• Like
Anàlisi 1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
1,140
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4

Actions

Shares
Downloads
33
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Anàlisi (I) Repàs de funcions Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner 1 Definicions prèvies 1.1 Funcions. Imatges i antiimatges S'anomena funció real de variable real (o simplement funció) una correspondència que a cada nombre real x li assigna com a màxim un altre nombre real y . Es representa de qualsevol de les formes següents: f: f :x→ y ; y = f (x) ; x f ( x) El nombre y s'anomena imatge de x .El nombre x es diu antiimatge de y i es representa: −1 f ( y ) . Un nombre x no pot tenir més d'una imatge, però un nombre y sí que pot tenir més d'una antiimatge. La lletra x s'anomena variable independent i la lletra y , variable dependent. 3x Exemple: La funció que a cada nombre real li assigna la meitat del seu triple és: f ( x) = . La 2 3 ·12 −1 imatge de x = 12 és f (12) = = 18 . L'antiimatge de y = 15 és f (15) = 10 (perquè 2 f (10) = 15 ) Per a calcular les antiimatges de b cal resoldre l’equació f ( x) = b 1.2 Domini i recorregut S'anomena domini (o camp d’existència) de la funció f el conjunt de nombres que tenen imatge, és a dir el conjunt d'antiimatges. Es representa: Dom f (o també: D f ) Dom f = { x ∈ f ( x) ∈ } S'anomena recorregut ( o conjunt imatge) de la funció f el conjunt de nombres que tenen alguna antiimatge, és a dir el conjunt d'imatges. Es representa: Rec f (o també: Im f ) Observació: El domini forma part de la definició d'una funció. Si no s'especifica s'entendrà que és el conjunt màxim de nombres que admeten imatge. A vegades ve determinat pel significat de la variable x ; per exemple, si f ( x) = x 2 representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat x , el domini de f és ( 0, + ∞ ) Exemples: 3x − 1 1) Si f ( x) = x − 4x + 3 2 el domini de f ( x) és: Dom f = x ∈ { x2 − 4 x + 3 ≠ 0 = } − {1,3} 2) Si f ( x) = 3 x − 12 el domini de f(x) és: Dom f = { x ∈ 3 x − 12 ≥ 0 } = [4, + ∞) 1.3 Gràfica S'anomena gràfica (o gràfic) de la funció f respecte d'un sistema d'eixos de coordenades perpendiculars el conjunt de punts ( x , y ) del pla tals que y = f ( x) . Es representa: Graf ( f ) .
  • 2. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 2 Graf ( f ) = { ( x, y ) ∈ 2 y = f ( x) } Noteu que el domini de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'abscisses, i el recorregut de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'ordenades. f(x) (x , f(x)) Rec f x Dom f 1.4 Diferents tipus de funcions Funció injectiva: Una funció f és injectiva si no hi ha dos nombres diferents x1 i x 2 de Dom f que tinguin la mateixa imatge; és a dir si f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 Qualsevol recta paral·lela a l'eix d'abscisses tallarà la gràfica en un punt com a màxim. Exemples: 1) La funció f ( x) = x 2 no és injectiva, ja que f (−5) = f (5) = 25 . 2) La funció f ( x) = x 3 sí que és injectiva, ja que si f ( x1 ) = f ( x2 ) , és a dir x1 = x2 3 3 necessàriament serà : x1 = x2 Observació: Per a veure si una funció f és o no injectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k . Si per a alguns valors de k admet més d'una solució, la funció no és injectiva. Funció exhaustiva o sobrejectiva: Una funció f és exhaustiva o sobrejectiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals . Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica. en un punt com a mínim. Exemple: f ( x) = x 3 − x és sobrejectiva però no és injectiva, ja que f (0) = f (1) . Observació: Per a veure si una funció f és o no sobrejectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k i comprovar que té solucions per a qualsevol valor de k . Funció bijectiva: Una funció f és bijectiva si és a la vegada injectiva i sobrejectiva. Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica en un sol punt. Exemple: f ( x) = x 5
  • 3. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 3 1.5 Simetries Una funció f és parella si compleix: f (− x) = f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La seva gràfica és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (simetria axial). Exemple: f ( x) = x 4 Una funció f és imparella si compleix: f (− x) = − f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades (simetria central) Exemple: f ( x) = x 3 funció funció parella imparella f(x) = f(– x) f(x) –x x f(– x) = –f(– x) –x x 1.6 Periodicitat Sigui T un nombre real positiu. Una funció f és periòdica de Funció periòdica període T si compleix: f ( x) = f ( x + T ) = f ( x + 2T ) = ... (dins del domini de f ). És a x x+T x + 2T x + 3T dir, els valors de f es repeteixen si x varia “de T en T ”. 2 Funcions elementals 2.1 Funcions polinòmiques: f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 El seu domini és . Si el grau és imparell, el recorregut és ; si el grau és parell, el recoregut és un interval infinit. 2.1.1 Funcions lineals i afins: f ( x) = mx + n ♦ Si n = 0 es diu lineal ; si n ≠ 0 es diu afí. ♦ Tenen per gràfica una recta. El coeficient m s'anomena pendent de la recta i és igual a la tangent de l'angle α que la recta forma amb l’eix d'abscisses (mesurat en sentit positiu des de l’eix d’abscisses). Si m = 0 la recta és paral·lela a l'eix d'abscisses ("horitzontal") i la funció es diu funció constant.
