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  • 1. 1 O Conjunto dos N´ meros Reais uO primeiro conjunto num´rico que consideramos ´ o Conjunto dos N´ meros e e uNaturais. Este conjunto est´ relacionado com a opera¸˜o de contagem: a ca N = {0, 1, 2, 3, ...}. Admitiremos conhecidas as opera¸˜es usuais adi¸˜o e multiplica¸˜o em N co ca cabem como os conceitos de n´meros pares, ´ u ımpares e primos. O processo de medi¸˜o de grandezas f´ ca ısicas nos conduzir´ ao conjunto de an´meros reais. u Problema: Medir um segmento AB. Fixamos um segmento padr˜o u e vamos chamar sua medida de 1. a Dado um segmento AB , se u couber um n´mero exato de vezes em AB, udigamos n vezes, ent˜o dizemos que a medida de AB ser´ n. a a Claramente isto nem sempre ocorre. Defini¸˜o: Dizemos que um segmento AB e o segmento padr˜o u s˜o ca a a ´COMENSURAVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u em vezes em AB. Voltando ao nosso problema de medi¸˜o, se o segmento AB e o segmento capadr˜o u forem comensur´veis , conforme a defini¸˜o acima, diremos que a a a ca a n a a 1medida de AB ser´ m . A medida do segmento w ser´ ent˜o n . Isto nos motiva definirmos um conjunto num´rico que inclua todas estas eposs´ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´ meros uRacionais Positivos: Q+ = { m |m, n ∈ N, n = 0}. n Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2 e 1 . De 4 2fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unit´rio ent˜o a aa metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unit´rio. aVamos ent˜o dizer que 1 = 2 . De um modo geral dizemos que m1 = m2 se a 2 4 n 1 n 2m1 n2 = n1 m2 . Continuando com o problema da medi¸˜o nos deparamos com um grande caproblema. Nem sempre dois segmentos s˜o comensur´veis. De fato, considere- a amos por exemplo a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de catetos iguais a 1. a aSuponhamos que esta hipotenusa seja comensur´vel com o segmento unit´rio a apadr˜o u. a Ent˜o existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria aigual a m . Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto ´ , ´ imposs´ n e e ıvelsimplificarmos mais esta express˜o. De acordo com o teorema de Pit´goras a ater´ ıamos que m2 12 + 12 = 2 . n 2 2 2Assim 2n = m e portanto m seria um n´mero par e portanto m tamb´m o u eseria. Logo existiria algum k ∈ N tal que m = 2k. Assim 4k 2 = 2n2 e portanto 1
  • 2. n2 = 2k 2 o que implicaria que n tamb´m seria par. Note que isto ´ um absurdo. e eEste absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosseum n´mero racional. u No entanto esta hipotenusa existe e ´ muito bem determinada em cima da ereta. Ampliamos o conceito de n´mero de tal forma que todos os segmentos upossuam uma medida associada. Introduzimos os chamados N´ meros Ir-uracionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padr˜o, aqualquer segmento de reta tem uma medida num´rica. e1.1 A Reta RealFixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outroponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento.Facilmente marcamos sobre a reta os n´meros naturais. u Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem,com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos`s suas extremidades esquerdas n´meros com um sinal −. Formamos ent˜o oa u achamado Conjunto dos N´ meros Inteiros: u Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem,comensur´veis com o segmento o segmento padr˜o 0A. Os que ficarem ` direita a a aser˜o associados aos racionais positivos e os que ficarem ` esquerda ganhar˜o a a aum sinal −. Definimos ent˜o o Conjunto dos N´ meros Racionais: a u m Q == { |m ∈ Z, n ∈ N, n = 0}. n Como vimos acima esta constru¸˜o n˜o ocupa todo o espa¸o existente na ca a creta. Se pararmos por aqui nossa reta ficar´ com v´rios ”buracos”. A cada a aum destes buracos associamos um n´mero, que chamaremos de irracional . uFinalmente definimos o Conjunto dos N´ meros Reais: u R = {x|x ∈ Q ou x eirracional}. ´ Existe uma correspondˆncia biun´ e ıvoca entre os n´meros reais e os pontos da ureta. Mais precisamente, a cada n´mero real est´ associado um e somente um u aponto da reta e a cada ponto da reta est´ associado um e somente um n´mero a ureal. No que segue, n˜o distinguiremos pontos da reta e n´meros reais. a u ´ E claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Dizemos que x ∈ R ´ positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado edireito da reta; dizemos que x ´ negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no elado esquerdo da reta. As nota¸˜es ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou coigual e menor ou igual. Vamos introduzir as opera¸˜es adi¸˜o e multiplica¸˜o em R. co ca ca Defini¸˜o: ca 2
  • 3. a) Sejam x1 ∈ R e x2 ≥ 0. Definimos x1 + x2 como o n´mero real associado ua ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial emx1 , e com medida igual a medida do segmento associado a x2 . b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com ex-tremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida iguala do segmento associado a x2 . O n´mero real associado a ”ponta final” deste usegmento ser´ chamado de x1 + x2 . a Defini¸˜o: ca a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Tra¸amos cuma reta l formando um ˆngulo inferior a 90o com a reta real e passando apela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o n´mero y. Na reta l umarcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s.Da geometria sabemos que existe uma unica reta t paralela a s e que passa y. ´Finalmente marcamos em l o ponto P , itersec¸˜o desta com t. Com a ponta caseca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o pontoQ. O n´mero real associado a este ponto ser´ chamado de xy. u a b) Nos demais casos ´ s´ mudar o sinal xy convenientemente: e o x y xy + − + − + − − − + Observa¸˜o: Se fixarmos nossa aten¸˜o para os n´meros racionais veremos ca ca uque as defini¸˜es acima coincidem com as tradicionais: co a c ad + bc + = b d bd a c ac . = . b d bd O conjunto R munido das opera¸˜es definidas acima forma o que chamamos code CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades: 1) Associatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o: ca ca (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R 2) Comutatividade da Adi¸˜o e da Multiplica¸˜o: ca ca x+y = y + x, ∀x, y ∈ R xy = yx, ∀x, y ∈ R 3) Existˆncia de Elemento Neutro para a Adi¸˜o e para a Multiplica¸˜o: e ca ca x + 0 = x, ∀x ∈ R x.1 = x, ∀x ∈ R 3
  • 4. 4) Existˆncia de Oposto para Adi¸˜o: e ca ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0. 5) Existˆncia de Inverso para a Multiplica¸˜o: e ca ∀x ∈ R{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1. 6) Distributividade da Multiplica¸˜o em Rela¸˜o ` Adi¸˜o: ca ca a ca x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R. Defini¸˜o: Dizemos que x < y se y − x > 0. ca Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos: R+ = {x ∈ R|x > 0}. Observe que as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a a) A soma e o produto de elementos positivos s˜o positivos. Ou seja a x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x.y ∈ R+ . b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ . As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO OR-DENADO. Como em qualquer outro corpo ordenado, rela¸˜o de ordem ” < ” goza das caseguintes propriedades: 1) Transitiva: (x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z. 2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R : x < y ou y < x ou x = y. 3) Compatibilidade da Ordem com a Adi¸˜o: ca (x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z. 4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplica¸˜o: ca (x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz. Observa¸˜o: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo caordenado tamb´m s˜o satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade e aque ´ satisfeita por R mas n˜o por Q. e a 4
  • 5. Defini¸˜o:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´ limitado se existe ca eK > 0 tal que x ∈ A ⇒ −K < x < K. Defini¸˜o:Dizemos que s ∈ R ´ o supremo de A se s for a menor das cotas ca esuperiores de A : x ≤ s, ∀x ∈ A; x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c. Defini¸˜o:Dizemos que i ∈ R ´ o ´ ca e ınfimo de A se i for a maior das cotasinferiores de A : x ≥ i, ∀x ∈ A; x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c. O conjunto R satisfaz a propriedade: Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e n˜o vazio de n´meros a ureais possui um supremo e um ´ ınfimo real. Observemos que esta propriedade n˜o ´ satisfeita por Q. Considere o con- a ejunto A = {x ∈ Q|0 < √2 < 2}. x O supremo de A ´ 2 que como vimos antes n˜o ´ um n´mero racional. e a e u A propriedade acima nos diz que o conjunto dos n´meros reais ´ um CORPO u eORDENADO COMPLETO. Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0 , b0 ] , [a1 , b1 ] , ..., [an , bn ] , ...uma sequˆncia de intervalos satisfazendo: e a) [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ... b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que bn − an < r. Ent˜o, existe um unico real c tal que para todo natural n a ´ an ≤ c ≤ bn . Demonstra¸˜o: Temos que A = {a0 , a1 , ...} ´ n˜o vazio e limitado superi- ca e aormente. Seja ent˜o a c = sup A. ´ E claro que an ≤ c ≤ bn . Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo an ≤ d ≤ bn . 5
  • 6. Neste caso ter´ ıamos |c − d| < bn − an , ∀n. Como a distˆncia bn − an aproxima-se de zero , ter´ a ıamos que c = d. Para completarmos esta se¸˜o vamos provar : ca Teorema a) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero irracional; u u b) Entre dois n´meros reais distintos sempre existe um n´mero racional. u u Demonstra¸˜o: Provemos a primeira afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros ca ca ureais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0. Observe que ´ poss´ encontrarmos n´meros naturais n, m tais que e ıvel u n (y − x) > 1 √ m (y − x) > 2(este fato ´ conhecido como Princ´ e ıpio de Arquimedes). Desta forma temos que 1 x < x+ <y n √ 2 x < x+ <y n √e assim se x for irracional, assim ser´ x + n e se x for racional ent˜o x + n2 a 1 aser´ irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre ax e y. Provemos a segunda afirma¸˜o. Sejam x e y dois n´meros reais distintos. ca uInicialmente observemos que se x < 0 < y ent˜o nada temos para provar pois 0 a´ racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando oeprinc´ıpio de Arquimedes encontramos um natural n tal que n(y − x) > 1 nx > 1 Seja j tal que j j+1 ≤x< n n Notemos que j+1 j 1 = + < x + (y − x) = y n n n Logo basta tomarmos j+1 . n Se x < y < 0 ent˜o 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um aracional entre −y e −x. O sim´trico deste racional ser´ o racional procurado. e a 6
  • 7. Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima s˜o suficientes para adeduzirmos uma s´rie de outras, conforme os exerc´ e ıcios abaixo. 1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z x + z = y + z ⇒ x = y. 2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w 0≤x≤y ⇒ xz ≤ yw. 0≤z≤w 3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se: a)x < y ⇔ x + z < y + z. b)z > 0 ⇔ z −1 > 0. c)z > 0 ⇔ −z < 0. d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz. e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz. 0≤x<y f) ⇒ xz < yw 0≤z<w g)0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1 h)x < y ou x = y ou y < x. i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0. 4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que: a)x < y ⇒ x2 < y 2 . b)x ≤ y ⇒ x2 ≤ y 2 c)x < y ⇔ x2 < y 2 .1.2 Sequˆncias de N´ meros Reais e uNesta se¸˜o estudaremos fun¸˜es reais de uma vari´vel real cujo dom´ ca co a ınio ´ um esubconjunto do conjunto dos n´meros naturais. Tais fun¸˜es recebem o nome de u cosequˆncias. N˜o daremos um tratamento anal´ e a ıtico completo ao assunto, apenasiremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades. Defini¸˜o: Uma sequˆncia de n´meros reais ´ uma fun¸˜o ca e u e ca f :A⊂N →R 7
