometidos nas medições x, y, z, ..., o que permite finalmente reescrever a equação 4 como: (5) 1.6.5.1 Casos especiais de propagação de erros a) Soma de grandezas (x, y, z,...) G = x + y + z + ... Todas as derivadas parciais são iguais a unidade, que levada à equação 5 obtêm-se: (6) b) Diferença de grandezas (x, y). G=x–y Neste caso e , que levados à equação 5, resulta: (7) Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] A equação 7 mostra que mesmo numa diferença os erros quadráticos se somam. 1.6.5.2 Outra expressão para propagação de erros. A expressão apresentada para a propagação de erros no resultado final, pode ser obtida de maneira bastante simples mediante a consideração de erros relativos e por meio da diferenciação logarítmica (logarítmo neperiano) da expressão: G = G (x, y, z, ...), desde que apresentada na forma de monômio. Exemplo: G = m xa y-b zc (a, b, c = constantes) lnG = lnm + a ln x – b ln y + c ln z , Elevando-se ambos os membros ao quadrado, tem-se: , (8) Já que a soma dos termos de duplo produto tende para zero para um grande número de observações. Chamamos de: = erro relativo do resultado final; = erro relativo da grandeza x; = erro relativo da grandeza y; e = erro relativo da grandeza z. A equação 8 pode ser escrita como: (9) Na equação anterior as constantes a, b, e c são os expoentes das variáveis x, y e z, respectivamente. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.6 Exercícios de Aplicação 1.6.6.1 Ao realizar-se uma série de 9 medições, encontrou-se os seguintes valores: 24,2 mm; 24,5 mm; 24,8 mm; 24,3 mm; 24,7 mm; 24,4 mm; 24,7 mm; 24,3 mm e 24,6 mm. a) Alguma medida deve ser desprezada? b) Qual o valor mais provável da grandeza? c) Qual o erro absoluto médio? RESPOSTA Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1.6.6.2 Quantos algarismos significativos tem cada um dos seguintes números: a) 302 d) 0,0003 b) 302,10 e) 25,8 cm ± 1cm c) 0,00030 f) 2,508 ± 0,30 RESPOSTA 1.7 Erros em Topografia Todas as medidas ou observações feitas,estão afetadas de erros de diferentes classes. Assim é impossível determinar a verdadeira magnitude de uma distância ou de um ângulo medido. O valor exato fica somente na nossa imaginação. Não se pode obter mais que o valor provável. Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros. Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser: 1) Naturais: são aqueles causados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. Alguns destes erros são classificados como erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. São passíveis de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a medição. 2) Instrumentais: são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhosutilizados nas medições. Alguns destes erros são classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos. 3) Pessoais: são aqueles ocasionados pela falta e cuidado do operador. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do números de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora do prumo, aparelho fora de nível, etc. São classificados como erros grosseiros e não devem ocorrer jamais pois não são passíveis de correção. É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa necessariamente estar correto. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser classificados em: • Erros grosseiros; • Erros sistemáticos; • Erros aleatórios; • Erros de arredondamento. 1.7.1 Erros grosseiros Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. Alguns exemplos de erros grosseiros: • anotar 196 ao invés de 169; • engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena. Este tipo de erro é descoberto repetindo-se a medição, isto é, fazendo medições de controle. 1.7.2 Erros sistemáticos São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho. Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas específicas: • efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância; • correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. Estes erros devem ser eliminados na medida do possível, tomando-os em conta nos cálculos, pelo conhecimento de sua magnitude determinada anteriormente, usando métodos de medição apropriados e aferindo cuidadosamente os instrumentos. Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 1.7.3 Erros acidentais ou aleatórios Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] O termo acidental não tem aqui conotação de acidente e sim imprevisibilidade. Os erros acidentais são as imprevisões inevitáveis que afetam cada medida. São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande. Somente estes erros irregulares e acidentais são considerados na compensação e no ajustamento através de estatística. De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. 1.7.3.1 Peculiaridade dos erros acidentais • Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais prováveis; • Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, ou são igualmente prováveis; • A média dos resíduos é aproximadamente nula; • Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar próximo ao valor real. Exemplo de erros acidentais: • Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; • Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 1.7.4 Erros de arredondamento São proporcionados por conseqüência da facilidade de manipulação numérica inadequada, normalmente causados pelo uso de números com poucas casas decimais. O arredondamento deve ser compatível com a precisão da medição e devem ser aplicados nos resultados finais, ou seja, na apresentação dos resultados, assim minimizando o possível erro. A Tabela a seguir apresenta uma regra de arredondamento de valores estabelecida pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). Em metrologia e áreas correlatas é sugerido que o arredondamento e compatibilização de valores sejam aplicados nos resultados finais, ou seja, na apresentação dos resultados, assim minimizando o possível erro. Tabela: Em conformidade com a Resolução nº 886/66 do IBGE, o arredondamento é efetuado da seguinte maneira: CONDIÇÕES PROCEDIMENTOS EXEMPLOS Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] O último algarismo a permanecer fica <5 53,724 passa a 53,72 inalterado. 42,687 passa a 42,69 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a >5 25,608 passa a 25,61 permanecer. 53,299 passa a 53,30 (i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um 2,1352 passa a 2,14 algarismo diferente de zero, aumenta-se uma 25,16501 passa a 25,17 unidade no algarismo a permanecer. 76,1250002 passa a 76,13 =5 (ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só 24,475 passa a 24,48 seguirem zeros, o último algarismo a ser 24,465 passa a 24,46 conservado só será aumentado de uma 24,67500 passa a 24,68 unidade se for ímpar. 