Magnitudes fisicas (1)
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Magnitudes fisicas (1) Magnitudes fisicas (1) Document Transcript

  • Capítulo 2MAGNITUDESFÍSICAS MAGNITUDES FÍSICAS Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho en otras palabras es susceptible a ser medido. ¿Para qué sirven las magnitudes físicas? sirven para traducir en núme- ros los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante. CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS 1.- POR SU ORIGEN A) Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes. En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiempo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) , Intensidad de corriente eléctrica (I) Masa (M) , Temperatura termodinámica (θ) Tiempo (T) , Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia (µ) B) Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad , Trabajo , Presión Aceleración , Superficie (área) , Potencia, etc. Fuerza , Densidad C) Magnitudes Suplementarias (Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni deriva- das; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: Ángulo plano (φ) , Ángulo sólido (Ω)
  • 12 Jorge Mendoza Dueñas2.- POR SU NATURALEZAA) Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numéri- co y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO Sólo necesito Tengo fiebre Son las 100 mm3 y estará de 40 °C 12:15 P.M. terminado ¡Que fatal! ¡Ya es tarde! Como se verá en todos estos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.B) Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: FUERZA DESPLAZAMIENTO F = 5NSabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de5 Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica quela fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta-si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud ción N 60º E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegarvectorial. del punto “o” a la casa.
  • Magnitudes Físicas 13 NOTACIÓN SISTEMA DE UNIDADES - NOTACIÓN EXPONENCIALSISTEMA DE UNIDADESLa necesidad de tener una unidad homogénea para Convencionalmente:determinada magnitud, obliga al hombre a definirunidades convencionales. 1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cmOrigen del Sistema de Unidades: 1 yarda = 91,14 cm 1 yarda 1 pulgada El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, estableció el Sistema Interna- cional de Unidades (S.I.), que tiene vigencia en la actualidad y que en el Perú se reglamentó según la ley N° 23560. 1 pie Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna- cional (S.I), estas son:1. UNIDADES DE BASE Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lámpara de Longitud metro m criptón especial. Un cilindro de aleación de platino que se conserva en el laboratorio Masa kilogramo kg Nacional de Patrones en Francia. Basado en la frecuencia de la radiación de un oscilador de cesio Tiempo segundo s especial. Intensidad de Con base en la de fuerza magnética entre dos alambres que transpor- Ampere A Corriente Eléctrica tan la misma corriente. Temperatura Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simul- Kelvin K Termodinámica táneamente si la presión es adecuada. Intensidad Basado en la radiación de una muestra de platino fundido preparada Candela cd especialmente. Luminosa Cantidad Con base en las propiedades del carbono 12. mol mol de Sustancia2. UNIDADES SUPLEMENTARIAS Son las unidades correspondientes a las mag- MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO nitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base. Angulo Plano radián rad Angulo Sólido estereorradián sr
  • 14 Jorge Mendoza Dueñas3. UNIDADES DERIVADAS 2. SUBMÚLTIPLOS Son las unidades correspondientes a las mag- nitudes derivadas. A continuación sólo se pre- PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN sentarán algunas de ellas. -1 deci d 10 = 0,1 MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO -2 centi c 10 = 0,01 -3 Fuerza Newton N mili m 10 = 0,001 µ -6 Superficie (Area) metro cuadrado m2 micro 10 = 0,000 001 -9 nano n 10 = 0,000 000 001 Velocidad metro por segundo m/s -12 pico p 10 = 0,000 000 000 001 Volumen metro cúbico m3 femto f -15 10 = 0,000 000 000 000 001 Trabajo Joule J -18 atto a 10 = 0,000 000 000 000 000 001 Presión Pascal Pa Potencia Watt W Frecuencia Hertz Hz OBSERVACIONES Capacidad Eléctrica faradio f − Los símbolos de los múltiplos o submúltiplos Resistencia Eléctrica Ohm Ω se escriben en singular. − Todos los nombres de los prefijos se escribi- OBSERVACIONES rán en minúscula. − Los símbolos de los prefijos para formar los − El símbolo de una unidad no admite punto múltiplos se escriben en mayúsculas, excep- al final. to el prefijo de kilo que por convención será − Cada unidad tiene nombre y símbolo; estos con la letra k minúscula. En el caso de los se escriben con letra minúscula, a no ser que submúltiplos se escriben con minúsculas. provenga del nombre de una persona, en − Al unir un múltiplo o submúltiplo con una cuyo caso se escribirán con letra mayúscula. unidad del S.I. se forma otra nueva unidad. Ejemplo:NOTACIÓN EXPONENCIALNOTACIÓNEn la física, es muy frecuente usar números muy Unidad del S.I. m (metro)grandes, pero también números muy pequeños; Nuevas Unidades km (kilómetro)para su simplificación se hace uso de los múltiplosy submúltiplos. cm (centímetro)1. MÚLTIPLOS − La escritura, al unir múltiplo o submúltiplo PREFIJO SÍMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIÓN con una unidad del S.I. es la siguiente: Primero: El número (valor de la magnitud). Deca D 101 = 10 Segundo: El múltiplo o submúltiplo (dejan- Hecto H 102 = 100 do un espacio) Kilo k 103 = 1 000 Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio). Mega M 106 = 1 000 000 Ejemplo: Giga G 109 = 1 000 000 000 Tera T 1012 = 1 000 000 000 000 3 20×10 m = 20 km (20 kilómetros) Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 36,4×10 f = 36,4 µf (36,4 microfaradios) -6 Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
  • Magnitudes Físicas 15 SIGNIFICATIV TIVASCIFRAS SIGNIFICATIVAS CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando un observador realiza una medición, nota Las cifras significativas de un valor medido, estánsiempre que el instrumento de medición posee una determinados por todos los dígitos que puedengraduación mínima: leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito estimado.Ilustración En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar así: 33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m Es notorio que el número de cifras significativas en el presente ejemplo es tres. El número de cifras significativas en un valor me- dido, generalmente se determina como sigue: La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro. l El dígito distinto de cero que se halle más a la izquierda es el más significativo. l El dígito que se halle más a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero. l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fracción decimal no es significativo. 20 ; tiene una cifra significativa. 140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400 ; tiene dos cifras significativas. l Todos los dígitos que se hallen entre los dígitos menos y más significativos son signi- ficativos. Ejemplo; determinar el número de cifras significa- tivas: Al medir el largo del libro se observa que su medida está entre 33 y 34 cm. 4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m ; tiene dos cifras significativas.Se podrá afirmar entonces que el largo del libro 0,032 m ; tiene dos cifras significativasmide 33 centímetros más una fracción estimada o 36,471 2 m; tiene seis cifras significativasdeterminada “al ojo” así por ejemplo, nosotros po- , 6,70 m ; tiene tres cifras significativasdemos estimar: L = 33,5 cm. 321,2 m ; tiene cuatro cifras significativas 2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas
  • 16 Jorge Mendoza Dueñas TEST 50 millas y por 2,05 × 10 m 41.- Entre las alternativas, una de las unidades no corres- a) 20 millas y por 2,1 × 10 m 4 ponde a las magnitudes fundamentales del sistema b) 30 millas y por 2,1 × 10 m 5 internacional: c) 4 d) 40 millas y por 10 m a) metro (m) e) N.A. b) Pascal (Pa) c) Amperio (A) 7.- Un estudiante determinado medía 20 pulg de largo d) candela (cd) cuando nació. Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 años e) segundo (s) de edad. ¿Cuántos centímetros creció, en promedio, por año?2.- ¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) 6,2 cm b) 5,3 cm a) Cantidad de sustancia - kilogramo c) 5,4 cm b) Tiempo - segundo d) 6,7 cm c) Intensidad de corriente - Amperio e) 4,3 cm d) Masa - kilogramo e) Temperatura termodinámica - kelvin 8.- ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor nú- mero de cifras significativas?3.- ¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) 0,254 cm 0,002 54 × 10 cm 2 b) −3 a) A – Amperio c) 254 × 10 cm −3 b) mol - mol d) 2,54 ×10 m c) C - Coulomb e) Todos tienen el mismo número d) kg - kilogramo e) m - metro 9.- Determine el número de cifras significativas en las si- guientes cantidades medidas:4.- Entre las unidades mencionadas, señala la que perte- (a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m nece a una unidad base en el S.I. a b c d a) N – Newton b) Pa - Pascal a) 4 3 5 3 c) C - Coulomb b) 2 2 5 2 d) A - Amperio c) 4 3 5 2 e) g - gramo d) 1 1 3 2 e) 2 1 3 25.- ¿Qué relación no corresponde? 10.- ¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras sig- 9 nificativas? a) 1 GN = 10 N 12 b) 2 TJ = 2×10 J −9 a) 305 cm c) 1 nHz = 10 Hz 9 b) 0,050 0 mm d) 3 MC = 3×10 C e) 5 pA = 5×10 −12 A c) 1,000 81 kg d) 2m e) N.A.6.- Al convertir una señal de camino al sistema métrico, sólo se ha cambiado parcialmente. Se indica que una po- blación está a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). ¿Cuál población está más distante y en cuántos kilómetros?
