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Material de geometria descritiva 2012
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  • 1. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Apontamentos deGeometria Descritiva I11º Ano – Cadeira AnualÁrea Ciências Físicas e BiológicasAno Lectivo de 2007-2008 (Revisado)José Alves ManuelEmail: josealvesmanuel60775@hotmail.comUrl: www.profjosealvesmanuel.blogspot.comUrl: www.sites.google.com/profjosealvesmanuelTelm: 924 172 422
  • 2. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Índice1 Introdução à Geometria Descritiva 1 1.1 Objectivos ……………………………………………………………………………………………. 1 1.2 Sistemas de projecção ………………………………………………………………………....... 1 1.3 Elementos Principais da geometria descritiva …………………………………………… 42 Pontos e Rectas ………………………………………………………………………………………. 10 2.1 Objectivos ………………………………………………………………………………………….... 10 2.2 Estudo do Ponto ………………………………………………………………………………….. 10 - Diedros - Convenções de Sinais - Coordenadas descritivas do ponto - Pontos situados no diedro ou quadrantes - Planos bissectores 2.3 Estudo discritivo da recta …………..…………………………………………………………. 10 2.3.1 Elementos Principais ……………………………………………………………………. 10 2.4 Exercícios ………………………………………………………………………………………. 15Lista de desenvolvimentos1.1 Elementos principais do sistema de projecção ……………………………………………... 21.2 Efeito da proximidade com o centro de projecção ……………………………………….. 21.3 Centro de projecção no infinito ………………………………………………………………….. 31.4 Sistema cilíndrico de projecção ………………………………………………………………….. 31.5 Sistema cilíndrico ortogonal de projecção …………………………………………………… 41.6 A perpendicularidade se mantém ………………………………………………………….... 51.7 Sistema de Monge ……………………………………………………………………………………. 61.8 Projecção de um ponto em dois planos perpendiculares entre si ………………….. 71.9 Rotação das figuras contidas em π2 em torno da linha de terra (LT) ……………… 71.10 Épura ………………………………………………………………………………………………... 81.11 Divisão do espaço em quatro diedros ……………………………………………………. 82.1 Cota, Afastamento e Abcissa de um ponto ………………………………………………… 112.2 Projecções de uma recta na épura …………………………………………………………….. 122.3 Traços de uma recta ……………………………………………………………………………….. 13
  • 3. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Capitulo IIntrodução à geometria descritiva1.1 Objectivo O objectivo geral é apresentar aos caros alunos e docentes os fundamentos da geometria descritiva, que é uma ferramenta gráfica para soluções de problemas geométricos no espaço. A experiência que tenho no ramo indica que apesar de o tema ser de fácil leitura, é difícil aprender. Pois a melhor forma de o aprender é fazendo Exercícios.1.2 Sistemas de projecção Em geometria descritiva existem inúmeros sistemas de projecção, e depois que se atinge um certo nível de maturidade, pode-se formular problemas algébricos, resolver problemas de geodésicas 1ou até mesmo projectar elementos geométricos em 4D para sistemas de projecção em 2D. Mas vamos ficar por aqui e vamos ao mais importante. Apresentamos agora dois sistemas de projecção, o cilíndrico ortogonal e o cónico. Em ambos os sistemas, há três elementos principais: o objecto a ser projectado, o plano de projecção e o centro de projecção, como mostra a figura 1.1 Um raio de luz ou mais tecnicamente conhecido como raio visual parte do centro de projecção O, passa por um ponto genérico (F) do objecto, e atinge o plano de projecção (π) em F. logo dizemos que o ponto F é projecção de (F) em π.1 Linhas de menor comprimento
  • 4. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 20121.3 Elementos principais do sistema de projecção A geometria Descritiva foi criada por Gaspar Monge (1746-1818), um matemático francês que serviu Napoleão em sua campanha pelo Egipto, foi seu Ministro da Marinha, e tinha vários interesses tanto na Matemática como na Física e Química. Foi amigo de Lavoisier e Fourier. Para termos uma ideia do avanço científico da época, que naturalmente envolvia problemas geométricos tridimensionais complexos. Após sua invenção, ela foi guardada como segredo militar por vários anos pelo próprio Napoleão. Certamente a geometria descritiva não era “óbvia”, como é hoje. E, afinal qual era o grande “segredo” de Gaspar Monge? Era o uso simultâneo