24,96500 passa a 24,96 1.8 Precisão e acurácia A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. Podemos dizer também que a precisão de uma dada grandeza retrata o “nível de aderência ou grupamento entre os valores observados, sua repetibilidade ou grau de dispersão”. Ainda que por vezes empregado indistintamente para quantificar o grau de confiabilidade de uma grandeza, o conceito de precisão não deve ser confundido com o de acurácia. A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios (estocásticos) e sistemáticos (determinísticos). Isso significa que a sua avaliação só pode acontecer se conhecido este “valor verdadeiro”. A figura a seguir ilustra estes conceitos. PRECISÃO E ACURÁCIA O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. 1.9 Exercícios: 1) Qual a diferença entre precisão e acurácia? 2) Quais são as fontes de erro existentes numa medição? Fale sobre cada um deles. 3) Como podem ser classificados os erros existentes na topografia? Comente sobre eles. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2. REVISÃO MATEMÁTICA Neste capítulo é realizada uma revisão de unidades e trigonometria, necessária para o estudo dos próximos temas a serem abordados. 2.1 Unidades de medida 2.1.1 Medida de comprimento (metro) A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra. Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI). PREFIXOS Valor Valor Nome Símbolo Nome Símbolo Numérico Numérico Deca 101 da deci 10-1 d Hecto 102 H centi 10-2 c Kilo 103 K mili 10-3 m Mega 105 M micro 10-5 μ Giga 109 G nano 10-9 n Tera 1012 T pico 10-12 p 2.1.2 Medida angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos) 2.1.2.1 Radiano Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos. 2πR — 360º arco = R = raio REPRESENTAÇÃO DE UM ARCO DE ÂNGULO. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2.1.2.2 - UNIDADE SEXAGESIMAL Grau 1 grau = 1/360 da circunferência grau ° → 1° = (π /180) rad minuto ’ → 1’ = 1°/60= (π/10800) rad segundos ” → 1” = 1°/3600= (π/648000) rad 2.1.2.3 - UNIDADE DECIMAL Grado 1 grado =1/400 da circunferência Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”. 2.1.2.4 EXERCÍCIOS: 1) Transformação de ângulos: Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau. a) 32º 28’ 59” = 32 = 32, 48305556º b) 17º 34’ 18,3” = 17 = 17,57175º c) 125º 59’ 57” = 125 = 125,9991667º 2) Soma e subtração de ângulos: 30º20’ + 20º 52’ = 51º12’ 28º41’ + 39°39’ = 68°20’ 42º30’ – 20°40’ = 21°50’ 2.1) Utilizando a calculadora: 30,20 →DEG = 30,3333333 + 20,52 →DEG = 20,86666667 = 51,20000 2ndF →DEG = 51º 12’ 2.2) Sem a utilização de calculadora: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo: Já para a transformação de graus decimais para graus, minutos e segundos, é necessário manter um mínimo de 6 casas decimais para obter o décimo do segundo com segurança. 3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo: Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente: 1º) transformar para graus decimais ou radianos: 22º 09’ 04” = 22,1511111º = 0.386609821864rad 2º) aplicar a função trigonométrica desejada: sen(22,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629 cos(22,1511111º) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648 tg(22,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411 Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir: Para o ângulo citado acima: α = 22º 09’ 04” Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen 22,0904 = 0,376069016 Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen 22,1511111º = 0,377050629 Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado. Δx = 300 . sen 22,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m Δx = 300 . sen 22,15111110 = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m Logo, uma diferença de 29,4 cm. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2.2 - REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegação, Agrimensura e Astronomia. 2.2.1 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações: TRIÂNGULO RETÂNGULO Seno Cosseno Tangente 2.2.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS “O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2.3 - EXERCÍCIOS 1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas. Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão, como pode ser visto no exemplo acima. 2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio. RESPOSTA Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 3) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h. RESPOSTAS 2.4 - RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: Onde: • b, c: catetos; • h: altura relativa à hipotenusa; • a: hipotenusa; • m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. As seguintes relações métricas podem ser definidas: a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b2 = a . n c2 = a . m b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. b.c=a.h c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h2 = m . n d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) 2.5 - EXERCÍCIO A partir da primeira relação métrica, deduzir o Teorema de Pitágoras. b2 = a . n c2 = a . m b2 + c2 = a . m + a . n b2 + c2 = a . (m + n) como: (m + n) = a , então b2 + c2 = a . (a) ou b2 + c2 = a2 Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2.6 - TRIÂNGULO QUALQUER 2.6.1 - LEI DOS SENOS “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”. 2.6.2 - LEI DOS COSSENOS “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A 2.7 – EXERCÍCIO Um topógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxílio de um teodolito. Calcule a distância entre as balizas. DC = ? Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] RESPOSTA 3. ESCALAS Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel. Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distânicas são reduzidas segundo uma razão constante. É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel uma certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, teremos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho técnico: procedimentos) define escala como sendo a relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto. Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala: onde: M = denominador da escala; d = distância no desenho; D = distância no terreno. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Por exemplo, se uma feição é representada no desenho com um centímetro de comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala de representação utilizada é de 1:10.000. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da escala deve- se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por exemplo: d = 5 cm D = 0,5 km As escalas podem ser de redução (1:n), ampliação (n:1) ou naturais (1:1). Em Topografia as escalas empregadas normalmente são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. Logicamente que não é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho. Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande (1:10.000, 1:500.000, etc.). O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimensão (unidade). Escrever 1:200 significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm no desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milímetro do desenho corresponde a 200 milímetros no terreno. Como as medidas no desenho são realizadas com uma régua, é comum estabelecer esta relação em centímetros: Desenho Terreno 1 cm 200 cm 1 cm 2m 1 cm 0,002 km É comum medir-se uma área em um desenho e calcular-se sua correspondente no terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50. Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), não interessa qual é esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho. A área do quadrado no desenho (Ad) será: QUADRADO 2u x 2u. Ad = 2u . 2u => Ad = 4u2 (3) A área do quadrado no terreno (At) será então: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] At = (50 . 2u) . (50 . 2u) At = (2 . 2) . (50 . 50) u2 At = 4u2 . (50 . 50) (4) Substituindo a equação (3) na (4) e lembrando que M=50 é o denominador da escala, a área do terreno, em função da área medida no desenho e da escala é dada pela equação (5). At = Ad . M2 (5) 3.1 - PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicações. PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES. Aplicação Escala Detalhes de terrenos urbanos 1:50 Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000 1:1000 Planta de propriedades rurais 1:2000 1:5000 Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou 1:5000 industriais 1:10 000 1:25 000 1:50 000 Cartas de municípios 1:100 000 Mapas de estados, países, continentes ,etc. 1:200 000 a 1:10 000 000 3.2 – EXERCÍCIO 1) Qual das escalas é maior 1:1. 000.000 ou 1:1000? 2) Qual das escalas é menor 1:10 ou 1:1000? 3) Determinar o comprimento de um rio onde a escala do desenho é de 1:18000 e o rio foi representado por uma linha com 17,5 cm de comprimento. 4) Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 km. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5) Com qual comprimento uma estrada de 2500 m será representada na escala 1:10000? 6) Calcular o comprimento no desenho de uma rua com 30 m de comprimento nas escalas abaixo. Escala Comprimento 1:100 1:200 1:250 1:500 1:1000 7) Um lote urbano tem a forma de um retângulo, sendo que o seu comprimento é duas vezes maior que a sua altura e sua área é de 16.722,54 m2. Calcular os comprimentos dos lados se esta área fosse representada na escala 1:10560. 8) As dimensões de um terreno foram medidas em uma carta e os valores obtidos foram: 250 mm de comprimento por 175 mm de largura. Sabendo-se que a escala do desenho é de 1:2000, qual é a área do terreno em m2 ? 9) Se a avaliação de uma área resultou em 2575 cm 2 para uma escala de 1:500, a quantos metros quadrados corresponderá a área no terreno? Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 3.3 - A ESCALA GRÁFICA A escala gráfica é utilizada para facilitar a leitura de um mapa, consistindo-se em um segmento de reta dividido de modo a mostrar graficamente a relação entre as dimensões de um objeto no desenho e no terreno. Segundo JOLY (1996) é um ábaco formado por uma linha graduada dividida em partes iguais, cada uma delas representando a unidade de comprimento escolhida para o terreno ou um dos seus múltiplos. Para a construção de uma escala gráfica a primeira coisa a fazer é conhecer a escala do mapa. Por exemplo, seja um mapa na escala 1:4000. Deseja-se desenhar um retângulo no mapa que corresponda a 100 metros no terreno. Aplicando os conhecimentos mostrados anteriormente deve-se desenhar um retângulo com 2,5 centímetros de comprimento: Isto já seria uma escala gráfica, embora bastante simples. É comum desenhar-se mais que um segmento (retângulo), bem como indicar qual o comprimento no terreno que este segmento representa, conforme mostra a figura a seguir. No caso anterior determinou-se que a escala gráfica seria graduada de 100 em 100 metros. Também é possível definir o tamanho do retângulo no desenho, como por exemplo, 1 centímetro. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Existe também uma parte denominada de talão, que consiste em intervalos menores, conforme mostra a figura abaixo. Uma forma para apresentação final da escala gráfica é apresentada a seguir. 3.4 Exercícios 1) Para representar, no papel, uma linha reta que no terreno mede 45 m, utilizando-se a escala 1:450, pergunta-se: qual será o valor dessa linha em cm? 2) A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55 cm. Para uma escala igual a 1:250, qual será o valor real da distância? 3) Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:600. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 4) Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superfície de 350 m x 280 m, na escala 1:500? 4. NORMALIZAÇÃO 4.1 – INTRODUÇÃO A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o órgão responsável pela normalização técnica no país, tendo sido fundada em 1940 para fornecer a base necessária ao desenvolvimento tecnológico brasileiro. A normalização é o processo de estabelecer e aplicar regras a fim de abordar ordenadamente uma atividade específica e com a participação de todos os interessados e, em particular, de promover a otimização da economia, levando em consideração as condições funcionais e as exigências de segurança. Os objetivos da normalização são (ABNT, 2003): • Economia: proporcionar a redução da crescente variedade de produtos e procedimentos; • Comunicação: proporcionar meios mais eficientes para a troca de informações entre o fabricante e o cliente, melhorando a confiabilidade das relações comerciais e serviços; • Segurança: proteger a vida humana e a saúde; • Proteção ao consumidor: prover a sociedade de meios eficazes para aferir a qualidade dos produtos; • Eliminação de barreiras técnicas e comerciais: evitar a existência de regulamentos conflitantes sobre produtos e serviços em diferentes países, facilitando assim, o intercâmbio comercial. Através do processo de normalização são criadas as normas. As normas da ABNT são classificadas em sete tipos diferentes (BIBVIRT, 2003): • Procedimento: orientam a maneira correta para a utilização de materiais e produtos, execução de cálculos e projetos, instalação de máquinas e equipamentos e realização do controle de produtos; • Especificação: fixam padrões mínimos de qualidade para produtos; • Padronização: fixam formas, dimensões e tipos de produtos; Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] • Terminologia: definem os termos técnicos aplicados a materiais, peças e outros artigos; • Simbologia: estabelecem convenções gráficas para conceitos, grandezas, sistemas, etc; • Classificação: ordenam, distribuem ou subdividem conceitos ou objetos, bem como critérios a serem adotados; • Método de ensaio: determinam a maneira de se verificar a qualidade das matérias- primas e dos produtos manufaturados. As normas da ABNT têm caráter nacional. Outros países têm seus próprios órgãos responsáveis pela normalização, como a ANSI (American National Standards Institute -EUA) e DIN (Deutsches Institut fur Normung - Alemanha). Existem também associações internacionais, como a ISO (International Organization for Standardization), fundada em 1946. A figura abaixo ilustra os logotipos da ABNT e ISO. LOGOTIPO ABNT E ISO Alguns exemplos de normas da ABNT são apresentados a seguir: NBR 10068 – Folha de desenho – leiaute e dimensões NBR 8196 - Desenho técnico - emprego de escalas NBR 10647 – Desenho técnico – Norma geral NBR 10124 – Trena de fibra – fibra natural ou sintética NBR 14166 – Rede de referência cadastral municipal - procedimento NBR 13133 – Execução de levantamento topográfico Um exemplo de norma ISO é a ISO 17123-1 (Optics and optical instruments – Field procedures for testing geodetic instruments and surveying instruments – Part 1: Theory). Particularmente na Topografia são de interesse as normas NBR 13133 e NBR 14166. 