Objetivo        Enunciados dos resultados principais.                                Preliminares               Demonstra¸...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                   Enunciados dos resultados principais.                                           Preliminares   ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo              Enunciados dos resultados principais.                                      Preliminares             ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo           Enunciados dos resultados principais.                                   Preliminares                  D...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo             Enunciados dos resultados principais.                                     Preliminares               ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                      Enunciados dos resultados principais.                                              Prelimina...
Objetivo              Enunciados dos resultados principais.                                      Preliminares             ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                  Enunciados dos resultados principais.                                          Preliminares     ...
Objetivo              Enunciados dos resultados principais.                                      Preliminares             ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo               Enunciados dos resultados principais.                                       Preliminares           ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Objetivo                 Enunciados dos resultados principais.                                         Preliminares       ...
Objetivo                Enunciados dos resultados principais.                                        Preliminares         ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Weingarten

145 views
84 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
145
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Weingarten

  1. 1. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaHipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear ıcie c imersa em espa¸os localmente sim´tricos.* c e*em coopera¸˜o com o Prof. Dr. Henrique Fernandes de Lima ca Joseilson Raimundo de Lima 14 de dezembro de 2012 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  2. 2. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c Bibliografia1 Objetivo2 Enunciados dos resultados principais.3 Preliminares4 Demonstra¸˜o dos Teoremas ca5 Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c6 Bibliografia Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  3. 3. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaObjetivo Nosso objetivo ´ estabelecer um teorema de caracteriza¸˜o no que se re- e ca fere `s hipersuperf´ a ıcies tipo-espa¸o Weingarten lineares completas imer- c sas em um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico, cuja curvatura seccio- c e nal obedece a certas condi¸˜es apropriadas. Sob uma condi¸˜o adequada co ca no m´dulo da segunda forma fundamental, provamos que tal hipersu- o perf´ deve ser totalmente umb´ ıcie ılica ou, caso contr´rio, deve ser uma a hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas principais distintas ıcie e e que uma delas ´ simples. Depois estabelecemos, o mesmo resultado e no caso em que o espa¸o ambiente ´ um espa¸o de Einstein localmente c e c sim´trico. e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  4. 4. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. Para constantes c1 e c2 , Choi et al. [1,2] introduziram a classe dos espa¸os de Lorentz Ln+1 de dimens˜o n+1 que satisfazem as seguintes c 1 a duas condi¸˜es (onde K denota a curvatura seccional de Ln+1 ): co 1 c1 K (u, v ) = − (1) n para quaisquer vetores tipo-espa¸o u e tipo-tempo v ; e c K (u, v ) ≥ c2 (2) para quaisquer vetores tipo-espa¸o u e v . c Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  5. 5. