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    Fisica I Fisica I Document Transcript

    • 1 | P á g i n aGuia de Estudos para Física ITecnologias de Informação e Comunicação na EducaçãoProfessora Karen Luz Burgoa RossoTutor Antônio Marcelo Martins Maciel
    • Espaço a ser preenchido pela bibliotecaFicha catalográfica preparada pela Divisão de ProcessosTécnicos da Biblioteca Central da UFLA
    • _____Cinemática da partícula______________kGoverno FederalPresidente da República: Dilma Vana RousseffMinistro da Educação: Aloizio MercadanteDiretor de Educação a Distância: João Carlos Teatini de Souza Clímaco –CAPES/UABUniversidade Federal de LavrasReitor: José Roberto Soares ScolforoVice-Reitora: Édila Vilela de Resende von PinhoPró-Reitora de Graduação: Soraya Alvarenga BotelhoCentro de Educação a DistânciaCoordenador Geral: Ronei Ximenes MartinsCoordenadora Pedagógica: Elaine das Graças FradeCoordenador de Projetos: Cleber Carvalho de CastroCoordenadora de Apoio Técnico: Fernanda Barbosa FerrariCoordenador de TI: Raphael Winckler de BettioProjeto de Fomento ao Uso das TICs nos Cursos de GraduaçãoCoordenador UAB: Cleber Carvalho de CastroCoordenador Adjunto UAB: Warlley Ferreira SahbCoordenação do Projeto: Jerry Carvalho Borges, Ulisses Azevedo Leitão e RaphaelWinckler de Bettio
    • _____Cinemática da partícula______________
    • PrefácioUm livro oficial de Física I é o resultado de meio século de troca de ideias sobre o ensino da físicano mundo inteiro. Portanto, este guia de estudos não possui o objetivo, ou pretensão, de substituirnenhum livro didático. Este guia de Física I tem como objetivo complementar, oferecendo umanova leitura, os principais assuntos dos livros didáticos recomendados pelos professores destadisciplina e apresentar, resumidamente, uma sequência didática dos capítulos abordados em Física I.O guia virtual contém vídeos e animações sobre vetores e principais forças da mecânica erecomenda-se fortemente adquirir este material multimídia com os autores.A disciplina de Física I é identificada como uma disciplina que apresenta um grau de dificuldadeelevado, exigindo dos alunos grande empenho nos estudos. Assim, recomendamos aos alunos quetenham muita dedicação nos estudos, desenvolvendo bons hábitos de estudo, estabelecendo umarotina de estudos, em horários regulares, todos os dias, buscando compreender os conceitos físicos,pois deste modo, o bom resultado será uma mera consequência.A Física encontra-se presente no seu cotidiano e, comumente, conceitos intuitivos são criados semfundamentações científicas. Cuidado! Lembre-se que está é uma ciência natural, apropriem-se dosconceitos de Física definidos pelos físicos. Um exemplo claro de conceito intuitivo pode serrelatado pela seguinte situação: Você coloca uma caixa sobre sua cabeça e diz que o peso da caixaatua sobre sua cabeça. Porém, o peso da caixa atua na própria caixa, o físico vai afirmar que a forçaque a caixa faz sobre sua cabeça é a força normal. Esta confusão entre conceitos que devem seradquiridos e os conceitos intuitivos são muito comuns na mecânica e o aluno precisa se manteratento.Este guia é composto de seis unidades. A primeira unidade apresenta a descrição matemática dasequações da cinemática de uma partícula, destacando os movimentos em uma, duas e trêsdimensões, além de ressaltar os diferentes movimentos em relação à aceleração a qual a partículaestá submetida. Como auxílio para seus estudos, esta unidade possui um vídeo explicando a partematemática dos vetores e suas propriedades. Na segunda unidade mostra-se que a aceleração dapartícula está intimamente relacionada com as forças que atuam sobre a partícula. Esta unidadetambém possui um vídeo que apresenta as principais forças da dinâmica da partícula. Na terceiraunidade os conceitos de trabalho e energia são apresentados, destacando-se como os dois conceitosestão relacionados. Há destaque para a conservação da energia mecânica, o que ocorre em sistemasonde as forças não conservativas não realizam trabalho. A quarta unidade, sobre momento linear(quantidade de movimento), apresenta-se outra grandeza que é conservada quando a resultante dasforças externas ao sistema é nula, sendo o vetor momento linear da partícula uma constante notempo. A quinta unidade dedica-se ao estudo da dinâmica e cinemática de um sólido rígido. Esteestudo foi feito inicialmente através da identificação das forças que atuam num sólido, onde taisforças são concorrentes, de modo todas podem ser identificadas atuando no centro de massa dosólido, que deste modo comporta-se como uma partícula. Nesta unidade as forças que atuam nosólido não são mais concorrentes entre si e consequências são observadas. Na última unidadeaplica-se todos os conceitos aprendidos nas cinco unidades anteriores na compreensão domovimento planetário. São interpretadas as leis empíricas de Johannes Kepler e é estudada a forçafundamental que atua entre os corpos em consequência de suas massas.
    • ______________Digite o Título do Documento______________0 | P á g i n a
    • ______________Digite o Título do Documento______________Cinemática da PartículaOBJETIVO: Nesta primeira unidade priorizaremos a descrição física ematemática do movimento de uma partícula. Analisaremos os conceitosfísicos, tais como, partícula, posição, velocidade, trajetória de umapartícula. Finalmente para a descrição matemática do movimento dapartícula usaremos o conceito de sistemas de referência e aplicaremos ocálculo diferencial, derivadas, integrais, e a análise vetorial em uma, duas,e três dimensões.
    • _____Cinemática da partícula______________1.1. A descrição física do problemaO problema a ser resolvido consiste em obter as equações que descrevem o movimentode um objeto, isto é, a sua posição, velocidade e aceleração a qualquer instante detempo. Isto será feito a partir do conhecimento da sua aceleração e da sua posição ouvelocidade num instante de tempo anterior ou posterior.Exemplo: Consideremos um caminhão verde numa estrada reta. As 14h, instante detempo inicial, o caminhão passa pelo ponto S1 e ele esta com uma velocidade de 60km/h,em direção ao ponto S2. Gostaríamos de saber qual é a velocidade que ele terá numinstante posterior, por exemplo, às 14h15min, dado que sua aceleração é nula nesseintervalo de tempo de 15min, ou gostaríamos de saber se o caminhão passou ou não peloponto S2, passados esses 15min.Para resolver este problema precisamos obter as equações da cinemática docaminhão, dada às condições iniciais ao tempo de 14h e conhecendo que omovimento não possui aceleração. Mas ainda existe uma questão a ser respondida,de que parte do caminhão se está falando? Quando o caminhão passa por S1 é aparte da frente ou a parte traseira? Para responder a esta pergunta precisamos doum conceito muito importante, que na física é chamado de partícula.Na mecânica as equações da cinemática são descritas para as partículas, entãoprecisamos definir o que é uma partícula.1.2. PartículaNa física uma partícula é um objeto pontual ao qual podemos associar variaspropriedades físicas, como por exemplo, posição, velocidade, massa, etc. Se os
    • _____Cinemática da partícula______________objetos podem ser ou não considerados como partículas depende do fenômenofísico que esta sendo estudado.Exemplos:Estudar o movimento da queda livre de uma pedra, de 3cm de diâmetro, dentro deum elevador, de 2,5 m de altura. Neste caso se considerarmos que o elevador é umapartícula então não poderá resolver o problema do movimento da pedra. Jáconsiderando a pedra, e o chão do elevador como partículas em movimento. Entãopoderemos usar as equações da cinemática para resolver este problema.Estudar a posição de um trem, de 10m de cumprimento, que percorre uma ponte, de3m de comprimento, a uma velocidade de 1m/s. Neste caso se considerarmos que otrem é uma partícula nós teremos um problema ao afirmar que o trem percorreu aponte de 3m em um tempo de 3s, pois o trem mede 10m e em 3s o trem ainda estana ponte. Se consideramos que o trem percorre uma ponte de 300km decomprimento, então poderemos considerá-lo como partícula.1.3. Cinemática da partículaCinemática é uma área da física que estuda o movimento dos corpos, que podemser modelados como partículas. Na cinemática não levamos em conta como oscorpos foram colocados em movimento, isto será feito na unidade dois, de dinâmica.As equações da cinemática dependem primeiramente do espaço dimensional noqual acontece o movimento dos corpos. Um corpo pode-se movimentar em uma,dois ou três dimensões.ExemplosMovimentos numa dimensão:Um carro, fusca amarelo, que se movimenta a velocidade constante numa estradareta, do ponto S1 a S2, tem um movimento unidimensional horizontal.
    • _____Cinemática da partícula______________A queda livre de uma pedra que foi lançada do terraço de um prédio tem ummovimento unidimensional vertical, veja a figura do ponto C ao ponto E.Movimentos em duas dimensões:Um carro de corrida numa pista circular descreve um movimento bidimensional naforma de um circulo.Uma bola sendo lançado por um jogador de basquete descreve um movimentobidimensional na forma de uma parábola.
