Cálculo Integral: Conceptos Básicos

Informática Básica 2011-2012

2. Integrales

Competencias

El estudiante:

- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
- Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
- Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
- Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
- Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno y argumenta su pertinencia.
- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.

Introducción a la unidad

Dos caminos que han ido separados a lo largo de la historia de las matemáticas, tras más
de 20 siglos, se unen, en lo que englobaremos como cálculo integral, gracias a los trabajos
de Barrow, Newton y Leibniz (creadores del cálculo infinitesimal).

Uno de los caminos, la búsqueda de fórmulas que permitieran calcular la superficie de
recintos planos, se remonta a los matemáticos griegos.

El otro camino nace para dar continuidad al concepto de derivada, buscando una
operación recíproca

38 ITCA


Sinopsis

Integración

Teoría Historia Notación Definiciones Propiedades Teoremas

2.1. Integración

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente
en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma
de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas
en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la
matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos inversos.

39 ITCA


2.2. Objetivos

 Área de una región plana
 Integrales indefinidas
 Integrales definidas
 Integrales impropias
 Integrales múltiples (dobles o triples)
 Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales
 Métodos de integración
 Teorema fundamental del cálculo
 Volumen de un sólido de revolución

2.3. Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas
verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función
F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida,
mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos
autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo
XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma
independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una
función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y
las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones
en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que
aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales.
A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,
donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se
hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables,
y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos

40 ITCA


del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de
una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la
geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a
partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de
muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos
modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como
integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

2.4. Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se
calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la
región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración,
se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el
integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración
puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio
abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el
intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integració n; a y b son el lı́mite inferior y el lı́mite
superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se
tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes
interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse
simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una
representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de
Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una
cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados
pueden variar la notación ligeramente.

2.5. La Integral

Una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la
siguiente forma:

41 ITCA


Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.

Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)

La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al
procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual
que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la
operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos
históricos hasta llegar a símbolo

Concretamente diremos que

aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el
análisis de este concepto.

EJEMPLO
Así por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que

pero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x)dx=3dx
por lo que

podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y
tener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es la
siguiente:

42 ITCA


a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión
anterior se le conoce como integral indefinida.

Retomemos el ejemplo:

que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:

lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración
obtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:

Como podemos observar el operador de derivada en una operador inverso al de
integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el
operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta,
y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.

La integración es la fusión de las diferenciales debajo de una curva definida por una
función matemática.
La integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático,
aparentemente no relacionados:
 El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables
le aplica a las regiones antes mencionadas.

43 ITCA


 La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la
función dada, realizando la "operación inversa" a la derivación

Fue gracias a Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma al
teorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambos
problemas. Siendo así, llamase integración definida a la obtención del área bajo una curva,
e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denomina
integración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que la
incógnita es una o varias funciones y sus derivadas.

Utilización de la integral

EJERCICIOS
a) f(x)=x8

b) f(x)=3x

como la integral cumple con la propiedad

entonces

ahora aplicando la fórmula

tendremos:

c) f(x)=x2 +2x+1

44 ITCA


para obtener la integración de este polinomio de segundo orden recordemos que

podemos considerar que el polinomio x2 +2x+1 se puede expresar como una suma de tres
polinomios donde

f(x)=x2 ; g(x)=2x; h(x)=1

es decir, de acuerdo al álgebra de funciones

s(x)= f(x)+g(x)+h(x)

por lo que

donde c= c1+ c2+ c3 esto último pensando a la constante c como una constante general que
engloba a las otras tres, este será un criterio ampliamente utilizado a lo largo de este
curso, en lugar de poner para cada integral una constante como en este caso, solo se
pondrá una solo constante de integración.

45 ITCA


2.6. Integral Definida

[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota
por

La expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite
inferior, y b, el límite superior.

2.6.1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a,
b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

2.6.2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

(30)

[Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de
calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y
constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se
resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral
definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de
cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia
(30) se acostumbra a escribir así:

46 ITCA


Ejemplo:
La igualdad

muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de
Newton y Leibnitz,

2.6.3. Propiedades de la integral definida

[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3.
, siendo c una constante

4.

5.
, cuando a < c < b

6. Primer teorema del valor medio:

, para al menos un valor x = x0 entre a y b.

47 ITCA


7.
Si , se verifica .

Ejemplos

[1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

2.6.4. Dos propiedades fundamentales de la integral definida

Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el
cálculo de integrales definidas:

1. Si K es un número real cualquiera,

48 ITCA


2.7. Integrales trigonométricas.

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma las cuales

se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica ,

que es un integral de una función racional.

Ejemplo. Calcular la integral .

Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambios
más sencillos. Ellas son las siguientes:

1. , donde , cambio

2. , donde , cambio

3. , donde , cambio

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Ejemplos.

a) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 1. Luego,

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución

b) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 2. Luego,

c) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 3. Luego,

2.8. Integrales por sustitución

Se trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral,
convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debe
cumplir:
1. Ser derivable con derivada no nula, es decir:

2. Admitir función inversa:

Entonces se tiene que:

50 ITCA


Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:
En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas:

Tipo de integral Sustitución Cálculo de
elementos

En funciones trigonométricas:

Para integrales del tipo

Sustitución Cálculo de los
elementos

Si R(sen x, cos x) es impar en sen x
Hacemos cos x=t

Si R(sen x, cos x) es impar en cos x
Hacemos sen x=t

51 ITCA


Si R(sen x, cos x) es par en sen x y
cos x hacemos tg x=t

Si R(sen x, cos x) no cumple
ninguna de las características

anteriores hacemos

En funciones irracionales:

Tipo de integral Sustitución Cálculo de los elementos

con a>0

52 ITCA


con c>0

con r y s
raíces del radicando

(bionomía) si p es entero

siendo s el
denominador de la
fracción p y si (m+1)/n es
entero

siendo s el
denominador de p y si
(m+1)/n+p es entero

2.9. Ejercicios: Integración por Sustitución Trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen
la forma

, y

53 ITCA


Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e
identidades trigonométricas.
En el caso general la integral a resolver es:

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos a factor
común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

1. a > 0 Λ es decir:

2. a > 0 Λ es decir:

3. a < 0 Λ es decir:
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

1.

2.

3.
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y
se deshace el cambio
a)

x = b.sen t t = arcsen (x/b)

dx = b.cos t .dt

54 ITCA


cos t
a.dx b.cos t .dt cos t .dt a.b cos t .dt
.dt
F(x) = a. = = a.
= ∫
=∫ ∫ a.b.∫ ∫
√ b ² - x √ b ² - (b.sen t) √b ² - b ².sen t √ 1 - sen t √ cos t
b
² ² ² ² ²

cos t .dt
= a. ∫ = a. ∫ dt = a.t = a.arcsen (x/b)
cos t

b)

x = √b. t t = x/√b

dx = √b.dt

a.√b.arctg a.√b.arctg
a.dx √b.dt dt a.√b dt
t (x/√b)
F(x) = = a. =
= ∫ = =
∫ ∫ a.√b.∫
b + x b + (√b.t) b+ b.t 1+t
b b b
² ² ² ²

2.10. Ejercicios: Integración Por Partes

Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se
puede determinar más fácilmente.
Consideremos dos funciones f y g derivables en x
Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:

integrando a ambos lados:

de donde

esta es la fórmula de integración por partes.

Utilizando los diferenciales de las funciones, si entonces , y si

entonces .

55 ITCA


Sustituyendo en la igualdad anterior:

Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral en

términos de otra integral , que puede resultar más fácil de integrar.

Si fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no
ha sido la más adecuada.
Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:

así como en las que contienen en su
integrando funciones trigonométricas inversas.
Con los ejemplos siguientes el estudiantes podrá darse una idea de la selección adecuada
de las variables u y dv.

1. si entonces

si dv = dx entonces

v=

para x
Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse
cuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.
En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se
muestra en el siguiente ejemplo:

2.
si entonces
si entonces

Luego:

56 ITCA


ahora

y
Por tanto:
3.

4. si entonces
si entonces v = x
Luego:

5. si entonces

si entonces
Luego:

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2.11. Fórmulas de Integrales

Sean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función y a u' como la
derivada de u.

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2.12. Ejercicios de Integrales
Ejercicio 1

Ejercicio 2

59 ITCA


Ejercicio 3

Ejercicio 4

60 ITCA


Ejercicio 5

61 ITCA


Ejercicio 6

62 ITCA


Ejercicio 7

Ejercicio 8

63 ITCA


Ejercicio 8

Ejercicio 9

64 ITCA


Ejercicio 10

Ejercicio 11

65 ITCA


Ejercicio 12

2.13. Tareas

a) Resolver las siguientes integrales

66 ITCA


b) Resolver las siguientes integrales

c) Resolver las siguientes integrales exponenciales

67 ITCA


d) Resolver las siguientes integrales

e) Resolver las siguientes integrales

2.14. Lecturas Complementarias

APLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de
las matemáticas avanzadas, especialmente del área del cálculo y del análisis matemático
(cualquiera que esta sea, ya que el área matemática abarca todos los campos del
conocimiento).

Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas
situaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca (o el del Acuario de
Veracruz, que tiene un túnel redondo), el cual si es rectangular no hay más problema que

68 ITCA


el de calcular su área a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar
fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie
(para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero si es ovalada con un fondo
redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajo
curvas.

Otras aplicaciones prácticas se encuentran en áreas como:

ECONOMIA: Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso en una
población; maximización de la utilidad con respecto al tiempo; superávit del consumidor
y del productor;

PEDAGOGIA: Curvas de aprendizaje

FINANZAS: Valor presente de un ingreso continuo

FISICA Y MECANICA: Área de una región en el plano; área de una región comprendida
entre dos curvas; volúmenes de solidos; cálculo del trabajo y esfuerzo

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