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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Extensión Barquisimeto Integrantes: Mariangel Gudiño CI: 24165834 Julianny Sanchez CI: 21125316 Sección: “S2” Prof: Marianny Arrieche
  • 2. EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento. Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia. Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo. Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
  • 3. Elementos: 1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias. 2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. 3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. 4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la letra "t". 5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo. 6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante. Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (-M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que recorre. Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple.
  • 4. Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple Fórmulas: x = A. cos . w . t x = elongación r = A = radio t = tiempo w = velocidad angular Vx = - V . sen Ø V=w.r h=w.t w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal. Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X" h = ángulo Vx = -2 . F . A . sen (2 Vx = + w " A2 - x2 Ax = - w2 . A . cos. w . t Ax = - Ac . cos Ø Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal Ac = w2 . x Ac = aceleración centrípeta t=2 " mk T = periodo .) Características de un M.A.S son: Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje x comprendida entre +A y – A. La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que ( t+T) + = t+ +2. Cinemática de un M.A.S Es un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivada la expresión de la velocidad.
  • 5. Dinámica de un M.A.S Aplicando la segunda ley de newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a este. Energía de un M.A.S En el M.A.S la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa en los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el M.A.S es la suma de su energía potencial más su energía cinética.
  • 6. Trabajode rotación El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando esta describe circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girando se le representa con la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de rotación o velocidad angular se representa con w y se mide en radianes/ segundo.
  • 7. Sistema Masa- Resorte El sistema masa-resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.
  • 8. Péndulo simple Es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes: el hilo es inextensible su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño. Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no.
  • 9. Considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo. Que a veces también se expresa como. Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su solución también será (13.2) teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor de antiguo por el que tiene ahora para un péndulo A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia, etc. Movimiento del Péndulo El movimiento de un péndulo simple es como un movimiento armónico simple en donde la ecuación para el desplazamiento angular es Que tiene la misma forma que el movimiento de una masa sobre un muelle:
  • 10. La frecuencia angular del movimiento está dada por comparada a Para una muelle. masa sobre un La frecuencia del péndulo en Hz está dada por y el periodo del movimiento es entonces Período de un Péndulo Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones). 1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo. 2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo. Una masa puntual colgando de una cuerda sin masa, es un ejemplo idealizado de un péndulo simple. Cuando se desplaza desde su punto de equilibrio, la fuerza de restauración que lo trae de nuevo al centro, está dada por: Para pequeños ángulos θ, podemos usar la aproximación
  • 11. En cuyo caso la segunda ley de Newtontoma la forma Aún en este caso aproximado, la solución de la ecuación hace uso de las ecuaciones y cálculo diferencial. La ecuación diferencial es Y para pequeños ángulos θ la solución es: Geometría del Péndulo
  • 12. Ecuaciones del Péndulo La ecuación de movimiento para el péndulo simple para amplitudes suficientemente pequeñas tiene la forma La cual, cuando se pone en forma angular viene a ser Esta ecuación diferencial es como la del oscilador armónico simple y tiene la solución: Oscilación libre En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre.Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra. Oscilación amortiguada Si en el caso de una oscilación libre nada, perturbara al sistema en oscilación, este seguirá vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se
  • 13. conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez mas energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada. En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo. La representación matemática es , donde es el coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud es también una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y son constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento. No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande.) Oscilación autosostenida
  • 14. Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida.Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta. La arco acción del sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra habilidad para compensar la energía perdida. Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos decrescendo.) Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)
  • 15. Oscilación forzada Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (fg), y no en su frecuencia natural (fr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica.Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía". Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación. Hidrostática La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da el nombre de fluidez. Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el principio de Pascal y el principio de Arquímedes. Agua de mar: fluido salobre.
