La importancia de las caras para una
           MV-asignaci´no

                       Fco. Javier Cobos Gavala


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Al realizar un pliegue en una hoja de papel, ´ste puede realizarse de dos
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Obs´rvese que para que el origami sea plano (pueda ser guardado entre
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Teorema 2 [Kawasaki-Justin [4, 5, 8]] La suma de los ´ngulos alternos
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Figura 3: Un origami irrealizable

tri´ngulo central llegamos a una incompatibilidad, pues si hemos asignado a
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Figura 6: Mapa de pliegues del torcido del cuadrado

a cambiar todas las asignaciones realizadas, con lo que el v´rtice v1...
En resumen disponemos de 2 posibilidades para elegir (siempre con v1
hacia arriba) si f (1, 2) = (M, V ) o f (1, 2) = (V, ...
las parejas y orientamos su v´rtice hacia arriba, los dos lados del oct´gono
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localmente v´lidas. La diferencia estriba en que ahora todas lo son tambi´n
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interseca a l2 y la de c2 , con eje l2 sobre c interseca a l1 , las aristas l1 y l2
han de tener diferente asignaci´n.
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Figura 11: Prueba de la imposibilidad

por lo que resulta ser un origami irrealizable.


   Volvamos ahora al ejemplo del ...
Sin embargo, sabemos que s´lo dos son globalmente v´lidas, por lo que
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  1. 1. La importancia de las caras para una MV-asignaci´no Fco. Javier Cobos Gavala Resumen En [1] T. Hull desarrolla un algoritmo lineal que permite contar el n´mero de MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues que u a contiene un unico v´rtice en su interior. Para ello es necesario conocer ´ e la medida de los ´ngulos alrededor de dicho v´rtice. En caso de existir a e m´s de un v´rtice en el interior del mapa de pliegues el problema a e se complica y, en el mismo art´ ıculo, T. Hull presenta los ejemplos del torcido del cuadrado y del torcido del oct´gono para mostrar su o dificultad. En este trabajo se muestra que para contar el n´mero de MV- u asignaciones de un mapa de pliegues con m´s de un v´rtice en su a e interior no s´lo es necesario conocer la medida de los ´ngulos alrededor o a de cada v´rtice sino que tambi´n es fundamental conocer las caras del e e grafo del mapa. 1 Introducci´n o El estudio del origami o papiroflexia (el arte y el proceso del doblado del papel) incluye muchos e interesantes problemas geom´tricos y combinatorios e (v´anse [2, 6]). En las matem´ticas del origami un modelo indica cualquier ob- e a jeto de papel doblado, independientemente del n´mero de pliegues necesarios u para su realizaci´n. El mapa de pliegues de un modelo es una representaci´n o o plana de un grafo que representa los pliegues necesarios para la realizaci´no del modelo. 1
  2. 2. Al realizar un pliegue en una hoja de papel, ´ste puede realizarse de dos e formas diferentes, de forma convexa o en montana y de forma c´ncava o en ˜ o valle. Es general el uso de la notaci´n o − · · − · · − · ·− para los pliegues en monta˜a n −−−−−−− para los pliegues en valle Figura 1: Un pliegue en monta˜a (izquierda) y otro en valle (derecha) n Si deshacemos los pliegues realizados para obtener un modelo de papiro- flexia, nos quedan en la hoja de partida las marcas de los pliegues que se han realizado. As´ por ejemplo, si desplegamos la grulla tradicional nos queda el ı, mapa que aparece en la Figura 2. Figura 2: El mapa de los pliegues de la grulla tradicional Definici´n 1 Un origami plano es un par (C, f ), donde C es el conjunto de o pliegues y f : C → {M,V} es tal que la representaci´n de (C, f ) inducida de o 3 [0, 1] × [0, 1] en R es biyectiva. 2