    • _____Cinemática da partícula______________Movimentos em três dimensões:Uma sequência de carrinhos no trilho de uma montanha russa, com curvasfechadas, altas subidas e descidas além de várias ondulações em seu percurso,descreve um movimento em três dimensões.O movimento do corpo, que acontece em alguma dimensão, traceja um caminhodurante seu movimento. Na física este caminho é chamado de trajetória da partícula.No caso da pedra e do fusca amarelo, fisicamente dizemos que a partículadescreveu uma trajetória retilínea. No caso da bola de basquete ela descreveu umatrajetória parabólica. O carro de corrida descreveu uma trajetória circular.Fisicamente falando o fusca amarelo é igual à pedra, pois os dois são partículas. Atrajetória do fusca amarelo e da pedra caindo do prédio é a mesma, retilínea.Entretanto, o tempo gasto no percurso pode ser completamente diferente. No casodo fusca amarelo o tempo gasto em percorrer uma distancia de 24m dependerásomente do valor da sua velocidade, por exemplo, se a velocidade é de 24m/s, otempo gasto será de 1s. No caso da pedra, devido à aceleração da gravidade, a
    • _____Cinemática da partícula______________velocidade aumentará em 9,81m/s a cada segundo que passa, então paradeterminar o tempo gasto para percorrer a distância de 24m precisaremos davelocidade da pedra há um tempo inicial e também deveremos levar em conta a suaaceleração.Por esta razão na cinemática não somente precisamos levar em conta se omovimento foi em uma, duas ou três dimensões também será necessário saber se omovimento é ou não acelerado.As equações da cinemática também dependem da aceleração no movimento doscorpos. Uma partícula pode-se movimentar em uma dimensão e não ter aceleração,como no caso do fusca amarelo a velocidade constante. Uma partícula pode-semovimentar a aceleração constante, como no caso da pedra lançada do prédio.Também teremos o caso em que o vetor aceleração varia no tempo, como no casodo movimento circular do carro de corrida.1.4. Equações gerais da cinemáticaMatematicamente a descrição do movimento das partículas que deslocam-se emuma, dois ou três dimensões é feita através de vetores que descrevem posição,velocidade ou aceleração das partículas. A forma das equações da cinemáticadependerá do tipo de aceleração que o movimento da partícula experimenta.Antes de estudar o seguinte material, por favor, veja o vídeo vetores e suaspropriedades.1.4.1. Os vetores posição, velocidade e aceleraçã.O movimento de uma partícula é completamente determinado se a posição dapartícula é conhecida em todos os tempos.A posição da partícula é uma grandeza vetorial que indica a posição física dapartícula a cada instante de tempo, a partir de uma origem, previamentedeterminada.Matematicamente isto é expresso como:r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k (1)
    • _____Cinemática da partícula______________Onde em negrito são representadas as grandezas vetoriais e sem negrito asgrandezas escalares. O vetor r(t) é o vetor posição da partícula em três dimensões,os vetores unitários i, j e k indicam a direção nos três eixos do nosso sistema decoordenadas. Os escalares x(t), y(t) e z(t) representam as distâncias às quais apartícula se encontra nas direções i, j e k correspondentemente. As unidades em SIestão contidas nas grandezas escalares x(t), y(t) e z(t).O corpo que esta sendo estudado é representada através do ponto azul, isto é apartícula para a qual queremos escrever as equações da cinemática. A curva azul éa trajetória que a partícula descreve. Os vetores verdes descrevem a posição dapartícula em dois instantes diferentes. O vetor rosa representa o vetor deslocamentoda partícula, de um instante de tempo t0 a um instante de tempo posterior t1. O pontoA representa o instante inicial em que a nossa partícula será estudada por nós.Atenção: O ponto A não representa que a partícula esteja sem movimento.A posição da partícula num ponto B pode ser determinada sabendo o instante detempo, t1, e através da equação.r(t1) = x(t1) i + y(t1) j + z(t1) kPara descobrir a velocidade da partícula em qualquer ponto B, sabendo que aposição dela a quaisquer instante de tempo é r(t), usamos a definição do vetorvelocidade. A velocidade instantânea é definida como a variação instantânea doespaço em função do tempo.Matematicamente isto é expresso como:V(t) = d r(t) / dt (2)
    • _____Cinemática da partícula______________Onde V(t) representa a velocidade instantânea da partícula, a fração d /dt representaà função derivada, e r(t) a posição da partícula no instante t. Então a velocidade dapartícula no ponto B é V(t1).Igualmente para descobrir a aceleração instantânea da partícula no ponto B é usadaa sua definição. A aceleração instantânea de uma partícula é a variação instantâneada velocidade no tempo. Pela equação (2) conhecemos V(t) em quaisquer instantesde tempo então por definição sabemos que a aceleração é:a(t) = d V(t) / dt (3)Onde a(t) representa a grandeza vetorial aceleração da partícula no tempo t, afração d /dt representa à função derivada, e V(t) é o vetor velocidade da partícula noinstante t. Então a aceleração da partícula no ponto B é a(t1).Exemplo:Uma partícula num instante inicial t0=0[s] passa pelo ponto A, no instante de tempot1=5[s] passa pelo ponto B, e ao tempo final de t2 =10[s] ela passa pelo ponto C. Aposição da partícula, em função do tempo, é descrita e descrita através da equação:r(t) = 5[m/s]*t i + 8[m/s]*t2j + (1[m/s]-4[m/s]*t) kDetermine a posição, velocidade e aceleração da partícula nos pontos A, B, e C.A posição da partícula,no ponto A é r(t0) = 1[m]k,no ponto B é r(t1) = 25[m]i + 200[m]j-19[m]k,e no ponto é C r(t2) = 50[m]i + 800[m]j-39[m]k.A velocidade instantânea da partícula é:V(t) = 5[m/s] i + 16[m/s]*t j - 4[m/s] kConseguintemente a velocidade da partícula,no ponto A é v(t0) = 5[m/s]i -4[m/s]k,no ponto B é v(t1) = 5[m/s]i + 80[m/s]j-4[m/s]k,e no ponto C é v(t2) = 5[m/s]i + 160[m/s]j-4[m/s]k.A velocidade instantânea da partícula é:a(t) = 16[m/s2] jConseguintemente a aceleração da partícula no ponto A, B e C é constante e iguala:a(t0) = 16[m/ s2]j.
    • _____Cinemática da partícula______________Quando conhecida a posição da partícula a quaisquer instante de tempo é possíveldeterminar a velocidade e aceleração instantânea da partícula. Na maioria dos casosnão é conhecida a posição da partícula e sim a aceleração a qual esta submetida.Nesse caso podemos determinar a velocidade da partícula através da função inversada derivada, que é conhecida como a integral. Então para achar a velocidade dapartícula em função da aceleração temos a seguinte equação:(4)Onde V(t) é a velocidade a quaisquer tempo t, V(t0) é a velocidade num instante detempo anterior a t, e a(t´) é a aceleração instantânea da partícula.Para determinar a posição a cada instante de tempo deve-se integrar a velocidadeda partícula, isto é:(5)Onde r(t) é a posição a quaisquer tempo t, r(t0) é a posição da partícula num instantede tempo anterior a t, e v(t´) é a aceleração instantânea da partícula.1.5. Equações da cinemática em casos particularesA partir das equações gerais da cinemática, veja Eqs. (1), (2) e (3) ou (4) e (5) épossível determinar todas as características do movimento das partículas. Nestaseção aplicaremos as equações (4) e (5) para determinar a velocidade e posiçãoinstantânea de uma partícula com aceleração constante.1.5.1. Equações da cinemática para aceleração constante nas trêsdimensões.Com aceleração constante no tempo e a partir da equação (4) temos que:V(t) –V(t0) = a*(t-t0) ouV(t) = V(t0) + a*(t-t0) (6)Para determinar a posição da partícula precisamos resolver a integral da equação(5) com a velocidade determinada na equação (6). Matematicamente obtemos:r(t) = r(t0) + v*(t-t0) + ½*a*(t-t0)2(7)
    • _____Cinemática da partícula______________As equações (6) e (7) são as conhecidas equações da cinemática para o caso deaceleração constante.No caso em que a aceleração é nula, isto é, uma partícula a velocidade constante.A posição instantânea da partícula é:r(t) = r(t0) + v*(t-t0) (8)As equações (6) e (7) descrevem completamente o movimento da partícula aaceleração constante, ou seja, uma partícula em movimento retilíneo uniformementevariado MRUV. Observe que ditas equações precisam das grandezas físicas,velocidade e posição, conhecidas num ponto inicial, isto é, é necessário conhecerr(t0) e v(t0) para resolver o problema completamente. A equação (8) é conhecidacomo a equação que descreve o movimento retilíneo uniformemente MRU.Observe que as equações para MRU e MRUV que foram apresentadas estãoescritas de forma vetorial, isto significa, que em o vetor aceleração constante,velocidade e posição estão em três dimensões. Pode resultar mais facilmenteconhecido escrever as equações (6), (7) e (8) numa dimensão.1.5.2. Equações da cinemática no caso de aceleração constantenuma dimensão e velocidade constante na outra dimensão.Uma partícula que descreve um movimento combinado, de MRU na horizontal e ummovimento MRUV na vertical, é conhecida como o movimento parabólico. Umexemplo muito comum de partículas que descrevem este tipo de movimento podeser encontrado nas bolas de futebol, veja a seguinte figura.As equações que descrevem este movimento parabólico são:
    • _____Cinemática da partícula______________As equações do movimento da partícula na horizontal e do movimento na verticalelas se juntam através do tempo e do vetor velocidade, que é a soma vetorial davelocidade na direção vertical mais o vetor velocidade na direção horizontal.