  • 8. Nota¸˜o: Denotamos (an ) onde f (n) = an . Em geral apresentaremos a casequˆncia pela lei de defini¸˜o e consideraremos o dom´ e ca ınio como o maior sub-conjunto de N onde tem sentido a lei de defini¸˜o. ca Exemplos: 1) (an ) dada por an = n ´ a sequˆncia formada pelos n´meros 1, 1 , 3 , ... 1 e e u 2 1 2) (an ) dada por an = 2 ´ a sequˆncia constante 2, 2, 2, ... e e n 3) (an ) dada por an = (−1) ´ a sequˆncia 1, −1, 1, −1,... e e Defini¸˜o: Diz-se que uma sequˆncia (an ) converge para um n´mero L ou ca e utem limite L se , dado qualquer n´mero ε > 0 , ´ sempre poss´ encontrar um u e ıveln´mero natural N tal que u n > N → |an − L| < ε. Denotamos lim an = L ou an → L. n→+∞ Intuitivamente dizer que (an ) converge para L significa dizer que os termosda sequˆncia aproximam-se de L quando n cresce . e Exemplo: 1 A sequˆncia (an ) dada por an = n converge para 0. e De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro n´mero natural maior que 1 e u εtemos que 1 1 n>N →n> → < ε. ε n Defini¸˜o: Quando uma sequˆncia n˜o converge diz-se que ela diverge ou ca e aque ´ divergente. e Exemplos: n 1) A sequˆncia (an ) dada por an = (−1) ´ divergente. De fato, seus termos e eoscilam entre −1 e 1. 2) A sequˆncia (an ) dada por an = n ´ divergente. De fato, seus termos e ecrescem indefinidamente. Defini¸˜o: Uma sequˆncia (an ) ´ dita limitada se existir um n´mero real ca e e uK > 0 tal que |an | ≤ K, ∀n. Exemplos: 1 1) As sequˆncias dadas por an = n , an = cos n s˜o exemplos de sequˆncias e a elimitadas. 2) A sequˆncia (an ) dada por an = n2 n˜o ´ limitada. e a e Observa¸˜o: Ser limitada n˜o ´ o mesmo que ter limite. Se uma sequˆncia ca a e efor convergente ent˜o ela ser´ limitada mas nem toda sequˆncia limitada ´ con- a a e e nvergente. De fato, considere por exemplo a sequˆncia (an ) dada por an = (−1) . e 8
  • 9. Defini¸˜o: ca a e ´ 1) Se a1 < a2 < a3 < ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA CRESCENTE. ´ ˜ 2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO DECRES- a eCENTE. a e ´ 3) Se a1 > a2 > a3 > ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA DECRESCENTE. ´ ˜ 4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ent˜o (an ) ´ dita MONOTONA NAO CRES- a eCENTE. Teorema: Toda sequˆncia mon´tona limitada ´ convergente. e o e Demonstra¸˜o:Vamos provar que toda sequˆncia n˜o decrescente e limi- ca e atada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos comoexerc´ ıcio. Seja K > 0 tal que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ K Assim temos que o conjunto {an |n ∈ N }´ limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ Retal que L = sup{an |n ∈ N }. Afirmamos que L = lim an . n→+∞ De fato , dado ε > 0 temos que L − ε n˜o ´ uma cota superior de {an |n ∈ N } a ee assim exite N > 0 tal que aN > L − εe portanto n > N → L − ε < aN ≤ an < L < L + ε → |an − L| < ε. Uma importante aplica¸˜o: O n´ mero e ca u Vamos provar que: 1) A sequˆncia dada por e n 1 an = 1+ n´ crescente e limitada e portanto convergente.e 2) Sendo (an ) convergente, escrevemos e = lim an n→∞ 9
  • 10. e provamos que 2 < e < 3. 1) Inicialmente mostremos que a sequˆncia ´ crescente. e e Vamos provar que , para todo n temos an+1 > 1. an Temos n+1 n+1 n+1 1 n+2 n+2 1+ n+1 n+1 n+1 1 n = n+1 n = = 1+ n+1 n+1 n n n n n+1 n+1 n+1 n+2 n n2 +2n n+1 n+1 2 (n+1) = n = n = n+1 n+1 n+1 n+1 (n+1)2 −1 1 (n+1)2 1 − (n+1)2 = n = n =∗ n+1 n+1 Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos −1 1 + (n + 1) (n+1)2 1− 1 n+1 ∗> n = n = 1. n+1 n+1 Logo a sequˆncia ´ crescente. e e Provemos agora que a sequˆncia ´ limitada. Temos e e n 1 1 n(n − 1) 1 n (n − 1) ... (n − (k − 1)) 1 1 1+ = 1 + n. + . 2 + ... + + ... + n = n n 2 n k! nk n 1 1 1 1 2 k−1 = 1+1+ 1− + ... + (1 − )(1 − )... 1 − + 2 n k! n n n 1 1 2 n−1 ... + (1 − )(1 − )... 1 − n! n n n Por indu¸˜o ´ f´cil provar que ca e a 1 1 ≤ n−1 , ∀n ∈ N. n! 2 Assim n n 1 1 1 1− 1 2 1+ ≤1+1+ + .... + n = 1 + < 3. n 2 2 1− 1 2 Conclu´ ımos que n 1 2< 1+ < 3. n 10
  • 11. 2) 1 n Como 1+ n ´ convergente escrevemos e n 1 e = lim 1+ . n→∞ n2 Limites de Fun¸˜es Reais Definidas em Inter- co valos2.1 Introdu¸˜o caNeste cap´ıtulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso es-tudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de coAn´lise Matem´tica o estudo de limites quando as fun¸˜es est˜o definidas em a a co aum subconjunto qualquer da reta. Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´ co ıtulo s˜o do tipo f : I → R aonde I ´ uma uni˜o de intervalos. e a Defini¸˜o: Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de p, ca a cexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ Ie (p, p + r) ⊂ I. Exemplos: 1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). c 2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f n˜o est´ c a adefinida em uma vizinhan¸a de a e nem em uma vizinhan¸a de b. O mesmo c cpermanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de ( ou [.(verifique isso). a ca 2 3) Consideremos f : R{1} → R dada por f (x) = x −1 . Observe que f x−1est´ definida em uma vizinhan¸a de 1, exceto no ponto 1. a c2.2 Defini¸˜o de Limite caDefini¸˜o: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p, ca ca cexceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p ´ eigual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δtem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L. x→p 11
  • 12. Intuitivamente a defini¸˜o acima est´ nos dizendo que a medida que x ca aaproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L : ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε Exemplos: 1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim k = k. De fato, x→pdado ε > 0 existe δ = 1 tal que 0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε. ε 2) Provemos que lim (2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ = 2 tal que x→3 ε 0 < |x − 3| < ⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε. 2 3) Observe que o valor que a fun¸˜o assume no ponto p n˜o influencia seu ca a −x + 4, se x = 1limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) = . 7, se x = 1 Temos que lim f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que x→1 0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε. 16−x2 4) Seja f : R{−4} → R dada por f (x) = x+4 . Temos que para x = −4,16−x2 x+4 = 4 − x e assim lim f (x) = lim (4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0 x→−4 x→−4tomamos δ = ε e temos 0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε. Podemos caracterizar o limite de fun¸˜es reais utilizando sequˆncias de co en´meros reais. u Teorema : Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R ca cexceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim f (x) = L se e somene se x→p ∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L. Demonstra¸˜o: Suponhamos que lim f (x) = L. Seja xn tal que xn → p. ca x→pProvemos que f (xn ) → L. Seja ε > 0. Ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε. Como xn → p, xn = p temos que exite N natural tal que n > N → 0 < |xn − p| < δ → |f (xn ) − L| < ε. 12
  • 13. Reciprocamente, suponhamos que ∀ (xn ) tal que xn → p , xn = p , tem-se f (xn ) → L. Provemos que lim f (x) = L. x→p Se isto n˜o fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria ax tal que 0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε. 1 Tomando δ = n existiria xn tal que 1 0 < |xn − p| < e |f (xn ) − L| > ε. n ı ıamos xn → p, xn = p e no entanto f (xn ) n˜o estaria convergindo Mas da´ ter´ apara L. Logo lim f (x) = L. x→p2.3 Unicidade, Conserva¸˜o de Sinal e Limita¸˜o ca caCome¸aremos esta se¸˜o provando a unicidade do limite. c ca Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto ca cpossivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o L ´ unico. a e´ x→p Demonstra¸˜o:Suponhamos que lim f (x) = M .Vamos provar que L = M. ca x→p Suponhamos que L = M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M. −L Tomemos ε = M 2 . Assim existe δ1 > 0 tal que M −L M +L 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ⇒ f (x) < . 2 2 Por outro lado existe δ2 > 0 tal que M −L M +L 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − M | < ⇒ f (x) > . 2 2 Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que M +L M +L 0 < |x − p| < δ ⇒ < f (x) < 2 2e isto ´ um absurdo. e Logo L = M. A seguir provaremos que a existˆncia de lim f (x) implicar´ na limita¸˜o da e a ca x→pfun¸˜o em uma vizinhan¸a do ponto p. ca c 13
  • 14. Teorema: Seja f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R exceto ca cpossivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim f (x) = L ent˜o existem δ > 0 a x→pe M > 0 tais que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M. Demonstra¸˜o: Tomando ε = 1 na defini¸˜o de limite temos que ca ca ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1 Da desigualdade triangular temos |f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L|e portanto |f (x)| ≤ 1 + |L| . Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima. Vamos provar agora o teorema da conserva¸˜o do sinal. Em suma o teorema cair´ nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da fun¸˜o em uma vizinhan¸a a ca cdo ponto ou ser nulo. Teorema: Sejam f uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de p ∈ R, ca cexceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim f (x) = L. x→p a) Se L > 0 ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0. b) Se L < 0 ent˜o existe δ > 0 tal que a 0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0. Demonstra¸˜o: Vamos provar a) e deixaremos como exerc´ a prova de ca ıciob). L Tomamos ε = 2 e temos que existe δ > 0 tal que L 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < . 2 L Segue que f (x) > 2 > 0. 14
  • 15. 2.4 C´lculo de Limites aNesta se¸˜o demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitar˜o ca ao c´lculo de limites. a Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de um ponto co cp ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim f (x) = L e x→plim g(x) = M e k uma constante real.x→p Ent˜o: a a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M. x→p x→p b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M. x→p x→p c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M . x→p x→p d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL. x→p x→p e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L M. x→p g(x) x→p g(x) Demonstra¸˜o:ca a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem δ1 > 0 e oδ2 > 0 tais que ε 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < , 2 ε 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < . 2Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| < ε ε < |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε. 2 2 b) Deixamos como exerc´ ıcio. d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0. Seja ε > 0. Da nossa hip´tese a e otemos que existem δ > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < . |k| Assim temos ∃δ1 = δ > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε. |k| 15
  • 16. 1 c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ]. Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de p, exceto ca cpossivelmente em p, e satisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De x→p x→pfato, de acordo com o teorema da limita¸˜o, temos ca ∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |h(x)| < K. Al´m disso, dado ε > 0, temos e ∃δ2 > 0 tal que ε 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − N | < . K + |N | Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1 , δ2 } temos 0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | < ε ε < (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε. K + |N | K + |N | Desta forma 1 lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗ x→p x→p 4 Pela propriedade d) temos 1 ∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗ 4 x→pe pela propriedade b) 1 1 ∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗ 4 x→p 4 x→pe aplicando o que acabamos de provar 1 1 ∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗ 4 x→p 4 x→pe voltando a aplicar a) e b) finalmente temos 1 ∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM. 4 1 1 e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que lim e = M. De fato x→p g(x)f (x) 1g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d). Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que x→p ∃δ1 > 0 tal que |M | |M | 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| > 2 2 16