  • Magnitudes Físicas 17 RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación B problemas complementarios1.- Efectuar: E = 5 000 0×0,01 (9 000)3 (0 , 000 81)2 1.- Dar la expresión reducida: E = (0 , 000 000 243)2 Solución: Solución: −2 E = 5 × 10 e 4 je1× 10 j (32 × 103 )3 (81× 10 −5 )2 36 × 109 (34 × 10 −5 )2 E= = E = 5 × 10 4 − 2 = 5 × 102 (243 × 10 −9 )2 (35 × 10 −9 )2 36 × 109 × 38 × 10 −10 E = 500 E= = 3( 6 + 8 −10 ) × 10( 9 −10 +18 ) 310 × 10 −182.- Efectuar: E = 0 , 005 × 10 −4 × 30 000 000 E = 3( 6 + 8 −10) × 10( 9 −10 +18) Solución: E = 34 × 1017 E = 5 × 10 −3 10 −4 3 × 107 e je je j E = 81× 1017 E = 5 × 10 −3 − 4 + 7 = 5 × 100 2.- Dar el valor simplificado de: E=5 5 3 R= b25 000g b0, 000 125g3.- Convertir: 400 320 m a km 2 4 b0, 006 25g b0, 05g Solución: Solución: 1 km 400 320 m = 400 320 m × 5 3 1 000 m R= b25 000g b0, 000 125g 2 4 400 320 m = 400,320 km b0, 006 25g b0, 05g 5 3 −64.- Convertir: 360 km m a R= e25 × 10 j e125 × 10 j 3 2 4 h s −5 −2 Solución: e625 × 10 j e5 × 10 j 5 3 −6 360 km = 360 km 1 000 m × × 1h R= e5 × 10 j e5 × 10 j 2 3 3 h h 1 km 3 600 s −5 2 −2 4 e5 × 10 j e5 × 10 j 4 km (360)(1 000) 360 = m/ s 510 × 1015 × 59 × 10 −18 h 3 600 R= 58 × 10 −10 × 54 × 10 −8 km 36 × 10 4 360 = = 10 4 − 2 m / s R = 5b g × 10b15 − 18 + 10 + 8g 10 + 9 − 8 − 4 h 36 × 102 km R = 57 × 1015 360 = 100 m / s h 3.- Hallar la altura del nevado Huascarán en hectóme-5.- ¿Cuántos Gm tendrás en 2 230 m? tros si expresado en metros mide 6 780 m. Solución: Solución: 1 Gm 2 230 m = 2, 23 × 103 m × 1 Hm 109 m 6 780 m = 6 780 m × 102 m 2 230 m = 2, 23 × 103 − 9 Gm 6 780 m = 67 , 80 Hm 2 230 m = 2, 23 × 10 −6 Gm
  • 18 Jorge Mendoza Dueñas4.- Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada −6 1/ 2 −6 1/ 3 una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di- Q= e5 × 10 j e2 × 10 j 4 6 cho resultado en nm. −4 −3 4 e5 × 10 je2 × 10 j 2 4 Solución: 52 × 10 −3 × 22 × 10 −2 = 2−14 × 10b g −3 − 2 + 4 + 12 Q= 52 × 10 −4 × 216 × 10 −12 Q = 2−14 × 1011 7.- Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 años luz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un año de 365 días). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. e = 26 × 2 mm 1m e = 26 × 2 mm × Solución: 1 000 mm e = 52 × 10 −3 m 1 nm e = 52 × 10 −3 m × 10 −9 m e = 52 × 10 −3 × 10 +9 nm e = 52 × 106 nm d = 2 año luz5.- Un cabello humano crece a razón de 1,08 mm por día. Expresar este cálculo en Mm / s. km 1 año luz = 300 000 × 365 días s Solución: 4321 4321 4321 4321 km 24 h 3 600 s 1año luz = 300 000 × 365 dia × × 4321 4321 1, 08 mm 1, 08 mm s 1 dia 1h 4321 4321 V= = 1 día 24 h 321 1año luz = 300 000 × 365 × 24 × 3 600 km 321 1, 08 mm 1m 1h 321 321 V= × × 321 1año luz = 3 × 105 × 365 × 24 × 36 × 102 km 321 321 24 h 321 321 1 000 mm 3 600 s 54321 4321 4321 1 000 m 1 Em 108 × 10 −2 54321 4354321 4321 m 1año luz = 946 080 × 107 km × 54321 54321 × 18 21 54321 4321 V= 1 km 54321 10 m 54321 4321 4321 4321 24 × 103 × 36 × 10 2 s m 1año luz = 946 080 × 107 × 10 3 × 10 −18 Em V = 0 ,125 × 10 −7 s m 1año luz = 946 080 × 10 −8 Em m 1M V = 0 ,125 × 10 −7 × s Finalmente: s 10 6 m s d = 2 946 080 × 10 −8 Em e j −13 Mm V = 0 ,125 × 10 s d = 1 892160 × 10 −8 Em6.- Expresar en potencias de 10. d ≈ 19 × 10 −3 Em 0 , 000 625 3 0 , 000 064 Q= 2 4 b0, 05g b0, 016g 8.- Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla = 1 609, 347 m Solución: −6 1/ 2 −6 1/ 3 Solución: Q= e625 × 10 j e64 × 10 j m m 3 600 s 1 milla −2 2 −3 4 30 = 30 × e5 × 10 j e16 × 10 j s s 1 h 1 609 , 347 m
  • Magnitudes Físicas 19 m 30 × 3 600 milla Solución: 30 = s 1 609 , 347 h * 1 kg = 2, 2 lb * 1 litro = 1dm3 m milla 30 = 67 ,108 1 000 g = 2, 2 lb 1 litro = 1 dm3 s h 1 000 1 000 1 g = 2, 2 × 10 −3 lb 1 ml = 10 −3 dm39.- Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt Newton 1 pulg3 watt = * 1 lb = 1 lb × 1g × s −3 pulg 3 pulg 3 2, 2 × 10 lb b0, 254 dmg 3 Solución: 1 kw-h = kw × h 1 lb 1 g = × pulg3 −3 3 dm3 1 kw-h = kw × h × 1 000 w 3 600 s × e2, 2 × 10 jb0, 254g 1 kw 1h 1 lb g 1 kw-h = 36 × 105 w × s 3 = 27 738 ,1 pulg dm3 Joule 1 kw-h = 36 × 10 w × s × s 5 1 lb g 10 −3 dm3 1w 3 = 27 738 ,1 3 × pulg dm 1 ml 1 kw-h = 36 × 105 Joule 1 lb g10. Convertir: = 27 , 738 1 pulg3 ml lb a gramo g FG IJ pulg 3 H K mililitro ml 1 litro = 1dm3 ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación1.- Efectuar: E = 0,002×2 000 5.- Expresar el resultado en notación científica. 3 27 000 000 Rpta. E = 4 E= 4 0 , 008 1 62.- Efectuar: E = 2 250×0,02×0,000 004×10 Rpta. E = 103 Rpta. E = 180 6.- Dar el resultado de efectuar: 0 , 003 × 49 000 × 0 , 9 × 0 , 081 4 000 004 × 10 −4 × 0 , 003 E=3.- Efectuar: E = 2 0 , 000 004 × 10 4 8 100 × 270 × 0 , 7 b g Rpta. E = 10−5 Rpta. E = 30,000 03 2, 635 × 26 , 35 7.- ¿Qué distancia en Mm recorrió un móvil que marcha4.- ¿Cuál es el resultado de efectuar: E = ? 0 , 000 263 5 a 36 km/h en 2 Es? 13 Rpta. E = 26,35×104 Rpta. 2×10
