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Integrales Integrales Document Transcript

  • Informática Básica 2011-20122. IntegralesCompetenciasEl estudiante: - Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. - Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. - Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. - Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. - Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. - Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. - Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. - Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.Introducción a la unidadDos caminos que han ido separados a lo largo de la historia de las matemáticas, tras másde 20 siglos, se unen, en lo que englobaremos como cálculo integral, gracias a los trabajosde Barrow, Newton y Leibniz (creadores del cálculo infinitesimal).Uno de los caminos, la búsqueda de fórmulas que permitieran calcular la superficie derecintos planos, se remonta a los matemáticos griegos.El otro camino nace para dar continuidad al concepto de derivada, buscando unaoperación recíproca 38 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Sinopsis Integración Teoría Historia Notación Definiciones Propiedades Teoremas2.1. IntegraciónLa integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmenteen los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una sumade infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticasen el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en lamatemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes deregiones y sólidos de revolución.Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, IsaacNewton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes deNewton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que laderivación y la integración son procesos inversos. 39 ITCA
  • Informática Básica 2011-20122.2. Objetivos  Área de una región plana  Integrales indefinidas  Integrales definidas  Integrales impropias  Integrales múltiples (dobles o triples)  Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales  Métodos de integración  Teorema fundamental del cálculo  Volumen de un sólido de revolución2.3. TeoríaDada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integraligual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneasverticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una funciónF, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida,mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunosautores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del sigloXVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de formaindependiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de unafunción se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales ylas derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicacionesen ciencia e ingeniería.Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite queaproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales.A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral,donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales sehace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables,y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos 40 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo deuna superficie en el espacio tridimensional.Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en lageometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero apartir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación demuchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptosmodernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida comointegral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.2.4. Terminología y notaciónSi una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual secalcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a laregión sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración,se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, elintegrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integraciónpuede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacioabstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre elintervalo [a, b], se escribeEl signo ∫, una "S" alargada, representa la integració n; a y b son el lı́mite inferior y el lı́mite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que setiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentesinterpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede versesimplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como unarepresentación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración deLebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como unacantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicadospueden variar la notación ligeramente.2.5. La IntegralUna forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de lasiguiente forma: 41 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Encontrar la función f(x) de la cual derivada es conocida.Dada la diferencial de la función df(x) encontrar la función f(x)La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y alprocedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igualque el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara laoperación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgoshistóricos hasta llegar a símboloConcretamente diremos queaunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar elanálisis de este concepto.EJEMPLOAsí por ejemplo podemos tener f1(x)= 3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo quepero podemos observar que si la función es f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces f2´(x)dx=3dxpor lo quepodemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante ytener el mismo diferencial por lo que una expresión más general a considerar es lasiguiente: 42 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresiónanterior se le conoce como integral indefinida. Retomemos el ejemplo:que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integraciónobtenemos la función a integrar. De forma más general tendremos:Como podemos observar el operador de derivada en una operador inverso al deintegración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si eloperador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta,y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.La integración es la fusión de las diferenciales debajo de una curva definida por unafunción matemática.La integración se relaciona con dos problemas clásicos del Análisis Matemático,aparentemente no relacionados: El cálculo de áreas y volúmenes, y la acción que una función de una o varias variables le aplica a las regiones antes mencionadas. 43 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012 La obtención de la primitiva de una función, esto es, aquella cuya derivada es la función dada, realizando la "operación inversa" a la derivaciónFue gracias a Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes dieron forma alteorema fundamental del cálculo, que establece la íntima relación en la solución de ambosproblemas. Siendo así, llamase integración definida a la obtención del área bajo una curva,e integración indefinida a la operación inversa de la derivación. También se denominaintegración a la resolución de una ecuación diferencial, una ecuación en la que laincógnita es una o varias funciones y sus derivadas.Utilización de la integralEJERCICIOSa) f(x)=x8 b) f(x)=3x como la integral cumple con la propiedad entonces ahora aplicando la fórmula tendremos:c) f(x)=x2 +2x+1 44 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012para obtener la integración de este polinomio de segundo orden recordemos quepodemos considerar que el polinomio x2 +2x+1 se puede expresar como una suma de trespolinomios donde f(x)=x2 ; g(x)=2x; h(x)=1es decir, de acuerdo al álgebra de funciones s(x)= f(x)+g(x)+h(x)por lo quedonde c= c1+ c2+ c3 esto último pensando a la constante c como una constante general queengloba a las otras tres, este será un criterio ampliamente utilizado a lo largo de estecurso, en lugar de poner para cada integral una constante como en este caso, solo sepondrá una solo constante de integración. 45 ITCA
