1. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT
1 − jkω 0t
periódica → Serie de Fourier x(t ) = ∑ ak ⋅ e jkω 0 t ; ak = ∫T x(t ) ⋅ e dt
k T0 0
Señales de tiempo contínuo: ∞
1 ∞ jkω t − jω t
X (ω )e dω ; X (ω ) = ∫ x(t )e
2π ∫-∞
no periódica → Transf. de Fourier x(t ) = dt
−∞
Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad → si x(t) cumple las condiciones de Dirichlet, entonces la
sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad ⇒ 1) debe ser absolutamente integrable ∫ x(t ) dt < ∞ 2) debe
∞
tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finito de tiempo hay un número finito
de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita.
Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas),
aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones.
Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye
(es del 9%), sólo se comprimen.
Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas
LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas ⇒ x[n] = zn ; donde z es un número complejo.
∞ ∞ ∞
⇒ y[n] = h[n] ∗ x[n] = ∑ h[ k ] ⋅ x[n − k ] = ∑ h[k ] ⋅ z n−k
= z ⋅ ∑ h[k ] ⋅ z − k ⇒ y[n] = H ( z ) ⋅ z n
n
−∞ −∞ −∞
al valer el principio de superposición, si x[ n] = ∑ ak ⋅ z k y[n] = ∑ ak ⋅ H ( z k ) ⋅ z k
n n
⇒
k k
Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z = 1 ⇒ z n = e j Ω n

2.  Secuencias periódicas ⇒ x[n] = x[n + N]
j k n 2π /N
El conjunto de todas las exponenciales complejas periódicas de período N esta dado por: φ k [n] = e (sólo N !!)
Se quiere representar la secuencia periódica x[n] en término de combinaciones lineales de las secuencias φk[n] ⇒
x[ n] = ∑ ak ⋅ φ k [ n] = ∑ ak ⋅ e j k n 2π / N ≡ Serie de Fourier de tiempo discreto; ak = coeficientes de SF.
k k= N
Considerando que ambos miembros de la ecuación son periódicos, se plantea un sistema de N ecuaciones lineales para
los ak. Las ecuaciones son linealmente independientes ⇒ se pueden obtener los x[n]. Operando sobre la ec. anterior:
∑ x[n] ⋅e j r n 2π / N = ∑ e j r n 2 π / N ∑ ak ⋅e j k n 2π / N puede intercambiarse el orden de las sumatorias, resultando:
n n k
N −1 N k = 0, ± N , ± 2 N ....
∑ x[n] ⋅ e − j n r 2π / N = ∑ ak ∑ e j n ( k -r ) 2π / N 
n= N k= N n= N
Propiedad útil: ∑e jnk 2π / N
=
n =0 0
 para otro valor
≠ 0 sólo para k = r
1
ar = ∑ x[n] ⋅ e − j nr 2π / N = ak
N n= N
≡ coeficientes de la Serie de Fourier de tiempo discreto
existen sólo N valores de ak distintos a0 = aN y en general ak = ak+N ⇒ los N valores a considerars
pueden tomarse a partir de un origen arbitrario.

3. Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(Ω0n) será periódica sólo en el caso en que 2π/Ω0 sea entero ó una relación de enteros.
1 j n 2π / N 1 − j n 2π / N
1) Si x[n] es periódica en N → x[ n] = e − e ⇒ a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2j 2j
 2π   2π   4π π
2) x[n] = 1 + sen n  + 3 ⋅ cos n  + cos n +  = a0 + a1 e j 2π n/ N + a−1 e− j 2π n/ N + a2 e j 2⋅ 2π n/ N + a− 2 e− j 2⋅ 2π n / N
N  N  N 2
3 1 3 1 1 1
a0 = 1 ; a1 = + ; a−1 = − ; a2 = j ; a− 2 = − j ; ak = 0 para los otros valores
2 2j 2 2j 2 2
 2π 
3) x[ n] = sen n
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcular
 2π 
4) x[ n] = sen 3 n  la secuencia original
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 N1 − j n k 2π / N
5) onda cuadrada de tiempo discreto ak = ∑e
N n = − N1
cambio vbles.
(m = n + N1)
-N1 0 N1 N-N1 N
1 sen[ 2π k ( N1 + 1 / 2 ) / N]
2N 2N
1 1 1 1
ak = ∑ e − j ( m − N1 ) k 2π / N = e j k 2π N1/ N ∑ e − j m k 2π / N expadiendo la serie y ordenando → ak =
N m=0 N m=0 N sen[ 2π k / 2 N]

