Esfuerzo en una masa de suelo

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Mecánica de Suelos II Capitulo II Transmisión de Esfuerzos

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Civil ESFUERZO EN UNA MASA DE SUELO Dr. ZENON AGUILAR BARDALES CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES SÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES - CISMID
  • 2. Problemas de Deformaciones Planas Típicos. Terraplén Muro de Contención zz Y Y X z X Y X Cimentación Corrida
  • 3. F Esfuerzo Esfuerzo Deformación Deformación (a) (b) F F Esfuerzo Esfuerzo R Deformación Deformación (c) (d) Esfuerzo F = Significa en la Falla R = Significa Valor Residual Deformación (e)Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.
  • 4. Superficie del terreno Tu Th Nh Nu (b) Elemento A (a) ( c)Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil delterreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.
  • 5. Nivel del terreno Nivel freático Z X X Area ANivel del terrenoNivel freático Z ZW W X X Area A
  • 6. Z Z y ZX Z XZ y Xy yX X y Z 1 X y a) 2 3 X b)a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b)esfuerzos principales
  • 7. a Selecciones de a las partículas N TyHuecos (poros) Tx y X Punto de contacto entre partículas situadas por encima y debajo del plano de la seccion. Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas
  • 8. Concepto de Esfuerzos Efectivos H HA Agua de Poro a Partícula Sólida a Area de Corte Transversal = ĀConsideración del esfuerzo efectivo para una columnade suelo saturado sin infiltración
  • 9. Concepto de Esfuerzos Efectivos a4 a1 a2 a3 P4 P1 P P2 Area de Corte 3 Transversal = ĀFuerzas que actúan en los puntos de contacto de laspartículas de suelo en el nivel del punto A.
  • 10. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo h h*z H2 H1 A Z H2 C B Válvula (abierta) EntradaEstrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba
  • 11. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo Esfuerzo Total, σ Presión de Poros µ Esfuerzo Efectivo σ’ o o H1 γW H1 γW o H1 H1 γW + z γsat (H1 +z + iz)γw z(γ’ – iz γw)H1 + zH1 + H2 H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 + h) γw H2 γ’ - h γw Profundidad Profundidad Profundidad (a) (b) (c) Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia arriba.
  • 12. Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo Entrada Q H1 h h*z A H2 Z C H2 B Válvula (abierta) Salida Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo
  • 13. Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo Esfuerzo Total, σ Presión de Poro µ Esfuerzo Efectivo σ’ o o H1 γW H1 γW o H1 H1 γW + z γsat (H1 +z - zi)γw z(γ’ + i γw)H1 + zH1 + H2 H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 - h) γw H2 γ’ + h γw Profundidad Profundidad Profundidad (a) (b) (c) Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.
  • 14. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Puntual. P r X y Xy L Z ∆σ z A ∆σ x Z ∆σ y
  • 15. Esfuerzos causados por un Carga Puntual Boussinesq (1883) resolvió el problema de los esfuerzos “producidos en cualquier punto de un medio homogéneo, elástico e isótropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solución de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P es P ⎧3x2 z ⎡ x2 − y2 y z ⎤⎫ 2 ∆σ x = ⎨ 5 − (1− 2µ)⎢ 2 + 3 2 ⎥⎬ 2π ⎩ L ⎣ Lr (L + z) L r ⎦⎭
  • 16. Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntual P ⎧3y2 z ⎡ y −x 2 2 x z ⎤⎫ 2∆σ y = ⎨ 5 − (1− 2µ)⎢ 2 + 3 2 ⎥⎬ 2π ⎩ L ⎣ Lr (L + z) L r ⎦⎭y 3Pz 3 3Pz 3 ∆σ z = = 2πL 2π (r + z ) 5 2 2 5/ 2donde: r = x2 + y2 L = x2 + y2 + z2 = r2 + z2 µ = relación de poisson
  • 17. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita Q por metro z ∆σz ∆σx N X
  • 18. Esfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLos incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de unacarga lineal Q por metro, son 3 2Qz ∆σ z = π (x + z ) 2 2 2 2 2Qx z ∆σ x = π (x + z ) 2 2 2 2 2Q xz ∆τ xz = π (x + z ) 2 2 2
  • 19. Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita) B q = carga por área unitaria x r dr X-r ∆σz β δ X A z
  • 20. Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja InfinitaLoa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por unapresión uniforme q que actúa sobre un franja flexible infinitamentelarga de ancho B, son los siguientes: ∆σ z = q [β + senβ cos(β + 2δ )] π ∆σ x = q [β − senβ cos(β + 2δ )] π q ∆τ xz = senβsen( β + 2δ ) π