  • 16. La presión(P) se relaciona con la fuerza(F) y el área o superficie (A) de la siguiente forma: P=F/A. La ecuación básica de la hidrostática es la siguiente: P = Po + ρgy Siendo: P: presión Po: presión superficial ρ: densidad del fluido g: intensidad gravitatoria de la Tierra y: altura neta Características de los líquidos a) Viscosidad. Es una medida de la resistencia que opone un líquido a fluir. b) Tensión superficial. Este fenómeno se presenta debido a la atracción entre moléculas de un líquido. c) Cohesión. Es la fuerza que mantiene unidas a las moléculas de una misma sustancia. d) Adherencia. Es la fuerza de atracción que se manifiesta entre las moléculas de dos sustancias diferentes en contacto. e) Capilaridad. Se presenta cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida, especialmente si son tubos muy delgados llamados capilares. Ley de Pascal El principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662). El incremento de la presión aplicada sobre un
  • 17. fluido no compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente. Es decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente cerrado, esta se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo, en la prensa hidráulica o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se basan en este principio. La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido. Definimos compresibilidad como la capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.
  • 18. Principio de Arquímedes El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de fluido desalojado. El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente. Propiedades de los fluidos Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo como en movimiento. Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido. Propiedades primarias o termodinámicas: Densidad Presión Temperatura Energía interna Entalpía Entropía Calores específicos Propiedades secundarias
  • 19. Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos. Viscosidad Conductividad térmica Tensión superficial Compresión. Definimos viscosidad como la mayor o menor dificultad para el deslizamiento entre las partículas de un fluido. Densidad o masa específica La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico. Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es: Donde ρ: densidad de la sustancia, Kg/m3 m: masa de la sustancia, Kg V: volumen de la sustancia, m3 en consecuencia la unidad de densidad en el Sistema Internacional será kg/m3 pero es usual especificar densidades en g/cm3, existiendo la equivalencia
  • 20. 1g cm3 = 1.000 kg/ m3. La densidad de una sustancia varía con la temperatura y la presión; al resolver cualquier problema debe considerarse la temperatura y la presión a la que se encuentra el fluido. Densidad de fluidos: cantidad de masa por volumen. Peso específico El peso específico de un fluido se calcula como su peso por unidad de volumen (o su densidad por g). En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico. Presión hidrostática.
  • 21. Presión hidrostática En general, podemos decir que la presión se define como fuerza sobre unidad de superficie, o bien que la presión es la magnitud que indica cómo se distribuye la fuerza sobre la superficie en la cual está aplicada. Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo) el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie. Entonces, presión hidrostática, en mecánica, es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un líquido o un gas perpendicularmente a dicha superficie. Si la fuerza total (F) está distribuida en forma uniforme sobre el total de un área horizontal (A), la presión (P) en cualquier punto de esa área será P: presión ejercida sobre la superficie, N/m2 F: fuerza perpendicular a la superficie, N A: área de la superficie donde se aplica la fuerza, m2 Presión y profundidad La presión en un fluido en equilibrio aumenta con la profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en superficies planas horizontales en el fluido. Por ejemplo, si hacemos mediciones de presión en algún fluido a ciertas profundidades la fórmula adecuada es Es decir, la presión ejercida por el fluido en un punto situado a una profundidad h de la superficie es igual al producto de la densidad d del fluido, por la profundidadh y por la aceleración de la gravedad.
  • 22. Si consideramos que la densidad del fluido permanece constante, la presión, del fluido dependería únicamente de la profundidad. Pero no olvidemos que hay fluidos como el aire o el agua del mar, cuyas densidades no son constantes y tendríamos que calcular la presión en su interior de otra manera. Unidad de Presión En el sistema internacional la unidad es el Pascal (Pa) y equivale a Newton sobre metro cuadrado. La presión suele medirse en atmósferas (atm); la atmósfera se define como 101.325 Pa, y equivale a 760 mm de mercurio o 14,70 lbf/pulg2 (denominada psi). La tabla siguiente define otras unidades y se dan algunas equivalencias. Unidad Símbolo Equivalencia bar bar 1,0 × 105 Pa atmósfera atm 101.325 Pa 1,01325 bar 1013,25 mbar mm de mercurio mmHg 133.322 Pa Torr torr 133.322 Pa lbf/pulg2 psi 0,0680 atm kgf/cm2 0,9678 atm atm 760,0 mmHg psi 6.894, 75 Pa