    • _____Cinemática da partícula______________1.6. Combinação de movimentos para uma partículaComo foi visto no exemplo do jogador de futebol a combinação dos movimentos foidada através da soma vetorial das componentes da velocidade. Quando umapartícula esta submetida a dois, ou mais velocidades, a velocidade resultante por elaadquirida será a soma vetorial das velocidades. Vejamos o seguinteExemplo:Seja um barco que tem uma velocidade na direção leste, Vb, que se encontra numrio cuja corrente está na direção sul com uma velocidade Vr. O barco terá ummovimento na direção sudeste, pois a velocidade será:V = Vb + VrOnde o vetor velocidade resultante V está desenhado na cor laranja na figuraembaixo.Este fato de somar as velocidades para encontrar a velocidade com a qual apartícula desenhara a trajetória do seu movimento é aplicado também para asgrandezas vetoriais da aceleração e da posição. Na seguinte unidade, sobredinâmica, será visto que este conceito de soma também é aplicado aos vetores dasforças às quais as partículas são submetidas.
    • Dinâmica da partículaOBJETIVO: A dinâmica é o estudo da relação entre o movimento de umcorpo e as causas desse movimento. Sendo o movimento de um corpo umresultado direto de sua interação com outros corpos que o cercam, ondeas interações são convenientemente descritas por um conceitomatemático chamado força, esta unidade dedica-se a apresentar as trêsleis de Newton, responsáveis, na mecânica clássica, por explicar os maisdiversos tipos de movimentos e apresentar as principais forças damecânica.
    • _______Dinâmica da partícula_____2.1 Leis de NewtonQuando iniciamos os estudos da Mecânica, temos a informação de queMecânica é a parte da Física que se propõe descrever e explicar osmovimentos dos mais variados corpos que encontramos na natureza. Dentroda Mecânica é comum introduzirmos o assunto com o estudo da Cinemática,parte da Mecânica que se propõe a descrever os mais diversos tipos demovimentos, e em seguida nos dedicamos ao estudo que explica os maisdiversos movimentos, este é o estudo da Dinâmica. Apesar de muitos terembuscado explicar os diversos tipos de movimentos, foi Isaac Newton quemconseguiu explicá-los a partir de três leis por ele enunciadas. A seguir temosas três leis de Newton sendo apresentadas:2.1.1- Primeira Lei de Newton – A lei da InérciaUma partícula livre sempre se move com velocidade constante, isto é, semaceleração.Uma partícula livre seria aquela que não está sujeita à interações. Na práticatal coisa não existe, visto que uma partícula está em interação com todas asoutras partículas do universo. Porém, há algumas partículas que podem serconsideradas livres, quer porque elas estão suficientemente afastadas deoutras de modo que suas interações são desprezíveis ou porque asinterações com outras partículas se cancelam, dando uma interaçãoresultante nula.Em outras palavras a 1alei de Newton pode ser escrita como:
    • _______Dinâmica da partícula_____Quando a resultante de forças que atuam numa partícula for nula, implica quea partícula está em repouso ou movimento retilíneo uniforme, visto que estessão os dois estados de movimentos onde não há aceleração atuando napartícula.Observação: Lembrando que o movimento é um conceito relativo. Então, aoenunciar-se a lei da inércia, deve-se indicar a quem ou ao que o movimentoda partícula livre é referido e quando o observador é uma partícula ousistema livre ele recebe a denominação de observador inercial e o referencialpor ele utilizado de referencial inercial. Ainda podemos ter diferentesobservadores inerciais em movimento, um em relação ao outro, desde quemantenham suas velocidades constantes.2.1.2- Segunda Lei de Newton – Princípio Fundamental daDinâmicaA mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e éproduzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.A forma como o texto acima está escrito deve-se ao fato que ao enunciar asua 2alei, Newton utilizou-se do conceito de quantidade de movimento(momento linear). Então, algebricamente teremos a 2alei de Newton comoabaixo:FR = dp/dt,onde p = m.v, representa a quantidade de movimento da partícula de massam que encontra-se com uma velocidade v.Assim, podemos reescrever a relação entre força e quantidade de movimento,como:
    • _______Dinâmica da partícula_____FR = d(m.v)/dt,considerando que na mecânica clássica, a massa m da partícula é umaconstante, comumente chamada de massa inercial, reescrevemos aexpressão acima como:FR = m.dv/dt,onde dv/dt = a, logoFR = m.a,onde a é a aceleração adquirida pelo corpo de massa m quando este estásujeito à ação de uma força resultante FR.Em outras palavras poderemos enunciar a 2alei de Newton como:Um corpo de massa m, sujeito à ação de uma força resultante F, iráadquirir uma aceleração a na mesma direção e sentido da força F.2.1.2.1- Força CentrípetaRepare que a relação que temos entre a força resultante e a aceleração évetorial. Logo, a 2alei de Newton indica que sempre que ocorrendo umavariação no vetor velocidade, implica na existência de uma força resultantesobre a partícula. Está relação corrobora com a 1alei de Newton, pois nummovimento circular uniforme, temos que o módulo do vetor velocidadeencontra-se constante, mas sua direção e sentido está variando, logo existeuma aceleração que é resultado da ação de uma força resultante, a qualdenominamos de Força Centrípeta.
    • _______Dinâmica da partícula_____Fc = m.v2/r,onde m é a massa da partícula, v sua velocidade e r é o raio da trajetóriadescrita pela partícula.2.1.3- Terceira de Newton – A lei da Ação e ReaçãoQuando duas partículas interagem, a força sobre uma partícula é igual emmódulo, e de sentido contrário, à força sobre a outra.Um dos princípios mais fundamentais e universais da física é o princípio daconservação da quantidade de movimento.Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 que encontram-se comvelocidades v1 e v2, em determinado momento as duas partículas interagem,estando isoladas de todo o resto do universo, adquirindo a seguir novasvelocidades v1 e v2, e admitimos que suas massas não se alteram. Oprincípio da conservação da quantidade de movimento, afirma que:p = p,onde, p é a quantidade de movimento inicial do sistema, p = p1 + p2 = m1.v1 +m2.v2, e p é a quantidade de movimento final do sistema, p = p´1 + p2 =m1.v1 + m2.v2. Logo, termos:m1.v1 + m2.v2 = m1.v1 + m2.v2,- m2.v2 + m2.v2 = m1.v1 – m1.v1,
    • _______Dinâmica da partícula_____- Δp2 = Δp1,Considerando a definição de força resultante como a variação temporal daquantidade de movimento, na interação entre as duas partículas, durante umintervalo de tempo Δt, temos:F1 = Δp1/Δt e F2 = Δp2/Δt,logo,Δp1 = F1.Δt e Δp2= F2.Δt,- F2.Δt = F1.Δt,assim,- F2 = F1.A força que o corpo 2 faz sobre o corpo 1, F1, é igual em módulo à força que ocorpo 1 faz sobre o corpo 2, F2, na mesma direção e sentido oposto.Permitindo o enunciado abaixo para a 3a lei de Newton:A toda ação corresponde uma reação igual e contrária, ou seja, as açõesmútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas emsentidos opostos.Uma outra forma de observarmos a 3alei de Newton é considerando umsimples problema no qual aplicamos a 2alei. Vejamos o esquema abaixo:A BF
    • _______Dinâmica da partícula_____Considerando que não há qualquer atrito atuando no sistema, podemosverificar que a força resultante no sistema é a força F e pela 2alei de Newton,temos:F = (mA + mB).aAo analisarmos os dois bolcos separadamente e aplicando a 2alei de Newtonpara cada um deles, obtemos:- força resultante atuando no bloco A: F + FBA = mA.a,- força resultante atuando no bloco B: FAB = mB.a,onde FBA é a força que o bloco B faz sobre o bloco A dificultando seudeslocamento e FAB é a força que o bloco A faz sobre o bloco Bmovimentando-o para a direita. Somando as duas expressões, obtemos:F + FBA + FAB = mA.a + mB.a = ( mA + mB)amas, se F = (mA + mB).a, então FBA + FAB = 0, ou seja:FBA = - FAB.2.2 – Principais Forças da Mecânica(Neste momento de seu estudo, recomendamosfortemente que você assista o vídeo que apresenta as principaisforças da mecânica)
    • _______Dinâmica da partícula_____O texto inicial refere-se que esta parte da Mecânica, a qual denominamos porDinâmica, se propõe a explicar a causa dos movimentos. Segundo as leis deNewton, poderemos explicar os mais diversos tipos de movimentos desde queidentifiquemos a força resultante que atua sobre o corpo em análise, ou mesmopela identificação da inexistência de uma força resultante.Portanto, para que este estudo possa ser realizado, antes de mais nada, énecessário que saibamos identificar as forças presentes nas diferentes situaçãofísicas, sejam elas cotidianas ou teóricas.A seguir relacionaremos cinco forças comuns em problemas deMecânica.1) Força Peso.– Agente causador: Esta é uma força de ação a distância, causada pelos astrosao atraírem objetos que encontram-se em seu campo gravitacional.– Direção e sentido: é uma força de direção radial, aponta para o centro demassa do astro e é sempre atrativa. Veja a figura abaixo.obs.: Quando estamos observando uma situação numa pequena região dasuperfície do astro a representação desta força é através de uma força direcionadaverticalmente para baixo, observe as figuras a seguir.