  • 21. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja q B 2B 2.5B ∆σ q = 0.9 0.7 B 0.5 0.06 2B 0.3 0.08 ∆σ Carga de q = 0.2 3B Franja flexiblea a 4B 0.1 Planta 5B 0 B 2B
  • 22. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja 0.9q 0.8q 0.6q 0.5q B 0.4q 0.3q 2B Bajo el centro V 0.2q 3B 4B 5B =0.1q V 6B 0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q a) b)Franja infinita con carga uniformemente distribuida: a) líneas de igual incremento deesfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro
  • 23. Carga con Distribución Triangular sobre una Franja Infinita B q R2 R1 Z X α β ∆σV ∆σX N
  • 24. Carga con Distribución Triangular sobre una Franja InfinitaCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a través delancho de la franja, lo cual conduce a una distribución triangular,los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por: q ⎡x 1 ⎤ ∆σ v = α − sen 2 β ⎥ π ⎢B ⎣ 2 ⎦ q ⎡x z R12 1 ⎤ ∆σ = ⎢ B α − B 1n R 2 + 2 sen 2 β ⎥ x π ⎣ 2 ⎦ q ⎡ 2z ⎤ ∆ τ xz = ⎢1 + cos 2 β − B x ⎥ 2π ⎣ ⎦
  • 25. Carga uniformemente distribuida sobre una área circular El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de una área circular flexible de radio R cargada con una presión uniforme q esta dado por ⎧ ⎡ ⎪ 1 ⎤ 3/ 2 ⎫ ⎪ ∆ σ v = q ⎨1 − ⎢ 2 ⎥ ⎬ ⎪ ⎣1 + ( R / z ) ⎦ ⎩ ⎪ ⎭ Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como ∆ σ v = qI σ
  • 26. Factor influencia l σ 0.001 0.002 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 r =1 R 1.25 1 2 1.5 2.5 0 2 3 0.5 3 r =0.75 4 Rz 4 5R 6 5 7 Carga uniforme q 8 R 6 9 r =10 R 7 8 V 9 r V = q/ 10Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo verticaltotal ∆σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin,1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board).
  • 27. b/z= 0.50 3.0 2.0 1.9 1.6 1.4 1.2 b/z =1.0 0.9 0.40 0.8 0.7 0.6 0.30 b/z =0.5 Influence Value ‘ I ’ 0.4 0.3 0.20 0.2 a b P 0.1 Z 0.10 Z =I.P b/z=0 Z 0 0.01 2 4 6 8 0 1 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 0 a/zFactores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).
  • 28. Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme Carga uniforme q B B 0.9q 0.8q 0.6q 0.5B 0.5B 0.4q 0.3q B B 0.2q 0.1q 1.5B 1.5B V Bajoel centro 2B 2B =0.5q V 2.5B 2.5B 0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0 a) b)a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incrementodel esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.
  • 29. Incremento de Presiones Verticales Bajo un Área Rectangular con Carga UniformeEl incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquinade un área rectangular cargada uniformemente vienedado por: ∆ σ v = qI σDonde Iσ es función de m y n, parámetros definidoscomo:como B m = z L n = z
  • 30. Presion uniforme q 0.25 m=3.0 m= m=2.4 B 0.24 m=2. 0.23 m=1.8 m=1.6 m=1.4 0.22 m=1.2 L Z V 0.21 m=1.0 0.20 m=0.9 N =ql V 0.19 m=0.8 Nota: m y n son intercambiables 0.18 0.18 m=0.7 0.17 0.16 m=0.6 0.15 Factor de influencia I 0.14 m=0.5 0.13 0.12 m=0.4 0.11 0.10 m=0.3 0.09 0.08 0.07 m=0.2 0.06 0.05 0.04 m=0.1 0.03 0.02 0.01 m=0.0 0.00 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 2 3 456 8 10 nValores del factor de influencia Iσ para calcular el incremento de esfuerzovertical total ∆σv bajo la esquina de una área rectangular uniformementecargada (Según Fadum, 1948)
  • 31. Cálculo aproximado del incremento de esfuerzo verticalPara áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas,puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzovertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentrode un cono truncado o una pirámide truncada formados por ladoscon pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo,si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, elincremento promedio en el esfuerzo vertical total a unaprofundidad z estará dado aproximadamente por qLB ∆σ = ( L + z )( B + z ) v
  • 32. Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto de subáreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terreno q LxB 1 1 2 2 Z (L+z) x (B+z)Método aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzovertical total bajo un área uniformemente cargada.
