1. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Introducción a la Cosmología
José Antonio Pastor González
CPR de Cehegín
Lunes 28 de noviembre de 2011
La geometría del espacio-tiempo:
una introducción al pensamiento de Albert Einstein

2. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Contenidos
1 Primeros hechos
2 Modelos de Robertson-Walker
3 Modelos de Friedmann

3. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Contenidos
1 Primeros hechos
2 Modelos de Robertson-Walker
3 Modelos de Friedmann

4. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Objetivo: modelar el Universo
Utilizamos la relatividad general
Primeras simplificaciones: una galaxia será una partícula
en este modelo (trabajamos a escala muy grande)
Así, cada galaxia estará representada por una línea en el
espacio-tiempo (es una partícula material)
Trataremos el Universo como un fluido...

5. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Objetivo: modelar el Universo
Utilizamos la relatividad general
Primeras simplificaciones: una galaxia será una partícula
en este modelo (trabajamos a escala muy grande)
Así, cada galaxia estará representada por una línea en el
espacio-tiempo (es una partícula material)
Trataremos el Universo como un fluido...

6. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Objetivo: modelar el Universo
Utilizamos la relatividad general
Primeras simplificaciones: una galaxia será una partícula
en este modelo (trabajamos a escala muy grande)
Así, cada galaxia estará representada por una línea en el
espacio-tiempo (es una partícula material)
Trataremos el Universo como un fluido...

7. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Objetivo: modelar el Universo
Utilizamos la relatividad general
Primeras simplificaciones: una galaxia será una partícula
en este modelo (trabajamos a escala muy grande)
Así, cada galaxia estará representada por una línea en el
espacio-tiempo (es una partícula material)
Trataremos el Universo como un fluido...

8. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Pero mejor... poco a poco
¿Qué sabemos del Universo?
El cielo, de noche, es negro
Si asumimos: universo espacial euclídeo, posición no
privilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradoja
de Olbers
Si el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?
Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicar
el Universo (la moderna también)

9. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Pero mejor... poco a poco
¿Qué sabemos del Universo?
El cielo, de noche, es negro
Si asumimos: universo espacial euclídeo, posición no
privilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradoja
de Olbers
Si el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?
Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicar
el Universo (la moderna también)

10. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Pero mejor... poco a poco
¿Qué sabemos del Universo?
El cielo, de noche, es negro
Si asumimos: universo espacial euclídeo, posición no
privilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradoja
de Olbers
Si el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?
Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicar
el Universo (la moderna también)

11. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Pero mejor... poco a poco
¿Qué sabemos del Universo?
El cielo, de noche, es negro
Si asumimos: universo espacial euclídeo, posición no
privilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradoja
de Olbers
Si el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?
Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicar
el Universo (la moderna también)

12. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
¿Sabemos algo?

13. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Los elementos del Universo (materia)
...además de polvo...
Planetas, meteoritos, satélites...
Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Las
estrellas son el horno donde se cuecen los elementos.
Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellas
agrupadas por la gravedad
Galaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos
(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementales
en cosmología.
Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muy
masivos y que emiten intensamente (además de luz) en el
espectro de las ondas de radio. Se piensa que son los
embriones de las galaxias.

14. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Los elementos del Universo (materia)
...además de polvo...
Planetas, meteoritos, satélites...
Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Las
estrellas son el horno donde se cuecen los elementos.
Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellas
agrupadas por la gravedad
Galaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos
(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementales
en cosmología.
Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muy
masivos y que emiten intensamente (además de luz) en el
espectro de las ondas de radio. Se piensa que son los
embriones de las galaxias.

15. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Los elementos del Universo (materia)
...además de polvo...
Planetas, meteoritos, satélites...
Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Las
estrellas son el horno donde se cuecen los elementos.
Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellas
agrupadas por la gravedad
Galaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos
(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementales
en cosmología.
Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muy
masivos y que emiten intensamente (además de luz) en el
espectro de las ondas de radio. Se piensa que son los
embriones de las galaxias.

16. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Los elementos del Universo (materia)
...además de polvo...
Planetas, meteoritos, satélites...
Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Las
estrellas son el horno donde se cuecen los elementos.
Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellas
agrupadas por la gravedad
Galaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos
(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementales
en cosmología.
Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muy
masivos y que emiten intensamente (además de luz) en el
espectro de las ondas de radio. Se piensa que son los
embriones de las galaxias.

17. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Los elementos del Universo (materia)
...además de polvo...
Planetas, meteoritos, satélites...
Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Las
estrellas son el horno donde se cuecen los elementos.
Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellas
agrupadas por la gravedad
Galaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos
(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementales
en cosmología.
Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muy
masivos y que emiten intensamente (además de luz) en el
espectro de las ondas de radio. Se piensa que son los
embriones de las galaxias.

18. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Las galaxias
Desplazamiento hacia el rojo (recesión)
A mayor desplazamiento, mayor distancia
Objetos relativamente nuevos en el panorama astronómico
(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,
cefeidas)

19. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Las galaxias
Desplazamiento hacia el rojo (recesión)
A mayor desplazamiento, mayor distancia
Objetos relativamente nuevos en el panorama astronómico
(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,
cefeidas)

20. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Las galaxias
Desplazamiento hacia el rojo (recesión)
A mayor desplazamiento, mayor distancia
Objetos relativamente nuevos en el panorama astronómico
(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,
cefeidas)

21. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Las galaxias
Desplazamiento hacia el rojo (recesión)
A mayor desplazamiento, mayor distancia
Objetos relativamente nuevos en el panorama astronómico
(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,
cefeidas)

22. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La radiación de fondo
Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postula
teóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)
Primeras observaciones: isotropía.
Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)
Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

23. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La radiación de fondo
Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postula
teóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)
Primeras observaciones: isotropía.
Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)
Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

24. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La radiación de fondo
Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postula
teóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)
Primeras observaciones: isotropía.
Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)
Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

25. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La radiación de fondo
Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postula
teóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)
Primeras observaciones: isotropía.
Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)
Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

26. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Contenidos
1 Primeros hechos
2 Modelos de Robertson-Walker
3 Modelos de Friedmann

27. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Hipótesis de trabajo
no estamos en una localización especial del Universo a
nivel espacial(homogeneidad espacial1 )
en cualquier dirección del espacio, el universo parece ser
el mismo (isotropía espacial2 )
corolario: la parte espacial del universo debe ser un
modelo 3D de curvatura constante
1
Está claro que no ocurre así con la variable tiempo
2
Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

28. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Hipótesis de trabajo
no estamos en una localización especial del Universo a
nivel espacial(homogeneidad espacial1 )
en cualquier dirección del espacio, el universo parece ser
el mismo (isotropía espacial2 )
corolario: la parte espacial del universo debe ser un
modelo 3D de curvatura constante
1
Está claro que no ocurre así con la variable tiempo
2
Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

29. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Hipótesis de trabajo
no estamos en una localización especial del Universo a
nivel espacial(homogeneidad espacial1 )
en cualquier dirección del espacio, el universo parece ser
el mismo (isotropía espacial2 )
corolario: la parte espacial del universo debe ser un
modelo 3D de curvatura constante
1
Está claro que no ocurre así con la variable tiempo
2
Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

30. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Métrica de Robertson-Walker
dr 2
−dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 )
1 − kr 2
t → (t, r0 , φ0 , θ0 ) es una partícula en reposo (una galaxia)
en este sistema de referencia (sistema de reposo
cósmico). Además esta curva es una geodésica con dicha
métrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y su
inercia)
t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Por
homogeneidad discurre por igual en cada punto así que
(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas las
galaxias

31. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Métrica de Robertson-Walker
dr 2
−dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 )
1 − kr 2
t → (t, r0 , φ0 , θ0 ) es una partícula en reposo (una galaxia)
en este sistema de referencia (sistema de reposo
cósmico). Además esta curva es una geodésica con dicha
métrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y su
inercia)
t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Por
homogeneidad discurre por igual en cada punto así que
(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas las
galaxias

32. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Métrica de Robertson-Walker
dr 2
−dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 )
1 − kr 2
R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende del
tiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)
las galaxias conforme el tiempo cambia
k es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D y
toma los valores k = 0, 1, −1 (geometría euclídea,
esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parte
espacial toma el valor
k
R(t)2

33. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Métrica de Robertson-Walker
dr 2
−dt 2 + R(t)2 + r 2 (dφ2 + sen2 φdθ2 )
1 − kr 2
R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende del
tiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)
las galaxias conforme el tiempo cambia
k es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D y
toma los valores k = 0, 1, −1 (geometría euclídea,
esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parte
espacial toma el valor
k
R(t)2

34. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Para k=1 una imagen sería...

35. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
El factor de escala...
... nos informa sobre la evolución del universo

36. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Contenidos
1 Primeros hechos
2 Modelos de Robertson-Walker
3 Modelos de Friedmann

37. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ecuación de campo general
Los modelos de Robertson-Walker sólo usan la relatividad a
nivel cualitativo. Vamos a ver qué dice la ecuación de campo
de Einstein sobre estos modelos. La escribimos pues:
Ricij = 8π(Tij − 1/2Tgij )
donde T es un tensor (0, 2) (16 componentes, 10 libres) que
codifica la distribución de materia-energía en el espacio-tiempo
(tensor tensión-energía)

38. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Más simplificaciones
al considerar las galaxias como partículas cuya única
interacción (unas con respecto a otras) es la gravitatoria
se obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como un
fluido perfecto (viscosidad cero)
los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son su
densidad ρ y su presión p
más aún, el hecho de que la radiación no domine en el
universo (en comparación con la gravedad) nos permite
asumir que p ≡ 0
finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decir
que la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

39. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Más simplificaciones
al considerar las galaxias como partículas cuya única
interacción (unas con respecto a otras) es la gravitatoria
se obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como un
fluido perfecto (viscosidad cero)
los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son su
densidad ρ y su presión p
más aún, el hecho de que la radiación no domine en el
universo (en comparación con la gravedad) nos permite
asumir que p ≡ 0
finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decir
que la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

40. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Más simplificaciones
al considerar las galaxias como partículas cuya única
interacción (unas con respecto a otras) es la gravitatoria
se obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como un
fluido perfecto (viscosidad cero)
los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son su
densidad ρ y su presión p
más aún, el hecho de que la radiación no domine en el
universo (en comparación con la gravedad) nos permite
asumir que p ≡ 0
finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decir
que la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

41. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Más simplificaciones
al considerar las galaxias como partículas cuya única
interacción (unas con respecto a otras) es la gravitatoria
se obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como un
fluido perfecto (viscosidad cero)
los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son su
densidad ρ y su presión p
más aún, el hecho de que la radiación no domine en el
universo (en comparación con la gravedad) nos permite
asumir que p ≡ 0
finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decir
que la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

42. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de campo nos dice...
Ecuación de Friedmann:
8π
R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2
3
Ley de conservación:
R (t)
ρ (t) + 3ρ(t) =0
R(t)
La función R(t) es positiva y además
R (t) < 0

43. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de campo nos dice...
Ecuación de Friedmann:
8π
R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2
3
Ley de conservación:
R (t)
ρ (t) + 3ρ(t) =0
R(t)
La función R(t) es positiva y además
R (t) < 0

44. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de campo nos dice...
Ecuación de Friedmann:
8π
R (t)2 + k = ρ(t)R(t)2
3
Ley de conservación:
R (t)
ρ (t) + 3ρ(t) =0
R(t)
La función R(t) es positiva y además
R (t) < 0

45. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de conservación
Observemos que
(ρ(t)R(t)3 ) = 0
es equivalente a la ley de conservación... por lo que
4π
λ0 = ρ(t)R(t)3
3
para una constante λ0 que se identifica con la masa del
universo

46. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de conservación
Observemos que
(ρ(t)R(t)3 ) = 0
es equivalente a la ley de conservación... por lo que
4π
λ0 = ρ(t)R(t)3
3
para una constante λ0 que se identifica con la masa del
universo

47. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de Friedmann
k =0
2
R(t)3/2 = 2λ0 t
3
k =1
R(t) = λ0 (1 − cos(v ))
para v un parámetro que depende de t
k = −1
R(t) = λ0 (cosh(v ) − 1)

48. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de Friedmann
k =0
2
R(t)3/2 = 2λ0 t
3
k =1
R(t) = λ0 (1 − cos(v ))
para v un parámetro que depende de t
k = −1
R(t) = λ0 (cosh(v ) − 1)

49. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
La ecuación de Friedmann
k =0
2
R(t)3/2 = 2λ0 t
3
k =1
R(t) = λ0 (1 − cos(v ))
para v un parámetro que depende de t
k = −1
R(t) = λ0 (cosh(v ) − 1)

50. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Las gráficas

51. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de Hubble

52. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de Hubble
Está implícita en los modelos de Friedmann:
dadas dos galaxias A = (t0 , 0, π/2, θ0 ) y
B = (t0 , r0 , π/2, θ0 ) se calcula que están a distancia r0 R(t)
la velocidad de recesión es entonces r0 R (t)
se define entonces
R (t)
H(t) =
R(t)
la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,
pero que es constante en términos espaciales)

53. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de Hubble
Está implícita en los modelos de Friedmann:
dadas dos galaxias A = (t0 , 0, π/2, θ0 ) y
B = (t0 , r0 , π/2, θ0 ) se calcula que están a distancia r0 R(t)
la velocidad de recesión es entonces r0 R (t)
se define entonces
R (t)
H(t) =
R(t)
la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,
pero que es constante en términos espaciales)

54. Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann
Ley de Hubble
Está implícita en los modelos de Friedmann:
dadas dos galaxias A = (t0 , 0, π/2, θ0 ) y
B = (t0 , r0 , π/2, θ0 ) se calcula que están a distancia r0 R(t)
la velocidad de recesión es entonces r0 R (t)
se define entonces
R (t)
H(t) =
R(t)
la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,
pero que es constante en términos espaciales)