    • _______Dinâmica da partícula_____– Expressão: a força peso pode ser calculada a partir do valor da massa m doobjeto e o valor da aceleração da gravidade local. P = m.g2) Força Normal.– Agente causador: É uma força de contato, onde o agente causador são assuperfícies sólidas. Assim, sempre que um corpo encontra-se em contato com umasuperfície sólida a força normal encontra-se presente.– Direção e sentido: Esta força é causada pelas superfícies sólidas no intuito deimpedir que o objeto penetre na superfície. Portanto sua direção é sempreperpendicular à superfície de contato e o sentido é apontando para fora dasuperfície. Veja os exemplos a seguir:– Expressão: Não existe uma expressão para calcularmos a intensidade destaforça. Entretanto, podemos determiná-la conhecendo outras forçaspresentes. Por exemplo: se uma caixa de peso 200N encontra-se emrepouso sobre um plano horizontal, temos que a resultante sobre a caixadeve ser nula, portanto uma força de mesma intensidade da força peso,
    • _______Dinâmica da partícula_____mesma direção e sentido contrário deve estar agindo sobre a caixa. Logo, aintensidade da força Normal neste caso vale 200N.Obs.: Repare pelas representações que a força normal não é uma reação à forçapeso como erroneamente algumas pessoas costumam pensar.3) Força de Tração ou Tensão– Agente causador: Força de contato, produzida por cordas, cabos ou fiossempre que tensionados (ou tracionados).– Direção e sentido: A direção de atuação desta força é ao longo do fio, e comoum fio só pode ser tensionado quando puxado, o sentido da força é sempre saindodo corpo, no ponto onde a corda faz o contato. Veja os exemplos a seguir.– Expressão: Assim como a força normal, a força de tração também nãopossui uma expressão própria, o que não impede de ser calculada, desde queinterpretemos a ação desta juntamente com as demais forças presentes.4) Força de atrito– Agente causador: Outra força de contato e seu agente causador é o mesmoque o da força normal, isto é, as superfícies sólidas.
    • _______Dinâmica da partícula_____– Direção e sentido: A direção da força de atrito é sempre paralela à superfíciede contato, entretanto seu sentido pode ser os dois sentidos possíveis.Quando a força de atrito é a força responsável pelo movimento, seu sentido éo mesmo do deslocamento do corpo. Veja o exemplo abaixo:quando a força de atrito surge tentando impedir o movimento, seu sentido é contrárioao movimento ou à tendência do movimento. A situação a seguir exemplifica:– Expressão: Mais uma vez aqui temos algumas ressalvas. Quando um corpoencontra-se parado sobre uma superfície áspera ao tentarmos empurrá-lo aplicandouma força paralela à superfície, o corpo pode continuar parado se a força aplicadanão for suficientemente intensa para superar a chamada força de atrito estáticamáxima, assim o valor da força de atrito que mantém o sistema em repouso éidêntica ao valor da força aplicada. Ao aumentarmos a intensidade desta força, aforça de atrito cresce juntamente até que alcance o valor da força de atrito estáticamáxima. A força de atrito estática máxima pode ser determinada pela expressão aseguir:Fate = µe.N, onde N é a intensidade da força normal e µe é o coeficiente de atritoestático, uma constante característica do par de meios que estão em contato, asuperfície e o corpo.Se após a força aplicada alcançar o valor da força de atrito estática máxima,continuarmos aumentando sua intensidade o corpo entra em movimento e surge aforça de atrito cinética. Verifica-se experimentalmente e na prática, que tirar umobjeto do lugar é mais difícil do que mantê-lo em movimento, a razão está no fatoF Força aplicadaf
    • _______Dinâmica da partícula_____que o coeficiente de atrito cinético costuma ter valores inferiores ao do coeficientede atrito estático. Para calcularmos a intensidade da força de atrito cinética, usamosa expressão abaixo:Fatc = µc.N, onde N é a intensidade da força normal e µc é o coeficiente de atritocinético, uma constante característica do para de meios que estão em contato, asuperfície e o corpo. Em geral a força de atrito cinética se mantém praticamenteconstante para qualquer valor de força aplicada ao corpo.O gráfico abaixo apresenta o comportamento da força de atrito em função da forçaaplicada:5) Força Elástica– Agente causador: Esta força, também uma força de contato, é causada pormolas e elásticos.– Direção e sentido: a direção da força elástica é sempre ao longo da mola ouelástico e seu sentido é sempre contrário à deformação produzida, razão pela qual édenominada de força restauradora. A seguir temos os dois casos exemplificandoatuação desta força.Força deatritoForça aplicadaf=FFatc= µcNfate= µeN
    • _______Dinâmica da partícula_____– Expressão: A força elástica possui uma particularidade muito interessante eútil, a intensidade da força é diretamente proporcional à deformação produzida namola ou elástico. Sua intensidade pode ser determinada pela expressão a seguir:Fel = k.x, onde x é a deformação causada na mola ou elástico e k é umaconstante característica da mola, denominada constante elástica da mola, eláindica o quanto uma mola é dura ou flexível.Obs.1: Sendo a força elástica uma força restauradora, com sentido contrárioà deformação também é comum encontrarmos sua expressão como Fel = -k.x, onde o sinal negativo só tem a finalidade de indicar que a força é contrária àdeformação.Obs.2: A relação direta entre força e deformação fez com que as molas fosseutilizadas amplamente na construção de instrumentos para medir força como asbalanças e os dinamômetros.
    • ______________Digite o Título do Documento______________1 | P á g i n aTrabalho e EnergiaOBJETIVO: Nesta unidade introduziremos um novo enfoque para a resolução deproblemas físicos muito difíceis de ser tratados através das leis de Newton, isto é,problemas nos que a força total varia no tempo e no espaço. Com este novoenfoque resolveremos os sistemas físicos não mais através de grandezas vetoriais esim de grandezas escalares. Estudaremos a dinâmica do movimento dos corposatravés de grandezas físicas escalares, tais como, trabalho, energia cinética,potencial, elástica e energia mecânica.
    • ______________Trabalho e Energia______________2 | P á g i n a1.1 A descrição física do problemaNa primeira unidade, cinemática da partícula, foi estudado o movimento dos corposatravés das grandezas vetoriais tais como, posição, velocidade e aceleração. Nasegunda unidade, dinâmica da partícula, descobriu-se que a causa do movimentodos corpos são as forças presentes no sistema físico. Aprendemos que a segundalei de Newton, escrita de forma vetorial, relaciona as forças que agem nos objetoscom a aceleração que eles adquirem, e desta maneira as forças presentes nosistema físico modelam o movimento do objeto. A terceira lei, descrita também deforma vetorial, indica que a força entre dois corpos isolados sempre aparecem empares.Foi visto que para resolver um sistema físico através das leis de Newton precisamosdo conceito de diagrama de forças, estes diagramas são feitos para forças que nãovariam no espaço nem no tempo. Muitos problemas na física têm a principalcaracterística de que as forças variam no tempo e no espaço.Exemplo:Consideremos um bloco que foi pressionado contra uma mola de constante elásticak, por uma força F, e em seguida abandonado de modo a ser lançado em direção auma pista semicircular de raio R. Na parte inferior da pista, ponto A, o diagrama deforças do bloco deve conter as forças peso e normal. Na parte superior da pista,ponto B, o diagrama de forças do bloco também deve conter as mesmas forças.Entretanto, o valor da força normal não será mais o mesmo. Então neste caso não épossível resolver o problema através das leis de Newton, pois teremos doisdiagramas de forças do bloco diferentes e assim não temos como determinar aaceleração única para o mesmo a partir das forças.
