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  1. 1. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas MATEMÁTICAS CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE DEFINICIÓN DE NIVELES
  2. 2. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasSUMARIO PáginaAritmética 2Álgebra 37Geometría Plana 81
  3. 3. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO DE DEFINICIÓN DE NIVELES MATEMÁTICAS ARITMÉTICA1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES1.3 NÚMEROS RACIONALES1.4 PROPORCIONALIDAD1.5 PROGRESIONES 3
  4. 4. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1. ARITMÉTICA1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Historia de los números. Desde los orígenes, el hombre ha utilizado los números naturales para contar su rebaño, sus cosechas, etc. usando piedras o marcas. Las matemáticas de los egipcios se conocen por el papiro de Rhind de casi 3800 años y eran muy prácticas. Los babilonios usaban una numeración en base 60, la que persiste hoy en día en los sistemas de medición del tiempo. Los griegos utilizaban fracciones de números naturales, el sistema decimal y se preocuparon por la existencia de números irracionales, al no poder medir la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Las primeras etapas de los sistemas numéricos evolucionaron bajo las exigencias de navegación, comercio, ingeniería y el ejército; y después por el avance de la astronomía y de otras ciencias. El sistema indoarábigo de base diez es el comúnmente utilizado en la actualidad en todo el mundo.1.1.1 Conjuntos numéricosEl conjunto de los números reales, que se denota IR, tiene los siguientes subconjuntosnotables:a. Números naturales. (Se denota IN), IN = {1;2;3;4;5. ..}b. Números enteros. (Se denota Ζ ), Ζ = {... - 3;-2;-1;0;1;2;3...} Ζ Ζc. Números racionales. (Se denota Q ) Son los números reales que se pueden expresar en ala forma , con a ∈ Ζ , b ∈ Ζ y b ≠ 0 . Ζ Ζ b 3 11 − 3 7Ejemplos: ; ; ; 2; − 5; 0 y 3,5 = . 5 4 750 2d. Números irracionales. (Se denota I ) Son los números reales que no son racionales.Ejemplos: 2 ; 4 7 ; π .Notas:1. Se observa que todo número natural es entero y todo número entero es racional. En general IN ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ IR Ζ I ⊂ IR I ∪Q = IR y I ∩ Q= ∅2. Se llaman números positivos (respectivamente negativos) a los números que son estrictamente mayores (respectivamente menores) a cero.1.1.2 Operaciones básicasLa suma, resta, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Adicionalmentese define las operaciones de potenciación y radicación tal como se detalla a continuación. 4
  5. 5. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.1.2.1 Potencia natural de un número real a. Una potencia de base real a y exponentenatural n es el producto de n factores iguales a a. a n = a.a.a.......a n vecesEjemplo: 32 = 3 x3 = 9 ; 41 = 4 ; (−3) 2 = ( −3) x (−3) = 9Nota: Por la regla de los signos, cuando n es par se tiene an≥ 0 . Ampliación para exponente enteros Anécdota : no positivos. El término googol que significa a0 = 1, si y sólo si a≠ 0 10100 fue inventado por el 1 profesor Edward Kasner de la a −n = ,donde n es un entero Universidad de Columbia. Este an número excede al número de positivo y a ≠ 0; electrones en el universo que es de 1079 !!! Leyes de exponentes. Sean m y n enteros, a y b números reales, tales que las operaciones que aparecen se puedan realizar. a man = am+ n (a n ) m = a mn n ⎛a⎞ an (ab) n = a nb n ⎜ ⎟ = n , donde b≠ 0 ⎝b⎠ b 1 1Ejemplos: 30 = 1 , 5 −3 = 3 = = 0,008 , (−3) 2 (−3)3 = (−3)5 , (32 ) −5 = 3−10 , 5 125(23 x53 ) = (2 x5)3 = 103 = 10001.1.2.2 Radicación de un número real a.Si n es un entero positivo impar, entonces se define: Ejemplo n a =b, si y sólo si b n = a. 3 8; 3 −8 = − 2Si n es un entero positivo par y a≥ 0; b≥ 0, entonces se define: Ejemplo n a =b, si y sólo si b n = a. 9 = 3 ; 4 16 = 2El símbolo n a para la enésima raíz principal de a es denominado también radical; elentero n es el índice y a el radicando (o cantidad subradical).Notación: si n =2, se denota: 2 a = a y se ¡Cuidado!dice raíz cuadrada. • 16 ≠ − 4 , aunque (-4)2 =16. Como n es par, 16 = 4 es positivo. • − 16 no es un número real. 5
  6. 6. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasPropiedad: Si a ≥ 0 ; b ≥ 0, entonces ab = a b .Ejemplo: Calcular 1089 = 9 × 121 = 9 121 = 3 × 11 = 33Radicales semejantes.- Son radicales de igual índice y que tienen el mismo número realcomo radicando.Ejemplo: 1 2 3 ;5 3 ; 3 Son radicales semejantes 2 3 3 ;5 2 No son radicales semejantes 23 5 ; 3 5 No son radicales semejantes 23 2 ; 23 2 ; 33 2 Son radicales semejantes 3 3Ejemplo: Calcular 7 3 -5 2 - 4 - 4 3 +12 3 2 = 3 3 +7 3 2 - 4.1.1.3 Orden de operacionesPara calcular expresiones numéricas en las cuales Si hay dos operaciones deno hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o la misma jerarquía, sellaves), se opera en el siguiente orden: opera de izquierda a 1. Potencias y raíces. derecha. 2. Multiplicaciones y divisiones. Ejemplo: 10 + 12 ÷ 3 x 2 = 3. Adiciones y sustracciones. 10 + 4 x 2 = 10 + 8 = 18Ejemplo: 3 x 5 2 -7 = 3 x 25 -7 = 75 – 7 =68Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes yllaves, se efectúa primero las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupaciónempezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.Ejemplo: 0,9 – 2 [6 ÷ 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 22)] ¡Error común! = 0,9 – 2 [6 ÷ 3 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 4)] 9 – 7 ( 2x5 –1) = 0,9 – 2 [2 x 0,2 – 0,4(6 + 0,25)] ≠ 2 ( 2x5-1) = 0,9 – 2 [0,4 – 0,4(6,25)] = 0,9 – 2 [0,4 – 2,5)] = 0,9 – 2 [–2,1] = 0,9 +4,2 = 5,1Ejemplo: Calcular 43 − 2 x32 = 43 − 2 x9 = 43 − 18 = 25 = 5Supresión de paréntesis.• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo +, se puede quitar los símbolos respectivos sin hacer ningún cambio en la expresión.Ejemplo: 2 − 3 + (7,5 − 3 ) = 2 − 3 + 7,5 − 3 = 9,5 − 2 3 .• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo -, se puede quitar los símbolos respectivos cambiando el signo de cada uno de los términos de la expresión.Ejemplo: 2 − 3 − (7,5 − 3 ) = 2 − 3 − 7,5 + 3 = −5,5 .1.1.4 Ejemplos y ejerciciosEjercicio: Calcular: A = 5+12÷3x22 –7 y B = 9 – 2 ( 9 x 2 – 42). Respuesta.- A= 14, B=29 6
  7. 7. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjemplo:Dos personas se dedican a fabricar chocolates. El primero de ellos hace 30 chocolates porhora y el segundo 75 en el mismo tiempo. Para la campaña de Navidad, el primero haempezado 39 horas antes del segundo y ambos terminaron cuando habían fabricado igualnúmero de chocolates. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?Solución:Como el primero ha empezado 39 horas antes, en ese lapso ha fabricado:39 x 30 = 1 170 chocolates, cantidad en la que aventaja al segundo.Cuando empieza a trabajar el segundo, éste hace 45 chocolates ( 75 – 30) más que elprimero en cada hora. Es decir que en cada hora el segundo reduce la ventaja de 45chocolates.Para eliminar la ventaja el segundo empleará entonces 26 horas debido al cálculo : 1170 = 26 y el primero habrá trabajado (26 +39) horas, o sea 65 horas. 45Respuesta.- Total de horas de trabajo del primero: 65 horas. Total de horas de trabajo del segundo: 26 horas.Ejemplo:Un negociante de provincia ha adquirido en la capital, al por mayor, 910 libros. El preciounitario fue de 5 soles, pero se le regaló un libro por cada docena que adquirió. En supueblo decide regalar, para la biblioteca del colegio, 2 libros por cada docena que tiene yvender los que le sobraban, ¿a cuánto debe vender el ejemplar, si quiere ganar 3 600 soles?Solución:Primero se calcula el costo total:Al adquirir una docena de libros, le regalan uno. Entonces, se considera grupos de 13 libros.En 910 libros, hay 70 grupos de 13 libros por 910 / 13 = 70.El precio de cada grupo es el correspondiente a12 libros: 12x 5 = 60 soles.Como hay 70 grupos, el costo total de los libros es de 70 x 60 = 4 200 soles.Luego se calcula la venta total:Por cada docena, regala 2 libros; entonces se considera grupos de 14 libros.En 910 libros, hay 65 grupos de 14 libros por 910 / 14 =65.Entonces le queda para vender 65 x 12 = 780 libros.Para tener la ganancia de 3600 soles, deberá recaudar 7800 soles ( 4200 + 3600) y deberávender cada libro a 10 soles por 7800/ 780.Respuesta.