  • 4. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 4 f ( x ) = mx + n f ( x ) = mx + n (0 , n ) ( m > 0) ( m < 0) α (0 , n ) α 2.1.2 Funcions quadràtiques: f ( x) = ax 2 + bx + c Tenen per gràfica una paràbola. ♦ Si a > 0 és còncava, amb un mínim en el vèrtex. Si a < 0 és convexa, amb un màxim en ⎛ b 4ac − b 2 ⎞ el vèrtex. Les coordenades del vèrtex són: V = ⎜ − , ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠ ♦ La gràfica talla l’eix d’ordenades en el punt (0, c) i l’eix d’abscisses en el punts: ( x1 , 0) i ( x2 , 0) , on x1 i x2 són les solucions de l’equació: ax 2 + bx + c = 0 (si en té). ♦ Si el vèrtex és V = ( p , q) , el recorregut és [ q , + ∞ ) , si a > 0 o ( −∞ , q ] , si a < 0 . a>0 a<0 V q x2 x1 p c c p x1 x2 q V 2.1.3 Funcions potencials: f ( x) = x n , amb n ∈ Si l'exponent n és imparell, el recorregut és: Rec f = , i si és parell Rec f = [ 0, + ∞) ♦ Totes les seves gràfiques passen pel punt (1, 1) .
  • 5. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 5 n parell n imparell 1 1 1 1 f ( x) = xn f ( x) = x n P( x) 2.2 Funcions racionals: f ( x) = , on P( x) i Q( x) són polinomis Q( x) El seu domini és el conjunt de nombres reals que no anul·len el denominador: Dom f = { x ∈ Q( x) ≠ 0} k L’exemple més senzill és la funció de proporcionalitat inversa: f ( x) = , k∈ x ♦ El seu domini i el seu recorregut coincideixen k f ( x) = ( k > 0) i són iguals a - {0} . És injectiva. x ♦ La gràfica és una hipèrbola equilàtera amb vèrtexs als punts V1 = ( ) k, k , ( V2 = − k , − k si k > 0 ) k o ( ) V1 = − −k , − k , V2 = ( −k , − −k ) k si k < 0 . 2.3 Funcions irracionals: f ( x) = n P ( x) , on P( x) és un polinomi Si n és imparell el seu domini és . Si n és parell el domini és: Dom f = x ∈ { P( x) ≥ 0} Les més senzilles són les funcions radicals: f ( x) = n x Si l'índex n és parell : Dom f = Rec f = [ 0, + ∞ ) Si n és imparell : Dom f = Rec f =
  • 6. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 6 n parell n imparell f ( x) = n x f ( x) = n x ⎧ x si x ≥ 0 2.4 Funció valor absolut: x =⎨ ⎩ − x si x < 0 ♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ 0, + ∞ ) ♦ També es pot definir com x = x2 2.5 Funció part entera: f ( x) = E ( x) ♦ Es defineix la part entera de x com el nombre enter més gran entre tots els que són mès petits o iguals que x (el que està més a prop de x per l’esquerra). Per exemple: E (4) = 4, E (6,98) = 6, E (−5,1) = −6 ♦ El seu domini és i el seu recorregut és el conjunt dels nombres enters. f ( x) = x f ( x) = E( x)
  • 7. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 7 2.6 Funció exponencial: f ( x) = a x , amb a > 0 i a ≠ 1 ♦ La gràfica és una corba còncava que passa pel punt (0, 1) ♦ La funció és creixent si a > 1 i decreixent si a < 1 . ♦ El domini és i el recorregut és l'interval (0, + ∞) . És injectiva però no sobrejectiva. ♦ La funció exponencial més important és la que té com a base el nombre irracional e = 2, 718281828... ... f ( x) = e x f ( x) = a x f ( x) = a x a>1 0<a<1 (0 , 1) (0 , 1) 2.7 Funció logarítmica: y = log a x , amb a > 0 i a ≠ 1 2.7.1 Si a > 0 i a ≠ 1 es defineix el logaritme en base a del nombre positiu x com l'exponent a què cal elevar a perquè doni x . És a dir: y = log a x ⇔ a = x y El logaritme només està definit per a nombres positius ; el nombre 0 i els negatius no tenen logaritme. 