    • ______________Trabalho e Energia______________Nesta unidade veremos que problemas físicos como o do exemplo anterior sãopossíveis de resolver facilmente através de grandezas escalares, tais como,trabalho, energia cinética, potencial, elástica e energia mecânica.Os conceitos que serão aprendidos neste capítulo podem ajudar a verificar, namaioria dos casos, se os problemas resolvidos através das leis de Newton estãocom respostas corretas ou não.
    • ______________Trabalho e Energia______________1.2. Trabalho feito por uma força constanteConsideremos um bloco, de massa m sobre uma mesa lisa, ao qual é aplicada umaforça constante F.Devido à força aplicada o bloco se deslocará uma distância ∆r e irá adquirir umavelocidade Vf. Neste caso não temos nenhuma informação de quanto tempo levoupara o bloco adquirir a velocidade Vf. È possível definir uma grandeza escalar quedetermine o valor da velocidade final da partícula sem precisar saber o tempo queela demorou em adquiri-la. Isso dá uma idéia do poder do enfoque da energia, assimcomo de quanto ele será diferente do nosso enfoque dos capítulos anteriores.Para isto precisamos definir o trabalho realizado pela força constante. O trabalho Wfeito por um agente exercendo uma força constante sobre um sistema é o produto dacomponente da força na direção do deslocamento pelo módulo do deslocamento.Pode ser dito também que o trabalho que uma força constante realiza é o produtoescalar do vetor força pelo vetor deslocamento. Matematicamente, isto é,W = F ● ∆rOnde W representa o trabalho, uma grandeza escalar, F é a força constante quesendo aplicada ao bloco e ∆r é o deslocamento do bloco. O ponto, ●,  entre  a força eo deslocamento, é o símbolo do produto escalar entre dois vetores.Se a força for expressa em Newton e o deslocamento em metro, otrabalho será dado em joule.
    • ______________Trabalho e Energia______________Pela definição de produto escalar temos:W = F*∆r cos()Onde F e ∆r são os módulos dos vetores força e deslocamento, respectivamente, eé o ângulo entre o vetor força e vetor deslocamento. O trabalho realizado por umaforça constante pode ser positivo, nulo ou negativo.Vejamos os seguintes exemplos na figura abaixo:No primeiro caso (a) o trabalho feito pela força F é positivo, dado que os módulosdos vetores são positivos, e o coseno de um ângulo menor a 90oé positivo, no caso(b) a força e o vetor deslocamento formam 90oe o cosseno deste ângulo é zero portanto o trabalho feito pela força é nulo, no último caso (c) a força realiza um trabalhonegativo porque o ângulo que o vetor força e vetor deslocamento formam é maior a90oe cosseno desse ângulo é negativo.1.2.1. Trabalho da força peso e energia potencial gravitacionalA força peso é uma força considerada constante, numa pequena região próxima àsuperfície da Terra, veja o vídeo sobre as forças principais da dinâmica. Por estarazão podemos usar as equações anteriores e determinar o trabalho feito pela forçapeso. A direção da força peso é sempre na vertical e com o sentido apontando parabaixo. No caso em que o deslocamento, ∆r, do objeto seja na direção vertical eapontando para baixo, veja figura (a), o trabalho que a força peso realiza é positivo.No caso em que o deslocamento seja verticalmente para cima, figura (b), o trabalhoque a força peso realiza será negativo, pois, o ângulo será de 180o. No caso dodeslocamento ser somente na horizontal, veja figura (c), o trabalho feito pela forçapeso é nulo.
    • ______________Trabalho e Energia______________De um modo geral quando uma partícula parte de uma altura h0 e chega a umaaltura h, encontraremos que o trabalho da força peso é igual à variação do quedenominamos por energia potencial gravitacional U.1.3. Trabalho feito por uma força variávelO trabalho de uma força variável, como é o caso da força resultante que varia notempo e no espaço, não é mais determinado pelo simples produto vetorial da forçacom o vetor deslocamento. Neste caso dado que a força varia devemos resolver aintegral que define o trabalho. Matematicamente temos que:W = ∫ F●dr (1)Onde F é a força variável e dr é o deslocamento instantâneo da partícula, ou bloco,devido à força aplicada.1.3.1. Trabalho feito pela força resultante e a energia cinéticaSe a força variável é a força resultante podemos integrar a equação (1) utilizando asegunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a aceleração dapartícula.FResultante = m*a = m* d v/dt (2)
    • ______________Trabalho e Energia______________Seja a equação (2) em (1),Se a velocidade inicial da partícula é diferente de zero temos:WResultante= ½ mv2– ½ mv02Assim depois da integração dessa força variável descobrimos que o trabalho daforça resultante não é nada mais do que a variação do que denominamos porenergia cinética da partícula, grandeza escalar, K = ½ mv2.Este resultado leva ao teorema do trabalho e da energia cinética. Quando é feitotrabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidadeescalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à mudança na energia cinéticado sistema. Na linguagem matemática, temos:WResultante = Kf - Ki=  ∆KOnde W é o trabalho realizado pela força resultante, Kf é a energia cinética adquiridapela partícula num instante final, e Ki é a energia cinética num instante final daconsideração do movimento. Finalmente o símbolo ∆K representa a variação daenergia cinética que a partícula adquire.1.3.1. Trabalho feito por uma força elástica e energia potencial elásticaA força elástica é uma força de modulo definido pela lei de Hooke, a direção dela ésempre paralela a deformação, que o elástico ou a mola adquire, o sentido é semprecontrário à deformação sofrida pela mola. Podemos expressar matematicamenteassim:F = -k*x iOnde F é a força elástica, k é a constante elástica da mola, x representa adeformação da mola e o vetor unitário i representa que a mola para a qual aequação foi escrita está na direção horizontal. O vetor deslocamento neste caso temuma direção igual à deformação produzida, ∆r = ∆x i, o que mostra que o ângulo
    • ______________Trabalho e Energia______________entre os vetores força e deslocamento é 1800. Por esta razão podemos determinar otrabalho realizado pela força elástica da seguinte forma;Se a deformação inicial for diferente de zero, temos:WElástica= ½ m x02– ½ mx2O trabalho da força elástica resulta na variação de uma energia potencialdenominada energia potencial elástica.1.4. Conservação da Energia Mecânica em sistemas físicoscom forças conservativasA energia mecânica num sistema se conserva sempre que o trabalho realizadosobre o sistema é realizado apenas por forças conservativas.As forças conservativas têm duas importantes propriedades:1) Uma força é conservativa se o trabalho feito sobre umapartícula que se movimenta entre dois pontos éindependente da sua trajetória.2) O trabalho feito por uma força conservativa sobre umapartícula que se movimenta numa trajetória fechada é zero.Exemplos de forças conservativas são; força da gravidade, força normal, forçaelástica e força de tração.Imagine um objeto em queda livre ele diminui a energia potencial, mas emcompensação ganha energia cinética. Este fato acontece em função de manter aenergia mecânica total do sistema constante quando na partícula somente interagemforças conservativas. A energia mecânica total de um sistema é definida através dasoma das energias associadas aos trabalhos feitos pelas forças conservativas.E = K + Up + Ue
    • ______________Trabalho e Energia______________Onde K é a energia cinética que esta associada ao trabalho realizado pela forçaresultante, Up é a energia potencial associada ao trabalho feito pela forçagravitacional, e Ue é a energia elástica associada ao trabalho feito pela forçaelástica, caso exista um elástico ou uma mola no sistema físico. A lei daconservação da energia mecânica indica que num instante inicial a energiamecânica tem um valor igual à energia mecânica num instante final.Matematicamente seria descrito comoEi = Ef ouKi + Upi + Uei = Kf + Upf + UefO índice i indica o instante inicial, e o índice f indica o instante final. A equaçãoacima indica a conservação da energia mecânica de uma partícula, mas aconservação da energia em sistemas físicos, com forças conservativas, e formadaspor varias partículas também se conserva e a equação para este caso éEi1 + Ei2 +.....+EiN = Ef1 + Ef2 +.....+EfNOnde novamente a letra i indica o instante inicial e a letra f indica o instante final, osnúmeros 1, 2,...N significam o numero de partículas dentro de seu sistema físico.Cada energia mecânica, Ei1 ou Ei2, leva em conta energia cinética, potencial e/ouelástica. O sistema de referencia para a energia potencial nula poderá ser escolhidode forma independente para cada uma das partículas num mesmo instante detempo.Exemplo: Consideremos um sistema físico formado por doisblocos e uma mola, veja a figura.
