Jaime Aguas 1
INDICE
- Objetivos.
- Contenidos
- Propiedades
- Inecuaciones de:
- Primer Orden.
- De Grado Mayor o Igual a...
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OBJETIVOS
Al terminar el capítulo el estudiante estará en la capacidad de:
Resolver inecuaciones de: primer ...
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CONTENIDOS.
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Inecuaciones.
Propiedades de las Inecuaciones.
• Axio...
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seguido y de los resultados
obtenidos en la resolución de
problemas.
Valoración del trabajo en
Equipo.
Respe...
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METODOLOGÍA
1.- DADAS LAS INECUACIONES
a)
b)
c)
d)
e)
2.- FORME UN EQUIPO DE TRABAJO DE DOS O TRES ESTUDIANT...
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PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES
CONOCIMENTOS PREVIOS
1.- Representación de los números reales.
Se los puede ...
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1) Si
2) Para todo número Real x se satisface una y solo una de las tres condiciones
siguientes.
Si a y b so...
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INTERVALOS
Sean a y b números reales, los siguientes conjuntos, se denominan intervalos con
extremos a y b.
...
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CAPITULO I
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Consiste en hallar un conjunto de soluciones, o encontrar el interva...
Jaime Aguas 10
Su Solución es:
En notación de Intervalos
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERC...
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En notación de Intervalos la Solución es:
EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJ...
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c) 753 +>+ xx
d) )9(32
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RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
x
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

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CAPITULO II
INECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A DOS
1. Inecuaciones de Grado Dos.
(x-2) - - +
(x+7) - + +...
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INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Una inecuación polinómica en una incógnita es de la forma:
Para la resolució...
Jaime Aguas 17
Con P(x)>0; la solución es la unión de los intervalos donde el signo es (+)
(x-2) - - - +
(x+3) - + + +
(x-...
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(x-1)2
(x+3)(x+5) + - + +
Como P(x) >0, escogeremos los intervalos en donde el signo es (+);
(3x-2) - - + +...
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Como P(x)>0, la solución será los intervalos de signo (+):
Una vez que hemos tratado la resolución de inecu...
Jaime Aguas 20
CAPITULO III
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Son de la Forma:
En donde P(x) y Q(x), Son monomios o polinomios di...
Jaime Aguas 21
Aplicando al Ejercicio:
La inecuación es equivalente a:
Siguiendo el procedimiento para resolver las inecua...
Jaime Aguas 22
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelva las siguientes inecuaciones
3.- Compruebe la solución mediante el método grá...
Jaime Aguas 23
(x-3) - - - - +
(x+2) - + + + +
(x-1) - - - + +
(x+1) - - + + +
+ - + - +
(x + 1/2) - - - - + +
(2x+3) - - ...
Jaime Aguas 24
CAPITULO IV
INECUACIONES EXPONENCIALES
Son de la forma:
Según varios autores se puede agrupar en dos casos ...
Jaime Aguas 25
EJERCICIOS PROPUESTOS
3.- Compruebe la solución mediante el método gráfico.
( )( ) ( )
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065
383932
0....
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RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
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0144
0125610
126510
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:
0.150.0
)5.0()5.0(
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(7x+22) - + + +
(x-2) - - - +
(x+2) - - + +
P(x) < 0
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−∞−
Solución
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0
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)227(
:Re0
)2)(2(
12...
Jaime Aguas 28
CAPITULO V
INECUACIONES IRRACIONALES
Las inecuaciones Irracionales son de la Forma:
En donde P2(x), P3(x), ...
Jaime Aguas 29
Ejemplos de Aplicaciones de las Propiedades anteriores.
] [
] [
] [
] [+∞−
+∞−∩
+∞−∴−>
⇒>+⇔>+
+∞−=∴−>
>+⇒>+...
Jaime Aguas 30
Para quedar claro el ejercicio 4
(x-3) - - +
(x+2) - + +
+ - +
(x-5) - - +
(x-1) - + +
+ - +
2;3
02;03
0)2)...
Jaime Aguas 31
Por favor resuelva las inecuaciones 2 y 4 por el método gráfico, seguidamente vamos a
plantear la solución ...
Jaime Aguas 32
INECUACIONES DE LA FORMA
INECUACIONES DE LA FORMA
INECUACIONES DE LA FORMA
Una vez Analizado los cinco caso...
Jaime Aguas 33
CAPITULO VI
INECUACIONES LOGARÍTMICAS
Para el estudio de las inecuaciones Logarítmicas es importante tener ...
Jaime Aguas 34
1.1.- Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo
1.2.- Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo neg...