2.7.2 Propietats dels logaritmes Si x > 0 i y > 0 es compleix: 1) log a ( x · y ) = log a x + log a y p log a x 4) log a x= p ⎛x⎞ 5) log a 1 = 0 2) log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ 6) log a a = 1 3) log a x = p · log a x p 7) log a a p = p ♦ S'anomena funció logarítmica de base a la que a cada nombre positiu x li assigna el seu logaritme en base a : f ( x) = log a x ♦ El seu domini és: Dom f = (0, + ∞) i el seu recorregut és . La gràfica passa pel punt (1, 0) . És bijectiva. ♦ Si a > 1 és convexa i creixent. Si 0 < a < 1 és còncava i decreixent.
  • 8. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________8 ♦ La funció logarítmica més important és la que té com a base el nombre irracional e = 2, 718281828... anomenada logaritme neperià (o natural), que es representa: f ( x) = ln x (o f ( x) = L x ) y = log a x y = log a x a >1 1 1 0<a <1 2.8 Funcions trigonomètriques 2.8.1 Funció sinus: f ( x) = sin ( x) f ( x ) = cos x f ( x ) = sin x ♦ És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el sinus d'un angle 1 de x radiants. ♦ El seu domini és i el seu recorregut −π π és l'interval [ −1, 1] ♦ És periòdica, de període 2 π 2.8.2 Funció cosinus: f ( x) = cos ( x) És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre el cosinus d'un angle de x radiants. Té els mateixos domini, recorregut i període f ( x ) = tg x que la funció sinus. Les gràfiques d’aquestes dues funcions s’anomenen sinusoide i cosinusoide . π /2 2.8.3 Funció tangent: f ( x) = tg x −π / 2 És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre la tangent d'un angle de x radiants. El seu recorregut és i el seu domini és: ⎧ π ⎫ Dom f = ⎨ x ∈ x≠ + k ·π , k ∈ ⎬ ⎩ 2 ⎭ És sobrejectiva, però no injectiva.
  • 9. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________9 La gràfica talla l’eix d’abscisses en els punts de la forma: ( k π , 0) amb k ∈ És periòdica, de període π Observació important: La variable x de les funcions trigonomètriques es mesura en radiants. 2.9 Funcions definides per intervals (o “a trossos”) Exemples: ⎧x ⎪ 2 + 1 si x ≤ −1 ⎪ 1) f ( x) = ⎨ x 2 si − 1 < x < 1 ⎪− x + 2 si x ≥ 1 –1 1 ⎪ ⎩ ⎧ 1 ⎪ x si x < 0 ⎪ 2) f ( x) = ⎨− x 2 + 2 si 0 ≤ x < 2 ⎪ 0 ⎪ x − 1 si x ≥ 2 1 ⎩ 3 Transformacions de la gràfica d’una funció y = f ( x) + k y = f ( x) + k y = f ( x) (k > 0) (k < 0) Funció original Translacions verticals y = − f ( x) y = f ( x + k) y = f ( x + k) (k < 0) (k > 0) Reflexió entorn Translacions horitzontals de l’eix d’abscisses
  • 10. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________10 y = f ( x) y = f (− x) y= f ( x ) Positivació Simetrització entorn Reflexió entorn de de l’eix d’ordenades l’eix d’ordenades y = k · f ( x) y = k · f ( x) y = f (k x) (k > 1) (0 < k < 1) (0 < k < 1) Dilatació vertical Dilatació horitzontal Contracció vertical Contracció horitzontal Inversió y = f (k x ) 1 y= k >1 f ( x) 4 Operacions amb funcions 4.1 Operacions algebraiques Suma i diferència: ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) Dom ( f ± g ) = Dom f ∩ Dom g Producte: ( f · g )( x) = f ( x) · g ( x) Dom ( f · g ) = Dom f ∩ Dom g ⎛ f ⎞ f ( x) Quocient: ⎜ ⎟ ( x) = per a tots els valors de x tals que g ( x) ≠ 0 ⎝g⎠ g ( x) ⎛ f ⎞ Dom ⎜ ⎟ = Dom f ∩ Dom g − { x ∈ g(x) = 0} ⎝g⎠
