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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON GEOGEBRA
 

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    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON GEOGEBRA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON GEOGEBRA Document Transcript

    • CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UTILIZANDO GEOGEBRA Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión Jr_gerarrdo2011@hotmail.com RESUMENEste artículo tiene por finalidad mostrar de una manera didáctica, amena y creativa lospasos a seguir para construir la gráfica de las funciones trigonométricas haciendo usodel software libre “GeoGebra” considerado hoy en día como una importante herramientainformática para la enseñanza de la matemática. ABSTRACTThis article aims to show in educational, entertaining and creative steps to take to buildthe graph of trigonometric functions using free software "GeoGebra" regarded today asan important tool for the teaching of mathematics.GeoGebra es un software que sirve Inglaterra, Alemania, Hungría, Francia,para el trabajo de geometría, álgebra y Luxemburgo y Estados Unidos.cálculo por lo que es considerado un Markus Hohenwarter quien es Profesorsoftware de matemática dinámica. Se de Educación Matemática en Johannesinicia el año 2001 en la tesis de Kepler University of Linz de Austriamaestría de Markus Hohenwarter y (véase foto adjunta), considera queavanzó hacia la tesis de doctorado eneducación matemática en la Universidadde Salzburgo en Austria. En la actualidad trabajan en este proyecto cerca de ocho personas provenientes de diversos países delMarkus Hohenwarter mundo entre ellos:
    • "las matemáticas han sido un buen 1. Un manual en línea, completo y enproducto que se ha vendido mal durante español.muchos años". También explica que 2. Un tutorial introductorio a"GeoGebra es una forma de mostrar las Geogebra.matemáticas de una manera interactiva 3. Diversos materiales de aprendizajepara que los estudiantes puedan tener listos para ser usados en clase.una experiencia de primera mano con También hay que tener presente quelas matemáticas". Con 37 años de edad, para utilizar Geogebra, algunasHohenwarter ha logrado expandir su computadoras requieren que se instaleproyecto de fin de carrera por todo el el software Java versión 7 Update 10, elmundo. Cabe destacar que la web de mismo que se descarga desde elGeoGebra www.geogebra.org recibió siguiente link:más de siete millones de visitas en el http://www.java.com/es/download/año 2011 (desde más de 200 países) lo Una vez instalado Geogebra enque nos da una idea del impacto que nuestra computadora, aparece en eleste programa ha producido en la escritorio el icono:educación matemática a nivel mundial.CONSTRUYENDO LA GRÁFICA DE LASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como primer paso para iniciar y haciendo doble clic sobre él, senuestra aventura en la construcción de mostrará la ventana:la gráfica de las funcionestrigonométricas, tenemos que tenerinstalado en nuestro ordenador elprograma GeoGebra, cuya últimaversión la podemos descargaringresando a: http://www.geogebra.org/cms/espara luego hacer clic en Webstart.Es importante señalar que esta página,entre otras cosas contiene:
    • Lo que indica que estamos listos para precisamente es igual a “t” y un puntodescubrir, explorar y construir con sobre el círculo cuyas coordenadas son:Geogebra. (Nótese en esta ventana, (x,y) = (cos(t) , sen(t))tres perspectivas diferentes para cada Por ejemplo al número real “ ” leobjeto matemático: Vista Algebraica, corresponde un ángulo cuya medida enVista Gráfica, y La hoja de cálculo). radianes es “ radianes” y un punto sobre el círculo Conceptos previos a tener en (x,y) = (cos( ) , sen( )) = (-1,0) cuenta En lo que sigue de este artículo hemosTomemos un sistema de ejes considerado para la construcción de laortogonales XOY, donde O es el origen. gráfica de las funciones trigonométricas, sólo la orientación positiva de un ángulo, siendo t su medida en radianes con t ∈ 0 ,2 π [ ]. 1. METODOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO 1.1.-Marca un punto sobre el eje de las “x”, cuyas coordenadas sean (-1,0), el mismo que constituirá el centro del circulo unitario.Un circulo de centro en O y radio r = 1 1.2.-Marca un punto en el origenes llamado el círculo trigonométrico o de coordenadas, que por defectocírculo unitario. Cuando recorremos el aparece en la vista grafica renombradocírculo unitario en sentido anti horario, la como B.orientación es considerada positiva. 1.3.-Haz clic en la herramienta yNótese además que al iniciar la medida luego en este orden; clic en el punto A yde un ángulo a partir del eje de las x; a luego en el punto B. Observa porcada número real t, le corresponde el ejemplo que en vista algebraica apareceángulo “ø” cuya medida en radianes la ecuación: : +1 +y =1
    • 1.4.-En la línea de comandos <Vértice> por “A” y <Ángulo de Rotación(Entrada) de GeoGebra ingresa la Antihoraria> por “t”, obteniendo en vistapalabra “ángulo” y selecciona tal como algebraica el grafico siguientese indica a continuación:1.5.-Selecciona que corresponde ala herramienta deslizador y luego hazclic sobre la vista gráfica, después de locual aparece la siguiente ventana: Observe que al incrementar los valores de “t” con el deslizador el ángulo central en el círculo unitario también se incrementa en sentido antihorario. (Por estética coloque un segmento uniendoSeleccionemos Ángulo y en Nombre el punto A con el punto B’)escribimos la letra “t” para reemplazarla letra “α” que aparece por defecto,luego hacemos clic en animación yelegimos “incrementado”, finalizandocon un clic en el botón “aplica”. Las coordenadas de B’ están dadas por B’= cos , , por ejemplo en el grafico anterior se tiene t=135° de ,1.6.-A continuación, en entrada modo que las coordenadas de B’ son:cambiemos <Punto Lateral> por “B”, √ √ B’= cos 135° , 135° = − ;