  • Informática Básica 2011-20122.6. Integral Definida[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se notaporLa expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límiteinferior, y b, el límite superior.2.6.1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] porSi f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, yUna tal función f (x) se llama primitiva de f (x).[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a,b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] yF = f..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función2.6.2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F para alguna función F, entonces (30)[Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema decalcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, yconstituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos seresuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integraldefinida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores decualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia(30) se acostumbra a escribir así: 46 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejemplo:La igualdadmuestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula deNewton y Leibnitz,2.6.3. Propiedades de la integral definida[Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]: 1. 2. 3. , siendo c una constante 4. 5. , cuando a < c < b 6. Primer teorema del valor medio: , para al menos un valor x = x0 entre a y b. 47 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012 7. Si , se verifica .Ejemplos[1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos2.6.4. Dos propiedades fundamentales de la integral definidaLas dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en elcálculo de integrales definidas:1. Si K es un número real cualquiera, 48 ITCA
  • Informática Básica 2011-20122.7. Integrales trigonométricas.En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma las cualesse convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica ,que es un integral de una función racional.Ejemplo. Calcular la integral .Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambiosmás sencillos. Ellas son las siguientes:1. , donde , cambio2. , donde , cambio3. , donde , cambio 49 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejemplos.a) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 1. Luego,que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustituciónb) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 2. Luego,c) Calcular la integral . Esta integral es del tipo 3. Luego,2.8. Integrales por sustituciónSe trata de encontrar una función x=g(t), la cual sustituida por x bajo el signo integral,convierta la integral dada en otra más sencilla (en la nueva variable t). La sustitución debecumplir:1. Ser derivable con derivada no nula, es decir:2. Admitir función inversa:Entonces se tiene que: 50 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Los tipos más usuales de sustitución y que conducen a los mejores resultados son:En funciones exponenciales, logarítmicas e inversas de trigonométricas: Tipo de integral Sustitución Cálculo de elementos En funciones trigonométricas:Para integrales del tipo Sustitución Cálculo de los elementos Si R(sen x, cos x) es impar en sen x Hacemos cos x=t Si R(sen x, cos x) es impar en cos x Hacemos sen x=t 51 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012 Si R(sen x, cos x) es par en sen x y cos x hacemos tg x=t Si R(sen x, cos x) no cumple ninguna de las características anteriores hacemos En funciones irracionales:Tipo de integral Sustitución Cálculo de los elementos con a>0 52 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012 con c>0 con r y sraíces del radicando (bionomía) si p es entero siendo s el denominador de la fracción p y si (m+1)/n es entero siendo s el denominador de p y si (m+1)/n+p es entero2.9. Ejercicios: Integración por Sustitución TrigonométricaLa integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienenla forma , y 53 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras eidentidades trigonométricas.En el caso general la integral a resolver es:Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos a factorcomún, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:1. a > 0 Λ es decir:2. a > 0 Λ es decir:3. a < 0 Λ es decir:Estos los cambios que hay que realizar según la situación:1.2.3.La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve yse deshace el cambioa)x = b.sen t t = arcsen (x/b)dx = b.cos t .dt 54 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012 cos t a.dx b.cos t .dt cos t .dt a.b cos t .dt .dtF(x) = a. = = a. = ∫=∫ ∫ a.b.∫ ∫ √ b ² - x √ b ² - (b.sen t) √b ² - b ².sen t √ 1 - sen t √ cos t b ² ² ² ² ² cos t .dt= a. ∫ = a. ∫ dt = a.t = a.arcsen (x/b) cos tb)x = √b. t t = x/√bdx = √b.dt a.√b.arctg a.√b.arctg a.dx √b.dt dt a.√b dt t (x/√b)F(x) = = a. = = ∫ = =∫ ∫ a.√b.∫ b + x b + (√b.t) b+ b.t 1+t b b b ² ² ² ²2.10. Ejercicios: Integración Por PartesEsta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que sepuede determinar más fácilmente.Consideremos dos funciones f y g derivables en xLuego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:integrando a ambos lados:de donde esta es la fórmula de integración por partes.Utilizando los diferenciales de las funciones, si entonces , y sientonces . 55 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Sustituyendo en la igualdad anterior:Haciendo una elección apropiada de u y dv, la fórmula anterior expresa la integral entérminos de otra integral , que puede resultar más fácil de integrar.Si fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha noha sido la más adecuada.Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo: así como en las que contienen en suintegrando funciones trigonométricas inversas.Con los ejemplos siguientes el estudiantes podrá darse una idea de la selección adecuadade las variables u y dv.1. si entonces si dv = dx entonces v= para xNote que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarsecuando se lleva a cabo la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv.En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como semuestra en el siguiente ejemplo:2. si entonces si entoncesLuego: 56 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012ahora yPor tanto:3.4. si entoncessi entonces v = xLuego:5. si entoncessi entoncesLuego: 57 ITCA
  • Informática Básica 2011-20122.11. Fórmulas de IntegralesSean a, k, y C constantes (números reales) y consideremos a u como función y a u como laderivada de u. 58 ITCA
  • Informática Básica 2011-20122.12. Ejercicios de IntegralesEjercicio 1Ejercicio 2 59 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 3Ejercicio 4 60 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 5 61 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 6 62 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 7Ejercicio 8 63 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 8Ejercicio 9 64 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 10Ejercicio 11 65 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012Ejercicio 122.13. Tareasa) Resolver las siguientes integrales 66 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012b) Resolver las siguientes integralesc) Resolver las siguientes integrales exponenciales 67 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012d) Resolver las siguientes integralese) Resolver las siguientes integrales2.14. Lecturas ComplementariasAPLICACION DE LA INTEGRAL DEFINIDACuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental delas matemáticas avanzadas, especialmente del área del cálculo y del análisis matemático(cualquiera que esta sea, ya que el área matemática abarca todos los campos delconocimiento).Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchassituaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca (o el del Acuario deVeracruz, que tiene un túnel redondo), el cual si es rectangular no hay más problema que 68 ITCA
  • Informática Básica 2011-2012el de calcular su área a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinarfácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie(para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero si es ovalada con un fondoredondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajocurvas.Otras aplicaciones prácticas se encuentran en áreas como:ECONOMIA: Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso en unapoblación; maximización de la utilidad con respecto al tiempo; superávit del consumidory del productor;PEDAGOGIA: Curvas de aprendizajeFINANZAS: Valor presente de un ingreso continuoFISICA Y MECANICA: Área de una región en el plano; área de una región comprendidaentre dos curvas; volúmenes de solidos; cálculo del trabajo y esfuerzo 69 ITCA