  • 20 Jorge Mendoza Dueñas8.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go- 5.- Halla la expresión reducida en: tas, en 6 m3 ¿Cuántas gotas tendremos? 2 3 M= b0, 000 008 Jg b128 000 Jg ; 1J = N⋅ m Rpta. 18 × 106 gotas 4 s2 b0, 025 6 Jg b400 Ng9.- ¿A cuántos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa = N/m ) Rpta. M = 2-7×1011 m/s2 Rpta. 5 kPa 6.- En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresión geométrica cada hora, en razón de10.- Si 1J = N⋅m, expresar en pJ el producto de 6 GN por 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. 12 am. ¿Cuántas habrían en 3 horas? Expresar este resulta- dos en Gbacterias? 3 Rpta. 72 x 10 pJ Rpta. 64 Gbacterias B problemas complementarios 7.- Una pelota de 0,064 5 m de diámetro está sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. ¿A qué distancia está la parte superior de la pelota por sobre la base 0 , 000 020 1231.- Efectuar: E = × 25 × 10 5 del bloque? (Dar su respuesta en metros) 146 234 -4 Rpta. 7,54×10−2 m Rpta. E = 3,44×10 8.- Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 0 , 000 000 000 004 45 000 000 6,023 ×1023 granos de arena. ¿Cuántos ng habrá2.- Efectuar: E = × en 18,069 × 1028 granos de arena? 0 , 000 006 30 000 Rpta. 3×1017 ng Rpta. E = 0,001 9.- Una bomba atómica libera 40 GJ de energía. ¿Cuán- 3 b0, 000 000 004 002g 1019 × 22 tas bombas se destruyeron si se obtuvo 64×1036 J de3.- Efectuar: E= × energía? 45 000 0 , 006 –8 Rpta. 16×1026 bombas Rpta. E = 5,223 x 10 10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3. Hallar su densidad en µg/m3.4.- Halla la expresión reducida en (pN) 1 µg b6, 4 GNg ⋅ b0, 000 32 fNg ⋅ b1600 kNg Rpta. × 103 3 E= 3 m b12, 8 TNg ⋅ b8 µNg Rpta. 32 pN
  • Magnitudes Físicas 21 ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la forma como se relacionan las magni- Fines del análisis dimensional tudes derivadas con las fundamentales. 1.- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fun-Toda unidad física, está asociada con una dimensión damentales.física. 2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fór-Así, el metro es una medida de la dimensión mulas físicas, haciendo uso del principio de ho-“longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), mogeneidad dimensional.el segundo pertenece a la dimensión del “tiem- 3.- Sirven para deducir las fórmulas a partir de da-po” (T). tos experimentales.Sin embargo, existen otras unidades, como el m/sque es unidad de la velocidad que puede expre- ECUACIONES DIMENSIONALESsarse como la combinación de las antes mencio-nadas. Son expresiones matemáticas que colocan a las Dimensión de longitud magnitudes derivadas en función de las fundamen- Dimensión de velocidad = Dimensión del tiempo tales; utilizando para ello las reglas básicas del algebra, menos las de suma y resta.Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicasetc, pueden expresarse en términos de las dimen- porque sólo operan en las magnitudes.siones (L), (M), y/o (T).El análisis de las Dimensiones en una ecuación, mu-chas veces nos muestra la veracidad o la falsedad NOTACIÓNde nuestro proceso de operación; esto es fácil dedemostrar ya que el signo “=” de una ecuación in- A : Se lee letra “A”dica que los miembros que los separa deben detener las mismas dimensiones. [A] : Se lee ecuación dimensional de AMostraremos como ejemplo: A×B×C = D×E×F Ejemplos: Hallar la Ecuación Dimensional de:Es una ecuación que puede provenir de un desa-rrollo extenso, una forma de verificar si nuestro pro- Velocidad (v)ceso operativo es correcto, es analizándolo e e L v= ⇒ v = =dimensionalmente, así: t t T 2 2 (dimensión de longitud) = (dimensión de longitud) v = LT −1En el presente caso comprobamos que ambosmiembros poseen las mismas dimensiones, luego Aceleración (a)la ecuación es correcta. v v LT −1 a= ⇒ a = =En la aplicación del Método Científico, ya sea para t t Tla formulación de una hipótesis, o en la experimen-tación también es recomendable usar el Análisis a = LT −2Dimensional.
  • 22 Jorge Mendoza DueñasFuerza (F) Presión (P) F = m.a ; siendo a = aceleración Fuerza F MLT−2 F = m. a P= ⇒ P = = Area A L2 F = MLT−2 P = ML−1T −2Trabajo (W) Densidad (D) W = F. d Masa M M D= ⇒ D = = W = F. d ⇒ W = F d = MLT−2L Volumen V L3 W = ML2T −2 D = ML−3Potencia (P) PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD W W ML2T −2 Si una expresión es correcta en una fórmula, se debe P= ⇒ P = = t t T cumplir que todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así: P = ML2T−3 E – A + B + C = D ¬ ¬ ¬ ¬ ¬Area (A) V =V =V =V =V A = (Longitud)×(Longitud) ⇒ A = L ⋅ L Por lo tanto se tendrá: A = L2 E = A = B = C = DVolumen (V) OBSERVACIÓN V = (Longitud)×(Longitud)×(Longitud) Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigonométricas, no tienen dimensio- V = L3 nes, pero para los efectos del cálculo se asume que es la unidad.
