1    O Conjunto dos N´ meros Reais                     uO primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ ...
n2 = 2k 2 o que implicaria que n tamb´m seria par. Note que isto ´ um absurdo.                                     e      ...
a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o n´mero real associado                                                   ...
4) Existˆncia de Oposto para Adi¸˜o:           e                       ca                    ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x +...
Defini¸˜o:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´ limitado se existe          ca                                       eK...
Neste caso ter´                 ıamos                            |c − d| < bn − an , ∀n.   Como a distˆncia bn − an aproxi...
Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima s˜o suficientes para                                                     ...
Nota¸˜o: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a         casequˆncia pela lei de defini¸˜o e considerar...
Defini¸˜o:         ca                              a        e         ´  1) Se a1 < a2 < a3 < ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTO...
e provamos que 2 < e < 3.   1)   Inicialmente mostremos que a sequˆncia ´ crescente.                                    e ...
2)                 1 n    Como    1+   n     ´ convergente escrevemos                       e                             ...
Intuitivamente a defini¸˜o acima est´ nos dizendo que a medida que x                         ca             aaproxima-se de...
Reciprocamente, suponhamos que              ∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L.   Provemos que lim f (x)...
Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto                              ca                      ...
2.4    C´lculo de Limites        aNesta se¸˜o demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitar˜o         ca ...
1   c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ].   Provemos que, dada uma fun¸˜o h defini...
Por outro lado                  ∃δ2       > 0 tal que                                                                     ...
2.5    Limites LateraisNesta se¸˜o iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu-        camindo somente ...
Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de um                                      ca                ...
ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de   Exerc´                               ca                   ...
Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de +∞, e                              ca                        ...
Por outro lado                     ∃x2     > 0 tal que                                                                 2  ...
d) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de                             ca                       ...
1   De fato, dado M > 0 existe δ =      M   tal que                                       1    1                          ...
Observa¸˜o: Indetermina¸˜o significa que nada se pode afirmar sobre o            ca               calimite em quest˜o. Depen...
Temos                                 lim f (x)   =    1                                 x→1                              ...
Defini¸˜o:           ca    a) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´                ca          e          ınua em p ∈ I se para...
a) De fato, se f ´ polinomial ent˜o existe um polinˆmio                    e               a                 o            ...
Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´                                  ca      ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0ent˜o existe...
Demonstra¸˜o : Dividiremos a prova em dois casos.                  ca    1o Caso:    Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) ...
Temos        lim p(x) =        lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) =      x→±∞               x→±∞                  ...
Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´ cont´     e     ınua existem x1 e x2em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2...
Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o para todo ε > 0, existe um natural                                       an tal que...
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  1. 1. 1 O Conjunto dos N´ meros Reais uO primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ meros e e uNaturais. Este conjunto est´ relacionado com a opera¸˜o de contagem: a ca N = {0, 1, 2, 3, ...}. Admitiremos conhecidas as opera¸˜es usuais adi¸˜o e multiplica¸˜o em N co ca cabem como os conceitos de n´meros pares, ´ u ımpares e primos. O processo de medi¸˜o de grandezas f´ ca ısicas nos conduzir´ ao conjunto de an´meros reais. u Problema: Medir um segmento AB. Fixamos um segmento padr˜o u e vamos chamar sua medida de 1. a Dado um segmento AB , se u couber um n´mero exato de vezes em AB, udigamos n vezes, ent˜o dizemos que a medida de AB ser´ n. a a Claramente isto nem sempre ocorre. Defini¸˜o: Dizemos que um segmento AB e o segmento padr˜o u s˜o ca a a ´COMENSURAVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u em vezes em AB. Voltando ao nosso problema de medi¸˜o, se o segmento AB e o segmento capadr˜o u forem comensur´veis , conforme a defini¸˜o acima, diremos que a a a ca a n a a 1medida de AB ser´ m . A medida do segmento w ser´ ent˜o n . Isto nos motiva definirmos um conjunto num´rico que inclua todas estas eposs´ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´ meros uRacionais Positivos: Q+ = { m |m, n ∈ N, n = 0}. n Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2 e 1 . De 4 2fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unit´rio ent˜o a aa metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unit´rio. aVamos ent˜o dizer que 1 = 2 . De um modo geral dizemos que m1 = m2 se a 2 4 n 1 n 2m1 n2 = n1 m2 . Continuando com o problema da medi¸˜o nos deparamos com um grande caproblema. Nem sempre dois segmentos s˜o comensur´veis. De fato, considere- a amos por exemplo a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de catetos iguais a 1. a aSuponhamos que esta hipotenusa seja comensur´vel com o segmento unit´rio a apadr˜o u. a Ent˜o existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria aigual a m . Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto ´ , ´ imposs´ n e e ıvelsimplificarmos mais esta express˜o. De acordo com o teorema de Pit´goras a ater´ ıamos que m2 12 + 12 = 2 . n 2 2 2Assim 2n = m e portanto m seria um n´mero par e portanto m tamb´m o u eseria. Logo existiria algum k ∈ N tal que m = 2k. Assim 4k 2 = 2n2 e portanto 1