  • 17. Por outro lado ∃δ2 > 0 tal que 2 |M | 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |g(x) − M | < ε 2 Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos 1 1 |g(x) − M | 0 < |x − p| < δ ⇒ − = < g(x) M |g(x)| |M | 2 2 2 |M | < 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε |M | |M | 2 O Teorema do Confronto (” Teorema do Sandu´ ıche”): Sejam f, g, hfun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de p, exceto possivelmente em p, satis- co cfazendo: a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhan¸a, c b) Existem os limites lim f (x), lim h(x) e x→p x→p c) lim f (x) = lim h(x) = L. x→p x→p Ent˜o existe lim g(x) e lim g(x) = L. a x→p x→p Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Por c) temos: ca ∃δ1 > 0 tal que 0 < |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < εe ∃δ2 > 0 tal que 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |h(x) − L| < ε Tomamos δ = min{δ1 , δ2 } e temos 0 < |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ ⇒ |g(x) − L| < ε Exerc´ ıcio: Prove que lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. x→p x→p Exemplo: lim x cos x = 0. x→0 De fato, vamos mostrar que lim |x cos x| = 0. x→0 Temos que 0 ≤ |x cos x| ≤ |x|e pelo teorema do confronto segue o resultado. 17
  • 18. 2.5 Limites LateraisNesta se¸˜o iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu- camindo somente valores maiores (ou menores) que p. Defini¸˜o: ca a)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` direita de p, a c aexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I. b)Dizemos que f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, a c aexceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I. Exemplos: 1) Uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a ` direita de p e em uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer c a c aque seja p ∈ (a, b). 2) Uma fun¸˜o definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R est´ definida ca aem uma vizinhan¸a ` direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e est´ definida c a aem uma vizinhan¸a ` esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f c an˜o est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de a e nem em uma vizinhan¸a a a c a ca` direita de b. O mesmo permanece v´lido para qualquer outra combina¸˜o de a ca( ou [.(verifique isso). ´ 3) E imediato verificarmos que uma fun¸˜o f est´ definida ca a em umavizinhan¸a de p se e somente se est´ definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de c a c ap e em uma vizinhan¸a ` direita de p. c a Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a ppela direita ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para ex ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim f (x) = L. x→p+ b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a ppela esquerda ´ igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para ex ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p− f (x) = L. Observa¸˜o: Todas as propriedades provadas nas se¸˜es anteriores com ca corela¸˜o a unicidade, conserva¸˜o de sinal e limita¸˜o permanecem v´lidas para ca ca ca alimites laterais, com as devidas altera¸˜es.Tamb´m permanecem v´lidas as pro- co e apriedades operacionais provadas na se¸˜o anterior. ca 18
  • 19. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de um ca cponto p exceto possivelmente em p. Vale que ∃ lim f (x) ⇔ ∃ lim+ f (x), ∃ lim− f (x) e lim− f (x) = lim+ f (x). x→p x→p x→p x→p x→p Deixamos a prova do resultado acima como exerc´ ıcio.2.6 Limites no InfinitoNesta se¸˜o iremos estudar o comportamento de algumas fun¸˜es quando a ca covari´vel assume valores arbitrariamente grandes. a Defini¸˜o: ca a) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de ca a c+∞ se existir a ∈ R tal que (a, +∞) ⊂ I. b) Dizemos que uma fun¸˜o f : I → R est´ definida em uma vizinhan¸a de ca a c−∞ se existir a ∈ R tal que (−∞, a) ⊂ I. Exemplos: a) Qualquer fun¸˜o f : R → R est´ definida em vizinhan¸as de +∞ e de ca a c−∞. b) Qualquer fun¸˜o f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R est´ definida em ca auma vizinhan¸a de +∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de −∞. c a a c c) Qualquer fun¸˜o f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R est´ definida em ca auma vizinhan¸a de −∞ mas n˜o est´ definida em uma vizinhan¸a de +∞. c a a c Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender a +∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L e x→+∞se para todo ε > 0 existir x0 > 0 tal que x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε. b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender a −∞ ´ L ∈ R e denotamos lim f (x) = L e x→−∞se para todo ε > 0 existir x0 < 0 tal que x < x0 ⇒ |f (x) − L| < ε. 1 Exemplo: Vamos provar que lim = 0. x→+∞ x De fato, dado ε > 0 tomamos x0 = 1 e ε temos 1 1 1 x > x0 ⇒ x > ⇒0< <ε⇒ < ε. ε x x 19
  • 20. ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de Exerc´ ca c+∞ e L ∈ R tal que lim f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais x→+∞que x > x0 ⇒ |f (x)| < M. A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites noinfinito. Teorema: Sejam f e g fun¸˜es definidas em uma vizinhan¸a de +∞ ; L , co cM ∈ R tais que lim f (x) = L e lim g(x) = M e k uma constante real. x→+∞ x→+∞ Ent˜o: a a) Existe lim (f (x) + g(x)) e lim (f (x) + g(x)) = L + M. x→+∞ x→+∞ b) Existe lim (f (x) − g(x)) e lim (f (x) − g(x)) = L − M. x→+∞ x→+∞ c) Existe lim (f (x).g(x)) e lim (f (x).g(x)) = L.M . x→+∞ x→+∞ d) Existe lim kf (x) e lim kf (x) = kL. x→+∞ x→+∞ e) Se M = 0, existe lim f (x) e lim f (x) = L M. x→+∞ g(x) x→+∞ g(x) Demonstra¸˜o:ca a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´tese temos que existem x1 > 0 e ox2 > 0 tais que ε x > x1 ⇒ |f (x) − L| < 2 ε x > x2 ⇒ |g(x) − M | < 2Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos que x > x0 ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| < ε ε < |f (x) − L| + |g(x) − M | < + = ε. 2 2 b) Deixamos como exerc´ ıcio. d) Se k = 0 ent˜o ´ trivial. Suponhamos k = 0. a e Seja ε > 0. Da nossa hip´tese temos que existem x0 > 0 tal que o ε x > x0 ⇒ |f (x) − L| < . |k| Assim temos ε x > x0 ⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| = ε. |k| 1 c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 4 [(f (x)+g(x))2 −(f (x)−g(x))2 ]. 20
  • 21. Provemos que, dada uma fun¸˜o h definida em uma vizinhan¸a de +∞, e ca csatisfazendo lim h(x) = N temos lim h(x)2 = N 2 . De fato, pelo exerc´ ıcio x→+∞ x→+∞acima, ∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que x > x1 ⇒ |h(x)| < K Al´m disso, dado ε > 0, temos e ∃x2 > 0 tal que ε x > x2 ⇒ |h(x) − N | < K + |N | Tomamos x0 satisfazendo x0 = max{x1 , x2 } temos x > x0 ⇒ h(x) − N 2 = |h(x) − N | |h(x) + N | < ε ε < (|h(x)| + |N |) < (K + |N |) = ε. K + |N | K + |N | Desta forma 1 lim (f (x).g(x)) = lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗ x→+∞ x→+∞ 4 Pela propriedade d) temos 1 ∗= lim [(f (x) + g(x))2 − (f (x) − g(x))2 ] = ∗∗ 4 x→+∞e pela propriedade b) 1 1 ∗∗ = lim (f (x) + g(x))2 − lim (f (x) − g(x))2 = ∗ ∗ ∗ 4 x→+∞ 4 x→+∞e aplicando o que acabamos de provar 1 1 ∗∗∗= ( lim (f (x) + g(x)))2 − ( lim (f (x) − g(x)))2 = ∗ ∗ ∗∗ 4 x→+∞ 4 x→+∞e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos 1 ∗ ∗ ∗∗ = [(L + M )2 − (L − M )2 ] = LM 4 e) Para provarmos e) ´ suficiente provarmos que e lim 1 = 1 M. De fato x→+∞ g(x)f (x) 1g(x) = f (x). g(x) e sabemos operar o produto por d). Seja ε > 0. Como lim g(x) = M = 0 temos que x→+∞ ∃x1 > 0 tal que |M | |M | x > x1 ⇒ |g(x) − M | < ⇒ |g(x)| > 2 2 21
  • 22. Por outro lado ∃x2 > 0 tal que 2 |M | x > x2 ⇒ |g(x) − M | < ε 2 Tomando x0 = max{x1 , x2 } temos 1 1 |g(x) − M | x > x0 ⇒ − = < g(x) M |g(x)| |M | 2 2 2 |M | < 2 |g(x) − M | < 2 ε=ε |M | |M | 2 Observe que o resultado acima continua v´lido se considerarmos x → −∞. a2.7 Limites InfinitosNesta se¸˜o estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) ´ ca eque assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se dealgum ponto p ou de ±∞. Defini¸˜o: ca a) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a +∞ a ee denotamos lim+ f (x) = +∞ x→pse para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M. b) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` direita de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela direita ´ igual a −∞ a ee denotamos lim+ f (x) = −∞ x→pse para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M. c) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a a e+∞ e denotamos lim f (x) = +∞ x→p−se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M. 22
  • 23. d) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a ` esquerda de ca c ap ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender ` p pela esquerda ´ igual a a e−∞ e denotamos lim f (x) = −∞ x→p−se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M. e) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a +∞ e denotamos a e lim f (x) = +∞ x→+∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) > M. f ) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de +∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` +∞ ´ igual a −∞ e denotamos a e lim f (x) = −∞ x→+∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) < −M. g) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a +∞ e denotamos a e lim f (x) = +∞ x→−∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) > M. h) Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de −∞. Dizemos ca cque o limite de f (x) ao x tender ` −∞ ´ igual a −∞ e denotamos a e lim f (x) = −∞ x→−∞se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) < −M. Exemplos: 1 1) Provemos que lim+ x = +∞. x→0 23
  • 24. 1 De fato, dado M > 0 existe δ = M tal que 1 1 x ∈ (0, ) ⇒ > M. M x 1 2) Provemos que lim x−1 = −∞. De fato, dado M > 0 tomamos x→1− 1 δ = min{ , 1} Me temos 1 1 x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒ < − < −M. x−1 δ A seguir apresentamos a ”aritm´tica do infinito” isto ´ , estabelecemos as e erela¸˜es entre os limites infinitos e as opera¸˜es. Deixamos a prova do teorema co cocomo exerc´ıcio. Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhan¸a de p ∈ R , exceto cpossivelmente em p . Valem as seguintes tabelas: TABELA I lim f (x ) lim g(x ) lim (f (x ) + g(x ) x→p x→p x→p +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ indetermina¸˜o ca α∈R +∞ +∞ α∈R −∞ −∞ TABELA II lim f (x ) lim g(x ) lim f (x ).g(x ) x→p x→p x→p +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ 0 +∞ indetermina¸˜o ca 0 −∞ indetermina¸˜o ca α>0 +∞ +∞ α>0 −∞ −∞ α<0 −∞ +∞ TABELA III lim f (x ) lim g(x ) lim f (x) g(x) x→p x→p x→p α∈R +∞ 0 α∈R −∞ 0 +∞ +∞ indetermina¸˜o ca +∞ −∞ indetermina¸˜o ca α>0 0+ +∞ α>0 0− −∞ α<0 0+ −∞ α<0 0− +∞ 24
  • 25. Observa¸˜o: Indetermina¸˜o significa que nada se pode afirmar sobre o ca calimite em quest˜o. Depende de f e g em cada caso particular. a O teorema continua v´lido para a vizinhan¸a c a ` direita de p x → p+ vizinhan¸a c a ` esquerda de p x → p− vizinhan¸a c de +∞ x → +∞ vizinhan¸a c de −∞ x → −∞2.8 Limite de Fun¸˜es Compostas coPara encerrarmos este cap´ ıtulo veremos como procedermos o calculo de limitede compostas de fun¸˜es. co Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma covizinhan¸a de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo: c a) f (I1 ) ⊂ I2 ; b) lim f (x) = a; x→p c) lim g(u) = L; u→a d) Existe r > 0 tal que f (x) = a para 0 < |x − p| < r. Ent˜o lim g(f (x)) = lim g(u) = L. a x→p u→a Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ1 > 0 ca u→atal que 0 < |u − a| < δ1 ⇒ |g(u) − L| < ε. Al´m disso, como lim f (x) = a existe δ2 > 0 tal que e x→p 0 < |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − a| < δ1 . Tomando δ = min{δ2 , r} temos 0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1 ⇒ |g(f (x)) − L| < ε. O teorema acima permanece v´lido para limites laterais, com as devidas aadapta¸˜es. Fa¸a isso como exerc´ co c ıcio. Exemplo: Observe a importˆncia da hip´tese d). Consideremos o seguinte a oexemplo: f (x) = 1, ∀x ∈ R u + 1, u = 1 g(u) = 3, u = 1 25