Jaime Aguas 35
EJEMPLOS
Resolver:






∞=
−<>
−
>−
>−
>
⇒=
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10
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3
10
3
10
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





+∞=
>
>
>+
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
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4
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EJERCICIOS PROPUESTOS
RESOLVER
5.- Desarrollar las inecuaciones 1 y 3 mediante el método gráfico.
] [
[ [ ]...
Jaime Aguas 38
CAPITULO VII
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para el estudio de estas inecuaciones es importante tener pres...
Jaime Aguas 39
Propiedades Fundamentales.-
baba
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...2
00,0.1
=−
=⇔=∧∈∀≥−
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el documento trata sobre in ecuaciones, corresponde a la materia análisis matemático i

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Inecuaciones

  1. 1. Jaime Aguas 1 INDICE - Objetivos. - Contenidos - Propiedades - Inecuaciones de: - Primer Orden. - De Grado Mayor o Igual a dos. - Fraccionarias - Exponenciales. - Irracionales. - Logarítmicas. - Con Valor Absoluto. - Ejercicios. * Resueltos. * Propuestos. - Bibliografía.
  2. 2. Jaime Aguas 2 OBJETIVOS Al terminar el capítulo el estudiante estará en la capacidad de: Resolver inecuaciones de: primer grado, segundo orden, polinómicas, fraccionarias, exponenciales, irracionales, logarítmicas y con valor absoluto. Resolver inecuaciones por medio del método Gráfico. Ejecutar su creatividad en las aplicaciones, resolución de ejercicios y problemas. Mejorar su proceso de pensamiento lógico. Adquirir confianza en si mismo. Divertirse con su actividad mental. Prepararse para enfrentar otros problemas de la ciencia y de la vida. Aceptar nuevos retos de la tecnología y la ciencia. Reconocer los puntos de vista contrapuestos. Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos.
  3. 3. Jaime Aguas 3 CONTENIDOS. CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES Inecuaciones. Propiedades de las Inecuaciones. • Axioma de Orden. • Intervalos. Inecuaciones de Primer Orden. Inecuaciones de Grado mayor o Iguales a Dos. • Inecuaciones de Grado dos. • Inecuaciones de Grado Superior. Inecuaciones Fraccionarias. Inecuaciones Logarítmicas. Inecuaciones con valor Absoluto. Definir las Inecuaciones. Reconocer las propiedades de las Inecuaciones y como aplicarlas. Diferenciar los intervalos y aplicar correctamente. Resolución de Inecuaciones de primer Grado. Establecer un procedimiento para la resolución. Resolución de Inecuaciones de Grado Superior. Análisis y Resolución de Inecuaciones Fraccionarias. Análisis y Resolución de Inecuaciones Exponenciales. Resolución de Inecuaciones Irracionales. Resolución de Inecuaciones Logarítmicas. Análisis y Resolución de Inecuaciones con valor Absoluto Curiosidad e interés por investigar nuevos temas del Algebra. Apreciar los procedimientos seguidos y resultados obtenidos. Perseverancia y flexibilidad en la resolución de problemas. Valoración de la precisión del Lenguaje numérico. Confianza en las propias capacidades para resolver problemas. Sensibilidad para la presentación ordenada, Precisa y clara del Proceso
  4. 4. Jaime Aguas 4 seguido y de los resultados obtenidos en la resolución de problemas. Valoración del trabajo en Equipo. Respetar el punto de vista ajeno y apreciar el esfuerzo de los compañeros.
  5. 5. Jaime Aguas 5 METODOLOGÍA 1.- DADAS LAS INECUACIONES a) b) c) d) e) 2.- FORME UN EQUIPO DE TRABAJO DE DOS O TRES ESTUDIANTES.- 3.- PREVIA A LA RESOLUCIÓN.- Seleccione la información relacionada con el tema, en la bibliografía proporcionada, utilice los enlaces. 4.- ESCRIBA LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS.- Que va ha utilizar en la resolución de las Inecuaciones. (Resumen). 5.- RESUELVA LAS INECUACIONES: a, b, c, d, e 6.- ESCRIBA LA BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA 7.- Redacte por lo menos tres experiencias surgidas en el grupo durante el proceso de preparación del trabajo 8.- Escriba las sugerencias o recomendaciones del grupo ha ser implementadas en los trabajos posteriores.