  • Magnitudes Físicas 23 TEST1.- Siendo “a” una magnitud física, que proposición o que a) VVV d) FFV proposiciones siempre se cumplen: b) VVF e) VFV c) FFF I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] - [a] = [a] 7.- Respecto a una fórmula o ecuación dimensional, se- III. [a] - [a] = 0 ñalar verdadero o falso: a) I d) III I.- Todos los términos en el primer y segundo miem- b) II e) N.A. bro tienen las mismas dimensiones. c) I y II II.- Todos los números y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1.2.- ¿Cuál será las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? III.- La ecuación dimensional de los términos del pri- −1 −1 −1 mer miembro, difieren de las dimensiones del se- a) ML T d) M LT gundo miembro. −1 −2 b) ML T e) M LT 2 c) MLT a) VVF d) VFV b) VVV e) FVF3.- ¿Qué relación no es correcta dimensionalmente? c) FVV −2 2 −2 a) [fuerza] = M LT d) [trabajo] = M L T 8.- El S.I. considera ................ fundamentales y ........................ −1 b) [frecuencia] = T e) [carga eléctrica] = I .T con carácter geométrico. −1 c) [velocidad angular] = T a) Tres magnitudes – dos auxiliares4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente: b) Siete magnitudes – dos auxiliares c) Seis magnitudes – una auxiliar I) L+L+ L–L=L ( ) d) Tres magnitudes – una auxiliar II) En sec (P + 12) ⇒ P = 1 ( ) e) N.A. m x⋅ III) En a kg ⇒ x = ML−1 ( ) 9.- ¿Qué magnitud no está asociada a sus correctas di- mensiones? −1 a) VVF d) FVV a) Velocidad - LT −2 b) FFF e) FFV b) Fuerza - ML T 3 c) VVV c) Volumen - L −3 d) Densidad - ML 25.- ¿Qué proposición o proposiciones son falsas respec- e) Aceleración - LT to al Análisis Dimensional? 10.- ¿Qué unidad va asociada incorrectamente a las dimen- I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. siones dadas? II.- Se emplea para verificar fórmulas propuestas. III.- Se usa para deducir fórmulas. kg ⋅ s a) − MTL−1 a) I d) I y II m m b) II e) III y II b) kg ⋅ 2 − MLT −2 c) III s m6.- Respecto al análisis dimensional señalar verdadero o c) A⋅ − ILT s falso: kg ⋅ m2 I.- Pueden existir dos magnitudes físicas diferentes d) − ML2A −1T −2 con igual fórmula dimensional. A ⋅ s2 II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales. m3 III.- Dimensionalmente todos los ángulos y funciones e) kg ⋅ − ML3T −4 trigonométricas representan lo mismo. s4
  • 24 Jorge Mendoza Dueñas RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación1.- Halle la dimensión de “K” en la siguiente fórmula física: 3.- Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula: m⋅ v 2 K= V = α.A + β.D F Donde; m : masa Donde; V : volumen F : fuerza A : área v : velocidad D : densidad Solución: Solución: t Analizando cada elemento: t Aplicando el principio de homogeneidad. m =M V = α A = β D v = LT −1 t Determinando: α F = MLT −2 t Luego tendremos: V = α A 2 −1 K = m⋅ v 2 = bMgeLT j = ML2T −2 L3 = α L2 ⇒ α =L F −2 −2 MLT MLT t Determinando: β K =L V = β D2.- Halle la dimensión de “S” en la siguiente fórmula física: L3 = β ML−3 ⇒ β = M−1L+6 F⋅ d S= m⋅ c2 4.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo- génea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y” . Donde; F : fuerza m : masa Siendo; A : fuerza d : distancia B : trabajo v : velocidad C : densidad Solución: Ax + By = C t Analizando cada elemento: Solución: F = MLT −2 t Si la expresión es dimensionalmente homogénea, d =L entonces: m =M r Ax + By = C r A = MLT −2 −1 c = LT B = ML2T −2 A x = B y = C t Luego tendremos: C = ML−3 −2 S = F d = eMLT jbLg = ML T 2 −2 t Con lo cual se tiene: 2 2 2 −2 −1 m c bMgeLT j ML T A x = C S =1 MLT −2 x = ML−3 ML−3 x = ⇒ x = L−4 T 2 MLT −2
  • Magnitudes Físicas 25 t B y = C B problemas complementarios ML2T −2 y = ML−3 1.- Halle la dimensión de “A” y “B” en la siguiente fórmula ML−3 y = ⇒ y = L−5T 2 física. ML2T −2 W v = +F A B5.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo- z −y x Donde; W : trabajo génea: P = q R s v : volumen Donde; P : presión q : fuerza F : fuerza R : volumen s : longitud Solución: Hallar: x – 3y t Aplicando el principio de homogeneidad: 1/ 2 Solución: LM W OP = LM v OP = F N A Q NBQ t P = ML−1T −2 q = MLT −2 t Determinando A R = L3 s =L W t P = qzR − y s x = F A z −y x P = q R s ML2T −2 = MLT −2 ⇒ A =L z −y A −1 −2 −2 x ML T = MLT e j eL j bLg 3 t Determinando B ML−1T −2 = MzLz T −2zL−3 yLx 1/ 2 1/ 2 v v ML−1T −2 = MzLz − 3 y + x T −2z 1/ 2 1/ 2 = F ⇒ B = B F M1 = Mz ⇒ z =1 v L3 B = 2 = 2 −2 L−1 = Lz − 3 y + x ⇒ − 1 = z − 3y + x F eMLT j − 1 = 1 − 3y + x B = M−2LT 4 t Nos piden: x – 3y x – 3y = −2 2.- Halle la dimensión de “A” “B” y “C” en la siguiente fór- , mula física. 2 E = A.F + B. v + C⋅a NOTA Donde; E : trabajo Las ecuaciones dimensionales sólo afectan a F : fuerza las bases, más no a los exponentes, pues estos v : velocidad a : aceleración siempre son números y por lo tanto estos ex- ponentes se conservan siempre como tales Solución: (números). De lo expuesto, queda claro que la ecuación t Aplicando el principio de homogeneidad: dimensional de todo exponente es la unidad. E = AF = Bv 2 = C ⋅ a t Determinando A : E = A F ML2T −2 = A MLT −2 ⇒ A =L
  • 26 Jorge Mendoza Dueñas t Determinando B : 5.- Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresión W sea dimensionalmente homogénea. 2 E = B v 2 W = 0,5 mcx + Agh + BP ML2T −2 = B LT −1 e j ⇒ B =M x Siendo: Q = A x ⋅ B ; t Determinando C : Además; W : trabajo h : altura E = C a m : masa P : potencia ML2T −2 = C LT −2 ⇒ C = ML c : velocidad A,B : constantes dimensionales g : aceleración3.- Halle la dimensión de ”R” en la siguiente fórmula física: Solución: 2 2 R = (x + t)(x – y)(y + z) t Aplicando el principio de homogeneidad: Donde ; t: tiempo x W = m c = A g h = B P Solución: t W = A g h t Observamos por el principio de homogeneidad: ML2T −2 = A = LT −2L x =T 2 A =M y = x = T2 2 2 z = y = T2 e j = T4 t B P = W t Luego tendremos: W B⋅ = W ⇒ B = t t R = x y z R = T × T2 × T 4 ⇒ R = T7 B =T x t W = m c4.- La potencia que requiere la hélice de un helicóptero x viene dada por la siguiente fórmula: ML2T −2 = M LT −1 e j x y z P = K. R . W . D ML2T −2 = MLx T − x Donde; W : velocidad angular (en rad/s) x=2 R : radio de la hélice (en m) D : densidad del aire (en kg/m3) t Finalmente: K : número x 1/ 2 Q = A B Calcular x,y,z. Q = M2T1/ 2 Solución: x y z 6.- Suponga que la velocidad de cierto móvil, que se des- P = K R W D plaza con movimiento bidimensional, puede determi- y z narse con la fórmula empírica: ML2T −3 = 1 L −1 −3 x b gb g eT j eML j b V = aT 3 + ML2T −3 = Lx T − yMzL−3z T2 − c ML2T −3 = MzLx − 3z T − y Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la fórmula sea homogénea dimensio- M1 = Mz ⇒ z = 1 nalmente. L2 = L x−3 1 bg ⇒ x − 3= 2 ⇒ x = 5 Solución: T −3 = T − y ⇒ y=3 Por el principio de homogeneidad:
