Guia Física I

1 | P á g i n a
Guia de Estudos para Física I
Tecnologias de Informação e Comunicação na Educação
Professora Karen Luz Burgoa Rosso
Tutor Antônio Marcelo Martins Maciel

Espaço a ser preenchido pela biblioteca
Ficha catalográfica preparada pela Divisão de Processos
Técnicos da Biblioteca Central da UFLA

_____Cinemática da partícula______________
kGoverno Federal
Presidente da República: Dilma Vana Rousseff
Ministro da Educação: Aloizio Mercadante
Diretor de Educação a Distância: João Carlos Teatini de Souza Clímaco –
CAPES/UAB
Universidade Federal de Lavras
Reitor: José Roberto Soares Scolforo
Vice-Reitora: Édila Vilela de Resende von Pinho
Pró-Reitora de Graduação: Soraya Alvarenga Botelho
Centro de Educação a Distância
Coordenador Geral: Ronei Ximenes Martins
Coordenadora Pedagógica: Elaine das Graças Frade
Coordenador de Projetos: Cleber Carvalho de Castro
Coordenadora de Apoio Técnico: Fernanda Barbosa Ferrari
Coordenador de TI: Raphael Winckler de Bettio
Projeto de Fomento ao Uso das TICs nos Cursos de Graduação
Coordenador UAB: Cleber Carvalho de Castro
Coordenador Adjunto UAB: Warlley Ferreira Sahb
Coordenação do Projeto: Jerry Carvalho Borges, Ulisses Azevedo Leitão e Raphael
Winckler de Bettio

Prefácio
Um livro oficial de Física I é o resultado de meio século de troca de ideias sobre o ensino da física
no mundo inteiro. Portanto, este guia de estudos não possui o objetivo, ou pretensão, de substituir
nenhum livro didático. Este guia de Física I tem como objetivo complementar, oferecendo uma
nova leitura, os principais assuntos dos livros didáticos recomendados pelos professores desta
disciplina e apresentar, resumidamente, uma sequência didática dos capítulos abordados em Física I.
O guia virtual contém vídeos e animações sobre vetores e principais forças da mecânica e
recomenda-se fortemente adquirir este material multimídia com os autores.
A disciplina de Física I é identificada como uma disciplina que apresenta um grau de dificuldade
elevado, exigindo dos alunos grande empenho nos estudos. Assim, recomendamos aos alunos que
tenham muita dedicação nos estudos, desenvolvendo bons hábitos de estudo, estabelecendo uma
rotina de estudos, em horários regulares, todos os dias, buscando compreender os conceitos físicos,
pois deste modo, o bom resultado será uma mera consequência.
A Física encontra-se presente no seu cotidiano e, comumente, conceitos intuitivos são criados sem
fundamentações científicas. Cuidado! Lembre-se que está é uma ciência natural, apropriem-se dos
conceitos de Física definidos pelos físicos. Um exemplo claro de conceito intuitivo pode ser
relatado pela seguinte situação: Você coloca uma caixa sobre sua cabeça e diz que o peso da caixa
atua sobre sua cabeça. Porém, o peso da caixa atua na própria caixa, o físico vai afirmar que a força
que a caixa faz sobre sua cabeça é a força normal. Esta confusão entre conceitos que devem ser
adquiridos e os conceitos intuitivos são muito comuns na mecânica e o aluno precisa se manter
atento.
Este guia é composto de seis unidades. A primeira unidade apresenta a descrição matemática das
equações da cinemática de uma partícula, destacando os movimentos em uma, duas e três
dimensões, além de ressaltar os diferentes movimentos em relação à aceleração a qual a partícula
está submetida. Como auxílio para seus estudos, esta unidade possui um vídeo explicando a parte
matemática dos vetores e suas propriedades. Na segunda unidade mostra-se que a aceleração da
partícula está intimamente relacionada com as forças que atuam sobre a partícula. Esta unidade
também possui um vídeo que apresenta as principais forças da dinâmica da partícula. Na terceira
unidade os conceitos de trabalho e energia são apresentados, destacando-se como os dois conceitos
estão relacionados. Há destaque para a conservação da energia mecânica, o que ocorre em sistemas
onde as forças não conservativas não realizam trabalho. A quarta unidade, sobre momento linear
(quantidade de movimento), apresenta-se outra grandeza que é conservada quando a resultante das
forças externas ao sistema é nula, sendo o vetor momento linear da partícula uma constante no
tempo. A quinta unidade dedica-se ao estudo da dinâmica e cinemática de um sólido rígido. Este
estudo foi feito inicialmente através da identificação das forças que atuam num sólido, onde tais
forças são concorrentes, de modo todas podem ser identificadas atuando no centro de massa do
sólido, que deste modo comporta-se como uma partícula. Nesta unidade as forças que atuam no
sólido não são mais concorrentes entre si e consequências são observadas. Na última unidade
aplica-se todos os conceitos aprendidos nas cinco unidades anteriores na compreensão do
movimento planetário. São interpretadas as leis empíricas de Johannes Kepler e é estudada a força
fundamental que atua entre os corpos em consequência de suas massas.

______________Digite o Título do Documento______________
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Cinemática da Partícula
OBJETIVO: Nesta primeira unidade priorizaremos a descrição física e
matemática do movimento de uma partícula. Analisaremos os conceitos
físicos, tais como, partícula, posição, velocidade, trajetória de uma
partícula. Finalmente para a descrição matemática do movimento da
partícula usaremos o conceito de sistemas de referência e aplicaremos o
cálculo diferencial, derivadas, integrais, e a análise vetorial em uma, duas,
e três dimensões.

1.1. A descrição física do problema
O problema a ser resolvido consiste em obter as equações que descrevem o movimento
de um objeto, isto é, a sua posição, velocidade e aceleração a qualquer instante de
tempo. Isto será feito a partir do conhecimento da sua aceleração e da sua posição ou
velocidade num instante de tempo anterior ou posterior.
Exemplo: Consideremos um caminhão verde numa estrada reta. As 14h, instante de
tempo inicial, o caminhão passa pelo ponto S1 e ele esta com uma velocidade de 60km/h,
em direção ao ponto S2. Gostaríamos de saber qual é a velocidade que ele terá num
instante posterior, por exemplo, às 14h15min, dado que sua aceleração é nula nesse
intervalo de tempo de 15min, ou gostaríamos de saber se o caminhão passou ou não pelo
ponto S2, passados esses 15min.
Para resolver este problema precisamos obter as equações da cinemática do
caminhão, dada às condições iniciais ao tempo de 14h e conhecendo que o
movimento não possui aceleração. Mas ainda existe uma questão a ser respondida,
de que parte do caminhão se está falando? Quando o caminhão passa por S1 é a
parte da frente ou a parte traseira? Para responder a esta pergunta precisamos do
um conceito muito importante, que na física é chamado de partícula.
Na mecânica as equações da cinemática são descritas para as partículas, então
precisamos definir o que é uma partícula.
1.2. Partícula
Na física uma partícula é um objeto pontual ao qual podemos associar varias
propriedades físicas, como por exemplo, posição, velocidade, massa, etc. Se os

objetos podem ser ou não considerados como partículas depende do fenômeno
físico que esta sendo estudado.
Exemplos:
Estudar o movimento da queda livre de uma pedra, de 3cm de diâmetro, dentro de
um elevador, de 2,5 m de altura. Neste caso se considerarmos que o elevador é uma
partícula então não poderá resolver o problema do movimento da pedra. Já
considerando a pedra, e o chão do elevador como partículas em movimento. Então
poderemos usar as equações da cinemática para resolver este problema.
Estudar a posição de um trem, de 10m de cumprimento, que percorre uma ponte, de
3m de comprimento, a uma velocidade de 1m/s. Neste caso se considerarmos que o
trem é uma partícula nós teremos um problema ao afirmar que o trem percorreu a
ponte de 3m em um tempo de 3s, pois o trem mede 10m e em 3s o trem ainda esta
na ponte. Se consideramos que o trem percorre uma ponte de 300km de
comprimento, então poderemos considerá-lo como partícula.
1.3. Cinemática da partícula
Cinemática é uma área da física que estuda o movimento dos corpos, que podem
ser modelados como partículas. Na cinemática não levamos em conta como os
corpos foram colocados em movimento, isto será feito na unidade dois, de dinâmica.
As equações da cinemática dependem primeiramente do espaço dimensional no
qual acontece o movimento dos corpos. Um corpo pode-se movimentar em uma,
dois ou três dimensões.
Exemplos
Movimentos numa dimensão:
Um carro, fusca amarelo, que se movimenta a velocidade constante numa estrada
reta, do ponto S1 a S2, tem um movimento unidimensional horizontal.

A queda livre de uma pedra que foi lançada do terraço de um prédio tem um
movimento unidimensional vertical, veja a figura do ponto C ao ponto E.
Movimentos em duas dimensões:
Um carro de corrida numa pista circular descreve um movimento bidimensional na
forma de um circulo.
Uma bola sendo lançado por um jogador de basquete descreve um movimento
bidimensional na forma de uma parábola.