- El precio de venta de cada ejemplar es de 10 soles.Ejercicio.- Juan tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de S/.229,23. Pagó con latarjeta: S/.296,06, S/.103 y S/.76,2. Como había gastado mucho, depositó $130 (tipo decambio: S/.3,50). Si a fin de mes el banco le carga por aportaciones y otros el S/.7,56, ¿cuáles el saldo de la tarjeta? Respuesta.- El saldo de la tarjeta es deS/. 201,41Ejercicio: Una empresa de confecciones realiza una promoción en sus ventas y decideobsequiar una chompa a los cinco primeros alumnos de cada sección de primaria de uncolegio y las demás venderlas a S/. 40 cada una. Si en el colegio hay 6 secciones de primergrado de 37 alumnos cada una; 5 de segundo grado de 39 alumnos cada una; 4 de tercergrado de 36 alumnos cada una y 7 secciones de cuarto, quinto y sexto grado todas de 37alumnos cada una. ¿Cuánto se recauda por el total de las ventas, si todos los alumnosrestantes compraron su chompa? Respuesta.- Se obtiene S/. 28 4000 por el total delas ventas. 7
  8. 8. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjercicio: Un comerciante compra al por mayor 300 vasos a S/. 25 el ciento. Al transportarlos 300 vasos a su tienda, se rompen 3 docenas. ¿ A cuánto debe vender la docena siquiere ganar S/. 35? Respuesta.- Cada docena se debe vender a S/. 5. 8
  9. 9. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES Un paseo al Cuzco: Una promoción de estudiantes realizará una excursión al Cuzco. Para el alquiler de carpas tienen las siguientes propuestas: carpas para 12 personas a S/.30 la noche; carpas para 8 personas a S/.22 la noche y carpas para 4 personas a S/.12 la noche. Si el grupo es de 128 personas, ¿qué tipo(s) de carpas y cuántas de cada tipo deben alquilar para que resulte lo más económico posible? La resolución de problemas como este necesita el conocimiento de múltiplos y divisores de números naturales.1.2.1 Múltiplos y divisoresEl campo de estudio de múltiplos y divisores, será el conjunto de los números naturales.Definición:Dados dos números naturales a y b,si la división de a entre b es exacta, Notaentonces se dice: Si a es múltiplo de b puede • a es divisible por b expresarse como: a = kb donde k es • a es múltiplo de b un número natural. • b es divisor de aEjemplos: 20 es divisible por 5. En efecto 20 ÷ 5 = 4 22 no es múltiplo de 5 . En efecto 22 ÷ 5 = 4,4. Los cincos primeros múltiplos naturales de 6 son: 6; 12; 18; 24; 30. Los divisores naturales de 6 son: 1; 2; 3; 6.1.2.2 Criterios de divisibilidadCriterios:Un número es divisible por 2 si se termina en 0 o en una cifra par.Un número es divisible por 5 si se termina en 0 o en 5.Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejemplo: ¿ Cuántos valores distintos puede tomar la cifra a para que el número 256a seamúltiplo de 2 y de 3?Solución: La suma de las cifras es: 2 + 5 + 6 + a = 13 + a, debe ser múltiplo de 3. Losvalores posibles de a son: 2; 5 y 8. Como 5 es impar solo quedan dos valores.Respuesta.- a puede tomar solamente dos valores distintos: 2 y 8.1.2.3 Números primos y compuestos Nota:Definición: 1 no es primo ni compuestoUn número natural es primo si admite solamente porque tiene sólo undos divisores distintos: la unidad y él mismo. divisor, él mismo.En otro caso, salvo el 1, el número natural es compuesto.Ejemplos:Los números primos menores que 30 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.6 es un número compuesto porque tiene 4 divisores: 1; 2; 3; 6. 9
  10. 10. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.2.4 Descomposición canónicaDescomposición en factores primos o canónica. Los números naturales, salvo la unidad,se pueden descomponer de manera única en un producto de factores primos.Ejemplo: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2 2 x 3 2 x 5Regla para obtener la descomposición canónica: Presentación Práctica• Se divide el número natural por los números primos 180 2 en orden creciente hasta llegar a un cociente exacto. 90 2• Se efectúe la división y se reporta el cociente obtenido 45 3• Se repite el proceso hasta que el cociente sea 1. 15 3 5 5 1Ejemplo: Paseo al Cuzco ( Ver Introducción)Solución: La descomposición canónica de 128 es 128= 2x2x2x2x2x2 = 27 . Entonces 128es divisible por 4 y 8 pero no por 12.Si se considera carpas de 4 se debe alquilar 32 y el costo es de S/. 384 por 32x12 = 384.Si se considera carpas de 8 se debe alquilar 16 y el costo es de S/. 352 por 16x22 = 352.Sin embargo, el mayor múltiplo de 12 menor que 128 es 120. Se puede alquilar entonces 10carpas de 12 y una carpa de 8 lo que da: 10x30 + 1x22 = 300 +22 = 322.Respuesta.- El menor costo se obtiene alquilando 10 carpas de 12 y una carpa de 8.Aplicación: Extracción de factores de un radical.• Se hace la descomposición canónica del radicando.• Se agrupa los factores primos según el índice de la raíz.• Se aplica la propiedad de la raíz de un producto.• Se extrae los factores posibles de las raíces.En la tabla siguiente, se recuerda algunas propiedades importantes de la potencia y laradicación. Cálculos para un real a EjemplosSi n es impar, entonces se cumple 3 125 = 3 53 = 5 , 3 − 8 = 3 (−2)3 = −2 . n a = a , ( a) = a n n n (3 125 )3 = (5)3 = 125 .Si n es par, a positivo, n a n = a , (n a ) n = a 25 = 52 = 5 , ( 16 ) 2 = (4) 2 = 16 . a negativo, n an = − a (−3) 2 = 3 ( Notar que: – ( -3) = 3 )Ejemplos: 18 = 32 × 2 = 32 2 = 3 2 288 = 25 × 32 = 2 2 × 2 2 × 2 × 32 = 2 2 2 2 2 32 = 2 × 2 × 2 × 3 = 12 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 324 = 34 × 22 = 33 × 3 × 2 2 = 33 3 2 =3 3 2 = 3 121.2.5 Máximo común divisorEl máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor divisorcomún de dichos números. 10
  11. 11. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasCálculo del MCD: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto delos factores primos comunes, cada uno elevado al menor exponente con el que aparece enlas descomposiciones de los número.Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60. Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5De donde MCD ( 18, 24, 60) = 2x3 = 6Números primos relativos o primos entre sí. Dos o más números se dicen primosrelativos si admiten como único divisor común a la unidad.Ejemplo : 9 y 10 son primos entre sí porque MCD( 9, 10) = 1.1.2.6 Mínimo común múltiploEl mínimo común multiplo (MCM) de dos o más números naturales es el menor de losmultiplos comunes de dichos números.Cálculo del MCM: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto delos factores primos comunes y no comunes, cada uno elevado al mayor exponente con elque aparece en las descomposiciones de cada número.Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60.Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5de donde MCM ( 18, 24, 60) = 23x32x5 = 3601.2.7 Ejemplos y ejerciciosEjemplo: ¿Cuál es el MCM y el MCD de 150; 180 y 200? ¿Cuántos divisores comunestienen? ¿Cuántos múltiplos comunes?Solución:Se tiene 150 = 2x3x52 , 180 = 22x32x5 , 200 = 23x52.De donde MCD( 150, 180, 200) = 2x3x5 = 30 y MCM(150, 180, 200) = 23x32x52=1800Los divisores comunes de 150, 180 y 200 son los divisores de su MCD, o sea de 10.Los divisores de 10 son: 1, 2, 5, 10. En total 10 tiene 4 divisores y 4 es el número dedivisores comunes de 150, 180 y 200.Los múltiplos comunes de 150, 180 y 200 son los múltiplos de su MCM, o sea de 1800.Los múltiplos de 1800 son infinitos: 1 800, 3 600, 5 400 .....Respuestas.- MCD( 150, 180, 200) = 10, MCM(150, 180, 200) =1800.Los números 150, 180 y 200 tienen 4 divisores comunes y una infinidad de múltiploscomunes.Ejemplo: Se debe cortar 2 alambres, de 48 y 60 cm de longitud respectivamente enpedazos todos iguales y de la mayor longitud posible. Si por cada corte, se debe pagarS/.1,00, ¿a cuánto asciende el costo total?Solución:La longitud “L” de cada pedazo debe ser divisorcomún de 48 y 60 y como debe ser la mayor L ⎪ ⎪ ⎪longitud posible, entonces: 48cm L = MCD (48; 60) = 12Se calcula cuantos pedazos se obtienen de cada ⎪ ⎪ ⎪ ⎪alambre y el número de cortes para obtenerlos: 48÷12= 4 pedazos y 3 cortes 60cm 60÷12= 5 pedazos y 4 cortesRespuesta.- El pago total es S/.7. 11