  2. 2. n2 = 2k 2 o que implicaria que n tamb´m seria par. Note que isto ´ um absurdo. e eEste absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosseum n´mero racional. u No entanto esta hipotenusa existe e ´ muito bem determinada em cima da ereta. Ampliamos o conceito de n´mero de tal forma que todos os segmentos upossuam uma medida associada. Introduzimos os chamados N´ meros Ir-uracionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padr˜o, aqualquer segmento de reta tem uma medida num´rica. e1.1 A Reta RealFixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outroponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento.Facilmente marcamos sobre a reta os n´meros naturais. u Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem,com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos`s suas extremidades esquerdas n´meros com um sinal −. Formamos ent˜o oa u achamado Conjunto dos N´ meros Inteiros: u Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem,comensur´veis com o segmento o segmento padr˜o 0A. Os que ficarem ` direita a a aser˜o associados aos racionais positivos e os que ficarem ` esquerda ganhar˜o a a aum sinal −. Definimos ent˜o o Conjunto dos N´ meros Racionais: a u m Q == { |m ∈ Z, n ∈ N, n = 0}. n Como vimos acima esta constru¸˜o n˜o ocupa todo o espa¸o existente na ca a creta. Se pararmos por aqui nossa reta ficar´ com v´rios ”buracos”. A cada a aum destes buracos associamos um n´mero, que chamaremos de irracional . uFinalmente definimos o Conjunto dos N´ meros Reais: u R = {x|x ∈ Q ou x eirracional}. ´ Existe uma correspondˆncia biun´ e ıvoca entre os n´meros reais e os pontos da ureta. Mais precisamente, a cada n´mero real est´ associado um e somente um u aponto da reta e a cada ponto da reta est´ associado um e somente um n´mero a ureal. No que segue, n˜o distinguiremos pontos da reta e n´meros reais. a u ´ E claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Dizemos que x ∈ R ´ positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado edireito da reta; dizemos que x ´ negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no elado esquerdo da reta. As nota¸˜es ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou coigual e menor ou igual. Vamos introduzir as opera¸˜es adi¸˜o e multiplica¸˜o em R. co ca ca Defini¸˜o: ca 2
  3. 3. a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o n´mero real associado ua ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial emx1 , e com medida igual a medida do segmento associado a x2 . b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com ex-tremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida iguala do segmento associado a x2 . O n´mero real associado a ”ponta final” deste usegmento ser´ chamado de x1 + x2 . a Defini¸˜o: ca a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Tra¸amos cuma reta l formando um ˆngulo inferior a 90o com a reta real e passando apela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o n´mero y. Na reta l umarcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s.Da geometria sabemos que existe uma unica reta t paralela a s e que passa y. ´Finalmente marcamos em l o ponto P , itersec¸˜o desta com t. Com a ponta caseca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o pontoQ. O n´mero real associado a este ponto ser´ chamado de xy. u a b) Nos demais casos ´ s´ mudar o sinal xy convenientemente: e o x y xy + − + − + − − − + Observa¸˜o: Se fixarmos nossa aten¸˜o para os n´meros racionais veremos ca ca uque as defini¸˜es acima coincidem com as tradicionais: co a c ad + bc + = b d bd a c ac . = . b d bd O conjunto R munido das opera¸˜es definidas acima forma o que chamamos code CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades: 1) Associatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o: ca ca (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R 2) Comutatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o: ca ca x+y = y + x, ∀x, y ∈ R xy = yx, ∀x, y ∈ R 3) Existˆncia de Elemento Neutro para a Adi¸˜o e para a Multiplica¸˜o: e ca ca x + 0 = x, ∀x ∈ R x.1 = x, ∀x ∈ R 3
  4. 4. 4) Existˆncia de Oposto para Adi¸˜o: e ca ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0. 5) Existˆncia de Inverso para a Multiplica¸˜o: e ca ∀x ∈ R{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1. 6) Distributividade da Multiplica¸˜o em Rela¸˜o ` Adi¸˜o: ca ca a ca x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R. Defini¸˜o: Dizemos que x < y se y − x > 0. ca Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos: R+ = {x ∈ R|x > 0}. Observe que as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a a) A soma e o produto de elementos positivos s˜o positivos. Ou seja a x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x.y ∈ R+ . b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ . As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO OR-DENADO. Como em qualquer outro corpo ordenado, rela¸˜o de ordem ” < ” goza das caseguintes propriedades: 1) Transitiva: (x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z. 2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R : x < y ou y < x ou x = y. 3) Compatibilidade da Ordem com a Adi¸˜o: ca (x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z. 4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplica¸˜o: ca (x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz. Observa¸˜o: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo caordenado tamb´m s˜o satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade e aque ´ satisfeita por R mas n˜o por Q. e a 4
  5. 5. Defini¸˜o:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´ limitado se existe ca eK > 0 tal que x ∈ A ⇒ −K < x < K. Defini¸˜o:Dizemos que s ∈ R ´ o supremo de A se s for a menor das cotas ca esuperiores de A : x ≤ s, ∀x ∈ A; x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c. Defini¸˜o:Dizemos que i ∈ R ´ o ´ ca e ınfimo de A se i for a maior das cotasinferiores de A : x ≥ i, ∀x ∈ A; x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c. O conjunto R satisfaz a propriedade: Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e n˜o vazio de n´meros a ureais possui um supremo e um ´ ınfimo real. Observemos que esta propriedade n˜o ´ satisfeita por Q. Considere o con- a ejunto A = {x ∈ Q|0 < √2 < 2}. x O supremo de A ´ 2 que como vimos antes n˜o ´ um n´mero racional. e a e u A propriedade acima nos diz que o conjunto dos n´meros reais ´ um CORPO u eORDENADO COMPLETO. Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0 , b0 ] , [a1 , b1 ] , ..., [an , bn ] , ...uma sequˆncia de intervalos satisfazendo: e a) [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ... b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que bn − an < r. Ent˜o, existe um unico real c tal que para todo natural n a ´ an ≤ c ≤ bn . Demonstra¸˜o: Temos que A = {a0 , a1 , ...} ´ n˜o vazio e limitado superi- ca e aormente. Seja ent˜o a c = sup A. ´ E claro que an ≤ c ≤ bn . Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo an ≤ d ≤ bn . 5
