MATEMÀTIQUES    2n ESO  INS. J. BAU - TORTOSA  DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
UNITAT 1: NOMBRES ENTERS                                  Operacions amb nombres enters1) Calcula:a) −11 + 8 −6 −7 + 9 =  ...
10) Resol aquestes operacions:a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) =                   b) (+20) : (+2) : (−5) =               c) (+8) ⋅ (...
20) Troba l’arrel quadrada d’aquests nombres:a) 169                               b) 196                                 c...
Activitats de repàs30) Calcula les potències següents:a) 45 =                    b) 142 =               c) 73 =           ...
UNITAT 2: FRACCIONS I DECIMALS                 La fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador1) Repre...
Càlcul de la fracció irreductible (Simplificar)                                           72Exemple: Calcula la fracció ir...
Operacions amb fraccions10) Calcula simplifica el resultat, si pots:    4 1                      3 1 1                    ...
f) 7 · − 12  +  − 3  =     5     1d)     − 3· =                                     e) 4 ·10 +  − 3  =     2  ...
27) Fes les operacions següents:                                                                                          ...
3 7 3 13                                 1 8 24                                    3 5d)    −  − +   =                    ...
47) Expressa de manera abreujada aquests nombres decimals:a) 34,655555...                         b) 0,31111...           ...
57) Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantes tires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 m dellarg?58) Calcula:   ...
UNITAT 3: EQUACIONS                                 EL LLENGUATGE NUMÈRICEl llenguatge numèric expressa la informació mate...
1) Expressa aquests enunciats amb llenguatge algebraic:a) El doble dun nombre més 5b) El triple dun nombre menys 6c) El do...
Exemples:Identifica aquestes igualtats:a) 3 + 4 = 2 + 5És una identitat numèrica certa perquè 3 + 4 = 7 i 2 + 5 = 7b) 10 –...
IDENTITATUna identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les lletresa) 3x + x = 4x- Si x = ...
b)                                   5x – 3 = 3x + 31r) Transposar.- Al primer membre les “x”                             ...
Resolució dequacions amb denominadors                                    x+ 4 x− 1 x+ 1Exemple: Resol lequació            ...
Resolució de problemesPer resoldre problemes mitjançant equacions, cal que seguim aquests passos:1r) Llegim atentament len...
17) La suma de dos nombres consecutius és 63. Quins nombres són?18) La suma de dos nombres parells consecutius és 126. De ...
31) Calcula la solució de les equacions següents:         2− x 3 x+ 1                               x − 2 x − 3 4 − 2xa) x...
46) Sumant un nombre amb la seva meitat i amb el seu doble el resultat és 350. Troba aquestnombre47) El pare del Toni té 3...
63) El pare ha comprat un meló i una síndria en una fruiteria. El pes de les dues fruites és de 4.782grams. Quant fa cadas...
2a AVALUACIÓ                         UNITAT 4: SISTEMES DEQUACIONS                                              Mètode de ...
Activitats:2) Resol pel mètode digualació els següents sistemes:     x− y =   1             2x − 3y =   5               ...
5) Resol aquests sistemes per igualació:     3x + 2 y = 7                                2 x − 3 y = 13                 ...
18) Resol aquests sistemes pel mètode d’igualació:          2 x + 3 y = − 1        3 x + 2 y = − 8        4x + 5 y = − 8...
35) Un canaricultor ven els canaris mascles a 15 € cada un i les femelles a 6 €, comptabilitzant unavenda total de 570 €. ...
UNITAT 5: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA                                                     Raó i proporció                   ...
Magnituds directament proporcionalsDues magnituds són directament proporcionals si, quan multipliquem o (dividim) una per ...
Magnituds inversament proporcionalsDues magnituds són inversament proporcionals si quan multipliquem una per un nombre, la...
Activitats12) Una aixeta aboca 18 litres per minut tarda 28 hores per omplir un dipòsit. Si el seu cabal fos de42 L/min, e...
21) A la carta dun restaurant els preus no inclouen el 8% dIVA. Un client ha menjat una amanidaque costa 3,15 €, un llengu...
Augments i disminucions percentualsExemple daugments: El preu de la gasolina sha apujat el 2%. Si costava 0,95 € el litre,...
a 16      832) Calcula a i b si saps que     =  i que és la constant de proporcionalitat                                45...
45) Tres cavalls consumeixen una càrrega farratge en 10 dies. Quant els duraria la mateixa càrregasi hi hagués 5 cavalls?4...
64) Dues rodes dentades engranen mútuament. La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primeraha fet 5.000 voltes, qua...
82) Els habitants d’una ciutat determinada es distribueixen en: 880.000 europeus, 60.000 africans,50.000 americans i 10.00...
UNITAT 6: PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA                                      Recta, semirecta i segmentUna recta és una líni...
A B  B  C        =        AB      BC        A B  B  C  A C                 →       =       =       ⇒ Aquesta igualtat ...
SEMBLANÇA DE TRIANGLES                                                                               ADos triangles ABC i ...