de dois sistemas de projecção cilíndricos ortogonais entre si, como mostra a figura 1.2 figura 1.2 Como você já deve ser capaz de intuir, que um ponto no espaço é representado no sistema mongeano como a figura 1.3. Falando um pouco mais formalmente, um ponto (A) no espaço tridimensional é localizado por três coordenadas, x, y e z. Através da projecção em dois planos π1 e π2, é possível se especificar as três coordenadas de (A), A recta resultante da intersecção dos planos π1 e π2 é denominada linha de terra representado pelas letras (LT). Tanto o plano π2 como as figuras nele representado são rotacional em torno da LT. de modo a ficarem coplanares com π1, assim aposição de um dado ponto (A) pode ser totalmente descrita por suas projecções em π1 e π2, disposto em um único plano (figura 1.4) denominado Épura. Figura 1.3
  • 5. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Figura 1.4 Na épura, logo acima e abaixo da linha de terra são escritas os algarismos correspondentes aos planos que dão origem a ela, o segmento que une as projecções do ponto A, A1 e A2, é denominado linha de chamada. Perceba que deve ser perpendicular à linha de terra. Vamos considerar neste material que o plano π1 e que contém os eixos x e y, de plano horizontal de projecção e o plano π2, que contém os eixos x e z, de plano vertical de projecção. A projecção de um ponto no plano horizontal de projecção é denominada projecção horizontal, e a projecção sobre o plano vertical, de projecção vertical. Em resumo, pode-se perceber que um ponto no espaço pode ser completamente especificado dadas as suas projecções ortogonais em dois planos perpendiculares (pois temos as três coordenadas x, y e z de cada ponto), designamos plano horizontal de projecção, e plano vertical de projecção. O plano vertical e horizontal de projecção, dividem em quatro diedros2 como é mostrado na figura 1.5 Figura 1.5 divisão do espaço em quatro diedros Para deixarmos mais claro vamos dizer que: pha=IQ, pvs=IIQ, php=IIIQ e pvi=IVQ2 Pode ser chamado também quadrantes
  • 6. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Capítulo 22 Pontos e Rectas2.1 Objectivos Os elementos principais para a resolução de qualquer problema espacial são pontos e rectas. Neste capítulo, examinaremos esses itens, procurando no processo de aprendizado, fomentar o amadurecimento de ideias relacionadas ao espaço geométrico representado no sistema de Gaspar Monge.2.2 Estudo do Ponto A distância z de um ponto A ao plano horizontal de projecção é denominada cota, como na geometria cotada, na épura, a cota é a distância acima da linha de terra até a projecção vertical do ponto, como é mostrado na figura 1.6 Figura 1.6 Cota, afastamento e abcissa de um ponto Um ponto pertencente ao plano horizontal de projecção tem cota nula, e portanto, na épura, sua projecção vertical deve estar na linha de terra. A coordenada y de um ponto A é denominada afastamento. Na épura, o afastamento é a distância abaixo da linha de terra até a projecção horizontal do ponto. A coordenada x, fixada a partir de uma origem arbitrária, é denominada abcissas. Um ponto pertencente ao plano vertical de projecção tem coordenadas y, nula, e portanto, sua projecção horizontal deve estar sobre a linha de terra. É importante notar que é possível a existência de cota e afastamentos negativos. Por exemplo um ponto do segundo diedro tem cota positiva mas afastamento negativo. Exemplo 1 O ponto (A) no espaço onde (A)=(1;3;2) ou (A)=(x;y;z)
  • 7. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Em épura, a abcissa x de um ponto é marcado sobre a linha de terra, a partir da origem pré fixada. A épura do ponto (A) é representada na épura da seguinte forma, DiedrosComo já nos referimos no capítulo anterior os planos de projecção π1 e π2 dividem oespaço em quatro diedros e a linha de terra divide cada plano de projecção em doissemiplanos.SPHA – semiplano horizontal anteriorSPHP – semiplano horizontal posteriorSPVS – semiplano vertical superiorSPVI – semiplano vertical inferiorA região do espaço limitada pelos spha e spvs denomina-se primeiro diedro, a limitadapelas spvs e sphp segundo diedro, a limitada pelos sphp e spvi terceiro diedro e a limitadapelas spvi e spha quarto diedro.
