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2. compuertas lógicas y álgebra booleana

  1. 1. Circuitos Digitales COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA BOOLEANALos circuitos digitales (lógicos) operan en el modo binario donde cada voltaje deentrada y salida es un 0 o un 1; las designaciones 0 y 1 representan rangos de voltajepredefinidos. Constantes y variables Booleanas En el álgebra booleana difiere de manera notable del álgebra común en que a las constantes y variables booleanas sólo se les permite tener dos valores posibles: 0 o 1 0 lógico 1 lógico falso verdadero desactivado activado bajo alto no si Interruptor abierto interruptor cerrado Tablas de verdad Una tabla de verdad es un medio para describir cómo la salida lógica de un circuito depende de los niveles lógicos presentes en las entradas de un circuito. • Ejemplo de tablas de verdad ENTRADAS SALIDAS A B X A 0 0 1 CIRCUITO X 0 1 0 B 1 0 1 1 1 0Se representa en la figura de arriba una tabla de verdad para un tipo de circuito lógicode dos entradas. En la tabla se listan todas las combinaciones posibles de niveles lógicospresentes en las entradas A y B junto con el nivel de salida correspondienteAutor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -1-www.electronic-digital.blogspot.com
  2. 2. Circuitos Digitales A B C D X A B C X 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 En estas figuras se muestran ejemplos de tablas de verdad 1 1 0 0 0 para los circuitos de tres y cuatro entradas 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Operación OR con compuertas OR la operación OR es la primera de las tres operaciones booleanas básicas que se debe aprender. La expresión booleana para la operación OR es: X=A+B En esta expresión, el signo + no representa la adición común, sino la operación OR (lógica), entonces tendríamos 1 + 1 = 1. A B X=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Símbolo del circuito para una compuerta Tabla de verdad que OR de dos entradas Define la operación OR La expresión X = A + B se lee como “X es igual a A o B”, lo que significa que X será 1 cuando A o B, o ambas, sean 1.Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -2-www.electronic-digital.blogspot.com
  3. 3. Circuitos Digitales• Ejemplo: determine la salida de la compuerta OR, las entradas a y b de la compuerta OR varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se muestran en la figura de abajo. Operación AND con compuertas AND La operación AND es la segunda operación básica booleana, la expresión booleana para la operación AND es: X=A.B En esta expresión el signo (.) representa la operación booleana AND y no la multiplicación. A B X = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Símbolo del circuito para una Tabla de verdad que compuerta Define la operación AND AND de dos entradas La expresión X=A.B se lee “X es igual a A y B”, lo que significa que X será 1 cuando A y B sean 1.Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -3-www.electronic-digital.blogspot.com
  4. 4. Circuitos Digitales• Ejemplo: determine la salida de la compuerta AND, las entradas a y b de la compuerta AND varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se muestran en la figura de abajo. Operación NOT La operación NOT difiere de las operaciones OR y AND en que se pueden realizar en una sola variable de entrada. Por ejemplo, si la variable A se somete a la operación NOT, el resultado X se puede expresar como: X= A. A X= A 0 1 1 0 Símbolo para Tabla de verdad el inversorAutor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -4-www.electronic-digital.blogspot.com
  5. 5. Circuitos Digitales Descripción algebraica de circuitos lógicos Cualquier circuito lógico, sin importar qué tan complicado sea, puede ser completamente descrito mediante el uso de las tres operaciones básicas booleanas, ya que la compuerta OR, la compuerta AND y el circuito NOT son los bloques de construcción básicos de los sistemas digitales. • Ejemplo: determinar la salida para cada circuito Circuitos que contienen inversores Siempre que un inversor esté presente en un diagrama de un circuito lógico, su expresión de salida será simplemente igual a la expresión de entrada con una barra sobre ella. • Ejemplo:Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -5-www.electronic-digital.blogspot.com
  6. 6. Circuitos Digitales Implementación de circuitos a partir de expresiones booleanas • Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= AC + BC’ + A’BC Solución: • Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= (A+B)(B’+C) Solución: Compuertas NOR y compuertas NAND En los circuitos digitales se utilizan ampliamente dos tipos más de compuertas lógicas: NOR y NAND. Estas compuertas en realidad combinan las operaciones básicas OR, AND y NOT, por lo que es relativamente simple escribir sus expresiones booleanas. OR NOR A B A+B (A+B)’ 0 0 0 1 0 1 1 0 Circuito equivalente 1 0 1 0 1 1 1 0 Denota inversión Símbolo NOR Tabla de verdadAutor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -6-www.electronic-digital.blogspot.com
  7. 7. Circuitos Digitales• Ejemplo: determine la forma de onda en la salida de una compuerta NOR para las formas de onda de entrada que se muestran en la figura de abajo.• Determine la expresión booleana para una compuerta NOR de tres entradas seguidas de un inversor. X= A+B+C Solución: Tenemos: X= ((A+B+C)’)’Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -7-www.electronic-digital.blogspot.com
  8. 8. Circuitos Digitales Compuerta NAND Denota inversión Símbolo NAND Circuito equivalente A B AB (AB)’ 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 AND NAND Tabla de verdad• Ejemplo: Determine la forma de onda de salida de una compuerta NAND con las entradas que se muestran en la figura de abajo.Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -8-www.electronic-digital.blogspot.com
  9. 9. Circuitos Digitales• Implemente el circuito lógico que tiene la expresión X= (AB(C+D)’)’ utilizando únicamente compuertas NOR y NAND. Solución: Teoremas booleanos Teoremas con una variable:Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -9-www.electronic-digital.blogspot.com
  10. 10. Circuitos Digitales Teoremas con variables múltiples: (9) x+y=y+x (10) x.y = y.x (11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z (12) x(y.z) = (x.y)z = xyz (13) x(y + z) = xy + xz (14) x + xy = x (15) x + x’y = x + y (16) x’ + xy = x’ + y • Simplifique: Y = AB’D + AB’D’ Y= AB’(D+D’) = AB’ • Simplifique: Z = (A’ + B) (A + B) Z = A’A + A’B + A.B +B.B Z = 0 + B(A’ + A) + B Z= B • Simplifique: X = ACD + A’BCD X = CD(A + A’B) X = CD(A + B) X = A.C.D + B.C.D Teoremas de Demorgan: Los teoremas de Demorgan son de mucha utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables. (17) (x+y)’= x’.y’ (18) (x.y)’ = x’ + y’ • Simplifique: Z = ((A’ + C) (B + D’))’ Z = (A’ +C)’ + (B + D’)’ Z = A’’.C’ + B’. D’’ Z = A.C’ + B’.D • Simplifique: Z = (A + B’.C)’ Z = A’(B’.C)’ Z = A’(B’’+ C’) Z = A’(B + C’)Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón - 10 -www.electronic-digital.blogspot.com
  11. 11. Circuitos Digitales Los teoremas de Demorgan se aplican fácilmente a más de dos variables. Por ejemplo se puede probar que: (X + Y + Z)’ = X’.Y’.Z’ (X.Y.Z)’= X’ + Y’ + Z’ Universalidad de las compuertas NAND y NOR Todas las expresiones booleanas constan de varias formas de combinar las operaciones básicas OR, AND e INVERSOR. Por lo tanto, cualquier expresión se puede llevar a cabo usando combinaciones de compuertas OR, AND e INVERSOR. Sin embargo, es posible implementar cualquier expresión lógica usando únicamente NAND. Tenemos: De manera similar podemos mostrar que las compuertas NOR pueden estar dispuestas para implementar cualquiera de las operaciones booleanas.Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón - 11 -www.electronic-digital.blogspot.com

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