  3. 3. Obs´rvese que para que el origami sea plano (pueda ser guardado entre e las hojas de un libro) los pliegues han de ser, necesariamente de ±180 grados, por lo que les asignaremos los valores M si el pliegue es en monta˜a o V si n es en valle. Como vamos a tratar de los origamis planos, la funci´n f : C → {M,V} o la llamaremos MV-asignaci´n y diremos que es una asignaci´n v´lida si el o o a mapa C con dicha asignaci´n permite la construcci´n de un modelo plano sin o o romper el papel. En caso contrario diremos que se trata de una asignaci´n o no v´lida. Un mapa C para el que ninguna MV-asignaci´n sea v´lida diremos a o a que corresponde a un origami irrealizable. 1.1 Propiedades locales del origami plano Diremos que un v´rtice v es un v´rtice interior plano si corresponde a un e e v´rtice del interior del mapa en el que confluyen pliegues, de tal forma que e un disco centrado en v y que no contenga a ning´n otro v´rtice del mapa u e admita un plegado plano. Para ello es necesario que se verifiquen una serie de condiciones b´sicas sin las cuales no ser´ posible su plegado. a a Teorema 1 [Maekawa-Justin [5, 7]] Sea M el n´mero de pliegues en u monta˜a y V el de pliegues en valle que confluyen en un v´rtice interior n e plano. Se verifica entonces que M − V = ±2. El resultado obtenido para doblar una hoja de papel tambi´n es v´lido e a para doblar un cono (la suma de los ´ngulos alrededor del v´rtice es menor a e de 360 grados). En este caso, el v´rtice al que nos referimos es el v´rtice del e e cono. En otras palabras, si en vez de partir de una hoja plana de papel con un v´rtice en su interior, partimos de un cono en el que se han marcado varias e generatrices (l´ıneas de pliegue), no admitir´ un plegado plano si no verifica a la condici´n anterior, es decir, que M − V = ±2. Si M − V = 2 diremos que o el v´rtice est´ orientado hacia arriba, mientras que si M − V = −2 lo est´ e a a hacia abajo. Corolario 1 El grado de un v´rtice interior plano (o de un cono que admita e plegado plano) es siempre par. 3
  4. 4. Teorema 2 [Kawasaki-Justin [4, 5, 8]] La suma de los ´ngulos alternos a en un v´rtice interior plano de C es 180 grados. e Si en vez de partir de un v´rtice interior plano partimos de un cono, e la suma de los ´ngulos que definen las l´ a ıneas de pliegue (cortemos por una generatriz y despleguemos el cono) no es de 360 grados, por lo que lo unico ´ que nos asegura el teorema de Kawasaki-Justin en el caso de un cono es que los ´ngulos de sub´ a ındice par suman lo mismo que los de sub´ ındice impar. α1 + α3 + · · · + α2n−1 = α2 + α4 + · · · + α2n (1) El rec´ ıproco del teorema de Kawasaki-Justin tambi´n es cierto, es decir, e si la suma de los 2n ´ngulos alternos de un v´rtice interior es 180 grados (o a e en el caso de un cono se da la condici´n (1)), admite un plegado plano. o Sin embargo, el hecho de que todos los v´rtices interiores existentes en e el mapa de un modelo verifiquen la condici´n de Kawasaki-Justin no quiere o decir que globalmente se pueda realizar un plegado plano del modelo. Veamos, para ello, el siguiente teorema. Teorema 3 Sea v un v´rtice interior plano (o un cono) y denotemos por e α1 , . . . , α2n los ´ngulos definidos por las l´neas de pliegue. Si αi < αi−1 y a ı αi < αi+1 entonces las aristas li y li+1 han de tener diferente asignaci´n, es o decir si una es en valle la otra ha de ser, necesariamente, en monta˜a. n Teniendo en cuenta el teorema anterior podemos ver que el origami re- presentado en la Figura 3 no admite ninguna MV-asignaci´n v´lida a pesar o a de cumplir los requisitos de teorema de Kawasaki-Justin. Se trata de lo que llamamos un origami irrealizable. En efecto, si nos fijamos en uno de los v´rtices del tri´ngulo equil´tero e a a central (60 grados) podremos observar que los pliegues que lo definen tienen a ´ngulos adyacentes de 90 grados, por lo que ambos pliegues tienen que tener diferente asignaci´n, es decir, si uno se realiza en monta˜a el otro hay que o n realizarlo en valle. Al darse la misma circunstancia en los tres v´rtices del e 4