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Dossier 2n-eso
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Dossier 2n-eso

5,850

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
5,850
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
95
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Dossier 2n-eso"

  1. 1. MATEMÀTIQUES 2n ESO INS. J. BAU - TORTOSA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
  2. 2. UNITAT 1: NOMBRES ENTERS Operacions amb nombres enters1) Calcula:a) −11 + 8 −6 −7 + 9 = b) 3 − 8 + 12 −15 −1 + 10 −4 =c) 15 − 14 + 9 −21 −13 + 6 = d) −(4 −9 + 3) + (11 − 8 − 7) + (−15) =e) (+3) −(4 + 7 − 9) −(−19 + 3 − 10) + (−2) = f) −8 − 3 −(4 −6) −(9 + 3) − 5 =2) Calcula les sumes i les restes següents:a) (+12) + (+25) = b) (−9) + (+13) = c) (−3) + (−11) =d) (+17) + (−8) = e) (+19) − (+5) = f) (−21) − (+33) =g) (−7) − (−11) = h) (+22) − (−15) =3) Efectua les sumes següents:a) (+10) + (−5) + (+7) + (−9) = b) (−29) + (−12) + (−9) + (+17) =c) (−20) + (+33) + (+21) + (−23) = d) (−23) + (−41) + (−16) + (+50) =4) Calcula aquestes restes:a) (+11) − (+32) − (+21) − (+9) = b) (−30) − (−55) − (+29) − (−17) =c) (−43) − (+22) − (+14) − (−7) = d) (+29) − (−12) − (−31) − (+54) =5) Fes aquestes sumes i restes combinades:a) (−21) + (−12) − (+9) = b) (+17) − (+23) + (+34) =c) (−32) + (−19) − (−11) = d) (−54) − (+22) + (−10) =6) Calcula:a) 8 −7 + 4 −3 −2 = b) −7 −5 + 3 −9 −1 + 11 =c) −4 −2 + 5 −1 −4 + 1 = d) 6 −3 + 3 −10 −4 + 13 =e) −9 −14 + 4 −56 −16 + 1 = f) 9 + 14 −6 −93 + 19 =7) Efectua aquestes operacions:a) 6 + (−4 + 2) −(−3 −1) = b) 3 + (2 −3) −(1 −5 −7) =c) 7 −(4 −3) + (−1 −2) = d) −8 + (1 + 4) + (−7 −9) =8)Resol aquestes multiplicacions:a) (−3) ⋅ (+2) = b) (+2) ⋅ (+7) = c) (−2) ⋅ (−8) =d) (+5) ⋅ (−4) = e) (+7) ⋅ (−4) = f) (−5) ⋅ (−7) =9) Calcula les divisions:a) (−12) : (+6) = b) (+21) : (+7) = c) (−6) : (−2) =d) (+24) : (−4) )= e) (+28) : (−4) = f) (−42) : (−7) =
  3. 3. 10) Resol aquestes operacions:a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) = b) (+20) : (+2) : (−5) = c) (+8) ⋅ (−3) ⋅ (−4) =d) (−32) : (−4) : (−8) = e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−4) = f) (−80) : (−20) : (−4) =11) Completa:a) ( ) : 4 = −10 c) (−100) : ( ) = −25b) 40 : ( ) = −8 d) ( ) : (−12) = 612) Calcula els productes següents:a) (+21) ⋅ (+3) ⋅ (+4) = b) (+19) ⋅ (−2) ⋅ (+3) =c) (+13) ⋅ (−5) ⋅ (−6) = d) (−20) ⋅ (−9) ⋅ (−3) =13) Completa aquests productes:a) (−5) ⋅ ( ) = −30 b) ( ) ⋅ (+3) = 45c) (−9) ⋅ ( ) = 27 d) ( ) ⋅ (−8) = −48 Potències de nombres enters14) Escriu com es llegeixen aquestes potències i calcula’n el valor:a) 35 = c) (−8)6 = e) 103 = g) (−4)2 =b) 22 = d) (−5)3 = f) 42 = h) (−2)3 =15) Expressa en forma de potència i troba’n el valor:a) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =c) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = d) (−5) ⋅ (−5) =16) Calcula l’exponent d’aquestes potències:a) 3- = 27 b) 4- = 64 c) (−3)- = −27 d) (−2)- = 1617) Escriu aquests nombres amb potències de 10:a) 20.000 = b) 493.000.000 =c) 493.000 = d) 315.000.000.000 =18) Efectua aquestes operacions amb potències:a) 34 ⋅ 35 = b) 67 : 64 = c) (−3)6 ⋅ (−3)7 = d) (−6)8 : (−6)4 =19) Indica el nombre que expressen aquestes sumes:a) 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 2 = b) 2 ⋅ 106 + 5 ⋅ 104 + 7 ⋅ 10 =