  6. 6. Jaime Aguas 6 PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES CONOCIMENTOS PREVIOS 1.- Representación de los números reales. Se los puede representar geométricamente como puntos sobre una línea recta denominada eje real. Conjunto de los Números Reales Notación AXIOMA DE ORDEN “El siguiente grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que estableceremos una ordenación entre los números reales; con lo que se puede establecer cuando un numero real es mayor que otro”. 0-1-2-3-4-5-6-7 7531 2 4 6 IQR etestrascenden propios I bZbyZa b aQ Z N U=       = = ≠∈∈= −−−= = .....},,{ ....,3,2: }0;/{ ,.....}3,2,1,0,1,2,3{...., ,.....}5,4,3,2,1{ π .Re: .: .: .: : alesnúmeroslosdeConjuntoR esIrracionalnúmeroslosdeConjuntoI RacionalesnúmeroslosdeConjuntoQ EnterosnúmeroslosdeConjuntoZ NaturalesnúmeroslosdeConjuntoN
  7. 7. Jaime Aguas 7 1) Si 2) Para todo número Real x se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes. Si a y b son números reales diremos que a < b. Por lo tanto los axiomas 1 y 2 podemos escribir como: 2.- Para todo número real x se satisface una y solo una de las tres condiciones siguientes: Con los criterios expuestos en los axiomas anteriores enunciamos el siguiente teorema. Sean a, b y c números reales. +++ ∈∈+⇒∈ RyxyRyxRyx ., 0) ) ) = ∈− ∈ + + xc Rxb Rxa .0 0, .; < ∈−>∈ <∈− ++ + xqueaeequivalentes RxquedeciryxquedeciraeequivalentesRxqueestoSegún batienesesiaquemayoresbquediceSeRabSi 0.000.1 >>+⇒>>− yxyyxyexSi 0) 0) 0) = < > xc xb xa 00) 00) 0.00) 0.00 0.00) ..0) ..0) ) ) 1 2 >⇒> >⇒≠ <⇒>< >⇒>> >⇒<< >⇒<< <⇒>< +<+⇒< <⇒<< − aaSiviii aaSivii babyaSivi babya babyaSiv cbcacybaSiiv cbcacybaSiiii cbcabaSiii cacbybaSii
  8. 8. Jaime Aguas 8 INTERVALOS Sean a y b números reales, los siguientes conjuntos, se denominan intervalos con extremos a y b. Si a es un número real cualquiera de los intervalos infinitos son: ] [ { }bxaxba abiertoIntervaloi <<= /, ) a bx { }bxaxba cerradoIntervaloii ≤≤= /],[ ) a bx { }bxaxba osSemiabiertIntervalosiii ≤<= /],] ) a bx { }axxa >=+∞ /[,] { }axxa ≥=+∞ /[,[ a a
  9. 9. Jaime Aguas 9 CAPITULO I RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Consiste en hallar un conjunto de soluciones, o encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita (x) para que se cumpla la inecuación. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son de la Formas: Ejemplo. 1. Resolver. { }axxa <=∞− /[,] a { }axxa ≤=∞− /],] a 00 <+>+ baxóbax )(0aSi solucióndeconjunto a b x − >⇒> )(0aSi solucióndeconjunto a b x − <⇒< 5 3 15 0)3(0153 873 > > >=>− >− x x aconx x
  10. 10. Jaime Aguas 10 Su Solución es: En notación de Intervalos EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver 2.- Resolver 4536 <+<− x +∞<< x5 14 253123 253)4(3 < +<+− +<+− x xxxOperando xxx 14<<∞− x IntervalosdeNotaciónEn x 0 1 2 3 4 5 ……… 106 x > 5 x < 14 x … 6 7 8 9 10 ……… 1411
  11. 11. Jaime Aguas 11 En notación de Intervalos la Solución es: EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS Resolver: a) xx +>− 313 b) 3)1(34 <−− x teGraficamen serásoluciónLa xx xx : 3 1 3 11 13311 luego 453x53x6-comoexpresarpuedeSe − <∧< − −<∧<− <+∧+< x 0 3 1 −<x 3 1 − x 0 3 1 −<x 3 1 − 3 11 − x<− 3 11       −− 3 1 , 3 11 x
  12. 12. Jaime Aguas 12 c) 753 +>+ xx d) )9(32 2 3 −+>+ xxx e) 4 4 36 2 < − + x x f ) A partir de este tema vamos a pedirle que conforme un equipo de trabajo de dos o tres estudiantes con el siguiente propósito. “Los temas que están contemplados en esta Unidad los vaya desarrollando mediante la utilización del método gráfico”. Para este desarrollo le sugerimos que: Su Equipo resuelva las desigualdades presentadas mediante el método grafico, consultando previamente en la bibliografía dada y en los enlaces proporcionados y, Como ayuda le proporcionamos los graficadotes.