  12. 12. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjemplo: De una tela de 150 cm por 90 cm una señora quiere confeccionar servilletascuadradas idénticas y del mayor tamaño posible. ¿Cuántas servilletas obtendrá y cuántomedirá el lado de cada una?Solución: El lado ”L” de cada servilleta debe ser divisor común L de 90 y 150 y como debe ser la mayor longitud posible, se tiene: MCD (90; 150) = 30 L De donde, L = 30 cm De cada lado de la tela se obtiene:90cm 90 ÷ 30= 3 servilletas 150 ÷ 30= 5 servilletas Respuesta.- Se hará 15 servilletas de 30 cm de lado. 150cmEjemplo: Dos señoras se han encontrado hoy en la peluquería. Una de ellas va cada 10días y la otra lo hace cada 15 días. ¿Dentro de cuántos días se volverán a encontrar?Solución: Para que coincidan nuevamente debe pasar un número de días que sea múltiplode 10 y de 15 en forma simultánea y que sea el menor posible, por lo tanto ese número dedías es: MCM(10 ; 15) = 30. Respuesta.- Ambas señoras se volverán a encontrar dentro de 30 días.Ejercicio: ¿Cuántos triángulos rectángulos distintos, cuyos catetos son números enteros yque tengan 50 m2 de área existen? Respuesta.- 5 triángulos rectángulos.Ejercicio: En la Catedral de Lima existen 3 campanas que fueron tocadas simultáneamentehoy; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la terceracada 10 días. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar las tres el mismo día? Respuesta.- 140 díasEjercicio: Se tienen 3 rollos de papel que miden 340m, 306m y 238m, y se pretende sacarde éstos, rollos más pequeños todos de igual longitud, sin que sobre material. ¿Cuántos deéstos rollos como mínimo se podrán obtener en total? Respuesta.- 26 rollosEjercicio: La Municipalidad de Santiago de Surco decide sembrar árboles en un terreno quetiene ubicado cerca al Ministerio de Guerra. El terreno es de forma rectangular, lasdimensiones son 408m y 216m. La Municipalidad decide dividir este terreno en el menornúmero de cuadrados que sea posible; ¿cuántos árboles son necesarios plantar si se quiereponer uno en cada vértice de dichos cuadrados? Respuesta.- 180 árbolesEjercicio: En la tienda de abarrotes del papá de Juan hay tres barriles de pintura, unocontiene pintura roja y es de 210 litros de capacidad, otro pintura azul y es de 300 litros y untercero con pintura amarilla y de 420 litros. Se desea depositar la pintura de los tres barriles(sin mezclarlas) en envases que sean de la misma capacidad. ¿Cuál es la menor cantidadde envases que se emplearía para que todos estén llenos y no se desperdicie la pintura? Respuesta.- 31 envasesEjercicio: Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15,de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor? Respuesta.- 720 naranjas 12
  13. 13. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.3 NÚMEROS RACIONALES Paradoja Agustín y Percy tiraron penales el fin de semana. El sábado, Percy anotó 10 de 20 intentos mientras Agustín anotó 45 de 100. El dómingo, Percy anotó 30 de 100 y Agustín 5 de 20. Si medimos la eficiencia con el cociente del número de goles sobre el número de intentos, podemos afirmar que tanto el sábado U como el domingo Percy estuvo más eficiente que Agustín aunque Agustín estuvo más eficiente en el fin de semana completo (sábado y domingo).1.3.1 Fracciones aFracción. Es una expresión de la forma , con a ∈ Ζ, b ∈ Ζ con b ≠ 0. bInterpretación: Una fracción consta de dos términos: el de arriba se llama numerador y el 3 −3de abajo se llama denominador. Al referirse a oa se entiende que la unidad principal 4 4se divide en cuatro partes iguales y se considera (3) o se extrae (-3) tres de dichas partes.Ejemplo: Un señor compra una pizza para 8 personas. Al llegar a casa la señora la corta enocho partes iguales, pero solo dos de los hijos comen su parte respectiva y deciden guardarel resto para más tarde, ¿cuánto queda de la pizza? Solución .La pizza es cortada en ocho 8 octavos: y se consume dos octavos: 8 2 , por lo tanto quedan seis octavos de 8 6 pizza: 8Ejemplo: Se tiene dos quintos de un molde de queso y se compra un molde más, ¿cuántos quintos se obtiene? 2 2 5 7 Solución: +1= + = 5 5 5 5 2 Son siete quintos de molde de queso. 5 Y 1Observación: Los números racionales mayores que la unidad se pueden escribir comonúmeros mixtos los cuáles tienen parte entera y parte fraccionaria. 32 2Ejemplo: = 6 , ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y un resto de 2. 5 5Asimismo, el número mixto también se puede convertir en fracción. 2 2 3 × 7 + 2 23Ejemplo: 7 =7+ = = 3 3 3 3 13
  14. 14. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasFracciones equivalentes.Ejemplo: Se considera tres pliegos de cartulina de mismas dimensiones. Se ha señalado laspartes iguales y se ha sombreado la misma parte en cada caso. 3 9 6 5 15 10 a c a c Dos fracciones y son equivalentes si a × d = b × c . Se denota = b d b d 1 2 3 −5Ejemplo: = . En efecto 1x4 = 2x2. Del mismo modo, - = por -3x10= 6x(-5) 2 4 6 10Fracción irreductible. Nota: El valor absoluto de aLa fracción es irreductible si a y b son primos entre sí. un número a, que se b denota a , es el mayor valor del real entre a o de 6 −2Ejemplo: y son irreductibles porque su opuesto (-a). 7 3 Ejemplos: MCD(6,7)= 1 y MCD (2,3)= 1. −4 = 4; 5,2 = 5,2 5 − 12 y no son irreductibles porque 10 10 MCD( 5, 10) = 5 y MCD( 12, 10) = 2.Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que tienen igual denominador.Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador. 1 2 −8 1 2 −3Ejemplo: , y son homogéneas, y , y son heterogéneas. 5 5 5 3 7 61.3.2 Operaciones1.3.2.1 Amplificación y simplificación de los términos de las fracciones. a kaDebido a la propiedad: = ,donde k ∈ Ζ y k ≠ 0, se tiene dos operaciones: b kb • Amplificación de los términos de la fracción: cuando se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número entero no nulo. • Simplificación de los términos de la fracción: cuando se divide el numerador y el denominador por un divisor común a los dos y diferente de 1. 14
  15. 15. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas 2 2 x3 6 2 2 x(−2) − 4 14 14 ÷ 7 2Ejemplos: = = ; = = ; = = 5 5 x3 15 5 5 x(−2) − 10 35 35 ÷ 7 51.3.2.2 Potenciación y radicación de fracciones. Sean a, b y n enteros tales que las operaciones que aparecen se puedan Ejemplo efectuar n 3⎛a⎞ an ⎛2⎞ 23 8 ⎛ 3⎞ 92⎜ ⎟ = n ⎜ ⎟ = 3 = ; ⎜− ⎟ =⎝b⎠ b ⎝ 3⎠ 3 27 ⎝ 4⎠ 16 a na 64 64 8 27 3n = ; donde n > 0 = = ; 3 − =− b nb 121 121 11 64 81.3.2.3 Adicción y sustracción de fracciones.La suma de dos fracciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera. a c ad + bc + = b d adLa resta de dos fraccciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera a c ad − bc − = b d adNota muy importante: En la práctica estas dos fórmulas no son muy útiles y en especialcuando se debe presentar la nueva fracción en forma irreductible. Por lo tanto se hadesarrollado procedimientos que se muestran a continuación.Procedimientos prácticos.Nota importante: En estos procedimientos, se suma o se resta solamentefracciones con denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica elnumerador y el denominador de la fracción por –1. 4 4x(−1) − 4 − 10 − 10x(−1) 10Ejemplo: = = ; = = − 5 − 5x(−1) 5 −3 − 3x(−1) 3• Si las fracciones son homogéneas, el procedimiento es bastante sencillo. 2 − 5 8 2 − 5 − 8 − 11Se suma o resta los numeradores. Ejemplo: + − = = . 19 19 19 19 19• Si las fracciones son heterogéneas, se hace en tres etapas:1. Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.2. Se amplifica los términos de las fracciones para convertirlas en fracciones equivalenteshomogéneas.3. Se suma o resta los numeradores según el caso. 15