Movimentos em três dimensões:
Uma sequência de carrinhos no trilho de uma montanha russa, com curvas
fechadas, altas subidas e descidas além de várias ondulações em seu percurso,
descreve um movimento em três dimensões.
O movimento do corpo, que acontece em alguma dimensão, traceja um caminho
durante seu movimento. Na física este caminho é chamado de trajetória da partícula.
No caso da pedra e do fusca amarelo, fisicamente dizemos que a partícula
descreveu uma trajetória retilínea. No caso da bola de basquete ela descreveu uma
trajetória parabólica. O carro de corrida descreveu uma trajetória circular.
Fisicamente falando o fusca amarelo é igual à pedra, pois os dois são partículas. A
trajetória do fusca amarelo e da pedra caindo do prédio é a mesma, retilínea.
Entretanto, o tempo gasto no percurso pode ser completamente diferente. No caso
do fusca amarelo o tempo gasto em percorrer uma distancia de 24m dependerá
somente do valor da sua velocidade, por exemplo, se a velocidade é de 24m/s, o
tempo gasto será de 1s. No caso da pedra, devido à aceleração da gravidade, a

velocidade aumentará em 9,81m/s a cada segundo que passa, então para
determinar o tempo gasto para percorrer a distância de 24m precisaremos da
velocidade da pedra há um tempo inicial e também deveremos levar em conta a sua
aceleração.
Por esta razão na cinemática não somente precisamos levar em conta se o
movimento foi em uma, duas ou três dimensões também será necessário saber se o
movimento é ou não acelerado.
As equações da cinemática também dependem da aceleração no movimento dos
corpos. Uma partícula pode-se movimentar em uma dimensão e não ter aceleração,
como no caso do fusca amarelo a velocidade constante. Uma partícula pode-se
movimentar a aceleração constante, como no caso da pedra lançada do prédio.
Também teremos o caso em que o vetor aceleração varia no tempo, como no caso
do movimento circular do carro de corrida
.
1.4. Equações gerais da cinemática
Matematicamente a descrição do movimento das partículas que deslocam-se em
uma, dois ou três dimensões é feita através de vetores que descrevem posição,
velocidade ou aceleração das partículas. A forma das equações da cinemática
dependerá do tipo de aceleração que o movimento da partícula experimenta.
Antes de estudar o seguinte material, por favor, veja o vídeo vetores e suas
propriedades.
1.4.1. Os vetores posição, velocidade e aceleraçã.
O movimento de uma partícula é completamente determinado se a posição da
partícula é conhecida em todos os tempos.
A posição da partícula é uma grandeza vetorial que indica a posição física da
partícula a cada instante de tempo, a partir de uma origem, previamente
determinada.
Matematicamente isto é expresso como:
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k (1)

Onde em negrito são representadas as grandezas vetoriais e sem negrito as
grandezas escalares. O vetor r(t) é o vetor posição da partícula em três dimensões,
os vetores unitários i, j e k indicam a direção nos três eixos do nosso sistema de
coordenadas. Os escalares x(t), y(t) e z(t) representam as distâncias às quais a
partícula se encontra nas direções i, j e k correspondentemente. As unidades em SI
estão contidas nas grandezas escalares x(t), y(t) e z(t).
O corpo que esta sendo estudado é representada através do ponto azul, isto é a
partícula para a qual queremos escrever as equações da cinemática. A curva azul é
a trajetória que a partícula descreve. Os vetores verdes descrevem a posição da
partícula em dois instantes diferentes. O vetor rosa representa o vetor deslocamento
da partícula, de um instante de tempo t0 a um instante de tempo posterior t1. O ponto
A representa o instante inicial em que a nossa partícula será estudada por nós.
Atenção: O ponto A não representa que a partícula esteja sem movimento.
A posição da partícula num ponto B pode ser determinada sabendo o instante de
tempo, t1, e através da equação.
r(t1) = x(t1) i + y(t1) j + z(t1) k
Para descobrir a velocidade da partícula em qualquer ponto B, sabendo que a
posição dela a quaisquer instante de tempo é r(t), usamos a definição do vetor
velocidade. A velocidade instantânea é definida como a variação instantânea do
espaço em função do tempo.
Matematicamente isto é expresso como:
V(t) = d r(t) / dt (2)

Onde V(t) representa a velocidade instantânea da partícula, a fração d /dt representa
à função derivada, e r(t) a posição da partícula no instante t. Então a velocidade da
partícula no ponto B é V(t1).
Igualmente para descobrir a aceleração instantânea da partícula no ponto B é usada
a sua definição. A aceleração instantânea de uma partícula é a variação instantânea
da velocidade no tempo. Pela equação (2) conhecemos V(t) em quaisquer instantes
de tempo então por definição sabemos que a aceleração é:
a(t) = d V(t) / dt (3)
Onde a(t) representa a grandeza vetorial aceleração da partícula no tempo t, a
fração d /dt representa à função derivada, e V(t) é o vetor velocidade da partícula no
instante t. Então a aceleração da partícula no ponto B é a(t1).
Exemplo:
Uma partícula num instante inicial t0=0[s] passa pelo ponto A, no instante de tempo
t1=5[s] passa pelo ponto B, e ao tempo final de t2 =10[s] ela passa pelo ponto C. A
posição da partícula, em função do tempo, é descrita e descrita através da equação:
r(t) = 5[m/s]*t i + 8[m/s]*t2
j + (1[m/s]-4[m/s]*t) k
Determine a posição, velocidade e aceleração da partícula nos pontos A, B, e C.
A posição da partícula,
no ponto A é r(t0) = 1[m]k,
no ponto B é r(t1) = 25[m]i + 200[m]j-19[m]k,
e no ponto é C r(t2) = 50[m]i + 800[m]j-39[m]k.
A velocidade instantânea da partícula é:
V(t) = 5[m/s] i + 16[m/s]*t j - 4[m/s] k
Conseguintemente a velocidade da partícula,
no ponto A é v(t0) = 5[m/s]i -4[m/s]k,
no ponto B é v(t1) = 5[m/s]i + 80[m/s]j-4[m/s]k,
e no ponto C é v(t2) = 5[m/s]i + 160[m/s]j-4[m/s]k.
A velocidade instantânea da partícula é:
a(t) = 16[m/s2
] j
Conseguintemente a aceleração da partícula no ponto A, B e C é constante e igual
a:
a(t0) = 16[m/ s2
]j.

Quando conhecida a posição da partícula a quaisquer instante de tempo é possível
determinar a velocidade e aceleração instantânea da partícula. Na maioria dos casos
não é conhecida a posição da partícula e sim a aceleração a qual esta submetida.
Nesse caso podemos determinar a velocidade da partícula através da função inversa
da derivada, que é conhecida como a integral. Então para achar a velocidade da
partícula em função da aceleração temos a seguinte equação:
(4)
Onde V(t) é a velocidade a quaisquer tempo t, V(t0) é a velocidade num instante de
tempo anterior a t, e a(t´) é a aceleração instantânea da partícula.
Para determinar a posição a cada instante de tempo deve-se integrar a velocidade
da partícula, isto é:
(5)
Onde r(t) é a posição a quaisquer tempo t, r(t0) é a posição da partícula num instante
de tempo anterior a t, e v(t´) é a aceleração instantânea da partícula.
1.5. Equações da cinemática em casos particulares
A partir das equações gerais da cinemática, veja Eqs. (1), (2) e (3) ou (4) e (5) é
possível determinar todas as características do movimento das partículas. Nesta
seção aplicaremos as equações (4) e (5) para determinar a velocidade e posição
instantânea de uma partícula com aceleração constante.
1.5.1. Equações da cinemática para aceleração constante nas três
dimensões.
Com aceleração constante no tempo e a partir da equação (4) temos que:
V(t) –V(t0) = a*(t-t0) ou
V(t) = V(t0) + a*(t-t0) (6)
Para determinar a posição da partícula precisamos resolver a integral da equação
(5) com a velocidade determinada na equação (6). Matematicamente obtemos:
r(t) = r(t0) + v*(t-t0) + ½*a*(t-t0)2
(7)

As equações (6) e (7) são as conhecidas equações da cinemática para o caso de
aceleração constante.
No caso em que a aceleração é nula, isto é, uma partícula a velocidade constante.
A posição instantânea da partícula é:
r(t) = r(t0) + v*(t-t0) (8)
As equações (6) e (7) descrevem completamente o movimento da partícula a
aceleração constante, ou seja, uma partícula em movimento retilíneo uniformemente
variado MRUV. Observe que ditas equações precisam das grandezas físicas,
velocidade e posição, conhecidas num ponto inicial, isto é, é necessário conhecer
r(t0) e v(t0) para resolver o problema completamente. A equação (8) é conhecida
como a equação que descreve o movimento retilíneo uniformemente MRU.
Observe que as equações para MRU e MRUV que foram apresentadas estão
escritas de forma vetorial, isto significa, que em o vetor aceleração constante,
velocidade e posição estão em três dimensões. Pode resultar mais facilmente
conhecido escrever as equações (6), (7) e (8) numa dimensão.
1.5.2. Equações da cinemática no caso de aceleração constante
numa dimensão e velocidade constante na outra dimensão.
Uma partícula que descreve um movimento combinado, de MRU na horizontal e um
movimento MRUV na vertical, é conhecida como o movimento parabólico. Um
exemplo muito comum de partículas que descrevem este tipo de movimento pode
ser encontrado nas bolas de futebol, veja a seguinte figura.
As equações que descrevem este movimento parabólico são:

As equações do movimento da partícula na horizontal e do movimento na vertical
elas se juntam através do tempo e do vetor velocidade, que é a soma vetorial da
velocidade na direção vertical mais o vetor velocidade na direção horizontal.