    • ______________Trabalho e Energia______________Observe que a massa ligada à mola ela tem um sistema de referencia próprio paraindicar a mudança de altura num instante inicial e final de seu movimento. A massaque esta apoiada no plano inclinado também tem seu sistema de referencia próprioque marca a mudança na altura dela de um instante inicial há um instante final.1.4. Situações envolvendo forças não conservativasConsideremos o caso de um carro que sobe uma distancia d de um plano inclinadocom atrito.Como uma primeira situação imaginemos que a força F aplicada no carro, por umcurto instante de tempo, imprime no carro uma velocidade inicial de mo que elesobre o plano inclinado, a energia potencial gravitacional num instante inicial,momento em que o carro encontra-se na parte inferior do plano inclinado, é Ui = 0, aenergia potencial no instante final é Uf = mgdsen(). A energia cinética inicial é Ki=1/2 m vi2e a energia cinética no instante final é Kf =1/2 m vf2. Desconsiderandoqualquer atrito, temos apenas forças conservativas realizando trabalhando, logo pelaconservação da energia temos que:0 +1/2 m vi2= mgdsen() + 1/2 m vf2Ou1/2 m (vi2- vf2) = mgdsen()
    • ______________Trabalho e Energia______________A diminuição da energia cinética se transforma em ganho de energia potencial parao carro. No caso em que a força de atrito esteja presente temos que:0 +1/2 m vi2= mgdsen() + 1/2 m vf2–  mgdcos()Ou1/2 m (vi2- vf2) = mgdsen() -  mgdcos()Onde  é o coeficiente de atrito cinético, e mgcos() é a normal da superfícieinclinada. Repare que a diminuição da energia cinética será maior, pois, uma parteserá transformada em energia potencial e outra parte será perdida devida às forçasde atrito, geralmente estas perdas se dão através do calor gerado entre o pneu e asuperfície áspera.
    • Impulso e Momento linearOBJETIVO: Tomar conhecimento conceitual e algébrico da conservaçãoda quantidade do movimento ou momento linear, identificando ediferenciando os diferentes tipos de colisões.
    • ______Impulso e momento linear____4.1- Impulso Quantidade de MovimentoAo estudarmos trabalho e energia, verificamos que o trabalho estádiretamente relacionado à ação de uma força, atuando sobre um corpodurante certo deslocamento. Quando essa força é a força resultante, verifica-se que o trabalho realizado sobre o corpo corresponde à variação de umaenergia de movimento, denominada energia cinética. Neste capítuloestaremos fazendo uma análise semelhante, onde estudaremos o impulso. Oimpulso produzido em um corpo corresponde à ação de uma força resultantedurante um certo intervalo de tempo e a consequência é provocar no corpouma variação de sua quantidade de movimento.4.1.1- Impulso e Quantidade de Movimento (MomentoLinear)Vejamos o que foi dito acima de uma forma simplificada, onde iremosconsiderar, inicialmente que a força resultante que atua sobre o corpo éconstante.Define-se impulso como sendo o produto da força resultante pelo intervalo detempo que a força atua no corpo:I = FR . ΔtLembrando que para uma massa constante FR = m.a e que a = Δv/Δt, tem-se:I = m.a.Δt = m.(Δv/Δt).Δt = m. ΔvSendo Δv = v – v0, conclui-se que:I = m.v – m.v0 = p – p0,
    • ______Impulso e momento linear____onde p = m.v é a quantidade de movimento (ou momento linear) final do corpode massa m e p0 = m.v0 sua quantidade de movimento inicial.Agora, ainda considerando a força como constante faremos umaanálise vetorial da situação:I = FR . Δt,onde FR = m.a = m.Δv/Δt, logo,I = m.(Δv/Δt).Δt = m. Δv = m.v – m.v0 = p – p0.Veja esquematicamente:Considere um corpo de massa m indo de encontro a uma superfície conformea figura a seguir:ImFR pv0p0 vpIp0Para o caso em que a força resultante não é constante durante sua açãosobre o corpo, podemos determinar o impulso sofrido pelo corpo desde quetenhamos conhecimento de como a força varia com o tempo.
    • ______Impulso e momento linear____Podemos determinar o valor do impulso determinando o valor da área sob acurva do gráfico FR x t,ForçaI = áreatempoou de modo equivalente calculando a integral de FR(t) ao longo do intervalode tempo que a ação ocorre.I =∫t0tF t.dt=∫t0tdpdt.dt=∫p0pdp= p− p0Assim, para qualquer caso temos que o impulso é igual à variação domomento linear.4.1.2- Conservação do Momento LinearConsideremos um sistema composto de duas partículas, A e B, queinteragem entre si, mas que encontram-se isoladas dos arredores. Assim, nãoexistem forças externas atuando no sistema e se ocorrer alguma variação nomovimento da partícula A será devido a ação da partícula B e vice versa.Pela terceira lei de Newton sabemos que a toda ação existe umareação igual e contrária. Logo, a ação que A faz em B, FAB, tem mesmointensidade, mesmo sentido e direção oposta à reação que B faz em A, FBA.Isto é:FAB = - FBA.
    • ______Impulso e momento linear____Como o intervalo de tempo de interação, Δt, é o mesmo para ambas aspartículas, podemos escrever:FAB.Δt = - FBA.Δtou, IAB = - IBA.Como o sistema encontra-se isolado e apenas as partículas estão interagindoentre si, temos que este é o impulso produzido pela força resultante sobrecada partícula, o que corresponde à variação do momento linear de cada umadelas:ΔpB = - ΔpApB – pB0 = - (pA – pA0),Rearrumando a igualdade acima, obtemos a seguinte relação:pA + pB = pA0 + pB0,que nos informa que a quantidade de movimento do sistema antes dainteração entre as partículas, pantes, é igual a quantidade de movimento dosistema após a interação entre elas, pdepois . Logo, temos que a quantidade demovimento ou momento linear é uma grandeza que se conserva.pantes = pdepois.Considerando o que você acabou de estudar, observe a situação abaixo epense na pergunta que foi levantada.
    • ______Impulso e momento linear____4.1.3 - ColisõesO fato exposto acima, mostrando que o momento linear de um sistemaé conservado após a interação entra os corpos, é fundamental para quepossamos estudar a colisão entre corpos. Entretanto, verifica-se que aconservação do momento linear não é suficiente para que possamos prever oque irá acontecer após uma colisão entre duas partículas. Vejamos:Para ilustrar o que foi dito acima vamos considerar um caso simples ondeduas partículas idênticas, de massa m=2,0 kg, movimentam-se numa mesmadireção com velocidades distintas conforme o esquema abaixo:A vA0 vB0 BSendo os módulos de v0A e v0B iguais a 10m/s e 6,0m/s, respectivamente,concluímos que o módulo momento linear de A e de B antes da colisão serápA0 = 20kg.m/s e de pB0 = 12kg.m/s. Sendo a quantidade de movimento umagrandeza vetorial, o módulo da quantidade de movimento do sistema antes dacolisão vale pantes = 8kg.m/s.Abaixo apresentaremos algumas possibilidades para a quantidade demovimento de A e B após a colisão que satisfazem a conservação domomento linear do sistema.Caso 1: as duas partículas “grudam” e passam a caminhar juntas comvelocidade de 2,0m/s, para a direita,a quantidade de movimento do sistema após a colisão, pdepois = 8,0kg.m/s (pA= 4,0kg.m/s e pB = 4,0kg.m/s).