  6. 6. Neste caso ter´ ıamos |c − d| < bn − an , ∀n. Como a distˆncia bn − an aproxima-se de zero , ter´ a ıamos que c = d. Para completarmos esta se¸˜o vamos provar : ca Teorema a) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero irracional; u u b) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero racional. u u Demonstra¸˜o: Provemos a primeira afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros ca ca ureais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0. Observe que ´ poss´ encontrarmos n´meros naturais n, m tais que e ıvel u n (y − x) > 1 √ m (y − x) > 2(este fato ´ conhecido como Princ´ e ıpio de Arquimedes). Desta forma temos que 1 x < x+ <y n √ 2 x < x+ <y n √e assim se x for irracional, assim ser´ x + n e se x for racional ent˜o x + n2 a 1 aser´ irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre ax e y. Provemos a segunda afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros reais distintos. ca uInicialmente observemos que se x < 0 < y ent˜o nada temos para provar pois 0 a´ racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando oeprinc´ıpio de Arquimedes encontramos um natural n tal que n(y − x) > 1 nx > 1 Seja j tal que j j+1 ≤x< n n Notemos que j+1 j 1 = + < x + (y − x) = y n n n Logo basta tomarmos j+1 . n Se x < y < 0 ent˜o 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um aracional entre −y e −x. O sim´trico deste racional ser´ o racional procurado. e a 6
  7. 7. Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima s˜o suficientes para adeduzirmos uma s´rie de outras, conforme os exerc´ e ıcios abaixo. 1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z x + z = y + z ⇒ x = y. 2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w 0≤x≤y ⇒ xz ≤ yw. 0≤z≤w 3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se: a)x < y ⇔ x + z < y + z. b)z > 0 ⇔ z −1 > 0. c)z > 0 ⇔ −z < 0. d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz. e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz. 0≤x<y f) ⇒ xz < yw 0≤z<w g)0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1 h)x < y ou x = y ou y < x. i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0. 4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que: a)x < y ⇒ x2 < y 2 . b)x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2 c)x < y ⇔ x2 < y 2 .1.2 Sequˆncias de N´ meros Reais e uNesta se¸˜o estudaremos fun¸˜es reais de uma vari´vel real cujo dom´ ca co a ınio ´ um esubconjunto do conjunto dos n´meros naturais. Tais fun¸˜es recebem o nome de u cosequˆncias. N˜o daremos um tratamento anal´ e a ıtico completo ao assunto, apenasiremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades. Defini¸˜o: Uma sequˆncia de n´meros reais ´ uma fun¸˜o ca e u e ca f :A⊂N →R 7
  8. 8. Nota¸˜o: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a casequˆncia pela lei de defini¸˜o e consideraremos o dom´ e ca ınio como o maior sub-conjunto de N onde tem sentido a lei de defini¸˜o. ca Exemplos: 1) (an ) dada por an = n ´ a sequˆncia formada pelos n´meros 1, 1 , 3 , ... 1 e e u 2 1 2) (an ) dada por an = 2 ´ a sequˆncia constante 2, 2, 2, ... e e n 3) (an ) dada por an = (−1) ´ a sequˆncia 1, −1, 1, −1,... e e Defini¸˜o: Diz-se que uma sequˆncia (an ) converge para um n´mero L ou ca e utem limite L se , dado qualquer n´mero ε > 0 , ´ sempre poss´ encontrar um u e ıveln´mero natural N tal que u n > N → |an − L| < ε. Denotamos lim an = L ou an → L. n→+∞ Intuitivamente dizer que (an ) converge para L significa dizer que os termosda sequˆncia aproximam-se de L quando n cresce . e Exemplo: 1 A sequˆncia (an ) dada por an = n converge para 0. e De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro n´mero natural maior que 1 e u εtemos que 1 1 n>N →n> → < ε. ε n Defini¸˜o: Quando uma sequˆncia n˜o converge diz-se que ela diverge ou ca e aque ´ divergente. e Exemplos: n 1) A sequˆncia (an ) dada por an = (−1) ´ divergente. De fato, seus termos e eoscilam entre −1 e 1. 2) A sequˆncia (an ) dada por an = n ´ divergente. De fato, seus termos e ecrescem indefinidamente. Defini¸˜o: Uma sequˆncia (an ) ´ dita limitada se existir um n´mero real ca e e uK > 0 tal que |an | ≤ K, ∀n. Exemplos: 1 1) As sequˆncias dadas por an = n , an = cos n s˜o exemplos de sequˆncias e a elimitadas. 2) A sequˆncia (an ) dada por an = n2 n˜o ´ limitada. e a e Observa¸˜o: Ser limitada n˜o ´ o mesmo que ter limite. Se uma sequˆncia ca a e efor convergente ent˜o ela ser´ limitada mas nem toda sequˆncia limitada ´ con- a a e e nvergente. De fato, considere por exemplo a sequˆncia (an ) dada por an = (−1) . e 8
  9. 9. Defini¸˜o: ca a e ´ 1) Se a1 < a2 < a3 < ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA CRESCENTE. ´ ˜ 2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO DECRES- a eCENTE. a e ´ 3) Se a1 > a2 > a3 > ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA DECRESCENTE. ´ ˜ 4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO CRES- a eCENTE. Teorema: Toda sequˆncia mon´tona limitada ´ convergente. e o e Demonstra¸˜o:Vamos provar que toda sequˆncia n˜o decrescente e limi- ca e atada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos comoexerc´ ıcio. Seja K > 0 tal que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ K Assim temos que o conjunto {an |n ∈ N }´ limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ Retal que L = sup{an |n ∈ N }. Afirmamos que L = lim an . n→+∞ De fato , dado ε > 0 temos que L − ε n˜o ´ uma cota superior de {an |n ∈ N } a ee assim exite N > 0 tal que aN > L − εe portanto n > N → L − ε < aN ≤ an < L < L + ε → |an − L| < ε. Uma importante aplica¸˜o: O n´ mero e ca u Vamos provar que: 1) A sequˆncia dada por e n 1 an = 1+ n´ crescente e limitada e portanto convergente.e 2) Sendo (an ) convergente, escrevemos e = lim an n→∞ 9
  10. 10. e provamos que 2 < e < 3. 1) Inicialmente mostremos que a sequˆncia ´ crescente. e e Vamos provar que , para todo n temos an+1 > 1. an Temos n+1 n+1 n+1 1 n+2 n+2 1+ n+1 n+1 n+1 1 n = n+1 n = = 1+ n+1 n+1 n n n n n+1 n+1 n+1 n+2 n n2 +2n n+1 n+1 2 (n+1) = n = n = n+1 n+1 n+1 n+1 (n+1)2 −1 1 (n+1)2 1 − (n+1)2 = n = n =∗ n+1 n+1 Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos −1 1 + (n + 1) (n+1)2 1− 1 n+1 ∗> n = n = 1. n+1 n+1 Logo a sequˆncia ´ crescente. e e Provemos agora que a sequˆncia ´ limitada. Temos e e n 1 1 n(n − 1) 1 n (n − 1) ... (n − (k − 1)) 1 1 1+ = 1 + n. + . 2 + ... + + ... + n = n n 2 n k! nk n 1 1 1 1 2 k−1 = 1+1+ 1− + ... + (1 − )(1 − )... 1 − + 2 n k! n n n 1 1 2 n−1 ... + (1 − )(1 − )... 1 − n! n n n Por indu¸˜o ´ f´cil provar que ca e a 1 1 ≤ n−1 , ∀n ∈ N. n! 2 Assim n n 1 1 1 1− 1 2 1+ ≤1+1+ + .... + n = 1 + < 3. n 2 2 1− 1 2 Conclu´ ımos que n 1 2< 1+ < 3. n 10