  4. 4. 20) Troba l’arrel quadrada d’aquests nombres:a) 169 b) 196 c) 225d) 400 e) 900 f) 1.600g) – 100 h) - 8121) Calcula l’arrel quadrada entera i el residu:a) 45 b) 87 c) 115 d) - 70 Operacions combinades22) Calcula.a) (+4) ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−2) = b) (−4) ⋅ (−5) − (+3) ⋅ (−2) =c) (+16) : (−8) + (−24) : (−6) = d) (−12) : (−3) − (+4) : (−2) =23 )Fes aquestes operacions:a) (+7) − (−12) ⋅ (+5) = b) ( 64 - 16 ) : [2 ⋅ (−2)] =c) (−5) − [(−6) − (−5) ⋅ (−9)] = d) ( 81 −4)⋅ 25 −1 =24) Resol aquestes operacions:a) (+45) : [(−7) + (+2)] = b) (−8) ⋅ [(+21) : (−3)] =c) (+2) ⋅ [(−63) : (−7)] = d) (−7) − [(−14) : (+2) − (−7)] =e) (−25) : [(+3) − (+8)] = f) (-2) · [(-2) · (- 6)] =25) Calcula.a) (+50) − (−4)2 + (−3)3 = b) - 64 − (−5)2 − (−12) =26) Resol les operacions següents:a) (−13) ⋅ (+3) − (−12) ⋅ (+7) = b) [(−25) + 5 − (−4)] : (−8) =c) (−3) ⋅ (−12) − (−15) ⋅ (−4) = d) [(−16) + (−9) + 5] : (−4) =e) (−35) : (−7) + (−54) : (+9) =f) [(−4) + (−3) ⋅ (−6)] : 7 =27) Resol les operacions:a) (−11) ⋅ [10 + (−7)] + 36 : [(−1) − (−10)] = b) (−8) ⋅ [5 − (−2)] − 48 : [6 + (−14)] =c) 42 : [(−6) − (−3)] + 28 : [−6 − (−8)] = d) 32 : [(−19) + 3] − 24 : [(−11) − (−5)]28) Efectua aquestes operacions combinades:a) (−5)2 ⋅ [3 + 28 : (−4)] = b) (+2)2 ⋅ [−5 ⋅ 2 − 32 : (−8)] =c) (+3)3 : [−5 + (−7) ⋅ (−2)] = d) (−4)3 : [(−15) : 5 − (−45) : (−9)] =29) Resol les operacions, i considera només el resultat positiu de l’arrel:a) 9 + (−3) ⋅ [12 + (−7)] = b) 81 : 3 + 4 ⋅ [−12 − 2 ⋅ (−3)] =c) 7 ⋅ (5 + 3) − 36 : (−3) = d) −3 − (−4) ⋅ [ 64 − 5 ⋅ (−2)] =
  5. 5. Activitats de repàs30) Calcula les potències següents:a) 45 = b) 142 = c) 73 = d) 54 =e) (−2)6 = d) (−4)4 = f) (−9)2 = h) (−6)4 =31) Expressa com una sola potència:a) (28 : 23) ⋅ 23 = c) [(−4)6: (−4)] : (−4)2 =b) 35 : (37 : 34) = d) (−5)3 : [(−5)4 : (−5)] =32) Expressa com una sola potència:a) (54)3 = c) [(−3)4]3 = b) (75)2 = d) [(−9)3]3 =33) Expressa com una sola potència:a) (25)2 ⋅ (22)4 = b) (103)3 ⋅ (102)4 =c) [(−3)5]3 ⋅ [(−3)4]3 = d) [(−10)2]2 ⋅ [(−10)3]3 =34) Expressa com una sola potència:a) (62)5 : (63)3 = b) (237)2 : (233)4 =c) [(−14)9]2 : [(−14)3]5 = d) [(−2)8]3 : [(−2)4]5 =35) Simplifica aquests productes de potències:a) 54 ⋅ 253 = b) 84 ⋅ 162 =c) 63 ⋅ 125 = d) 47 ⋅ 32 =e) (−12)3 ⋅ 185 = f) (−63)5 ⋅ 212 =36) Calcula l’arrel quadrada d’aquests nombres:a) 64 b) 121 c) 144 d) 19637) Completa.a) ? = ± 7 b) ? = ± 12 c) ? = ± 15 d) ? = ± 2038) Calcula, i fes servir només el resultat positiu de l’arrel:a) 100 : 5 + 33 : (−3) = b) 12 − 18 : 2 + (−4) ⋅ 121 =c) (−5) ⋅ 32 − 49 : [(−5) ⋅ (−2) − 31] = d) (−8)5 : (−8)3 − (−4)2 ⋅ ( 16 − 20) =e) 144 : [7 + (−5)]2 + (−2)3 =
  6. 6. UNITAT 2: FRACCIONS I DECIMALS La fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador1) Representa gràficament i expressa en forma decimal aquestes fraccions: 3 5 7 1a) = b) = c) = d) = 5 8 9 22) Calcula: 2 1 3a) de30 = b) de25 = c) de250 = 3 5 5 23) LAnna ha comprat 75 cromos al quiosc. Quan lobre, veu que els dels cromos estan repetits. 5Quants cromos té repetits? Fraccions equivalents a c a cDues fraccions, b i d , són equivalents, les escrivim b = d , si es compleix que a · d = c · bHi ha dues maneres dobtenir fraccions equivalents a una fracció:- Amplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent multiplicant el numerador i el 3 3·2 6 3 3·3 9 3 6 9 12denominador pel mateix nombre: 4 = 4·2 = 8 o 4 = 4·3 = 12 llavors: 4 = 8 = 12 = 16 = ......- Simplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent dividint el numerador i el 24 24 : 2 12 12 12 : 3 4 24 12 4denominador pel mateix nombre: 18 = 18 : 2 = 9 i 9 = 9 : 3 = 3 llavors: 18 = 9 = 3 . Aquesta 4fracció, 3 , que ja no es pot simplificar més, sanomena fracció irreductible4) Són equivalents els parells de fraccions següents?: 15 105 17 85 12 5a) i 15 · 36 = b) i c) i 6 36 13 52 30 2 105 · 6 =5) Escriu tres fraccions equivalents per simplificació i tres més per amplificació: 72 140 450a) = b) = c) = 120 320 6506) Troba el terme que falta: 3 12 9 45 14 xa) = b) = c) = x 20 12 x 11 22