  • 26. Temos lim f (x) = 1 x→1 lim g(u) = 2 u→1e no entanto lim g(f (x)) = 3 = lim g(u). x→1 u→1 Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸˜es definidas em uma covizinhan¸a do +∞ e em uma vizinhan¸a de a ∈ R (exceto possivelmente em a), c crespectivamente, e L ∈ R satisfazendo: a) f (I1 ) ⊂ I2 ; b) lim f (x) = a; x→+∞ c) Existe N1 > 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) = a. d) lim g(u) = L. u→a Ent˜o a lim g(f (x)) = lim g(u) = L. x→+∞ u→a Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como lim g(u) = L temos que existe δ > 0 ca u→atal que 0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε. Como lim f (x) = a existe N2 > 0 tal que x→+∞ x > N2 ⇒ |f (x) − a| < δ. Tomando N = max{N1 , N2 } temos x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε. O teorema permanece v´lido considerarmos x → −∞. a3 Continuidade de Fun¸˜es Reais de Vari´vel co a Real3.1 Defini¸˜o de Continuidade caNeste cap´ ıtulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nossoestudo para as fun¸˜es reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de coAn´lise Matem´tica o estudo da continuidade quando as fun¸˜es est˜o definidas a a co aem um subconjunto qualquer da reta. Todas as fun¸˜es que consideraremos neste cap´ co ıtulo s˜o do tipo f : I → R aonde I ´ uma uni˜o de intervalos. e a 26
  • 27. Defini¸˜o: ca a) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´ ca e ınua em p ∈ I se para todo ε > 0existir δ > 0 tal que x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε. b) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita cont´ ca e ınua se o for em todos os pontos deseu dom´ ınio. c) Uma fun¸˜o f : I → R ´ dita descont´ ca e ınua em p ∈ I se f n˜o ´ cont´ a e ınuaem p. Observa¸˜es: A verifica¸˜o da continuidade de fun¸˜es definidas em inter- co ca covalos (a, b) ou [a, b] ´ um pouco mais simples: e 1) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : (a, b) → R ´ cont´ ca e ınua seexistir lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda lim f (x) = f (p). Em particular, x→p x→pusando a caracteriza¸˜o de limites por sequˆncias ter´ ca e ıamos que f ´ cont´ e ınua emp se e somente se ∀ (xn ) tal que xn → p tem-se f (xn ) → f (p) . 2) De acordo com a defini¸˜o acima , temos que f : [a, b] → R ´ cont´ ca e ınua se: a) Existe lim f (x) , para todo p ∈ (a, b) e lim f (x) = f (p); x→p x→p b) Existe lim+ f (x) e lim+ f (x) = f (a); x→a x→a c) Existe lim− f (x) e lim− f (x) = f (b). x→b x→b3.2 Opera¸˜es com Fun¸˜es e Continuidade co coOs resultados que obteremos nesta se¸˜o s˜o demonstrados da mesma forma ca aque os an´logos para limites. a Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R fun¸˜es cont´ co ınuas em p ∈ I e k ∈ Ruma constante. Ent˜o: a a) f + g ´ cont´ e ınua em p. b) f − g ´ cont´ e ınua em p. c) f.g ´ cont´ e ınua em p. d) Se g(p) = 0 ent˜o f ´ cont´ a g e ınua em p. e) kf ´ cont´ e ınua em p. Uma consequˆncia imediata do resultado acima ´: e e Corol´rio: a a) Toda fun¸˜o polinomial ´ cont´ ca e ınua. b) Toda fun¸˜o racional ´ cont´ ca e ınua. Demonstra¸˜o: ca 27
  • 28. a) De fato, se f ´ polinomial ent˜o existe um polinˆmio e a o p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R. Como as fun¸˜es dadas por xm , m ∈ N, s˜o cont´ co a ınuas, segue do teoremaacima que as fun¸˜es dadas por aj xj , j ∈ {0, 1, ..., n}, tamb´m o s˜o. Como co e asoma de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ cont´ e ınua , segue que toda fun¸˜o polinomial ´ ca econt´ınua. b) De fato, se f ´ uma fun¸˜o racional , ent˜o existem polinˆmios p, q tais e ca a oque f (x) = p(x) . q(x) Como o quociente de fun¸˜es cont´ co ınuas ´ cont´ e ınua, desde que o polinˆmio odo denominador n˜o se anule, segue que toda fun¸˜o racional ´ cont´ a ca e ınua pois o´ em todos os pontos de seu dom´e ınio. Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R satisfazendo que f (I1 ) ⊂ I2 , f ınua em p ∈ I1 e que g ´ cont´´ cont´e e ınua em f (p). Ent˜o g ◦ f ´ cont´ a e ınua em p. Demonstra¸˜o: Seja ε > 0. Como g ´ cont´ ca e ınua em f (p) temos que existeδ1 > 0 tal que u ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε. Como f ´ cont´ e ınua em p temos que existe δ > 0 tal que x ∈ I1 ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2 , |f (x) − f (p)| < δ1 ⇒ ⇒ f (x) ∈ I2 ∩ (f (p) − δ1 , f (p) + δ1 ) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.3.3 Algumas Propriedades das Fun¸˜es Cont´ co ınuasNesta se¸˜o provaremos alguns resultados sobre a conserva¸˜o de sinal e sobre ca caa continuidade de fun¸˜es mon´tonas . co o Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´ ca ınua em p ∈ I . Se f (p) > 0ent˜o existe δ > 0 tal que a x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0. f (p) Demonstra¸˜o: Como f (p) > 0, tomamos ε = ca 2 e temos que existeδ > 0 tal que f (p) f (p) x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ⇒ f (x) > > 0. 2 2 28
  • 29. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o cont´ ca ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0ent˜o existe δ > 0 tal que a x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0. Demonstra¸˜o: Como f (p) < 0, tomamos ε = − f (p) e temos que existe ca 2δ > 0 tal que f (p) f (p) f (p)x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < − ⇒ f (x) < f (p)− = < 0. 2 2 2 Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e al´m disso tanto ea imagem quanto o dom´ ınio de f forem intervalos ent˜o f ´ cont´ a e ınua. Demonstra¸˜o: Sem perda de generalidade vamos supor que f ´ crescente. ca eDado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p. Seja ε > 0. Suponhamos tamb´m que f (p) n˜o seja extremidade do intervalo e aque ´ a imagem. e Como f (I) ´ um intervalo ent˜o existem x1 , x2 ∈ I tais que f (x1 ) = f (p) − ε e ae f (x2 ) = f (p) + ε . Assim basta tomarmos δ = min{p − x1 , x2 − p} e temos |x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1 ) < f (x) < f (x2 ) = f (p) + ε. Deixamos como exerc´ o caso geral. ıcio Corol´rio: As fun¸˜es trigonom´tricas inversas s˜o cont´ a co e a ınuas. ca ´ Demonstra¸˜o: E imediato pelo teorema acima, visto que localmente todasas trigonom´tricas inversas s˜o crescentes ou decrescentes e seus dom´ e a ınios eimagens s˜o intervalos. a3.4 O Teorema do Valor Intermedi´rio aNesta se¸˜o estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu caenunciado ´ bastante simples mas as consequˆncias s˜o extremamente impor- e e atantes. Imagine uma fun¸˜o que seja cont´ ca ınua em um intervalo [a, b]. Suponhamosque d est´ entre f (a) e f (b). Como a fun¸˜o ´ cont´ a ca e ınua o seu gr´fico pode aser desenhado sem que soltemos o l´pis. De fato, a continuidade impede que ao gr´fico apresente saltos. Desta forma n˜o tem como sairmos de (a, f (a)) e a achegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenhaordenada d. Logo conclu´ ımos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal quef (c) = d. Esta ´ a conclus˜o do Teorema do Valor Intermedi´rio. e a a Vamos enunciar este teorema. Teorema do Valor Intermedi´rio: Sejam f : [a, b] → R cont´ a ınua e dentre f (a) e f (b). Ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d. a 29
  • 30. Demonstra¸˜o : Dividiremos a prova em dois casos. ca 1o Caso: Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b]tal que f (c) = 0. Fa¸amos a0 = a e b0 = b. Consideremos c0 o ponto m´dio de [a0 , b0 ]. Calcu- c elamos f (c0 ). Se f (c0 ) < 0 ent˜o definimos a1 = c0 e b1 = b0 ( se f (c0 ) = 0 n˜o a atemos mais o que provar e se f (c0 ) > 0 ent˜o definimos a1 = a0 e b1 = c0 ). a Em seguida consideramos c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ] e repetimos o processo eacima. Prosseguindo com este racioc´ ınio, construiremos uma sequˆncia de intervalos eencaixantes [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...tais que f (an ) < 0 e f (bn ) > 0. Al´m disso bn − an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente. e O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um unico ´c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn . A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zeroo teorema da conserva¸˜o do sinal implicaria que f (an ) e f (bn ) teriam o mesmo casinal para n suficientemente grande, j´ que a distˆncia de an a bn tende a zero. a a Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0. Logo, se f for cont´ ınua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contr´rios, aent˜o existir´ pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0. a a 2o Caso: Caso Geral. Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b). Consideremos a fun¸˜o g(x) = f (x) − d. ca Obviamente g ´ cont´ e ınua e g(a) < 0, g(b) > 0. Pelo 1o caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d. Exemplos: 1) Prove que x3 − 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real. Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3 − 4x + 8. Como f ´ polinomial segue que f ´ cont´ e e ınua. Al´m disso, f (−3) = −7 < 0, ef (0) = 8 > 0. Logo pelo Teorema do Valor Intermedi´rio, a ∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0. Logo o polinˆmio acima admite uma raiz real. o 2) Todo polinˆmio de grau ´ o ımpar admite uma raiz real. De fato, seja p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0com n ´ ımpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an > 0. Provemos inicialmente que lim p(x) = +∞ e lim p(x) = −∞. x→+∞ x→−∞ 30
  • 31. Temos lim p(x) = lim (an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) = x→±∞ x→±∞ an−1 a1 a0 = lim an xn (1 + + .... + + )= x→±∞ an x an xn−1 an xn = ±∞. Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0. Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.3.5 O Teorema de WeierstrassNesta se¸˜o demonstraremos outra importante propriedade das fun¸˜es cont´ ca co ınuas.Provaremos que se uma fun¸˜o for cont´ ca ınua em um intervalo fechado [a, b] ent˜o aela assumir´ um valor m´ximo e um valor m´ a a ınimo. Teorema da Limita¸˜o: Se f : [a, b] → R ´ cont´ ca e ınua ent˜o existe M > 0 atal que |f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b]. Demonstra¸˜o: Suponhamos que n˜o exista um M > 0 satisfazendo o ca aque ´ desejado. e Chamamos a1 = a, b1 = b. Deve ent˜o existir x1 ∈ [a1 , b1 ] tal que |f (x1 )| > 1. a Seja c1 o ponto m´dio de [a1 , b1 ]. e Como f n˜o ´ limitada em [a1 , b1 ] ent˜o f n˜o ser´ limitada em [a1 , c1 ] ou a e a a aem [c1 , b1 ]. Sem perda de generalidade, suponhamos que f n˜o ´ limitada em [c1 , b1 ]. a e Chamamos a2 = c1 , b2 = b1 . Como f n˜o ´ limitada em em [a2 , b2 ] existe x2 ∈ [a2 , b2 ] tal que |f (x2 )| > 2. a e Prosseguindo com este racioc´ ınio constru´ ımos uma sequˆncia e [a1 , b1 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...satisfazendo que a distˆncia bn −an est´ se aproximando de zero quando n cresce a ae que, para todo natural n, existe xn ∈ [an , bn ] com |f (xn )| > n. Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o unico real tal que c ∈ [an , bn ], para todo ´n ∈ N. ´ E claro que xn est´ convergindo para c e que |f (xn )| est´ divergindo para a ao infinito. Pela continuidade de f ter´ ıamos que lim |f (x)| = +∞. Observemos x→cque isto ´ um absurdo. Logo existe M > 0 tal que e |f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b]. 31
  • 32. Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´ cont´ e ınua existem x1 e x2em [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), para qualquer x ∈ [a, b]. Demonstra¸˜o : Sendo f cont´ ca ınua em [a, b], pelo teorema anterior f ser´ alimitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e´ınfimo. Sejam M = sup A, m = inf A. Est´ claro que m ≤ f (x) ≤ M. a Resta-nos provar que existem x1 e x2 tais que f (x1 ) = m e f (x2 ) = M. Observe que se f (x) < M para todo x ent˜o a fun¸˜o dada por a ca 1 g(x) = , x ∈ [a, b] M − f (x)seria cont´ ınua mas n˜o seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2 ) = M. a Analogamente provamos a existˆncia de x1 . e3.6 Potˆncias Irracionais eNa se¸˜o 1.3 lembramos algumas propriedades das potˆncias racionais. ca e Dado m ∈ Q, a > 0 definimos n m √ m b = an ⇔ bn = a. O objetivo desta se¸˜o ´ definirmos ax , x ∈ R. ca e √ O que significa 3 2 ? Sabemos que os racionais n˜o ocupam todo o espa¸o da reta mas mesmo a cassim eles est˜o presentes em√ a qualquer intervalo, por menor que seja. Assim emqualquer intervalo contendo 2 existem racionais e nestes sabemos calcular as √potˆncias. Seria natural ent˜o definirmos 3 2 como o limite de 3r , r ∈ Q, ao r e √ atender a 2. A d´vida que sobra ´ se esse limite realmente existe. u e O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantir´ que existe uma unica a ´fun¸˜o cont´ ca ınua em R tal que f (r) = 3r , para qualquer r ∈ Q. Em outraspalavras, existe uma unica maneira de completarmos o pontilhado do gr´fico ´ aacima e obtermos uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Assim iremos definir √ √ 3 2 = f ( 2) = lim f (x). √ x→ 2 Teorema: Dado a > 0, a = 1 temos que existe uma unica fun¸˜o cont´ ´ ca ınuadefinida em R tal que f (r) = ar , ∀r ∈ Q. Para provarmos o teorema acima precisaremos de 3 resultados preliminares. 32