  11. 11. 2) 1 n Como 1+ n ´ convergente escrevemos e n 1 e = lim 1+ . n→∞ n2 Limites de Fun¸˜es Reais Definidas em Inter- co valos2.1 Introdu¸˜o caNeste cap´ıtulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso es-tudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de coAn´lise Matem´tica o estudo de limites quando as fun¸˜es est˜o definidas em a a co aum subconjunto qualquer da reta. Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´ co ıtulo s˜o do tipo f : I → R aonde I ´ uma uni˜o de intervalos. e a Defini¸˜o: Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de p, ca a cexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ Ie (p, p + r) ⊂ I. Exemplos: 1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). c 2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f n˜o est´ c a adefinida em uma vizinhan¸a de a e nem em uma vizinhan¸a de b. O mesmo c cpermanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de ( ou [.(verifique isso). a ca 2 3) Consideremos f : R{1} → R dada por f (x) = x −1 . Observe que f x−1est´ definida em uma vizinhan¸a de 1, exceto no ponto 1. a c2.2 Defini¸˜o de Limite caDefini¸˜o: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p, ca ca cexceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p ´ eigual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δtem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L. x→p 11
  12. 12. Intuitivamente a defini¸˜o acima est´ nos dizendo que a medida que x ca aaproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L : ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε Exemplos: 1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim k = k. De fato, x→pdado ε > 0 existe δ = 1 tal que 0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε. ε 2) Provemos que lim (2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ = 2 tal que x→3 ε 0 < |x − 3| < ⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε. 2 3) Observe que o valor que a fun¸˜o assume no ponto p n˜o influencia seu ca a −x + 4, se x = 1limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) = . 7, se x = 1 Temos que lim f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que x→1 0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε. 16−x2 4) Seja f : R{−4} → R dada por f (x) = x+4 . Temos que para x = −4,16−x2 x+4 = 4 − x e assim lim f (x) = lim (4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0 x→−4 x→−4tomamos δ = ε e temos 0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε. Podemos caracterizar o limite de fun¸˜es reais utilizando sequˆncias de co en´meros reais. u Teorema : Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R ca cexceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim f (x) = L se e somene se x→p ∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L. Demonstra¸˜o: Suponhamos que lim f (x) = L. Seja xn tal que xn → p. ca x→pProvemos que f (xn ) → L. Seja ε > 0. Ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε. Como xn → p, xn = p temos que exite N natural tal que n > N → 0 < |xn − p| < δ → |f (xn ) − L| < ε. 12
  13. 13. Reciprocamente, suponhamos que ∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L. Provemos que lim f (x) = L. x→p Se isto n˜o fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria ax tal que 0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε. 1 Tomando δ = n existiria xn tal que 1 0 < |xn − p| < e |f (xn ) − L| > ε. n ı ıamos xn → p, xn = p e no entanto f (xn ) n˜o estaria convergindo Mas da´ ter´ apara L. Logo lim f (x) = L. x→p2.3 Unicidade, Conserva¸˜o de Sinal e Limita¸˜o ca caCome¸aremos esta se¸˜o provando a unicidade do limite. c ca Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto ca cpossivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o L ´ unico. a e´ x→p Demonstra¸˜o:Suponhamos que lim f (x) = M .Vamos provar que L = M. ca x→p Suponhamos que L = M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M. −L Tomemos ε = M 2 . Assim existe δ1 > 0 tal que M −L M +L 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ⇒ f (x) < . 2 2 Por outro lado existe δ2 > 0 tal que M −L M +L 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − M | < ⇒ f (x) > . 2 2 Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que M +L M +L 0 < |x − p| < δ ⇒ < f (x) < 2 2e isto ´ um absurdo. e Logo L = M. A seguir provaremos que a existˆncia de lim f (x) implicar´ na limita¸˜o da e a ca x→pfun¸˜o em uma vizinhan¸a do ponto p. ca c 13
  14. 14. Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto ca cpossivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o existem δ > 0 a x→pe M > 0 tais que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M. Demonstra¸˜o: Tomando ε = 1 na defini¸˜o de limite temos que ca ca ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1 Da desigualdade triangular temos |f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L|e portanto |f (x)| ≤ 1 + |L| . Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima. Vamos provar agora o teorema da conserva¸˜o do sinal. Em suma o teorema cair´ nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da fun¸˜o em uma vizinhan¸a a ca cdo ponto ou ser nulo. Teorema: Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R, ca cexceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim f (x) = L. x→p a) Se L > 0 ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0. b) Se L < 0 ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0. Demonstra¸˜o: Vamos provar a) e deixaremos como exerc´ a prova de ca ıciob). L Tomamos ε = 2 e temos que existe δ > 0 tal que L 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < . 2 L Segue que f (x) > 2 > 0. 14
  15. 15. 2.4 C´lculo de Limites aNesta se¸˜o demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitar˜o ca ao c´lculo de limites. a Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de um ponto co cp ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim f (x) = L e x→plim g(x) = M e k uma constante real.x→p Ent˜o: a a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M. x→p x→p b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M. x→p x→p c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M . x→p x→p d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL. x→p x→p e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L M. x→p g(x) x→p g(x) Demonstra¸˜o:ca a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem δ1 > 0 e oδ2 > 0 tais que ε 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < , 2 ε 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < . 2Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| < ε ε < |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε. 2 2 b) Deixamos como exerc´ ıcio. d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0. Seja ε > 0. Da nossa hip´tese a e otemos que existem δ > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < . |k| Assim temos ∃δ1 = δ > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε. |k| 15
