Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Criptografia RSA: uma aplica¸˜o ...
Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       1 Motiva¸˜o
                        ca
   n´meros
    u
    primos
  ...
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          R...
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          R...
Motiva¸˜o
                      ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos          R...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
        ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
        ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
        ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
        ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma          O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Sha...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Introdu¸˜o
                       ca

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                  ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u  ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Um pouco de Hist´ria
                                o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
 ...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca       Exis...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
          ...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
          ...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA
                          ca    o

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                    Escolhe-se p e q primos ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se a...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se a...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se a...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                    Converte-se a...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
        ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
        ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
        ...
Metodologia

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgi...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
            ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
            ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
            ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de cod...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de cod...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos         A chave p´blica (chave de cod...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                - Tabela de Codifica¸˜...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Dessa forma, podemos ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos
                Dessa forma, podemos ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
   S´rgio
    e
        ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
    primos

 Profo Jos´
          e
   S´rgio
  ...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o...
Exemplo

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
                Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o...
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodi...
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodi...
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodi...
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodi...
Como quebrar o RSA?

 Criptografia
  RSA: uma
aplica¸˜o dos
       ca
   n´meros
    u
                   A chave de decodi...
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Seminário ccet
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Seminário ccet

321 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
321
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Seminário ccet

  1. 1. Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros ca u Profo Jos´ e S´rgio e primos Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Profo Jos´ S´rgio e e Um pouco de Hist´ria o Universidade Estadual de Montes Claros Fundamenta¸˜o ca Departamento de Ciˆncias Exatas/Centro de Ciˆncias Exatas e Tecnol´gicas e e o Te´rica do o Caixa Postal 126 – 39401-089 – Montes Claros – MG – Brasil RSA jsergiomat@lsi.cefetmg.br Metodologia Exemplo 9 de junho de 2010 Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  2. 2. Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca 1 Motiva¸˜o ca n´meros u primos 2 Introdu¸˜o ca Profo Jos´ e S´rgio e 3 Um pouco de Hist´ria o Itens Motiva¸˜o ca 4 Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Introdu¸˜o ca Um pouco de 5 Metodologia Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 6 Exemplo RSA Metodologia 7 Como quebrar o RSA? Exemplo Como quebrar 8 Referˆncias e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  3. 3. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  4. 4. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  5. 5. Motiva¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Relembrar alguns conceitos b´sicos da Teoria dos a Profo Jos´ S´rgio e e N´meros. u Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Relembrar a defini¸˜o de N´meros Primos e suas principais ca u Um pouco de propriedades. Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Mostrar uma das milhares de aplica¸˜es diretas da co Exemplo matem´tica no cotidiano do ser humano. a Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  6. 6. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  7. 7. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  8. 8. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  9. 9. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encaminhar mensagens de forma segura ´ uma pr´tica e a Profo Jos´ e S´rgio e antiga (Gr´cia Antiga). e Itens Motiva¸˜o ca Nos dias de hoje o sigilo de informa¸˜es ´ fundamental. co e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o As mensagens transmitidas pela internet podem ser Fundamenta¸˜o ca interceptadas com certa facilidade. Te´rica do o RSA Metodologia Portanto, ´ necess´rio codific´-las. e a a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  10. 10. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar co a c´digos dif´ o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda Itens de computadores. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o o e e Te´rica do o RSA. RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  11. 11. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Para manter tais informa¸˜es em sigilo, foi necess´rio criar co a c´digos dif´ o ıceis de serem quebrados, mesmo com a ajuda Itens de computadores. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca O c´digo (m´todo) mais utilizado nos dias de hoje ´ o o e e Te´rica do o RSA. RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  12. 12. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma O RSA, foi criado em 1978, por R. L. Rivest, A. Shamir e aplica¸˜o dos ca n´meros u L. Adleman, quando trabalhavam no M.I.T. primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  13. 13. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois ca e ca Itens n´meros primos muito grandes. u Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas, ı e Fundamenta¸˜o ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade. ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  14. 14. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e A implementa¸˜o do m´todo depende da obten¸˜o de dois ca e ca Itens n´meros primos muito grandes. u Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Da´ a existˆncia desse trabalho, que dentre outras coisas, ı e Fundamenta¸˜o ca apresenta um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade. ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  15. 15. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo) Itens estudo do oculto Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita) Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA arte de esconder mensagens Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  16. 16. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Criptologia = kryptos (esconder) + logos(estudo) Itens estudo do oculto Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Criptografia = kryptos (esconder) + graphia(escrita) Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA arte de esconder mensagens Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  17. 17. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Decifrar Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Decodificar Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA ler a mensagem com autoriza¸˜o ca Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  18. 18. Introdu¸˜o ca Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Decifrar Itens ler a mensagem sem autoriza¸˜o ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Decodificar Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA ler a mensagem com autoriza¸˜o ca Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  19. 19. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca O primeiro a utilizar a criptografia como meio de esconder n´meros u primos informa¸˜es secretas foi C´sar. co e Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  20. 20. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para o e Itens transmitir mensagens militares. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra e ca Hist´ria o do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no e ıda Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  21. 21. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e O c´digo de C´sar foi utilizado por muito tempo para o e Itens transmitir mensagens militares. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Ela ´ um tipo de cifra de substitui¸˜o na qual cada letra e ca Hist´ria o do texto ´ substitu´ por outra, que se apresenta no e ıda Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o alfabeto abaixo dela um n´mero fixo de vezes. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  22. 22. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Um exemplo do c´digo de C´sar ´ o seguinte: o e e S´rgio e Itens A B C D E F G H I J K L M Motiva¸˜o ca D E F G H I J K L M N O P Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o N O P Q R S T U V W X Y Z RSA Q R S T U V W X Y Z A B C Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  23. 23. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Basicamente, o que o c´digo acima faz, ´ transladar as letras o e primos do alfabeto. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  24. 24. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´ ca ıfica” ser´: a S´rgio e Itens Shvtxlvd flhqwlifld Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´: a ca e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA A Matem´tica ´ linda! a e Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  25. 25. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Dessa forma, a codifica¸˜o de “Pesquisa cient´ ca ıfica” ser´: a S´rgio e Itens Shvtxlvd flhqwlifld Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o J´ a decodifica¸˜o de “D Pdwhpdwlfd h mlqgd!” ´: a ca e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA A Matem´tica ´ linda! a e Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  26. 26. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  27. 27. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  28. 28. Um pouco de Hist´ria o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos ´ E um m´todo interessante, mas com imperfei¸˜es graves: e co Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca ´ E de f´cil decodifica¸˜o (frequˆncia das letras). a ca e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Saber codificar implica em saber decodificar. Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Precisa de um canal seguro. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  29. 29. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  30. 30. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  31. 31. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  32. 32. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  33. 33. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  34. 34. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  35. 35. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Existem dois tipos de c´digos criptogr´ficos: o a n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e 1 Chave secreta Itens Saber codificar implica em saber decodificar. Motiva¸˜o ca Precisa de canal seguro. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca 2 Chave P´blica u Te´rica do o RSA Saber codificar n˜o implica saber decodificar. a Metodologia N˜o precisa de canal seguro. a Exemplo Como quebrar O mais popular ´ o RSA. e o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  36. 36. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos: Itens Motiva¸˜o ca Existem infinitos n´meros primos. u Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo. u ıcil a RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  37. 37. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e Basicamente, o RSA se baseia nos seguintes fatos: Itens Motiva¸˜o ca Existem infinitos n´meros primos. u Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Quanto maior for um n´mero, mais dif´ de fator´-lo. u ıcil a RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  38. 38. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio: e a S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos Introdu¸˜o ca N´meros. u Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  39. 39. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Sendo assim, para entender o RSA ´ necess´rio: e a S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Um bom conhecimento de resultados da Teoria dos Introdu¸˜o ca N´meros. u Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o Principalmente dos que se referem aos n´meros primos. u RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  40. 40. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  41. 41. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  42. 42. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - N´meros Primos (Defini¸˜o e exemplos) u ca Profo Jos´ e S´rgio e Itens Um n´mero inteiro positivo p = 1 ´ dito primo, se possui u e Motiva¸˜o ca apenas dois divisores. Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Portanto, esses divisores devem ser a unidade e o pr´prio o Fundamenta¸˜o ca n´mero. u Te´rica do o RSA Metodologia Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., 41, 43, 47, ... Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  43. 43. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Exemplo de um algoritmo de verifica¸˜o de primalidade, ca Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca implementado em linguagem JAVA. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  44. 44. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Vamos, agora, estudar a Matem´tica b´sica para se a a primos entender o RSA Profo Jos´ e S´rgio e Itens - Congruˆncia M´dulo n: e o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Dizemos que a, b ∈ Z s˜o congruentes m´dulo n se, e a o Fundamenta¸˜o ca somente se, a e b deixam o mesmo resto na divis˜o por n. a Te´rica do o RSA Quando isso ocorrer, escrevemos Metodologia Exemplo a ≡ b (mod n) Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  45. 45. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  46. 46. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  47. 47. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Exemplos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca 1 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 : 4 tem resto 3 e 3 : 4 tamb´m. e Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 2 21 ≡ 5 (mod 2), pois 21 : 2 tem resto 1 e 5 : 2 tamb´m. e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA 3 10 ≡ 5(mod 5), pois deixam resto 0 na divis˜o por 5. a Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  48. 48. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn : o n´meros u primos Indicaremos por a a classe de todos os inteiros Profo Jos´ e S´rgio e congruentes a a m´dulo n. Exemplo: o Itens 1 Em m´dulo 4 temos o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...} Um pouco de Hist´ria o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...} RSA Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...} Exemplo Como quebrar o RSA? Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3} Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  49. 49. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca - Anel dos Inteiros M´dulo n, Zn : o n´meros u primos Indicaremos por a a classe de todos os inteiros Profo Jos´ e S´rgio e congruentes a a m´dulo n. Exemplo: o Itens 1 Em m´dulo 4 temos o Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca 0 = {..., −8, −4, 0, 4, ...} Um pouco de Hist´ria o 1 = {..., −7, −3, 1, 5, ...} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 2 = {..., −6, −2, 2, 6, ...} RSA Metodologia 3 = {..., −5, −1, 3, 7, ...} Exemplo Como quebrar o RSA? Portanto, Z4 = {0, 1, 2, 3} Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  50. 50. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Em geral, temos que Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Zn = {0, 1, ..., n − 1} Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  51. 51. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u - Unidades em Zn : primos Profo Jos´ S´rgio e e Dizemos que a ´ uma unidade em Zn quando e a · x ≡ 1 (mod n), para algum x ∈ Zn . Itens Motiva¸˜o ca Em Z6 temos Introdu¸˜o ca U(Z6 ) = U(6) = {1, 5} pois, Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o 1 · 1 = 1 ≡ 1 (mod 6). RSA Metodologia Exemplo 5 · 5 = 25 ≡ 1 (mod 6). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  52. 52. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e - Fun¸˜o ϕ de Euler: ca S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Se p e q s˜o dois n´meros primos distintos, definimos a fun¸˜o a u ca Introdu¸˜o ca ϕ de Euler da seguinte forma: Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o ϕ(p) = p − 1 e ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  53. 53. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  54. 54. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  55. 55. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Encontrar a fun¸˜o ϕ de Euler para x ∈ Z+ , significa ca Profo Jos´ e S´rgio e descobrir: Itens Motiva¸˜o ca “quantos inteiros positivos t, com t < x, s˜o coprimos a Introdu¸˜o ca com x, ou seja, onde mdc(x, t) = 1.” Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca Exemplo: RSA Metodologia ϕ(9) = 6, j´ que nesse caso, t ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 8}. a Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  56. 56. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de ca u Profo Jos´ S´rgio e e uma chave privada. Itens Motiva¸˜o ca Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para u u Introdu¸˜o ca codificar uma mensagem. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para u Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada. Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  57. 57. Fundamenta¸˜o Te´rica do RSA ca o Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A implementa¸˜o do RSA necessita de uma chave p´blica e de ca u Profo Jos´ S´rgio e e uma chave privada. Itens Motiva¸˜o ca Chave p´blica: par ordenado de n´meros, utilizado para u u Introdu¸˜o ca codificar uma mensagem. Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Chave privada: par ordenado de n´meros, utilizado para u Metodologia decodificar uma mensagem previamente codificada. Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  58. 58. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  59. 59. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  60. 60. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  61. 61. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  62. 62. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  63. 63. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  64. 64. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u Escolhe-se p e q primos distintos. primos Profo Jos´ e Calcula-se n = pq. S´rgio e Calcula-se ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Itens Motiva¸˜o ca Encontra-se e, tal que 1 < e < ϕ(n) com Introdu¸˜o ca mdc(ϕ(n), e) = 1. Um pouco de Hist´ria o Encontra-se d, tal que d · e ≡ 1 (mod ϕ(n)), isso ´, d ´ o e e Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o inverso de e mod (ϕ(n)). RSA Metodologia O par (n, e) ser´ a chave p´blica. a u Exemplo Como quebrar O par (n, d) ser´ a chave privada. a o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  65. 65. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  66. 66. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  67. 67. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  68. 68. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Converte-se as letras da mensagem em n´meros, usando a u tabela ASCII. Profo Jos´ e S´rgio e Itens Teremos uma sequˆncia num´rica que deve ser quebrada e e Motiva¸˜o ca em blocos menores do que n. Introdu¸˜o ca Um pouco de Cada bloco m ser´ codificado usando a seguinte receita: a Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca C (m) = me (mod n) = k Te´rica do o RSA Metodologia Para recuperar a mensagem codificada, usaremos a receita: Exemplo D(k) = k d (mod n) = m Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  69. 69. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  70. 70. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  71. 71. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e A Tabela ASCII (American Standard Code for Information S´rgio e Interchange) ´ usada pela maior parte da ind´stria de e u Itens computadores para a troca de informa¸˜es. co Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Cada caracter ´ representado por um c´digo de 8 bits (um e o Um pouco de Hist´ria o byte). Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Apresetamos a seguir um resumo da tabela ASCII. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  72. 72. Metodologia Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  73. 73. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  74. 74. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  75. 75. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e Vamos codificar a palavra PRIMO, usando p = 7 e q = 11. S´rgio e Itens n = p · q = 77, Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de ϕ(n) = (7 − 1) · (11 − 1) = 6 · 10 = 60, Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA e = 7 pois, 1 < 7 < ϕ(n) e mdc(ϕ(n), 7) = 1. Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  76. 76. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  77. 77. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  78. 78. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos A chave p´blica (chave de codifica¸˜o) ser´ u ca a o Prof Jos´e S´rgio e (n, e) = (77, 7) Itens Motiva¸˜o ca d = 43, j´ que a Introdu¸˜o ca Um pouco de 43 · 7 = 301 ≡ 1 (mod 60). Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Logo, a chave privada (chave de decodifica¸˜o) ´ o par ca e Metodologia Exemplo (77, 43). Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  79. 79. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos - Tabela de Codifica¸˜o ca Profo Jos´ e S´rgio e A Tabela de codifica¸˜o que itulizaremos ´ a seguinte: ca e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca A B C D E F G H I J K L M Um pouco de 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA N O P Q R S T U V W X Y Z Metodologia 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  80. 80. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Dessa forma, podemos concluir que Profo Jos´ e S´rgio e Itens PRIMO = 2527182224. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores u Fundamenta¸˜o ca menores que 77 ´ e Te´rica do o RSA 2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  81. 81. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Dessa forma, podemos concluir que Profo Jos´ e S´rgio e Itens PRIMO = 2527182224. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o Uma forma de quebrar esse n´mero em blocos de valores u Fundamenta¸˜o ca menores que 77 ´ e Te´rica do o RSA 2, 5, 2, 71, 8, 2, 22, 4 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  82. 82. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ S´rgio e e A codifica¸˜o de cada bloco acima ´ dada por: ca e Itens Motiva¸˜o ca C (2) = 27 (mod 77) = 51 C (5) = 57 (mod 77) = 47 Introdu¸˜o ca Um pouco de C (71) = 36 C (8) = 57 Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA C (22) = 22 C (4) = 60 Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  83. 83. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u primos Profo Jos´ e S´rgio e Portanto, a mensagem codificada ´ e Itens Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Hist´ria o 51 − 47 − 51 − 36 − 57 − 51 − 22 − 60 Fundamenta¸˜o ca Te´rica do o RSA Metodologia Exemplo Como quebrar o RSA? Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  84. 84. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte: a n´meros u primos Profo Jos´ e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5 S´rgio e Itens D(36) = 71 D(57) = 8 Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca D(22) = 22 D(60) = 4 Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Logo, a sequˆncia decodificada ser´ e a Te´rica do o RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4 Metodologia Exemplo Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra a a Como quebrar o RSA? PRIMO. Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  85. 85. Exemplo Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca Para decodificar cada bloco j´ codificado faremos o seguinte: a n´meros u primos Profo Jos´ e D(51) = 5143 (mod 77) = 2 D(47) = 4743 (mod 77) = 5 S´rgio e Itens D(36) = 71 D(57) = 8 Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca D(22) = 22 D(60) = 4 Um pouco de Hist´ria o Fundamenta¸˜o ca Logo, a sequˆncia decodificada ser´ e a Te´rica do o RSA 2 − 5 − 2 − 71 − 8 − 2 − 22 − 4 Metodologia Exemplo Que corresponde, via tabela de convers˜o, ` palavra a a Como quebrar o RSA? PRIMO. Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  86. 86. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  87. 87. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  88. 88. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  89. 89. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u
  90. 90. Como quebrar o RSA? Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos ca n´meros u A chave de decodifica¸˜o ´ (n, d). ca e primos Profo Jos´ e S´rgio e Todos conhecem n, mas d s´ ´ conhecido por uma pessoa oe Itens atorizada. Motiva¸˜o ca Introdu¸˜o ca Um pouco de Para algu´m n˜o autorizado encontrar d ele deve: e a Hist´ria o Fundamenta¸˜o Te´rica do o ca 1 Conhecer ϕ(n). RSA Metodologia 2 Para conhecer ϕ(n) ´ necess´rio conhecer p e q. e a Exemplo Como quebrar o RSA? 3 Ent˜o, basta fatorar n. a Referˆncias e Profo Jos´ S´rgio e e Criptografia RSA: uma aplica¸˜o dos n´meros primos ca u

×