  • 33. Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o para todo ε > 0, existe um natural an tal que 1 an − 1 < ε Demonstra¸˜o: Pela desigualdade de Bernoulli ca n (1 + ε) ≥ 1 + nε. a−1 Basta tomarmos n > ε . Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existemracionais r e s , com r < x < s tais que as − as < ε. Demonstra¸˜o: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional car < x, tem-se ar < at .Pelo lema 1, existe n natural tal que 1 at a n − 1 < ε. 1Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r < n teremos 1 as − ar = ar (as−r − 1) < at a n − 1 < ε. Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Ent˜o , para todo x real dado , existe aum unico real γ tal que ´ ar < γ < aspara quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s. Demonstra¸˜o: Como o conjunto ca {ar |r racional , r < x}´ n˜o vazio e limitado superiormente por todo as , s racional, tal conjunto admitee aum supremo que indicamos por γ. Segue que ar < γ < as .Falta provarmos que tal γ ´ unico. De fato, se γ1 for tal que e´ ar < γ1 < asquaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s ter´ ıamos |γ − γ1 | < as − are pelo lema 2 ter´ ıamos que |γ − γ1 | < ε, ∀ε > 0 33
  • 34. e da´ γ = γ1 . ı Prova do Teorema: Inicialmente vamos supor a > 1. Com rela¸˜o ao lema caanterior , se x for racional ent˜o γ = ax . O unico γ ser´ indicado por f (x) . Fica a ´ aconstru´ıda, assim, uma fun¸˜o f definida em R, e tal que f (r) = ar para todo caracional r. Antes de provarmos a continuidade de f provemos que f ´ crescente. eSejam x1 < x2 . Temos ar1 < f (x1 ) < as1e ar2 < f (x2 ) < as2quaisquer que sejam os racionais r1 , s1 , r2 e s2 tais que r1 < x1 < s1 e r2 < x2 < s2 .Assim , sendo s um racional com x1 < s < x2 temos f (x1 ) < as < f (x2 )o que prova que f ´ crescente. e Vamos provar a continuidade de f . Seja p ∈ R. Pelo lema 2 dado ε > 0existem racionais r e s com r < p < s tais que as − ar < ε.Para todo x ∈ (r, s) temos |f (x) − f (p)| < as − ar < εo que prova a continuidade da f em p. Segue que f ´ cont´ e ınua em R. Finalmente se 0 < a < 1 basta considerarmos a fun¸˜o dada por ca −x 1 f (x) = . a A fun¸˜o f : R → R dada por f (x) = ax , a > 0, a = 1 ´ chamada de ca e ¸˜FUNCAO EXPONENCIAL.4 Derivadas de Fun¸˜es Reais de Vari´vel Real co a4.1 Introdu¸˜o e Defini¸˜o de Derivada ca caDefini¸˜o: Seja f : I → R, uma fun¸˜o definida em I ⊂ R uma uni˜o de ca ca aintervalos abertos. a) Dizemos que f ´ deriv´vel em p ∈ I se existe o limite e a f (p + h) − f (p) lim . h→0 h 34
  • 35. Neste caso chamamos tal limite de derivada da f em p e denotamos: f (p + h) − f (p) f (p) = lim . h→0 h b) Dizemos que f ´ deriv´vel em I se o for em todos os pontos de I. e a Observa¸˜es: co 1) Dizer que existe a derivada de uma fun¸˜o f em um ponto p significa geo- cametricamente que seu gr´fico apresenta uma reta tangente no ponto (p, f (p)) . aIsto significa que o gr´fico n˜o pode apresentar uma quina neste ponto. a a 2) Observe que f (p + h) − f (p) f (x) − f (p) f (p) = lim = lim . h→0 h x→p x−pDe fato basta considerarmos a mudan¸a de vari´vel x = p + h. Assim para o c ac´lculo da derivada podemos escolher um dos limites acima. a Defini¸˜o: Dado uma fun¸˜o deriv´vel f : I → R definimos a fun¸˜o ca ca a caderivada f : I → R por f (x + h) − f (x) f (x) = lim . h→0 h Teorema: Seja f : I → R, uma fun¸˜o definida em I ⊂ R uma uni˜o ca ade intervalos abertos. Se f ´ deriv´vel em p ∈ I ent˜o f ´ cont´ e a a e ınua em p. Demonstra¸˜o: Basta provarmos que ca lim f (x) = f (p). x→p De fato, temos lim f (x) = f (p) ⇔ lim (f (x) − f (p)) = 0 x→p x→pe (f (x) − f (p)) lim (f (x) − f (p)) = lim . (x − p) = x→p x→p (x − p) = f (p) .0 = 0. Observa¸˜o: Ser deriv´vel ´ condi¸˜o suficiente para ser cont´ ca a e ca ınua e sercont´ ınua ´ condi¸˜o necess´ria para ser deriv´vel isto ´ e ca a a e deriv´vel ⇒ cont´nua. a ıA rec´ıproca ´ falsa, isto ´, ser deriv´vel n˜o ´ necess´rio para ser cont´ e e a a e a ınua e sercont´ ınua n˜o ´ suficiente para ser deriv´vel isto ´ a e a e cont´nua ı deriv´vel. aDe fato, considere por exemplo a fun¸˜o f : R → R dada por f (x) = |x| . Temos caque f ´ cont´ e ınua em x = 0 mas n˜o ´ deriv´vel em x = 0. a e a 35
  • 36. 4.2 Regras de Deriva¸˜o caNesta se¸˜o calcularemos a derivada da soma, da diferen¸a, do produto e do ca cquociente de fun¸˜es. Em seguida estudaremos a derivada da composta de duas cofun¸˜es. co Teorema : Sejam I ⊂ R, uma uni˜o de intervalos abertos, f, g : I → R afun¸˜es deriv´veis em p ∈ I e k ∈ R uma constante real. Temos: co a a) (f ± g) ´ deriv´vel em p e (f ± g) (p) = f (p) ± g (p) . e a b) (kf ) ´ deriv´vel em p e (kf ) (p) = kf (p) . e a c) (f g) ´ deriv´vel em p e (f g) (p) = f (p)g (p) + f (p) g (p) . e a f f g(p)f (p)−f (p)g (p) d) Se g (p) = 0 ent˜o a g ´ deriv´vel em p e e a g (p) = g(p)2 . Demonstra¸˜o: ca a) A prova se reduz ao c´lculo do limite a (f ± g) (p + h) − (f ± g) (p) (f ± g) (p) = lim = h→0 h f (p + h) ± g (p + h) − f (p) g (p) = lim = h→0 h f (p + h) − f (p) g (p + h) − g (p) = lim ± = h→0 h h = f (p) ± g (p) . b) Deixamos como exerc´ ıcio. c) A prova se reduz ao c´lculo do limite a (f.g) (p + h) − (f.g) (p)(f.g) (p) = lim = h→0 h f (p + h) .g (p + h) − f (p) .g (p) = lim = h→0 h f (p + h) .g (p + h) − f (p) g (p + h) + f (p) g (p + h) − f (p) .g (p) = lim = h→0 h f (p + h) − f (p) g (p + h) − g (p) = lim g (p + h) + f (p) =∗ h→0 h h Como g ´ deriv´vel em p ent˜o g ´ cont´ e a a e ınua em p e portanto lim g (p + h) = g (p) . h→0 Assim temos ∗ = f (p)g (p) + f (p) g (p) . d) Vamos inicialmente provar que 1 −g (p) (p) = 2 . g g (p) 36
  • 37. De fato, calculemos o limite 1 1 1 g (p + h) − g (p) (p) = lim = g h→0 h 1 1 g(p+h) − g(p) = lim = h→0 h g(p)−g(p+h) g(p+h)g(p) = lim = h→0 h −1 g (p + h) − g (p) = lim = h→0 g (p + h) g (p) h −g (p) = 2 . g (p) Para obtermos o caso geral basta aplicarmos c) e o que provamos acima. Teorema (REGRA DA CADEIA):Sejam f : I → R e g : J → Rsatisfazendo que f (I) ⊂ J. Se f ´ deriv´vel em p e g ´ deriv´vel em f (p) ent˜o e a e a ag ◦ f : I → R ´ deriv´vel em p e (g ◦ f ) (p) = g (f (p)) .f (p) . e a Demonstra¸˜o: ca Calculemos o limite (g ◦ f ) (p + h) − (g ◦ f ) (p) (g ◦ f ) (p) = lim = h→0 h g (f (p + h)) − g (f (p)) = lim =∗ h→0 h Para simplificarmos nosso c´lculo vamos supor que existe δ > 0 tal que a 0 < |h| < δ ⇒ f (p + h) = f (p) . Assim temos k = f (p + h) − f (p) g(f (p) + k) − g (f (p)) f (p + h) − f (p) ∗ = lim . = h→0 k h = g (f (p)) .f (p) .4.3 Derivada da Fun¸˜o Inversa caNesta se¸˜o aprenderemos como derivar a inversa de uma dada fun¸˜o. ca ca Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o invers´ ca ıvel , com fun¸˜o inversa caf −1 : f (I) → R. Se f for deriv´vel em q = f −1 (p) , com f (q) = 0 e se f −1 a 37
  • 38. ınua em p, ent˜o f −1 ser´ deriv´vel em p efor cont´ a a a 1 f −1 (p) = . f (q) Demonstra¸˜o: Temos ca f −1 (x) − f −1 (p) f −1 (x) − f −1 (p) = = x−p f (f −1 (x)) − f (f −1 (p)) 1 = f (f −1 (x))−f (f −1 (p)) , para x = p. f −1 (x)−f −1 (p) Fazendo u = f −1 (x), pela continuidade de f −1 em p temos que u → q parax→pe f −1 (x) − f −1 (p) 1 1 lim = lim f (u)−f (q) = . x→p x−p u→q f (q) u−q5 O Teorema do Valor M´dio e Aplica¸˜es e coEstudaremos um dos principais teoremas do C´lculo: O Teorema do Valor aM´dio. A partir deste teorema poderemos fazer uma an´lise detalhada do gr´fico e a ade fun¸˜es reais de vari´vel real. Para provarmos este teorema precisamos ini- co acialmente estudar m´ximos e m´ a ınimos.5.1 M´ximos e M´ a ınimos: O Teorema de FermatLembremos que o Teorema de Weierstrass garante que se f : I → R for cont´ ınua,e I for um intervalo fechado [a, b] ent˜o existem x1 e x2 em [a, b] tais que a f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] .f (x1 ) ´ chamado de m´ e ınimo e f (x2 ) de m´ximo de f. a Nesta se¸˜o estudaremos m´ximos e m´ ca a ınimos de fun¸˜es f : I → R onde I co´ um intervalo qualquer da reta. Utilizaremos a derivada para tal estudo.e Proposi¸˜o: Sejam f : I → R e c ∈ I um ponto onde f ´ deriv´vel. ca e a a) Se f (c) > 0 ent˜o existe δ > 0 tal que para a c − δ < x1 < c < x2 < c + δtem-se f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) . b) Se f (c) < 0 ent˜o existe δ > 0 tal que para a c − δ < x1 < c < x2 < c + δ 38
  • 39. tem-se f (x1 ) > f (c) > f (x2 ) . Demonstra¸˜o: ca Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ ıcio. Se f (c) > 0 ent˜o temos a f (x) − f (c) lim > 0. x→c x−c Logo existe δ1 > 0 tal que f (x) − f (c) c < x < c + δ1 ⇒ > 0 ⇒ f (c) < f (x) . x−c Da mesma forma, existe δ2 > 0 tal que f (x) − f (c) c − δ2 < x < c ⇒ > 0 ⇒ f (x) < f (c) . x−c Tomando δ = min{δ1 , δ2 } temos c − δ < x1 < c < x2 < c + δ ⇒ c − δ2 < x1 < c e c < x2 < c + δ1 ⇒ ⇒ f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) . Defini¸˜o: Seja f : I → R. ca a) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ximo de f e a e f (c) ´ um valor em´ximo de f se a f (x) ≤ f (c) , ∀x ∈ I. b) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ e ınimo de f e f (c) ´ um valor m´ e ınimode f se f (x) ≥ f (c) , ∀x ∈ I. c) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ximo local de f se existir δ > 0 tal e aque |x − c| < δ ⇒ f (x) ≤ f (c) . d) Dizemos que c ∈ I ´ um ponto de m´ e ınimo local de f se existir δ > 0 talque |x − c| < δ ⇒ f (c) ≤ f (x) . Teorema de Fermat: Seja f : I → R uma fun¸˜o deriv´vel em c ∈ I, ca aum ponto interior de I. Se c ´ ponto de m´ximo ou m´ e a ınimo local de f ent˜o af (c) = 0. Demonstra¸˜o:ca Suponhamos que f (c) = 0. Sem perda de generalidade podemos suporf (c) > 0 e que c ´ ponto de m´ximo local. e a 39
  • 40. Pela proposi¸˜o anterior, existe δ1 > 0 tal que para ca c − δ1 < x1 < c < x2 < c + δ1tem-se f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) . Como c ´ ponto de m´ximo local, existe δ2 > 0 tal que e a |x − c| < δ2 ⇒ f (x) ≤ f (c) . Tomando δ = min{δ1 , δ2 } e x2 satifazendo c < x2 < c + δ segue que c < x2 < c + δ1 e |x2 − c| < δ2e portanto f (c) < f (x2 ) e f (x2 ) ≤ f (c) . Esta contradi¸˜o implica que f (c) = 0. ca Observa¸˜es: co 1) Observe que o teorema de Fermat d´ uma condi¸˜o necess´ria aos pontos a ca ade m´ximo e m´ a ınimo locais de f. A condi¸˜o n˜o ´ suficiente. Considere por ca a eexemplo f (x) = x3 . Temos que f (0) = 0 e no entanto 0 n˜o ´ ponto de m´ximo local nem de a e am´ınimo local. 2) Dada uma fun¸˜o f : I → R, podem ocorrer pontos de m´ximo e m´ ca a ınimoem pontos onde f n˜o ´ deriv´vel. Considere por exemplo f (x) = |x| . a e a Observe que 0 ´ um ponto de m´ e ınimo local e no entanto n˜o existe f (0) . a Defini¸˜o:c ´ um ponto cr´ ca e ıtico de f : I → R se f (c) = 0 ou se n˜o existe af (c) . Teorema: Seja f : [a, b] → R cont´ ınua. Os valores m´ximo e m´ a ınimo de fs˜o assumidos ou nos pontos cr´ a ıticos de f ou nos extremos do intervalo. Demonstra¸˜o: O Teorema de Weierstrass garante a existˆncia de x1 e x2 ca epontos de m´ximo e m´ a ınimo de f. Se x1 e x2 ∈ {a, b} nada temos a provar. Se um deles pertencer a (a, b)ent˜o em tal ponto f ´ ou n˜o deriv´vel. Se n˜o for deriv´vel ent˜o o ponto a e a a a a aser´ cr´ a ıtico e se for deriv´vel ent˜o o teorema de Fermat garante que a derivada a aem tal ponto se anular´, ou seja o ponto ser´ cr´ a a ıtico. Teorema: Sejam f : I → R deriv´vel e a, b ∈ I, a < b. Se f (a) .f (b) < 0 aent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0. a Demonstra¸˜o: Pelo teorema de Weierstrass existem α, β ∈ [a, b] tais que caf (α) e f (β) s˜o os valores m´ximo e m´ a a ınimo de f em [a, b] . Se α = β ent˜o f ´ constante em [a, b] e o teorema ´ trivialmente satisfeito. a e e Se α = β ent˜o temos 3 possibilidades: a 40