  • 11. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________11 4.2 Composició de funcions Siguin f i g dues funcions. S'anomena funció composta de f amb g la funció: ( g f )( x) = g ( f ( x)) (es llegeix “ f composta amb g ”) Dom ( g f ) = {x ∈ Dom f f ( x) ∈ Dom g } f g Dom g Dom f x f(x) g(f(x)) g f 3x + 1 2x − 6 Exemple: Si f ( x) = i g ( x) = tindrem: 2 5 ⎛ 3x + 1 ⎞ 2 f ( x) − 6 2⎜ ⎟ − 6 6 x − 10 3x − 5 ⎝ 2 ⎠ ( g f ) ( x) = g ( f ( x)) = = = = 5 5 10 5 Observació: La composició de funcions no és pas commutativa; en general: g f ≠ f g 5 Funcions recíproques 5.1 Funció recíproca o inversa Sigui f una funció injectiva. S'anomena funció recíproca (o inversa) de la funció f f (x) la funció representada: f −1 que compleix: f ( f −1 ( x)) = x i f −1 ( f ( x)) = x . b f −1 (x) Si b = f (a) , llavors a = f −1 (b) . Exemple: Si f ( x) = 3 x + 5 llavors: a −1 −1 f(f ( x)) = x ⇔ 3 f ( x) + 5 = x ⇔ x−5 f −1 ( x) = a b 3
  • 12. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________12 Propietat important: Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants Propietat: Dom f = Rec f −1 Rec f = Dom f −1 Les parelles següents de funcions són recíproques l'una de l'altra: x a) f ( x) = kx f −1 ( x) = ( si k ≠ 0) k b) f ( x) = x n f −1 ( x) = n x (n ∈ i imparell) −1 c) f ( x) = a x f ( x) = log a x k k d) f ( x) = f −1 ( x) = x x 5.2 Recíproques de les funcions trigonomètriques 5.2.1 Funció arc sinus: f ( x) = arcsin x És la funció que a cada nombre x de l'interval [− 1, 1] li assigna un nombre y de l'interval ⎡ π π⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ tal que sin y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu recorregut és ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ l'interval ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ ⎛1⎞ π π ⎛ 3⎞ π Exemples: arcsin ⎜ ⎟ = ; arcsin (1) = ; arcsin ⎜ − ⎟ ⎜ 2 ⎟ = − 3 ; arcsin (1,25) no ⎝2⎠ 6 2 ⎝ ⎠ existeix. ⎡ π π⎤ Propietats: a) sin(arcsin x) = x b) arcsin ( sin x) = x si x ∈ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 5.2.2 Funció arc cosinus: f ( x) = arccos x És la funció que a cada nombre real x de l'interval [− 1, 1] li fa corespondre un nombre real y de l'interval [0, π ] tal que cos y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu recorregut, l'interval [0, π ] . ⎛ 2⎞ π ⎛ 1 ⎞ 2π Exemples: arccos (−1) = π ; arccos ⎜ ⎜ 2 ⎟= 4 ⎟ arccos ⎜ − ⎟ = ; arccos (−2) no ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 3 existeix. Propietats: a) cos (arccos x) = x b) arccos (cos x) = x si x ∈ [0, π ]
  • 13. Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________13 π/2 π f(x) = arcsin x f(x) = arccos x –1 π/2 0 1 –1 0 1 –π/2 5.2.3 Funció arc tangent: f ( x) = arctg x És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre un nombre real y de l'interval ⎛ π π⎞ ⎜ − , ⎟ tal que tg y = x . ⎝ 2 2⎠ ⎛ π π⎞ El seu domini és i el seu recorregut, l'interval ⎜ − , ⎟. ⎝ 2 2⎠ π Exemples: arctg (1) = ; 4 = = arctg f (fx()x ) arctg x x π f(x) = arctg x π/2 arctg (− 3) = − ; arctg (0) = 0 3 Propietats: a) tg (arctg x) = x ⎛ π π⎞ b) arctg (tg x) = x si x ∈ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠ –π/2