  5. 5. Figura 3: Un origami irrealizable tri´ngulo central llegamos a una incompatibilidad, pues si hemos asignado a a dos de sus lados los valores M y V (monta˜a y valle) no podemos asignar al n tercero ninguno de los dos valores. Buscar condiciones globales para determinar si un origami es plano es un problema demasiado complejo, por lo que nos limitamos, de momento, a estudiar condiciones locales. Si nos centramos en contar el n´mero de u MV-asignaciones v´lidas para un mapa de pliegues, el problema, al igual a que el anterior demasiado complejo, T. Hull en [1] se limita a estudiar casos concretos, en particular aquel en el que el mapa de pliegues contiene a un unico v´rtice. ´ e Para ver la dificultad del problema en el caso general con varios v´rtices e podemos da el siguiente ejemplo. La figura 4 nos muestra el mapa de pliegues del denominado torcido de un cuadrado, una MV-asignaci´n v´lida para dicho o a mapa y el modelo resultante. De las 212 posibles MV-asignaciones, s´lo 16 o son v´lidas. a Figura 4: El torcido de un cuadrado 5
  6. 6. Se presentan, a continuaci´n las 16 MV-asignaciones v´lidas. o a Figura 5: Las 16 MV-asignaciones v´lidas del torcido del cuadrado a Estudiemos, en primer lugar, c´mo se obtienen las 16 MV-asignaciones o v´lidas para el torcido del cuadrado. En la figura 6 hemos numerado los a v´rtices y las aristas de su mapa de pliegues. e Evidentemente se verifican las condiciones de Kawasaki. En caso contra- rio no ser´ posible un plegado plano. ıa Si comenzamos por el v´rtice v1 y lo orientamos hacia arriba (M-V=2), e por cada MV-asignaci´n que obtengamos tenemos tambi´n la correspondiente o e 6
  7. 7. Figura 6: Mapa de pliegues del torcido del cuadrado a cambiar todas las asignaciones realizadas, con lo que el v´rtice v1 se volver´ e ıa hacia abajo. As´ pues, podemos buscar todas aquellas en que v1 es hacia ı arriba y obtener el resto invirtiendo las asignaciones. El ´ngulo que forman las aristas 1 y 2 es menor que sus dos adyacentes, a por lo que dichas aristas han de tener asignaciones diferentes. Supongamos que f (1) =M y f (2) =V (casos 1, 2, 3 y 4). Como la arista 2 tiene asignaci´n o V y v1 es hacia arriba, necesariamente 3 y 4 tienen que tener asignaci´n M. o Como el ´ngulo formado por las aristas 4 y 5 es menor que sus adyacentes, a dichas aristas deben tener asignaciones diferentes, por lo que f (5) =V. Nos planteamos ahora si hacer del v´rtice v2 un v´rtice hacia arriba o uno hacia e e abajo. Si optamos por hacerlo hacia arriba (casos 1 y 2), las aristas 6 y 7 han de tener asignaci´n M. Si lo orientamos hacia abajo (casos 3 y 4), 6 y 7 o deben tener asignaci´n V. o Las aristas 7 y 8 forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que a 8 ha de tener asignaci´n V. Disponemos ahora de la posibilidad de orientar a o v3 hacia arriba (caso 1) o hacia abajo (caso 2). Supongamos que se opta por orientarla hacia arriba (caso 1), las aristas 9 y 10 tienen que tener asignaci´n o M. La arista 11 esta forzada a tener asignaci´n V porque el ´ngulo que forma o a con la 10 es menor que sus adyacentes y la 12 asignaci´n M porque v4 ya o tiene dos aristas M y una V, con lo que la cuarta no puede ser otra V (en ese caso ser´ M-V=0 y no ser´ v´lida la asignaci´n). Es decir, para el cuarto ıa ıa a o v´rtice no tenemos opciones posibles. e 7