  7. 7. Càlcul de la fracció irreductible (Simplificar) 72Exemple: Calcula la fracció irreductible de 48Haurem de buscar un nombre que sigui divisor del 72 i 48 a la vegada i que sigui el més granpossible; és a dir, buscarem el seu m.c.d. 3 2  72 = 2 ·3 Si factoritzem:  --->m.c.d.(72,48) = 2 · 3 = 24 3 4 48 = 2 ·3   72 72 : 24 3 3 72Així, = = ---> és la fracció irreductible de 48 48 : 24 2 2 487) Calcula la fracció irreductible daquestes fraccions: 24 60 540 120a) = b) = c) = d) = 36 25 320 90 Comparació de fraccionsPer a comparar dues o més fraccions les haurem de reduir a comú denominador, queconsisteix a obtenir altres fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador. 5 7Exemple: Redueix a comú denominador les fraccions i 4 18Haurem de buscar dues fraccions, equivalents a les donades, que tinguin el mateixdenominador; és a dir haurem de buscar un múltiple comú de 4 i 18: el seu m.c.m. 4 = 22  Si factoritzem: 2 ---> m.c.m.(4 i 18) = 22 · 32 = 36 Ara buscarem les fraccions 18 = 2·3   5 5·9 45 7 7·2 14eq1uivalents amb 36 de denominador: = = i = = . Ara ja podem 4 4·9 36 18 18·2 36 45 14 5 7comparar les dues fraccions; com és més gran que , podem dir ---> > . 36 36 4 18Això també ens servirà per a sumar i restar fraccions Activitats 1 2 1 7 18) Redueix a comú denominador: , , , , 3 5 4 6 109) Ordena de més petit a més gran: 3 2 1 2 2 3 6 6 5 5 10a) , , , b) , , c) , , , 5 5 4 3 9 5 15 8 4 6 8
  8. 8. Operacions amb fraccions10) Calcula simplifica el resultat, si pots: 4 1 3 1 1 3 7 1 4 2 1a) 2 ++ = b) + − = c) − − = d) + − = 3 3 2 5 10 4 2 3 7 4 2 9 1 7 8 9e) + − 1 = f) − + = g) 2 + 7 +  − 5  = h) 2 + 7 −  − 5  = 5 7 5 3 10 15 18  12  15 18  12 11) Calcula: 321 459a) · · = b) · · = 556 76512) Calcula: 2 3a) de60 = b) de90 = 3 513) Efectua les operacions següents:a)  2 + 1 − 1  ·4 = b)  1 + 1 − 1 + 7  : 5 = c) 3· 1 −  1 + 1 − 1  : 2 = d) 1 + 1 · 2 − 5  − 3 : 1 = 5 2 3  4 3 6 3 4 2 4 4  3 6 2 Activitats de repàs14) Digues si aquestes fraccions són equivalents: 6 36 5 15 9 72 8 24a) i b) i c) = d) = 8 48 4 8 13 104 5 1015) Calcula 3 fraccions equivalents: 2 11 13a) b) c) 7 6 216) Ordena aquestes fraccions de més gran a més petita: 7 3 5 3 5 8a) , , b) , , 4 5 6 7 14 2117) Calcula: 3 1 5 5 1 3 1 4 1 7 5 1 7a) + + = b) − + − = c) + + = d) + − = 2 4 8 3 6 2 8 6 4 3 2 3 618 Calcula: 51 7 4 37a) · − 2 = b) − 3· = c) 4 − · = 63 2 5 29
  9. 9. f) 7 · − 12  +  − 3  = 5 1d) − 3· = e) 4 ·10 +  − 3  = 2 4 5 8  2 9 5   4 19) Escriu en forma de potència: 8 8 8 8 8a) · · · · = b)  − 2  · − 2  · − 2  = c)  − 2  · − 2  · 2 = 11 11 11 11 11  7  7  7  7  7 7 4 420) En Cesc ha regat de la gespa, i la Raquel, els restants. Qui dels dos ha regat una zona més 5 12gran?21) Comprova si són fraccions equivalents: 6 24 − 12 1 3 2 9 24a) , , b) , , c) 3, , 5 20 10 5 15 10 3 822) Efectua aquestes operacions: 3 11 15a) 1 + = b) − 2= c) − 7= 4 3 2 4 4 2d) 7 + = e) 9 − = f) 3 − = 3 7 5 1 1 4 1 1 5g) 9 + − = h) + 5− = i) 7 − + = 3 6 5 3 4 223) Calcula:a)  3 − 1  · 1 − 6  = b)  1 + 2  · 1 − 1  = c)  5 − 1  · 1 − 1  = d)  4 − 3  · 1 + 1  =  4 6  4 8  5 15   3 10   2 7  3 6 5 4   10 424) Expressa en forma de producte i troba el resultat de les potències següents: 2 4 7a)  10  = b)  2  = c)  − 1  =  3  3  2 1 125) Un llibre es fa amb la col·laboració de 18 persones, de les quals correspon a autors, a 3 9 1 2secretàries, a maquetistes, a dibuixants i la resta a personal dimpremta. Calcula el nombre de 6 6col·laboradors de cada classe.26) Calcula el nombre que falta: 6 9 4 x 8 2 x 8a) = b) = c) = d) = x 3 5 10 12 x 9 18
  10. 10. 27) Fes les operacions següents: 1  − 1 2 1a)  1 + 3  −  4 + 7  = b)  7 − 4  +  6 + 2  = c) 2 −  4 −  1 + 2  − 1  = d)  5 − + + − =  2 6  5 3  3 5  5 7  3  2 5  3 4 5  3 5 428) Fes aquestes operacions: b)  ·5 −  · = 2 3 7a) 3· 1 − 2  − 1 =   c) 5 − 2 · 7 − 1  = d)  5 − 2  · 7 − 1 = 8  2 5 3 4 2 3 5  2 3  3 5 2 329) Calcula:a) 16 = b) 81 = c) 121 = d) 64 = 25 49 441 144 1 230) En una escola hi ha 1.095 alumnes que fan activitats extraescolars: fan judo, estudien italià 3 5i la resta fan ballet. Quants alumnes fan cada activitat? 1 231) Un camió transporta 15 tones de fruita; són taronges, són pomes i la resta són peres. 5 3Quantes tones de cada tipus de fruita porta el camió?32) Calcula la fracció irreductible: 75 182 121a) = b) = c) = 30 48 1133) Efectua les operacions següents:a) 5 −  2 · 7  − 1 = b)  2 ·5 − 3  · 7 = c)   − 7  · 4 − 2 ·5 = d) − 3· 4 −  7 ·5 − 9  = 3  5 2 3 3 4 2  3 5  3 15  8  334) Dels 30 alumnes duna classe, són noies. Quants nois hi ha? 5 435) Duna taronja saprofiten les parts per fer suc i la resta és pell. Si fem servir 27 kg de 9taronges, quina quantitat de suc obtindrem? I de pell?36) Ordena de més gran a més petit: 1 4 7 2 1 3 9 3 7a) , , b) , , c) , , 3 6 18 5 6 2 2 4 1237) Calcula: 3 1 2 1 2 3 1 1 1a) + − = b) − + = c) − − = 4 6 3 2 3 5 2 4 8