  • 41. a) Se pelo menos um dos dois est´ em (a, b) ent˜o o Teorema de Fermat a aaplica-se a tal ponto e o teorema est´ provado. a b) Se α = a e β = b ent˜o a f (x) − f (a) f a+ = lim+ ≤0 x→a x−a f (x) − f (b) f b− = lim− ≤0 x→b x−be isto contraria a hip´tese que f (a) .f (b) < 0. o c) Se α = b e β = a ent˜o a f (x) − f (a) f a+ = lim ≥0 x→a+ x−a f (x) − f (b) f b− = lim− ≥0 x→b x−be isto contraria a hip´tese que f (a) .f (b) < 0. o Teorema (Propriedade do Valor Intermedi´rio para Derivadas): aSejam f : I → R deriv´vel e a < b ∈ I. Se k ∈ R satisfaz f (a) < k < f (b) aent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = k. a Demonstra¸˜o: Basta aplicar o teorema anterior para ca F (x) = f (x) − kx. Corol´rio: Sejam f : I → R deriv´vel e a < b ∈ I. Se f (x) = 0 em [a, b] a aent˜o f tem sinal constante em [a, b] . a Demonstra¸˜o: Se existissem x1 e x2 tais que f (x1 ) < 0 e f (x2 ) > 0 caent˜o existiria x0 tal que f (x0 ) = 0. a5.2 Os Teoremas de Rolle e do Valor M´dio eNesta se¸˜o provaremos o TVM (Teorema do Valor M´dio) a partir da prova de ca eum caso particular (Teorema de Rolle). Teorema (Teorema de Rolle): Seja f : [a, b] → R cont´ ınua em [a, b] ederiv´vel em (a, b) . Se f (a) = f (b) ent˜o existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. a a Demonstra¸˜o: Se f for constante em [a, b] ent˜o f (x) = 0, para todo ca ax ∈ (a, b) e neste caso nada temos para provar. Se f n˜o for constante ent˜o, pelo a aTeorema de Weierstass, existem x1 e x2 em [a, b] , x1 = x2 , tais que x1 ´ ponto ede m´ximo e x2 ´ ponto de m´ a e ınimo. Como f (a) = f (b) ent˜o necessariamente aum dos dois est´ em (a, b) . De fato, caso contr´rio f seria constante. Sem perda a ade generalidade, suponhamos que x1 ∈ (a, b) . Como f ´ deriv´vel em x1 segue, e apela proposi¸˜o anterior que f (x1 ) = 0 e portanto basta tomarmos c = x1 . ca 41
  • 42. Teorema (Teorema do Valor M´dio): Seja f : [a, b] → R cont´ e ınua em f (b)−f (a)[a, b] e deriv´vel em (a, b) . Ent˜o existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = b−a . a a Demonstra¸˜o:Basta considerarmos a fun¸˜o g : [a, b] → R dada por ca ca f (b) − f (a) g(x) = f (x) − f (a) − (x − a) . b−a ´ E claro que g satisfaz as hip´teses do teorema de Rolle o g ´ cont´ e ınua em [a, b] g ´ diferenci´vel em (a, b) e a g (b) = g (a) = 0e portanto existe c ∈ (a, b) tal que g (c) = 0. Como f (b) − f (a) g (x) = f (x) − b−asegue que f (b) − f (a) f (c) = . b−a5.3 Intervalos de Crescimento e DecrescimentoTeorema: Seja f : I → R deriv´vel. a a) Se f (x) > 0, para todo x ∈ I, ent˜o f ´ crescente em I. a e b) Se f (x) < 0,para todo x ∈ I, ent˜o f ´ decrescente em I. a e Demonstra¸˜o:ca Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ ıcio. Sejam x1 , x2 ∈ I, satisfazendo x1 < x2 . Vamos aplicar o TVM em [x1 , x2 ] . Assim existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que f (x2 ) − f (x1 ) f (c) = . x2 − x1 Como f (x) > 0 em I segue que f (x2 ) − f (x1 ) >0 x2 − x1e portanto f (x2 ) > f (x1 )j´ que x2 > x1 . a 42
  • 43. Logo f ´ crescente em I. e Teorema (Teste da Derivada Primeira): Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua ,deriv´vel em uma vizinhan¸a V de x0 , exceto possivelmente em x0 . Vale que: a c a) Se f (x) < 0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o ax0 ´ ponto de m´ e ınimo local; b) Se f (x) > 0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) < 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o ax0 ´ ponto de m´ximo local. e a Demonstra¸˜o:Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ ca ıcio. Se f (x) <0 para x ∈ V, x < x0 e f (x) > 0 para x ∈ V, x > x0 ent˜o f ´ decrescente para a ex ∈ V, x < x0 e crescente para x ∈ V, x > x0 . Logo f (x0 ) ≤ f (x) , para x ∈ V.5.4 Aplica¸˜es Geom´tricas da Derivada Segunda co eNesta se¸˜o utilizaremos a derivada segunda para avaliar a concavidade do cagr´fico de fun¸˜es reais de vari´vel real e para decidirmos se um ponto cr´ a co a ıtico ´ eponto de m´ximo ou m´ a ınimo local. Defini¸˜o:Seja f : I → R uma fun¸˜o deriv´vel definida em uma vizinhan¸a ca ca a cde p ∈ I. a)Dizemos que f ´ convexa em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I etem-se f (p) + f (p) (x − p) < f (x) . b)Dizemos que f ´ cˆncava em p se existir δ > 0 tal que em (p − δ, p + δ)∩I e otem-se f (p) + f (p) (x − p) > f (x) . Observa¸˜o: Dizer que uma fun¸˜o ´ convexa em um ponto p significa, ca ca egeometricamente, que o gr´fico de f, para x suficientemente pr´ximo de p, est´ a o aacima da reta tangente ao gr´fico de f em (p, f (p)) . Dizer que uma fun¸˜o ´ a ca ecˆncava em um ponto p significa, geometricamente, que o gr´fico de f, para x o asuficientemente pr´ximo de p, est´ abaixo da reta tangente ao gr´fico de f em o a a(p, f (p)) . Teorema : Seja f : I → R uma fun¸˜o duas vezes deriv´vel, definida em ca auma vizinhan¸a de p ∈ I. c a) Se f (p) > 0 ent˜o f ´ convexa em p. a e b) Se f (p) < 0 ent˜o f ´ cˆncava em p. a e o Demonstra¸˜o: ca Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ ıcio. Queremos provar que f (x) − f (p) − f (p) (x − p) > 0para x suficientemente pr´ximo de p. o 43
  • 44. Como f (p) > 0, do teorema da conserva¸˜o do sinal segue que ca f (x) − f (p) >0 x−ppara x suficientemente pr´ximo de p. Utilizando o teorema do valor m´dio, o etemos que existe a entre x e p tal que f (x) − f (p) f (a) = . x−p Assim ´ suficiente mostrarmos que e f (a) (x − p) − f (p) (x − p) > 0. (*) Como a est´ entre x e p ent˜o , para x suficientemente pr´ximo de p temos a a o f (a) − f (p) > 0. a−p Assim, se x > p ent˜o a > p e f (a) > f (p) . Logo ∗ ocorre. Da mesma aforma, se x < p ent˜o a < p e f (a) < f (p) . Logo ∗ ocorre. a Defini¸˜o: Seja f : I → R uma fun¸˜o definida em uma vizinhan¸a de ca ca cp ∈ I. Dizemos que p ´ ponto de inflex˜o do gr´fico de f se p ´ ponto de troca e a a ede concavidade. Teorema: Seja f : I → R uma fun¸˜o duas vezes deriv´vel, definida em ca auma vizinhan¸a de p ∈ I. Se p for ponto de inflex˜o do gr´fico de f ent˜o c a a af (p) = 0. Demonstra¸˜o: Basta observarmos que se f (p) n˜o fosse zero ent˜o f ca a aseria convexa ou cˆncava em p. o Observa¸˜o: A rec´ ca ıproca ´ falsa. Basta considerar por exemplo a fun¸˜o e cadada por f (x) = x4 e p = 0. Teorema ( Teste da Derivada Segunda) Seja f : I → R uma fun¸˜o ca ınua e p ∈ I.duas vezes deriv´vel, com f cont´ a a) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 ent˜o p ´ um ponto de m´ a e ınimo local. b) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 ent˜o p ´ um ponto de m´ximo local. a e a Demonstra¸˜o:Provemos a) e deixemos b) como exerc´ ca ıcio. Como f (p) > 0 e f ´ cont´ e ınua ent˜o f (x) > 0 para x em uma vizinhan¸a a cde p. Logo f ´ crescente em uma vizinhan¸a de p. Desta forma f (x) < 0 ` e c adireita de p e f (x) > 0 ` esquerda de p. Pelo teste da derivada primeira segue aque p ´ ponto de m´ e ınimo local. 44
  • 45. 6 O Teorema de Cauchy, A Regra de L’Hospital e A F´rmula de Taylor o6.1 O Teorema de CauchyNesta se¸˜o provamos duas generaliza¸˜es do Teorema do Valor M´dio: ca co e 1) O Teorema de Cauchy. Este teorema nos dar´ a ferramenta necess´ria a apara estudarmos a famosa regra de L’Hospital para o c´lculo de limites envol- avendo indetermina¸˜es e co 2) A F´rmula de Taylor para aproximarmos fun¸˜es por polinˆmios. o co o Teorema de Cauchy: Sejam f, g fun¸˜es tais que : co a) f, g s˜o cont´ a ınuas em [a, b] ; b) f, g s˜o deriv´veis em (a, b) ; a a Ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que a f (x0 ) [g (b) − g (a)] = g (x0 ) [f (b) − f (a)] . Demonstra¸˜o: Basta aplicarmos o Teorema de Rolle para a fun¸˜o dada ca capor F (x) = [f (x) − f (a)] [g (b) − g (a)] − [g (x) − g (a)] [f (b) − f (a)] . Observa¸˜es: co 1) Se g (x) = 0 em (a, b) e g (b) = g (a) ent˜o existe x0 ∈ (a, b) tal que a f (b) − f (a) f (x0 ) = . g (b) − g (a) g (x0 ) 2)O TVM ´ um caso particular do Teorema de Cauchy. De fato, basta econsiderar g (x) = x.6.2 A Regra de L’HospitalTeorema: Sejam f, g fun¸oes definidas em algum intervalo aberto contendo a, c˜exceto possivelmente em a,e satisfazendo lim f (x) = lim g (x) = 0 (ou ∞) . x→a x→a Se a) f, g s˜o deriv´veis nesse intervalo, exceto possivelmente em a, com g (x) = a a0 e g (x) = 0 e b) Existe f (x) lim =L∈R x→a g (x) 45
  • 46. ou f (x) lim = ∞. x→a g (x) Ent˜o a f (x) f (x) lim = lim . x→a g (x) x→a g (x) Demonstra¸˜o: Provaremos apenas um caso particular. Vamos provar que ca 0se a indetermina¸˜o for do tipo 0 ent˜o ca a f (x) f (x) lim = lim . x→a+ g (x) x→a+ g (x) Vamos tamb´m supor que f e g s˜o cont´ e a ınuas em a. Neste caso a conclus˜o do teorema ´ uma consequˆncia direta do Teorema a e ede Cauchy. De fato, temos f (x) f (x) − f (a) f (cx ) lim = lim = lim =∗ x→a g (x) x→a g (x) − g (a) x→a g (cx )onde cx est´ entre a e x. Obviamente ao x → a temos cx → a e portanto a f (x) ∗ = lim . x→a g (x)6.3 Aproxima¸˜o de Fun¸˜es por Polinˆmios: A F´rmula ca co o o de TaylorVamos provar mais uma generaliza¸˜o do TVM: ca Teorema ( Teorema Estendido da M´dia): Seja f uma fun¸˜o definida e caem um intervalo aberto I satisfazendo: 1) f ´ n vezes deriv´vel em I com f (n) cont´ e a ınua em I; 2) Existe f (n+1) em I. 46
  • 47. Ent˜o dados a, b em I, existe x0 ∈ (a, b) tal que a f (n) (a) n f (n+1) (x0 ) n+1f (b) = f (a) + f (a) (b − a) + ... + (b − a) + (b − a) . n! (n + 1)! Demonstra¸˜o: Seja k a constante dada por ca f (n) (a) n k n+1 f (b) = f (a) + f (a) (b − a) + ... + (b − a) + (b − a) n! (n + 1)! Vamos aplicar o Teorema de Rolle para a fun¸˜o ca f (n) (a) n k n+1φ (x) = f (b)−f (x)−f (a) (b − x)−...− (b − x) − (b − x) . n! (n + 1)! Temos a) φ ´ cont´ e ınua em [a, b] , b) φ ´ deriv´vel em (a, b) e e a c) φ (a) = φ (b) = 0. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe x0 ∈ (a, b) tal que φ (x0 ) = 0. Calcu-lando φ (x0 ) obtemos f (n+1) (x0 ) n k n − (b − x0 ) + (b − x0 ) = 0 n! n!e portanto k = f (n+1) (x0 ) . Defini¸˜o: A f´rmula ca o f (n) (a) n f (n+1) (x0 ) n+1f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + (x − a) n! (n + 1)! ´obtida do teorema na troca de b por x ´ dita FORMULA DE TAYLOR de eordem n de f com RESTO DE LAGRANGE. Defini¸˜o: O polinˆmio ca o n f (i) (a) i pn,a (x) = (x − a) i=0 i!e ˆ´ dito POLINOMIO DE TAYLOR de grau n de f em potˆncias de (x − a) . e Nota¸˜o: Denotamos ca f (n+1) (x0 ) n+1 Rn,a (x) = (x − a) (n + 1)! 47
  • 48. a diferen¸a entre f (x) e pn,a (x) . Chamamos tal diferen¸a de Resto de Lagrange. c c Proposi¸˜o: Vale que ca Rn,a (x) lim n = 0. x→a (x − a) Demonstra¸˜o: Basta efetuarmos o c´lculo ca a f (n) (a) n Rn,a (x) f (x) − f (a) − f (a) (x − a) − ... − n! (x − a)lim n = lim n =x→a (x − a) x→a (x − a) f (n) (a) n−1 f (x) − f (a) − f (a) (x − a) − ... − (n−1)! (x − a) = lim n−1 = x→a n (x − a) f (n) (a) − f (n) (a) = ... = lim = 0. x→a n! A proposi¸˜o acima nos motiva a utilizarmos a seguinte nota¸˜o ca ca f (n) (a) n n f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + o (x − a) (*) n!onde n o (x − a) ndenota uma fun¸˜o que tende a zero mais r´pido que (x − a) ao x tender a a. ca a nDizemos que Rn,a (x) ´ ”o pequeno” de (x − a) . e Proposi¸˜o: ca 1) O polinˆmio pn,a (x) ´ o unico polinˆmio de grau n que satisfaz a igual- o e ´ o (k) (k)dade pn,a (a) = f (a) , k = 0, 1, ..., n. 2) Se f (x) = qn (x) + E (x) com qn (x) sendo um polinˆmio de ordem n e o nE (x) = o (x − a) ent˜o qn (x) = pn,a (x) . a Demonstra¸˜o: ca 1) Suponhamos que n p (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a)´ um polinˆmio que satisfaz p(k) (a) = f (k) (a) , k = 0, 1, ..., n.e o 48
  • 49. f (k) (a) Para provarmos que p (x) = pn,a (x) basta provarmos que ak = k! , k =0, 1, ..., n. De fato, p(k) (a) = k!ake portanto f (k) (a) ak = . k! 2) Suponhamos que n qn (x) = a0 + a1 (x − a) + ... + an (x − a) n´ um polinˆmio que satisfaz E (x) = f (x) − qn (x) = o (x − a) . Provemos quee o f (k) (a)qn (x) = pn,a (x) . Para isso ´ suficiente mostrarmos que ak = e k! . De fatotemos n f (n) (a) n f (x) − a0 − ... − an (x − a) f (x) − f (a) − ... − n! (x − a)0 = lim n − lim n = x→a (x − a) x→a (x − a) f (n) (a) n (f (a) − a0 ) + (f (a) − a1 ) (x − a) + ... + n! − an (x − a) = lim n x→a (x − a) f (k) (a)e isto s´ ´ poss´ se ak = oe ıvel k! para k = 0, 1, ..., n.6.4 Desenvolvimentos Assint´ticos Limitados oDefini¸˜o: Seja f uma fun¸˜o definida em um intervalo aberto I, contendo a, ca casatisfazendo: 1) f ´ n vezes deriv´vel em I com f (n) cont´ e a ınua em I; 2) Existe f (n+1) em I. A express˜o a f (n) (a) n n f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + ... + (x − a) + o (x − a) n!´ dita DAL (Desenvolvimento Assint´tico Limitado) de ordem n de f em a.e o Observa¸˜o: De acordo com o que vimos na se¸˜o anteior o DAL de ordem ca can de f em a ´ unico. e´ ´ ´TABELA BASICA DE DESENVOLVIMENTOS ASSINTOTICOS LIMITADOS 1 1 1 1) exp (x) = 1 + x + 2 x2 + 6 x3 + 24 x4 + o x4 ; ∀x ∈ R. 1 2 1 3 1 4 2) ln(1 + x) = x − 2 x + 3 x − 4 x + o x4 ; ∀x, −1 < x ≤ 1. 3) sin (x) = x − 6 x3 + 120 x5 − 5040 x7 + 3621880 x9 + o x9 ; ∀x ∈ R. 1 1 1 49