4. Coeficiente de la Serie de Fourier de la onda cuadrada (Nak)
para 2N1+1 = 5; (a) N = 10, (b) N = 20 y (c) N = 40.

5. Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(Ω0n) será periódica sólo en el caso en que 2π/Ω0 sea entero ó una relación de enteros.
1 j n 2π / N 1 − j n 2π / N
1) Si x[n] es periódica en N → x[ n] = e − e ⇒ a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2j 2j
 2π   2π   4π π
2) x[n] = 1 + sen n  + 3 ⋅ cos n  + cos n +  = a0 + a1 e j 2π n/ N + a−1 e− j 2π n/ N + a2 e j 2⋅ 2π n/ N + a− 2 e− j 2⋅ 2π n / N
N  N  N 2
3 1 3 1 1 1
a0 = 1 ; a1 = + ; a−1 = − ; a2 = j ; a− 2 = − j ; ak = 0 para los otros valores
2 2j 2 2j 2 2
 2π 
3) x[ n] = sen n
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcular
 2π 
4) x[ n] = sen 3 n  la secuencia original
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 N1 − j n k 2π / N
5) onda cuadrada de tiempo discreto ak = ∑e
N n = − N1
cambio vbles.
(m = n + N1)
-N1 0 N1 N-N1 N
1 sen[ 2π k ( N1 + 1 / 2 ) / N]
2N 2N
1 1 1 1
ak = ∑ e − j ( m − N1 ) k 2π / N = e j k 2π N1/ N ∑ e − j m k 2π / N expadiendo la serie y ordenando → ak =
N m=0 N m=0 N sen[ 2π k / 2 N]
M
en el caso inverso x[ n] = ∑ ak e j n k 2π /N
k =−M

6. Reconstrucciones parciales de la onda cuadrada con N =
9 y 2N1+1 = 5; (a) M = 1, (b) M = 2; (c) M = 3 y (d) M =
4.

7. Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(Ω0n) será periódica sólo en el caso en que 2π/Ω0 sea entero ó una relación de enteros.
1 j n 2π / N 1 − j n 2π / N
1) Si x[n] es periódica en N → x[ n] = e − e ⇒ a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2j 2j
 2π   2π   4π π
2) x[n] = 1 + sen n  + 3 ⋅ cos n  + cos n +  = a0 + a1 e j 2π n/ N + a−1 e− j 2π n/ N + a2 e j 2⋅ 2π n/ N + a− 2 e− j 2⋅ 2π n / N
N  N  N 2
3 1 3 1 1 1
a0 = 1 ; a1 = + ; a−1 = − ; a2 = j ; a− 2 = − j ; ak = 0 para los otros valores
2 2j 2 2j 2 2
 2π 
3) x[ n] = sen n
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcular
 2π 
4) x[ n] = sen 3 n  la secuencia original
 5  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 N1 − j n k 2π / N
5) onda cuadrada de tiempo discreto ak = ∑e
N n = − N1
cambio vbles.
(m = n + N1)
-N1 0 N1 N-N1 N
1 sen[ 2π k ( N1 + 1 / 2 ) / N]
2N 2N
1 1 1 1
ak = ∑ e − j ( m − N1 ) k 2π / N = e j k 2π N1/ N ∑ e − j m k 2π / N expadiendo la serie y ordenando → ak =
N m=0 N m=0 N sen[ 2π k / 2 N]
M
en el caso inverso x[ n] = ∑ ak e j n k 2π /N NO APARECE EL FENOMENO DE GIBBS
k =−M
Sólo se necesita un número FINITO de coeficientes para representar la secuencia

8.  Secuencias aperiódicas x[n] es en general de duración finita ⇒ x[n] = 0 si n > N1
Puede construirse una secuencia periódica ~[n] para la cual x[n] es un período, con lo cual se puede aplicar la SFTD
x
1 N1 ~ 1 ∞
ak = ∑ x[ n ] ⋅ e
N n = − N1
− j nk 2π / N
= ∑ x[n] ⋅ e − j nk 2π / N
N n = −∞
y se define X(Ω) como la envolvente de Nak.
∞ contínua
X (Ω ) = ∑ x[n] ⋅ e − j Ω n ≡ Transformada de Fourier de tiempo discreto
periódica
puede expandirse en SF
n = −∞
1 − j k ω0 t
x(t ) = ∑ ak ⋅ e j kω 0 t ; ak = ∫T x(t ) ⋅ e dt
k T0 0
n Ω
j kω t j k t 2π / T0 j k t 2π / T0
haciendo las analogías: T0 ≡ 2π y e 0 = e , entonces 2π/T0 = 1 ⇒ e = e j Ω n y x[n] = a-k ; resultando:
1 jΩn
x[ n] =
2π ∫2π X (Ω) ⋅ e dΩ ≡ coeficientes de la Transformada de Fourier de tiempo discreto
Las relaciones siguen siendo válidas si la duración de la secuencia es infinita ⇒ x[n] debe ser absolutamente sumable,
∞ ∞
∑ x[n] < ∞ , ó si tiene energía finita ∑ x[n]
2
<∞
n = −∞ n = −∞