1.6. Combinação de movimentos para uma partícula
Como foi visto no exemplo do jogador de futebol a combinação dos movimentos foi
dada através da soma vetorial das componentes da velocidade. Quando uma
partícula esta submetida a dois, ou mais velocidades, a velocidade resultante por ela
adquirida será a soma vetorial das velocidades. Vejamos o seguinte
Exemplo:
Seja um barco que tem uma velocidade na direção leste, Vb, que se encontra num
rio cuja corrente está na direção sul com uma velocidade Vr. O barco terá um
movimento na direção sudeste, pois a velocidade será:
V = Vb + Vr
Onde o vetor velocidade resultante V está desenhado na cor laranja na figura
embaixo.
Este fato de somar as velocidades para encontrar a velocidade com a qual a
partícula desenhara a trajetória do seu movimento é aplicado também para as
grandezas vetoriais da aceleração e da posição. Na seguinte unidade, sobre
dinâmica, será visto que este conceito de soma também é aplicado aos vetores das
forças às quais as partículas são submetidas.

Dinâmica da partícula
OBJETIVO: A dinâmica é o estudo da relação entre o movimento de um
corpo e as causas desse movimento. Sendo o movimento de um corpo um
resultado direto de sua interação com outros corpos que o cercam, onde
as interações são convenientemente descritas por um conceito
matemático chamado força, esta unidade dedica-se a apresentar as três
leis de Newton, responsáveis, na mecânica clássica, por explicar os mais
diversos tipos de movimentos e apresentar as principais forças da
mecânica.

_______Dinâmica da partícula_____
2.1 Leis de Newton
Quando iniciamos os estudos da Mecânica, temos a informação de que
Mecânica é a parte da Física que se propõe descrever e explicar os
movimentos dos mais variados corpos que encontramos na natureza. Dentro
da Mecânica é comum introduzirmos o assunto com o estudo da Cinemática,
parte da Mecânica que se propõe a descrever os mais diversos tipos de
movimentos, e em seguida nos dedicamos ao estudo que explica os mais
diversos movimentos, este é o estudo da Dinâmica. Apesar de muitos terem
buscado explicar os diversos tipos de movimentos, foi Isaac Newton quem
conseguiu explicá-los a partir de três leis por ele enunciadas. A seguir temos
as três leis de Newton sendo apresentadas:
2.1.1- Primeira Lei de Newton – A lei da Inércia
Uma partícula livre sempre se move com velocidade constante, isto é, sem
aceleração.
Uma partícula livre seria aquela que não está sujeita à interações. Na prática
tal coisa não existe, visto que uma partícula está em interação com todas as
outras partículas do universo. Porém, há algumas partículas que podem ser
consideradas livres, quer porque elas estão suficientemente afastadas de
outras de modo que suas interações são desprezíveis ou porque as
interações com outras partículas se cancelam, dando uma interação
resultante nula.
Em outras palavras a 1a
lei de Newton pode ser escrita como:

Quando a resultante de forças que atuam numa partícula for nula, implica que
a partícula está em repouso ou movimento retilíneo uniforme, visto que estes
são os dois estados de movimentos onde não há aceleração atuando na
partícula.
Observação: Lembrando que o movimento é um conceito relativo. Então, ao
enunciar-se a lei da inércia, deve-se indicar a quem ou ao que o movimento
da partícula livre é referido e quando o observador é uma partícula ou
sistema livre ele recebe a denominação de observador inercial e o referencial
por ele utilizado de referencial inercial. Ainda podemos ter diferentes
observadores inerciais em movimento, um em relação ao outro, desde que
mantenham suas velocidades constantes.
2.1.2- Segunda Lei de Newton – Princípio Fundamental da
Dinâmica
A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é
produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
A forma como o texto acima está escrito deve-se ao fato que ao enunciar a
sua 2a
lei, Newton utilizou-se do conceito de quantidade de movimento
(momento linear). Então, algebricamente teremos a 2a
lei de Newton como
abaixo:
FR = dp/dt,
onde p = m.v, representa a quantidade de movimento da partícula de massa
m que encontra-se com uma velocidade v.
Assim, podemos reescrever a relação entre força e quantidade de movimento,
como:

FR = d(m.v)/dt,
considerando que na mecânica clássica, a massa m da partícula é uma
constante, comumente chamada de massa inercial, reescrevemos a
expressão acima como:
FR = m.dv/dt,
onde dv/dt = a, logo
FR = m.a,
onde a é a aceleração adquirida pelo corpo de massa m quando este está
sujeito à ação de uma força resultante FR.
Em outras palavras poderemos enunciar a 2a
lei de Newton como:
Um corpo de massa m, sujeito à ação de uma força resultante F, irá
adquirir uma aceleração a na mesma direção e sentido da força F.
2.1.2.1- Força Centrípeta
Repare que a relação que temos entre a força resultante e a aceleração é
vetorial. Logo, a 2a
lei de Newton indica que sempre que ocorrendo uma
variação no vetor velocidade, implica na existência de uma força resultante
sobre a partícula. Está relação corrobora com a 1a
lei de Newton, pois num
movimento circular uniforme, temos que o módulo do vetor velocidade
encontra-se constante, mas sua direção e sentido está variando, logo existe
uma aceleração que é resultado da ação de uma força resultante, a qual
denominamos de Força Centrípeta.

Fc = m.v2
/r,
onde m é a massa da partícula, v sua velocidade e r é o raio da trajetória
descrita pela partícula.
2.1.3- Terceira de Newton – A lei da Ação e Reação
Quando duas partículas interagem, a força sobre uma partícula é igual em
módulo, e de sentido contrário, à força sobre a outra.
Um dos princípios mais fundamentais e universais da física é o princípio da
conservação da quantidade de movimento.
Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 que encontram-se com
velocidades v1 e v2, em determinado momento as duas partículas interagem,
estando isoladas de todo o resto do universo, adquirindo a seguir novas
velocidades v'1 e v'2, e admitimos que suas massas não se alteram. O
princípio da conservação da quantidade de movimento, afirma que:
p = p',
onde, p é a quantidade de movimento inicial do sistema, p = p1 + p2 = m1.v1 +
m2.v2, e p' é a quantidade de movimento final do sistema, p' = p´1 + p'2 =
m1.v'1 + m2.v'2. Logo, termos:
m1.v1 + m2.v2 = m1.v'1 + m2.v'2,
- m2.v'2 + m2.v2 = m1.v'1 – m1.v1,

- Δp2 = Δp1,
Considerando a definição de força resultante como a variação temporal da
quantidade de movimento, na interação entre as duas partículas, durante um
intervalo de tempo Δt, temos:
F1 = Δp1/Δt e F2 = Δp2/Δt,
logo,
Δp1 = F1.Δt e Δp2= F2.Δt,
- F2.Δt = F1.Δt,
assim,
- F2 = F1.
A força que o corpo 2 faz sobre o corpo 1, F1, é igual em módulo à força que o
corpo 1 faz sobre o corpo 2, F2, na mesma direção e sentido oposto.
Permitindo o enunciado abaixo para a 3a lei de Newton:
A toda ação corresponde uma reação igual e contrária, ou seja, as ações
mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em
sentidos opostos.
Uma outra forma de observarmos a 3a
lei de Newton é considerando um
simples problema no qual aplicamos a 2a
lei. Vejamos o esquema abaixo:
A B
F

Considerando que não há qualquer atrito atuando no sistema, podemos
verificar que a força resultante no sistema é a força F e pela 2a
lei de Newton,
temos:
F = (mA + mB).a
Ao analisarmos os dois bolcos separadamente e aplicando a 2a
lei de Newton
para cada um deles, obtemos:
- força resultante atuando no bloco A: F + FBA = mA.a,
- força resultante atuando no bloco B: FAB = mB.a,
onde FBA é a força que o bloco B faz sobre o bloco A dificultando seu
deslocamento e FAB é a força que o bloco A faz sobre o bloco B
movimentando-o para a direita. Somando as duas expressões, obtemos:
F + FBA + FAB = mA.a + mB.a = ( mA + mB)a
mas, se F = (mA + mB).a, então FBA + FAB = 0, ou seja:
FBA = - FAB.
2.2 – Principais Forças da Mecânica
(Neste momento de seu estudo, recomendamos
fortemente que você assista o vídeo que apresenta as principais
forças da mecânica)