  16. 16. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas 2 3Ejemplo: + 5 41. En este caso se tiene MCM(4,5) = 20 2 2× 4 8 3 3 × 5 152. Luego, se amplifica los términos de las fracciones = = y = = . 5 5 × 4 20 4 4 × 5 20 2 3 8 15 233. Y después se suma los numeradores + = + = 5 4 20 20 20 3Nota: En este caso se puede dar el resultado en forma de número mixto: 1 . 20• Si se tiene números mixtos, se recomienda realizar por separado el cálculo con las partes enteras y con las partes fraccionarias. 2 1Ejemplo: Calcular: 3 + 16 . 7 3 2 2 1 11. Se recuerda que 3 = 3 + y 16 = 16 + 7 7 3 32. Se suma las partes enteras y se obtiene 3+16 =19. 2 1 2 × 3 + 1× 7 133. Por otro lado, se suma las partes fraccionarias y se tiene + = = 7 3 21 214. El resultado final se obtiene sumando los resultados parciales. 13Respuesta.- 19 . 21 Nota importante: Todos los resultados finales deben estar dados con una fracción irreductible. 4 1 2Ejemplo: Calcular: + − 5 6 15Se calcula el MCM( 5,6,15)= 2x3x5=30 y se amplifica los términos de las fracciones.Se tiene entonces:4 1 2 4x6 1x5 2x2 24 + 5 − 4 25 + − = + − = =5 6 15 30 30 30 30 30 25 25 ÷ 5 5Ahora se simplifica los términos de la fracción obtenida: = = 30 30 ÷ 5 6Respuesta. 5 / 61.3.2.4 Multiplicación y división de fraccionesMultiplicación. El resultado de la multiplicación de dos o más fracciones es una nuevafracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador elproducto de los denominadores. Notas: a c ac • Siempre es conveniente simplificar cada x = b d bd fracción antes de hacer las operaciones. • Se aplica la regla de los signos cuando hay números negativos. 3 8 − 2 3 × 8 × (−2) − 4Ejemplo: × × = = 4 3 5 4 × 3× 5 5 16
  17. 17. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasDivisión. El resultado de dividir una fracción entre otra es igual al producto de la primerapor el inverso multiplicativo de la segunda fracción. a c a d ad Si c ≠ 0 , ÷ = x = b d b c bc aTambién se puede representar como: b = ad c bc d − 3 2 − 3 5 − 15 7Ejemplo: ÷ = × = = −1 4 5 4 2 8 81.3.3 Comparación de fracciones Nota importante. Se recomienda comparar solamente fracciones que tengan denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por –1 como se explico anteriormente.Si las fracciones a comparar son homogéneas y con denominador positivo, se compara losnumeradores.Si las fracciones a comparar son heterogéneas y con denominador positivo, se debeconvertirlas en homogéneas y comparar los denominadores.Ejemplo. Paradoja Percy Agustín ResultadosSábado 10 50 45 = Percy es más eficiente 20 100 100Domingo 30 5 25 = Percy es más eficiente 100 20 100Fin de semana 40 50 120 Agustín es más eficiente 120Ejemplo.- Ordenar las fracciones siguientes de menor a mayor: 3 4 1 5 I) II) III) IV) 5 −7 2 6Solución.- 4 −4Se transforma la segunda fracción : = . −7 7 −4Ahora, como es la única fracción con numerador negativo, se deduce que es la menor. 7Se considera el MCM ( 5 , 2, 6) = 30 3 6x3 18 1 15 5 5x5 25De donde: = = , = , = = 5 30 30 2 30 6 30 30 17
  18. 18. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas 4 1 3 5Respuesta.- < < < −7 2 5 61.3.4 Ejemplos y ejercicios.Ejemplo: Calcular: 2 2x3 − 2 4 4 2− 4 3 3 4 6 4x2 = = 3 = 3 = 3 = x = = −8− 2 4 1 − 2 5 1 − 1 1 − 1x3 + 1x2 − 1 3 −1 −1 ÷ + x + + 6 5 5 3 5 4 3 2 3 6Ejemplo. Manolo reparte su dinero de la siguiente manera: A Fernando le da la cuartaparte, a Cesar la tercera parte y a Adela le da la sexta parte, quedándose con 1 800 soles.¿Cuánto dinero tenía Manolo?Solución:Se expresa las fracciones del dinero total;Fernando César Adela Manolo1 1 1 1 1 1 1− − −4 3 6 4 3 6 1 1 1 12 − 3 − 4 − 2 3 1La fracción que le corresponde a Manolo es: 1 − − − = = = . 4 3 6 12 12 4 1De donde S/. 1800 representan del total. 4Por lo tanto, el total de dinero es 1800 x 4 = 7200.Respuesta.- S/. 7200.Ejemplo: Una contadora hace un reporte completo en 4 horas y su secretaria lo hace en 8horas. Si trabajan juntas, ¿cuánto se demoran?Solución: 1 1En una hora, la contadora hace de todo el trabajo y su secretaria solamente . 4 8 1 1 3Por lo tanto, juntas en una hora avanzan: + = de todo el trabajo. Para hacer el trabajo 4 8 8 8 2se necesita de hora o sea 2 horas y de hora. Como cada hora es 60 minutos, 3 3 2 x60 = 40 minutos. 3Respuesta. Si trabajan juntas se demoraran 2 horas y 40 minutos.Ejemplo: Una jarra tiene un litro de jugo de naranja puro. Un niño toma la tercera parte yreemplaza el contenido con agua. Se le cae la mitad de la mezcla y tuvo que reemplazarlode nuevo con agua. ¿Cuánto queda de jugo de naranja puro en la mezcla?Solución: 18
  19. 19. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas Acción Jugo (litro) Agua (litro) Inicio 1 0 Toma la tercera parte y se llena con 2 1 agua 3 3 1⎛2⎞ 1 2 Se cae la mitad y se llena con agua ⎜ ⎟= 2⎝3⎠ 3 3 1 Respuesta. En la mezcla, queda litro de jugo. 3Ejercicio. Reducir las expresiones 1 1 a) 3 48 + 27 − 108 b) 3 2 + 3 − 125 + 49 − 4 2 + 5 8 4 8 Respuestas. a) 12 3 b) 9 + 6 2Ejercicio: Calcular 5 − 2( 2 x30 − 2 −1 5 2 − 3 2 ) Respuesta. 5 ⎡ 1 ⎛ 2 ⎞⎤ ⎛ ⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎢− + ⎜ − ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎟ ⎣ 2 ⎝ 5 ⎠⎦ ⎛ 1⎞ ⎝ 5 ⎠ ⎝6⎠⎟ b) 3⎜ 11Ejercicio. a) + ⎜1 ⎟ Respuestas. a) – b) 4 ⎛ 1 1⎞ ⎝ 4⎠ ⎜ ⎛ 1⎞ ⎟ 2 ⎜− + ⎟ ⎜ 5 3⎟ ⎜ 3⎜ − ⎟ + 0,2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 5⎠ ⎠ 2 2 −2 −1 − +2 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ 5 15 45 13Ejercicio: a) ⎜ − ⎟ − ⎜− ⎟ b) Respuestas. a) b) ⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ 5 −1 4 5 3Ejercicio. Tres niñas se han repartido una caja de chocolates, tomando una de ellas lamitad de los chocolates, otra la tercera parte de lo que quedó y la tercera el resto. Si a lasegunda le tocó 6 chocolates, ¿cuántos chocolates le tocó a la tercera? Respuesta: 12 chocolatesEjercicio. En la mitad del terreno de una huerta se siembra pasto. En la tercera parte de loque queda se siembra café y en las 3/5 partes del resto se siembra fruta. Determine quéparte de la huerta quedó sin sembrar y qué parte se sembró con café. 2 1 Respuesta: Se quedó sin sembrar de la huerta y se sembró con café de la huerta 15 6Ejercicio. Para llenar un tanque de agua se dispone de dos llaves. La primera llena en unahora 2/5 del tanque y la segunda llave llena en una hora la tercera parte. Si el tanque tieneen el fondo dos agujeros de los cuáles fluye agua a razón de 4/15 y 1/6 del tanque por horarespectivamente, ¿qué parte del tanque se llenará en una hora si se abre simultáneamente 3las dos llaves? Respuesta: de tanque 10Ejercicio. Una persona decide gastar su dinero en 4 días. El primero, gasta la mitad de loque tiene, el segundo la tercera parte más 10 soles; el tercer día gasta los 2/5 de lo quegastó el día anterior y el cuarto, gasta los 100 soles restantes. ¿Cuánto tenía inicialmente? Respuesta: S/.3 420 19