  • 8. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Figura 1.7 representação dos semiplanosDevemos lembrar não se pode medir com régua e compasso as distancias A’ (A) e A (A) porque sãodesenhos que representam figuras no espaço e só podemos medir distância sobre o plano. Ao girarmos umplano sobre o outro, em torno da linha de terra, temos o semiplano horizontal posterior (sphp) coincidindocom o semiplano vertical superior (spvs). Teremos também a coincidência do semiplano horizontalanterior (spha) coincidindo com o semiplano vertical inferior (spvi) conforme a figura 1.8 Figura 1.8As projecções verticais e horizontais de um ponto qualquer determinam uma linha perpendicular à linha deterra que chamamos linha de chamada conforme figura 1.4Convenção de sinaisUm ponto pode estar localizado em qualquer dos quatro diedros. Para sabermosexactamente em qual dos diedros, foram estabelecidas convenções de sinais para cota eafastamentos que permitem resolver esse problema, assim sendo, foi estabelecido que: · São positivas as cotas dos pontos localizados acima do plano vertical de projecção e negativas as cotas dos pontos localizados abaixo. · São positivos os afastamentos dos pontos anteriores ao plano vertical de projecção e negativos os afastamentos dos pontos posteriores. Resumindo temos: Figura 1.9 Convenções de sinais
  • 9. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Coordenadas descritivas do ponto O conhecimento da cota e do afastamento de um ponto determinam comprecisão as distâncias do ponto aos planos de projecção π1 e π2. Se, numa mesma épura, for necessário representar as projecções de váriospontos ou de pontos distintos que tenham afastamento e/ou cota iguais e com omesmo sinal, torna-se importante conhecer a posição relativa entre eles noespaço. A posição de cada ponto fica facilmente determinada pela distância dalinha de chamada de cada um dos pontos a um ponto fixo da linha de terra. Tal distância é chamada abcissa do ponto e pode ser positiva ou negativaconforme a linha de chamada esteja à direita ou à esquerda desse ponto fixo dalinha de terra que é definido como origem das abcissas , designado por O0. Normalmente são usadas apenas abcissas positivas. Na figura 2 são mostrados as épuras dos pontos M, N, P e Q, utilizandouma mesma linha de terra. Figura 2a Representação dos pontos na linha de terra Figura 2b Indicações das representações dos pontos
  • 10. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Pontos situados nos diedros ou quadrantesPonto do I quadrante Um ponto do I quadrante, pelas suas projecções, tem a cota positiva e oafastamento positivo. Nos planos de projecção, a cota situa-se nos SPVS, dada pelaprojectante frontal, enquanto o afastamento situa-se no SPHA, recorrendo a suaprojectante frontal. Ainda no I quadrante, um ponto poderá situar-se no primeiro octante onde severifica um maior valor do afastamento do que a da cota ou estar situado no segundooctante onde a cota tem um valor maior do que o do afastamento, pode ainda, estar nobissector impar caso a cota seja igual ao afastamento3. Podemos então dizer que este é o quadrante mais simples de se representar…!?Ponto do II quadranteQuando um ponto P está situado no II segundo quadrante, sua projecção horizontal Pesta sobre o plano horizontal posterior SPHP e a projecção vertical, P´ sobre o planovertical superior SPVS.Quando o plano π1 gira em torno da linha de terra no sentido horário até coincidir comπ2 percebe-se que, tanto a projectante horizontal P, quanto a projectante vertical P´,situam-se acima da linha de terra ver figura 2.1 Figura 2.1 Representação dos pontos do II quadrante As projecções dos pontos localizados na porção de espaço correspondentes a estediedro, como se pode perceber, situam-se, em épura, todas acima da linha de terra.Figuras complexas, como polígonos, poliedros e superfícies em geral poderão ficar comas projecções horizontais e verticais de seus elementos juntos de tal forma que seráextremamente difícil o seu entendimento. Por esta razão as projecções neste quadrantedevem ser evitadas.3 O valor do afastamento e da cota devem ser contrário ou seja cota positiva e afastamento negativo
  • 11. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Também neste mesmo quadrante um ponto pode situar-se no terceiro octante com ovalor absoluto da cota maior que o afastamento, pertencer ao bissector par em que,apesar de terem sinais4 diferentes, os valores para o afastamento e a cota são iguais ouainda situar-se no quarto quadrante onde o valor do afastamento é maior que a cota.Ponto do III quadranteQuando um ponto P esta situado no terceiro quadrante, sua projecção horizontal P estásobre o plano horizontal posterior SPHP e a sua projecção vertical, sobre o plano verticalinferior SPVI.Quando o plano π1 gira em torno da linha de terra no sentido horário até coincidir comπ2, a projecção horizontal P fica acima da linha de terra, enquanto a projecção vertical,P´, fica abaixo dela. Ver figura 2.2 Figura 2.2 Representação