  13. 13. Jaime Aguas 13 RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS x 0 2 1 >x 2 1      +∞ > > +>− , 2 1 2 1 42 313) solución x x xxa       ∞− < < <+− <−− 3 2 , 3 2 23 3334 3)1(34) solución x x x xb ] [+∞ > > +>+ ,1 1 22 753) solución x x xxc       ∞− > > > −>+ −+>+ −+>+ 5 58 , 5 58 558 2 5 29 2 3 4272 2732 2 3 )9(32 2 3 ) solución x x x xx xxx xxxd -x 0 3 2 <x 3 2 x 0 1>x 1 -x 0 x> 5 58 5 58
  14. 14. Jaime Aguas 14 ] [2, 2 2 5 4 5 4 4 3 2 3 2 4 4 36 2) ∞− < < <−+ < − + solución x x xx x xe -x 0 2<x 2
  15. 15. Jaime Aguas 15 CAPITULO II INECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A DOS 1. Inecuaciones de Grado Dos. (x-2) - - + (x+7) - + + (x-2)(x+7) > 0 + - + SUGERENCIAS Con base en el análisis del Ejemplo, establezca un procedimiento a seguir para la resolución de grado dos. Consulte por lo menos dos métodos para la resolución de inecuaciones. Uno de ellos será el MÉTODO GRAFICO que su equipo está desarrollando. 72 0702 0)7)(2(: −== =+=− >+− xx xx xxosConsiderem 0 2-7 ] [ ] [+∞−∞− ,27,: USolución
  16. 16. Jaime Aguas 16 INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Una inecuación polinómica en una incógnita es de la forma: Para la resolución de una inecuación Polinómica de la forma P(x)>0 ó P(x)<0, vamos a considerar la naturaleza de las raíces de la Ecuación polinómica. A continuación vamos a presentar ejercicios resueltos para cada caso (TRES CASOS) y le vamos a pedir que: a) Ordene o clasifique los casos. b) Establezca criterios generados para la resolución de este tipo de inecuaciones. Resolver las Siguientes Inecuaciones (x-1) - - + + + (x-2) - - - + + (x-3) - - - - + (x+4) - + + + + (x-1)(x-2)(x-3)(x+4) > 0 + - + - + 0...)( 0...)( 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 <+++= >+++= − − − − XaXaXaXaxP óXaXaXaXaxP n n n n n n n n + − ∈ ZNtesconssonayaaadondeen nn ,tan......, 011 0)( =xP ;4;3;2;1 : 0)4)(3)(2)(1( 0)4)(3)(2)(1( 02438132.1 234 −==== =+−−− >+−−− >−+−−− xxxx sonraicesLas xxxx xxxx xxxx -4 1 2 3 x
  17. 17. Jaime Aguas 17 Con P(x)>0; la solución es la unión de los intervalos donde el signo es (+) (x-2) - - - + (x+3) - + + + (x-1/5) - - + + (x-2)(x+3)(x-1/5)<0 - + - + Solución: Como P(x)<0; entonces escogemos los intervalos, en donde el signo es (-) (x-1) - - - + (x+3) - - + + (x+5) - + + + ] [ ] [ ] [+∞−∞− ,32,14, : UU Solución 5 1 ;3;2 0) 5 1 )(3)(2( 063145 063145.2 23 23 =−== =−+− =+++ <+++− xxxdonde xxx xxx xxx -3 1/5 2 3 x ] [       −∞− 2, 2 1 3, U 0)5)(3()1( 015226 : 015226.3 2 34 34 =++− =+−+ >+−+− xxx xxx Solución xxx -5 -3 1 x
  18. 18. Jaime Aguas 18 (x-1)2 (x+3)(x+5) + - + + Como P(x) >0, escogeremos los intervalos en donde el signo es (+); (3x-2) - - + + (3x+1) - + + + (2x-7) - - - + (3x-2)3 (3x+1)(2x-7) - + - + Como P(x) <0, La solución es la unión de los intervalos: P(x)<0 + - + Como P(x)<0, la solución es la unión de los intervalos con signo (-); ] [ ] [∞+−−∞− ,35, U 0)72)(13()23( 05616126981837162 : 05616126981837162.4 3 2345 2345 <−+− =+−−+− <+−−+−− xxx xxxxx Solución xxxxx -1/3 2/3 7/2 x       −      −∞− 2 7 , 3 2 3 1 , U [ ][ ][ ][ ] 033)32()32( 03912104 03912104. 234 234 =−++−−− =−++− <−++−−5 xxixix xxxx xxxx 3− 3 7/2 x ] [3,3−