  • Magnitudes Físicas 27 t de: T2 − c ⇒ c = T2 Solución: 3 t tan θ = número t V = a T LT −1 = a T 3 ⇒ a = LT −4 Dimensionalmente; para que (n + tan θ ) sea homogénea: b [n] = [tan θ ] = 1 t V = 2 T Con lo cual: n + tan θ = número b LT −1 = ⇒ b = LT T2 [n + tan θ ] = 17.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente ho- t Con todo el sistema: mogénea. x y z F D v = n + tan θ m1 m2 m3 Hallar: ”x – 2y” x y z −2 −3 −1 a = vt x 1 + k y − x e j eMLT j eML j eLT j = b1gbMgbMgbMg Siendo; a : aceleración MxLx T −2 xMyL−3 yLz T − z = M3 v : velocidad Mx + yLx − 3y + z T −2 x − z = M3L0 T0 t : tiempo r Mx + y = M3 ⇒ x+y=3 Solución: x − 3y + z r L =L 0 ⇒ x − 3y + z = 0 Dimensionalmente se tiene: −2 x − z r T =T 0 ⇒ − 2x − z = 0 y−x 1= k Resolviendo: z = -9 y−x 1° = k ⇒ y−x=0 ⇒ y=x 9.- En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. y−y Determinar la ecuación dimensional de “x” . t Luego tendremos: a = vt 1 + k e x j a = vt e1 + k j x 0 E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞ a = vt b1 + 1g x Donde; M : masa ; v : velocidad a = 2vt x Solución: x t Dimensionalmente: a = 2 v t E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ ∞ LT −2 = 1 LT −1 T b ge jb g x 1444 24444 4 3 E −2 LT = LT −1T x E = Mvx + E ⇒ E = Mvx + E 2 LT −2 = LT x − 1 t Dimensionalmente: T −2 = T x − 1 ⇒ x − 1 = − 2 2 E = M v x = E Con lo cual: x = −1 ⇒ y = −1 2 E = E ⇒ E =1 Nos piden: “x – 2y” x – 2y = –1 – 2(–1) x – 2y = 1 Además: M v x = E8.- En la expresión mostrada. Hallar “z” M v x =1 x y z F D v = (n + tan θ) m1 m2 m3 −1 bMgeLT j x = 1 Donde; F : fuerza 1 D : densidad x = ⇒ x = M−1L−1T v : velocidad MLT −1 m1, m2,m3 : masas
  • 28 Jorge Mendoza Dueñas10.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo- 3 Resolviendo: x = y = z = génea. Determinar la ecuación dimensional de “K” 2 K = GMb gLbz + x gTb y + zg + 2Mb gLb6 − 2ygTb6 − 2zg x+y 6 − 2x t Luego: Solución: K = 2 M b 6 − 2 x g L b 6 − 2 y g T b 6 − 2z g t Dimensionalmente: FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ FG 6 − 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K K b x + yg L bz + x g T b y + x g = b6 − 2x g L b6 − 2yg bg K = 1 M L T G M 2 M T b 6 − 2z g K = M3L3 T3 De donde: G = 2 M b x + y g = M b6 − 2x g ⇒ x + y = 6 − 2x L bz + x g = L b6 − 2yg ⇒ z + x = 6 − 2y T b y + x g = T b 6 − 2z g ⇒ y + x = 6 − 2z PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación1.- Halle la dimensión de “H” en la siguiente fórmula física. Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza. D⋅A⋅ V H= Rpta. α = M−1 F β = L−1 Donde; D : densidad A : aceleración V : volumen 4.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: F : fuerza v = A⋅t + B⋅ x Rpta. [H] = 1 Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia2.- La medida de cierta propiedad (t) en un líquido se de- termina por la expresión: Rpta. A = LT −2 2t B = T −1 h= rd 5.- Halle la dimensión de A y B en la siguiente fórmula: Siendo: h medida en m; d, peso específico. ¿Cuál será la x2 g ecuación dimensional de t para que r se mida en m? V= + A B Rpta. t = MT −2 Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleración3.- Halle la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula Rpta. A = LT física. B = T −1 v2 F E= + α β
  • Magnitudes Físicas 296.- Halle la dimensión de “A” “B” y “C” en la siguiente fór- , B problemas complementarios mula física: e = A + Bt 2 + Ct 3 1.- Determinar la dimensión de “x” si la ecuación es , dimensionalmente correcta. Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s) WMa xv 2 = + bt2 ; donde: Rpta. A =L sen 30° v : velocidad a : aceleración B = LT −2 M : masa W : trabajo C = LT −3 Rpta. M2LT-27.- Halle la dimensión de “G” “H” e “I” en la siguiente fór- , 2.- Hallar la ecuación dimensional de z, si la ecuación mos- mula física: trada, es dimensionalmente correcta: F = Ga + Hv + I Donde; F : fuerza ; a : aceleración ; v : velocidad π tan α = bw + wlog 2g + z 3 bg + gsen φgx Rpta. G =M w : peso ; g : aceleración H = MT −1 I = MLT −2 Rpta. MLT-2 3.- Determinar las dimensiones de “a” sabiendo que la si- ,8.- En la siguiente expresión, calcular x + y guiente ecuación es dimensionalmente correcta: S = Ka x t y b g 4 π 2L2 L − b cos θ K: constante numérica G= T2 ⋅ a S : espacio a : aceleración donde; G : aceleración de la gravedad t : tiempo T : tiempo b y L : longitud Rpta. 3 Rpta. L29.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo- génea. Determinar: 4.- La fracción mostrada es dimensionalmente correcta LM a OP = ? y homogénea: Nb Q Ax3 + Bx2 + Cx + D a+p A8 + B 6 + C 4 + D 20 + t + k = b−q y A = L−6 T 4 , determinar las dimensiones de “x” . a : aceleración t : tiempo Rpta. L-14T28/3 Rpta. T 2 5.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homo- génea, hallar las dimensiones de “b” .10.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente ho- 5F log a 8F2C mogénea; determinar la ecuación dimensional de “C” . W= − 2 x b +v 3Ry 2Nx W : trabajo C= 2 v : velocidad eN − 2j x F : fuerza R : longitud y : aceleración Rpta. L1/2T-1/2 3 -4 Rpta. L T 6.- En la ecuación: P = Kgy dxhz Hallar: (x.y.z)
  • 30 Jorge Mendoza Dueñas donde; P: presión h : altura g: aceleración de la gravedad m: masa h: altura A , A : areas 1 2 K: constante numérica d: densidad Rpta. x=L y = M−1 Rpta. 17.- En la expresión: 9.- Determinar la dimensión de “b” para que la ecuación sea homogénea. sen 30° 2 60° cos 60° F πα IJ = e tan G A + mBL ± C(Ftan ) W = ba + b2c H 2K 10 n−1 e Donde; W : trabajo Hallar las dimensiones de A, B y C para que sea e : espacio dimensionalmente homogénea, donde: a : aceleración α : ángulo en radianes Rpta. M L : longitud F : fuerza 10.- Hallar [x][y]: e : base de los logaritmos neperianos 2 vy m y n : números d b x = sen π + α gi t + emB Rpta. A = adimensional Donde; v : velocidad -1/2 B=L e : espacio -3/2 -3/2 3 C=M L T m : masa t : tiempo8.- Hallar las dimensiones de “x” e “y” sabiendo que la , B : número real igualdad mostrada es dimensionalmente correcta. 2 Rpta. M2LT 2 FG 2 − x IJ H hK = xy 0 , 85 m A1 − A2
  • Magnitudes Físicas 31 MEDICIÓN - TEORÍA DE ERRORESMEDICIÓN CLASES DE MEDICIÓN Medición, es el proceso por el cual se compara A) Medición directa una magnitud determinada con la unidad patrón Es aquella en la cual se obtiene la medida correspondiente. “exacta” mediante un proceso visual, a partir de una simple comparación con la unidadTodos los días una persona utiliza la actividad “me- patrón.dición”; ya sea en nuestras actividades personales,como estudiante o como trabajador. Ejemplo Ilustrativo:Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al to-mar la asistencia, estamos midiendo la cantidad de Magnitud: Longitudalumnos que llegaron a clase; en este caso la uni-dad patrón será “un alumno” . 1 metro ± Unidad patrón: 1 metroCuando jugamos fútbol, el resultado final lo definela diferencia de goles a favor; la unidad patrón será“un gol” En ocasiones cuando nos tomamos la tem- .peratura, nos referimos siempre respecto a unaunidad patrón “1°C” .Esto significa que toda medición quedará perfec-tamente definida cuando la magnitud al que nosreferimos termine por ser cuantificada respecto ala unidad patrón correspondiente. Ahora para rea- En la figura, es fácil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros (medición directa).lizar la medición, generalmente se hace uso de he-rramientas y/o equipos especiales así como también B) Medición Indirectaen algunos casos de los cálculos matemáticos. Es aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o cálculos matemáticos, yaEl resultado de la medición nos mostrará cuantitati- que se hace imposible medirla mediante unvamente el valor de la magnitud; y con ello podemos proceso visual simple.saber o predecir las consecuencias que conllevan di-cho resultado. Así; si medimos la velocidad de un“atle- Ilustraciónta” y obtenemos como resultado “1 m/s”; sabremosentonces que éste nunca será campeón en una com-petencia de 100 metros planos; esto significa que gra- Se quierecias a la medición (actividad cuantitativa) podremos medir el área del rectángulosaber o predecir los resultados cualitativos.Ejemplo ilustrativo 9 veces un cuadrito, ± dicho de Fórmula: otra forma: 9 cuadritos Area = largo × ancho ⇒ A = (3 m)(2 m) Unidad Patrón (un cuadrito) A = 6 m2 Se recurrió al uso de una fórmula matemática