  20. 20. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.4 PROPORCIONALIDAD Razón áurea Longitud 1 + 5 Un rectángulo cuyas dimensiones satisfacen la proporción = se Ancho 2 llama rectángulo áureo y su origen se remonta a la época de los griegos, quienes pensaban que este rectángulo mostraba la proporción más estética y la usaron en sus obras de Arquitectura como el Partenón, construido sobre la Acrópolis en la Antigua1.4.1 Razones y proporciones numéricasRazón: Es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha comparación se puedehacer de dos maneras: a• Por cociente de dos reales: r = ; b ≠ 0 (razón geométrica) b• Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética).Observación: r es un número real.Ejemplo. Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre lelleva 30 años a su hijo (razón aritmética con r = 30) o también que el padre tiene 4 veces laedad de su hijo (razón geométrica con r = 4).Nota: En este documento sólo se tratará razón geométrica la cuál se llamará simplementerazón. Vocabulario a a se llama antecedenteEn una razón geométrica, r = ;b ≠ 0 b b se llama consecuenteProblema: Densidad de la población: La extensión territorial de laciudad “Aconao” es de 72 600 kilómetros cuadrados y su Aconaopoblación aproximada en 1998 era de 609 840. ¿Cuál era su 400Kmdensidad poblacional en 1998? Salida 14Solución: La densidad poblacional es el cociente del número dehabitantes por kilómetros cuadrados. Se expresa en habitantes por kilómetros cuadrados.En este caso la densidad poblacional de la cuidad de Aconao es de 8,4 hab/km2 por el 609840cociente = 8,4 . 72 600Respuesta.- La densidad poblacional de la cuidad de Aconoa es 8,4 hab / km 2 .Proporción: Es la igualdad de dos razones. Una proporción geométrica es de la forma a c = (con b≠0 y d≠0) a y d se llaman extremos de la proporción. b d se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”. b y c se llaman medios de la proporción. 20
  21. 21. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasPropiedad Fundamental: a c Para todo a, b, c y d no nulos, = es equivalente a ad = bc b dConsecuencias Importantes:• Se deduce que existe un número real α tal que a= α c, b= α d. a 4 Por ejemplo: si = entonces se tiene a =4 α y b=7 α b 7 a c• Si se tiene la proporción = en la cuál a, b, c y d son no nulos entonces se puede b d a b formar la proporción siguiente: = . c dSerie de razones iguales: x y zSi se tiene una serie de razones iguales como: = = = k , entonces se deduce que: a b c x= ka, y= kb, z= kc.Se dice que k es la constante de proporcionalidad y que los números x, y, z sonproporcionales a: a, b y c, respectivamente.Ejemplo: Se reparte 80 canicas a tres niños de 5, 6 y 9 años proporcionalmente a su edad.¿Cuántas canicas tendrá cada uno?Solución: Sea x la cantidad de canicas que tiene el niño de 5 años, y la cantidad de canicas que tiene el niño de 6 años y z la cantidad de canicas que tiene el niño de 9 años.Se cumple entonces lo siguiente: x y z• = = = k , entonces: x= 5k , y = 6k ; z= 9k 5 6 9• x+y+z = 80Así 5k + 6k + 9k = 80 de donde: 20k = 80 y k = 4.De donde: x = (4)(5) =20 y = (4)(6) =24 z = (4)(9) = 36Respuesta.- Los niños de 5, 6 y 9 años recibieron 20, 24 y 36 canicas respectivamente.1.4.2 Magnitudes y cantidades.Una magnitud es todo aquello susceptible de medición. Se expresa usando un número realy una unidad de medición.Ejemplos: Magnitud Ejemplo Unidad Número o valor Temperatura 15°C grado Celsius 15 Longitud 5 cm centímetro 5 Masa 7,5 kg kilogramo 7,5 Dinero S/. 20 un nuevo sol 20 Velocidad 55 km /h kilómetro / hora 55 Obrero 8 obreros un obrero 8Otras magnitudes son: capacidad, superficie, volumen, velocidad, menú, página etc. 21
  22. 22. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.4.3 Magnitudes directamente proporcionalesCaso : Si un kilogramo de un producto cuesta 20 soles, y se paga en soles a razón de lamasa en kilogramos, se puede llenar la siguiente tabla: Magnitudes Valores correspondientes Precio (soles) 10 20 40 42,5 60 Masa (kg) 0,5 1 2 2,125 3Se observa que el cociente de sus valores correspondientes es constante. 10 20 40 42,5 60 = = = = = 20 0,5 1 2 2,125 3Es decir que la serie de razones iguales admite 20 como constante de proporcionalidad. Precio = 20 nuevo sol / kilogramo o Precio = 20 Masa nuevos soles MasaSe dice entonces que:• el precio es directamente proporcional a la masa.• la masa es directamente proporcional al precio.• las dos magnitudes ( precio y masa) son directamente proporcionales.Definición: Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando, al multiplicar elvalor de una de ellas por un real no nulo, el valor correspondiente a la otra magnitud seencuentra multiplicado por el mismo real, manteniendo la misma proporción.Ejemplos : Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen uncomportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes directamente proporcionales:1. El número de objetos y el precio cuando se paga a razón del número de objetos.2. La masa y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón de la masa de la mercancía.3. La longitud de la circunferencia de un círculo y la longitud del diámetro de la misma.4. El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado.5. El área de un cuadrado y el cuadrado de su lado. Si A es directamente proporcional a B, entonces A =k o A = kB , B donde k es la constante de proporcionalidad.1.4.4 Magnitudes inversamente proporcionalesDefinición: Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a una magnitud B si 1la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud . B 22
  23. 23. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasCaso : Si un móvil que se desplaza a una velocidad constante (Movimiento rectilíneouniforme) de 30 kilómetros por hora demora 2 horas, se puede llenar la siguiente tabla parasaber cuanto tiempo se demoraría para recorrer la misma distancia a velocidades constantesdistintas. Magnitudes Valores correspondientes Velocidad ( km/h) 15 30 50 60 Tiempo (horas) 4 2 1,2 1Se observa que el producto de sus valores correspondientes es constante. 15 x 4 = 30 x 2 = 50 x 1,2 = 60 x 1= 60Es decir que la serie de productos admite 60 como constante de proporcionalidad. 60 velocidad x tiempo = 60 km o velocidad = km / h tiempoSe dice entonces:• La velocidad es inversamente proporcional al tiempo.• El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad.• Las dos magnitudes ( velocidad y tiempo) son inversamente proporcionales.Ejemplos: Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen uncomportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes inversamente proporcionales1. El número de obreros ( de igual rendimiento) y el tiempo que emplean para hacer una obra.2. El número de días y el número de horas por día que emplean los trabajadores (de igual rendimiento) en realizar una misma obra. Si A es inversamente proporcional a B, entonces k A= o AB = k , B donde k es la constante de proporcionalidad.1.4.5 Propiedades:Sean A y B dos magnitudes proporcionales y sus valores correspondientes indicados en lasiguiente tabla.Magnitudes Valores correspondientes A a1 a2 a3 B b1 b2 b31. Si A y B son directamente proporcionales entonces, se cumple: a1 a 2 a 3 a 4• = = = =k. b1 b 2 b 3 b 4donde k es la constante de proporcionalidad y tiene una unidad. 23