  16. 16. 1 c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ]. Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de p, exceto ca cpossivelmente em p, e satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De x→p x→pfato, de acordo com o teorema da limita¸˜o, temos ca ∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |h(x)| < K. Al´m disso, dado ε > 0, temos e ∃δ2 > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − N | < . K + |N | Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1 , δ2 } temos 0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | < ε ε < (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε. K + |N | K + |N | Desta forma 1 lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗ x→p x→p 4 Pela propriedade d) temos 1 ∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗ 4 x→pe pela propriedade b) 1 1 ∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗ 4 x→p 4 x→pe aplicando o que acabamos de provar 1 1 ∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗ 4 x→p 4 x→pe voltando a aplicar a) e b) finalmente temos 1 ∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM. 4 1 1 e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que lim e = M. De fato x→p g(x)f (x) 1g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d). Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que x→p ∃δ1 > 0 tal que |M | |M | 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| > 2 2 16
  17. 17. Por outro lado ∃δ2 > 0 tal que 2 |M | 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < ε 2 Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos 1 1 |g(x) − M | 0 < |x − p| < δ ⇒ − = < g(x) M |g(x)| |M | 2 2 2 |M | < 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε |M | |M | 2 O Teorema do Confronto (” Teorema do Sandu´ ıche”): Sejam f, g, hfun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de p, exceto possivelmente em p, satis- co cfazendo: a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhan¸a, c b) Existem os limites lim f (x), lim h(x) e x→p x→p c) lim f (x) = lim h(x) = L. x→p x→p Ent˜o existe lim g(x) e lim g(x) = L. a x→p x→p Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Por c) temos: ca ∃δ1 > 0 tal que 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < εe ∃δ2 > 0 tal que 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε Tomamos δ = min{δ1 , δ2 } e temos 0 < |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ ⇒ |g(x) − L| < ε Exerc´ ıcio: Prove que lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. x→p x→p Exemplo: lim x cos x = 0. x→0 De fato, vamos mostrar que lim |x cos x| = 0. x→0 Temos que 0 ≤ |x cos x| ≤ |x|e pelo teorema do confronto segue o resultado. 17
  18. 18. 2.5 Limites LateraisNesta se¸˜o iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu- camindo somente valores maiores (ou menores) que p. Defini¸˜o: ca a)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` direita de p, a c aexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I. b)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, a c aexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I. Exemplos: 1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a ` direita de p e em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer c a c aque seja p ∈ (a, b). 2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a ` direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e est´ definida c a aem uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f c an˜o est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de a e nem em uma vizinhan¸a a a c a ca` direita de b. O mesmo permanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de a ca( ou [.(verifique isso). ´ 3) E imediato verificarmos que uma fun¸˜o f est´ definida ca a em umavizinhan¸a de p se e somente se est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de c a c ap e em uma vizinhan¸a ` direita de p. c a Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a ppela direita ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para ex ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L. x→p+ b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a ppela esquerda ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para ex ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p− f (x) = L. Observa¸˜o: Todas as propriedades provadas nas se¸˜es anteriores com ca corela¸˜o a unicidade, conserva¸˜o de sinal e limita¸˜o permanecem v´lidas para ca ca ca alimites laterais, com as devidas altera¸˜es.Tamb´m permanecem v´lidas as pro- co e apriedades operacionais provadas na se¸˜o anterior. ca 18
  19. 19. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de um ca cponto p exceto possivelmente em p. Vale que ∃ lim f (x) ⇔ ∃ lim+ f (x), ∃ lim− f (x) e lim− f (x) = lim+ f (x). x→p x→p x→p x→p x→p Deixamos a prova do resultado acima como exerc´ ıcio.2.6 Limites no InfinitoNesta se¸˜o iremos estudar o comportamento de algumas fun¸˜es quando a ca covari´vel assume valores arbitrariamente grandes. a Defini¸˜o: ca a) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de ca a c+∞ se existir a ∈ R tal que (a, +∞) ⊂ I. b) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de ca a c−∞ se existir a ∈ R tal que (−∞, a) ⊂ I. Exemplos: a) Qualquer fun¸˜o f : R → R est´ definida em vizinhan¸as de +∞ e de ca a c−∞. b) Qualquer fun¸˜o f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R est´ definida em ca auma vizinhan¸a de +∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de −∞. c a a c c) Qualquer fun¸˜o f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R est´ definida em ca auma vizinhan¸a de −∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de +∞. c a a c Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender a +∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L e x→+∞se para todo ε > 0 existir x0 > 0 tal que x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε. b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender a −∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L e x→−∞se para todo ε > 0 existir x0 < 0 tal que x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε. 1 Exemplo: Vamos provar que lim = 0. x→+∞ x De fato, dado ε > 0 tomamos x0 = 1 e ε temos 1 1 1 x > x0 ⇒ x > ⇒0< <ε⇒ < ε. ε x x 19
  20. 20. ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de Exerc´ ca c+∞ e L ∈ R tal que lim f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais x→+∞que x > x0 ⇒ |f (x)| < M. A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites noinfinito. Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de +∞ ; L , co cM ∈ R tais que lim f (x) = L e lim g(x) = M e k uma constante real. x→+∞ x→+∞ Ent˜o: a a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M. x→+∞ x→+∞ b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M. x→+∞ x→+∞ c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M . x→+∞ x→+∞ d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL. x→+∞ x→+∞ e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L M. x→+∞ g(x) x→+∞ g(x) Demonstra¸˜o:ca a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem x1 > 0 e ox2 > 0 tais que ε x > x1 ⇒ |f (x) − L| < 2 ε x > x2 ⇒ |g(x) − M | < 2Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos que x > x0 ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| < ε ε < |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε. 2 2 b) Deixamos como exerc´ ıcio. d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0. a e Seja ε > 0. Da nossa hip´tese temos que existem x0 > 0 tal que o ε x > x0 ⇒ |f (x) − L| < . |k| Assim temos ε x > x0 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε. |k| 1 c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ]. 20