  • 32 Jorge Mendoza DueñasERRORES EN LA MEDICIÓNLa medición es una actividad que lo ejecuta el hom-bre provisto o no de un instrumento especializadopara dicho efecto.En toda medición hay que admitir, que por máscalibrado que se encuentre el instrumento a usar,siempre el resultado obtenido estará afectado decierto error; ahora, en el supuesto de que existien-do un aparato perfecto cuyos resultados cifrados Al medir la longitud entre dos puntos, en días calurosos, la cinta métrica se di-coincidieran matemáticamente con la realidad fí- lata debido a la fuerte temperatura, luego se cometerá un error de medición.sica, nunca llegaríamos a dicho valor, debido a laimposibilidad humana de apuntar al punto preci- B) Instrumentalesso o de leer exactamente una escala. Son aquellos que se presentan debido a la im- perfección de los instrumentos de medición. Las agujas de un cronó- metros son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento, luego se cometerá un error de medición. C) Personales Son aquellos, ocasionados debido a las limi- taciones de los sentidos humanos en las ob- servaciones (vista, tacto, etc.)A) Exactitud La vista de una persona Es el grado de aproximación a la verdad o puede no permitir obser- var correctamente las grado de perfección a la que hay que procu- agujas de un reloj, se co- rar llegar. meterá entonces un error personal en la medida del tiempo.B) Precisión Es el grado de perfección de los instrumen- tos y/o procedimientos aplicados. CLASES DE ERRORESC) Error Podría afirmarse que es la cuantificación de la A) Propios incertidumbre de una medición experimental Son aquellos que provienen del descuido, respecto al resultado ideal. torpeza o distracción del observador, estas no entran en el análisis de la teoría de errores.CAUSAS DE ERRORES Es posible que el operador lea en la cinta métricaA) Naturales 15,40 m y al anotar, escriba 4 15 por descuido L = 154 m; éste 15 16 L= Son aquellos errores ocasionados por las va- es un error propio, tan gra- riaciones meteorológicas (lluvia, viento, tem- ve que no se debe conside- rar en los cálculos de Teoría peratura, humedad, etc). de Errores.
  • Magnitudes Físicas 33B) Sistemáticos L = 0,305 m Son aquellos que aparecen debido a una im- perfección de los aparatos utilizados, así como también a la influencia de agentes ex- ternos como: viento, calor, humedad, etc. Es- L = 0,306 m Cuando medimos el lar- tos errores obedecen siempre a una Ley Ma- go de un libro, cada vez temática o Física, por lo cual es posible su que se mida, la lectura será diferente. corrección. L= 0,304 m TEORÍA DE ERRORES Es imposible encontrar el verdadero valor del error L A accidental; si así fuese, podríamos entonces calcu- B L’ lar el valor exacto de la magnitud en medición su- mando algebraicamente el valor observado. No obstante es posible definir ciertos límites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medición. Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta métrica, ésta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condi- Así pues, queda claro que los errores accidentales ciones no será la verdadera, habrá que corregir. tienen un rango establecido, cuyo cálculo irán de acuerdo con los principios y métodos de la teoría L = L’ − corrección matemática de errores con aplicación del cálculo La corrección se determina mediante la siguiente fórmula: de probabilidades. W2L corrección = Estableceremos convencionalmente dos casos: 24FDonde: W, L y F son parámetros conocidos. I.- CUANDO SE REALIZA UNA SOLA MEDICIÓN Hay casos en las que se toma una sola medición u NOTA observación respecto a un patrón establecido, así por ejemplo: Esta clase de error no se tomará en cuenta en este libro. PATRON VALOR APROXIMADO π = 3,141 592 654 3,141 6C) Accidentales o Fortuitos g = 9,8 m/s2 10 m/s2 Son aquellos que se presentan debido a cau- tan 37º = 0,753 554 05 0,75 sas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse corrección alguna, sin em- Es importante establecer entonces bajo que error bargo estos errores suelen obedecer a las Le- se está trabajando. yes de las Probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lec- A) Valor verdadero (A) turas de una misma medición, pues general- Es el valor “exacto” o patrón que se establece mente estas suelen ser diferentes. en una medición, en realidad, tal valor “exacto”
  • 34 Jorge Mendoza Dueñas no existe, pero se suele establecer de acuer- B) Desviación (V) do al tipo de trabajo a realizar; así por ejem- Se le llama también error aparente de una me- plo, el valor verdadero de la constante (π) se dición. Es la diferencia entre la media y el va- puede considerar como 3,141 6. lor correspondiente a una medición.B) Error Absoluto(EA) Ejemplo: Es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado. 10,20 ⇒ V = 10,20 – 10,20 = 0 10,22 ⇒ V = 10,20 – 10,22 = -0,02 EA = A′ − A 10,18 ⇒ V = 10,20 – 10,18 = +0,02 Donde; EA : error absoluto C) Desviación típica ó stándar (σ) A : valor verdadero Viene a ser el promedio de todas las desvia- A’ : valor aproximado ciones de las mediciones realizadas.C) Error Relativo (ER) ΣV2 Llamado también error porcentual y nos de- σ = ± 2 ≤ n ≤ 30 n−1 termina según parámetros establecidos si la equivocación puede ser aceptable o no. Donde; EA ER = 100% A σ : desviación típica o stándar V : desviación de cada medición Donde; ER : error relativo n : número de mediciones E : error absoluto A A : valor verdadero Para la explicación de la presente expresión, parti- remos diciendo que el número mínimo de medi-2.- CUANDO SE REALIZA DOS O MÁS ciones tendrá que ser dos, de lo contrario no ten- MEDICIONES dría sentido hablar de promedio y por ende de desviación. Por otro lado no es difícil deducir queGeneralmente cuando se lleva a cabo una medi- el promedio de todas las desviaciones sería:ción, no se conoce el valor verdadero; es por esto ΣVque se recomienda tomar varias mediciones, no nobstante, jamás se podrá conocer el valor exacto. Sin embargo, en la práctica, el resultado de di- cha expresión siempre será cero; es por ello queA) Media ( X ) se utiliza la suma de los cuadrados, la cual nunca Es el valor que tiende a situarse en el centro se anulará. del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es la media aritmética de un con- D) Error probable de una observación (E0 ) junto de datos. Es aquel intervalo [-E0 , + E0], dentro de cuyos x1 + x2 + x3 + ... + xn límites puede caer o no el verdadero error acci- X = dental con una probabilidad del 50%. n Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18 E0 = ± 0, 674 5 σ 10, 20 + 10, 22 + 10,18 Donde; X = 3 E0 : error probable de una observación X = 10 , 20 σ : desviación típica o stándar.
