Factorización de polinomios usando el método de Ruffini

1. I.E.S. Politécnico Curso 2011/2012
Factorización de Polinomios
El objetivo de la factorización de polinomios es poder representar el polinomio como
producto de varios polinomios de menor grado. Realizando este procedimiento se podrán
simplificar las operaciones que se vayan realizando con polinomios (siempre que compartan la
misma raíz/factor)
Para factorizar un polinomio utilizaremos el método de Ruffini. Antes de poder emplear este
método debemos fijarnos si el polinomio dado tiene término independiente (término sin “x”, es
decir un número “normal”). Si lo tuviese podríamos utilizar directamente este método. En otro caso
habría que sacar factor común a tantas “x” como podamos para que quede un polinomio con
término independiente.
5 3 3 2
Ej. P  x =x −5x  x −11
2
Q x=x 8−2x7 6x6 → Q x=x 6⋅ x 2−2x6
Cuando ya hemos modificado convenientemente el polinomio para obtener el término
independiente estamos en condiciones de empezar a aplicar el método de Ruffini para factorizar
dicho polinomio (en el caso del segundo ejemplo anterior factorizaríamos sólo el polinomio
R x=x 2 −2x6 )
Método de Ruffini
1.- Obtenemos TODOS los divisores del término independiente, tanto positivos como
negativos.
Ej.: Para P  x  , obtendríamos los divisores de 11, es decir +1, -1, +11 y -11
Para R x , obtendríamos los divisores de 6, es decir ±1, ±2, ±3 y ±6
2.- Después ordenamos todos los términos del polinomio de mayor a menor exponente de la
incógnita. Posteriormente colocamos sus coeficientes en orden, dejando un hueco en caso
de que no exista el término del grado correspondiente.
5 3 3 2
Ej.: Para P  x =x −5x  x −11 , habría que poner
2
3
1 0 -5 0 -11
2
Juan Antonio Valenzuela Matemáticas Acceso Ciclos

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3.- Una vez ordenamos los coeficientes, empezaremos a aplicar el método de Ruffini. Para
ello realizaremos el siguiente esquema, colocando en la parte inferior izquierda, cada uno
de los divisores del término independiente y en la parte superior los coeficientes
ordenados del paso 2. Por ejemplo, para S  x =3x 29x6 , obtendríamos
+3 +9 +6
+1
4.- El método lo completaríamos de la siguiente manera. El primer coeficiente lo bajamos tal
cual está. A continuación, los números que se van generando abajo se multiplican por el
divisor que estemos probando (en este caso el +1), colocando el resultado de ese producto
en la siguiente columna. Después sumamos en vertical el coeficiente que haya en esa
columna con el nuevo valor obtenido, poniendo el resultado abajo del todo. Repetimos el
proceso tantas veces como columnas haya.
+3 +9 +6
+1 +3*+1 +12*+1
+3 +12 +18
5.- Por último nos fijamos en el último resultado obtenido. En este primer caso, al probar con
el divisor +1, el número de abajo a la derecha es +18. Como ese número (que es el resto)
no es igual a 0, este método nos indica que +1 no es raíz del polinomio que estamos
utilizando. Repetiríamos el método con el siguiente divisor (en este caso -1)
+3 +9 +6
-1 +3*-1 +6*-1
+3 +6 0
6.- En este caso el número obtenido sí es cero, lo que indica que tenemos una raíz R1=−1
En este caso seguiríamos el proceso, volviendo a probar con el mismo divisor, utilizando
los nuevos coeficientes que he obtenido (la línea de abajo).
Nota: pruebo con el divisor correcto para no alargar la resolución del ejemplo.
+3 +9 +6
-1 +3*-1 +6*-1
+3 +6 0
-2 +3*-2
+3 0
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7.- Volvemos a obtener de resto 0, en este caso con el divisor -2, con lo que hemos obtenido
otra raíz R2 =−2 .
8.- Como nos queda un único coeficiente hemos terminado de factorizar el polinomio. Ahora
nos quedaría como último paso recomponer el polinomio como producto polinomios de
menor grado, obtenidos mediante sus raíces. Por cada raíz que haya obtenido, el
polinomio tendría un factor que es  x−a  , donde a es cada una de las raíces obtenidas.
Ten en cuenta que el – delante de la a cambiará el signo a la raíz. Por último, habría que
multiplicar también por el último coeficiente que nos ha quedado al aplicar el método de
Ruffini (en este caso el 3). Así, para nuestro polinomio de ejemplo:
S  x =3x 29x6=3⋅ x1⋅ x2
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