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. Nosso prop´sito ´ estudar a rigidez de hipersuperf´ o e ıcies tipo-espa¸o Wein- c garten lineares completas, isto ´, hipersuperf´ e ıcies tipo-espa¸o completas c cuja a curvatura m´dia H e a curvatura escalar normalizada R satisfa- e zem: R = aH + b, para algum a, b ∈ R. Nestas condi¸˜es, como uma aplica¸˜o adequada co ca do princ´ ıpio do m´ximo forte de Hopf e sob restri¸˜es apropriadas no a co quadrado da norma S da segunda forma fundamental, conseguimos es- tabelecer um teorema de caracteriza¸˜o em rela¸˜o a tal hipersuperf´ ca ca ıcie tipo-espa¸o imersa em um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 , c c e 1 o qual supomos satisfazer as condi¸˜es (1) e (2). Lembramos que um co espa¸o de Lorentz Ln+1 ´ dito ser localmente sim´trico se todas as com- c 1 e e ¯ ponentes das derivadas covariantes RABCD;E do tensor curvatura de Ln+1 1 s˜o identicamentes nulas. a Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  6. 6. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. Para enunciar nossos resultados, precisamos de alguns fatos b´sicos. De- a ¯ note por RCD as componentes do tensor de Ricci de Ln+1 satisfazendo 1 co a ¯ as condi¸˜es (1) e (2), ent˜o a curvatura escalar R de Ln+1 ´ dada por e 1 n+1 n n n ¯ R= ¯ εA RAA = ¯ Rijji − 2 ¯ R(n+1)ii(n+1) = ¯ Rijji + 2c1 . A=1 i,j=1 i=1 i,j=1 Al´m disso, ´ bem conhecido que a curvatura escalar de um espa¸o de Lo- e e c n ¯ rentz localmente sim´trico ´ constante. Consequentemente, i,j=1 Rijji e e ´ uma constante naturalmente associada ao espa¸o de Lorentz local- e c mente sim´trico satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2). e co Agora, estamos em condi¸˜o de apresentar nossos resultados. ca Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  7. 7. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. Theorem Seja Ln+1 um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico satisfazendo as 1 c e condi¸oes (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n uma c˜ n hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear completa imersa em Ln+1 , ıcie c 1 1 ¯ tal que R = aH + b com b < n(n−1) i,j Rijji . Se H atinge o m´ximo a √ em M n e S ≤ 2 n − 1 c, ent˜o M n ´ totalmente umb´ a e ılica ou, caso contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas a e ıcie e principais distintas, uma das quais ´ simples. e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  8. 8. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. No caso de um espa¸o de Einstein localmente sim´trico temos o seguinte c e Theorem n+1 Seja E1 um espa¸o-tempo de Einstein localmente sim´trico c e satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n co n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear completa, ıcie c n+1 n˜o-compacta, imersa em E1 , tal que R = aH + b com a 2 2 (n − 1) a + 4 i,j R ¯ ijji − 4n(n − 1)b > 0. Se | H| ´ integr´vel a e a √ Lebesgue em M n e S ≤ 2 n − 1 c, ent˜o M n ´ totalmente umb´ a e ılica ou, caso contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas a e ıcie e curvaturas principais distintas, uma das quais ´ simples. e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  9. 9. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaEnunciados dos resultados principais. Relacionado ao caso compacto, temos o seguinte Theorem n+1 Seja E1 um espa¸o-tempo de Einstein localmente sim´trico c e satisfazendo as condi¸˜es (1) e (2), com c = c1 + 2c2 > 0. Seja M n co n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear compacta imersa em ıcie c n+1 E1 , tal que R = aH + b com √ ¯ (n − 1)2 a2 + 4 i,j Rijji − 4n(n − 1)b ≥ 0. Se S < 2 n − 1 c, ent˜o a M n ´ totalmente umb´ e ılica. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  10. 10. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e De agora em diante, consideraremos hipersuperf´ ıcies tipo-espa¸o com- c pletas M n imersas no espa¸o de Lorentz Ln+1 . Escolhemos um referencial c 1 ortonormal semi-Riemanniano de campos locais {eA }1≤A≤n+1 em Ln+1 , 1 com correferencial dual {ωA }1≤A≤n+1 , tal que, em cada ponto de M n , e1 , . . . , en s˜o tangentes a M n e en+1 ´ normal a M n . Usaremos a se- a e guinte conven¸˜o para os ´ ca ındices: 1 ≤ A, B, C , . . . ≤ n + 1, 1 ≤ i, j, k, . . . ≤ n. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  11. 11. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e Sob estas condi¸˜es, denotando por {ωAB } as formas de conex˜o de co a Ln+1 , temos que as equa¸˜es de estrutura de Ln+1 s˜o dadas por: 1 co 1 a dωA = − εB ωAB ∧ ωB , ωAB + ωBA = 0, εi = 1, εn+1 = −1, (3) B 1 ¯ dωAB = − εC ωAC ∧ ωCB − εC εD RABCD ωC ∧ ωD . (4) 2 C C ,D ¯ ¯ ¯ Aqui, RABCD , RCD e R denotam, respectivamente, o tensor curvatura Riemanniano, o tensor de Ricci e a curvatura escalar do espa¸o de Lorentz c Ln+1 . 1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  12. 12. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e Nesta configura¸˜o, temos que ca ¯ RCD = ¯ εB RBCDB , ¯ R= ¯ εA RAA . B A ¯ Al´m disso, as componentes RABCD,E da derivada covariante do tensor e curvatura Riemanniana de Ln+1 s˜o definidas por 1 a ¯ εE RABCD,E ωE = ¯ d RABCD − ¯ εE (REBCD ωEA E E ¯ ¯ ¯ +RAECD ωEB + RABED ωEC + RABCE ωED ). Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  13. 13. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e Em seguida, restringimos todos os tensores para a hipersuperf´ tipo- ıcie espa¸o M n em Ln+1 . Antes de tudo, ωn+1 = 0 em M n , assim, c 1 i ω(n+1)i ∧ ωi = dωn+1 = 0. Consequentemente, pelo Lema de Car- tan[7], existem hij tais que ω(n+1)i = hij ωj e hij = hji . (5) j Isto d´ a segunda forma fundamental de M n , h = i,j hij ωi ωj en+1 , e o a 2 quadrado de sua norma S = i,j hij . Al´m disso, a curvatura m´dia H e e n 1 de M ´ defineda por H = n i hii . e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  14. 14. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e As formas de conexˆes {ωij } de M n s˜o caracterizadas pelas equa¸˜es o a co de estrutura de M n : dωi = − ωij ∧ ωj , ωij + ωji = 0, (6) j 1 dωij = − ωik ∧ ωkj − Rijkl ωk ∧ ωl , (7) 2 k k,l onde Rijkl s˜o as componentes do tensor curvatura de M n . a Usando as equa¸˜es de estrutura, obtemos a equa¸˜o de Gauss: co ca ¯ Rijkl = Rijkl − (hik hjl − hil hjk ). (8) Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  15. 15. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e As componentes Rij do tensor de Ricci e a curvatura escalar R de M n s˜o dadas, respectivamente, por a Rij = ¯ Rkijk − nHhij + hik hkj (9) k k e n(n − 1)R = ¯ Rkjjk − n2 H 2 + S. (10) j,k As primeiras derivadas covariantes hijk de hij satisfazem hijk ωk = dhij − hik ωkj − hjk ωki . (11) k k k Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  16. 16. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e Ent˜o, pela diferencia¸˜o exterior de (5), obtemos a equa¸˜o de Codazzi a ca ca ¯ hijk − hikj = R(n+1)ijk . (12) Analogamente, as segundas derivadas covariantes hijkl de hij s˜o dadas a por hijkl ωl = dhijk − hljk ωli − hilk ωlj − hijl ωlk . (13) l l l l Pela diferencia¸˜o exterior de (11), podemos obter a seguinte f´rmula ca o de Ricci hijkl − hijlk = − him Rmjkl − hjm Rmikl . (14) m m Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  17. 17. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e ¯ ¯ Restringindo a derivada covariante RABCD;E de RABCD em M n , temos ¯ (n+1)ijk;l ´ dado por que R e ¯ R(n+1)ijk;l ¯ ¯ = R(n+1)ijkl + R(n+1)i(n+1)k hjl (15) ¯ +R(n+1)ij(n+1) hkl + ¯ Rmijk hml , m ¯ ¯ onde R(n+1)ijkl denota a derivada covariante de R(n+1)ijk como um tensor em M n , de modo que ¯ ¯ R(n+1)ijkl ωl = d R(n+1)ijk − ¯ R(n+1)ljk ωli − ¯ R(n+1)ilk ωlj − ¯ R(n+1)ijl ωlk . l l l l Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  18. 18. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e O Laplaciano ∆hij of hij ´ definido por ∆hij = e hijkk . De (12), (14) k e (15), ap´s um c´lculo simples, obtemos o a ∆hij = (nH)ij − nH hil hlj + Shij (16) l + ¯ ¯ (R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j ) k − ¯ ¯ (hkk R(n+1)ij(n+1) + hij R(n+1)k(n+1)k ) k − ¯ ¯ ¯ (2hkl Rlijk + hjl Rlkik + hil Rlkjk ). k,l Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  19. 19. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e 2 Como ∆S = 2 i,j,k hijk + i,j hij ∆hij , de (16) temos 1 ∆S = S2 + 2 hijk + (nH)ij hij (17) 2 i,j,k i,j + ¯ ¯ (R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j )hij i,j,k −( ¯ nHhij R(n+1)ij(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ) i,j k −2 ¯ ¯ (hkl hij Rlijk + hil hij Rlkjk ) − nH hil hlj hij . i,j,k,l i,j,l Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  20. 20. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e Agora, seja φ = i,j φij ωi ωj um tensor sim´trico em M n definido por e φij = nHδij − hij . De acordo com Cheng-Yau [3], introduzimos um operador associado a φ agindo em qualquer fun¸˜o suave f por ca f = φij fij = (nHδij − hij )fij . (18) i,j i,j Fazendo f = nH em (18) e tomando um referencial ortonormal (local) {e1 , . . . , en } em M n tal que hij = λδij , da equa¸˜o (10) obtemos que ca Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  21. 21. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaUma f´rmula tipo Simons em espa¸os de Lorentz o clocalmente sim´tricos. e 1 (nH) = ∆(nH)2 − (nH)2 − i λi (nH)ii (19) 2 i i 1 = ∆S − n2 | H|2 − λi (nH)ii 2 i   1  ¯ + ∆ Rijji − n(n − 1)R  . 2 i,j Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  22. 22. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaResultados auxiliares. Para provar nossos teoremas precisaremos de alguns lemas. Lemma Sejam µ1 , ..., µn n´meros reais tais que u µi = 0 e µ2 = β 2 , onde i i i β ≥ 0. Ent˜o a (n − 2) (n − 2) − β3 ≤ µ3 ≤ i β3, (20) n(n − 1) i n(n − 1) e a igualdade vale se, e somente se, ao menos (n − 1) dos n´meros µi u s˜o iguais. a Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  23. 23. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaResultados auxiliares. Agora, apresentamos nosso segundo lema auxiliar. Lemma Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear imersa em ıcie c um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 , tal que R = aH + b. c e 1 Suponha que (n − 1)2 a2 + 4 ¯ Rijji − 4n(n − 1)b ≥ 0. (21) i,j Ent˜o, a 2 hijk ≥ n2 | H|2 . (22) i,j,k Al´m disso, se a desigualdade (21) ´ estrita e a igualdade vale na e e equa¸˜o (22) em M n , ent˜o H ´ constante em M n . ca a e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  24. 24. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaResultados auxiliares. Agora, consideramos o operador modificado de Cheng-Yau n−1 L= + a∆. (23) 2 Associado a tal operador, temos o seguinte crit´rio suficiente de elipti- e cidade. Lemma Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear imersa em ıcie c um espa¸o de Lorentz localmente sim´trico Ln+1 , tal que R = aH + b c e 1 1 ¯ com b < n(n−1) i,j Rijji . Ent˜o, L ´ el´ a e ıptico. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  25. 25. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaResultados auxiliares. Caminha observou que ´ poss´ generalizar um resultado do Yau, ob- e ıvel tendo o seguinte Lemma Seja X um campo vetorial suave sobre uma variedade Riemanniana orientada, completa, n˜o-compacta, n-dimensional Σn , tal que divΣ X a n˜o muda de sinal em Σn . Se |X | ∈ L1 (Σ), ent˜o divΣ X = 0. a a Temos tamb´m o seguinte resultado sobre o divergente das trans- e forma¸˜es de Newton. co Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  26. 26. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaResultados auxiliares. Lemma Os divergentes das transforma¸˜es de Newton s˜o dados pelas co a seguintes f´rmulas indutivas: o divP0 = 0 n (24) divPr = − N A(divPr −1 ) − N i=1 R(N, Pr −1 ei )ei Equivalentemente, para todo campo x ∈ X(M), seque-se que: r n j divPr , X = (− N) R(N, Pr −j ei )ei , Aj−1 X (25) j=1 i=1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  27. 27. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Inicialmente, observamos que a simetria local de Ln+1 implica que 1 ¯ ¯ (R(n+1)ijk;k + R(n+1)kik;j )hij = 0. i,j,k Dessa forma, se escolhermos um referencial ortonormal (local) {e1 , . . . , en } em M n tal que hij = λi δij , usando as equa¸˜es (17) e (19) co temos de (23) que Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  28. 28. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca L(nH) = hijk − n2 | H|2 + S 2 − nH 2 λ3 i (26) i,j,k i −2 ¯ ¯ (λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) i i,j,k,l −( ¯ nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ). i,j k Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  29. 29. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Assim, do Lema 5, temos L(nH) ≥ S 2 − nH λ3 − 2 i ¯ ¯ (λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) i (27) i i,j,k,l −( ¯ nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ). i,j k Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  30. 30. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Assim, do Lema 5, temos L(nH) ≥ S 2 − nH λ3 − 2 i ¯ ¯ (λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) i (27) i i,j,k,l −( ¯ nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ). i,j k Agora, defina Φij = hij − Hδij . Consideraremos o seguinte tensor sim´- e trico Φ= Φij ωi ωj . i,j Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  31. 31. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Seja |Φ|2 = ij ´ a Φ2 o quadrado da norma de Φ. E f´cil verificar que Φ ´ e i,j livre de tra¸o (isto ´, trΦ = 0) e c e |Φ|2 = S − nH 2 . Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  32. 32. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Seja |Φ|2 = ij ´ a Φ2 o quadrado da norma de Φ. E f´cil verificar que Φ ´ e i,j livre de tra¸o (isto ´, trΦ = 0) e c e |Φ|2 = S − nH 2 . Se tomarmos um referencial (local) {e1 , . . . , en } em p ∈ M n , tal que hij = λi δij e Φij = µi δij , ´ simples verificar que e µi = 0, µ2 = |Φ|2 e i µ3 = i λ3 − 3H|Φ|2 − nH 3 . i i i i i Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  33. 33. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Consequentemente, aplicando o Lema 4 aos n´meros reais µ1 , . . . , µn , u temos S 2 − nH λ3 i = (|Φ|2 + nH 2 )2 − n2 H 4 (28) i −3nH 2 |Φ|2 − nH λ3 i i n(n − 2) ≥ |Φ|4 − nH 2 |Φ|2 − H|Φ|3 . n(n − 1) Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  34. 34. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca Usando as condi¸˜es (1) e (2), obtemos co −( ¯ nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ) = c1 (S − nH 2 ) (29) i,j k e −2 ¯ i ¯ (λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) ≥ c2 (λi − λk )2 (30) i,j,k,l i,k = 2nc2 (S − nH 2 ). Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  35. 35. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca c1 Assim, tomando c = n + 2c2 , de (27), (28), (29) e (30) obtemos que n(n − 2) L(nH) ≥ |Φ|2 nc + S − 2nH 2 − H|Φ| . (31) n(n − 1) Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  36. 36. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca c1 Assim, tomando c = n + 2c2 , de (27), (28), (29) e (30) obtemos que n(n − 2) L(nH) ≥ |Φ|2 nc + S − 2nH 2 − H|Φ| . (31) n(n − 1) Por outro lado, com um simples c´lculo verificamos que a 1 √ √ √ 2 S − 2nH 2 = √ ( n − 1 + 1)|Φ| − ( n − 1 − 1) nH 2 n−1 n(n − 2) n = H|Φ| − √ S. n(n − 1) 2 n−1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  37. 37. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca √ Assim, como supomos que S ≤ 2 n − 1 c, de (31) obtemos n L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (32) 2 n−1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  38. 38. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca √ Assim, como supomos que S ≤ 2 n − 1 c, de (31) obtemos n L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (32) 2 n−1 Como o Lema 6 garante que L ´ el´ e ıptico e como estamos supondo que H atinge seu m´ximo em M n , de (32) conclu´ a ımos que H ´ constante e em M n . Donde, considerando a equa¸˜o (26), obtemos i,j,k hijk = ca 2 n2 | H|2 = 0, e segue-se que λi ´ constante para todo i = 1, . . . , n. e Al´m disso, de (32) temos e n |Φ|2 nc − √ S = 0. (33) 2 n−1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  39. 39. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca √ Assim, como supomos que S ≤ 2 n − 1 c, de (31) obtemos n L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (32) 2 n−1 Como o Lema 6 garante que L ´ el´ e ıptico e como estamos supondo que H atinge seu m´ximo em M n , de (32) conclu´ a ımos que H ´ constante e em M n . Donde, considerando a equa¸˜o (26), obtemos i,j,k hijk = ca 2 n2 | H|2 = 0, e segue-se que λi ´ constante para todo i = 1, . . . , n. e Al´m disso, de (32) temos e n |Φ|2 nc − √ S = 0. (33) 2 n−1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  40. 40. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Primeiro Teorema ca √ Se S <√ n − 1 c, ent˜o |Φ|2 = 0 and M n ´ totalmente umb´ 2 a e ılica. Se S = 2 n − 1 c, como todas as desigualdade que obtivemos s˜o, na a verdade, igualdades, verificamos facilmente que √ √ ( n − 1 − 1) n |Φ| = √ H. (34) n−1+1 Logo, no caso que n = 2, de (34) obtemos que |Φ|2 = 0. Sendo assim, M 2 ´ totalmente umb´ e ılica. Finalmente, quando n ≥ 3, como a igualdade vale em (20) do Lema 4, conclu´ ımos que M n ´ totalmente umb´ e ılica ou, caso contr´rio, ´ uma hipersuperf´ isoparam´trica com duas curvaturas a e ıcie e principais distintas, uma das quais ´ simples. e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  41. 41. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca De (18) temos que 2 f = trace(P1 ◦ f ), onde, denotando por I a identidade na ´lgebra dos campos vetoriais a suaves em M n , P1 = nHI − h e 2 f representa o operador linear auto- adjunto metricamente equivalente ` hessiana de f . Assim, usando a a nota¸˜o , para a m´trica (induzida) em M n , temos ca e f = P1 ( ei f ), ei , i onde {e1 , . . . , en } ´ um referncial ortonormal local em M n . e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  42. 42. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Consequentemente, temos que div(P1 ( f )) = ( ei P1 )( f ), ei + P1 ( ei f ), ei (35) i i = divP1 , f + f . Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  43. 43. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Consequentemente, temos que div(P1 ( f )) = ( ei P1 )( f ), ei + P1 ( ei f ), ei (35) i i = divP1 , f + f . n+1 Por outro lado, como E1 ´ um espa¸o-tempo de Einstein, existe um e c parˆmetro λ tal que Ric = λ , , onde Ric denota o tensor de Ricci de a n+1 n+1 E1 . Assim, denotando por R o tensor curvatura de E1 , do Lema 8 temos divP1 , f = R(N, ei )ei , f = −Ric(N, f ) = −λ N, f = 0, i onde N representa a aplica¸˜o de Gauss de M n . ca Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  44. 44. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Assim, de (35), conclu´ ımos que f = div(P1 ( f )). (36) Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  45. 45. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Assim, de (35), conclu´ ımos que f = div(P1 ( f )). (36) Agora, consideramos novamente o operador modificado de Cheng-Yau n−1 L= + a∆. (37) 2 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  46. 46. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Assim, de (35), conclu´ ımos que f = div(P1 ( f )). (36) Agora, consideramos novamente o operador modificado de Cheng-Yau n−1 L= + a∆. (37) 2 De (36), temos que L(nH) = div(P( H)), (38) n(n−1) onde P = nP1 + 2 aI . Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  47. 47. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Al´m disso, como S ´ suposta ser limitada, verificamos facilmente que e e o operador P ´ limitado. Dessa forma, como tamb´m assumimos que e e | H| ∈ L1 (M), obtemos que |P( H)| ∈ L1 (M). (39) Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  48. 48. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Al´m disso, como S ´ suposta ser limitada, verificamos facilmente que e e o operador P ´ limitado. Dessa forma, como tamb´m assumimos que e e | H| ∈ L1 (M), obtemos que |P( H)| ∈ L1 (M). (39) n+1 Agora observamos que, da simetria local de E1 , podemos seguir os passos da Demonstra¸˜o do Teorema 1 para obter ca Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  49. 49. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca L(nH) = hijk − n2 | H|2 + S 2 − nH 2 λ3 i (40) i,j,k i −2 ¯ ¯ (λi λk Rkiik + λ2 Rikik ) i i,k −( ¯ nHλi R(n+1)ii(n+1) + S ¯ R(n+1)k(n+1)k ). i k e n L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S ≥ 0. (41) 2 n−1 onde φ= φij ωi ωj , i,j com φij = hij − Hδij . Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  50. 50. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Portando, tendo em conta as equa¸˜es (38), (39) and (41), podemos co aplicar o Lema 7 para cocluir que L(nH) = 0 e, da equa¸˜o (40), temos ca hijk = n2 | H|2 . 2 i,j,k Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  51. 51. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca Portando, tendo em conta as equa¸˜es (38), (39) and (41), podemos co aplicar o Lema 7 para cocluir que L(nH) = 0 e, da equa¸˜o (40), temos ca hijk = n2 | H|2 . 2 i,j,k ¯ Consequentemente, como assumimos que (n−1)2 a2 +4 i,j Rijji −4n(n− 1)b > 0, do Lema 5 segue que H ´ constante e, assim, λi ´ constante e e para todo i = 1, . . . , n. Al´m disso, de (41) temos e n |Φ|2 nc − √ S = 0. (42) 2 n−1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  52. 52. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Segundo Teorema ca √ Se S < 2 n − 1 c, ent˜o |Φ|2 = 0 e M n ´ totalmente umb´ √ a e ılica. Se S = 2 n − 1 c, como todas as desigualdades que obtivemos s˜o, de a fato, igualdades, verificamos facilmente que √ √ ( n − 1 − 1) n |Φ| = √ H. (43) n−1+1 Assim, no caso que n = 2, de (43), obtemos que |Φ|2 = 0. Portanto, M 2 ´ totalmente umb´ e ılica. Finalmente, quando n ≥ 3, como a igualdade vale em (20) do Lema 4, ımos que M n ´ totalmente umb´ conclu´ e ılica ou uma hipersuperf´ iso- ıcie param´trica com duas curvaturas principais distintas e que uma delas ´ e e simples. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  53. 53. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaDemonstra¸˜o do Terceiro Teorema ca De (38) e (41), aplicando o Teorema da Divergˆncia, temos e n 0= L(nH) ≥ |Φ|2 nc − √ S dM ≥ 0. (44) M M 2 n−1 √ Consequentemente, como estamos supondo que S < 2 n − 1 c, de (44) obtemos que |Φ| = 0 em M n e, assim, M n ´ totalmente umb´ e ılica. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  54. 54. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c Denotemos por Ln+2 o espa¸o de Lorentz-Minkowiski (n+2)-dimensional c (n ≥ 2), ou seja, o espa¸o vetorial real Rn+2 munido da m´trica c e n+1 v, w = vi wi − vn+2 wn+2 , i=1 para quaisquer v , w ∈ Rn+2 . Dessa forma, definimos o espa¸o de De c Sitter Sn+1 (n + 1)-dimensional como sendo a seguinte hiperqu´drica de 1 a Ln+2 : Sn+1 = {p ∈ Ln+2 ; p, p = 1}. 1 A m´trica induzida pela inclus˜o i : Sn+1 → Ln+2 torna Sn+1 uma e a 1 1 variedade de Lorentz com curvatura seccional constante igual a 1. Al´m e disso, para cada p ∈ Sn+1 , temos que o espa¸o tangente a Sn+1 em p ´ 1 c 1 e dado por Tp (Sn+1 ) = {v ∈ Ln+2 ; v , p = 0}. 1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  55. 55. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c Observemos que en+2 = (0, ..., 0, 1) ´ um campo de vetores tipo-tempo e unit´rio e globalmente definido em Ln+2 , determinando, assim, uma ori- a enta¸˜o temporal em Ln+2 . Portanto, dada uma hipersuperf´ tipo- ca ıcie espa¸o no espa¸o de De Sitter ψ : M n → Sn+1 → Ln+2 , podemos c c 1 escolher um unico campo normal unit´rio de vetores tipo-tempo N ao ´ a longo de M n apontando para o passado em Ln+2 (i.e., N, en+2 > 0); desta forma, podemos assumir que M n ´ orientada por N. Neste con- e texto, denotaremos por ◦ , ¯ e as conex˜es de Levi-Civita de Ln+2 , o Sn+1 , e M n , respectivamente. Ent˜o, as f´rmulas de Gauss e Weingarten 1 a o relativas a imers˜o ψ : M n → Sn+1 → Ln+2 s˜o dadas respectivamente a 1 a por Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  56. 56. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c ◦ ¯ vW − V, W ψ V = (45) = VW − AV , W N − V , W ψ e ◦ A(V ) = − VN = − ¯ V N, (46) para quaisquer campos de vetores tangentes V , W ∈ X (M), onde A denota o operador de forma de M n em Sn+1 associado a N. 1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  57. 57. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c ◦ ¯ vW − V, W ψ V = (45) = VW − AV , W N − V , W ψ e ◦ A(V ) = − VN = − ¯ V N, (46) para quaisquer campos de vetores tangentes V , W ∈ X (M), onde A denota o operador de forma de M n em Sn+1 associado a N. 1 Do Teorema 2 e de acordo com o teorema cl´ssico de congruˆncia obtido a e por Abe, Koike e Yamaguchi, obtemos o seguinte resultado no espa¸o c de De Sitter Sn+1 . 1 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  58. 58. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c Corollary Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten completa, ıcie c n˜o-compacta, imersa em Sn+1 , tal que R = aH + b com a 1 √ (n − 1)a2 + 4n(1 − b) > 0. Se | H| ∈ L1 (M) e S ≤ 2 n − 1, ent˜o a M n ´ totalmente umb´ e ılica ou, caso contr´rio, ´ isom´trica ao cilindro a e e hiperb´lico H1 (c1 ) × Sn−1 (c2 ), para R > 0, ou a Hn−1 (c1 ) × S1 (c2 ), o 1 1 para R < 0, onde c1 < 0, c2 > 0 e + = 1. c1 c2 Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  59. 59. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c Observa¸˜o ca Em [4], Montiel caracterizou os cilindros hiperb´licos como as unicas o ´ ıcies tipo-espa¸o completas, n˜o-compactas, em Sn+1 com hipersuperf´ c √ a 1 curvatura m´dia constante H = 2 n e possuindo ao menos dois fins. e n−1 Mais tarde, Brasil, Colares e Palmas [5] obtiveram uma esp´cie de e extens˜o do resultado de Montiel, mostrando que os cilindros a hiperb´licos s˜o as unicas hipersuperf´ o a ´ ıcies tipo-espa¸o completas em c Sn+1 com curvatura m´dia constante, curvatura de Ricci n˜o-negativa 1 e a e tendo ao menos dois fins. Eles tamb´m caracterizaram todas as e hipersuperf´ ıcies tipo-espa¸o completas de curvatura m´dia constante c e com duas curvaturas principais distintas como hipersuperf´ ıcies de rota¸˜o ou cilindros hiperb´licos generalizados Hk (c1 ) × Sn−k (c2 ), onde ca o 1 < k < (n − 1), c1 < 0, c2 > 0 e c11 + c12 = 1. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  60. 60. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaAplica¸oes no espa¸o de De Sitter c˜ c Finalmente, de acordo com a descri¸˜o de hipersuperf´ ca ıcies tipo-espa¸o c totalmente umb´ılicas de Sn+1 dada por Montiel no Exemplo 1 de [6], do 1 Teorema 3, temos o seguinte Corollary Seja M n uma hipersuperf´ tipo-espa¸o Weingarten linear compacta ıcie c imersa em Sn+1 , tal que R = aH + b com (n − 1)a2 + 4n(1 − b) ≥ 0. √ 1 Se S < 2 n − 1, ent˜o M n ´ isom´trica a Sn . a e e Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  61. 61. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaBibliografia [1] S.M. Choi, S.M. Lyu, and Y.J. Such Complete space-like hypersur- faces in a Lorentz manifold, Math. J. Toyama Univ. 22 (1999), 53-76. [2] Y.J. Such, Y.S. Choi, and H.Y. Yang, On spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in a Lorentz manifold, Houston J. Math. 28 (2002), 47-70. [3] S.Y. Cheng, and S.T. Yau, Hypersurfaces with constant scalar cur- vature, Manuscrita Math. 95 (1998), 499-505. [4] S. Montiel, A Caracterization of hyperbolic cylinders in the de Sitter space, Tˆhoku Math. J. 48 (1996) 23-32. o [5] A. Brasil Jr., A.G. Colares, and O. Palmas Complete spacelike hy- persurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space: A gap theorem, Illinois J. of Math. 47 (2003), 847-866. [6] S. Montiel, An integral inequality for compact spacelike hypersufaces in the de Sitter space and applications to the case of constant mean curvature, Indiana Univ. Math. J. 37 (1988) 909-917. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e
  62. 62. Objetivo Enunciados dos resultados principais. Preliminares Demonstra¸˜o dos Teoremas ca Aplica¸˜es no espa¸o de De Sitter co c BibliografiaBibliografia ´ [7] E. Cartan, Familles de surfaces isoparam´triques dans les especes ` e a courbure constante, Ann. Mat. Pura Appl. 17 (1938) 177-191. Joseilson Raimundo de Lima Ciclo de Conferˆncias da UAME e

×