  • 33. EjercicioUna cimentación superficial cuadrada de 2m de lado ,perfectamente flexible, transmite a un depósito de suelohomogéneo e isotrópico una carga uniforme ∆q = 200 KN/m2.Comparar la distribución de los incrementos de esfuerzo vertical,(∆σv) bajo el centro de la zapata considerando una cargadistribuida y una carga puntual equivalente. Estimar a partir deque profundidad los errores entre estas distribuciones soninferiores a 0.1∆q.a) Carga uniformemente distribuida B A B A 1m C D2m C D 4 veces q =200 kn/m2
  • 34. Utilizando el Ábaco de Fadum Esquina Centro Z (m,n) (m) (KN/m ) 2 (KN/m ) 2 O - - 200 200 0.25 4 0,247 49,4 197,6 0.50 2 0,233 46,6 186,4 1.00 1 0,177 35,4 141,6 1.50 0.67 0.125 , 25,0 100,0 2.00 0.50 0,086 68,8 17,2 2.50 0.40 0,062 49,6 12,4 3.00 0.33 0,046 9,2 36,8 3.50 0.29 0,037 7,4 29,6 4.00 0.25 0,027 5,4 21,6
  • 35. Carga puntual Expresión de Boussinesq 3P ∆σ v = 2πz 3 P = 2 x 2 x 200 = 800kΝZ(m) 0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9
  • 36. Comparación entre las dos distribuciones de ∆σvA partir de Z>2,20m → error absoluto (∆`σv-∆σ) /Dq < 0.1 0 50 100 150 200 (kN/m ) 2 V 1 2 2,2 V CARGA DISTRIBUIDA 3 V CARGA PUNTUAL 4 z(m)
  • 37. ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO CÍRCULO DE MOHR Z A Tzx T 0 Resultantes de Txz esfuerzos sobre ab X X X Txz Txz c B Tzx Tzx Z Z a) b)
  • 38. A T 3REPRESENTACIÓN Dirección de DE ESFUERZOS 1 MEDIANTE EL C BCÍRCULO DE MOHR 3 Dirección de 1 (a) T a) estado de esfuerzos en A ( Coordenados ,T ) un punto. 1 - 3 2 b) Diagrama de Mohr para 2 el estado de esfuerzos en un punto. Circulo de Mohr 1 + 3 2 (b)
  • 39. Representación de los esfuerzos mediante el círculo de Mohr. σ1 + σ 3 σ1 − σ 3σ θ = σ 1 cos θ + σ 3 sen θ = 2 2 + cos 2θ 2 2 σ1 − σ 3τ θ = (σ 1 − σ 3 ) senθ cos θ = sen 2θ 2 El esfuerzo tangencial máximo en un punto, τmax essiempre igual a (σ1-σ3)/2; es decir, el esfuerzo tangencialmáximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzotangencial máximo se produce en planos que forman ± 45°con la dirección del esfuerzo principal mayor.
  • 40. Ejemplo 2 2kg/cm B 300 2 2 4kg/cm 4kg/cm B 2 2kg/cm Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.
  • 41. 1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo (2,0).4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de Mohr. C´ 1 Op Op B´ B’ 0 A´ A´ A’ X -1 C´ 1 2 2 B´ B’ 3 4 4
  • 42. σ = 2.5 kg/cm2 Sobre BB τ = -0.87 kg/cm2 2.5 kg/cm 2Respuesta 4 kg/cm 2 0.87 2 kg/cm2
  • 43. Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobreel que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de formaque este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al casoanterior.Solución por medio de las ecuaciones σ 1 = 4kg / cm2σ 3 = 2kg / cm2θ = 120° 4+2 4−2 σθ = + cos 240° = 3 − cos 60° = 2.5kg / cm2 2 2 4−2 τθ = sen240° = −sen60° = −0.866kg / cm2 2(preguntas para el alumno. ¿Por qué es θ =120°? ¿El resultadohabria sido diferente si θ = 300°?)
  • 44. DIAGRAMAS p-q En muchos problemas conviene representar, sobre undiagrama único, muchos estados de esfuerzos para unadeterminada muestra del suelo. En otros problemas serepresenta en un diagrama de este tipo el estado deesfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casosresulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, eincluso mas difícil ver lo que se ha representado en eldiagrama después de dibujar todos los círculos .Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puedeser adoptar un punto representativo de los esfuerzoscuyas coordenadas son
  • 45. σ1 + σ 3p= 2 + si σ1 forma un ángulo igual o menor de ± 45° con la vertical σ1 − σ 3q=± - si σ1 forma un ángulo menor de 2 ± 45° con la horizontal En la mayoría de los casos en los que se utiliza larepresentación puntual, los esfuerzos principales actúansobre planos verticales y horizontales. En este caso, laecuación se reduce a συ + σ h συ − σ h p= ,q = 2 2
  • 46. Este método equivale a representar un punto único deun circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo oel mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivalea la mitad del esfuerzo desviador.Conociendo los valores de p y q para un cierto estado deesfuerzos, se posee toda la información necesaria paradibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sinembargo, el empleo de un diagrama p-q no exime deutilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitudde los esfuerzos principales a partir de un determinadoestado de esfuerzos.