O texto inicial refere-se que esta parte da Mecânica, a qual denominamos por
Dinâmica, se propõe a explicar a causa dos movimentos. Segundo as leis de
Newton, poderemos explicar os mais diversos tipos de movimentos desde que
identifiquemos a força resultante que atua sobre o corpo em análise, ou mesmo
pela identificação da inexistência de uma força resultante.
Portanto, para que este estudo possa ser realizado, antes de mais nada, é
necessário que saibamos identificar as forças presentes nas diferentes situação
físicas, sejam elas cotidianas ou teóricas.
A seguir relacionaremos cinco forças comuns em problemas de
Mecânica.
1) Força Peso.
– Agente causador: Esta é uma força de ação a distância, causada pelos astros
ao atraírem objetos que encontram-se em seu campo gravitacional.
– Direção e sentido: é uma força de direção radial, aponta para o centro de
massa do astro e é sempre atrativa. Veja a figura abaixo.
obs.: Quando estamos observando uma situação numa pequena região da
superfície do astro a representação desta força é através de uma força direcionada
verticalmente para baixo, observe as figuras a seguir.

– Expressão: a força peso pode ser calculada a partir do valor da massa m do
objeto e o valor da aceleração da gravidade local. P = m.g
2) Força Normal.
– Agente causador: É uma força de contato, onde o agente causador são as
superfícies sólidas. Assim, sempre que um corpo encontra-se em contato com uma
superfície sólida a força normal encontra-se presente.
– Direção e sentido: Esta força é causada pelas superfícies sólidas no intuito de
impedir que o objeto penetre na superfície. Portanto sua direção é sempre
perpendicular à superfície de contato e o sentido é apontando para fora da
superfície. Veja os exemplos a seguir:
– Expressão: Não existe uma expressão para calcularmos a intensidade desta
força. Entretanto, podemos determiná-la conhecendo outras forças
presentes. Por exemplo: se uma caixa de peso 200N encontra-se em
repouso sobre um plano horizontal, temos que a resultante sobre a caixa
deve ser nula, portanto uma força de mesma intensidade da força peso,

mesma direção e sentido contrário deve estar agindo sobre a caixa. Logo, a
intensidade da força Normal neste caso vale 200N.
Obs.: Repare pelas representações que a força normal não é uma reação à força
peso como erroneamente algumas pessoas costumam pensar.
3) Força de Tração ou Tensão
– Agente causador: Força de contato, produzida por cordas, cabos ou fios
sempre que tensionados (ou tracionados).
– Direção e sentido: A direção de atuação desta força é ao longo do fio, e como
um fio só pode ser tensionado quando puxado, o sentido da força é sempre saindo
do corpo, no ponto onde a corda faz o contato. Veja os exemplos a seguir.
– Expressão: Assim como a força normal, a força de tração também não
possui uma expressão própria, o que não impede de ser calculada, desde que
interpretemos a ação desta juntamente com as demais forças presentes.
4) Força de atrito
– Agente causador: Outra força de contato e seu agente causador é o mesmo
que o da força normal, isto é, as superfícies sólidas.

– Direção e sentido: A direção da força de atrito é sempre paralela à superfície
de contato, entretanto seu sentido pode ser os dois sentidos possíveis.
Quando a força de atrito é a força responsável pelo movimento, seu sentido é
o mesmo do deslocamento do corpo. Veja o exemplo abaixo:
quando a força de atrito surge tentando impedir o movimento, seu sentido é contrário
ao movimento ou à tendência do movimento. A situação a seguir exemplifica:
– Expressão: Mais uma vez aqui temos algumas ressalvas. Quando um corpo
encontra-se parado sobre uma superfície áspera ao tentarmos empurrá-lo aplicando
uma força paralela à superfície, o corpo pode continuar parado se a força aplicada
não for suficientemente intensa para superar a chamada força de atrito estática
máxima, assim o valor da força de atrito que mantém o sistema em repouso é
idêntica ao valor da força aplicada. Ao aumentarmos a intensidade desta força, a
força de atrito cresce juntamente até que alcance o valor da força de atrito estática
máxima. A força de atrito estática máxima pode ser determinada pela expressão a
seguir:
Fate = µe.N, onde N é a intensidade da força normal e µe é o coeficiente de atrito
estático, uma constante característica do par de meios que estão em contato, a
superfície e o corpo.
Se após a força aplicada alcançar o valor da força de atrito estática máxima,
continuarmos aumentando sua intensidade o corpo entra em movimento e surge a
força de atrito cinética. Verifica-se experimentalmente e na prática, que tirar um
objeto do lugar é mais difícil do que mantê-lo em movimento, a razão está no fato
F Força aplicada
f

que o coeficiente de atrito cinético costuma ter valores inferiores ao do coeficiente
de atrito estático. Para calcularmos a intensidade da força de atrito cinética, usamos
a expressão abaixo:
Fatc = µc.N, onde N é a intensidade da força normal e µc é o coeficiente de atrito
cinético, uma constante característica do para de meios que estão em contato, a
superfície e o corpo. Em geral a força de atrito cinética se mantém praticamente
constante para qualquer valor de força aplicada ao corpo.
O gráfico abaixo apresenta o comportamento da força de atrito em função da força
aplicada:
5) Força Elástica
– Agente causador: Esta força, também uma força de contato, é causada por
molas e elásticos.
– Direção e sentido: a direção da força elástica é sempre ao longo da mola ou
elástico e seu sentido é sempre contrário à deformação produzida, razão pela qual é
denominada de força restauradora. A seguir temos os dois casos exemplificando
atuação desta força.
Força de
atrito
Força aplicada
f
=
F
Fatc
= µc
N
fate
= µe
N

– Expressão: A força elástica possui uma particularidade muito interessante e
útil, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação produzida na
mola ou elástico. Sua intensidade pode ser determinada pela expressão a seguir:
Fel = k.x, onde x é a deformação causada na mola ou elástico e k é uma
constante característica da mola, denominada constante elástica da mola, elá
indica o quanto uma mola é dura ou flexível.
Obs.1: Sendo a força elástica uma força restauradora, com sentido contrário
à deformação também é comum encontrarmos sua expressão como Fel = -
k.x, onde o sinal negativo só tem a finalidade de indicar que a força é contrária à
deformação.
Obs.2: A relação direta entre força e deformação fez com que as molas fosse
utilizadas amplamente na construção de instrumentos para medir força como as
balanças e os dinamômetros.

1 | P á g i n a
Trabalho e Energia
OBJETIVO: Nesta unidade introduziremos um novo enfoque para a resolução de
problemas físicos muito difíceis de ser tratados através das leis de Newton, isto é,
problemas nos que a força total varia no tempo e no espaço. Com este novo
enfoque resolveremos os sistemas físicos não mais através de grandezas vetoriais e
sim de grandezas escalares. Estudaremos a dinâmica do movimento dos corpos
através de grandezas físicas escalares, tais como, trabalho, energia cinética,
potencial, elástica e energia mecânica.

______________Trabalho e Energia______________
2 | P á g i n a
1.1 A descrição física do problema
Na primeira unidade, cinemática da partícula, foi estudado o movimento dos corpos
através das grandezas vetoriais tais como, posição, velocidade e aceleração. Na
segunda unidade, dinâmica da partícula, descobriu-se que a causa do movimento
dos corpos são as forças presentes no sistema físico. Aprendemos que a segunda
lei de Newton, escrita de forma vetorial, relaciona as forças que agem nos objetos
com a aceleração que eles adquirem, e desta maneira as forças presentes no
sistema físico modelam o movimento do objeto. A terceira lei, descrita também de
forma vetorial, indica que a força entre dois corpos isolados sempre aparecem em
pares.
Foi visto que para resolver um sistema físico através das leis de Newton precisamos
do conceito de diagrama de forças, estes diagramas são feitos para forças que não
variam no espaço nem no tempo. Muitos problemas na física têm a principal
característica de que as forças variam no tempo e no espaço.
Exemplo:
Consideremos um bloco que foi pressionado contra uma mola de constante elástica
k, por uma força F, e em seguida abandonado de modo a ser lançado em direção a
uma pista semicircular de raio R. Na parte inferior da pista, ponto A, o diagrama de
forças do bloco deve conter as forças peso e normal. Na parte superior da pista,
ponto B, o diagrama de forças do bloco também deve conter as mesmas forças.
Entretanto, o valor da força normal não será mais o mesmo. Então neste caso não é
possível resolver o problema através das leis de Newton, pois teremos dois
diagramas de forças do bloco diferentes e assim não temos como determinar a
aceleração única para o mesmo a partir das forças.