  11. 11. 3 7 3 13 1 8 24 3 5d) − − + = e) − + = f) 2 − − = 4 10 5 20 3 9 27 2 638) Indica si són certes les igualtats següents: 2 4 3 4a)  − 5  = 25 b)  − 3  = 81 c) −  − 7  = − 343 4 d) (− 2)  2 =    3 3  − 3  2 8 4  7 7 339) Duna classe de 24 alumnes els han passat la grip. Quina fracció dalumnes no han estat 8malalts? Quants alumnes són? 340) He recorregut 900 metres, que suposen els de litinerari. Quina és la longitud total? 741) Efectua les multiplicacions següents: 12 3 10 9 7 7 12a) · = b) · = c) 3· = d) · · = 23 5 2 6 2 4 2142) Si tres quarts de quilo de pernil costen 15 €, quant val un quilo i mig?43) Segons una enquesta, les famílies catalanes dediquen un terç de la seva renda a ladquisició dunhabitatge, o sigui, destinen una mitjana de 11.000 € anuals a aquest concepte. Quina és la rendamitjana mensual duna família catalana?44) Els tres cinquens dels animals dun parc natural són mamífers, i daquests mamífers, els cincsisens són carnívors. Quina fracció del total danimals representen els mamífers carnívors?45) En Lluís, en Pere i lAntoni van reunir les quantitats de diners que les seves famílies els van 6 7 3regalar per Nadal. En Lluís va rebre de 100 €, en Pere va rebre de 100 €, i lAntoni va rebre 8 8 8de 100 €. Quants diners van aconseguir tots tres junts? 2 346) Escriu una fracció que sigui més gran que i més petita que . Podries escriure dues 5 5fraccions? I tres? Raona quantes fraccions pots escriure entre elles? Nombres decimalsUn nombre decimals és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals.Un nombre decimals és periòdic quan té infinites xifres decimals que, a més, una o diverseses repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteixen lanomenem període. – Si el període comença immediatament després de la coma, és un decimal periòdic pur. – Si el període no comença just després de la coma, és un decimal periòdic mixt.Un nombre decimals és no exacte i no periòdic quan té infinites xifres decimals i cap esrepeteix periòdicament.
  12. 12. 47) Expressa de manera abreujada aquests nombres decimals:a) 34,655555... b) 0,31111... c) 9,66666...48) Classifica aquests nombres decimals:a) 61,454545... b) 2,5 c) 7,333...d) 58,3777... e) 0,55 f) 6,3444...49) Escriu i classifica el nombre decimal que correspon a aquestes fraccions: 45 12 5 95a) = b) = c) = d) = 3 13 12 350) Ordena de més gran a més petit:a) 6,1 – 4,22 – 4,02 – 6,11 – 3,99 – 3,9 b) 5,602 – 5,611 – 5,6005 – 5,6010251) Efectua aquestes operacions:a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 = b) (5,02 – 3,009) + (7,96 – 2,1) =c) 42,78 – (13,25 – 10,9672) = d) (5,03 – 4,95) · 1,26 =e) 9,82 + 6,2 · 0,002 = f) 7,82 – 5,601 · 0,3 =52) Resol aquestes divisions:a) 459,3 : 5 = b) 478 : 7,86 = c) 1.000,59 : 0,002 =53) Digues a quina classe de nombres decimals correspon lexpressió decimal daquestes fraccions: 78 39 39 117a) = b) = c) = d) = 39 8 60 3954) Escriu en forma de fracció aquests nombres decimals exactes. Si és possible, simplifica elresultat:a) 25,78 = b) 25,793 = c) 97,95 = d) 150,2 =55) Resol aquestes operacions:a) 17,94 · 100 – 8,05 : 0,5 = b) (8,72 – 7,85) · 0,1 – 0,2 =c) 16,9656 : (1,35 + 1,05) = d) 9,05 – 2,62 : (1,3 + 0,01) =56) Un pare vol repartir 15,60 € entre els seus quatre fills a parts iguals. Quants diners rebràcadascun?