  19. 19. Jaime Aguas 19 Como P(x)>0, la solución será los intervalos de signo (+): Una vez que hemos tratado la resolución de inecuaciones de grado mayor o igual a dos, podemos anotar los principales temas que hemos utilizado en el proceso de solución de las inecuaciones. * Descomponer el polinomio en sus factores * * * * * Le pedimos que las inecuaciones las resuelva mediante el método gráfico que su equipo esta trabajando. P(x)<0 + - + [ ][ ][ ][ ] 0)4()4()232()232( 023844312 : 023844312.6 234 234 =−−+−−−+− =−++− >−++−− ixixxx xxxx Solución xxxx )232( +− R)232( − ] [ ] [+∞−+−∞− ,232)232(, U
  20. 20. Jaime Aguas 20 CAPITULO III INECUACIONES FRACCIONARIAS Son de la Forma: En donde P(x) y Q(x), Son monomios o polinomios diferentes de cero. El procedimiento utilizado en el tema anterior ser lo puede aplicar para la resolución de inecuaciones fraccionarias considerando al denominador como factor del numerador, teniendo en cuenta que el denominador sea diferente de cero. Apliquemos este razonamiento para resolver: Para resolver una inecuación fraccionaria se debe tomar en cuanta que las inecuaciones: Son equivalentes a: P(x).Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0 por la siguiente explicación, podemos multiplicar los dos lados de la desigualdad por una misma cantidad positiva sin que ésta se altere. 0 )( )( 0 )( )( <> xQ xP ó xQ xP ] [ ] [ ] [∞+−−− > +− +−+ ,61,23,9 : 0 )9)(1( )2)(6)(3( UU Solución xx xxx 0 )( )( 0 )( )( <> xQ xP ó xQ xP [ ] [ ] [ ] [ ] 0)().(0.)( )( )()( 0)().(0.)( )( )()( 2 2 2 2 <⇒< >⇒> xQxPxQ xQ xQxP xQxPxQ xQ xQxP
  21. 21. Jaime Aguas 21 Aplicando al Ejercicio: La inecuación es equivalente a: Siguiendo el procedimiento para resolver las inecuaciones polinómicas tenemos: (x+3) - - + + + + (x-6) - - - - - + (x+2) - - - + + + (x-1) - - - - + + (x+9) - + + + + + P(x) > 0 - + - + - + Escogemos los intervalos con signo positivo. 0 )9)(1( )2)(6)(3( > +− +−+ xx xxx 0)9(0)10)9)(1)(2)(6)(3( ≠+≠−(>+−+−+ xyxdondeenxxxxx 9;1;2;6;3 09;01;0206;03 0)9)(1)(2)(6)(3( 0)(0)9)(1)(2)(6)(3( −==−==−= =+=−=+=−=+ =+−+−+ >⇒>+−+−+ xxxxx xxxxx xxxxx xPxxxxx x -9 -3 -2 1 6 ] [ ] [ ] [∞+−−− ,61,23,9 : UU Solución
  22. 22. Jaime Aguas 22 EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelva las siguientes inecuaciones 3.- Compruebe la solución mediante el método gráfico RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ] [ ] [ ( ) ] [ ] [ ] [0, 2 1 2 3, 3 54, : 0 )53)(4( 32 2 1 .2 3,11,2 : 1 8 1 2 1 .1 2 −−−−∞− < ++ +      + − −− − < + − − − UU U Solución xxx xx Solución xxx x 0 )1)(1( )2)(3( 0 1 6 0 1 8 1 2 1 1 8 1 2 1 .1 2 2 2 2 < +− +− < − −+ < − − + − − − < + − − − xx xx x xx xxx x xxx x
  23. 23. Jaime Aguas 23 (x-3) - - - - + (x+2) - + + + + (x-1) - - - + + (x+1) - - + + + + - + - + (x + 1/2) - - - - + + (2x+3) - - - + + + x - - - - - + (x+4) - + + + + + (3x+5) - - + + + + P(x) < 0 - + - + - + 0 )1)(1( )2)(3( < +− +− xx xx x 31-1-2 ] [ ] [3,11,2 : U−− Solución ( ) ( ) ( ) 3 5 ;4;0; 2 3 ; 2 1 0)53(;0)4(;0;032;0 2 1 0)53)(4)((32 2 1 0 )53)(4( 32 2 1 .2 −=−==−=−= =+=+==+=      + <+++      + < ++ +      + − xxxxx xxxxx xxxxx xxx xx x 0-1/2-3/2-5/3-4 1 ] [ ] [ ] [0, 2 1 2 3, 3 54, : −−−−∞− UU Solución