  • Magnitudes Físicas 35E) Error relativo (ER) F) Error probable de la media (E) Es la relación entre E0 y la media X ; y viene a Está visto que la media, también está sujeto a ser el parámetro que califica la calidad del error. trabajo. El error probable de la media al 50% de pro- babilidad se puede determinar así: E0 ER = ± X ΣV2 E = ± 0, 674 5 b g n n−1 1 ó ER = ± Donde; F XI GH E JK 0 E : error probable de la media Donde; V : desviación de cada medición n : número de mediciones ER : error relativo G) Valor más probable (V.M.P.) X : media E0 : error probable de una observación Es aquel que se acerca más al verdadero va- lor pero que no lo es. Ejemplo: Comúnmente se considera a la media como el valor más probable de varias mediciones. Supongamos que se desea realizar un traba- jo de laboratorio, donde es requisito para ob- V. M.P. = X tener las metas deseadas un error relativo Donde; 1 menor que ; si el trabajo de laborato- 3 000 V.M.P. : valor más probable 1 X : media rio arrojó un ER = ± 4 000 Como quiera que el V.M.P. nunca será el valor verdadero, se deduce que existirá un error yTendremos: que dicho valor exacto estará ubicado den- tro del rango de ciertos límites; este será: 1 1 < 4 000 3 000 V.M.P. − E , V.M.P. + EDe donde se deduce que el trabajo realizado es acep- Donde;table; de lo contrario habrá que volver a empezar. E : error probable de la media
  • 36 Jorge Mendoza Dueñas TEST1.- ............., es el proceso por el cual se compara una mag- 6.- La media de un grupo de medidas de cierto peso es nitud determinada con la unidad ............ previamente 28,5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27,8 g; la establecida. desviación sería: a) Estimación – base a) +1,3 g b) Medición – patrón b) –1,3 g c) Estimación – de comparación c) –0,7 g d) Medición – base d) +0,7 g e) Marcación – estelar e) +0,9 g2.- Señalar verdadero o falso en las siguientes proposi- 7.- En la medición de la longitud de un terreno, el valor ciones: más probable obtenido: 100,212 ± 0,000 8; esto signi- fica que: I.- Exactitud, es el grado de aproximación a la verdad o perfección a la que se procura llegar. a) El valor real está comprendido entre 100,211 2 II.- Precisión instrumental o procedimental, es el gra- y 100,212 8. do de perfección alcanzado. b) El valor que más se acerca es 100,22 III.- Error, es la cuantificación de la incertidumbre de c) El valor más probable es 100,212 8 una medición experimental respecto al resultado d) El valor menos probable es 100,212 6 ideal. e) N.A. a) VFF d) VVV 8.- La media de 5 mediciones a sido 12,6, si una de es- b) VFV e) FVF tas mediciones fue 12,7, hallar la desviación aparen- c) FFV te obtenida.3.- ¿Cuál de las alternativas no puede ser una causa de a) 0,1 error en las mediciones? b) –0,1 c) 25,3 a) Naturales. d) –25,3 b) Instrumentales. e) N.A. c) Personales. d) Temperamentales. 9.- ¿Cuánto pague por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de arroz a e) N.A. S/. 2,00 el kilo?4.- Errores................... provienen del descuido, torpeza o dis- a) S/. 10 000 tracción del observador, estas no entran en el análisis b) S/. 5 000 de................ c) S/. 1 610 d) S/. 9 050 a) Sistemáticos – teoría de errores. e) N.A. b) Propios – la teoría de errores. c) Accidentales – métodos científicos. 10.- La suma de los cuadrados desviaciones de cierto gru- d) Fortuitos – métodos científicos. po de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su e) N.A. desviación típica o stándar.5.- ¿Cuál es la media o promedio ponderado de las me- a) 6,5 diciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas b) 5,5 fueron: c) 3,5 d) 8,5 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm e) 4,5 a) 12 cm d) 11,8 cm b) 12,2 cm e) 12,8 cm c) 12,4 cm
  • Magnitudes Físicas 37 RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación1.- Se ha obtenido los siguientes valores al determinar la t Calculado el error relativo masa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g y 2,350 g. ¿Cuál es el valor más probable? EA ER = × 100% A Solución: −0 , 001 6 ER = × 100% 3,141 6 V.M.P. = X ER = − 0 , 051% Calculando la media: X 2, 350 + 2, 352 + 2, 348 + 2, 350 4.- Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y X= halla un valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud 4 de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m. ¿Qué X = 2, 350 error absoluto se cometió en cada caso?, ¿qué medi- da fué más precisa? Luego: V . M. P. = 2, 350 Solución:2.- Consideremos la longitud de una mesa 112,8 cm; al En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos medirla hemos obtenido 113,4 cm; hallar el error ab- cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por ex- soluto y el error relativo. ceso, y la medida más precisa fue la del alumno B, ya que cometió un error relativo menor. Solución: ALUMNO ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO t Calculando el error absoluto 1 A 1 m (exceso) × 100 = 20% EA = A − A 5 EA = 113, 4 − 112, 8 1 B 1 m (exceso) × 100 = 0 , 2% EA = + 0 , 6 cm (por exceso) 500 t Calculado el error relativo 5.- ¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar el nú- mero π = 3,141 59 para que su error relativo sea me- EA nor del 0,1%? ER = × 100% A 0, 6 Solución: ER = × 100% 112, 8 ER < 0 ,1% ER = 0 , 53% EA × 100% < 0 ,1% A ¿Qué error relativo, se comete al dar a π = 3,141 6 el EA3.- × 100% < 0 ,1% valor 3,14? 3,141 59 EA < 0 , 00314 Solución: Rpta. Dos cifras decimales t Calculando el error absoluto Verificando: EA = A − A 3,14 − 3, 141 59 EA = 3,14 − 3,141 6 ER = × 100% 3,141 59 EA = − 0 , 001 6 (por defecto) Tomando valor absoluto: ER = + 0 , 05% < 0 , 1%