9. Ejemplos:
1) Sean las secuencias x[n] = (1/2)nµ[n]; y[n] = (-1/2)nµ[n]. Encontrar y comparar sus transformadas.
∞ n ∞ n
 e− j Ω  1 2  e− j Ω  1 2
X (Ω ) = ∑  
 2  = 1 − e − j Ω / 2 = (2 − cos Ω) + j sen Ω Y (Ω ) = ∑  −
 =
 1 + e − j Ω / 2 = (2 + cos Ω) − j sen Ω
n =0   n =0  2 
2 1
1
X (Ω) = X(Ω) Y(Ω)
1.25 − cos Ω Modulo
x[n]
0.5
1 0
Y (Ω) = 0.67
1.25 + cos Ω
y[n]
-0.5
0 π 2π Ω 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n
2) Encontar la secuencia que cuya transformada es X(Ω) = cos(Ω)
π 0 k = ± 1 , ± 2 ....
1 jω k 
1
π
cos(Ω) ⋅ e j Ω ndΩ =
1 1
π
j Ω (n −1)
( )
+ e j Ω (n+ 1) dΩ
Propiedad útil: ∫− π e dω = 
x[ n] = ∫
2π = π ∫e
2 2π = π
2π 1
 k=0
de acuerdo a la propiedad, la integral sólo sera ≠ 0 para n ± 1 ⇒ x[n] = 0.5·δ [n-1] + 0.5·δ [n+1]

10. Propiedades de la DTFT (Transformada de Fourier de tiempo discreto)
 Periodicidad: siempre es periódica en Ω, con período 2π.
 Linealidad: x1[n] F X1(Ω) y x2[n] F X2(Ω), ⇒ a·x1[n] + b·x2[n] F a·X (Ω) + b·X (Ω) .
1 2
 Simetría: si x[n] es real ⇒ X(Ω) = X*(Ω) ⇒ módulo par, fase impar. Si x[n] es real y par, X(Ω) también lo es.
F F F
 Desplazamientos: x [n] X (Ω) ⇒ x1[n - n0] e− jΩn0 X (Ω) ; e jΩ 0 n x( n) X(Ω - Ω0)
en el caso de la DFT los desplazamientos NO SON LINEALES, son CIRCULARES..
 Diferenciación y sumatoria: x[ n] − x[n − 1] F (1 − e− jΩ ) X (Ω)
n 1 ∞
∑ x[m] F − jΩ
X (Ω) +π X (0) ∑δ ( Ω − 2π k )
m = −∞ (1 − e ) k = −∞
 Escalamiento en tiempo y frecuencia: difiere del caso de tiempo contínuo. Recordar diezmado e interpolación
 Diferenciación en frecuencia: nx[n] F dX (Ω)
j
dΩ
∞ 1 1 2 2
para secuencias periódicas: N ∑ x[n] = ∑ a[k ]
2 2
 Relación de Parseval: ∑ x[n] = ∫ X (Ω) dΩ
2π 2π
n = −∞ n= N k= N
 Convolución: lo trataremos al ver convolución y correlación discretas.

11.  Transformada Discreta de Fourier
~
~[n] una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, x[ n] =  x[n]
Sea x
M ≤ n ≤ M + N −1 M arbitrario.

0 en cualquier otro valor

 2π 
Puede demostrarse que Nak = X  k  donde los ak son los coeficientes de la SF de ~[n] y X(Ω) es la TF de x[n]
x
 N 
Nak corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido.
~
∞ x[n]
~
Ejemplo: x[ n] = δ [n] ⇒ x = ∑ δ [n − kN ]
k = −∞ 0 N 2N
-N
1 1
ak = ∑ ~[n] ⋅ e− j nk 2π / N = N
N n= N
x para 0 ≤ n ≤ N-1 x1[n]=δ[n]
-N 0 N 2N
x1[n] = δ [n] ⇒ X1(Ω) = 1 ? x2[n]=δ[n-N]
X ( Ω)≠ X ( Ω)
1 2
x2 [n] = δ [n − N ] ⇒ X 2 (Ω) = e jΩN -N 0 N 2N
sólo hay que analizar en Ωk = 2πk/N y en esos valores X1(Ω) = X2(Ω) ⇒ no importa el M .
N −1 N −1 0 ≤ n ≤ N-1 ; 0 ≤ k ≤ N-1
~ 1 ~
X ( k ) = ak = ∑ x[n]⋅ e − j nk 2π / N x[ n] = ∑ X [k ]⋅ e j nk 2π / N
N k =0 k =0 ≡ Transformada Discreta de Fourier
*
N −1 N −1 
mismo algoritmo!! x[ n] = ∑X [k ] ⋅ e jn k 2π /N =  ∑X *[ k ] ⋅ e − jnk 2π /N 
k =0 k =0 

12. Desarrollo gráfico de la
Transformada Discreta
de Fourier