  13. 13. 57) Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantes tires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 m dellarg?58) Calcula:  3  2  1 1  1 1  1 1 1a)  2 +  − 3−  = b)  + − −  = c) 1 −  + −  =  5  3  2 3  2 3  2 3 4  2 1  6 5  1 1  5  3  4d)  +  : −  = e)  −  :  1−  = f)  1 −  :  1−  =  5 3  5 6  2 3  6  2  3  1  1   1g)  1 −  · − 1 :  1 +  =  3  4   259) Busca la fracció irreductible de: 125 132 98a) = b) = c) = 100 165 126
  14. 14. UNITAT 3: EQUACIONS EL LLENGUATGE NUMÈRICEl llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només a través de nombresLlenguatge usual Llenguatge numèricLa suma de quatre més tres és set 4+3=7Deu menys vuit és igual a dos 10 – 8 = 2El quadrat de tres és nou 32 = 9El triple de cinc és quinze 3 · 5 = 15La meitat de divuit és nou 18 : 2 = 9 EL LLENGUATGE ALGEBRAICEl llenguatge algebraic expressa la informació matemàtica amb nombres i lletresLlenguatge usual Llenguatge algebraicLa suma de dos nombres x+yUn nombre augmentat en tres unitats x+3El quadrat dun nombre x2El triple dun nombre 3·xLa meitat dun nombre x:2Làrea dun quadrat A = c2Làrea dun rectangle A= b·h EXPRESSIONS ALGÈBRIQUESUna expressió algèbrica és un conjunt de nombres i lletres que es combinen amb els signes de lesoperacions matemàtiquesExpressió escrita Expressió algebraicaEl triple de la suma de dos nombres 3 · (a + b)La suma de dos nombres consecutius x + (x + 1)La suma dun nombre i el seu doble x + 2xAl triple dun nombre li restem el seu doble 3x - 2xLoposat dun nombre -x
  15. 15. 1) Expressa aquests enunciats amb llenguatge algebraic:a) El doble dun nombre més 5b) El triple dun nombre menys 6c) El doble de la suma dun nombre més 4d) La meitat de la diferència dun nombre menys 8e) El quadrat de la suma dun nombre més 7f) El cub de la meitat dun nombreg) La meitat del quadrat dun nombreh) Un nombre més el seu quadrati) El quàdruple del quadrat dun nombrej) La meitat dun nombre menys 3 MONOMISLes expressions algebraiques més senzilles són les que estan formades per productes de lletres inombres. Els anomenem monomis.Un monomi consta dun nombre i una o diverses lletres.- Del nombre (inclòs els seu signe) en diem coeficient- De la lletra o lletres que lacompanyen en diem part literalAnomenem grau dun monomi la suma dels exponents de les lletres que el formenExemples:Monomi Coeficient Part literal Grau 3x 3 x 1-2·a·b -2 a·b 1+1=2 x2 · y 1 x2 · y 2+1=3- 5 · a2 · b3 -5 a2 · b3 2+3=5 SUMA I RESTA DE MONOMISDos o més monomis són semblants si tenen la mateixa part literalLa suma o resta de dos o més monomis semblants és un altre monomi que té com a coeficient lasuma o la resta dels coeficients (nombres) dels sumands, i manté la mateixa part literal. Si elsmonomis no són semblants, no es podran ni sumar ni restara) 3x + 2x = 5xb) 10ab – 8ab = 2abc) 8x + 7a = No es pot sumar
  16. 16. Exemples:Identifica aquestes igualtats:a) 3 + 4 = 2 + 5És una identitat numèrica certa perquè 3 + 4 = 7 i 2 + 5 = 7b) 10 – 4 ≠ 3 · 3És una igualtat numèrica falsa perquè 10 – 4 = 6 i 3 · 3 = 9c) 3x + x = 4xÉs una igualtat algebraica (nombres i lletres)d) 10 + x = 16És una igualtat algebraica (nombres i lletres)En aquest apartat la x = 6 EQUACIONSUna igualtat està formada per dues expressions separades per un signe =Segons siguin les expressions una igualtat pot ser- Numèrica: quan només hi intervenen nombres 3 · 4 = 12 4+8=5+7- Algebraica: si hi intervenen nombres i lletres 3x = 15 x + 7 = 11 2 + x = 3xUna equació és una igualtat algebraica que només és certa per a alguns valors de les lletresa) 10 + x = 16Només es compleix per a x = 6 --> 10 + 6 = 16b) 3x = 12Només es compleix per a x = 4 --> 3 · 4 = 12c) 4x + 2 = 2Només es compleix per a x = 0 --> 4 · 0 + 2 = 2
  17. 17. IDENTITATUna identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les lletresa) 3x + x = 4x- Si x = 1 --> 3 · 1 + 1 = 4 · 1 --> 4 = 4 Es compleix la igualtat- Si x = 2 --> 3 · 2 + 2 = 4 · 2 --> 8 = 8 Es compleix la igualtat- Si x = 3 --> 3 · 3 + 3 = 4 · 3 --> 12 = 12 Es compleix la igualtatAquesta igualtat és certa per a qualsevol valor de x. És una identitat2) Classifica aquestes igualtats algebraiques en identitats i equacions: xa) 2x + 1 = 11 b) x +x = 2x c) = −8 2d) 4x + 5 = 5 + 4x e) 6x = 18 f) a7 = a5 · a2g) x – 2 = 2x h) y + 1 = 1 + y3) Determina els membres, els termes i el grau daquestes equacions:a) x + 3 = 10 b) 4x -x = x + 8 c) x(x – 2) = 3 – 4(x + 2)d) x – x2 + 3 = 8 + x(5 – x) e) x2(x – 3) + 5x2 = x(1 + x2) RESOLUCIÓ DEQUACIONSa) 4x – 2 = 3x + 2A lhora de resoldre equacions, haurem de seguir els següents passos:1r) Transposar.- Vol dir que passarem al primer membre tots els termes que porten incògnita, i alsegon membre, aquells que no en tenen. En cas de canviar de terme, també canviarem el signe 4x – 3x = 2 + 22n) Reduir termes semblants.- Vol dir que deixarem un terme a cada membre. x=4
  18. 18. b) 5x – 3 = 3x + 31r) Transposar.- Al primer membre les “x” 5x – 3x = 3 + 32n) Reduir.- 2x = 63r) Aïllar la incògnita.- El coeficient de la “x” passa a dividir 6 x= 24t) Dividir.- Resolem la divisió x=34) Resol aquestes equacions fent servir la transposició de termes:a) x + 4 = 12 b) 1 – x = 12 c) x – 3 = 8d) -5 + x = -3 e) 2x = 16 f) 7x = 49g) 5x = 25 h) 2x = 5 Resolució dequacions amb parèntesisExemple: Resol lequació 2(x – 4) – (6 + x) = 3x - 41r) Eliminem els parèntesis -----> 2x – 8 – 6 – x = 3x - 42n) Transposem termes ---------> 2x – x – 3x = 8 + 6 - 43r) Agrupem termes positius i negatius: 2x – 4x = 14 – 44t) Reduïm termes ---------------> -2x = 10 105è) Aïllem la< incògnita ---------> x= ---> x = -5 − 25) Resol aquestes equacions:a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57c) x + 2 = 16 – 6x d) x – 1 = 9 – xe) 5x – 5 = 25 f) 3x + 4 = 2(x + 4)g) 5(x – 1) – 6x = 3x – 9 h) 4(x – 2) + 1 + 3x = 5(x + 1)3(3x + 1) – (x – 1) = 6(x + 10) j) 5(x – 2) – (3 + x) = 3(x – 4)