  24. 24. Jaime Aguas 24 CAPITULO IV INECUACIONES EXPONENCIALES Son de la forma: Según varios autores se puede agrupar en dos casos para resolver este tipo de inecuaciones. Caso 1.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación mantienen la desigualdad en el mismo sentido es decir: Caso 2.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación cambian de sentido al lado originalmente, entonces se tiene: Analice los ejercicios presentados y luego resuelva los ejercicios propuestos. 1;exp)()( )()()()( ≠∈ <> + aRayxresionesSonxgyxf aaóaa xgxfxgxf )()( )()( )()( )()( xgxfaa ó xgxfaaSi xgxf xgxf <⇒< >⇒> )()( )()( )()( )()( xgxfaa ó xgxfaaSi xgxf xgxf >⇒< <⇒> ( ) ( )[ ]       ∞+− − < − <∧= > >− −− −− , 2 3 10 22 12 32 :,0.140.0 40.0)40.0( : 16.0)40.0(.1 20 22 212 32 20 22 12 32 SoluciónLa xx entoncesaaComo adevalorelcompararpoderPara xx xx
  25. 25. Jaime Aguas 25 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.- Compruebe la solución mediante el método gráfico. ( )( ) ( ) ] [3,2 065 383932 0.14 44 44 : 4 4 44 .2 2 22 383932 3831633122 )3(13 16 32122 22 22 2 Solución xx xxxx aaComo tenemosOperando xxxx xxxxx xx x xx <+− −−>−− ⇒>∧= > > >− −−−− −−+−++− −+ − +− ] [2, : )36()6(.2 4 17 , : )25.0()5.0(.1 2 3 2 52 5 2 3 12 −∞− <−       ∞− >− + + − + +− Solución Solución x x x x xx
  26. 26. Jaime Aguas 26 RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS [ ] 4 17 174 0144 0125610 126510 5 42 3 12 : 0.150.0 )5.0()5.0( )5.0()5.0( )25.0()5.0(.1 5 42 3 12 5 2 23 12 5 2 3 12 < < <− <−−− +<− + < − <∧= > > >− +− +− +− x x x xx xx xx sentidodecambiaddesigualdalaEntonces aaComo xx xx xx       ∞− 4 17 , :Solución x 0 4 17 4 17<x
  27. 27. Jaime Aguas 27 (7x+22) - + + + (x-2) - - - + (x+2) - - + + P(x) < 0 ] [2, : −∞− Solución [ ] 0 )2)(2( )227( :Re0 )2)(2( 1264210542 0 )2)(2( )12642(10542 0 )2)(2( )2)(62()2)(52( 0 2 62 2 52 2 62 2 52 : exp,0.16 )6()6( )6(6 366.2 22 22 2 62 2 52 2 3 22 52 2 3 2 52 < +− + < +− +−+−+++ < +− −+−−+++ < +− −+−++ < + + − − + + + < − + >∧= < < <−       + +       − +       + +      − +       + +       − + xx x tenemosduciendo xx xxxxxx xx xxxxxx xx xxxx x x x x x x x x mantienese onenteslosdeddesigualdalaentoncesaaComo x x x x x x x x x x x x 7 22− 0.2− 0.2 30 x
  28. 28. Jaime Aguas 28 CAPITULO V INECUACIONES IRRACIONALES Las inecuaciones Irracionales son de la Forma: En donde P2(x), P3(x), P4(x)…., Pn(x). Son Polinomios. Para la solución de la inecuación debe resolverse previamente la condición: Para resolver Inecuaciones Irracionales se debe tomar en cuenta las propiedades: ( ) ( ) 0)(......)(,)(,)( 0)(......)(,)(,)( 4 4 3 32 4 4 3 32 < > n n n n xPxPxPxP ó xPxPxPxP )()()()()3.2 0)(0)()2.2 0)(0P(x)2.1) imparpositivoenterounnecesitaSi)2 )()(0)()()3.1 0)(0)()2.1 0)(0P(x)tieneSe0,P(x)todoPara1.1) parpositivoenterounSi)1 ) 00) 00) 00) N N xQxPxQxP xPxP xP xQxPxQxP xPxP xP d yxyxc yxyxb yxyxa NN N NN N ≤⇔≤ <⇔< ≥⇔≥ ≤≤⇔≤ =⇔= ≥⇔≥≥ <≤⇔<≤ <<⇔<< ≤≤⇔≤≤ 0Pn(x)..,P4(x)P3(x),P2(x), ≥…
