Ecuación de continuidad Ecuación de Bernoulli Medidor de Vénturi

1. ECUACION DE CONTINUIDAD Y DE
BERNOULLI.

2.  La hidrodinámica es la parte de la hidráulica que
estudia el comportamiento de los líquidos en
movimiento. Para ello considera entre otros
parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del
líquido.
 En el estudio de la hidrodinámica el Teorema de
Bernoulli, trata de la ley de la conservación de la
energía, es de primordial importancia, pues señala
que la suma de las energías cinética, potencial y
de presión de un líquido en movimiento en un
punto determinado es igual a la de otro punto
cualquiera. La hidrodinámica investiga
fundamentalmente a los fluidos incompresibles.

3.  Las aplicaciones de la hidrodinámica se
evidencian en el diseño de canales, puertos
presas, cascos de los barcos, hélices turbinas y
ductos en general.
 Con el objetivo de facilitar el estudio de los
líquidos en movimiento, generalmente se hacen
las siguientes suposiciones:
 1.- Los líquidos son completamente
incompresibles.

4.  2.- Se considera despreciable la viscosidad. Es
decir, se supone que los líquidos son ideales, por
ello no presentan resistencia al flujo, lo cual
permite despreciar las pérdidas de energía
mecánica producidas por su viscosidad; pues
como sabemos, durante el movimiento esta
genera fuerzas tangenciales entre las diversas
capas de un líquido.

6. A

9.  El gasto también puede calcularse si se conoce la
velocidad del líquido y el área de la sección
transversal del la tubería. Ver la figura siguiente:
A1 A2
vt
1 2

10.  Para conocer el volumen de líquido que pasa
del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar
entre sí el área, la velocidad del líquido y el
tiempo que tarda en pasar por los puntos:
 V = A v t (1)
 Y como G = V/t (2)
 Sustituyendo 1 en 2:
 G = A v t
 t
 G = Av.

11.  Donde G = gasto en m3
/seg.
 A = área de la sección transversal
del tubo en metros cuadrados
(m2
).
 v = velocidad del líquido en m/seg.
 En el sistema C.G.S. el gasto se mide en cm3
/seg
o bien, en unidades prácticas como litros/seg.

12.  Se define como la cantidad en masa del líquido
que fluye a través de una tubería en un segundo.
 F = m/t.
 Donde F = flujo en kg/seg.
 m = masa del líquido que fluye en kilogramos (kg).
 t = tiempo que tarda en fluir en segundos (seg).

13.  Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su
masa y volumen tenemos:
 ρ= m/V (1). Por lo tanto m = ρ V (2),
 Por lo que el flujo será:
 F = ρ V (3). Y como G = V/t (4)
 t
 Sustituyendo 4 en 3:
 F = G ρ.
 Donde F = flujo en kg/seg
 G = Gasto en m3
/seg.
 ρ = densidad en kg/m3
.

15. Considere el siguiente
tubo de flujo. De acuerdo
a la conservación de la
masa, se tiene:
ρ1
v1
A1
=ρ2
v2
A2
Si nos restringimos a fluidos
incomprensibles, entonces
ρ1
=ρ2
y se deduce que
v1
A1
= v2
A2
El producto (velocidad
perpendicular a un área) x
(área) es el flujo, Φ.

16.  La tubería de la figura anterior reduce de
manera considerable su sección transversal o
área entre los puntos 1 y 2.
 Sin embargo es constante la cantidad de líquido
que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que
los líquidos son incompresibles. Para ello, en
el tubo de mayor sección transversal, la
velocidad del lìquido es menor a la que
adquiere al pasar al punto 2, donde la
reducción del área se compensa con el aumento
en la velocidad del líquido.

17.  Por lo tanto el gasto en el punto 1 es igual
al gasto en el punto 2.
 G1 = G2 = constante.
 A1V1 = A2V2.
 A1= Area menor en m2
.
 V1 = velocidad en el área 1 en m/seg.
 A2= Area mayor m2
.
 V2 = velocidad en el área 2 en m/seg.

18.  El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al
estudiar el comportamiento de los líquidos,
descubrió que la presión de un líquido que fluye
por una tubería es baja si su velocidad es alta y,
por el contrario, es alta si su velocidad es baja.
 Por lo tanto, la Ley de la conservación de la
energía también se cumple cuando los líquidos
están en movimiento. Con base en sus estudios
Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva
su nombre.

19.  “En un líquido ideal cuyo flujo es
estacionario, la suma de las energías
cinética, potencial y de presión que tiene
un líquido en un punto, es igual a la
suma de estas energías en otro punto
cualquiera”.
 El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el
2, tres tipos de energía:
 1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la
masa del líquido: Ec = 1/2mv2
.