    • ______Impulso e momento linear____Caso 2: a partícula A inverter o sentido de seu movimento, tendo umavelocidade de 6,0m/s e a partícula B também inverte o sentido de seumovimento, com uma velocidade de 10m/s,vA A B vBa quantidade de movimento de A vale 12kg.m/s e de B 20kg.m/s, de modoque a quantidade de movimento do sistema após a colisão vale 8,0kg.m/s.Caso 3: a partícula A fica parada e a partícula B inverte o sentido de seumovimento ficando com velocidade de 4,0m/s,A B vBa quantidade de movimento da partícula A é nula e da partícula B é de8,0kg.m/s, de modo que a quantidade de movimento total vale 8,0kg.m/s.Repare que nos três casos apresentados, a quantidade de movimento dosistema se conserva tanto em módulo como em direção e sentido. Comoidentificar e diferenciar cada caso?Para tanto, devemos apresentar uma grandeza física que é uma característicada elasticidade dos corpos que interagem, denominado coeficiente derestituição e. Ele relaciona as velocidades das esferas antes da colisão edepois da colisão conforme a expressão a seguir:vA – vB = - e.(vA0 - vB0)Atenção que no momento que a expressão acima for utilizada, devemoslembrar do caráter vetorial da velocidade. Assim, vamos aplicá-lo para cadacaso, considerando que a velocidade é positiva se o sentido do movimento é
    • ______Impulso e momento linear____para a direita e negativo se o sentido for para a esquerda. Deste modo,temos que antes da colisão vA0=10m/s e vB0 = -6,0m/s.:Caso 1: vA = 2,0m/s e vB = 2,0m/svA – vB = - e.(vA0 - vB0)2,0 – 2,0 = - e.(10 - (- 6,0))0 = - e.16e = 0Caso 2: vA = -6,0m/s e vB = 10m/svA – vB = - e.(vA0 - vB0)-6,0 – 10 = - e.(10 - (- 6,0))-16 = - e.16e = 1Caso 3: vA = 0 e vB = 4,0m/svA – vB = - e.(vA0 - vB0)0 – 4 = - e.(10 - (- 6,0))-4 = - e.16e = 0,25Os resultados apresentados nos permite diferenciar três tipos de colisões:Colisões inelásticas ou perfeitamente inelásticas – são as colisões comodo caso 1, tem como característica as duas partículas movimentarem-sejuntas após a colisão. Neste tipo de colisão tem-se a perda máxima deenergia cinética do sistema e o coeficiente de restituição e = 0.Colisões elásticas ou perfeitamente elásticas – são as colisõesapresentadas no caso 2, onde a energia cinética do sistema se conserva e ocoeficiente de restituição e =1. Verifique a igualdade abaixo:
    • ______Impulso e momento linear____mA.vA02/2 + mB.vB02/2 = mA.vA2/2 + mB.vB2/2Colisões parcialmente elásticas – são as colisões onde a perda de energiacinética do sistema é parcial, neste caso o coeficiente de restituição podeassumir valores entre 0 e 1, 0<e<1.Observações:1 - apresentamos acima as colisões em uma dimensão, entretanto, colisõesbidimensionais e tridimensionais, também ocorrem a conservação domomento linear, e sendo esta grandeza uma grandeza vetorial, temos que aquantidade de movimento do sistema na direção X, antes da colisão pXantes, éigual a quantidade de movimento na direção X, após a colisão, pXdepois. Domesmo modo, a quantidade de movimento do sistema na direção Y, antes dacolisão pYantes, é igual a quantidade de movimento na direção Y, após acolisão, pYdepois e a quantidade de movimento do sistema na direção Z, antesda colisão pZantes, é igual a quantidade de movimento na direção Z, após acolisão, pZdepois.A colisão abaixo é um exemplo de colisão bidimensional
    • ______Impulso e momento linear____2- Mencionamos acima a conservação do momento linear para um sistema deduas partículas, o mesmo vale para o sistema de muitas partículas e paracorpos extensos, onde devemos verificar a conservação do momento linearobservando o movimento do centro de massa do sistema. Como por exemploum corpo que, estando em movimento, explode em duas partes, suas partesse movem de tal modo que o centro de massa do sistema mantém suatarjetória inicial.
    • ______________Digite o Título do Documento______________1 | P á g i n aMovimento RotacionalOBJETIVO: Nesta unidade definiremos um conceito muito importante nafísica, isto é, o centro de massa de um sistema de partículas. Este novoconceito é fundamental para entender a cinemática e dinâmica de umcorpo extenso, que é justamente o tema desta unidade.
    • ______________Movimento Rotacional______________2 | P á g i n a1.1. A descrição física do problemaAté agora aprendemos a descrever a dinâmica e cinemática de uma partícula, sejaatravés das forças ou através dos conceitos de energia, mas ainda não sabemoscomo descrever o movimento de um corpo extenso girando e se trasladando aomesmo tempo.Nesta unidade ao falar de corpo extenso estaremos nos referindo a um corpo idealconhecido na física como sólido rígido.1.2. Sólido rígidoUm corpo rígido é qualquer sistema de partículas no qual as partículas permanecemem posições fixas entre si. Chamaremos esse modelo de simplificação como omodelo do corpo rígido, similar ao modelo da partícula que vimos nos guiasanteriores.
    • ______________Movimento Rotacional______________3 | P á g i n a1.3 Centro de massaNas unidades anteriores descrevemos o movimento global dos corpos em termos deum ponto muito especial chamado centro de massa do sistema. A noção de centrode massa nos da confiança no modelo de partícula, pois veremos que o centro demassa acelera como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesseponto, e como se todas as forças agissem lá. O centro de massa para um sistemadiscreto de partículas é definido como:rCM = (m1*r1+ m2*r2+ m3*r3+....)/( m1+ m2+ m3+....)onde ri é a posição na qual a partícula de massa mi encontra-se. A definição decentro de massa para um sistema físico composto por numero infinito de partículasé:rCM = 1/M ∫rdm,Onde M é a massa total do sistema, o vetor r é a posição do diferencial de massadm. Uma importante informação para corpos homogêneos simétricos é que seucentro de massa deve estar sobre seu eixo de simetria.1.4. Velocidade angular e Aceleração AngularQuando um sólido rígido sofre um movimento rotacional ele o fará ao redor de umponto de rotação. Veja na seguinte figura como um mesmo corpo pode ter diferenteseixos de rotação.
    • ______________Movimento Rotacional______________4 | P á g i n aPara descrever o movimento rotacional são definidas grandezas vetoriaisequivalentes às grandezas vetoriais que descrevem o movimento linear. Equivalenteao deslocamento espacial tem o deslocamento angular. A velocidade angularinstantânea é a análoga ao vetor velocidade instantânea =d/dtA aceleração angular é definida como: =d/dtPara o caso de aceleração constante, MRUV, na primeira unidade foramdesenvolvidas as equações da cinemática. Igualmente pode ser feito para o caso deaceleração angular constante, e em analogia a MRUV encontramos equações muitoparecidas.A direção e sentido dos vetores velocidade angular e aceleração angular são obtidasutilizando-se a regra da mão direita. Veja a figura embaixo e com a mão abertaposicione os seus dedos, da mão direita, de modo que eles fechem no mesmosentido da rotação, se a posição inicial é r1 e a posição final r2, feche os quatro
    • ______________Movimento Rotacional______________5 | P á g i n adedos e deixe o dedo polegar apontando para cima, o sentido de rotação dos seusquatro dedos foram em sentido anti-horário então nesse caso o vetor velocidade eaceleração angular estão apontando para cima, assim como seus dedos polegar.1.5. Energia cinética rotacionalImagine que você comece uma serie de exercícios em uma bicicleta ergométrica.Você aplica uma força com seus pés sobre os pedais fazendo que se desloquemneste momento você realizou trabalho. O resultado desse trabalho é a rotação daroda. Esse movimento rotacional representa energia cinética, pois há massa emmovimento. Esta energia é conhecida como energia cinética rotacional, ela não éuma nova forma de energia. Se a massa da i-ésima partícula é mi e o modulo da suavelocidade tangencial é vi então a energia cinética dessa partícula éKi = ½ mi vi2Podemos expressar a energia cinética total do corpo rígido como a soma dasenergias cinéticas das partículas individuais.
    • ______________Movimento Rotacional______________6 | P á g i n aEm analogia a energia cinética da partícula tem que a energia rotacional do corporígido é igual a ½ I 2, onde é a velocidade angular do corpo rígido e a letra Irepresenta o momento de inércia do corpo.1.6. Momento de InérciaO momento de inércia é uma medida da resistência à variação na velocidadeangular de um sistema. Assim no movimento rotacional ele exerce o mesmo papelque a massa exerce no movimento translacional. Observe que o momento de inércianão depende apenas da massa do corpo rígido, mas também de como a massa estadistribuída ao redor do eixo de rotação. Veja a seguir alguns exemplos de momentode inércia.
    • ______________Movimento Rotacional______________7 | P á g i n a1.7. Torque e o produto vetorialLembra-se da bicicleta ergométrica? Nós geramos o movimento rotacionalda roda aplicando força aos pedais. Quando uma força é exercida sobreum corpo rígido que pode girar em torno do eixo, e a linha de ação daforça não passa através do ponto de apoio no eixo, o corpo tende a girarao redor desse eixo. Na unidade dois, vimos que a condição demovimento é dada pela segunda lei de Newton, isto é, se a soma de todasas forças que atuam na partícula não é nula a partícula terá umaaceleração e logo terá movimento. Agora veremos que a condição demovimento rotacional é uma grandeza física conhecida como Torque.Vejamos o caso de uma porta.Seja uma força F aplicada a uma porta para ela fechar. Aplica-se a força bempróxima da dobradiça da porta, eixo de rotação da porta, então a porta não rodara enem fechará. Por outro lado se aplicamos a mesma força perto da maçaneta daporta ela irá girar e fechará. Então neste exemplo vemos que para uma porta rodarnão somente precisamos da força, mas também a onde a força será aplicada. Agrandeza vetorial torque leva em conta a condição de rotação do corpo rígido. Otorque é definido através do produto vetorial de dois vetores. O produto vetorial entre
    • ______________Movimento Rotacional______________8 | P á g i n adois vetores resulta em um vetor cujo módulo é determinado através da seguinteequação:C = A*B*sen()Onde A e B são os módulos dos vetores e  é o ângulo formado entre os doisvetores. A direção deste vetor C é indicada pelo polegar da mão direita, comomostra a figura.Veja que o produto vetorial de dois vetores não é comutativo, AXB é diferente deBXA.O torque é o produto vetorial entre o vetor força e o vetor radial que tem origem noeixo de rotação até onde a força esta sendo aplicada. Matematicamente temos = rXFOnde o símbolo  indica o vetor torque, r é o vetor radial, e F é o vetor força. Temosagora como indicar as equações que indicam a condição de equilíbrio de um sólidorígido.∑F =  0    e  ∑ = 0A primeira condição é uma formulação do equilíbrio translacional. A segunda é umaformulação do equilíbrio rotacional.O equivalente a segunda lei de Newton para o movimento rotacional do corpo rígidopode ser formulado da seguinte maneira.∑ = I
    • ______________Movimento Rotacional______________9 | P á g i n aOnde I é o momento de inércia do corpo rígido e  é o vetor aceleração angular.1.8. Trabalho energía no movimento rotacionalAgora um sistema físico que contem um corpo rígido e no qual são aplicadas forçasconservativas terá a energia mecânica também sendo conservada. A única mudançada equação da conservação da energia mecânica neste caso deve-se a presença daenergia cinética rotacional. Matematicamente temos:Ei = Ef ouKi + KRi + Upi + Uei = Kf + KRf + Upf + UefO índice i indica o instante inicial, e o índice f indica o instante final. A equaçãoacima descrita indica a conservação da energia mecânica de um sólido rígido. Aenergia mecânica deve levar em conta a energia cinética e potencial das partículas ea energia cinética, potencial e rotacional dos corpos rígidos.
