Sistemas vibratórios

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  • 1. 1 Capítulo 1. Sistemas Vibratórios (lineares) Contínuos. O capítulo 0, foi dedicado exclusivamente às vibrações dos sistemas discretos, enquanto este será dedicado aos sistemas contínuos. Sistemas discretos e contínuos representam tipos de sistemas exibindo características dinâmicas diferentes. Na realidade, sistemas D e C representam dois modelos matemáticos de sistemas físicos idênticos. A diferença básica entre eles é que o sistema D tem um número finito de graus de liberdade e o sistema C tem infinitos graus de liberdade. Iniciamos este capítulo expressando uma relação íntima entre os sistemas D e C. 1.1. Equação da Corda (STRING) Vibrante. Obteremos as equações diferenciais das vibrações transversais de uma corda : 1.ª) como ela fosse um sistema discreto e tornando-a um sistema contínuo numa situação limitada; 2.ª) formularemos o problema pensando que este sistema é contínuo, desde o início. Seja um sistema de massas discretas mi (i = 1,2,...,n) conectadas por cordas sem massa, onde as massas mi estão sujeitas às forças externas Fi , como mostra a figura 1.1.a . Fi−1 Fi Fi+1 mi−1 mi mi+1 yi xi Fig. 1.1.a Para obter as equações diferenciais do movimento para uma massa (típica) mi , deveremos levar em conta as três massas adjacentes mi−1 , mi , mi+1 da figura 1.1.b.
  • 2. 2 As tensões nas cordas (segmentos) ligando mi à mi−1 e mi+1 são denotadas por Ti−1 ,Ti e as projeções horizontais destes segmentos por ∆xi−1 ,∆xi , respectivamente. Fi−1 Fi Fi+1 mi−1 Ti−1 mi Ti mi+1 yi−1 yi yi+1 ∆xi−1 ∆xi Fig. 1.1.b. Os deslocamentos yi (t) (i =1,2,...,n) das massas mi são assumidas serem suficientemente pequenas de tal forma que as projeções ∆xi permaneçam inalteradas durante o movimento. Os ângulos entre os segmentos da corda e a horizontal são suficientemente pequenas de tal forma que os senos e tangentes são aproximadamentes iguais um ao outro, isto é sen tanθ θ≈ . Usando a segunda lei de Newton ( ) equação do movimento da massa mi na direção vertical tem a forma : Fi θi−1 θi yi−1 yi yi+1 ∆xi−1 ∆xi
  • 3. 3 T y y x T y y x F m d y dti i i i i i i i i i i+ − − − − − − + =1 1 1 1 2 2 ∆ ∆ A equação também pode ser usada para i =1 e i = n, porém certos ajustes devem ser feitos para refletir o caminho que o sistema possa suportar. Rearranjo as equações acima T x y T x T x y T x y F m d y dt i i i i i i i i i i i i i i ∆ ∆ ∆ ∆ − + + + =+ − − − − −1 1 1 1 1 1 2 2 , i = 1,2,...,n. nas variáveis yi , i = 1,2,...,n. Nota-se que nas equações acima para i =1 e i = n, contém os deslocamentos y0 e yn+1 , respectivamente. Se a corda for fixa em ambos os lados, como no caso da figura, então y0 (t) = yn+1 (t) = 0. Definindo a notação y y yi i i+ − =1 ∆ e y y yi i i− =− −1 1∆ , temos : T y x T y x F m d y dti i i i i i i i i∆ ∆ ∆ ∆ − + =− − − 1 1 1 2 2 , i = 1,2,...,n. Nota-se que os dois primeiros termos ( ) a mudança incremental nas componentes das forças verticais à direita e à esquerda de mi . ∴ ∆ ∆ ∆ T y x F m d y dti i i i i i + = 2 2 , i = 1,2,...,n. Agora, dividindo ambos os lados por ∆xi : ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x T y x F x m x d y dti i i i i i i i i + = 2 2 , i = 1,2,...,n. Ao mesmo tempo se o número de massas crescer indefinidamente, enquanto ∆xi → 0 , a equação acima ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂x T x y x t x f x t x y x t t ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) + = 2 2 em x ∈ (0, L) onde f x t F xx i ii ( , ) lim= →∆ ∆0 é a força transversal distribuída na corda, e
  • 4. 4 ρ( ) limx m xx i ii = →∆ ∆0 é a densidade de massa no ponto x. Condições de Contorno : y t y L t( , ) ( , )0 0= = . Note que os deslocamentos lineares y(x,t) estão sujeitos às condições iniciais (PVI) : y(x,0) = y x0 ( ) (deslocamento inicial) e ∂ ∂ y x t t v x t ( , ) ( ) = = 0 0 (velocidade inicial da corda). O problema pode ser formulado como se fosse um problema contínuo, isto é, f(x,t); ρ(x) e T(x) são as forças distribuídas, a densidade de massa e a tensão do ponto x. Na figura 1.1.c e 1.1.d mostram-se o diagrama de corpo livre da corda correspondente a um elemento de comprimento dx. f(x,t) ρ(x),T(x) y(x,t) x dx T(x) T x T x dx( ) + ∂ ∂ ∂ ∂ y x t x ( , ) ∂ ∂ ∂ ∂ y t y x dx+ 2 2 Fig. 1.1.c