  19. 19. Resolució dequacions amb denominadors x+ 4 x− 1 x+ 1Exemple: Resol lequació − = 3 2 6Necessitem un múltiple comú de 2, 3 i 6 m.c.m.(2, 3, 6) = 61r) Eliminem denominadors.- Per a la qual cosa multiplicarem tots els termes per 6 idesprés dividirem el 6 pels denominadors:  x + 4  x − 1  x + 1 6·  − 6·  = 6·   3   2   6  2(x + 4) – 3(x -1) = 1(x + 1)2n) Eliminem els parèntesis: 2x + 8 – 3x + 3 = x + 13r) Transposem termes: 2x – 3x – x = -8 – 3 + 14t) Agrupem termes positius i negatius: 2x – 4x = 1 – 115è) Reduïm termes: - 2x = -106è) Aïllem la incògnita: − 10 x= x= 5 − 26) Resol aquestes equacions amb denominadors: x+ 3 x+ 1 x+ 4 x+ 6 1 x− 4a) = + b) − = 4 2 5 40 4 3 x 8x 2x − 1c) − ( x + 4) + = − d) = 9 3 3 5 x − 3 3x − 9 3x − 4e) = f) = 4 12 10 x− 3
  20. 20. Resolució de problemesPer resoldre problemes mitjançant equacions, cal que seguim aquests passos:1r) Llegim atentament lenunciat i identifiquem la incògnita2n) Fem un esquema3r) Plantegem lequació4t) Resolem lequació5è) Comprovem que la solució és vàlida i la interpretem7) La suma dun nombre i el doble daquest nombre és 120. De quin nombre es tracta?Esquema:Nombre ----------------> xDoble del nombre ----> 2xSuma dels dos --------->120Plantejament: -------> x + 2x = 120Solució: --------------> 3x = 120 120 x = x = 40 El nombre és el 40 38) El perímetre dun quadrat és 60 m. Calcula la longitud de cada costat9) El perímetre dun rectangle és 400 m. Troba la longitud dels costats, si saps que la base és 2 mmés gran que laltura10) En un rectangle sabem que el perímetre és 16 cm i laltura 5 cm. Calcula la longitud de la base11) Calcula la base dun rectangle daltura 3 cm i 22 cm de perímetre12) En un zoològic hi ha el doble de ximpanzés que de goril·les. Si en total són 171 animals, quantsnhi ha de cada espècie13) En una aula de 33 alumnes hi ha el doble de noies que de nois. Quants nois i quantes noies hiha?14) La suma de dos nombres consecutius imparells és 156. Quins nombres són?15) Resol aquestes equacions: 5− x x− 8 4x − 8a) =1 b) = 3 c) = 2 7 6 − 2 3x x+ 4 x 3x 2xd) − 25 = x − 20 e) − 1= − x f) − 9= − 7 2 5 2 5 616) El doble més el triple dun nombre sumen 35. Troba el nombre
  21. 21. 17) La suma de dos nombres consecutius és 63. Quins nombres són?18) La suma de dos nombres parells consecutius és 126. De quins nombres es tracta?19) El doble dun nombre i la seva meitat sumen 10. Quin nombre és?20) El doble de la suma dun nombre més 7 és 18. De quin nombre parlem?21) Troba la solució daquestes equacions: 2x x x x x+ 4a) + = + 13 b) − x= −1 5 10 15 2 5 3x − 4 x 3xc) = x− 3 d) − 7= −9 4 3 522) El triple dun nombre menys 8 és 40. Troba el nombre23) Un nombre menys la seva cinquena part és 80. Quin és el nombre?24) Un trajecte en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre. Si paguem13 €, quina distància hem recorregut25)Al zoològic hi ha el doble de tigres que de panteres i sabem que en total són 129 animals. Quantstigres i quantes panteres hi ha?26) En una aula hi ha 3 parts de nois, i les noies són 16. Quants nois hi ha a laula? 727) Resol aquestes equacions: x+ 8 x− 4 x − 5 8− x 2 x − 10a) = + 2 b) + = 3− 2 6 5 2 2 x − 10 x − 20 x − 30 3x − 12 2 x − 10c) − 5= + d) − = − 1− 2 4 3 4 3 13 − 2 x 5 x − 2 x+ 1e) 4 x + 3 − x − 2 = 2 − x + 3 f) + = 1− 5 4 6 6 4 1228) En Joan efectua la quarta part dun viatge en autobús, la sisena part en moto, tres vuitenes partsen bicicleta i els últims 40 km caminant. Quina distància ha recorregut en total, i quants km harecorregut en cada mitjà de transport?29) La Maria sentrena de manera que augmenta el recorregut del dia anterior en 1 km. Al cap de setdies, el recorregut total que ha fet és de 42 km. Quant ha entrenat lúltim dia?30) Esbrina la meva edat si tinc el triple de ledat que tenia fa 8 anys
  22. 22. 31) Calcula la solució de les equacions següents: 2− x 3 x+ 1 x − 2 x − 3 4 − 2xa) x − = − b) − = 3 2 3 3 2 5 x 4x x+ 3 xc) + 1= − 2 d) − = 4 2 3 2 332) LAnna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun?33) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quantsbolígrafs i retoladors té?34) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula elnombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes.35) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potesi 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?36) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. Daquí a quants anys ledat den Pau serà el dobleque la de la seva germana?37) Resol les equacions següents: 4x 2 + 2 x 3x 11 7xa) + = x b) + = 6 8 4 2 238) Dos jugadors de futbol han marcat durant la lliga 45 gols. Si un d’ells ha aconseguit fer 7 golsmés que l’altre, quants n’ha fet cadascun?39) Entre dos nens tenen 528 € i l’un en té 76 més que l’altre. Quants € té cada un?40) Un excursionista ha caminat 5 hores i encara li falten 17 km per recórrer els 47 km que ha defer. Quina és la seva velocitat mitjana?41) Reparteix 1.800 € entre dues famílies de tal manera que l’una rebi 400 € menys que l’altra42) Quin és el nombre que disminuït en 7 dóna igual que 29 disminuït en el nombre que volemsaber?43) Una granja té el doble de gallines que d’ànecs. Si el total de l’aviram és de 1512 animals, quantsn’hi ha de cada classe?44) Resol aquestes equacions: 3x − 5 8 − 3x 4x + 6 2x − 3 4x − 6a) + 4x = -3 b) - = 2 2 5 3 645) En un àlbum hi ha 18 fotografies en color més que en blanc i negre. Si en total n’hi ha 86,quantes en són en blanc i negre i quantes en color?