    • ¡Como era de esperar mi distinguidoamigo lector!1.7.-Ahora si queremos mostrar lamedida del ángulo en radianes, en lapestaña “opciones” seleccionamos“avanzado” y luego en unidad angularhacemos clic en “radianes” y listo. Para visualizar la gráfica de la función 0 ,2 π seno en el intervalo [ ] descrita por “C”, podemos proceder de dos modos distintos: 1.- Haciendo clic derecho sobre el punto “C” y seleccionamos “ ” luego hacemos clic derecho sobre elPara que se observe el ángulo central deslizador y seleccionamos “Animacióncomo en la figura anterior (α = 2.36 !"#) Automática” y listo, a disfrutar de lahacemos clic derecho sobre “α”, matemática dinámica.seleccionamos “propiedades de objeto”, 2.- La otra opción consiste en desplegarluego “básico”, desplegamos “nombre” la herramienta y seleccionary finalizamos haciendo un clic en Después de lo cual haces clic en el“nombre y valor”. punto “C” y a continuación sobre el1.8.- Finalmente escribamos en la línea deslizador y listo obtenemos la gráficade comandos de GeoGebra (t, y(B’)), de la función seno en el intervaloluego de un inmediatamente 0 ,2 πaparecerá en vista grafica el punto “C” el [ ].mismo que al manipular el deslizador se A continuación se muestran las gráficasmueve describiendo intuitivamente la de la función seno, construidas de lasfamosa curva que caracteriza la gráfica dos formas antes descritas, teniendo en 0 ,2 π 0 ,2 πde la función seno en el intervalo [ ]. cuenta el valor de “t” tal que t ∈ [ ].
    • Ilustración 1: GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO UTILIZANDO LA HERRAMIENTA “ACTIVA RASTRO” Ilustración 2: GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO UTILIZANDO LA HERRAMIENTA “LUGAR GEOMÉTRICO”Un pequeño experimento¿Qué sucede si colocamos en la línea de comandos de GeoGebra (-t,-y(B’))? ¿Cuál esla interpretación geométrica? Realiza este experimento y saca tus propias conclusiones.Experimentando con las herramientas de GeoGebra es posible obtener, algunosdetalles adicionales para una mejor presentación de las funciones trigonométricas engeneral, algunas de ellas son presentadas en el gráfico siguiente:
    • 2. METODOLOGÍA PARA LA el nombre “F” y cuyo movimiento CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE producido al manipular el deslizador; LA FUNCIÓN COSENO nos dará la idea intuitiva de la gráfica 2.1.- Si en la construcción anterior, a de la función coseno en el intervalo continuación del ítem 1.7, proyectamos 0 ,2 π [ ]. procediendo como en el ítem el punto B’ sobre el eje X ingresando en 1.8 se consigue la gráfica de la función la línea de comandos de GeoGebra la coseno. sentencia (x(B’),0) entonces hemos 3. METODOLOGÍA PARA LA generado el punto “C” con lo cual la CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE medida del segmento AC corresponde LA FUNCIÓN COSECANTE Y SECANTE al coseno del ángulo “α”. Un experimento sencillo con las gráficas de las funciones Seno y Coseno ya construidas nos permite generar las gráficas de las funciones cosecante y secante respectivamente. En efecto, en la línea de comandos correspondiente a la ventana de la gráfica de la función Seno, ingresemos (t, 1/y(C)), generándose el punto “D” así Definamos en la línea de comandos el que utilizando las herramientas para punto E=C-A, el cual al ingresarlo visualización de graficas ya estudiadas aparecerá en la parte positiva del eje de en el ítem 1.8 se genera la curva las X. Observe que al mover el respectiva. Del mismo modo en la línea deslizador desde 0 hasta 2 radianes el de comandos correspondiente a la punto E se desplazará desde 1 hasta -1 ventana de la gráfica de la función y viceversa sobre el eje de las X. coseno, ingresamos (t,1/y(F)), 2.2.-El paso anterior nos sugiere generándose el punto “G” cuya curva considerar el punto de coordenadas descrita se visualiza por cualquiera de (0,x(E)) el que visualiza en el eje de las los métodos descritos en el ítem 1.8. ordenadas como “D”, a partir del cual Los gráficos siguientes muestran el construimos (t, y(D)) quien aparece con trabajo aquí explicado.
    • Ilustración 3: FUNCIÓN COSENOIlustración 4: FUNCIÓN COSECANTE
    • Ilustración 5: FUNCIÓN SECANTEA continuación se muestran la gráfica de la FUNCIÓN TANGENTE Y COTANGENTE, obtenidas de la mismaforma como han sido razonadas las construcciones precedentes. Ilustración 6: FUNCIÓN TANGENTE
    • Ilustración 7: FUNCIÓN COTANGENTE REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS[01] Revista digital Matematica Educacion e Internet. En http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ . Consultada en Diciembre de 2012.[02] Hohenwarter, J. Hohenwarter, M. “Introduction to Geogebra”. En http://www.geogebra.org/book/intro-en/ Consultada en Noviembre de 2012.[03] “Geogebra Quickstart, a quick reference guide for Geogebra”. En http://www.geogebra.org/help/geogebraquickstart_en.pdf. Consultada en Noviembre de 2012.[04] Materiales del Autor en http://www.geogebratube.org/user/profile/id/8674