    • Gravitação_________________________GravitaçãoOBJETIVO: Nesta ultima unidade aplicaremos todos os conhecimentos,sobre forças, energia e centro de massa, adquiridos nas cinco unidadesanteriores, ao problema do movimento planetário. O objetivo principal érelacionar as leis empíricas encontradas por Johannes Kepler e a teoria dagravitação de Newton.
    • Gravitação_________________________1.1 A descrição física do problemaOs antigos astrônomos gregos preguntabam-se sobre o movimento dos planetas eda lua. Que força faz que os planetas permaneçam em suas orbitas? Se todos osobjetos que tem massa caem porque a lua não cai? A terra gira em torno do sol? Oué o sol que gira em torno do planeta Terra? Por quê?Para responder a estas perguntas o trabalho desenvolvido no século XVI pelocientista experimental Tycho Brahe, com ajuda da sua assistente e irmã SophiaBrahe, foi fundamental. Tycho Brahe foi um astrônomo observacional da era queprecedeu à da invenção do telescópio, e suas observações da posição das estrelase dos planetas alcançaram uma precisão sem paralelo para a época. JohanesKepler foi um astrônomo matemático que analisou os dados observacionais deTycho Brahe e formulou as três leis fundamentais da mecânica celeste. No inicio doséculo XVII Newton baseou sua explicação sobre o movimento planetário nosresultados desses gigantes da ciência.
    • Gravitação_________________________1.2. Leis de KeplerA primeira lei de Kepler indica que a órbita circular é um caso muito especial, nomovimento planetário, e que orbitas elípticas são a situação geral. Todo planeta nosistema solar descreve uma órbita elíptica com o sol em um dos seus focos.Esta lei pode ser entendida em termos do centro de massa do sistemaplanetário o sol é o astro com maior quantidade de massa do nossosistema planetario, consequentemente o centro de massa de um sistemasol-planeta esta mais perto do sol.A segunda lei de Kepler indica que, o raio vetor traçado do sol atéqualquer planeta descreve areas iguais em intervalos de tempo iguais.
    • Gravitação_________________________Matemáticamente temos que;∆A = L/(2Mp)*∆t,Onde  ∆A  é  area  percorrida  pelo  raio  vetor  num  intervalo  de  tempo  ∆t,  L  é  o módulo do momento angular do planeta e Mp é a massa do planeta queesta orbitando em torno do sol.A terceira lei de Kepler indica que o quadrado do periodo orbital dequalquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbitaelíptica.Matemáticamente a terceira lei de Kepler é expressa como:T2=(4/GMS)2a3onde T é o periodo órbital do planeta, G a constante gravitacional, MS é amassa do sol e a é o semieixo maior que a trajetoria eliptica do planetafaz em torno do sol.1.3. A lei da gravitação universal de NewtonA lei da gravitação de Newton é uma lei da física clássica que descreve a interaçãoentre os corpos devido a suas massas. Esta lei foi apresentada por Newton no livro,Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, escrito em latim e traduzido aoFrances por uma mulher cientista chamada Émilie du Châtelet. No principia deNewton foi fornecida a chave que desvendou os segredos do movimento planetario.Ele sabia pela primeira lei do movimento que uma força resultante tinha que estar
    • Gravitação_________________________atuando sobre a lua. Se não estivesse, a Lua se deslocaria numa trajetoria em linhareta em vez da sua orbita quase circular. Newton concluiu que essa força entre aLua e a Terra era uma força atrativa. Concluiu tambem que não podia haver nadaespecial sobre o sistema Terra-Lua ou sobre o sistema do Sol e seus planetas quefizesse que as forças gravitacionais agissem apenas neles. Se duas particulas temmassas m1 e m2 estão separadas uma distância r, o módulo da força gravitacionalentre elas éFg = G m1m2/r2Onde G é a constante gravitacional, cujo valor em unidades SI é G = 6,673X10-11[Nm2/kg2]. A força exercida por m1 sobre m2 éF12 = - ( G m1m2/r2) r12Onde o sinal negativo indica que a partícula 1 é atraída em direção a partícula 2. Damesma forma, pela terceira lei de Newton, a força exercida por m2 sobre m1 édesignada por F21, é igual em modulo a F12 e está na direção oposta.Newton demostrou que a força gravitacional exercida por uma distribuiçãoesfericamente simétrica de tamanho finito sobre uma partícula fora da distribuição éa mesma força que se toda a massa da distribuição estivesse concentrada em seucentro.Exemplo:Seja uma partícula de massa m na superficie da Terra, a força gravitacional entre amassa da Terra e massa da partícula tem o moduloFg = G MTm/R2T,Em que MT é a massa da Terra e RT é o raio da Terra. Esta força esta direcionadapara o centro da Terra. Por outro lado sabemos que a força que uma massa sentedevido a atraçao gravitacional é a conhecida força peso, então
    • Gravitação_________________________Fg = mg,Consequentemente o valor da gravidade ao nivel do mar é:g = G MT/R2T = 9,83[m/s2]os valores usados na conta anterior foram MT= 5,98x1024[kg] e MT=6,37x106[m].Com este exemplo podemos ver que a aceleração gravitacional com que os corposcaem depende das caraterísticas do planeta, ou satelite nos quais eles seencontram. Po exemplo, uma montanha russa é feita com mais emoçao em Saturnodo que na Lua, pois a aceleração da gravidade na Lua é mais ou menos, 1,6 [m/s2] eem Saturno é cerca de 10,5 [m/s2].Newton tambem demostrou que a força gravitacional entre um planeta e o sol, ou umsatelite e seu planeta, não é mais nada do que a força centripeta que gera seumovimento semicircular.
    • Gravitação_________________________1.4. Considerações de energia no movimentoplanetario e de satelitesAnalisamos até agora a mecânica orbital do ponto de vista das forças e momentoangular. Agora estudaremos o movimento dos planetas com o enfoque de energia.Para isto precisamos definir a energia gravitacional associada ao trabalho realizadopela força gravitacional.As equações anteriores mostram que a energia gravitacional éUg = -G m1m2/r
    • Gravitação_________________________Com a equação da energia gravitacional podemos determinar a energia mecanicatotal do sistema físico formado por um corpo de massa m que descreve umatrajetoria semicircular em torno de uma massa muito maior M.E = ½ mv2- G Mm/rEsta energia mecânica total do sistema pode ser; positiva, negativa ou nuladependendo do valor da velocidade v e da distancia de separação r. Um planeta emmovimento ao redor do sol e um satélite em orbita ao redor da Terra são sistemasligados, pois, a energia E é necessariamente menor a zero.Exemplo:Velocidade de escape é a velocidade com a qual um foguete precissa ter para elese afastar para sempre da Terra. Para achar esta velocidade precisamos que aenergía cinética adquirida pelo foguete deve ser igual a energia gravitacional queprecissa se vencer para escapar da atraçao gravitacional. Em equaçoes temos que,½ mv2esc - G MTm/RT = 0vesc = √(2GMT/RT)Repare que a velocidade de escape não depende da massa do objeto que seráliberado. A velocidade de escape é a mesmo para um foguete que para umamolécula.1.5. Bibliografia1.- Raymond A. Serway e John W. Jewett, Jr. Princípios de Física, Volume 1,tradução ao português da Terceira edição Americana, 2004.2.- Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Volume 1, Oitava Edição,2007.3.- TIPLER, P. A. Física. Volume 1. 4AEdição. Editora Livro Técnico e CientíficoS.A. 20004.- ALONSO, M.; FINN, E. J. Física: um curso universitário, v. 1, Mecânica,Editora: Edgard Blücher Ltda. 3Areimpressão, 1981.