  • 38 Jorge Mendoza Dueñas B problemas complementarios1.- En la medida de 1 metro, se ha cometido un error de MEDICIONES ERRORES (V) V2 1 mm y en 300 km un error de 300 m. ¿Qué error rela- tivo es mayor? 4,556 mm +0,001 0,000 001 4,559 mm -0,002 0,000 004 Solución: 4,553 mm +0,004 0,000 016 4,561 mm -0,004 0,000 016 t Cuando L = 1 m 4,562 mm -0,005 0,000 025 A = 1 000 mm 4,555 mm +0,002 0,000 004 EA ER = ×100% 4,557 mm 0,000 0,000 000 A 4,553 mm +0,004 0,000 016 1 ER = × 100% 4,556 mm +0,001 0,000 001 1 000 4,558 mm -0,001 0,000 001 ER = 0 ,1% X = 4,557 mm ΣV = 0,000 ΣV2 = 0,000 084 t Cuando L = 300 km A = 300 000 m ¿Cómo se debe expresar el resultado final de las me- diciones? EA ER = × 100% A Solución: 300 ER = × 100% 300 000 t Calculando el error probable de la media (E) ER = 0 ,1% ΣV2 E = ± 0 , 674 5 Rpta. Los dos tienen igual error relativo b g n n−12.- ¿Qué medida es más precisa: La de un químico que 0 , 000 084 E = ± 0 , 674 5 pesa 200 mg con una balanza que aprecia el miligramo bg 10 9 o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo? E = ± 0 , 000 7 Solución: t El valor más probable: V.M.P. = X = 4,557 Será más precisa aquella pesada cuyo error relativo Luego el resultado final podrá ser expresado. sea menor. 4,557 ± 0,000 7 t Con el químico: EA Del concepto de teoría de errores, se deduce que hay ER = ×100% un 50% de probabilidades de que el verdadero valor A 1 mg del resultado final esté comprendido entre 4,556 3 m ER = × 100% y 4,557 7 m. 200 mg ER = 0 , 5% 4.- Se ha medido la longitud de un terreno, los datos ob- tenidos en metros son: t Con el tendero 1° Medición : 100,212 1g 2° Medición : 100,210 ER = × 100% 2 000 g 3° Medición : 100,214 ER = 0 , 05% Se pide: A) Calcular la media. B) Calcular la desviación típica o stándar (σ). Rpta. Es más precisa la medida del tendero Solución:3.- Consideremos la siguiente serie de mediciones reali- zadas con un esferómetro: A) Son tres mediciones n = 3
  • Magnitudes Físicas 39 100 , 212 + 100 , 210 + 100 , 214 300 , 636 6.- Con ayuda de un teodolito se midió un ángulo, reali- X= = zando una observación angular en ocasiones diferen- 3 3 tes y por diferentes observadores. Calcular la media. X = 100 , 212 Los datos de campo son: B) Tabulando 2 MEDIDA V = X - Xi V 100,212 0 0 100,210 +0,002 4×10-6 -6 100,214 -0,002 4×10 -6 θ = 40° 20‘ 10“ 1 medida Sumatoria 8×10 1 θ = 40° 20‘ 30“ 4 medidas 2 θ = 40° 20‘ 50“ 3 medidas 3 ΣV2 8 × 10 −6 σ=± =± n−1 3−1 Calcular la media. σ = ± 0 , 002 Solución:5.- En el problema anterior calcular: n = 1 + 4 + 3 = 8 observaciones A) El error relativo θ= b1gθ + b4gθ + b3gθ 1 2 3 B) El resultado final 8 Solución: θ = 40° 20‘ 10“ + 4(40° 20‘ 30“) + 3(40° 20‘ 50“) E0 1 8 A) ER = ± =± X X θ = 322° 44‘ 40“ ⇒ θ = 40° 24‘ 35“ E0 8 E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5 0 , 002 b g 7.- Se ha efectuado la medición de una distancia y los re- sultados obtenidos son: E0 = ± 0 , 001 349 1 1 1° Medición : 800,213 m ER = ± = 2° Medición : 800,220 m 100 , 212 74 286 3° Medición : 800,603 m 0 , 001 349 4° Medición : 800,218 m 1 ER = Se pide: Calcular el error relativo 74 286 Solución: ΣV2 B) E = ± 0 , 674 5 b g n n−1 En primer lugar, si analizamos el valor de cada medición, respecto a los demás, será fácil detectar que la tercera 8 × 10 −6 medición tiene un valor muy lejano a las otras medicio- E = ± 0 , 674 5 nes, lo cual hace deducir que en el proceso de medición bg 32 se debió cometer un error propio (en la 3° medición), por tal motivo no se tomará en cuenta en los cálculos. E = ± 0 , 000 8 Luego; 1° Medición : 800,213 m El V.M.P. = X = 100,212 2° Medición : 800,220 m 3° Medición : 800,218 m Luego el resultado final podrá ser expresado: n=3 100,212 ± 0,000 8 800 , 213 + 800 , 220 + 800 , 218 2 400 , 651 Esto significa que hay un 50% de probabilidades de X= = 3 3 que el verdadero valor del resultado final esté com- prendido entre 100,211 2 y 100,212 8. X = 800 , 217 m
  • 40 Jorge Mendoza Dueñas t Tabulando t Tabulando: MEDIDA V= X -X V2 MEDIDA V = X - Xi i -6 800,213 +0,004 16×10 100,44 -0,065 -6 800,220 -0,003 9×10 100,46 -0,085 -6 800,218 -0,001 1×10 100,50 -0,125 Sumatoria 26×10-6 100,10 +0,275 ® valor mayor que 0,20 (tolerancia) ΣV 2 26 × 10 −6 Observamos que la desviación V correspondiente a t σ=± =± 100,10 es mayor que el permitido; si analizamos ini- n−1 3−1 cialmente el problema, es fácil darse cuenta que 100,10 esta muy lejos a los demás datos, seguramente se co- σ = ± 0 , 003 6 metió algún error propio. Por lo tanto no se tomará en cuenta en los cálculos. b t E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5 0 , 003 6 g E0 = ± 0 , 002 428 2 t Ahora tendremos: n = 3 E0 1 100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 t ER = ± =± X= ⇒ X = 100 , 467 N X X 3 E0 t Tabulando: 1 1 ER = ± ⇒ ER = ± MEDIDA V = X − Xi V2 800 , 217 329 552 0 , 002 428 2 −5 100,44 +0,027 72,9×10 −5 100,46 +0,007 4,90×10 108,90×10−58.- En el problema anterior, determinar el resultado final. 100,50 -0,033 Solución: Sumatoria 186,7×10−5 ΣV 2 26 × 10 −6 ΣV2 E = ± 0 , 674 5 = ± 0 , 674 5 t E0 = ± 0 , 674 5σ = ± 0 , 674 5 b g n n−1 23 bg n−1 E0 = ± 0 , 020 608 E = ± 0 , 001 4 1 1 t ER = ± V.M.P. = X = 800,217 F X I = ± 100, 467 GH E JK 0, 020 608 0 Luego el resultado final podrá ser expresado: 1 800,217 ± 0,001 4 ER = ± 4 875 10.- En el problema anterior, expresar el resultado final.9.- Se ha pesado varias veces un saco de papas y los da- tos obtenidos son: Solución: 100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N t Calculando el error probable de la media. Calcular el error relativo, si la tolerancia máxima per- ΣV2 186 , 7 × 10 −5 mitida es 0,20 N. E = ± 0 , 674 5 = ± 0 , 674 5 b g n n−1 32 bg Solución: E = ± 0 , 012 t n=4 t El valor más probable: V.M.P. = X = 100,467 N 100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 + 100 ,10 Luego el resultado final podrá ser expresado. X= 4 100,467 N ± 0,012 N X = 100 , 375 N