  24. 24. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas a1 b1 a1 b1 a b• = , = , 2 = 2 , etc. a2 b2 a3 b3 a3 b3En estos cocientes, el resultado no tiene unidad debido a que se divide dos cantidadesexpresadas en la misma unidad.Ejemplo: En el caso del precio con la masa visto anteriormente, estas últimas proporciones 60 3 40 10se traducen por ejemplo con: = , = . 40 2 2 0,52. Si A y B son inversamente proporcionales entonces, se cumple:• a1 b1 = a2 b2= a3 b3 = a4 b4 = k.donde k es a constante de proporcionalidad y tiene una unidad. a1 b 2 a1 b 3 a b• = , = , 2 = 3 , etc. a 2 b1 a 3 b1 a3 b2En estos cocientes, el resultado no tiene unidad, debido a que se divide dos cantidadesexpresadas en la misma unidad.Nota importante: Cabe resaltar que, en este caso, se invierte el orden de los valorescorrespondientes.Propiedad 2:1. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es directamenteproporcional a la magnitud C, entonces, la magnitud A es directamente proporcional a lamagnitud BC, lo que se expresa con: A = k BC Donde k es la constante de proporcionalidad.Nota: Esta propiedad se puede generalizar a más de 2 magnitudes.2. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es inversamenteproporcional a la magnitud C, entonces se expresa con: B A =k , C donde k es la constante de proporcionalidad.Ejemplo: La fuerza de atracción entre dos planetas es directamente proporcional a cadauna de las masas de los planetas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque los separa. Expresar la relación de proporcionalidad entre estas magnitudes. Si ladistancia entre las planetas se duplica, ¿que pasa con la fuerza de atracción?Solución. Sea F la fuerza de atracción, M y M’ las magnitudes masa de cada planeta y D la M.Mmagnitud distancia, se tiene entonces F = k . D2Si la distancia se duplica, D2 se cuadruplica y la fuerza se divide entre 4. 24
  25. 25. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjemplo: Sean tres magnitudes X, Y y Z, para los cuales:X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z.a. Expresar X en términos de Y y de Z.b. Si el valor de X es 18 cuando Y toma el valor 5 y Z toma el valor de 2, determinar el valor que toma X cuando Y es 25 y Z, 3.Solución.Como X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z, Yentonces por propiedad: X = k Z2 5Con los datos se puede calcular k. Así 18 = k ( ). De donde k = 72/5. 22Ahora si Y=25 , Z =3 se tiene X = (72/5 )(25/9)= 20Respuesta.- Si Y=25 , Z =3 entonces X = 20.Ejemplo: El valor de una obra de arte es proporcional al cuadrado de la antigüedad quetiene. Si actualmente tiene 20 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su valor?Solución:Si se denota con P la magnitud obra de arte y con A la magnitud antigüedad, entonces setiene: P = k A2. P p pPor lo tanto, la relación: 2 = k, es siempre constante y se cumple: 12 = 22 . A a1 a2 p1 4p1Como p2 = 4 p1, se reemplaza los valores: 2 = 2 . (20) a2Se simplifica por p1, por ser no nulo, y por lo tanto, a22 = 4 (20)2= 1600.Como a2 es positivo, se deduce que a2 = 1600 = 40.Respuesta.- El valor de la obra se cuadriplicará dentro de 20 años.Ejemplo: Si A y B son dos magnitudes tales que: A 2 3,5 5 6,5entonces, A y B son magnitudes inversamente B 7 4 2,8 2proporcionales.Solución: En este caso se debe verificar que los productos de los valores correspondientesde A y B son iguales. Se observa que 2*7=3,5*4=5*2,8= 14 pero 6,5*2=13.Respuesta.- Las magnitudes A y B no son inversamente proporcionales.Nota: Un error frecuente es considerar solamente que cuando los valores de A crecen, losvalores respectivos de B decrecen sin verificar todos los productos.1.4.6 Regla de tres1.4.6.1 Regla de tres simple:Definición: La regla de tres simple es un procedimiento que permite hallar un términodesconocido de una proporción geométrica en la cuál interviene solamente dos magnitudesque tienen una relación de proporcionalidad.Regla de tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamenteproporcionales. 25
  26. 26. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasProcedimiento: Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que lamagnitud B corresponde al valor desconocido.Se establece la siguiente tabla: A B a1 b1 a2 xComo las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple B = k A. a1 b1 a bSe establece la proporción: = , y, por la propiedad fundamental, x = 2 1 . a2 x a1Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto cuestan5 menús?Solución:Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (precio y menú) son directamenteproporcionales. En efecto, al aumentar el número de menús, el precio aumenta en la mismaproporción.De esta manera se tiene: Precio = k donde k es la constante de proporcionalidad MenúSe presenta los datos de la siguiente manera: Menús Precio (Número de) (En Soles) 12 48 5 xO de esta otra: 12 menús ............... S/. 48 5 menús ............... S/. xComo las magnitudes son directamente proporcionales 12 48• se establece la proporción = 5 x• se aplica la propiedad fundamental (48)( 5) = 12 x (48)(5) (4)(5)• de donde: x = = = 20 12 1Respuesta. – Cinco menús cuestan S/. 20.Regla de tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamenteproporcionales.Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que lamagnitud B corresponde al valor desconocido.Se establece la siguiente tabla: A B a1 b1 a2 x 26
  27. 27. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasComo las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple AB = k y se deduce:a1 x ab = . Por la propiedad fundamental se tiene a1 b1 = a2 x. De donde: x = 1 1 .a 2 b1 a2Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿cuántos días demorarían 8obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones?Solución: Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (tiempo y obrero) soninversamente proporcionales. En efecto al aumentar el número de obreros, el tiempodisminuye en la misma proporción.Se puede presentar los datos de la siguiente manera: Obreros Tiempo ( Número) (En días) 6 20 8 xO de esta otra: 6 obreros .................... 20 días 8 obreros .................... x díasComo las magnitudes son inversamente proporcionales: (Obreros)(Tiempo)= k 6 x• se establece la proporción = 8 20• se aplica la propiedad fundamental (6)(20) = 8 x (6)(20)• de donde: x = = 15 . 8Respuesta: 8 obreros se demorarían 15 días.Ejemplo: Si se necesita dos horas para pintar una pared cuadrada de cinco metros de lado,¿ cuánto tiempo se necesita para pintar en las mismas condiciones una pared cuadrada dediez metros de lado?Solución: ¡Cuidado! En este caso, la proporcionalidad no es con el lado del cuadrado sinocon su área. Área de la pared Tiempo ( en metros cuadrados) ( en horas) 25 2 100 xComo a más área, más tiempo, las magnitudes son directamente proporcionales y se tiene25 100 200 = . De donde: 25 x = (100)(2) y x= =8.2 x 25Respuesta.- Se necesita 8 horas para pintar una pared de 10 metros de lado.1.4.6.2 Regla de tres compuesta:Definición.- La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un términodesconocido de una serie de razones en la cuál intervienen más de dos magnitudes quetienen entre sí relaciones de proporcionalidad. 27
  28. 28. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasProcedimiento.- Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad quetiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudesconsiderando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamientoconstante.Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido. A B C a1 b1 c1 x b2 c2Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente Bproporcionales entonces, por las propiedades vistas en 1.4.5, se tiene: A = k . C a1 b1 c 2 ab cDe donde = y x= 1 2 1. x b2 c1 b1c 2Nota importante.- Como A y B son directamente proporcionales entonces la razónmantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales larespectiva razón se invierte..Ejemplo: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10 sastresque pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de la mismaforma se necesita para hacer 600 trajes en 20 horas?Solución: Se establece la siguiente tabla con los datos Sastres ( Número) Tiempo (Horas) Trajes (Número) 10 40 1000 x 20 600Como a más sastres, menos tiempo, los sastres y el tiempo son magnitudes inversamenteproporcionalesComo a más sastres, más trajes entonces los sastres y los trajes son magnitudesdirectamente proporcionales 10 20 1000Y se tiene: =( )( ) x 40 600 (10)( 40)(600)De donde: x = = 12 y por lo tanto 12 - 10 = 2. ( 20)(1000)Respuesta.- Se necesita 2 sastres más.1.4.7 PorcentajesDefinición.- Un porcentaje es una razón cuyo Nota Histórica.antecente es racional y cuyo consecuente es 100. En un libro del NCTM ( National a Council of teachers ofLa razón se denota a% y se lee a por ciento. Mathematics) se señala que el 100 signo de porcentaje %1.4.7.1 Aplicar un porcentaje.- evolucionó de un símbolo en unSe calcula el a % de una cantidad N de la siguiente manuscrito italiano de 1425 y a se transformó a la notaciónmanera: a% de N= N. actual alrededor de 1650. 100 28