dos pontos do III quadranteUma vez que o ponto se situa no terceiro quadrante, pode ocupar uma das seguintesposições: estar no quinto octante5 onde o valor do afastamento será maior que a cota,pertencer ao bissector impar com o valor do afastamento e da cota serem iguais ou aindasituar-se no sexto octante onde o valor da cota é maior que a do afastamento.Ponto do IV quadranteQuando um ponto P está situado no quarto quadrante6, sua projecção horizontal P estásobre o plano horizontal anterior SPHA e a projecção vertical, P´, sobre o plano verticalinferior SPVI.Quando o plano π1 gira em torno da linha de terra no sentido horário até coincidir comπ2,percebe-se que, tanto as projecções horizontais P, quanto a projecção vertical P´,situam-se abaixo da linha de terra ver figura 2.34 Lembre-se que os sinais só identificam os quadrantes e não interferem nos octantes pois eles são valores modulares5 Octante pode também ser escrito como 1º oct, 2º oct etc.6 Quadrante pode ser denotado também como IQ, IIQ
  • 12. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012 Pontos em posições especiaisPontos no plano π1Quando um ponto pertence ao plano π1 em qualquer circunstância, sua cota é nula, umavez que a distância de P ao plano π1, que mede a sua cota, é nula. Se o ponto esta nosemi-pano anterior a π2, seu afastamento é positivo.Para melhor compressão observe a figura 2.4 Figura que representa o SPHA Figura que representa o SPHPPodemos notar que para um ponto pertencer ao SPHA ela deve possuir uma cota nula eum afastamento positivo. Analogamente o inverso para o SPHP se verifica comafastamento negativo.Pontos no plano π2Quando um ponto pertence ao plano π2, em qualquer circunstância, seu afastamento énulo, uma vez que a distância de P ao plano π2, que mede o seu afastamento, é nula.Se o ponto está no semi-plano superior a π1, sua cota é positiva ver figura 2.5 Figura que representa o SPVS Figura que representa o SPVIPodemos notar mas uma vez que para um ponto pertencer ao SPVS ela deve possuiruma cota positiva e um afastamento nulo ou coincidente com a linha de terra.Analogamente o inverso para o SPVI se verifica com a cota negativa.Ponto da linha de terraQuando um ponto pertence à linha de terra, tanto sua cota quanto o seu afastamento sãonulos. Figura 2.5
  • 13. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Planos bissectoresAlém dos planos de projecção que anteriormente estudamos, fazem parte da organizaçãodo espaço mais dois planos: são os planos bissectores. Um plano bissector divide umdiedro em duas partes iguais e passa em dois quadrantes, interceptando o eixo x ou linhade terra. · Β2/4 – é o plano bissector que a travessa os quadrantes pares, II e IV quadrantes · Β1/3 – é o plano bissector que a travessa os quadrantes impares, I e III quadrantes. Agora sim temos o estudo do espaço completo representados na figura 2.6 abaixo Figura 2.6 Representação de todos os planos
  • 14. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 20122.3 Estudo descritivo da rectaDois pontos distintos determinam uma recta. A recta é representada por uma letraminúscula entre parênteses (r). E r´ representa a projecção de uma recta (r) no plano π1 er representa a projecção de uma recta (r) no plano π. Figura 2.7 Representação da rectaTipos de rectasRecta horizontal é toda recta paralela ao plano horizontal. Quando a recta é paralela aoplano horizontal sua projecção vertical é paralela à linha de terra. Figura 2.8 Recta horizontalRecta frontal é toda recta paralela ao plano vertical. Quando a recta é paralela ao planovertical sua projecção horizontal é paralela à linha de terra. Figura 2.9 Recta frontal
  • 15. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Recta paralela à linha de terra é toda recta paralela à linha de terra e paralelo ao planovertical e ao plano horizontal suas projecções são paralela à linha de terra. Figura 3 Recta paralela à linha de terraRecta vertical é toda recta perpendicular ao plano horizontal. A sua projecção horizontal é um ponto e suaprojecção vertical é uma recta vertical r´. Figura 3.1 Recta verticalRecta de topo é toda recta perpendicular ao plano vertical. A sua projecção horizontal é uma recta vertical esua projecção vertical é um ponto. Figura 3.2 Recta de topo
  • 16. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Traço de uma rectaTraços de uma recta são os pontos onde a recta atravessa os planos de projecção. ( V) – Traço vertical Figura 3.3 Traços de uma rectaPara encontrarmos o traço vertical de uma recta (Tv), se deve prolongar a sua projecção r até a linha deterra. Na intersecção da linha de terra com a projecção r levanta-se uma linha de chamada com a projecçãor´ temos o traço vertical (Tv). (H) – Traço horizontal Figura 3.4 Traços de uma rectaPara encontrar o traço horizontal (Th), de uma recta, se prolonga sua projecção r´ ate a linha de terra. Naintersecção da linha de terra com a projecção r´ levanta-se uma linha de chamada até encontrar a projecçãor teremos então o traço horizontal (Th).