4.2 - NBR 13133 – EXECUÇÃO DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS Esta norma, datada de maio de 1994, fixa as condições exigíveis para a execução de levantamentos topográficos destinados a obter (ABNT, 1994, p.1): Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] • conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, área, localização, amarração e posicionamento; • informações sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de projeto; • informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projeto básicos; • informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos. Também é objetivo desta norma estabelecer condições exigíveis para a execução de um levantamento topográfico que devem compatibilizar medidas angulares, medidas lineares, medidas de desníveis e as respectivas tolerâncias em função dos erros, relacionando métodos, processos e instrumentos para a obtenção de resultados compatíveis com a destinação do levantamento, assegurando que a propagação dos erros não exceda os limites de segurança inerentes a esta destinação (ABNT, 1994, p.1). Esta norma está dividida nos seguintes itens: • objetivos e documentos complementares; • definições: onde são apresentadas as definições adotadas pela norma, como por exemplo definições de croqui, exatidão, erro de graficismo, etc; • aparelhagem: instrumental básico e auxiliar e classificação dos instrumentos; • condições gerais: especificações gerais para os trabalhos topográficos; • condições específicas: referem-se apenas às fases de apoio topográfico e de levantamento de detalhes que são as mais importantes em termos de definição de sua exatidão; • inspeção do levantamento topográfico; • aceitação e rejeição: condições de aceitação ou rejeição dos produtos nas diversas fases do levantamento topográfico. • anexos: exemplos de cadernetas de campo e monografias, convenções topográficas e procedimento de cálculo de desvio padrão de uma observação em duas posições da luneta, através da DIN 18723. 4.3 - NBR 14166 – REDE DE REFERÊNCIA CADASTRAL MUNICIPAL – PROCEDIMENTO O objetivo desta norma é fixar as condições exigíveis para a implantação e manutenção de uma Rede Cadastral Municipal. Esta norma é válida desde setembro de 1998. De acordo com ABNT (1998, p.2), a destinação desta Rede Cadastral Municipal é: • apoiar e elaboração e a atualização de plantas cadastrais municipais; • amarrar, de um modo geral, todos os serviços de Topografia, visando as incorporações às plantas cadastrais do município; • referenciar todos os serviços topográficos de demarcação, de anteprojeto, de projetos, de implantação e acompanhamento de obras de engenharia em geral, de urbanização, Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] de levantamentos de obras como construídas e de cadastros imobiliários para registros públicos e multifinalitários. Esta norma está dividida nos seguintes itens: • referências normativas: contém disposições que, ao serem citadas no texto da norma, constituem prescrições para a mesma; • definições: são apresentadas uma série de definições, como a de altura geométrica, alinhamento de via ou alinhamento predial, etc.; • estruturação e classificação da Rede de Referência Cadastral: seqüência de operações que devem ser observadas para a estruturação e implantação da Rede de Referência; • requisitos gerais; • requisitos específicos; • inspeção: itens para inspeção dos trabalhos de implantação e manutenção da rede; • aceitação e rejeição; Além disto apresenta anexos tratando das fórmulas para transformação de coordenadas geodésicas em coordenadas plano-retangulares no Sistema Topográfico Local, cálculo da convergência meridiana a partir de coordenadas geodésicas e plano-retangulares no Sistema Topográfico Local e modelo de instrumento legal para a oficialização da Rede de Referência Cadastral Municipal. 4.4 EXERCÍCIO 1) Trabalho Fazer resumo sobre a NBR 13133 – Execução de levantamento topográfico. 5. INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.1 Teodolito: instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais. Podem ser mecânicos ou eletrônicos (digitais). 5.2 Fio de prumo: instrumento para detectar a vertical do lugar e elevar o ponto. Pode ser adaptado num prisma ortogonal ou num tripé. 5.3 Trena: podem ser de fibra de vidro, aço ou ínvar. As trenas de fibra de vidro não são recomendadas pelo fato das fibras de vidro quebrarem e não ser visível ao usuário. As de aço devem ser utilizadas com fator de correção de temperatura. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.4 Nível de Cantoneira: instrumento utilizado para detectar a vertical de outro instrumento. Pode ser adaptado numa baliza ou numa mira. 5.5 Dinamômetro: é um aparelho que se destina à medição das tensões que são aplicadas aos diastímetros para assegurar que a tensão aplicada seja igual a tensão de calibração. 5.6 Distanciômetro: instrumento destinado a medir distâncias inclinadas. Deve ser acoplado a um teodolito para possibilitar a medição do ângulo vertical para calcular a distância horizontal e a distância vertical. 5.7 Nível: instrumento destinado a gerar um plano horizontal de referência para calcular os desníveis entre pontos. Podem ser automáticos ou digitais. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.8 Bastão: instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com o objetivo de torná-lo visível. Possui encaixe ou rosca para adaptação de antena GPS ou prisma. 5.9 Mira: instrumento para medir a distância vertical de um ponto até o plano horizontal do nível. Para os níveis digitais, a mira deve ser com códigos de barras. 5.10 Sapata para Nivelamento: instrumento utilizado para apoiar a mira. 5.11 Prisma: instrumento destinado à reflexão do sinal emitido por um distanciômetro ou uma estação total. 5.12 Termômetro: instrumento usado para a medição da temperatura que se destina a correção dos valores obtidos no levantamento. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.13 GPS: instrumento destinado para medição de coordenadas geodésicas via satélite. 5.14 Barômetro: instrumento usado para a medição da pressão atmosférica que se destina a correção dos valores obtidos no levantamento. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.15 Tripé e bipé: Tripé:utilizado para a sustentação de outros instrumentos como teodolitos, estações totais, níveis, bastão, baliza, etc. Bipé: Suporte para apoio da baliza ou do bastão. 5.16 Estação Total ou Taqueômetro Eletrônico: A evolução dos instrumentos de medida de ângulos e distâncias trouxe como conseqüência o surgimento destes novos instrumentos, que nada mais é do que teodolitos eletrônicos digitais com distanciômetros eletrônicos incorporados e montados num só bloco. Isto traz muita vantagem para a automação de dados, podendo inclusive armazenar os dados coletados e executar alguns cálculos mesmo em campo. 5.17 Baliza: instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com o objetivo de torná-lo visível. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5.18 Esquadro de Prisma ou Prisma Ortogonal: instrumento para a determinação da ortogonalidade em relação a um alinhamento. 5.19 Bússola: instrumento que se utiliza para a determinação do norte magnético, direções e ângulos horizontais. 5.20 Rádio de comunicação: instrumento para comunicação entre os operadores do levantamento. 6. UNIDADES DE MEDIDA Em topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares, mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superfície e as de volume. A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal, porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, Pés/Polegadas. 6.1 Unidades de Medida Linear µm (E-06), mm (E-03), cm (E-02), dm(E-01), m e Km (E+03) polegada = 2,75 cm = 0,0275 m polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m pé = 30,48 cm = 0,3048 m palmo = 22 cm = 0,22 m braça = 220 cm = 2,2 m légua = 6000 m légua brasileira = 6600 m jarda = 91,44 cm = 0,9144 m milha brasileira = 2200 m milha terrestre/inglesa = 1609, 31 m milha náutica = 1852 m 6.1.1 Conversão de unidades Da unidade maior para menor, multiplicamos seguido de 0 por unidade. Ex: 3 km para m dam 3 X 1000 = 3.000.m. Da unidade menor para maior, dividimos 1 seguido de 0 por unidade. Ex: 5 cm para m : cm 5 / 100 = 0,05 m. 6.2 Unidades de Medida Angular Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação: 360o = 400 g (grados) = 2π (radianos) onde π = 3,141592 Obs: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com 6 (seis) casas decimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais. 6.3 Unidades de Medida de Superfície Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] cm2 (E-04), m2 , Km2 (E+06) centiare = 1 m2 are = 100 m2 acre = 4.046,86 m2 hectare (ha) = 10.000 m2 alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m2 alqueire mineiro = 4,84 ha = 48.400 m2 alqueire baiano = 9,68 ha = 96.800 m2 alqueirão = 19,36 ha = 193.600 m2 6.4 Unidades de Medida de Volume 1 m3 = 1000 litros 1 galão inglês = 4,546 litros 1 galão norte-americano = 3,785 litros 6.5 Exercícios 1- Conversão entre unidades lineares a) Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros? b) O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas? c) Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 2 – Conversão entre unidades de superfície a) Determine o valor em alqueires, de um terreno com área igual a 1224,567 metros quadrados. b) Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 m2. c) Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista. d) Se um vendedor apresenta-lhe um imóvel rural cuja forma é de um retângulo com as seguintes dimensões: 10.000 m x 13.737 m; dizendo que o valor do hectare na região é de R$ 3.500,00. Qual o valor total desta fazenda? 3 – Conversão entre unidades angulares a) Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157o17’30,65”. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] b) Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus sexagesimais. c) Para um ângulo de 203,456789 grados decimais, determine qual seria o valor correspondente em graus decimais? 4 – Conversão entre unidades de volume a) Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m3. b) Determine o valor em m3, para um volume de 15.362,56 litros. c) Uma caixa d’água apresenta as seguintes dimensões: 4 m x 5 m x 3 m. Qual o volume desta caixa em m3, em litros, galões ingleses e galões norte-americanos? Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 5 – Exercícios propostos a) Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais. b) Sabendo-se que um alqueire mineiro eqüivale a um terreno de 220 m x 220 m; um acre equivale a 4046,86 m2; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires mineiros de área, determine a área desta mesma porção, em acres. 7. MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 7.1 - MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] A medida de distâncias de forma direta ocorre quando a mesma é determinada a partir da comparação com uma grandeza padrão, previamente estabelecida, através de trenas ou diastímetros. O Brasil adota o Sistema Internacional de Unidades - SI estabelecido pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM). A unidade de medida de comprimento definida pelo - SI, é o Metro, seus múltiplos e submúltiplos. O Metro é definido como sendo o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de segundo. De acordo com a ABNT, na atual NBR13.133/94, a medida padrão para os Levantamentos Topográficos é o metro (m), e para facilitar a sua leitura são utilizadas as suas divisões, o decímetro (dm), o centímetro (cm), o milímetro (mm), o decâmetro (dam), o hectômetro (hm) e o quilômetro (km). 7.1.1 - TRENA DE FIBRA DE VIDRO A trena de fibra de vidro é feita de material resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais). A figura abaixo ilustra alguns modelos de trenas. Estes equipamentos podem ser encontrados com ou sem envólucro, os quais podem ter o formato de uma cruzeta, ou forma circular e sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extremidades. Seu comprimento varia de 20 a 50m (com envólucro) e de 20 a 100m (sem envólucro). Comparada à trena de lona, deforma menos com a temperatura e a tensão, não se deteriora facilmente e é resistente à umidade e a produtos químicos, sendo também bastante prática e segura. MODELOS DE TRENAS. Durante a medição de uma distância utilizando uma trena, é comum o uso de alguns acessórios como: piquetes, estacas testemunhas, balizas, níveis de cantoneira, e cardeneta de campo. 