  29. 29. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjemplo.- Calcular el 5 % de 90. 5Solución.- Se calcula ( 90) , o, lo que es lo mismo, (0,05) (90). El resultado es 4,5. 100Ejemplo. ¿Cuál es el 20 % del 30 % de 150? 30Solución: El 30 % de 150 es : x150 = 0,30 x 150. 100 20 30El 20 % del 30 % de 150 es x x150 = 0,20 x 0,30 x 150= 9 100 100Respuesta. - 9Ejemplo: La leche da 12,5 % de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 dm3 de crema,¿cuántos litros de leche se ha procesado?Solución: Si V es el volumen en dm3 de leche procesado, se debe cumplir 12,5 (30)(100)12,5% de V = 30. De donde: V = 30 y V = = 240 100 12,5V = 240 dm3 . Como 1dm3 = 1 litro se tieneRespuesta.- Se ha procesado 240 litros de leche.1.4.7.2 Transformar razón a porcentajes a ⎛a⎞Tomar el de N es equivalente a tomar el 100⎜ ⎟ % de N. b ⎝b⎠Ejemplos.- 3 (3)(100)• Tomar los de N equivale a tomar el % de N, es decir el 75 % de N. 4 4• ¿Qué porcentaje de 250 es 50? 50 a (50)(100) Se debe cumplir = . Por lo tanto: a = = 20 250 100 250 Respuesta: 50 es el 20 % de 250.• Un par de zapatos de 150 Nuevos Soles se rebaja a 120 Nuevos Soles. ¿Cuál es el porcentaje de descuento? Se ha aplicado al precio una rebaja de 30 Nuevos Soles por 150 – 120. Ahora, se calcula 30 a el porcentaje de descuento con la proporción: = . De donde: a = 20. 150 100 Respuesta.- El porcentaje de descuento es 20 %.Ejemplo: En un matrimonio al cuál asistieron 120 personas adultas, el 60% era hombres. Siel 50% de los hombres y el 31,25% de las mujeres eran solteras, ¿qué porcentaje de losasistentes eran solteros?Solución: Se calcula el número de hombres solteros: 50 6050% de 60% de 120 es: x x120 = 36 100 100 29
  30. 30. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasSe calcula el número de mujeres solteras: Si hay 60% de hombres entonces hay 40% demujeres. 31,25 4031,25% de 40% de 120 es: x x120 = 15 100 100 36 + 15 aLuego se establece la proporción: = , donde a es el porcentaje de los 120 100asistentes solteros. Así a = 42,5Respuesta.- El porcentaje de solteros es 42,5 %.1.4.7.3 Aplicación al campo económico.Caso 1: El Impuesto general a la ventas ( I.G.V) se calcula aplicando a cada precio inicialel 18 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?Solución. Si P es el precio inicial, entonces el IGV es el 18 % de P o sea (0,18)P.Como es un aumento, el nuevo precio es: P + 18% = P + (0,18)P = (1+0,18)P = 1,18 PRespuesta.- Para calcular los nuevos precios se multiplica los precios iniciales por 1,18.Caso 2: Una tienda de ropa inicia una campaña de oferta, aplicando a cada prenda undescuento del 15 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?Solución. Si P es el precio de una prenda, entonces el 15 % de P es (0,15)P.Como es un descuento, el nuevo precio es: P -15% P = P – (0,15)P = ( 1 - 0,15)P = 0,85 P.Respuesta.- Para calcular los nuevos precios se debe multiplicarlos por 0,85.Resumen: Precio inicial Aumento de a% Descuento de a% P (1 + a%) P (1 - a%)PEjemplo. Una tienda vende chompas a S/. 60 ganando un 20 % del costo. ¿Cuál es el costode una chompa?Solución: Si C es el costo, entonces el precio de venta se expresa por: 60 = (1 + 20%) C.De donde 60 = 1,20 C y C = 50.Respuesta.- El costo de una chompa es de S/.50.Ejemplo. Un automovilista va a comprar aceite para su motor en su grifo favorito y descubreque los precios han aumentado de 15 % desde el mes anterior. Si, al comprar el aceite, elvendedor le hace una rebaja de 15 % por ser cliente preferencial, ¿ha ganado o perdido elautomovilista en la transacción?¿ Cuál es su porcentaje de ganancia o perdida?Solución: Si P es el precio inicial del aceite, con el aumento de 15 % se transforma en1,15P. Luego, se aplica la rebaja de 15 % al nuevo precio y se transforma en: (0,85)(1,15) Po sea en 0,9775 P.Este resultado significa que el automovilista ha pagado su aceite 97,75 % del precio del mesanterior y ha ganado el 2,25 % (100% – 97,75% ) sobre el precio del mes anterior. 30
  31. 31. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasAplicación: VariacionesEl cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimientoporcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior.Ejemplo. Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos después de las fiestaspatrias, un comerciante reduce sus precios en un 20 % y observa que sus ventas en el mesde agosto aumentan en un 30 %. ¿En que porcentaje varió su ingreso en agosto conrespecto a julio?Solución: El ingreso se calcula multiplicando el precio por el número de artículos vendidos.En el mes de julio, se tiene: IJ = PN donde P es el precio y N el número de artículos.En el mes de agosto, se tiene IA = (0,80 P)(1,30N) = (1,04 PN)La variación del ingreso del mes de julio al mes de agosto esta dada por:I A − I J 1,04PN - PN = = 0, 04 = 4 %. IJ PNRespuesta.- La variación de su ingreso de julio a Agosto es un aumento del 4 %.1.4.8 Ejemplos y problemas.Ejemplo. Juan y José tienen dinero en la relación de 4 a 3, pero gastan como 5 a 6respectivamente. Si tenían juntos 350 soles y gastaron juntos 220 soles ¿En qué razónestá el dinero de Juan con respecto al de José luego de los gastos? Juan 4 4αSolución. La razón entre el dinero de Juan y el de José es de : = = donde α es Jose 3 3αun número real. Como en total tienen 350 soles, se cumple: 4α + 3 α = 350 .De donde 7α = 350 y α = 50.Por lo tanto, Juan tiene 200 soles y José tiene 150 soles.Similarmente, se calcula que Juan ha gastado 100 soles y José 120 soles. Respuesta. - Al final, Juan y José tienen dinero en la relación de10 a 3.Ejercicio. Si el precio de una manzana es al precio de una naranja como 3 es a 2 y el preciode una naranja es al de una pera como 5 es a 6, ¿cuántas peras se puede intercambiar por100 manzanas? Respuesta.- 80 perasEjercicio. De un plano hecho a escala 1:1 000 se obtienen las siguientes medidas de unterreno rectangular: 5cm y 8cm. ¿Cuál es el área del terreno en metros cuadrados? Respuesta.- 400m2Ejercicio. Supongamos que Pedro y Juan van a establecer un negocio. Pedro va a invertir$12 000 y Juan $18 000. ¿Qué parte de las ganancias le corresponderán a cada uno? 2 3 Respuesta: A Pedro le corresponde y a Juan 5 5Ejercicio. Un padre desea repartir una herencia entre sus hijos José, Luis y Carlos, demanera que las partes sean entre sí como los números 7, 6 y 5 respectivamente.Posteriormente cambia de opinión y ordena hacer el reparto proporcionalmente a losnúmeros 6, 5 y 4. 31