  29. 29. Jaime Aguas 29 Ejemplos de Aplicaciones de las Propiedades anteriores. ] [ ] [ ] [ ] [+∞− +∞−∩ +∞−∴−> ⇒>+⇔>+ +∞−=∴−> >+⇒>+ >+− ,8:esSoluciónla tantolopor,,8 :deóninterseccilaomamossolución tladeterminarPara ,88 0808 ,88 ,0808 08.1 U Intervaloalpertenecexx xxTambién Ux entoncesxseráUniversoconjuntoelxComo x ] [ ] [ ] [ ] [4,2,2U :essoluciónConjuntoEl ,2 :intervalodenotaciónen-2x6x-46x-4Como 4,-Uentonces4x0x-4 :deUniversoconjuntoelosDeterminam 64.3 . )7(,07 07.2 −=+∞−∩ +∞−∈ >⇒<⇔< ∞=≤⇒≥ <−− −<− <−− x x negativoserpuedeno xquepuestosolucióntienenoinecuaciónlaxComo x ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [2, 5 11,U: 5 11, 5 11 566566 radicaleslosconTrabajamos ,52,U2U1U ,51,2 0)1)(5(056U2) ,32,1 0)2)(3(06U1) radicales.losderelativosUniversoslososDeterminam 566.4 2222 2 2 22 −∞−=∞− ∞−∴< +−<−−⇒+−<−− +∞−∞−== +∞∞−= ≥−−⇒≥+− +∞−∞−= ≥+−⇒≥−− +−<−−− I II U U essoluciónLa x xxxxxxxx U xxxx U xxxx xxxx
  30. 30. Jaime Aguas 30 Para quedar claro el ejercicio 4 (x-3) - - + (x+2) - + + + - + (x-5) - - + (x-1) - + + + - + 2;3 02;03 0)2)(3(06U1) radicales.losderelativosUniversoslososDeterminam 566.4 2 22 −== =+=− ≥+−⇒≥−− +−<−−− xx xx xxxx xxxx 0)( ≥xP -2 3 x 4 ] [ ] [+∞=−∞− ,32,U1: IessoluciónLa 1;5 01;05 0)1)(5(056U2) 2 == =−=− ≥−−⇒≥+− xx xx xxxx 0)( ≥xP 1 5 x 6 ] [ ] [ ] [ ] [+∞−∞−== +∞∞−= ,52,U2U1U ,51,2 II UU 2−<x 50 1 3 x-1-5 -2 5>x
  31. 31. Jaime Aguas 31 Por favor resuelva las inecuaciones 2 y 4 por el método gráfico, seguidamente vamos a plantear la solución para diversos casos de inecuaciones. CUANDO SE TIENE LAS FORMAS PARA LAS FORMAS [ ] [ ][ ])()(0)(0)(0)()()( : )()(.2 ))()(0)((0)(0)()()( : )()()1 2 2 xQxPxPxQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP xQxPxPxQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP ≥∧≥∨≤∧≥⇔≥ ≥− >∧≥∨≤∧≥⇔≥ > [ ] [ ])()(0)(0)()()( : )()(.2 )()(0)(0)()()( : )()()1 2 2 xQxPxQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP xQxPxQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP ≤∧≥∧≥⇔≤ ≤− <∧>∧≥⇔< < ] [ ] [ ] [2, 5 11,U: 5 11, 5 11 566566 radicaleslosconTrabajamos 2222 −∞−=∞− ∞−∴< +−<−−⇒+−<−− IessoluciónLa x xxxxxxxx 2−<x 5 11 50 1 3 x-1-5 -2 5>x Solución
  32. 32. Jaime Aguas 32 INECUACIONES DE LA FORMA INECUACIONES DE LA FORMA INECUACIONES DE LA FORMA Una vez Analizado los cinco casos le pedimos consultar en la bibliografía propuesta, el procedimiento para la resolución y anexar un ejemplo y un ejercicio resuelto para cada caso. 0)(0)(0)()( : 0)()(.2 0)(0)(0)()( : 0)()()1 >∧>⇒>+ ≥+− >∧>⇒>+ >+ xQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP xQxPxQxP siobtienesesoluciónLa xQxP ( ) ( )[ ])()(0)(0)()()( : 0;)()()1 2 xQkxPxQxPkxQxP siobtienesesoluciónLa kdondeenkxQxP −≥∧≥∧≥⇒≥+ >≥+ 0)(0)(0)()( : 0)()()1 =∧=⇒≤+ ≤+ xQxPxQxP essoluciónLa xQxP