7.1.2 – PIQUETES Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Os piquetes são necessários para marcar convenientemente os extremos do alinhamento a ser medido. Estes apresentam as seguintes características: - fabricados de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no topo plana; - assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas de cobre, pregos ou outras formas de marcações que sejam permanentes; - comprimento variável de 15 a 30cm (depende do tipo de terreno em que será realizada a medição); - diâmetro variando de 3 a 5cm; - é cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5cm) deve permanecer visível, sendo que sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno. 7.1.3 - ESTACAS TESTEMUNHAS São utilizadas para facilitar a localização dos piquetes, indicando a sua posição aproximada. Estas normalmente obedecem as seguintes características: -cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50cm; -comprimento variável de 15 a 40cm; -diâmetro variável de 3 a 5cm; -chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição, indicando o nome ou número do piquete. Normalmente a parte chanfrada é cravada voltada para o piquete, figura a seguir. REPRESENTAÇÃO DA IMPLANTAÇÃO DE UM PIQUETE E ESTACA TESTEMUNHA. 7.1.4 – BALIZAS São utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos, quando há necessidade de se executar vários lances, figura abaixo. Características: Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] -construídas em madeira ou ferro, arredondado, sextavado ou oitavado; -terminadas em ponta guarnecida de ferro; -comprimento de 2 metros; -diâmetro variável de 16 a 20mm; -pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para permitir que sejam facilmente visualizadas à distância. Devem ser mantidas na posição vertical, sobre o ponto marcado no piquete, com auxílio de um nível de cantoneira. EXEMPLOS DE BALIZAS. 7.1.5 - NÍVEL DE CANTONEIRA Equipamento em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que permite ao auxiliar segurar a baliza na posição vertical sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir, conforme a figura abaixo: NÍVEL DE CANTONEIRA. 7.1.6 – NÍVEL DE MANGUEIRA É uma mangueira d’água transparente que permite, em função do nível de água das extremidades, proceder a medida de distâncias com o diastímetro no posição horizontal. Este Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] tipo de mangueira é também muito utilizado na construção civil em serviços de nivelamento (piso, teto, etc.) 7.1.7 – CARDENETAS DE CAMPO É um documento onde são registrados todos os elementos levantados no campo (leituras de distâncias, ângulos, régua, croquis dos pontos, etc.). Normalmente são padronizadas, porém, nada impede que a empresa responsável pelo levantamento topográfico adote cardenetas que melhor atendam suas necessidades. 7.2 - CUIDADOS NA MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS A qualidade com que as distâncias são obtidas depende, principalmente de: -acessórios; -cuidados tomados durante a operação, tais como: - manutenção do alinhamento a medir; - horizontalidade da trena; - tensão uniforme nas extremidades. A tabela a seguir apresenta a precisão que é obtida quando se utiliza trena em um levantamento, considerando-se os efeitos da tensão, temperatura, horizontalidade e alinhamento. PRECISÃO DE TRENAS Trena Precisão Fita e trena de aço 1cm/100m Trena plástica 5cm/100m Trena de lona 25cm/100m Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 7.3 - MÉTODOS DE MEDIDA COM TRENA 7.3.1 - LANCE ÚNICO Na medição da distância horizontal entre os pontos A e B, procura-se, na realidade, medir a projeção de AB no plano horizontal, resultando na medição de A’B’, figura abaixo. MEDIDA DE DISTÂNCIA EM LANCE ÚNICO. Na figura seguinte é possível identificar a medição de uma distância horizontal utilizando uma trena, bem como a distância inclinada e o desnível entre os mesmos pontos. EXEMPLO DE MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIA COM TRENA. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 7.3.2 - VÁRIOS LANCES - PONTOS VISÍVEIS Quando não é possível medir a distância entre dois pontos utilizando somente uma medição com a trena (quando a distância entre os dois pontos é maior que o comprimento da trena), costuma-se dividir a distância a ser medida em partes, chamadas de lances. A distância final entre os dois pontos será a somatória das distâncias de cada lance. A execução da medição utilizando lances é descrita a seguir. Analisando a figura abaixo, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final da trena, para que este se mantenha no alinhamento AB. MEDIDA DE DISTÂNCIA EM VÁRIOS LANCES. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final da trena com uma ficha (haste metálica com uma das extremidades em forma de cunha e a outra em forma circular). O balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances até que se chegue ao ponto B. É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mantenham sobre o alinhamento AB. 7.4 - ERROS NA MEDIDA DIRETA DE DISTÂNCIAS Dentre os erros que podem ser cometidos na medida direta de distância, destacam-se: • erro relativo ao comprimento nominal da trena; • erro de catenária. • falta de verticalidade da baliza (figura abaixo) quando posicionada sobre o ponto do alinhamento a ser medido, o que provoca encurtamento ou alongamento deste alinhamento. Este erro é evitado utilizando-se um nível de cantoneira. FALTA DE VERTICALIDADE DA BALIZA. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 7.5 - MEDIDAS INDIRETAS DE DISTÂNCIAS Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são observadas grandezas que se relacionam com esta, através de modelos matemáticos previamente conhecidos. Ou seja, é necessário realizar alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se obter indiretamente o valor da distância. 7.5.1 - TAQUEOMETRIA OU ESTADIMETRIA As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos. Os teodolitos serão descritos com mais propriedade no capítulo Medidas de Ângulos. Com o teodolito realiza-se a medição do ângulo vertical ou ângulo zenital (figura a seguir), o qual, em conjunto com as leituras efetuadas, será utilizado no cálculo da distância. EXEMPLO DE UM TEODOLITO. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] As estádias, ou miras estadimétricas são réguas graduadas centimetricamente, ou seja, cada espaço branco ou preto (figura 5.10) corresponde a um centímetro. Os decímetros são indicados ao lado da escala centimétrica (no caso do exemplo a seguir o número 1 corresponde a 1 decímetro, ou 10 cm), localizados próximo ao meio do decímetro correspondente (5 cm). A escala métrica é indicada com pequenos círculos localizados acima da escala decimétrica, sendo que o número de círculos corresponde ao número de metros (utilizando a figura a seguir como exemplo, acima do número 1 são representados três círculos, então, esta parte da mira está aproximadamente a três metros do chão). Na estádia são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos (superior e inferior). Para o exemplo da figura a seguir estas leituras são: Superior: 3,095m Médio: 3,067m Inferior: 3,040m MIRA ESTADIMÉTRICA. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 7.5.1.1 - FORMULÁRIO UTILIZADO Na dedução da fórmula para o cálculo da distância através de taqueometria é necessário adotar uma mira fictícia, já que a mira real não está perpendicular à linha de visada (figura acima). Tal artifício é necessário para poder se efetuar os cálculos e chegar à fórmula desejada. Adotando-se: Ângulo Zenital: Z ; Ângulo Vertical: V ; Distância Horizontal: Dh ; Distância Inclinada: Di ; Número Gerador da Mira Real: G (G=Leitura Superior - Leitura Inferior); Número Gerador da Mira Fictícia: G’. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] DETERMINAÇÃO DA DISTÂNCIA UTILIZANDO ESTADIMETRIA. Sabe-se que sen α = cateto oposto / hipotenusa Da figura acima obtém-se: sen Z = (G’/2) / (G/2) G’=G .sen Z sen Z = Dh/Di Dh = Di . sen Z Sabendo-se que para obter a distância utiliza-se a fórmula: Di=G’. K Onde K é a constante estadimétrica do instrumento, definida pelo fabricante e geralmente igual a 100. Di = G . sen Z . K Dh=G . sen Z . K . sen Z Chega-se a : Dh= G . K . sen² Z Seguindo o mesmo raciocínio para o ângulo vertical, chega-se a: Dh = G . K . cos2 V Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 7.5.2 - MEDIÇÃO ELETRÔNICA DE DISTÂNCIAS A medição de distâncias na Topografia e na Geodésia, sempre foi um problema, devido ao tempo necessário para realizá-la e também devido à dificuldade de se obter boa precisão. Baseados no princípio de funcionamento do RADAR, surgiram em 1948 os Geodímetros e em 1957 os Telurômetros, os primeiros equipamentos que permitiram a medida indireta das distâncias, utilizando o tempo e a velocidade de propagação da onda eletromagnética. Em 1968 surgiu o primeiro distanciômetro óptico-eletrônico. O princípio de funcionamento é simples e baseia-se na determinação do tempo t que leva a onda eletromagnética para percorrer a distância, de ida e volta, entre o equipamento de medição e o refletor (Figura abaixo). PRINCÍPIO DE MEDIDA DE UM MED. A equação aplicável a este modelo é: 2D = c . Δt c: Velocidade de propagação da luz no meio; D: Distância entre o emissor e o refletor; Δt: Tempo de percurso do sinal. Logo, para obter a distância AB, usando esta metodologia é necessário conhecer a velocidade de propagação da luz no meio e o tempo de deslocamento do sinal. Não é possível determinar-se diretamente a velocidade de propagação da luz no meio, em campo. Em virtude disso, utiliza-se a velocidade de propagação da mesma onda no vácuo e o índice de refração no meio de propagação (n), para obter este valor. Este índice de refração é determinado em ensaios de laboratório durante a fabricação do equipamento, para um determinado comprimento de onda, pressão atmosférica e temperatura. A velocidade de propagação da luz no vácuo (Co) é uma constante física obtida por experimentos, e sua determinação precisa é um desafio constante para físicos e até mesmo para o desenvolvimento de Medidores Eletrônicos de Distância (MED) de alta precisão RÜEGER, (1990, p.06). Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] De posse dos parâmetros, Co e n, a velocidade de propagação da onda eletromagnética no meio (C), é dada por: C = Co / n Outro parâmetro necessário para determinação da distância é o tempo de deslocamento do sinal. Atualmente não existem cronômetros para uso em campo capazes de determinar este tempo uma vez que o mesmo é pequeno e o desvio admissível na medida é da ordem de 10 -12 s. Para perceber esta dificuldade, apresenta-se a seguir um exemplo com base no tempo gasto por uma onda eletromagnética para percorrer uma distância de 1km e retornar a unidade emissora do sinal. Isolando t na equação (2D = c . Δt), obtém-se a seguinte expressão: t = 2D / c Considerando que a velocidade de propagação da luz no vácuo é cerca de 300.000 km/s e aplicando-a na equação acima, obtém-se: D = 1 km t = (2 . 1 km) / (3 . 105 km/s) t=(2 / 3) . 10-5 t = 6 . 10-6s Assim sendo, para um distanciômetro garantir a precisão nominal de 1 km, o tempo deve ser medido com a precisão da ordem de 6 .10 -6 s. Continuando com a mesma analogia para um distanciômetro garantir a precisão de 1 cm deve-se medir o tempo com precisão de 6.10 -11 s. Como já foi dito, inexistem cronômetros práticos com tal precisão, inviabilizando a utilização desta técnica. A alternativa encontrada foi relacionar a variação de tempo com a variação da fase do sinal de medida. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA ENVOLVIDA EM UM SISTEMA DE COORDENADAS POLARES E RETANGULARES. (FONTE: ADAPTADO DE RÜEGER, 1996). Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Os elementos que caracterizam a onda eletromagnética (figura anterior) são a amplitude (Α), a velocidade angular (ω), a freqüência (φ), o ângulo de fase(ϕ) e o tempo de percurso do sinal (t). A relação entre o tempo de deslocamento de um sinal e o ângulo de fase deste mesmo sinal, é apresentado com base na figura anterior, e no desenvolvimento apresentado a seguir. y = A . sen (ϕ) ou y = A . sen (ωt), Como ϕ=ω.t e ω = 2πf Então a equação (y = A . sen (ωt)) é reescrita como: y = A sen (2 π f t) O efeito de uma variação de fase (Δϕ) é igual a uma variação de tempo (Δt), para omesmo sinal. Utilizando as equações (5.13) e (5.14) estas variações ficam assim expressas: y = A . sen [ω (Δt + t)] ou y = A . sen (Δϕ + ϕ), Onde: Δt = Variação do tempo; Δϕ = Variação de fase. Na figura abaixo apresenta-se uma variação de tempo Δt, a qual percebe-se que é igual à variação de fase Δϕ, para uma onda de período T. Esta variação também pode ser expressa pela seguinte equação: Δϕ = Δt ω ou  Δt = Δϕ / 2πf Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] DOIS SINAIS SENOIDAIS COM A MESMA AMPLITUDE E FASES DIFERENTES. (FONTE: ADAPTADO DE RÜEGER, 1996). Na figura acima, admitindo i = 1, a equação (y = A . sen [ω (Δt + t)] ) pode ser reescrita da seguinte forma: t2 - t1 = (ϕ2 - ϕ1) / 2πf Substituindo as equações (C = Co / n) e a equação acima, na equação (2D = c . Δt ), obtém-se a seguinte equação para a distância: D = Co . (ϕ2 - ϕ1) / 4πfn A equação acima apresenta a forma encontrada para determinar a distância (figura anterior), considerando a variação da fase do sinal de medida ao invés da variação do tempo de deslocamento deste mesmo sinal. A devolução do sinal de medida, nos MEDs, pode ser feita de três maneiras: reflexão total, superfície especular e reflexão difusa. a) Reflexão Total - Utilizado por equipamentos com portadora Infravermelho, e para portadoras LASER quando utilizadas para medidas de grandes distâncias (figura abaixo). MODELO DE PRISMA DE REFLEXÃO TOTAL. (FONTE: FAGGION,1999). Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] Este tipo de refletor é mais conhecido como refletor de canto, formado por três faces ortogonais. Sua principal característica consiste na devolução do sinal independendo do ângulo de incidência ao incidir no refletor. O mesmo retorna paralelamente. Nesta estrutura encaixam-se também as fitas adesivas utilizadas em rodovias para sinalização, conhecidas popularmente como “olhos-de-gato”. Estes modelos são econômicos e eficientes, porém só proporcionam boas respostas para distâncias curtas. Tais sistemas podem ser utilizados na locação de máquinas industriais e como alvos permanentes para controle de estruturas. b) Superfície Espelhada - pode ser utilizado em casos específicos, como para posicionamento em três dimensões de pontos onde não é possível realizar uma visada direta (abaixo). ALVO DE REFLEXÃO ATRAVÉS DE SUPERFÍCIE ESPELHADA. (FONTE : FAGGION, 1999). Como pode ser visto na figura acima, a característica deste alvo consiste em refletir o raio incidente com o mesmo ângulo de incidência. A aplicação deste tipo de alvo na distanciometria é muito restrita. c) Reflexão difusa - Este princípio de reflexão está sendo muito explorado pelos fabricantes de estações totais que utilizam diodos LASER (Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation – Amplificação de Luz por Emissão Estimulada de Radiação) para gerar a onda portadora. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] ALVO DE REFLEXÃO DIFUSA (FONTE: FAGGION, 1999). O Laser é uma fonte de luz coerente, ou seja, com todos seus fótons em fase, logo com incidência bem localizada. Tal fato possibilita a utilização do princípio da reflexão difusa para realizar medidas de pequenas distâncias sem o processo da reflexão total, ou seja, a utilização de um refletor de canto. Tal fato só é possível tendo em vista que pelo menos uma porção do sinal refletido retorna paralelo ao sinal emitido (figura acima). Tendo em vista este fato, é possível determinar o tempo de deslocamento do sinal até o anteparo e retorno ao emissor. O sinal de medida é modulado e enviado até o refletor ou superfície refletora, que materializa o outro extremo da distância que se deseja medir e retorna à origem. Nesse momento é necessário separar a onda portadora da moduladora, ou seja, realizar a demodulação do sinal recebido para que se possa comparar a fase de retorno com a fase de emissão, no caso dos equipamentos que utilizam portadora infravermelho, ou determinar o tempo de deslocamento do sinal para os equipamentos que utilizam LASER como portadora. 7.5.2.1 - CORREÇÕES AMBIENTAIS DAS DISTÂNCIAS OBTIDAS COM MED Como visto anteriormente, a velocidade de propagação da luz utilizada para determinar a distância entre dois pontos, é a velocidade de propagação da luz no vácuo, tendo em vista que é a única passível de ser determinada por procedimentos físicos. Porém, nos trabalhos de levantamentos nos interessa a velocidade de propagação luz onde está sendo realizada a medição. Para efetuar esta transformação, os fabricantes dos Medidores Eletrônicos de Distância (MED) determinam o índice de refração em laboratório. Mesmo assim, continua sendo necessária a medida de temperatura, umidade relativa do ar e pressão atmosférica no momento das observações, e com estes parâmetros realiza-se a correção particular para o local de operação. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] As variações nas condições atmosféricas causam um aumento ou diminuição na velocidade de propagação da onda eletromagnética e provocam, conseqüentemente, os erros sistemáticos nas medidas das distâncias. A maioria das estações totais permite a aplicação desta correção em tempo real obtendo-a das seguintes maneiras (RÜEGER, 1996): a) utilizando o ábaco que acompanha o manual do equipamento onde as informações necessárias para se obter a correção em parte por milhão (ppm) são a temperatura e a pressão; b) utilizando as fórmulas que acompanham o manual do equipamento, neste caso as informações necessárias são a temperatura, pressão e umidade relativa; c) utilizando as fórmulas adotadas pela UGGI (União Geodésica e Geofísica Internacional); d) utilizando as fórmulas apresentadas por RÜEGER (1996, p.80), para redução de medidas obtidas em levantamentos de alta precisão. A diferença entre os valores da correção obtidos com os três conjuntos de fórmulas está na casa do centésimo do milímetro. Tendo em vista este aspecto, será apresentada a seguir, a correção meteorológica para uma distância utilizando o formulário apresentado no manual da estação total TC2002 e a correção para a mesma distância utilizando o ábaco. A equação apresentada pelo manual do equipamento é a seguinte (WILD TC2002, 1994, p.24-9): onde: ΔD1 = Correção atmosférica em ppm; P= Pressão atmosférica (mbar); t = Temperatura ambiente (ºC); h = Umidade relativa (%); α = 1/273,16. Normalmente nas últimas páginas do manual do equipamento encontra-se o ábaco utilizado para a correção atmosférica. Neste caso, os argumentos de entrada são a temperatura e a pressão. Na figura a seguir, apresenta-se um ábaco retirado do manual da estação total TC2002. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] ÁBACO UTILIZADO PARA A OBTENÇÃO DA CORREÇÃO AMBIENTAL. (FONTE: WILD TC2002, 1994. P 113) 7.6 - EXEMPLOS DA OBTENÇÃO DA CORREÇÃO UTILIZANDO A FORMULAÇÃO APRESENTADA. A partir das informações dadas a seguir, calcular o valor da correção meteorológica a ser aplicada na distância medida. Temperatura (t) = 25,0 0C Pressão Atmosférica (p) = 920,0 mbar Umidade Relativa (h) =56 % a) Obtenção da Correção Utilizando Formulário X = ((7,5 • 25,0) / (237,3 + 25,0)) + 0,7857 X = 1,5005 Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] onde: a = ( 0,29065 x 920,0 / ( 1 + 0,00421 x 25,0 ) ) b = ( ( 4,126 x 10–4 x 56 ) / ( 1 + 0,00421 x 25,0 ) ) x 101,5005 ] ΔD1 = 281,8 – [ 244,9821 – 0,67022 ] ΔD1 = 37,48 ppm (parte por milhão) b) Obtenção da correção utilizando o Ábaco Utilizando as mesmas informações apresentadas anteriormente calcular o valor da correção utilizando o ábaco (figura abaixo). Temperatura (t) = 25,0 0C Pressão Atmosférica (p) = 920,0 mbar ÁBACO UTILIZADO PARA A OBTENÇÃO DA CORREÇÃO AMBIENTAL. (FONTE: WILD TC2002, 1994. P 113) ΔD1 = 37,0 ppm Aplicando valores para as correções encontradas para uma distância de 800 m chega-se às seguintes distâncias corrigidas: Para o valor obtido através da equação Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB
  • 83 Apostila de Topografia, Cartografia e Georreferenciamento. 2008 [2] 1000, 00 m 37,48 mm 800, 00 m x mm x = (800,00 x 37,48) / 1000,00 x = 29,98 mm, arredondando para a primeira casa decimal 30,0 mm Logo a distância corrigida das condições ambientais é de 800,030 m. Para o valor obtido com o Ábaco. 1000, 00 m 37,00 mm 800, 00 m x mm x = (800,00 x 37,50) / 1000,00 x = 30,00 mm Neste caso a distância corrigida das condições ambientais é de 800,030 m. Como é possível perceber, não existe diferença significativa entre as duas formas utilizadas. Prof. M. Sc. Jorge da Silva Júnior FASB