  • 5. 5 Usando a Segunda lei de Newton para a componente de forças na direção vertical, obtêm-se: T x T x x dx y x t x y x t x dx T x y x t x f x t dx( ) ( ) . ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )+ + − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 = ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x dx y x t t 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ T x x y x t x dx T x y x t x dx T x x y x t x dx f x t dx ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )+ + + = 2 2 2 2 2 = ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x dx y x t t 2 2 Ignorando termos de 2.ª ordem em dx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ T x x y x t x dx T x y x t x dx f x t dx ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )+ + = 2 2 ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x dx y x t t 2 2 Dividindo por dx temos: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ T x y x t x T y x t x f x t ( , ) ( , ) ( , )+ + = 2 2 ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x y x t t 2 2 0 < x < L ou ∂ ∂ ∂ ∂x T x y x t x f x t( ) ( , ) ( , )+ = ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x y x t t 2 2 0 < x < L 1.2. Vibrações Livres . O problema dos Autovalores. Seja f(x,t) = 0 então ∂ ∂ ∂ ∂x T x y x t x ( ) ( , ) = ρ ∂ ∂ ( ) ( , ) x y x t t 2 2 0 < x < L y(0,t) = y(L,t) = 0. Seja y(x,t) = Y(x) . F(t), em que Y(x) representa a configuração geral da corda e depende só da coordenada espacial, enquanto F(t) indica o tipo de movimento que a configuração da corda executa com o tempo e depende só do tempo. Então :
  • 6. 6 1 2 ρ ω ( ) ( ) ( ) ( ) x Y x d dx T x dY x dx = − 1 2 2 2 F t d F t dt( ) ( ) −ω logo, d F t dt F t d dt T x dY x dx x Y x 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = ω ω ρ 0 < x < L A solução da primeira equação é da forma : F(t) = C cos(ω t - φ) onde C é uma constante arbitrária, ω frequência do movimento harmônico, φ ângulo fase. São as mesmas para qualquer função Y(x), que é solução da segunda equação. A função Y(x) deve satisfazer também Y(0) = Y(L) = 0; mas tem um parâmetro ω 2 indeterminado para quais soluções não triviais da equação existem. Para ωi iY x2 → ( ) dependem de ρ(x), T(x) e as condições de contorno característica do sistema. A condição de ortogonalidade pode ser escrita como: ρ( ) ( ) ( )x Y x Y x dxm n L = ≠0 0 m n e eles podem ser normalizados. Teorema 1: (Normalização) ρ δ( ) ( ) ( ) , , ,...x Y x Y x dx m nm n mn L = = 0 1 2 δmn é o delta de Kronecker. Teorema 2: T x dY x dx dY x dx m n m mn L ( ) ( ) ( ) = ω δ2 0 m,n = 1,2,... Em função da expressão acima a solução do problema: ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂x T x y x x t x y x t t y t y L t ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) = = = 2 2 0 0 (*)
  • 7. 7 pode ser representado por y x t Y x tm m m ( , ) ( ) ( )= = ∞ η 1 Levando esta expressão em (*), multiplicando por Y xn ( ) e integrando sobre x ∈∈∈∈ (0,L) , assumindo que as autofunções Y xn ( ) são normalizadas para satisfazer as equações dos teoremas 1 e 2 ( ) chegamos às equações (∞∞∞∞) harmônicos ( ) ( )η ω ηm m mt t+ =2 0 m = 1,2, ... onde ηm t( ) são as coordenadas normais ou naturais, e sua solução é da forma η ω φm m m mt C t( ) cos( )= − m = 1,2, ... Cm m, φ (((( )))) dependem das condições iniciais. Exemplo : ρ ρ( ) ( ) x cte T x T cte = = = = Neste caso d Y x dt Y x 2 2 2 0 ( ) ( )+ =β , β ω ρ2 2 = T 0 < x < L, Y(0) = Y(L) =0 Solução: Y x A x B x( ) sen cos= +β β Y(0) = 0 B = 0 , Y(x) = A sen ββββx Y(L) = 0 A sin ββββL = 0 A sin L L m = = = 0 0β β πm m = 1,2,... Y x A sin m L xm m( ) = π m = 1,2,... onde Am são as amplitudes indeterminadas, com a implicação que só os modos de vibrar podem ser determinados unicamente. Os três primeiros modos normais são plotados, e os modos são normalizados colocando Am = 1. Nota-se que o 1o . modo não tem nodos, o 2o . tem um nodo e o 3o . tem dois modos. De um modo geral, o modo r tem r-1 nodos (r = 1,2,...).