20.  b) Energía potencial, debido a la altura del
líquido, respecto a un punto de referencia:
 Ep = m g h.
 c) Energía de presión, originada por la presión
que las moléculas del líquido ejercen entre sí,
por lo cual el trabajo realizado para el
desplazamiento de las moléculas es igual a la
energía de presión. Todas estas energías se
ilustran en la figura siguiente:

21. Dado que Wneto
= ∆K + ∆U, se puede llegar a
2
2
22
1
21
2
12
1
1 ghvpghvp ρρρρ ++=++
En otras palabras:
constante2
2
1
=++ ghvp ρρ

22. La ecuación de Bernoulli establece
que la suma de la presión, (p), la
energía cinética por unidad de
volumen (1/2 ρ v2
) y la energía
potencial gravitacional por unidad
de volumen (ρ gy) tiene el mismo
valor en todos los puntos a lo largo
de una línea de corriente.

23. A1 A2
2 l

25.  El área de la sección transversal del tubo
multiplicado por la distancia l recorrida por el
líquido nos da el volumen de éste que pasa del
punto 1 al 2, A l = V, de donde la ecuación 1
queda:
 E presión = PV (4)
 Como ρ = m/V por lo tanto V = m/ ρ .
 Sustituyendo 5 en 4 tenemos:
 E presión = P m/ ρ.

26.  Donde E presión = Energía de presión en Joules.
 P = Presión en N/m2
o pascal.
 m = masa del líquido en kilogramos (kg).
 ρ = Densidad del líquido en kg/m3
.
 Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la suma de las
energías cinética, potencial y de presión en el punto 1,
es igual a la suma de estas energías en el punto 2.

27.  Ec1 + Ep1 + E presión 1 = Ec2 + Ep2 + E presión 2-
 Al sustituir dichas expresiones por sus
respectivas expresiones, tenemos:
 1/2mv1
2
+ mgh1 + P1m/ρ1 = 1/2mv2
2
+ mgh2 + P2m/ρ2.
 Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la
ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para
expresar la energía por unidad de masa:
 v1
2
+ gh1 + P1/ρ1 = v2
2
+ gh2 + P2/ρ2.
 2 2

28.  Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la
consideración de que el líquido es ideal (por lo
cual se desprecian las pérdidas de energía
causadas por la viscosidad de todo líquido en
movimiento), su ecuación permite resolver con
facilidad muchos problemas sin incurrir en errores
graves por despreciar esas pérdidas de energía
pues resultan insignificantes comparadas con las
otras energías.

29.  1.- Calcular el gasto de agua de una tubería al
circular 1.5 m3
en ¼ de minuto.
 Datos Fórmula Sustitución
 G = ? G = V/t G = 1.5 m3
 15 seg
 G = 0.1 m3
/seg.
 V = 1.5 m3
 t = 15 seg

30.  2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque
cuya capacidad es de 10 m3
al suministrarse un gasto de
40 l/seg.
 Datos Fórmula
 t = ? t = V/G
 V = 10 m3
.
 G = 40 l/seg.
 Conversión de unidades;
 40 l x 1 m3
= 0.03 m3
/seg.
 seg 1000 l
 Sustitución y resultado:
 t = 10 m3
. = 250 seg.
 0.03 m3
/seg.

31.  3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de
diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido
es de 4 m/seg.
 Datos Fórmula
 G = ? G = v A
 d = 5.08 cm= 0.0508 m. A = π/4 d2
.
 v = 4 m/seg
 Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)2
.
 A = 0.002 m2
.
 Sustitución y resultado:
 G = 4 m/seg x 0.002 m2
. = 0.008 m3
/seg.

32.  4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el
gasto de agua sea de 0.3 m3
/seg a una velocidad de 8 m/seg,
 Datos Fórmulas
 d = ? A = G/v
 G = 0.3 m3
/seg. A = π/4d2
.
 v = 8 m/seg. Despejando a d:
 d = √4 A
 π
 A = 0.3 m3
/seg. = 0.0375 m2
.
 8 m/seg.
 ____________
 d = √ 4 (0.0375 m2
.) = 0.218 metros.
 3.14

33.  5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un
minuto. Calcular a) el gasto. b)
 El flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/m3
.
 Datos Fórmulas
 V = 1800 l = 1.8 m3
. a) G = V/t
 t = 1 min = 60 seg. B) F = G ρ
 ρH20 = 1000 kg/m3
.
 Sustitución y resultados:
 G = 1.8 m3
./ 60 seg. = 0.03 m3
/seg.
 F = 0.03 m3
/seg x 1000 kg/m3
. = 30 kg/seg.


34.  6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua
a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería
hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm,
¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.
 Datos Fórmulas
 d1= 3.81 cm = 0.0381 m. G1 = G2.
 v = 3 m/seg o bien A1v1 = A2 v2
 d2 = 2.54 cm = 0.0254 m. v2 = A1v1
 A2
 v2 = ? A = π/4d2
.

35.  Sustitución y resultados:
 v2 = π/4 d1
2
v1 = d1
2
v1
 π/4 d2
2
d2
2
 v2 = (0.0381 m)2
x 3 m/seg = 6.74 m/seg.
 (0.0254 m)2
.