Nesta unidade veremos que problemas físicos como o do exemplo anterior são
possíveis de resolver facilmente através de grandezas escalares, tais como,
trabalho, energia cinética, potencial, elástica e energia mecânica.
Os conceitos que serão aprendidos neste capítulo podem ajudar a verificar, na
maioria dos casos, se os problemas resolvidos através das leis de Newton estão
com respostas corretas ou não.

1.2. Trabalho feito por uma força constante
Consideremos um bloco, de massa m sobre uma mesa lisa, ao qual é aplicada uma
força constante F.
Devido à força aplicada o bloco se deslocará uma distância ∆r e irá adquirir uma
velocidade Vf. Neste caso não temos nenhuma informação de quanto tempo levou
para o bloco adquirir a velocidade Vf. È possível definir uma grandeza escalar que
determine o valor da velocidade final da partícula sem precisar saber o tempo que
ela demorou em adquiri-la. Isso dá uma idéia do poder do enfoque da energia, assim
como de quanto ele será diferente do nosso enfoque dos capítulos anteriores.
Para isto precisamos definir o trabalho realizado pela força constante. O trabalho W
feito por um agente exercendo uma força constante sobre um sistema é o produto da
componente da força na direção do deslocamento pelo módulo do deslocamento.
Pode ser dito também que o trabalho que uma força constante realiza é o produto
escalar do vetor força pelo vetor deslocamento. Matematicamente, isto é,
W = F ● ∆r
Onde W representa o trabalho, uma grandeza escalar, F é a força constante que
sendo aplicada ao bloco e ∆r é o deslocamento do bloco. O ponto, ●, entre a força e
o deslocamento, é o símbolo do produto escalar entre dois vetores.
Se a força for expressa em Newton e o deslocamento em metro, o
trabalho será dado em joule.

Pela definição de produto escalar temos:
W = F*∆r cos()
Onde F e ∆r são os módulos dos vetores força e deslocamento, respectivamente, e
é o ângulo entre o vetor força e vetor deslocamento. O trabalho realizado por uma
força constante pode ser positivo, nulo ou negativo.
Vejamos os seguintes exemplos na figura abaixo:
No primeiro caso (a) o trabalho feito pela força F é positivo, dado que os módulos
dos vetores são positivos, e o coseno de um ângulo menor a 90o
é positivo, no caso
(b) a força e o vetor deslocamento formam 90o
e o cosseno deste ângulo é zero por
tanto o trabalho feito pela força é nulo, no último caso (c) a força realiza um trabalho
negativo porque o ângulo que o vetor força e vetor deslocamento formam é maior a
90o
e cosseno desse ângulo é negativo.
1.2.1. Trabalho da força peso e energia potencial gravitacional
A força peso é uma força considerada constante, numa pequena região próxima à
superfície da Terra, veja o vídeo sobre as forças principais da dinâmica. Por esta
razão podemos usar as equações anteriores e determinar o trabalho feito pela força
peso. A direção da força peso é sempre na vertical e com o sentido apontando para
baixo. No caso em que o deslocamento, ∆r, do objeto seja na direção vertical e
apontando para baixo, veja figura (a), o trabalho que a força peso realiza é positivo.
No caso em que o deslocamento seja verticalmente para cima, figura (b), o trabalho
que a força peso realiza será negativo, pois, o ângulo será de 180o
. No caso do
deslocamento ser somente na horizontal, veja figura (c), o trabalho feito pela força
peso é nulo.

De um modo geral quando uma partícula parte de uma altura h0 e chega a uma
altura h, encontraremos que o trabalho da força peso é igual à variação do que
denominamos por energia potencial gravitacional U.
1.3. Trabalho feito por uma força variável
O trabalho de uma força variável, como é o caso da força resultante que varia no
tempo e no espaço, não é mais determinado pelo simples produto vetorial da força
com o vetor deslocamento. Neste caso dado que a força varia devemos resolver a
integral que define o trabalho. Matematicamente temos que:
W = ∫ F●dr (1)
Onde F é a força variável e dr é o deslocamento instantâneo da partícula, ou bloco,
devido à força aplicada.
1.3.1. Trabalho feito pela força resultante e a energia cinética
Se a força variável é a força resultante podemos integrar a equação (1) utilizando a
segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a aceleração da
partícula.
FResultante = m*a = m* d v/dt (2)

Seja a equação (2) em (1),
Se a velocidade inicial da partícula é diferente de zero temos:
WResultante= ½ mv2
– ½ mv0
2
Assim depois da integração dessa força variável descobrimos que o trabalho da
força resultante não é nada mais do que a variação do que denominamos por
energia cinética da partícula, grandeza escalar, K = ½ mv2
.
Este resultado leva ao teorema do trabalho e da energia cinética. Quando é feito
trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade
escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à mudança na energia cinética
do sistema. Na linguagem matemática, temos:
WResultante = Kf - Ki= ∆K
Onde W é o trabalho realizado pela força resultante, Kf é a energia cinética adquirida
pela partícula num instante final, e Ki é a energia cinética num instante final da
consideração do movimento. Finalmente o símbolo ∆K representa a variação da
energia cinética que a partícula adquire.
1.3.1. Trabalho feito por uma força elástica e energia potencial elástica
A força elástica é uma força de modulo definido pela lei de Hooke, a direção dela é
sempre paralela a deformação, que o elástico ou a mola adquire, o sentido é sempre
contrário à deformação sofrida pela mola. Podemos expressar matematicamente
assim:
F = -k*x i
Onde F é a força elástica, k é a constante elástica da mola, x representa a
deformação da mola e o vetor unitário i representa que a mola para a qual a
equação foi escrita está na direção horizontal. O vetor deslocamento neste caso tem
uma direção igual à deformação produzida, ∆r = ∆x i, o que mostra que o ângulo

entre os vetores força e deslocamento é 1800
. Por esta razão podemos determinar o
trabalho realizado pela força elástica da seguinte forma;
Se a deformação inicial for diferente de zero, temos:
WElástica= ½ m x0
2
– ½ mx2
O trabalho da força elástica resulta na variação de uma energia potencial
denominada energia potencial elástica.
1.4. Conservação da Energia Mecânica em sistemas físicos
com forças conservativas
A energia mecânica num sistema se conserva sempre que o trabalho realizado
sobre o sistema é realizado apenas por forças conservativas.
As forças conservativas têm duas importantes propriedades:
1) Uma força é conservativa se o trabalho feito sobre uma
partícula que se movimenta entre dois pontos é
independente da sua trajetória.
2) O trabalho feito por uma força conservativa sobre uma
partícula que se movimenta numa trajetória fechada é zero.
Exemplos de forças conservativas são; força da gravidade, força normal, força
elástica e força de tração.
Imagine um objeto em queda livre ele diminui a energia potencial, mas em
compensação ganha energia cinética. Este fato acontece em função de manter a
energia mecânica total do sistema constante quando na partícula somente interagem
forças conservativas. A energia mecânica total de um sistema é definida através da
soma das energias associadas aos trabalhos feitos pelas forças conservativas.
E = K + Up + Ue

Onde K é a energia cinética que esta associada ao trabalho realizado pela força
resultante, Up é a energia potencial associada ao trabalho feito pela força
gravitacional, e Ue é a energia elástica associada ao trabalho feito pela força
elástica, caso exista um elástico ou uma mola no sistema físico. A lei da
conservação da energia mecânica indica que num instante inicial a energia
mecânica tem um valor igual à energia mecânica num instante final.
Matematicamente seria descrito como
Ei = Ef ou
Ki + Upi + Uei = Kf + Upf + Uef
O índice i indica o instante inicial, e o índice f indica o instante final. A equação
acima indica a conservação da energia mecânica de uma partícula, mas a
conservação da energia em sistemas físicos, com forças conservativas, e formadas
por varias partículas também se conserva e a equação para este caso é
Ei1 + Ei2 +.....+EiN = Ef1 + Ef2 +.....+EfN
Onde novamente a letra i indica o instante inicial e a letra f indica o instante final, os
números 1, 2,...N significam o numero de partículas dentro de seu sistema físico.
Cada energia mecânica, Ei1 ou Ei2, leva em conta energia cinética, potencial e/ou
elástica. O sistema de referencia para a energia potencial nula poderá ser escolhido
de forma independente para cada uma das partículas num mesmo instante de
tempo.
Exemplo: Consideremos um sistema físico formado por dois
blocos e uma mola, veja a figura.