  21. 21. Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de +∞, e ca csatisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De fato, pelo exerc´ ıcio x→+∞ x→+∞acima, ∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que x > x1 ⇒ |h(x)| < K Al´m disso, dado ε > 0, temos e ∃x2 > 0 tal que ε x > x2 ⇒ |h(x) − N | < K + |N | Tomamos x0 satisfazendo x0 = max{x1 , x2 } temos x > x0 ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | < ε ε < (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε. K + |N | K + |N | Desta forma 1 lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗ x→+∞ x→+∞ 4 Pela propriedade d) temos 1 ∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗ 4 x→+∞e pela propriedade b) 1 1 ∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗ 4 x→+∞ 4 x→+∞e aplicando o que acabamos de provar 1 1 ∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗ 4 x→+∞ 4 x→+∞e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos 1 ∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM 4 e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que e lim 1 = 1 M. De fato x→+∞ g(x)f (x) 1g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d). Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que x→+∞ ∃x1 > 0 tal que |M | |M | x > x1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| > 2 2 21
  22. 22. Por outro lado ∃x2 > 0 tal que 2 |M | x > x2 ⇒ |g(x) − M | < ε 2 Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos 1 1 |g(x) − M | x > x0 ⇒ − = < g(x) M |g(x)| |M | 2 2 2 |M | < 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε |M | |M | 2 Observe que o resultado acima continua v´lido se considerarmos x → −∞. a2.7 Limites InfinitosNesta se¸˜o estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) ´ ca eque assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se dealgum ponto p ou de ±∞. Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a +∞ a ee denotamos lim+ f (x) = +∞ x→pse para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M. b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a −∞ a ee denotamos lim+ f (x) = −∞ x→pse para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M. c) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a a e+∞ e denotamos lim f (x) = +∞ x→p−se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M. 22
  23. 23. d) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a a e−∞ e denotamos lim f (x) = −∞ x→p−se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M. e) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a +∞ e denotamos a e lim f (x) = +∞ x→+∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) > M. f ) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a −∞ e denotamos a e lim f (x) = −∞ x→+∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) < −M. g) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a +∞ e denotamos a e lim f (x) = +∞ x→−∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) > M. h) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a −∞ e denotamos a e lim f (x) = −∞ x→−∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) < −M. Exemplos: 1 1) Provemos que lim+ x = +∞. x→0 23
  24. 24. 1 De fato, dado M > 0 existe δ = M tal que 1 1 x ∈ (0, ) ⇒ > M. M x 1 2) Provemos que lim x−1 = −∞. De fato, dado M > 0 tomamos x→1− 1 δ = min{ , 1} Me temos 1 1 x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒ < − < −M. x−1 δ A seguir apresentamos a ”aritm´tica do infinito” isto ´ , estabelecemos as e erela¸˜es entre os limites infinitos e as opera¸˜es. Deixamos a prova do teorema co cocomo exerc´ıcio. Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhan¸a de p ∈ R , exceto cpossivelmente em p . Valem as seguintes tabelas: TABELA I lim f (x ) lim g(x ) lim (f (x ) + g(x ) x→p x→p x→p +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ indetermina¸˜o ca α∈R +∞ +∞ α∈R −∞ −∞ TABELA II lim f (x ) lim g(x ) lim f (x ).g(x ) x→p x→p x→p +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ 0 +∞ indetermina¸˜o ca 0 −∞ indetermina¸˜o ca α>0 +∞ +∞ α>0 −∞ −∞ α<0 −∞ +∞ TABELA III lim f (x ) lim g(x ) lim f (x) g(x) x→p x→p x→p α∈R +∞ 0 α∈R −∞ 0 +∞ +∞ indetermina¸˜o ca +∞ −∞ indetermina¸˜o ca α>0 0+ +∞ α>0 0− −∞ α<0 0+ −∞ α<0 0− +∞ 24
  25. 25. Observa¸˜o: Indetermina¸˜o significa que nada se pode afirmar sobre o ca calimite em quest˜o. Depende de f e g em cada caso particular. a O teorema continua v´lido para a vizinhan¸a c a ` direita de p x → p+ vizinhan¸a c a ` esquerda de p x → p− vizinhan¸a c de +∞ x → +∞ vizinhan¸a c de −∞ x → −∞2.8 Limite de Fun¸˜es Compostas coPara encerrarmos este cap´ ıtulo veremos como procedermos o calculo de limitede compostas de fun¸˜es. co Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma covizinhan¸a de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo: c a) f (I1 ) ⊂ I2 ; b) lim f (x) = a; x→p c) lim g(u) = L; u→a d) Existe r > 0 tal que f (x) = a para 0 < |x − p| < r. Ent˜o lim g(f (x)) = lim g(u) = L. a x→p u→a Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ1 > 0 ca u→atal que 0 < |u − a| < δ1 ⇒ |g(u) − L| < ε. Al´m disso, como lim f (x) = a existe δ2 > 0 tal que e x→p 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − a| < δ1 . Tomando δ = min{δ2 , r} temos 0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1 ⇒ |g(f (x)) − L| < ε. O teorema acima permanece v´lido para limites laterais, com as devidas aadapta¸˜es. Fa¸a isso como exerc´ co c ıcio. Exemplo: Observe a importˆncia da hip´tese d). Consideremos o seguinte a oexemplo: f (x) = 1, ∀x ∈ R u + 1, u = 1 g(u) = 3, u = 1 25
  26. 26. Temos lim f (x) = 1 x→1 lim g(u) = 2 u→1e no entanto lim g(f (x)) = 3 = lim g(u). x→1 u→1 Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma covizinhan¸a do +∞ e em uma vizinhan¸a de a ∈ R (exceto possivelmente em a), c crespectivamente, e L ∈ R satisfazendo: a) f (I1 ) ⊂ I2 ; b) lim f (x) = a; x→+∞ c) Existe N1 > 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) = a. d) lim g(u) = L. u→a Ent˜o a lim g(f (x)) = lim g(u) = L. x→+∞ u→a Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ > 0 ca u→atal que 0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε. Como lim f (x) = a existe N2 > 0 tal que x→+∞ x > N2 ⇒ |f (x) − a| < δ. Tomando N = max{N1 , N2 } temos x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε. O teorema permanece v´lido considerarmos x → −∞. a3 Continuidade de Fun¸˜es Reais de Vari´vel co a Real3.1 Defini¸˜o de Continuidade caNeste cap´ ıtulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nossoestudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de coAn´lise Matem´tica o estudo da continuidade quando as fun¸˜es est˜o definidas a a co aem um subconjunto qualquer da reta. Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´ co ıtulo s˜o do tipo f : I → R aonde I ´ uma uni˜o de intervalos. e a 26
