FUNCIÓN: DOMINIO Y RANGO¿Qué es una función?Cada vez que nos referimos a un fenómeno físico, observaremos que éste fenómen...
•   En forma Visual: mediante un gráfico.       En el gráfico anterior tenemos una clara representación.   •   En forma Nu...
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:                    f gConsiderando la existencia de dos funciones tales como f y g , es posible...
Proceso para determinar la función inversa1.- Reemplace f(x) por y.2.- Despejar la variable “x” , utilizando los métodos a...
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Funcion composicion e inversa

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Funcion composicion e inversa

  1. 1. FUNCIÓN: DOMINIO Y RANGO¿Qué es una función?Cada vez que nos referimos a un fenómeno físico, observaremos que éste fenómeno tiene relación conotros eventos previos o posteriores. Por ejemplo si miramos al firmamento y observamos muchasnubes “sobre algo cargados (color gris oscuro)” , pensaremos que muy probablemente lloverá.La pregunta nos viene a colación ¿Porqué tenemos que pensar así?, ¿Qué elementos de juicio nosllevan a sacar dicha conclusión? y muy probablemente diremos “la experiencia anterior”.Si nos vamos a un contexto más cercano a la vida del hombre: el hombre cuando es niño aprende amanejar bicicleta y aún cuando al principio su principal problema es mantenerse en equilibrio, luegoirá adquiriendo destreza para dominar el uso y tomar cada vez mayor velocidad. El gráfico que semuestra “puede expresar” en el eje X , el tiempo en segundos y el eje Y la aceleración adquirida. y 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 x -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 -1.0Así, podríamos detallar segundo a segundo los cambios producidos tanto en su aceleración ydesplazamiento y en ella encontraremos necesariamente una “relación de dependencia”.Definición de FunciónUna función f , es una relación de dependencia, que se asigna a cada elemento “x” de un conjunto departida A (llamado Dominio) a otro elemento “ f (x) ” de otro conjunto de llegada B (llamado Rango).Representación de una función: f : x  f ( x)En donde : x , es la variable independiente y f(x) = y en la variable dependiente.Otras forma de representar una función: • En forma Verbal: mediante una descripción textual. P(t )  {peso del hombre a lo largo de su vida}, donde t es la variable tiempo en años. • En forma Algebraica: por medio de una fórmula. d2 A(d )  el área de un cuadrado está en función de la longitud de la diagonal en metros. 2Jmpm2010
  2. 2. • En forma Visual: mediante un gráfico. En el gráfico anterior tenemos una clara representación. • En forma Numérica: mediante una tabla de valores de doble entrada. Podemos representar la producción versus la ganancia: Producción (und) 100 200 300 400 Ganancia ( $ ) 500 1000 1500 2000Dominio y rango:Dada la gráfica de una función , podemos determinar el Dominio (todos los valore posibles de x ) y elRango ( todos los valores cuyo resultado procede de la relación de dependencia), como: Dominio : Proyección sobre el eje X. Rango : Proyección sobre el eje Y.Ejemplo: Determinar el Dominio y Rango para la gráfica de la siguiente función: y 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 x -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 -1.0Observamos que. La Proyección de la función (segmento azul) sobre el eje X , está dado por el segmento verde, por tanto: Dominio de f = [ 1 , 6 ]. La Proyección de la función (segmento azul) sobre el eje Y , está dado por el segmento rojo, por tanto: Rango de f = [ 2 , 7 ].Clases de funciones:La representación algebraica de algunas de las funciones se dan como:  Función lineal : f ( x)  2 x  4  Función cuadrática: g ( x)  x  3x  1 2  Función cúbica: h( x )  x 3  1 x 1  Función racional: p ( x)  x 1  Función exponencial: e( x)  4 2 x 2  Función logarítmica: j ( x)  log( x  1)Jmpm2010
  3. 3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: f gConsiderando la existencia de dos funciones tales como f y g , es posible “combinarlas” y encontraruna nueva función. Dicho de otra manera “hay funciones” que se pueden expresar como “combinaciónde dos funciones”.Por ejemplo, sea h( x )  x 2  1 , h(x) se puede expresar como una combinación de dos funciones :una “externa” f ( x)  x y otra función “interna” g( x )  x 2  1 . ¿Es posible combinarlas? para queexpresemos h(x) . Precisamente de eso se trata, la composición de funciones.Definición:Dadas dos funciones : f(x) y g(x) , se define la Composición de funciones como:  f  g   f ( g( x))Por lo tanto: el Dominio de  f  g  es el conjunto de todas las x en el de g tales que g(x) está en eldominio de f. También podemos decir que  f  g (x ) está definida siempre que tanto g(x) comof(g(x)) estén bien definidas.Ejemplo: Sean f ( x)  x 2 g( x )  x  3 a) Determine las funciones  f  g  y g  f  b) Calcular  f  g (3) y g  f (4)Solución: a) Para hallar  f  g  nos guiamos de la definición, por lo cual:  f  g ( x )  ( x  3) 2 Para hallar  g  f  nos guiamos de la definición, por lo cual:  g  f ( x )  x  3 2 b) Determinamos el valor asignado:  f  g ( 3)  ( 3  3)  0 y  g  f (4)  4 2  3  13 2 1 FUNCIÓN INVERSA: fPara garantizar al existencia de la inversa de una función , antes debemos entender ¿Qué es unafunción uno a uno?. Podemos reconocer que una función es uno a uno, sólo si, cada elemento delDominio tiene uno y solo un elemento en el Rango, “es decir no lo comparte”.Ahora, si nos acercamos a la formalidad, podemos decir que:Una función con Dominio A se conoce como uno a uno, si no hay dos elementos de A que tengan lamisma imagen, es decir: f ( x1 )  f ( x2 ) siempre que x1  x2Ahora si podemos definir la función inversa.Definición:Sea f una función uno a uno con Dominio A y Rango B. Entonces la función Inversa f 1 que tienepor dominio B y rango a A , está definido por: f 1 ( y )  x  f ( x )  y para cualquier y en B.Jmpm2010
  4. 4. Proceso para determinar la función inversa1.- Reemplace f(x) por y.2.- Despejar la variable “x” , utilizando los métodos algebraicos permitidos.3.- Cambio de variable x por y e y por x.4.- La función determinada será la inversa de f.Ejemplo: Determine la función inversa de: f ( x )  4 x  1Solución: y  4 x  1 Cambiamos f(x) por y . y  1  4 x despejamos la variable “x” y1 x luego de despejar “x” 4 x1  y cambio de variable. 4 x1  f (1) Así obtenemos la función inversa de f(x) x 4Podemos verificar que nuestro análisis ha sido correcto. Grafiquemos las dos funciones: f y f 1 por locual obtendremos el siguiente gráfico: y = 4x-1 y y = (x+1)/4 y = x 5 4 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3Observación:Las gráficas de las funciones : : f y f 1 son simétricas a la recta identidad : f ( x )  x , por lo cualnuestro resultado es correcto.Jmpm2010

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