Observe que a massa ligada à mola ela tem um sistema de referencia próprio para
indicar a mudança de altura num instante inicial e final de seu movimento. A massa
que esta apoiada no plano inclinado também tem seu sistema de referencia próprio
que marca a mudança na altura dela de um instante inicial há um instante final.
1.4. Situações envolvendo forças não conservativas
Consideremos o caso de um carro que sobe uma distancia d de um plano inclinado
com atrito.
Como uma primeira situação imaginemos que a força F aplicada no carro, por um
curto instante de tempo, imprime no carro uma velocidade inicial de mo que ele
sobre o plano inclinado, a energia potencial gravitacional num instante inicial,
momento em que o carro encontra-se na parte inferior do plano inclinado, é Ui = 0, a
energia potencial no instante final é Uf = mgdsen(). A energia cinética inicial é Ki
=1/2 m vi
2
e a energia cinética no instante final é Kf =1/2 m vf
2
. Desconsiderando
qualquer atrito, temos apenas forças conservativas realizando trabalhando, logo pela
conservação da energia temos que:
0 +1/2 m vi
2
= mgdsen() + 1/2 m vf
2
Ou
1/2 m (vi
2
- vf
2
) = mgdsen()

A diminuição da energia cinética se transforma em ganho de energia potencial para
o carro. No caso em que a força de atrito esteja presente temos que:
0 +1/2 m vi
2
= mgdsen() + 1/2 m vf
2
–  mgdcos()
Ou
1/2 m (vi
2
- vf
2
) = mgdsen() -  mgdcos()
Onde  é o coeficiente de atrito cinético, e mgcos() é a normal da superfície
inclinada. Repare que a diminuição da energia cinética será maior, pois, uma parte
será transformada em energia potencial e outra parte será perdida devida às forças
de atrito, geralmente estas perdas se dão através do calor gerado entre o pneu e a
superfície áspera.

Impulso e Momento linear
OBJETIVO: Tomar conhecimento conceitual e algébrico da conservação
da quantidade do movimento ou momento linear, identificando e
diferenciando os diferentes tipos de colisões.

______Impulso e momento linear____
4.1- Impulso Quantidade de Movimento
Ao estudarmos trabalho e energia, verificamos que o trabalho está
diretamente relacionado à ação de uma força, atuando sobre um corpo
durante certo deslocamento. Quando essa força é a força resultante, verifica-
se que o trabalho realizado sobre o corpo corresponde à variação de uma
energia de movimento, denominada energia cinética. Neste capítulo
estaremos fazendo uma análise semelhante, onde estudaremos o impulso. O
impulso produzido em um corpo corresponde à ação de uma força resultante
durante um certo intervalo de tempo e a consequência é provocar no corpo
uma variação de sua quantidade de movimento.
4.1.1- Impulso e Quantidade de Movimento (Momento
Linear)
Vejamos o que foi dito acima de uma forma simplificada, onde iremos
considerar, inicialmente que a força resultante que atua sobre o corpo é
constante.
Define-se impulso como sendo o produto da força resultante pelo intervalo de
tempo que a força atua no corpo:
I = FR . Δt
Lembrando que para uma massa constante FR = m.a e que a = Δv/Δt, tem-se:
I = m.a.Δt = m.(Δv/Δt).Δt = m. Δv
Sendo Δv = v – v0, conclui-se que:
I = m.v – m.v0 = p – p0,

onde p = m.v é a quantidade de movimento (ou momento linear) final do corpo
de massa m e p0 = m.v0 sua quantidade de movimento inicial.
Agora, ainda considerando a força como constante faremos uma
análise vetorial da situação:
I = FR . Δt,
onde FR = m.a = m.Δv/Δt, logo,
I = m.(Δv/Δt).Δt = m. Δv = m.v – m.v0 = p – p0.
Veja esquematicamente:
Considere um corpo de massa m indo de encontro a uma superfície conforme
a figura a seguir:
I
m
FR p
v0
p0 v
p
I
p0
Para o caso em que a força resultante não é constante durante sua ação
sobre o corpo, podemos determinar o impulso sofrido pelo corpo desde que
tenhamos conhecimento de como a força varia com o tempo.

Podemos determinar o valor do impulso determinando o valor da área sob a
curva do gráfico FR x t,
Força
I = área
tempo
ou de modo equivalente calculando a integral de FR(t) ao longo do intervalo
de tempo que a ação ocorre.
I =∫
t0
t
F t.dt=∫
t0
t

dp
dt
.dt=∫
p0
p
dp= p− p0
Assim, para qualquer caso temos que o impulso é igual à variação do
momento linear.
4.1.2- Conservação do Momento Linear
Consideremos um sistema composto de duas partículas, A e B, que
interagem entre si, mas que encontram-se isoladas dos arredores. Assim, não
existem forças externas atuando no sistema e se ocorrer alguma variação no
movimento da partícula A será devido a ação da partícula B e vice versa.
Pela terceira lei de Newton sabemos que a toda ação existe uma
reação igual e contrária. Logo, a ação que A faz em B, FAB, tem mesmo
intensidade, mesmo sentido e direção oposta à reação que B faz em A, FBA.
Isto é:
FAB = - FBA.

Como o intervalo de tempo de interação, Δt, é o mesmo para ambas as
partículas, podemos escrever:
FAB.Δt = - FBA.Δt
ou, IAB = - IBA.
Como o sistema encontra-se isolado e apenas as partículas estão interagindo
entre si, temos que este é o impulso produzido pela força resultante sobre
cada partícula, o que corresponde à variação do momento linear de cada uma
delas:
ΔpB = - ΔpA
pB – pB0 = - (pA – pA0),
Rearrumando a igualdade acima, obtemos a seguinte relação:
pA + pB = pA0 + pB0,
que nos informa que a quantidade de movimento do sistema antes da
interação entre as partículas, pantes, é igual a quantidade de movimento do
sistema após a interação entre elas, pdepois . Logo, temos que a quantidade de
movimento ou momento linear é uma grandeza que se conserva.
pantes = pdepois.
Considerando o que você acabou de estudar, observe a situação abaixo e
pense na pergunta que foi levantada.

4.1.3 - Colisões
O fato exposto acima, mostrando que o momento linear de um sistema
é conservado após a interação entra os corpos, é fundamental para que
possamos estudar a colisão entre corpos. Entretanto, verifica-se que a
conservação do momento linear não é suficiente para que possamos prever o
que irá acontecer após uma colisão entre duas partículas. Vejamos:
Para ilustrar o que foi dito acima vamos considerar um caso simples onde
duas partículas idênticas, de massa m=2,0 kg, movimentam-se numa mesma
direção com velocidades distintas conforme o esquema abaixo:
A vA0 vB0 B
Sendo os módulos de v0A e v0B iguais a 10m/s e 6,0m/s, respectivamente,
concluímos que o módulo momento linear de A e de B antes da colisão será
pA0 = 20kg.m/s e de pB0 = 12kg.m/s. Sendo a quantidade de movimento uma
grandeza vetorial, o módulo da quantidade de movimento do sistema antes da
colisão vale pantes = 8kg.m/s.
Abaixo apresentaremos algumas possibilidades para a quantidade de
movimento de A e B após a colisão que satisfazem a conservação do
momento linear do sistema.
Caso 1: as duas partículas “grudam” e passam a caminhar juntas com
velocidade de 2,0m/s, para a direita,
a quantidade de movimento do sistema após a colisão, pdepois = 8,0kg.m/s (pA
= 4,0kg.m/s e pB = 4,0kg.m/s).

Caso 2: a partícula A inverter o sentido de seu movimento, tendo uma
velocidade de 6,0m/s e a partícula B também inverte o sentido de seu
movimento, com uma velocidade de 10m/s,
vA A B vB
a quantidade de movimento de A vale 12kg.m/s e de B 20kg.m/s, de modo
que a quantidade de movimento do sistema após a colisão vale 8,0kg.m/s.
Caso 3: a partícula A fica parada e a partícula B inverte o sentido de seu
movimento ficando com velocidade de 4,0m/s,
A B vB
a quantidade de movimento da partícula A é nula e da partícula B é de
8,0kg.m/s, de modo que a quantidade de movimento total vale 8,0kg.m/s.
Repare que nos três casos apresentados, a quantidade de movimento do
sistema se conserva tanto em módulo como em direção e sentido. Como
identificar e diferenciar cada caso?
Para tanto, devemos apresentar uma grandeza física que é uma característica
da elasticidade dos corpos que interagem, denominado coeficiente de
restituição e. Ele relaciona as velocidades das esferas antes da colisão e
depois da colisão conforme a expressão a seguir:
vA – vB = - e.(vA0 - vB0)
Atenção que no momento que a expressão acima for utilizada, devemos
lembrar do caráter vetorial da velocidade. Assim, vamos aplicá-lo para cada
caso, considerando que a velocidade é positiva se o sentido do movimento é