  8. 8. En resumen disponemos de 2 posibilidades para elegir (siempre con v1 hacia arriba) si f (1, 2) = (M, V ) o f (1, 2) = (V, M ). Dos posibilidades para optar porque v2 se oriente hacia arriba o hacia abajo y otras dos para orientar a v3. En total 8 asignaciones posibles con v1 hacia arriba. Cambiando todas las asignaciones obtenemos otras 8 (casos 9 a 16) en que v1 est´ orientado hacia abajo. Hemos conseguido as´ las 16 asignaciones a ı v´lidas. a Hay que tener en cuenta que lo que hemos hecho es obligar, a cada uno de los v´rtices, a que cumpla las condiciones de Maekawa y las impuestas e por el teorema 3 para que por s´ solos cada uno de ellos pueda ser doblado ı en plano. No hemos tenido en cuenta si globalmente son v´lidas todas las a opciones. En este caso no existe ninguna incompatibilidad y las 16 asignacio- nes realizadas permiten un doblado en plano. Sin embargo, no disponemos de ninguna herramienta que nos permita saber, sin realizar los plegados, qu´e MV-asignaciones son globalmente v´lidas y cu´les no. a a Examinemos ahora el caso del torcido del oct´gono cuyo mapa se tiene en o la figura 7. Figura 7: El mapa del torcido de un oct´gono o Podemos observar que de cada uno de los v´rtices del oct´gono parten e o dos aristas que forman un ´ngulo menor que sus adyacentes, por lo que a ambas deben tener diferente asignaci´n. Si fijamos la asignaci´n de una de o o 8
  9. 9. las parejas y orientamos su v´rtice hacia arriba, los dos lados del oct´gono e o (las otras dos aristas que inciden en el v´rtice) deben tener asignaci´n M, e o lo que junto al hecho de que las aristas hacia afuera del siguiente v´rtice e tambi´n deben tener asignaci´n diferente nos dice que el siguiente lado del e o oct´gono tambi´n debe tener asignaci´n M. Podemos observar, por tanto o e o que los ocho lados del oct´gono deben tener asignaci´n M y cada pareja de o o aristas que sale hacia afuera orientaci´n diferente, es decir, (M,V) o (V,M). o Disponemos, por tanto de 28 posibilidades de elecci´n una vez orientado uno o de los v´rtices hacia arriba. Si ese mismo v´rtice lo hubi´semos orientado e e e hacia abajo hubi´semos obtenido otras 28 posibilidades todas ellas con los e lados del oct´gonos asignados a un pliegue en valle. o Existen, por tanto 29 MV-asignaciones localmente v´lidas. Sin embargo, y a a diferencia del caso del torcido del cuadrado s´lo dos de ellas son globalmente o v´lidas. La figura 8 nos muestra esas dos posibilidades. Evidentemente una a resulta de cambiar todas las asignaciones de la otra. Figura 8: El torcido de un oct´gono o Se hace evidente la necesidad de buscar herramientas que nos permitan distinguir cu´les son las MV-asignaciones globalmente v´lidas. a a 2 La importancia del tama˜ o n Supongamos que recortamos nuestro papel y nos quedamos con al mapa de la figura 9. Es evidente que volveremos a obtener 29 MV-asignaciones 9
  10. 10. localmente v´lidas. La diferencia estriba en que ahora todas lo son tambi´n a e globalmente. Figura 9: El mapa recortado del torcido de un oct´gono o T. Hull en [1] establece un algoritmo lineal para contar el n´mero de u MV-asignaciones v´lidas para un v´rtice de plegado plano o, lo que es lo a e mismo, para un mapa que s´lo contiene un v´rtice en su interior. Para ello o e es fundamental conocer la amplitud de los ´ngulos que forman las aristas a que inciden en ´l, por lo que define el v´rtice de la forma v = (α1 , . . . , α2n ) e e verific´ndose, evidentemente, la condici´n de que los v´rtices de sub´ a o e ındice par han de sumar lo mismo que los de v´rtice par (Kawasaki) y que confluyen en e ´l un n´mero par de aristas (y, por tanto, un n´mero par de ´ngulos) para e u u a que se pueda verificar el corolario 1 del teorema de Maekawa. Es evidente que si queremos buscar un algoritmo que nos diga si una MV-asignaci´n, localmente v´lida, lo es tambi´n globalmente en un mapa o a e que contenga a m´s de un v´rtice, no ser´ suficiente con definir los v´rtices a a e a e trav´s de los ´ngulos que inciden en ´l, sino que deberemos conocer las caras e a e del grafo que representa el mapa de pliegues. Podemos entonces generalizar el teorema 3 en el siguiente sentido: Teorema 4 Sean C el grafo que define un mapa de pliegues y c una de sus caras. Consideremos dos caras c1 y c2 adyacentes a c y sean l1 y l2 las aristas que las separan de c, respectivamente. Si la reflexi´n de c1 con eje l1 sobre c o 10