  • 8. 8 De β ω ρ2 2 = T , temos: ω β ρ π ρ m m T m T L = = 2 Y(x) x Y1(x) ω π ρ 1 2 = T L x Y2(x) ω π ρ 2 2 2= T L nodo x Y3(x) ω π ρ 3 2 3= T L nodo nodo x
  • 9. 9 A frequência ω1 é chamada frequência fundamental, e ωr (r = 2,...) são chamadas de higher harmonics, resta provarmos que as autofunções são ortogonais. Antes de verificarmos que elas são ortogonais, devemos normalizar os modos, de acordo com : ρ( ) ( )x Y x dxm L 2 0 1= m = 1,2,... ∴ =Am 2 ρ π sin m x L dx L 2 0 1 Lembrando que sen ( cos )2 1 2 1 2α α= − temos: A Lm = 2 ρ , m=1,2,... Portanto o modo normal torna-se : Y x L m x L m ( ) sen= 2 ρ π Como sen sen [cos( ) cos( )]α β α β α β= − − + 1 2 , temos: ρ π π Y x Y x dx L m x L n x L dxm n L ( ) ( ) sen sen= 2 0 = 0 2 L m n m = n ≠ Portanto, ρ δY x Y x dxm n mn L ( ) ( ) = 0 , m, n = 1,2,... O mesmo processo é usado para obter: T dY x dx dY x dx dxm n m mn L ( ) ( ) = ω δ2 0 , m, n = 1,2,... 1.3. Energia Cinética e Potencial para Sistemas Contínuos. Seja o sistema de massas discretas Mi (i = 1,2,...,n) ligados por molas lineares de rigidez ki (i = 1,2,...,n).
  • 10. 10 u ti−1 ( ) u ti ( ) u ti+1 ( ) k1 ki ki+1 kn … M1 Mi −1 Mi Mi +1 Mn−1 Mn xi−1 ∆∆∆∆xi xi A energia cinética é simplesmente T t M du t dt i i i n ( ) ( ) = = 1 2 2 1 , em que du t dt i ( ) é medido num referencial inercial. Na configuração de equilíbrio Mi ocupa a posição espacial xi . Introduzindo a notação M m xi i i= ∆∆∆∆ onde mi pode ser dado como a densidade de massa no ponto xi , fazendo ∆∆∆∆xi → 0 enquanto x1 0→ e x Ln → , e tomando o limite escrevemos: T t m du t dt x m x u x t t dx x i i i L i n i ( ) lim ( ) ( ) ( , ) = = → = ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ 0 2 2 01 1 2 1 2 ∂ ∂ A energia potencial requer mais elaboração: seja F ti ( ) a força através da qual a mola é linear, então V t F t u t u ti i i i n ( ) ( )[ ( ) ( )]= − − = 1 2 1 1 onde [ u t u ti i( ) ( )− −1 ] é a elongação da mola ki . Temos que, u0 deve ser zero desde que o fim do lado esquerdo da mola k1 está fixo, então V t k u t u ti i i i n ( ) [ ( ) ( )]= − − = 1 2 1 1 2 Introduzindo a notação, k EA x i i i = ∆∆∆∆ , ki é uma rígidez equivalente e u t u t u ti i i( ) ( ) ( )− =−1 ∆∆∆∆ , então
  • 11. 11 V t EA u t x xi i ii n i( ) [ ( ) ]= = 1 2 1 2∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ Fazendo ∆∆∆∆xi → 0 e tomando o limite (vibração longitudinal), temos: V t EA x u x t x dx L ( ) ( )[ ( , ) ]= 1 2 0 2∂ ∂ No caso de flexão : V t EI x y x t x dx L ( ) ( )[ ( , ) ]= 1 2 2 2 0 2∂ ∂ onde EI : rígidez flexural; y(x,t) : deslocamento transversal.