para a direita e negativo se o sentido for para a esquerda. Deste modo,
temos que antes da colisão vA0=10m/s e vB0 = -6,0m/s.:
Caso 1: vA = 2,0m/s e vB = 2,0m/s
vA – vB = - e.(vA0 - vB0)
2,0 – 2,0 = - e.(10 - (- 6,0))
0 = - e.16
e = 0
Caso 2: vA = -6,0m/s e vB = 10m/s
vA – vB = - e.(vA0 - vB0)
-6,0 – 10 = - e.(10 - (- 6,0))
-16 = - e.16
e = 1
Caso 3: vA = 0 e vB = 4,0m/s
vA – vB = - e.(vA0 - vB0)
0 – 4 = - e.(10 - (- 6,0))
-4 = - e.16
e = 0,25
Os resultados apresentados nos permite diferenciar três tipos de colisões:
Colisões inelásticas ou perfeitamente inelásticas – são as colisões como
do caso 1, tem como característica as duas partículas movimentarem-se
juntas após a colisão. Neste tipo de colisão tem-se a perda máxima de
energia cinética do sistema e o coeficiente de restituição e = 0.
Colisões elásticas ou perfeitamente elásticas – são as colisões
apresentadas no caso 2, onde a energia cinética do sistema se conserva e o
coeficiente de restituição e =1. Verifique a igualdade abaixo:

mA.vA0
2
/2 + mB.vB0
2
/2 = mA.vA
2
/2 + mB.vB
2
/2
Colisões parcialmente elásticas – são as colisões onde a perda de energia
cinética do sistema é parcial, neste caso o coeficiente de restituição pode
assumir valores entre 0 e 1, 0<e<1.
Observações:
1 - apresentamos acima as colisões em uma dimensão, entretanto, colisões
bidimensionais e tridimensionais, também ocorrem a conservação do
momento linear, e sendo esta grandeza uma grandeza vetorial, temos que a
quantidade de movimento do sistema na direção X, antes da colisão pXantes, é
igual a quantidade de movimento na direção X, após a colisão, pXdepois. Do
mesmo modo, a quantidade de movimento do sistema na direção Y, antes da
colisão pYantes, é igual a quantidade de movimento na direção Y, após a
colisão, pYdepois e a quantidade de movimento do sistema na direção Z, antes
da colisão pZantes, é igual a quantidade de movimento na direção Z, após a
colisão, pZdepois.
A colisão abaixo é um exemplo de colisão bidimensional

2- Mencionamos acima a conservação do momento linear para um sistema de
duas partículas, o mesmo vale para o sistema de muitas partículas e para
corpos extensos, onde devemos verificar a conservação do momento linear
observando o movimento do centro de massa do sistema. Como por exemplo
um corpo que, estando em movimento, explode em duas partes, suas partes
se movem de tal modo que o centro de massa do sistema mantém sua
tarjetória inicial.

1 | P á g i n a
Movimento Rotacional
OBJETIVO: Nesta unidade definiremos um conceito muito importante na
física, isto é, o centro de massa de um sistema de partículas. Este novo
conceito é fundamental para entender a cinemática e dinâmica de um
corpo extenso, que é justamente o tema desta unidade.

______________Movimento Rotacional______________
2 | P á g i n a
1.1. A descrição física do problema
Até agora aprendemos a descrever a dinâmica e cinemática de uma partícula, seja
através das forças ou através dos conceitos de energia, mas ainda não sabemos
como descrever o movimento de um corpo extenso girando e se trasladando ao
mesmo tempo.
Nesta unidade ao falar de corpo extenso estaremos nos referindo a um corpo ideal
conhecido na física como sólido rígido.
1.2. Sólido rígido
Um corpo rígido é qualquer sistema de partículas no qual as partículas permanecem
em posições fixas entre si. Chamaremos esse modelo de simplificação como o
modelo do corpo rígido, similar ao modelo da partícula que vimos nos guias
anteriores.

3 | P á g i n a
1.3 Centro de massa
Nas unidades anteriores descrevemos o movimento global dos corpos em termos de
um ponto muito especial chamado centro de massa do sistema. A noção de centro
de massa nos da confiança no modelo de partícula, pois veremos que o centro de
massa acelera como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse
ponto, e como se todas as forças agissem lá. O centro de massa para um sistema
discreto de partículas é definido como:
rCM = (m1*r1+ m2*r2+ m3*r3+....)/( m1+ m2+ m3+....)
onde ri é a posição na qual a partícula de massa mi encontra-se. A definição de
centro de massa para um sistema físico composto por numero infinito de partículas
é:
rCM = 1/M ∫rdm,
Onde M é a massa total do sistema, o vetor r é a posição do diferencial de massa
dm. Uma importante informação para corpos homogêneos simétricos é que seu
centro de massa deve estar sobre seu eixo de simetria.
1.4. Velocidade angular e Aceleração Angular
Quando um sólido rígido sofre um movimento rotacional ele o fará ao redor de um
ponto de rotação. Veja na seguinte figura como um mesmo corpo pode ter diferentes
eixos de rotação.

4 | P á g i n a
Para descrever o movimento rotacional são definidas grandezas vetoriais
equivalentes às grandezas vetoriais que descrevem o movimento linear. Equivalente
ao deslocamento espacial tem o deslocamento angular. A velocidade angular
instantânea é a análoga ao vetor velocidade instantânea
 =d/dt
A aceleração angular é definida como:
 =d/dt
Para o caso de aceleração constante, MRUV, na primeira unidade foram
desenvolvidas as equações da cinemática. Igualmente pode ser feito para o caso de
aceleração angular constante, e em analogia a MRUV encontramos equações muito
parecidas.
A direção e sentido dos vetores velocidade angular e aceleração angular são obtidas
utilizando-se a regra da mão direita. Veja a figura embaixo e com a mão aberta
posicione os seus dedos, da mão direita, de modo que eles fechem no mesmo
sentido da rotação, se a posição inicial é r1 e a posição final r2, feche os quatro

5 | P á g i n a
dedos e deixe o dedo polegar apontando para cima, o sentido de rotação dos seus
quatro dedos foram em sentido anti-horário então nesse caso o vetor velocidade e
aceleração angular estão apontando para cima, assim como seus dedos polegar.
1.5. Energia cinética rotacional
Imagine que você comece uma serie de exercícios em uma bicicleta ergométrica.
Você aplica uma força com seus pés sobre os pedais fazendo que se desloquem
neste momento você realizou trabalho. O resultado desse trabalho é a rotação da
roda. Esse movimento rotacional representa energia cinética, pois há massa em
movimento. Esta energia é conhecida como energia cinética rotacional, ela não é
uma nova forma de energia. Se a massa da i-ésima partícula é mi e o modulo da sua
velocidade tangencial é vi então a energia cinética dessa partícula é
Ki = ½ mi vi
2
Podemos expressar a energia cinética total do corpo rígido como a soma das
energias cinéticas das partículas individuais.

6 | P á g i n a
Em analogia a energia cinética da partícula tem que a energia rotacional do corpo
rígido é igual a ½ I 2
, onde é a velocidade angular do corpo rígido e a letra I
representa o momento de inércia do corpo.
1.6. Momento de Inércia
O momento de inércia é uma medida da resistência à variação na velocidade
angular de um sistema. Assim no movimento rotacional ele exerce o mesmo papel
que a massa exerce no movimento translacional. Observe que o momento de inércia
não depende apenas da massa do corpo rígido, mas também de como a massa esta
distribuída ao redor do eixo de rotação. Veja a seguir alguns exemplos de momento
de inércia.

7 | P á g i n a
1.7. Torque e o produto vetorial
Lembra-se da bicicleta ergométrica? Nós geramos o movimento rotacional
da roda aplicando força aos pedais. Quando uma força é exercida sobre
um corpo rígido que pode girar em torno do eixo, e a linha de ação da
força não passa através do ponto de apoio no eixo, o corpo tende a girar
ao redor desse eixo. Na unidade dois, vimos que a condição de
movimento é dada pela segunda lei de Newton, isto é, se a soma de todas
as forças que atuam na partícula não é nula a partícula terá uma
aceleração e logo terá movimento. Agora veremos que a condição de
movimento rotacional é uma grandeza física conhecida como Torque.
Vejamos o caso de uma porta.
Seja uma força F aplicada a uma porta para ela fechar. Aplica-se a força bem
próxima da dobradiça da porta, eixo de rotação da porta, então a porta não rodara e
nem fechará. Por outro lado se aplicamos a mesma força perto da maçaneta da
porta ela irá girar e fechará. Então neste exemplo vemos que para uma porta rodar
não somente precisamos da força, mas também a onde a força será aplicada. A
grandeza vetorial torque leva em conta a condição de rotação do corpo rígido. O
torque é definido através do produto vetorial de dois vetores. O produto vetorial entre

8 | P á g i n a
dois vetores resulta em um vetor cujo módulo é determinado através da seguinte
equação:
C = A*B*sen()
Onde A e B são os módulos dos vetores e  é o ângulo formado entre os dois
vetores. A direção deste vetor C é indicada pelo polegar da mão direita, como
mostra a figura.
Veja que o produto vetorial de dois vetores não é comutativo, AXB é diferente de
BXA.
O torque é o produto vetorial entre o vetor força e o vetor radial que tem origem no
eixo de rotação até onde a força esta sendo aplicada. Matematicamente temos
 = rXF
Onde o símbolo  indica o vetor torque, r é o vetor radial, e F é o vetor força. Temos
agora como indicar as equações que indicam a condição de equilíbrio de um sólido
rígido.
∑F = 0 e ∑ = 0
A primeira condição é uma formulação do equilíbrio translacional. A segunda é uma
formulação do equilíbrio rotacional.
O equivalente a segunda lei de Newton para o movimento rotacional do corpo rígido
pode ser formulado da seguinte maneira.
∑ = I

9 | P á g i n a
Onde I é o momento de inércia do corpo rígido e  é o vetor aceleração angular.
1.8. Trabalho energía no movimento rotacional
Agora um sistema físico que contem um corpo rígido e no qual são aplicadas forças
conservativas terá a energia mecânica também sendo conservada. A única mudança
da equação da conservação da energia mecânica neste caso deve-se a presença da
energia cinética rotacional. Matematicamente temos:
Ei = Ef ou
Ki + KRi + Upi + Uei = Kf + KRf + Upf + Uef
O índice i indica o instante inicial, e o índice f indica o instante final. A equação
acima descrita indica a conservação da energia mecânica de um sólido rígido. A
energia mecânica deve levar em conta a energia cinética e potencial das partículas e
a energia cinética, potencial e rotacional dos corpos rígidos.