  27. 27. Defini¸˜o: ca a) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´ ca e ınua em p ∈ I se para todo ε > 0existir δ > 0 tal que x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε. b) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´ ca e ınua se o for em todos os pontos deseu dom´ ınio. c) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita descont´ ca e ınua em p ∈ I se f n˜o ´ cont´ a e ınuaem p. Observa¸˜es: A verifica¸˜o da continuidade de fun¸˜es definidas em inter- co ca covalos (a, b) ou [a, b] ´ um pouco mais simples: e 1) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : (a, b) → R ´ cont´ ca e ınua seexistir lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda lim f (x) = f (p). Em particular, x→p x→pusando a caracteriza¸˜o de limites por sequˆncias ter´ ca e ıamos que f ´ cont´ e ınua emp se e somente se ∀ (xn ) tal que xn → p tem-se f (xn ) → f (p) . 2) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : [a, b] → R ´ cont´ ca e ınua se: a) Existe lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e lim f (x) = f (p); x→p x→p b) Existe lim+ f (x) e lim+ f (x) = f (a); x→a x→a c) Existe lim− f (x) e lim− f (x) = f (b). x→b x→b3.2 Opera¸˜es com Fun¸˜es e Continuidade co coOs resultados que obteremos nesta se¸˜o s˜o demonstrados da mesma forma ca aque os an´logos para limites. a Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R fun¸˜es cont´ co ınuas em p ∈ I e k ∈ Ruma constante. Ent˜o: a a) f + g ´ cont´ e ınua em p. b) f − g ´ cont´ e ınua em p. c) f.g ´ cont´ e ınua em p. d) Se g(p) = 0 ent˜o f ´ cont´ a g e ınua em p. e) kf ´ cont´ e ınua em p. Uma consequˆncia imediata do resultado acima ´: e e Corol´rio: a a) Toda fun¸˜o polinomial ´ cont´ ca e ınua. b) Toda fun¸˜o racional ´ cont´ ca e ınua. Demonstra¸˜o: ca 27
  28. 28. a) De fato, se f ´ polinomial ent˜o existe um polinˆmio e a o p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R. Como as fun¸˜es dadas por xm , m ∈ N, s˜o cont´ co a ınuas, segue do teoremaacima que as fun¸˜es dadas por aj xj , j ∈ {0, 1, ..., n}, tamb´m o s˜o. Como co e asoma de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ cont´ e ınua , segue que toda fun¸˜o polinomial ´ ca econt´ınua. b) De fato, se f ´ uma fun¸˜o racional , ent˜o existem polinˆmios p, q tais e ca a oque f (x) = p(x) . q(x) Como o quociente de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ cont´ e ınua, desde que o polinˆmio odo denominador n˜o se anule, segue que toda fun¸˜o racional ´ cont´ a ca e ınua pois o´ em todos os pontos de seu dom´e ınio. Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R satisfazendo que f (I1 ) ⊂ I2 , f ınua em p ∈ I1 e que g ´ cont´´ cont´e e ınua em f (p). Ent˜o g ◦ f ´ cont´ a e ınua em p. Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como g ´ cont´ ca e ınua em f (p) temos que existeδ1 > 0 tal que u ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε. Como f ´ cont´ e ınua em p temos que existe δ > 0 tal que x ∈ I1 ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2 , |f (x) − f (p)| < δ1 ⇒ ⇒ f (x) ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.3.3 Algumas Propriedades das Fun¸˜es Cont´ co ınuasNesta se¸˜o provaremos alguns resultados sobre a conserva¸˜o de sinal e sobre ca caa continuidade de fun¸˜es mon´tonas . co o Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´ ca ınua em p ∈ I . Se f (p) > 0ent˜o existe δ > 0 tal que a x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0. f (p) Demonstra¸˜o: Como f (p) > 0, tomamos ε = ca 2 e temos que existeδ > 0 tal que f (p) f (p) x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ⇒ f (x) > > 0. 2 2 28
  29. 29. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´ ca ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0ent˜o existe δ > 0 tal que a x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0. Demonstra¸˜o: Como f (p) < 0, tomamos ε = − f (p) e temos que existe ca 2δ > 0 tal que f (p) f (p) f (p)x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < − ⇒ f (x) < f (p)− = < 0. 2 2 2 Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e al´m disso tanto ea imagem quanto o dom´ ınio de f forem intervalos ent˜o f ´ cont´ a e ınua. Demonstra¸˜o: Sem perda de generalidade vamos supor que f ´ crescente. ca eDado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p. Seja ε > 0. Suponhamos tamb´m que f (p) n˜o seja extremidade do intervalo e aque ´ a imagem. e Como f (I) ´ um intervalo ent˜o existem x1 , x2 ∈ I tais que f (x1 ) = f (p) − ε e ae f (x2 ) = f (p) + ε . Assim basta tomarmos δ = min{p − x1 , x2 − p} e temos |x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1 ) < f (x) < f (x2 ) = f (p) + ε. Deixamos como exerc´ o caso geral. ıcio Corol´rio: As fun¸˜es trigonom´tricas inversas s˜o cont´ a co e a ınuas. ca ´ Demonstra¸˜o: E imediato pelo teorema acima, visto que localmente todasas trigonom´tricas inversas s˜o crescentes ou decrescentes e seus dom´ e a ınios eimagens s˜o intervalos. a3.4 O Teorema do Valor Intermedi´rio aNesta se¸˜o estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu caenunciado ´ bastante simples mas as consequˆncias s˜o extremamente impor- e e atantes. Imagine uma fun¸˜o que seja cont´ ca ınua em um intervalo [a, b]. Suponhamosque d est´ entre f (a) e f (b). Como a fun¸˜o ´ cont´ a ca e ınua o seu gr´fico pode aser desenhado sem que soltemos o l´pis. De fato, a continuidade impede que ao gr´fico apresente saltos. Desta forma n˜o tem como sairmos de (a, f (a)) e a achegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenhaordenada d. Logo conclu´ ımos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal quef (c) = d. Esta ´ a conclus˜o do Teorema do Valor Intermedi´rio. e a a Vamos enunciar este teorema. Teorema do Valor Intermedi´rio: Sejam f : [a, b] → R cont´ a ınua e dentre f (a) e f (b). Ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d. a 29