  33. 33. Jaime Aguas 33 CAPITULO VI INECUACIONES LOGARÍTMICAS Para el estudio de las inecuaciones Logarítmicas es importante tener presente: 1. La definición de logaritmo. 2. Propiedades de las funciones de logaritmo: Sea x > 0 3. Figura (1) Al observar el gráfico se tiene: 1.- Cuando la base a > 1 1;0,log ≠>= aadondeenxySi a 1;00;log ≠>∧>=⇔= aaxaxxy y a )(log).(log)(log) )(log.)(log) )(log)(loglog) )(log)(log).(log) )(log) ) )(log axxvi xyxv yx y xiv yxyxiii xaii xai bab a y a aaa aaa y a xa = = −=     += = = 1 x1 x2 y1 y2 xy alog= 1>a 0
  34. 34. Jaime Aguas 34 1.1.- Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo 1.2.- Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo entonces para cualquier Figura (2) 2.- Cuando la base 0 < a < 1 2.1.- Los números mayores que uno tienen logaritmo negativo. 2.2.- Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo positivo entonces para cualquier m a m a aa axmx axmx ax xxxxaSi tieneseRxx <<⇒< >⇒>⇒ >> <⇔<<∧> ∈ + 0log log ;1;0Sia) :esconclusionsiguienteslasobtienensedondeDe 2log1log2101 2,1 1 x1 x2 y xy alog= 10 << a 0 x m a m a aa axmx axmx Rmax xxxxaSi tieneseRxx >⇔< <<⇔>⇒ ∈∧<<> >⇔<<∧<< ∈ + log 0log ;10;0Sia) :esconclusionsiguienteslasextraesedondeDe 2log1log21010 2,1
  35. 35. Jaime Aguas 35 EJEMPLOS Resolver:       ∞= −<> − >− >− > ⇒= <>>⇒ > >−− 3 10 ,--S2S1 :serásoluciónLa (S2) 3 10 3 10 3166 1636 23x)-(6 :seestablecerpuede1.0quemayor2,baselaComo S1)1(Solucoión2xóx2;3x6 03x)-(6cumplirsedebeRlosensolucióntengaquePara 4)36(log.1 4 2 I xóx x x x 3 6 11 S 6 11 3 4 5 S2S1seráSoluciónLa S2 6 11 x 116x 562x4x 2x)-(65)-(4x1quemayor3,baselaComo S13 4 5 3; 2 6 4 5 02654x 02x)-(605)-(4x :queestablecerdebemosPrimero )26(log)54(log.2 33 <<=       +∞<<      <<= > > +>+ >⇒= << >>∧> >−∧> >∧> −>−− x xx x xxx x xx II
  36. 36. Jaime Aguas 36       +∞= > > >+       >+⇔−<+ −>⇒>+ >⇔< ∈,<<> −<+− − , 2 1 : 2 1 24 974 3 1 742)74(log 4 7 0)74( log 10,0: 2)74(log.3 2 3 1 3 1 S seríaSoluciónLa x x x xx xx axmx RmaxpropiedadlaAplicando x m a
  37. 37. Jaime Aguas 37 EJERCICIOS PROPUESTOS RESOLVER 5.- Desarrollar las inecuaciones 1 y 3 mediante el método gráfico. ] [ [ [ ] ] 3)()(.4 4,31,0 : 1)34(.3 2 7 , 5 12 : )27()53(.2 3,1 : 1 1 3 .1 4 2 2 2 2 3 1 55 >+− −≥+−−     −>−− >      − + − xLogxLog Solución xxLog Solución xLogxLog Solución x x Logx U
  38. 38. Jaime Aguas 38 CAPITULO VII INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para el estudio de estas inecuaciones es importante tener presente: Definición de Valor Absoluto. Interpretación de Valor Absoluto. Propiedades Fundamentales de los números reales. Definición de Valor Absoluto.- El Valor Absoluto de un número real x, denotado por | x | (se lee valor absoluto de x); se define por: Ejemplos: CONCLUSION: El valor absoluto de un numero real siempre será positivo o cero. Interpretación Geométrica.- El Valor Absoluto del número x, gráficamente se indica como “La Longitud del origen al número x” o como “La Longitud del origen al número -x”    <− ≥ = 0; 0; xsix xsix x ( ) 00.5 5,15,1.4 222.3 3)3(3.2 33.1 =− =− =−−=−− =−−=−− =− x-x 0 xx ∞+∞−
  39. 39. Jaime Aguas 39 Propiedades Fundamentales.- baba aaRaa ...2 00,0.1 =− =⇔=∧∈∀≥−
  40. 40. Jaime Aguas 40

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