  11. 11. interseca a l2 y la de c2 , con eje l2 sobre c interseca a l1 , las aristas l1 y l2 han de tener diferente asignaci´n. o Demostracion: La demostraci´n es similar a la del teorema 3. ´ o La figura 10 representa un origami irrealizable [3] con dos v´rtices. e Figura 10: Un origami irrealizable con dos v´rtices e Si observamos la figura 11 vemos que al reflejar, con eje la arista A-2, la cara C-1 sobre C-2, la arista A-1 interseca a la A-3 y si reflejamos, con eje A-3, la cara C-3 sobre C-2, la arista A-4 corta a la arista A-2. Por teorema 4 sabemos que A-2 y A-3 han de tener diferente asignaci´n. o An´logamente, reflejando C-4 y C-6 sobre C-5 observamos que A-5 y A-6 a deben tener asignaciones diferentes. As´ pues, si comenzamos a hacer una MV-asignaci´n desde el v´rtice ı o e de 45 grados, los pliegues A-4 y A-5 deben tener diferente asignaci´n, por o ejemplo M y V (ver Fig. 11). La siguiente arista A-6 debe tener asignaci´n o M por el teorema 4. La asignaci´n de A-1 debe ser V por formar con A-6 o un ´ngulo menor que sus adyacentes. Si decidimos ahora que el v´rtice de a e o 45 est´ orientado hacia arriba, A-3 y A-7 han de tener asignaci´n M, no a o qued´ndonos opci´n alguna para A-2, ya que el teorema 4 nos dice que debe a o ser V (puesto que f (A-3)=M) pero entonces falla la condici´n de Maekawa, o 11
  12. 12. Figura 11: Prueba de la imposibilidad por lo que resulta ser un origami irrealizable. Volvamos ahora al ejemplo del torcido del oct´gono (Fig.7). o Si aplicamos el teorema 4 vemos que la asignaci´n de las aristas exteriores o del oct´gono debe ser alternativa (ver Fig. 12), por lo que s´lo disponemos o o de la posibilidad de que la primera que asignemos sea M o V. Las aristas del oct´gono pueden ser ahora todas M o todas V, seg´n sea la orientaci´n o u o de sus v´rtices, por lo que de 29 MV-asignaciones localmente v´lidas hemos e a pasado a s´lo 4 que puedan serlo globalmente. o Figura 12: Aplicaci´n del teorema 4 al torcido del oct´gono o o 12
  13. 13. Sin embargo, sabemos que s´lo dos son globalmente v´lidas, por lo que o a el teorema 4 a´n resulta insuficiente. u Referencias [1] Hull, T. Counting Mountain-Valley Assignments for Flat Folds To appear in Ars Combinatoria, 2002. [2] Hull, T. On the mathematics of flat origamis Congressus Numerantium, 100 (1994) 215-224. [3] Hull, T. The Combinatorics of Flat Folds: a Survey In: AK Peters ed., Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science, Mathematics and Education (2002). [4] Justin, J. Aspects mathematiques du pliage de papier In: H. Huzita ed., Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology (Ferrara, 1989) 263-277. [5] Justin, J. Mathematics of origami Part 9, British Origami (June 1986) [6] Justin, J. Toward a mathematical theory of origami In: K. Miura ed., Origami Science and Art: Proceedings of the Second International Mee- ting of Origami Science and Scientific Origami, (Seian University of Art and Design, Otsu, 1997) 15-29. [7] Kasahara, K. and Takahama, T. Origami for the Connoisseur Japan Publications, New York, 1987 [8] Kawasaki, T. On the relation between mountain-creases and valley- creases of a flat origami (abridged English translation) In: H. Huzita ed., Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology (Ferrara,1989) 229-237. 13

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