  30. 30. Demonstra¸˜o : Dividiremos a prova em dois casos. ca 1o Caso: Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b]tal que f (c) = 0. Fa¸amos a0 = a e b0 = b. Consideremos c0 o ponto m´dio de [a0 , b0 ]. Calcu- c elamos f (c0 ). Se f (c0 ) < 0 ent˜o definimos a1 = c0 e b1 = b0 ( se f (c0 ) = 0 n˜o a atemos mais o que provar e se f (c0 ) > 0 ent˜o definimos a1 = a0 e b1 = c0 ). a Em seguida consideramos c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ] e repetimos o processo eacima. Prosseguindo com este racioc´ ınio, construiremos uma sequˆncia de intervalos eencaixantes [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...tais que f (an ) < 0 e f (bn ) > 0. Al´m disso bn − an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente. e O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um unico ´c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn . A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zeroo teorema da conserva¸˜o do sinal implicaria que f (an ) e f (bn ) teriam o mesmo casinal para n suficientemente grande, j´ que a distˆncia de an a bn tende a zero. a a Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0. Logo, se f for cont´ ınua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contr´rios, aent˜o existir´ pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0. a a 2o Caso: Caso Geral. Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b). Consideremos a fun¸˜o g(x) = f (x) − d. ca Obviamente g ´ cont´ e ınua e g(a) < 0, g(b) > 0. Pelo 1o caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d. Exemplos: 1) Prove que x3 − 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real. Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3 − 4x + 8. Como f ´ polinomial segue que f ´ cont´ e e ınua. Al´m disso, f (−3) = −7 < 0, ef (0) = 8 > 0. Logo pelo Teorema do Valor Intermedi´rio, a ∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0. Logo o polinˆmio acima admite uma raiz real. o 2) Todo polinˆmio de grau ´ o ımpar admite uma raiz real. De fato, seja p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0com n ´ ımpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an > 0. Provemos inicialmente que lim p(x) = +∞ e lim p(x) = −∞. x→+∞ x→−∞ 30
  31. 31. Temos lim p(x) = lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) = x→±∞ x→±∞ an−1 a1 a0 = lim an xn (1 + + .... + + )= x→±∞ an x an xn−1 an xn = ±∞. Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0. Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.3.5 O Teorema de WeierstrassNesta se¸˜o demonstraremos outra importante propriedade das fun¸˜es cont´ ca co ınuas.Provaremos que se uma fun¸˜o for cont´ ca ınua em um intervalo fechado [a, b] ent˜o aela assumir´ um valor m´ximo e um valor m´ a a ınimo. Teorema da Limita¸˜o: Se f : [a, b] → R ´ cont´ ca e ınua ent˜o existe M > 0 atal que |f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b]. Demonstra¸˜o: Suponhamos que n˜o exista um M > 0 satisfazendo o ca aque ´ desejado. e Chamamos a1 = a, b1 = b. Deve ent˜o existir x1 ∈ [a1 , b1 ] tal que |f (x1 )| > 1. a Seja c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ]. e Como f n˜o ´ limitada em [a1 , b1 ] ent˜o f n˜o ser´ limitada em [a1 , c1 ] ou a e a a aem [c1 , b1 ]. Sem perda de generalidade, suponhamos que f n˜o ´ limitada em [c1 , b1 ]. a e Chamamos a2 = c1 , b2 = b1 . Como f n˜o ´ limitada em em [a2 , b2 ] existe x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que |f (x2 )| > 2. a e Prosseguindo com este racioc´ ınio constru´ ımos uma sequˆncia e [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...satisfazendo que a distˆncia bn −an est´ se aproximando de zero quando n cresce a ae que, para todo natural n, existe xn ∈ [an , bn ] com |f (xn )| > n. Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o unico real tal que c ∈ [an , bn ], para todo ´n ∈ N. ´ E claro que xn est´ convergindo para c e que |f (xn )| est´ divergindo para a ao infinito. Pela continuidade de f ter´ ıamos que lim |f (x)| = +∞. Observemos x→cque isto ´ um absurdo. Logo existe M > 0 tal que e |f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b]. 31
  32. 32. Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´ cont´ e ınua existem x1 e x2em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), para qualquer x ∈ [a, b]. Demonstra¸˜o : Sendo f cont´ ca ınua em [a, b], pelo teorema anterior f ser´ alimitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e´ınfimo. Sejam M = sup A, m = inf A. Est´ claro que m ≤ f (x) ≤ M. a Resta-nos provar que existem x1 e x2 tais que f (x1 ) = m e f (x2 ) = M. Observe que se f (x) < M para todo x ent˜o a fun¸˜o dada por a ca 1 g(x) = , x ∈ [a, b] M − f (x)seria cont´ ınua mas n˜o seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2 ) = M. a Analogamente provamos a existˆncia de x1 . e3.6 Potˆncias Irracionais eNa se¸˜o 1.3 lembramos algumas propriedades das potˆncias racionais. ca e Dado m ∈ Q, a > 0 definimos n m √ m b = an ⇔ bn = a. O objetivo desta se¸˜o ´ definirmos ax , x ∈ R. ca e √ O que significa 3 2 ? Sabemos que os racionais n˜o ocupam todo o espa¸o da reta mas mesmo a cassim eles est˜o presentes em√ a qualquer intervalo, por menor que seja. Assim emqualquer intervalo contendo 2 existem racionais e nestes sabemos calcular as √potˆncias. Seria natural ent˜o definirmos 3 2 como o limite de 3r , r ∈ Q, ao r e √ atender a 2. A d´vida que sobra ´ se esse limite realmente existe. u e O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantir´ que existe uma unica a ´fun¸˜o cont´ ca ınua em R tal que f (r) = 3r , para qualquer r ∈ Q. Em outraspalavras, existe uma unica maneira de completarmos o pontilhado do gr´fico ´ aacima e obtermos uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Assim iremos definir √ √ 3 2 = f ( 2) = lim f (x). √ x→ 2 Teorema: Dado a > 0, a = 1 temos que existe uma unica fun¸˜o cont´ ´ ca ınuadefinida em R tal que f (r) = ar , ∀r ∈ Q. Para provarmos o teorema acima precisaremos de 3 resultados preliminares. 32
  33. 33. Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o para todo ε > 0, existe um natural an tal que 1 an − 1 < ε Demonstra¸˜o: Pela desigualdade de Bernoulli ca n (1 + ε) ≥ 1 + nε. a−1 Basta tomarmos n > ε . Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existemracionais r e s , com r < x < s tais que as − as < ε. Demonstra¸˜o: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional car < x, tem-se ar < at .Pelo lema 1, existe n natural tal que 1 at a n − 1 < ε. 1Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r < n teremos 1 as − ar = ar (as−r − 1) < at a n − 1 < ε. Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o , para todo x real dado , existe aum unico real γ tal que ´ ar < γ < aspara quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s. Demonstra¸˜o: Como o conjunto ca {ar |r racional , r < x}´ n˜o vazio e limitado superiormente por todo as , s racional, tal conjunto admitee aum supremo que indicamos por γ. Segue que ar < γ < as .Falta provarmos que tal γ ´ unico. De fato, se γ1 for tal que e´ ar < γ1 < asquaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s ter´ ıamos |γ − γ1 | < as − are pelo lema 2 ter´ ıamos que |γ − γ1 | < ε, ∀ε > 0 33

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