  • 50. 4) cos (x) = 1 − 1 x2 + 24 x4 − 720 x6 + 40 1 x8 + o x8 ; ∀x ∈ R. 2 1 1 320 a 1 1 5) (1 + x) = 1 + ax + 2 a (a − 1) x2 + 6 a (a − 1) (a − 2) x3 + o x3 ; ∀x, |x| <1. 6) tan (x) = x + 3 x3 + 15 x5 + 315 x7 + 2835 x9 + o(x9 ); ∀x, |x| < π . 1 2 17 62 2 −1 7) cot (x) = x − 3 x − 45 x − 945 x − 4725 x7 − 93 2 x9 + o x9 ; ∀x = 1 1 3 2 5 1 5550, |x| < π. 8) sec (x) = 1 + 2 x2 + 24 x4 + 720 x6 + 8064 x8 + o x8 ; ∀x, |x| < π . 1 5 61 277 2 9) csc (x) = x−1 + 1 x + 360 x3 + 1531 x5 + 604 800 x7 + o x7 ; ∀x = 0, |x| < π. 6 7 120 127 1 3 5 35 10)arcsin (x) = x + 6 x3 + 40 x5 + 112 x7 + 1152 x9 + o x9 ; ∀x, |x| < 1. 1 1 3 3 5 5 35 11)arccos (x) = 2 π − x − 6 x − 40 x − 112 x7 − 1152 x9 + o x9 ; ∀x, |x| < 1. 1 3 1 5 1 7 1 9 12)arctan (x) = x − 3 x + 5 x − 7 x + 9 x + o x9 ; ∀x ∈ R. Observa¸˜o: Com os desenvolvimentos assint´ticos acima podemos deduzir ca ouma s´rie de outros. Considere os seguintes exemplos: e 1) f (x) = sin (3x) para x em uma vizinhan¸a de 0 : c 9 sin (3x) = 3x − x3 + o x3 . 2 π 2) f (x) = sin (x) para x em uma vizinhan¸a de c 2 : π y = x− 2 π sin (x) = sin y + = cos (y) 2 1 1 cos (y) = 1 − y2 + y4 + o y4 2 24e assim 2 4 4 1 1 1 1 1 sin (x) = 1 − x− π + x− π +o x− π . 2 2 24 2 2 √ 3) f (x) = a2 + x para x em uma vizinhan¸a de 0 : c 1 x 2 a2 + x = |a| 1 + a2 1 x 2 1 1 1 3 5 1+ = 1+ x+ − 4 x2 + x + − x4 + o x4 a2 2a 2 8a 16a6 128a8e assim 1 1 1 3 5 a2 + x = |a| + x + − 4 x2 + x + − x4 + o x4 . 2a2 8a 16a6 128a8 √ 4) f (x) = x2 − x4 − x3 para x em uma vizinhan¸a do ∞ : c 1 2 2 1 2 x − x4 − x3 =x 1− 1− x 50
  • 51. e assim x 1 1.3 1 1.3..... (2n − 1) 1 1x2 − x4 − x3 = + 2 + 3 + ... + +o . 2 2 2! 2 3! x 2n n! xn−2 xn−2 ´ ¸˜ O CALCULO OPERACIONAL DA RELACAO o : Seja f, g, h definidas em um intervalo aberto contendo x0 . Utilizando aspropriedades operacionais de limites prova-se com facilidade as seguintes pro-priedades: f (x)+g(x) 1) f = o (g) ⇒ f + g ∼ g, isto ´ lim e g(x) = 1. x→x0 2) g = o (f ) , h = o(f ) ⇒ (g ± h) = o (f ) . 3) h = o (f ) , f = o (g) ⇒ h = o (g) . 4) g = o (f ) ⇒ kg = o (f ) , ∀k ∈ R, k = 0. 5) g = o (f ) ⇒ gh = o (f h) , h = o f . g h 6) g = o (f ) , h limitada ⇒ gh = o (f ) . Deixamos como exerc´ a prova das propriedades acima. ıcio ¸˜ ´ OPERACOES COM DESENVOLVIMENTOS ASSINTOTICOS SOMA: Adiciona-se as parcelas conhecidas, como a adi¸˜o de polinˆmios, ca oe utiliza-se o c´lculo operacional da rela¸˜o o. Por exemplo: a ca 1 1 5 1 7 1 sin x = x − x3 + x − x + x9 + o x9 6 120 5040 362 880 1 1 1 6 1 cos x = 1 − x2 + x4 − x + x8 + o x8 2 24 720 40 320 1 1 1 1 5 1 6 sin x + cos x = 1 + x − x2 − x3 + x4 + x − x + o x6 2 6 24 120 720 PRODUTO: Para ilustrar como operamos com o produto considere oseguinte exemplo: f (x) = sin x cos x 1 1 5 1 7 1 sin x = x − x3 + x − x + x9 + o x9 6 120 5040 362 880 1 1 1 6 1 cos x = 1 − x2 + x4 − x + x8 + o x8 2 24 720 40 320 51
  • 52. Montamos uma tabela colocando na horizontal os coeficientes do desenvolvi-mento do sin x e na vertical os coeficientes de cos x. Em seguida efetuamos osprodutos dos coeficientes 1 1 0 1 0 −6 0 120 0 1 1 1 0 1 0 −6 0 120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 0 −1 2 0 1 12 0 1 − 240 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 24 0 24 0 − 144 0 2880 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 − 720 0 − 720 0 4320 0 − 86400 0 Assim temos 1 1sin x cos x = 0 + (1 + 0) x + (0 + 0 + 0) x2 + − + 0 − + 0 x3 6 2 1 1 1 + (0 + 0 + 0 + 0 + 0) x4 + +0+ +0+ + 0 x5 + o x5 120 12 24e assim 2 2 sin x cos x = x − x3 + x5 + o x5 . 3 15 ˜ DIVISAO: Fazemos a divis˜o dos desenvolvimentos assint´ticos utilizando a oo processo de divis˜o de polinˆmios mas com ordem crescente das potˆncias de a o ex, truncando-se a divis˜o quando atingida o ordem pedida. Por exemplo vamos aobter o desenvolvimento de f (x) = tan x : sin x 6 1 x − 1 x3 + 120 x5 − 1 7 5040 x + o x 7 tan x = = = cos x 2 1 1 − 1 x2 + 24 x4 − 1 6 6 720 x + o (x ) 1 2 = x + x3 + x5 + O x6 3 15 Exemplos: 1 1) Determine f (4) (0) de f (x) = 1−3x+x2 . Podemos resolver este problemautilizando o processo acima, isto ´ efetuando a divis˜o dos DAL’s: e a 1 = 1 + 3x + 8x2 + 21x3 + 55x4 + o x4 1 − 3x + x2e assim temos que f (4) (0) = 55 4!e portanto f (4) (0) = 1320. 2) Podemos utilizar DAL’s para calcularmos limites. Calculemos por exem-plo lim sinx3 . x−x x→0 52
  • 53. Temos x3 3 sin x − x x− 6 + o x3 − x − x + o x3 6 1 lim = lim = lim =− . x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 67 Primitiva¸˜o ca7.1 Introdu¸˜o e Opera¸˜es Elementares ca coNesta se¸˜o vamos introduzir o conceito de primitiva. ca Encontrar uma primitiva de uma fun¸˜o f ´ encontrar uma fun¸˜o F que ca e catenha como derivada a fun¸˜o f. ca Defini¸˜o:Sejam f : I → R, F : I → R fun¸˜es definidas em uma uni˜o de ca co aintervalos abertos. Dizemos que F ´ uma PRIMITIVA de f se F for deriv´vel e ae F (x) = f (x) , ∀x ∈ I. Teorema: Se F : I → R e G : I → R s˜o primitivas de f : I → R ent˜o a aexiste k ∈ R tal que F (x) = G (x) + k, ∀x ∈ I. Demonstra¸˜o: Provemos inicialmente que ca h (x) = 0, ∀x ∈ I ⇒ h ´ constante. e De fato, dados x1 < x2 em I, aplicando o TVM em [x1 , x2 ] temos que h (x2 ) − h (x1 ) =0 x2 − x1e portanto h (x1 ) = h (x2 ) . Logo h ´ constante em I. e Para provarmos o teorema basta aplicarmos o que acabamos de provar para h = F − G. Defini¸˜o: Dada f : I → R, o processo de determinar todas as suas primi- ca e ¸˜tivas ´ dito PRIMITIVACAO e a fun¸˜o dada por ca F (x) + k,onde F ´ uma primitiva de f e k ´ uma constante, ´ dita PRIMITIVA GERAL e e ede f . Denotamos f (x) dx = F (x) + k Teorema: Sejam F e G primitivas de f e g , respectivamente, em I. Vale: a) F ± G ´ primitiva de f ± g. e b) kF ´ primitiva de kf , onde k ∈ R. e Demonstra¸˜o: Imediato. ca 53
  • 54. 7.2 Primeiro M´todo de Substitui¸˜o e caTeorema: Sejam f, g, F fun¸˜es tais que : co a) Im(g) ⊆Dom(f ) ; b) g ´ deriv´vel; e a b) F ´ primitiva de f. e Ent˜o F (g (x)) ´ primitiva de f (g (x)) g (x) . a e Demonstra¸˜o: Basta calcularmos (F (g (x))) : ca (F (g (x))) = F (g (x)) .g (x) = f (g (x)) .g (x) . ca ´ Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico ca a u = g (x) du = g (x) dx g (x) dx = du f (g (x)) g (x) dx = f (u) du = F (u) + k = F (g (x)) + k.7.3 Primitiva¸˜o por Partes caTeorema: Sejam f, g fun¸˜es deriv´veis. Se existirem as primitivas co a f (x) g (x) dxe f (x) g (x) dxent˜o a f (x) g (x) dx = f (x) g (x) − f (x) g (x) dx. ca ´ Demonstra¸˜o: E imediato. Basta lembrarmos da derivada do produto deduas fun¸˜es co (f (x) g (x)) = f (x) g (x) + f (x) g (x) . ca ´ Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico ca a u = f (x) , v = g (x) du = f (x) dx, dv = g (x)dxfornecendo a f´rmula o udv = uv − vdu. 54
  • 55. 7.4 Primitiva¸˜o de Fun¸˜es Racionais ca coAntes de apresentarmos a t´cnica vamos falar um pouco sobre os polinˆmios. e o Qualquer polinˆmio o q (x) = xm + bm−1 xm−1 + ... + b1 x + b0pode ser escrito como r rk s1 sj q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk ) x2 + β1 x + γ1 ... x2 + βj x + γjonde k j ri +2 si =m i=1 i=1e os fatores s˜o distintos entre si. Al´m disso a e 2 (βi ) − 4γi < 0, i = 1, ...., j. Os fatores x2 + βi x + γi , i = 1, ...., js˜o chamadas de fatores quadr´ticos irredut´ a a ıveis. O problema que queremos resolver nesta se¸˜o ´ o c´lculo de primitivas de ca e afun¸˜es racionais co p (x) dx. q (x) Vamos supor que o grau do polinˆmio p (x) ´ menor que o grau do polinˆmio o e oq (x) . Caso isso n˜o ocorra, efetuamos a divis˜o de p por q e obtemos : a a p (x) r (x) = t (x) + q (x) q (x)onde t (x) , r(x) s˜o polinˆmios e o grau de r (x) ´ menor que o grau de q (x) . a o e Sendo p (x) e q (x) polinˆmios com o r rk s1 sj q (x) = (x − α1 ) 1 ... (x − αk ) x2 + β1 x + γ1 ... x2 + βj x + γj , p(x)grau de q (x) igual a m e grau de p (x) menor que m, temos que q(x) pode serdecomposto em fra¸˜es simples cop (x) a11 a1r1 ak1 akrk = + ... + r1 + ... + + ... + r +q (x) (x − α1 ) (x − α1 ) (x − αk ) (x − αk ) k b11 x + c11 b1s x + c1s1 + 2 + ... + 2 1 s + ... + x + β1 x + γ1 (x + β1 x + γ1 ) 1 bj1 x + cj1 bjs x + cjsj + 2 + ... + 2 j s x + βj x + γj (x + βj x + γj ) jonde al,m , bp,q e cr,s s˜o coeficientes que devem ser determinados algebricamente. a Desta forma o c´lculo da primitiva reduz-se ao c´lculo das primitivas das a afra¸˜es parciais. co 55
  • 56. Resolu¸˜o das Primitivas que aparecem nas Fra¸˜es Parciais ca co CASO I dx x−α Nas se¸˜es anteriores j´ vimos que a substitui¸˜o co a ca u=x−αresolve dx = ln |x − α| + k. x−α CASO II dx n (x − α) Da mesma forma que o anterior obtemos dx 1 n = n−1 + k. (x − α) (n − 1) (x − α) CASO III bx + c dx. x2 + βx + γ Inicialmente fazemos bx + c 1 x dx = c dx + b dx = x2 + βx + γ x2 + βx + γ x2 + βx + γ = b (TIPO A) + c ( TIPO B) Vejamos como calcular as primitivas dos tipos A e B: TIPO A: Inicialmente completamos o quadrado 2 2 β β x2 + βx + γ = x2 + βx + − +γ = 2 2 2 β 4γ − β 2 = x+ + . 2 4 56
  • 57. Assim 1 1 dx = 2 dx = x2 + βx + γ β 4γ−β 2 x+ 2 + 4 1 = (2x+β)2 dx = 4γ−β 2 4 + 4 1 = 4 2 dx = √2x+β (4γ − β2) 2 +1 4γ−β 4 1 = dx = ∗ 4γ − β 2 2 √2x+β +1 4γ−β 2 Fazemos a substitui¸˜o ca 2x + β u = 4γ − β 2 2 du = dx 4γ − β 2e obtemos 4 1 4γ − β 2 ∗ = du = 4γ − β 2 u2 +1 2 2 = arctan u + k = 4γ − β 2 2 2x + β = arctan + k1 . 4γ − β2 4γ − β 2 TIPO B: Temos x 2x + β − β dx = dx = x2 + βx + γ 2 (x2 + βx + γ) 1 2x + β β 1 = 2 + βx + γ dx − 2 + βx + γ dx = 2 x 2 x 1 2x + β β 2x + β = dx − arctan . 2 x2 + βx + γ 4γ − β 2 4γ − β 2 Resta calcularmos 2x + β dx. x2 + βx + γ Temos u = x2 + βx + γ du = (2x + β) dx 57
  • 58. e assim 2x + β 1 dx = du = ln |u| + k2 = x2 + βx + γ u = ln x2 + βx + γ + k2 . Assim x 1 β 2x + β dx = ln x2 + βx + γ − arctan + k2 x2 + βx + γ 2 4γ − β2 4γ − β 2e finalmente temos a f´rmula o bx + c 2 2x + β dx = c arctan + x2 + βx + γ 4γ − β 2 4γ − β 2 1 β 2x + β +b ln x2 + βx + γ − arctan +k = 2 4γ − β2 4γ − β 2 b 2c β 2x + β = ln x2 + βx + γ + (−b + ) arctan +k = 2 β 4γ − β2 4γ − β 2 b (2c − bβ) 2x + β = ln x2 + βx + γ + arctan + k. 2 4γ − β 2 4γ − β 2 CASO IV: bx + c n dx. (x2 + βx + γ) Inicialmente fazemos bx + c x 1 n dx = b n dx + c n dx (x2 + βx + γ) (x2 + βx + γ) (x2 + βx + γ) Temos x 2x + β β 1 n dx = n dx − n dx (x2 + βx + γ) 2 (x2 + βx + γ) 2 (x2 + βx + γ) Assim bx + c b 2x + β bβ 1 n dx = 2 + βx + γ)n dx + c − n dx = (x2 + βx + γ) 2 (x 2 (x2 + βx + γ) b bβ = (TIPO C) + c − (TIPO D) . 2 2 TIPO C: Fazemos u = x2 + βx + γ du = (2x + β) dx 58
  • 59. e assim 2x + β 1 1 n dx = du = + k1 = (x2 + βx + γ) un (1 − n) un−1 1 = + k1 . (1 − n) (x2 + βx + γ)n−1 TIPO D: Inicialmente escrevemos 2 2x + β x2 + βx + γ = − √ +1 4 −e assim n 1 4 1 2 + βx + γ)n dx = − n dx. (x 2x+β 2 √ − +1 Fazemos 2x + β u = √ − 2 du = √ dx −e obtemos n √ 1 4 − 1 2 + βx + γ)n dx = − n du = (x 2 (u2 + 1) 2n−1 2 1 = √ n du. − (u2 + 1) Para o c´lculo desta ultima usamos uma f´rmula de redu¸˜o a ´ o ca 1 1 u 3 − 2n 1 n du = + n−1 du. (u2 + 1) 2n − 2 (u2 + 1)n−1 2 − 2n (u2 + 1)7.5 Segundo M´todo de Substitui¸˜o e caTeorema: Sejam f : I → R e g : J → I tais que g ´ invers´ e deriv´vel. Se e ıvel aF (t) ´ uma primitiva de e f (g (t)) .g (t)em J ent˜o F g −1 (x) ´ uma primitiva de f em I. a e Demonstra¸˜o: Basta calcularmos a derivada de F g −1 (x) : ca F ◦ g −1 (x) = F g −1 (x) g −1 (x) = 1 = f g g −1 (x) g g −1 (x) = g (t) 1 = f (x) g (t) = g (t) = f (x) . 59
  • 60. ca ´ Observa¸˜o: E usual a ado¸˜o do seguinte esquema pr´tico ca a PROBLEMA: f (x) dx x = g (t) , conveniente dx = g (t) dt f (x) dx = f (g (t)) g (t) dt = F (t) + k f (x) dx = F g −1 (x) + k Primitivas de Fun¸˜es Irracionais co Sendo R (x, y) uma fun¸˜o racional nas vari´veis x,y e pn (x) um polinˆmio ca a ode grau n ent˜o vale que a R x, pn (x) dx´ elementar se e somente se n = 0, 1 ou 2. Este resultado ´ conhecido comoe eTeorema de Hermite. 1o Caso: Se n = 0 ent˜o a fun¸˜o ´ uma fun¸˜o racional. a ca e ca 2o Caso: Se n = 1 ent˜o a √ R x, p1 (x) = R x, ax + b . Neste caso o segundo m´todo de substitui¸˜o pode ajudar: e ca t2 = ax + b. 3o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo a2 − x2a dica ´ fazer a substitui¸˜o e ca x = a sin t. Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que a x sin t = 2 √ a2 − x2 cos t = . a 4o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo a2 + x2 60