Gravitação_________________________
Gravitação
OBJETIVO: Nesta ultima unidade aplicaremos todos os conhecimentos,
sobre forças, energia e centro de massa, adquiridos nas cinco unidades
anteriores, ao problema do movimento planetário. O objetivo principal é
relacionar as leis empíricas encontradas por Johannes Kepler e a teoria da
gravitação de Newton.

Gravitação_________________________
1.1 A descrição física do problema
Os antigos astrônomos gregos preguntabam-se sobre o movimento dos planetas e
da lua. Que força faz que os planetas permaneçam em suas orbitas? Se todos os
objetos que tem massa caem porque a lua não cai? A terra gira em torno do sol? Ou
é o sol que gira em torno do planeta Terra? Por quê?
Para responder a estas perguntas o trabalho desenvolvido no século XVI pelo
cientista experimental Tycho Brahe, com ajuda da sua assistente e irmã Sophia
Brahe, foi fundamental. Tycho Brahe foi um astrônomo observacional da era que
precedeu à da invenção do telescópio, e suas observações da posição das estrelas
e dos planetas alcançaram uma precisão sem paralelo para a época. Johanes
Kepler foi um astrônomo matemático que analisou os dados observacionais de
Tycho Brahe e formulou as três leis fundamentais da mecânica celeste. No inicio do
século XVII Newton baseou sua explicação sobre o movimento planetário nos
resultados desses gigantes da ciência.

Gravitação_________________________
1.2. Leis de Kepler
A primeira lei de Kepler indica que a órbita circular é um caso muito especial, no
movimento planetário, e que orbitas elípticas são a situação geral. Todo planeta no
sistema solar descreve uma órbita elíptica com o sol em um dos seus focos.
Esta lei pode ser entendida em termos do centro de massa do sistema
planetário o sol é o astro com maior quantidade de massa do nosso
sistema planetario, consequentemente o centro de massa de um sistema
sol-planeta esta mais perto do sol.
A segunda lei de Kepler indica que, o raio vetor traçado do sol até
qualquer planeta descreve areas iguais em intervalos de tempo iguais.

Gravitação_________________________
Matemáticamente temos que;
∆A = L/(2Mp)*∆t,
Onde ∆A é area percorrida pelo raio vetor num intervalo de tempo ∆t, L é
o módulo do momento angular do planeta e Mp é a massa do planeta que
esta orbitando em torno do sol.
A terceira lei de Kepler indica que o quadrado do periodo orbital de
qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita
elíptica.
Matemáticamente a terceira lei de Kepler é expressa como:
T2
=(4/GMS)2
a3
onde T é o periodo órbital do planeta, G a constante gravitacional, MS é a
massa do sol e a é o semieixo maior que a trajetoria eliptica do planeta
faz em torno do sol.
1.3. A lei da gravitação universal de Newton
A lei da gravitação de Newton é uma lei da física clássica que descreve a interação
entre os corpos devido a suas massas. Esta lei foi apresentada por Newton no livro,
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, escrito em latim e traduzido ao
Frances por uma mulher cientista chamada Émilie du Châtelet. No principia de
Newton foi fornecida a chave que desvendou os segredos do movimento planetario.
Ele sabia pela primeira lei do movimento que uma força resultante tinha que estar

Gravitação_________________________
atuando sobre a lua. Se não estivesse, a Lua se deslocaria numa trajetoria em linha
reta em vez da sua orbita quase circular. Newton concluiu que essa força entre a
Lua e a Terra era uma força atrativa. Concluiu tambem que não podia haver nada
especial sobre o sistema Terra-Lua ou sobre o sistema do Sol e seus planetas que
fizesse que as forças gravitacionais agissem apenas neles. Se duas particulas tem
massas m1 e m2 estão separadas uma distância r, o módulo da força gravitacional
entre elas é
Fg = G m1m2/r2
Onde G é a constante gravitacional, cujo valor em unidades SI é G = 6,673X10-11
[Nm2
/kg2
]. A força exercida por m1 sobre m2 é
F12 = - ( G m1m2/r2
) r12
Onde o sinal negativo indica que a partícula 1 é atraída em direção a partícula 2. Da
mesma forma, pela terceira lei de Newton, a força exercida por m2 sobre m1 é
designada por F21, é igual em modulo a F12 e está na direção oposta.
Newton demostrou que a força gravitacional exercida por uma distribuição
esfericamente simétrica de tamanho finito sobre uma partícula fora da distribuição é
a mesma força que se toda a massa da distribuição estivesse concentrada em seu
centro.
Exemplo:
Seja uma partícula de massa m na superficie da Terra, a força gravitacional entre a
massa da Terra e massa da partícula tem o modulo
Fg = G MTm/R2
T,
Em que MT é a massa da Terra e RT é o raio da Terra. Esta força esta direcionada
para o centro da Terra. Por outro lado sabemos que a força que uma massa sente
devido a atraçao gravitacional é a conhecida força peso, então

Gravitação_________________________
Fg = mg,
Consequentemente o valor da gravidade ao nivel do mar é:
g = G MT/R2
T = 9,83[m/s2
]
os valores usados na conta anterior foram MT= 5,98x1024
[kg] e MT=6,37x106
[m].
Com este exemplo podemos ver que a aceleração gravitacional com que os corpos
caem depende das caraterísticas do planeta, ou satelite nos quais eles se
encontram. Po exemplo, uma montanha russa é feita com mais emoçao em Saturno
do que na Lua, pois a aceleração da gravidade na Lua é mais ou menos, 1,6 [m/s2
] e
em Saturno é cerca de 10,5 [m/s2
].
Newton tambem demostrou que a força gravitacional entre um planeta e o sol, ou um
satelite e seu planeta, não é mais nada do que a força centripeta que gera seu
movimento semicircular.

Gravitação_________________________
1.4. Considerações de energia no movimento
planetario e de satelites
Analisamos até agora a mecânica orbital do ponto de vista das forças e momento
angular. Agora estudaremos o movimento dos planetas com o enfoque de energia.
Para isto precisamos definir a energia gravitacional associada ao trabalho realizado
pela força gravitacional.
As equações anteriores mostram que a energia gravitacional é
Ug = -G m1m2/r

Gravitação_________________________
Com a equação da energia gravitacional podemos determinar a energia mecanica
total do sistema físico formado por um corpo de massa m que descreve uma
trajetoria semicircular em torno de uma massa muito maior M.
E = ½ mv2
- G Mm/r
Esta energia mecânica total do sistema pode ser; positiva, negativa ou nula
dependendo do valor da velocidade v e da distancia de separação r. Um planeta em
movimento ao redor do sol e um satélite em orbita ao redor da Terra são sistemas
ligados, pois, a energia E é necessariamente menor a zero.
Exemplo:
Velocidade de escape é a velocidade com a qual um foguete precissa ter para ele
se afastar para sempre da Terra. Para achar esta velocidade precisamos que a
energía cinética adquirida pelo foguete deve ser igual a energia gravitacional que
precissa se vencer para escapar da atraçao gravitacional. Em equaçoes temos que,
½ mv2
esc - G MTm/RT = 0
vesc = √(2GMT/RT)
Repare que a velocidade de escape não depende da massa do objeto que será
liberado. A velocidade de escape é a mesmo para um foguete que para uma
molécula.
1.5. Bibliografia
1.- Raymond A. Serway e John W. Jewett, Jr. Princípios de Física, Volume 1,
tradução ao português da Terceira edição Americana, 2004.
2.- Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Volume 1, Oitava Edição,
2007.
3.- TIPLER, P. A. Física. Volume 1. 4A
Edição. Editora Livro Técnico e Científico
S.A. 2000
4.- ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: um curso universitário, v. 1, Mecânica,
Editora: Edgard Blücher Ltda. 3A
reimpressão, 1981.

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