  • 17. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Representação do planoUm plano pode ser determinado por uma das quatro possibilidades: 1. Três pontos não colineares7 2. Uma recta e um ponto exterior 3. Duas rectas concorrentes 4. Duas rectas paralelas Representação do plano Estas figuras abaixo representam os quatros pontos referidos acima. Figura 3.5 Regras 1e 2 sobre planos Figura 3.6 Regras 3 e 4 sobre planos7 Pontos que não estão alinhados ou não estão situados em Lina recta
  • 18. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Traços de um planoA recta de intersecção de um dado plano α com o plano horizontal designa-se por traçohorizontal. Trata-se de uma recta de nível de cota nula. E a recta de intersecção de umdado plano α com o plano frontal designa-se por traço frontal. Trata-se de uma recta defrente de afastamento nulo. Figura 3.7 Traços de um planoPlano de topoO plano de topo é um plano em posições particulares · É um plano perpendicular ao plano F8; · As projecções frontais das suas rectas são coincidentes com o seu traço frontal; · As projecções frontais dos seus pontos pertencem ao seu traço frontal. Figura 3.8 Plano de topo8 F significa frontal e H horizontal
  • 19. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Plano vertical · Plano perpendicular ao plano H · As projecções horizontais das suas rectas são coincidentes com o seu traço horizontal · As projecções horizontais dos seus pontos pertencem ao seu traço horizontal. Figura 3.9 Plano vertical Plano de Nível · Plano paralelo ao plano H · Só tem traço frontal e todas as projecções frontais dos seus elementos pontos e rectas estão sobre essa linha, paralela à linha de terra. Figura 4 Plano de Nível Plano de frente · Plano paralelo ao plano F · Só tem traço horizontal e todas as projecções horizontais dos seus elementos pontos e rectas estão sobre essa linha paralela à linha de terra. Figura 4.1 Plano de frente
  • 20. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Plano de perfil · Plano perpendicular à linha de terra, ao plano H e ao plano F; · São de perfil todas as rectas pertencentes a um plano de perfil incluindo as verticais e as de topo. Figura 4.2 Plano de perfilPlano passante · Os seus traços são coincidentes com a linha de terra · Pode ser representado pela linha de terra (traços) e um dos seus pontos Figura 4.3 Plano passante Plano rampa · Paralelo à linha de terra mas oblíquo aos dois planos de projecção, F e H · Os seus traços são rectas paralelas à linha de terra. Figura 4.4 Plano de Rampa
  • 21. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Plano Oblíquo · Oblíquo em relação aos dois planos de projecção e à linha de terra. Figura 4.5 Plano Oblíquo
  • 22. C.V.F-C.F.B. José Alves Manuel 2012Referencias Bibliográficas · Rangel, Alcyr Pinheiro – Poliedros, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1985 · Almeida, Célio Pinto – Geometria Descritiva, vols. 7 Apostila para cursos de vestibulares, editor desconhecido · Rodrigues, Álvaro José – Geometria descritiva, livro Técnico, Rio de Janeiro, 1960 · Machado, Adervan, Geometria Descritiva, Editora McGraw-Hill do Brasil LTDA, 1974 · Stamato, José, Cadernos do MEC, Introdução ao Desenho Técnico, 1972 · Príncipe, JR, Geometria Descritiva, V.1 e 2 · Neilzel, E, Desenho Tecnico para a construção Civil, São Paulo, Editora USP · Leonardo, Barros, Geometria Descritiva, Luanda, Textos Editores, 2007 · http://www.mat.uel.br/marie · www.google.com.br · www.wikipedia.com · www.google.com.ao · www.google.com.ptOBS:Todos os nomes registados, e marcas registadas e direito de uso citado neste trabalho pertencem aos seusrespectivos autores.

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