  • 61. a dica ´ fazer a substitui¸˜o e ca x = a tan t. Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que a √ a2 + x2 sec t = a x tan t = a 5o Caso: Se n = 2 e f envolve radicais do tipo x2 − a2a dica ´ fazer a substitui¸˜o e ca x = a sec t. Neste caso quando voltarmos para a vari´vel x usamos que a x sec t = a √ x2 − a2 tan t = a p Primitivas do Tipo xm (a + bxn ) dx Uma primitiva do tipo p xm (a + bxn ) dx; m, n, p ∈ Q; a, b ∈ R´ elementar see m+1 m+1 {p, , + p} ∩ Z = ∅. n n Este resultado ´ conhecido como Teorema de Chebyshev. e 1o Caso: Se p ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o a ca x = tNonde N ´ o m´ e ınimo m´ltiplo comum dos denominadores de m e n. u m+1 2o Caso: Se n ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o a ca a + bxn = xNonde N ´ o denominador de p. e 61
  • 62. m+1 3o Caso: Se n + p ∈ Z ent˜o usamos a substitui¸˜o a ca a + b = tN xnonde N ´ o denominador de p. e Primitivas de Fun¸˜es Racionais que envolvem ex co A dica que damos para este tipo de primitiva ´ a substitui¸˜o e ca x = ln t. Primitivas com fra¸˜es envolvendo potˆncias de seno e co-seno: co e A dica ´ considerar a substitui¸˜o e ca x = 2 arctan t. Alguns casos particulares: 1) Se R (− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)ou R (sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)pode-se usar t = cos x ou t = sin x. 2) Se R (− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)pode-se usar x = arctan t.8 A Integral de Riemann8.1 Introdu¸˜o e Defini¸˜o ca caAs no¸˜es de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes codo C´lculo Diferencial e Integral. A derivada est´ relacionada com a no¸˜o a a cageom´trica de tangente e com a no¸˜o f´ e ca ısica de velocidade. Veremos nas pr´ximas se¸˜es que a integral est´ relacionada a no¸˜o geom´trica o co a ca ede ´rea e com a id´ia f´ a e ısica de trabalho. 62
  • 63. No final deste cap´ıtulo provaremos o Teorema Fundamental do C´lculo que arelaciona estes dois conceitos aparentemente diversos. Defini¸˜o: Uma parti¸˜o de um intervalo [a, b] ´ um conjunto de pontos ca ca e P = {x0 , x1 , ..., xn } ⊂ [a, b]satisfazendo a = x0 < x1 < ... < xn = b. Observa¸˜o: ca n (xi − xi−1 ) = b − a. i=1 Nota¸˜es: Dada f : [a, b] → R limitada denotamos: co m = inf{f (x) |x ∈ [a, b]} M = sup{f (x) |x ∈ [a, b]} mi = inf{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]} Mi = sup{f (x) |x ∈ [xi−1 , xi ]} A soma inferior de f relativamente a parti¸˜o P ´ ca e n s (f, P ) = mi (xi − xi−1 ) . i=1 A soma superior de f relativamente a parti¸˜o P ´ ca e n S (f, P ) = Mi (xi − xi−1 ) . i=1 ´ E imediato que m (b − a) ≤ s (f, P ) ≤ S (f, P ) ≤ M (b − a)seja qual for a parti¸˜o de [a, b] . ca Se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] ent˜o as somas inferior e superior s˜o a avalores aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da ´rea da regi˜o a alimitada pelo gr´fico de f, pelo intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b. a Defini¸˜o: A integral inferior e a integral superior de uma fun¸˜o limitada ca caf : [a, b] → R s˜o definidas por a b f (x) dx = sup s (f, P ) a P − − b f (x) dx = inf S(f, P ) a P 63
  • 64. Observa¸˜es: co A seguir listamos algumas propriedades que s˜o naturais do ponto de vista ageom´trico. Deixaremos as demonstra¸˜es para o curso de An´lise Matem´tica. e co a a 1) Quando refinamos uma parti¸˜o a soma inferior n˜o diminui e a soma ca asuperior n˜o aumenta: a P ⊂ Q ⇒ s (f, P ) ≤ s (f, Q) P ⊂ Q ⇒ S (f, Q) ≤ S (f, P ) . 2) A observa¸˜o anterior implica que para quaisquer parti¸˜es P, Q do inter- ca covalo [a, b] e qualquer fun¸˜o limitada f : [a, b] → R tem-se ca s (f, P ) ≤ s (f, P ∪ Q) ≤ S(f, P ∪ Q) ≤ S (f, Q)e portanto s (f, P ) ≤ S (f, Q) . 3) Dada f : [a, b] → R , se m ≤ f (x) ≤ Mpara todo x ∈ [a, b] ent˜o a − b b m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) . a a − De fato, as desigualdades externas s˜o ´bvias e a do meio segue das ob- a oserva¸˜es anteriores. co Defini¸˜o: Uma fun¸˜o limitada f : [a, b] → R diz-se integr´vel quando sua ca ca aintegral inferior e sua integral superior s˜o iguais. Esse valor comum chama-se aintegral de f e ´ indicado por e b f (x) dx. a Interpreta¸˜o Geom´trica: ca e Quando f ´ integr´vel , sua integral e a b f (x) dx a´ o n´mero real cujas aproxima¸˜es por falta s˜o as somas inferiores s (f, P ) ee u co acujas aproxima¸˜es por excesso s˜o as somas superiores S (f, P ) . co a As aproxima¸˜es melhoram quando se refina a parti¸˜o P. Quando f (x) ≥ 0 co ca bpara todo x ∈ [a, b] , a existˆncia de a f (x) dx significa que a regi˜o limitada e apelo gr´fico de f, pelo segmento [a, b] e pelas retas verticais x = a e x = b tem aa´rea e o valor da integral ´ por defini¸˜o a ´rea dessa regi˜o. e ca a a 64
  • 65. Exemplos: 1) Seja f : [0, 1] → R definida por 0, x ∈ Q f (x) = . 1, x ∈ Qc Temos, para qualquer parti¸˜o P de [0, 1] : ca s(f, P ) = 0e S(f, P ) = 1. Assim 1 f (x) dx = 0 0 −e − 1 f (x) dx = 1. 0 Logo f n˜o ´ integr´vel. a e a 2) Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = k. Temos, para qualquer parti¸˜o P de [a, b] : ca s(f, P ) = k (b − a)e S(f, P ) = k (b − a) . Assim b kdx = k (b − a) a −e − b kdx = k (b − a) . a Logo f ´ integr´vel e e a b kdx = k (b − a) . a Defini¸˜o: Dizemos que um conjunto E ´ enumer´vel se existir uma bije¸˜o ca e a caentre E e um subconjunto dos n´meros naturais. Em outras palavras os elemen- utos de E podem ser listados: E = {e1 , e2 , ...}. 65
  • 66. Alguns exemplos de conjuntos enumer´veis: vazio, qualquer conjunto finito, aN, Z, Q. Teorema: Seja f : [a, b] → R limitada. Se D (f ) , conjunto dos pontos dedescontinuidade de f, for enumer´vel ent˜o f ´ integr´vel. a a e a O Teorema acima, cuja demonstra¸˜o ser´ omitida, ´ um caso particular ca a edo Teorema de Riemann-Lebesgue que afirma que uma fun¸˜o ´ integr´vel se e ca e asomente se o conjunto dos pontos de descontinuidade tem medida nula. Em particular, Corol´rio:Todas as fun¸˜es cont´ a co ınuas em um intervalo fechado s˜o in- ategr´veis. a8.2 Primeiras Tentativas de C´lculo de Integrais aA seguir enunciaremos um teorema que nos auxiliar´ no c´lculo de integrais. a a Teorema: Sejam f : [a, b] → R limitada e integr´vel ` Riemann e a a (b − a) (b − a) (b − a) P = {x0 = a, x1 = a + , x2 = a + 2 , ..., xn = a + n } n n numa parti¸˜o de [a, b] . Vale que ca b n b−a f (x) dx = lim f (ti ) a n→+∞ i=1 nonde ti ∈ [xi−1 , xi ] ´ um ponto qualquer. e Exemplos: 1) Sabemos que f : [a, b] → Rdada por f (x) = x2 ´ limitada e integr´vel em [a, b] . De fato, isto segue direto e ado fato de ser cont´ ınua. Calculemos b x2 dx. a 66
  • 67. i(b−a) Temos, pelo teorema anterior, usando ti = a + n , que b n 2 i (b − a) b−a x2 dx = lim a+ = a n→+∞ i=0 n n n n n 3 a2 (b − a) 2ai(b − a)2 i2 (b − a) = lim + 2 + = n→+∞ i=0 n i=0 n i=0 n3 n n 3 n a2 (b − a) 2a(b − a)2 (b − a) = lim 1+ i+ i2 = n→+∞ n i=0 n2 i=0 n3 i=0 3 a2 (b − a) 2a(b − a)2 n (n − 1) (b − a) n (n + 1) (2n + 1) = lim n+ + = n→+∞ n n2 2 n3 6 3 2 (b − a) = a2 (b − a) + a (b − a) + = 3 1 3 1 3 = b − a . 3 3 2) Sabemos que f : [a, b] → Rdada por f (x) = ex ´ limitada e integr´vel em [a, b] . De fato, isto segue direto e ado fato de ser cont´ ınua. Calculemos b ex dx. a Aplicando novamente o teorema anterior, usando ti = a + (i − 1) (b−a) n b n (b−a) b−a ex dx = lim ea+(i−1) n = a n→+∞ i=0 n n (b−a) b−a (b−a) = lim ea n e(i−1) n = n→+∞ n i=0 (b−a) n ea n b−a (b−a) = lim (b−a) ei n = eb − ea . n→+∞ e n n i=08.3 Propriedades das IntegraisAntes de listarmos as propriedades das integrais apresentamos algumas defini¸˜es cocomplementares. 67
  • 68. Defini¸˜o: Dado f : [a, b] → R integr´vel definimos: ca a a a) f (x) dx = 0. a a b b) f (x) dx = − f (x) dx. b a Propriedades das Integrais Consideremos f, g fun¸˜es integr´veis em [a, b] . Sejam c1 , c2 , c3 ∈ [a, b] e co ak ∈ R. Valem: 1) (f ± g) ´ integr´vel em [a, b] e e a b b b (f (x) ± g (x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx. a a a 2) kf ´ integr´vel em [a, b] e e a b b kf (x) dx = k f (x) dx. a a 3) Se f ≥ 0 em [a, b] ent˜o a b f (x) dx ≥ 0. a 4) Se f ≤ g em [a, b] ent˜o a b b f (x) dx ≤ g (x) dx. a a 5) |f | ´ integr´vel em [a, b] e e a b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a 6) Se m ≤ f (x) ≤ M em [a, b] ent˜o a b m (b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a) . a 68
  • 69. 7) Se f = g a menos de um conjunto finito de pontos ent˜o a b b f (x) dx = g (x) dx. a a 8) c2 c3 c2 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. c1 c1 c3 N˜o iremos provar nenhuma das afirma¸˜es acima. Do ponto de vista a cogeom´trico elas s˜o bem naturais. Para prov´-las precisar´ e a a ıamos estudar as pro-priedades de supremo e ´ınfimo e isso nos tomaria um bom tempo. Deixamospara o curso de An´lise Matem´tica estas quest˜es. a a o Exemplos: 1) Provemos que 2 1 1 1 ≤ dx ≤ . 11 1 x2 + 3x + 1 5 Observe que para x ∈ [1, 2] temos que 5 ≤ x2 + 3x + 1 ≤ 11e assim 1 1 1 ≤ 2 ≤ . 11 x + 3x + 1 5 Integrando os trˆs lados obtemos a desigualdade desejada. e 2) Qual o erro de aproximar-se 100 e−x sin2 xdx 0por 10 e−x sin2 xdx? 0 Temos 100 10 100 e−x sin2 xdx = e−x sin2 xdx + e−x sin2 xdx. 0 0 10 Assim o erro que precisa ser estimado ´ e 100 e−x sin2 xdx. 10 69
  • 70. Temos 0 sin2 x ≤ 1 ≤ 0 e−x sin2 x ≤ e−x ≤ 1 1 x ∈ [10, 100] ⇒ 100 ≤ e−x ≤ 10 ⇒ e e −x 2 1 ⇒ 0 ≤ e sin x ≤ 10 . e Assim 100 100 90 e−x sin2 xdx ≤ e−10 dx = . 10 10 e10 Teorema do Valor M´dio Integral: Se f ´ uma fun¸˜o cont´ e e ca ınua em[a, b] ent˜o existe c ∈ [a, b] tal que a b f (x) dx = f (c) (b − a) . a Demonstra¸˜o: Como f ´ cont´ ca e ınua em [a, b] ent˜o, pelo Teorema de aWeierstrass, existem x1 e x2 tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] . Utilizando a propriedade 6) temos que b f (x1 ) (b − a) ≤ f (x) dx ≤ f (x2 ) (b − a) . a Assim b a f (x) dx f (x1 ) ≤ ≤ f (x2 ) . b−a Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio segue que existe c ∈ [a, b] tal que a b a f (x) dx f (c) = . b−a8.4 O Teorema Fundamental do C´lculo aNesta se¸˜o faremos a conex˜o entre os conceitos de integral e de derivada. ca a Defini¸˜o: Seja f : [a, b] → R uma fun¸˜o integr´vel. A fun¸˜o F : [a, b] → ca ca a caR dada por x F (x) = f (t) dt a 70
  • 71. ¸˜ ´´ chamada de INTEGRAL INDEFINIDA ou de FUNCAO AREA.e Teorema: F ´ uma fun¸˜o cont´ e ca ınua em [a, b] . Demonstra¸˜o: Sejam x, x0 ∈ [a, b] . Temos que ca x F (x) − F (x0 ) = f (t) dt. x0 Como f ´ integr´vel ent˜o em particular f ´ limitada. Assim existem m, M ∈ e a a eR tais que m (x − x0 ) ≤ F (x) − F (x0 ) ≤ M (x − x0 ) . Assim aplicando o Teorema do Sandu´ ıche temos que lim F (x) = F (x0 ) . x→x0 Observe que se x0 for extremo de intervalo ent˜o o limite ´ lateral. a e Teorema Fundamental do C´lculo: Seja f : I → R cont´ a ınua, I intervaloaberto contendo um ponto a. Ent˜o a F :I→Rdada por x F (x) = f (t) dt a´ deriv´vel ee a F (x) = f (x) , ∀x ∈ I. Demonstra¸˜o: Basta mostrarmos que existe o limite ca F (x + h) − F (x) lim . h→0 h Temos x+h F (x + h) − F (x) f (t) dt lim = lim x =∗ h→0 h h→0 h Aplicando o Teorema do Valor M´dio Integral temos que e x+h f (t) dt = f (cx ) h xonde cx est´ entre x e x + h. Logo a f (cx ) h ∗ = lim = f (x) h→0 hj´ que f ´ cont´ a e ınua em I. 71
  • 72. Corol´rio:Sejam a a) I ⊃ [a, b] um intervalo aberto; b) f : I → R uma fun¸ao cont´ c˜ ınua e c) g : I → R uma fun¸˜o deriv´vel satisfazendo ca a g (x) = f (x) , ∀x ∈ [a, b] . Vale que b f (t) dt = g (b) − g (a) . a Demonstra¸˜o: O Teorema Fundamental do C´lculo nos fornece uma ca aprimitiva de f : x F (x) = f (t) dt. a Como F (x) = g (x) , ∀x ∈ Isegue que existe k ∈ R tal que g (x) = F (x) + k. Assim b g (b) − g (a) = F (b) − F (a) = f (t) dt. a Observa¸˜o: ca 1) Muitas vezes o teorema acima ´ chamado de 2o Teorema Fundamental do eC´lculo. N˜o achamos muito conveniente esta nota¸˜o. O teorema acima ´ uma a a ca econsequˆncia do Teorema Fundamental do C´lculo. Mais que isso ´ a principal e a econsequˆncia. e 2) O corol´rio acima nos fornece um importante instrumento de c´lculo de a aintegrais. De fato, para calcularmos uma integral de uma fun¸˜o que possua caprimitiva elementar basta avaliarmos esta primitiva nos extremos do intervalo. 72