  32. 32. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas a. ¿Qué fracción de la herencia ha ganado o perdido cada uno de los hijos con esta nueva repartición? b. El monto total de la herencia si a uno de ellos le corresponde en la segunda repartición S/.1 200 más que la primera. 1 1Respuesta.- a. José gana ,Luis ni pierde ni gana y Carlos pierde de la herencia. 90 90 b. El monto total es S/. 108 000.Ejercicio. El número de problemas resueltos por una persona en un examen esdirectamente proporcional a la raíz cuadrada del número de horas diarias de estudio y esinversamente proporcional a la edad de la persona. Si un alumno de 20 años que dedicó 4horas diarias de estudio contestó 12 preguntas, ¿cuántas preguntas contestará un alumnoque tiene 15 años si estudio 9 horas? Respuesta: El alumno contestará 24 preguntas.Ejercicio. En una fabrica industrial la gratificación por fiestas patrias se pagó en formadirectamente proporcional a los años de trabajo y al número de horas diarias de jornada, einversamente proporcional a la cantidad tardanzas acumuladas en el año.Si Juan Pérez recibió S/. 2 400 por trabajar 12 años, haciendo una jornada diaria de 8 horasy habiendo llegado tarde 5 veces, ¿cuánto le correspondería a Pedro Gómez por sus 14años de experiencia, trabajando 10 horas diarias, habiendo acumulado 7 tardanzas? Respuesta S/.2 500Ejercicio. Ocho albañiles, con una jornada de 10 horas por día han concluido una obra en 6días.¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles para hacer el trabajo en10 días? Respuesta: 9h36mEjercicio. Se contrataron 5 artesanos que hacen 12 chompas en 15 días. Se pretende tener60 chompas en 25 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar adicionalmente? Respuesta: 10 artesanosEjercicio. Sabiendo que un obrero se demora 16 horas en abrir una zanja de 400m3, ¿encuántas horas lograría abrir una zanja de 300m3 ? Respuesta: 12 horasEjercicio. Una guarnición tiene víveres para 121 días a razón de una ración diaria. Si seaumenta en 1/3 el número de individuos, ¿en qué fracción se debe disminuir la ración diaria 1para que dure el mismo tiempo? Respuesta: 4Ejercicio. Un ingeniero cuenta con 30 obreros para hacer una obra en 24 días, pasados 10días de trabajo le notifican que la obra debe culminarse 4 días antes, ¿cuántos obrerosadicionales debe contratar para cumplir con el nuevo plazo? Respuesta: 12 obrerosEjercicio. Roberto en su afán de realizar un negocio decide vender dos calculadoras delmismo modelo a 300 dólares cada una. Si en una de ellas pierde el 15% y en la otra gana el15% sobre el precio de compra, ¿podemos afirmar que Roberto es un buen negociante? Respuesta: No, pierde más o menos S/.14,00Ejercicio.¿En que porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo para fijar su precio,de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% delcosto? Respuesta: 75% 32
  33. 33. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasEjercicio. Compré una joya en 500 dólares y quise venderla inicialmente en "N" dólares,pero dada la recesión decidí venderla tan sólo al 80% de dicho precio. Luego, para realizarla venta hice un descuento adicional de 25% obteniendo una ganancia de 20%. Hallar "N". Respuesta: $1 000Ejercicio. ¿En qué porcentaje varía el área de un cuadrado, si su lado disminuye en 15%? Respuesta: Disminuye en 27,75%Ejercicio. Susana trabaja en una compañía textil. En el mes de Mayo (por el día de lamadre), recibe un aumento del 20%, y luego en el mes de Julio (por fiestas patrias), levuelven a aumentar, esta vez 15%. ¿Qué porcentaje extra de su sueldo de Abril estarárecibiendo en Julio?Respuesta: 38%Ejercicio. En una industria se han fabricado 1000 dispositivos electrónicos paracomputadoras en una semana; el 45% de ellos han sido fabricados en el turno diurno deproducción y el resto en el turno nocturno. Si se sabe que el 20% de lo fabricado en el turnodiurno es defectuoso y el 40% de lo fabricado en el turno nocturno es defectuoso, ¿quéporcentaje de la producción de la semana representan los dispositivos defectuosos? Respuesta: 31% 33
  34. 34. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas1.5 PROGRESIONES Hace mucho tiempo, en la India, el gran visir Sissa Ben Dahir, inventó el juego de ajedrez en honor a su rey, Shirham. Al rey le entusiasmó tanto el juego que ofreció al gran visir cumplir cualquier deseo que le formúlase. • Majestad, deme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por la segunda casilla y así, ¡Oh rey¡, doblando cada vez el número de granos que hay en la casilla anterior, deme el trigo suficiente para cubrir todas las casillas del tablero. • Tu deseo será cumplido ahora, gran visir¡ Sin embargo, era más fácil decirlo que hacerlo. El rey ordenó que trajesen un saco de trigo ante su trono. Empezaron a contar los granos, pero el saco se vació antes de llegar a la cantidad correspondiente a la vigésima casilla. Hecho esto, el rey mando a traer más sacos hasta agotar todos los que tenía en el almacén y aún así faltaban más granos, llegando a la conclusión de que le iba a ser imposible cumplir con el deseo del visir. ¡La cantidad era tal, que sembrando todos los campos de la India, no harían en dos mil siglos los granos de trigo que según la promesa del rey corresponde al gran visir!1.5.1 Progresiones AritméticasDefinición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, seobtiene sumando al término anterior una cantidad constante no nula llamada razón odiferencia que se denota r.Ejemplo: -2; 5; 12; 19; ............ es una progresión aritmética creciente de razón 7. 10; 2; -6; -14; .......... es una progresión aritmética decreciente de razón -8. Razón Tipo de progresión r< 0 progresión aritmética es decreciente r >0 progresión aritmética es crecienteElementos. En la progresión aritmética: a1; a2; .........an de n términos, se tiene: Razón : r = ai – ai-1, donde i = 2; 3; .....; n Término de lugar n : an = a1 + (n-1)r (a + a n )n Suma de los n primeros términos : Sn = 1 2Ejemplo: Hallar el término que ocupa el lugar 23 en la progresión aritmética: 9; 4; -1;-6;...Solución: Se calcula la razón: r = 4 – 9 = -5 .El término de lugar 23 es : a23 = 9 + (23 -1)(-5)Respuesta. a23 = -101Ejemplo: Determinar el número de términos de la siguiente progresión aritmética:-4; -1,5;1; .......; 66Solución: Se calcula la razón: r = -1,5 – (-4) = 2,50Se utiliza la fórmula para determinar cualquier término de posición n: an = a1+(n-1)Si an es el último término, entonces se tiene: 66 = -4 + (n -1)(2,5) 70 = (n-1)(2,5) 28 = n – 1 de donde n = 29. 34
  35. 35. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - MatemáticasRespuesta.- La progresión tiene 29 términos.Ejemplo: Un mecánico arregla 20 piezas de una carrocería. Por la complejidad del trabajoacuerda la forma de pago siguiente: $3,50 por la primera pieza; $5,00 por la segunda; $6,50por la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto recibirá por todo el trabajo?Solución: Los pagos forman una progresión aritmética de razón: r = 5,00 - 3,50=1,50.Para calcular lo que recibe por todo el trabajo se debe determinar la suma de los 20 pagos, (a + a 20 )(20)es decir: S20 = 1 2Se calcula el término a20 con: a20 = a1 + (20-1)r = 3,50 +(19)(1,50) = 32 (3,50 + 32)(20)Se reemplaza en la suma: S20 = = 355 2Respuesta.- El mecánico recibirá por el trabajo completo S/.355,00.1.5.2 Progresiones GeométricasDefinición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, seobtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante no nula llamada razónque se denota q.Ejemplos:3; 12; 48; 192; ............ es una progresión geométrica creciente de razón q = 4. 210; 4; 1,6; 0,64; ......... es una progresión geométrica decreciente de razón q = . 51 1 ; − 1; 2 ; − 4 ; − 8 ; ......... es una progresión geométrica alternante de razón q = −2 2 Razón Tipo de progresión q<0 Progresión geométrica alternante 0< q <1 Progresión geométrica decreciente q >1 Progresión geométrica crecienteElementos. En la progresión geométrica: a1, a2, .........an de n términos, se tiene: ai Razón :q = ; donde i = 2; 3; .....;n a i−1 Término de lugar n : an = a1 (q )n −1 a1 ( qn − 1) Suma de los n primeros términos : Sn = si q ≠ 1 q -1 1 1Ejemplo: La razón de una progresión geométrica es y el óctavo término es . 2 64Determinar el valor del primer término.Solución: Se aplica la fórmula para el óctavo término: a8 = a1q8-1= a1q7 7 = a1 ⎛ 1 ⎞ 1Y se reemplaza : ⎜ ⎟ 64 ⎝2⎠ 35

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