Treball Fractals Simplificat 2

FRACTALS

Quant mesura la costa de Mallorca?

Quin temps farà la setmana que ve?

Podem conèixer el sistema nerviós?

ORIGEN DELS FRACTALS

Finals segle XIX, principis segle XX

Problemes de mesures de conjunts ( a 1919 Hausdorff – Besicovitch)

Aparició de conjunts amb propietats desconegudes, se’ls va qualificar de monstres (conjunt de Cantor).

Inici dels sistemes dinàmics caòtics ( any 1920 Julia i Fatou)

Problemes metereològics: Efecte papallona (Lorenz)

Mandelbrot va definir

Fractal :

“ que té forma irregular, extremadament interrompuda i fragmentada sigui quina sigui l’escala d’observació i d’examen”

Dimensió fractal:

“ Nombre que serveix per quantificar la irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”

Madelbrot va observar que els fractal estan presents a la natura brocoli esponja falguera illa pulmó Sistema circulatori

nuvol Closca caragol llamp Gran ona Romancescu (tipus de brocoli)

Les 3 propietats més importants dels fractals :

Dimensió fractal : “Nombre que serveix per quantificar la irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”

Autosemblança: Quan a una figura la podem descompondre en altres més petites, cada una de les quals és semblant a l’original és diu que és autosemblant.

Caos: El caos designa tot allò que és o pareix desorganitzat, desordenat i a vegades incoherent.

Calculem la dimensió fractal: Què significa tenir dimensió fraccionària? Un punt té dimensió zero, un segment té dimensió1, un quadrat té dimensió 2,un cub té dimensió 3, …

PARTIM D’UN CONJUNT AL QUAL SE LI APLICA UNA TRANSFORMACIÓ DE SEMBLANÇA Sigui n = nombre de parts que queden després del primer pas, .... m = longitud del costat resultant respecte a l’inicial

Fractals autosemblants Càlcul de la seva dimensió

Conjunt de Cantor:

n=2 , m=1/3

Dim= log2/log 3 = 0’63

Corba de Peano:

n=9 m=1/3

Dim = log9/log3= 2

Corba de Koch

n=4 m=1/3

Dim=log4/log3= 1,262

Triangle de Sierpinski n=3 m= 1/2 Dim= log3/log2= 1,585

La dimensió fractal d’una costa és un indicador de lo abrupta que és.

Encara que no estigui ben definida, Richardson en 1961, va fer les següents estimacions :

Costa de Gran Bretanya Df = 1.25 Frontera de Portugal Df = 1.14 Costa de Noruega Df = 1.52 Costa Australiana Df = 1.13 Costa Sudafrica Df = 1.02

Fractals aleatoris L’atzar juga un paper fonamental en la seva construcció Els mateixos fractals autosemblants: Conjunt de Cantor aleatori, Conjunt de Koch aleatori, … Difusió Cel·lular Moviment brownià plasma

Lorenz

Fractals generats per sistemes dinàmics caòtics : Conjunt de Julia: L’any 1918 Julia i fatou es van plantejar que li succeeix a un punt z quan se li aplica iteradament la transformació z n+1 = z n 2 + c Segell israelià 1997

z n+1 = z n 2 + c

Conjunt de Mandelbrot “ Un dels més impactants que apareixen a la Geometria fractal”

“ Conjunt de punts c pels quals l’òrbita de z=0 es manté afitada” z n = z n-1 2 + c Estudia que li succeeix a un punt c quan se li aplica iteradament la transformació

Fractal de Newton Aproximació de les arrels de f(x)=0 X n = x n-1 - f(x n-1 )/ f’(x n-1 ) X 5 -1

Aplicacions dels fractals:

Medicina :

Osteoporosi

- Ossos de la mateixa densitat tenen diferent

comportament davant la possibilitat de trencar-se.

- Es considera que la dimensió fractal d’un os està

entre 1,7 i 1,8 .

Dimensions fractals més baixes són símptomes

d’osteoporosi.

Emfisemes pulmonars:

La dimensió fractal d’una secció de pulmó és

aproximadament 1,26 .

Dimensions fractals més altes es poden considerar

com a indicis del començament d’aquesta malaltia.

Tractament de tumors sòlids ;

Antonio Bru va comprovar que la frontera d’una secció de tumor sòlid

és un fractal que té dimensió compresa entre 1 i 2.

Bru va extreure una equació matemàtica que permet explicar i, per tant,

permet predir l’evolució del tumor,“tant en el temps com en l’espai”.

Fòbia a volar:

Les persones sense por a volar sembla tenen un

sistema cardíac més caòtic, més flexible, que

facilita una major adaptabilitat als canvis del medi,

en comparació amb les persones amb por de volar.

La freqüència cardíaca: - La dimensió fractal de la corba que representa el ritme cardíac d’una persona sana és major que en una persona que té problemes cardíacs.

Psicologia:

Mitjançant registres electroencefàlics s’han pogut detectar que els pacients amb trastorns esquizofrènics i obsessius compulsius presenten una dimensió fractal menor a la observada en controls sans.

Meteorologia:

Els fenòmens meteorològics tenen un

comportament fractal. És impossible

preveure el temps que farà a llarg termini,

un canvi molt petit pot provocar grans

canvis dins un termini relativament curt.

La topografia:

A l'hora de fer mapes, s'ha de conèixer la propietat fractal de la costa i la seva possible dimensió fractal.

Enginyeria:

- El grup d'enginyeria Electromagnètica i Fotònica de la UPC ha desenvolupat antenes fractals duals per a telefonia mòbil.

Cinema:

- Actualment, alguns decorats d'algunes pel·lícules, com ara Start Treck, es fan mitjançant fractals.

Art:

- Vegem-ho en el disseny amb programes d’ordinador de les següents imatges:

Dissenyades amb ultrafractal

Dissenyades amb fractint

Dissenyades amb Sterlin

Conclusió: Podem afirmar que l’aparició dels fractals, es sens dubte, una de les grans revolucions del segle XX juntament amb la teoria de la relativitat i de la teoria quàntica.