  23. 23. 46) Sumant un nombre amb la seva meitat i amb el seu doble el resultat és 350. Troba aquestnombre47) El pare del Toni té 38 anys i ell 6. D’aquí a quants anys l’edat del pare serà el doble de la delfill?48) Una fàbrica fa 5 bolígrafs blaus per cada un de roig. Al cap d’una hora han fabricat 37.518bolígrafs. Quants n’hi haurà de cada color?49) Busca dos nombres parells consecutius la suma dels quals sigui 44250) La Roser té 7 anys menys que la seva cosina Meritxell i d’aquí a 15 anys la suma de les sevesedats serà de 53 anys. Quina edat té cada una?51) Resol aquestes equacions: x+ 1 x− 2 x+ 3 6 − 2 x x + 5 3x 3 x − 4a) − = − x− 1 b) − = − 4 3 2 20 10 15 552) Dos sacs de patates pesen 168 kg. Si l’un fa 25 kg menys que l’altre, quants kg conté cada sac?53) Entre dos equips de futbol han sumat 84 punts en una competició, però l’un ha obtingut 24punts més que l’altre. Troba la puntuació de cada equip.54) En un estany del zoològic hi ha el triple de cignes que de flamencs. El nombre total d’aquestesaus és de 144. Quants n’hi ha de cada classe?55) En una competició de l’escola participen la meitat dels alumnes d’una classe i vuit més. Si entotal hi participen 22 alumnes, quants alumnes hi ha en aquella classe?56) El doble d’un nombre més la seva cinquena part, menys 1, és igual a 76. Quin nombre és?57) La suma de les edats de dues noies és de 41 anys, i la seva diferència, 5 anys. Quina edat tenen?58) Resol aquestes equacions: 5x 7x 3x − 9 3x − 4a) − = 9 b) 3 + (2x – 7) = 6 – 2(3x – 4) c) + = 9 12 18 3 559) La suma de dos nombres consecutius és 137. Quins nombres són?60) Troba un nombre la sisena part del qual augmentada en 44 unitats sigui igual al doble d’aquestnombre61) El pati de l’institut és rectangular i fa 25 m més de llargada que d’amplada. Si el perímetre fa270 m, quina és la llargada i l’amplada?62) En Sergi té 10 anys més que la seva germana i d’aquí a dos anys en tindrà el doble que ella.Quants anys té cada germà?
  24. 24. 63) El pare ha comprat un meló i una síndria en una fruiteria. El pes de les dues fruites és de 4.782grams. Quant fa cadascuna si la síndria pesava el doble que el meló?64) Busca tres nombres consecutius tals que sumats el primer i el tercer en resulti el segonaugmentat en 35 unitats.65) Resol aquestes equacions: 5x + 4 9 x + 6 4 x − 1 2 3x 2 x − 4 5 4x 6 x − 2a) − = b) = c) + = − 2 4 7 4 7x − 2 12 3 2 866) En una festa van acudir en total 34 persones, Si hi havia 28 nois menys que noies, quants n’hihavia de cada sexe?67) Dos cotxes es troben a una distància de 880 km. Circulen l’un cap a l’altre i tarden 4 hores atrobar-se. Si l’un porta una velocitat de 20 km/h més que l’altre, a quina velocitat va cada un?68) La Irene té 29 anys més que la seva filla i d’aquí a 7 anys la suma de les edats serà de 51 anys.Quina edat té cada una?69) Busca tres nombres consecutius tals que tres vegades el primer més quatre vegades el segon,excedeixi en 38 unitats 5 vegades el tercer70) Quants graus tenen els tres angles d’un triangle, si se sap que el primer és el doble del segon iaquest el triple del tercer?71) La Carmina té 8 anys més que el seu cosí i fa 4 anys en tenia el doble que ell. Quina edat téactualment cada cosí?72) Resol aquestes equacions 5 5x 4x 5x 6x 8x 13x 19a) - = - + 5 b) - = + 6 4 3 2 3 9 6 18 − 5 − 2x 4x − 3 x − 10 5 x + 3 2 x + 3 3x 1c) - = d) 4 - + - = 3 5 2 4 3 2 1273) La suma de dos nombres és 45 i la diferència 9. Quins nombres són?74) La base i l’altura d’un rectangle es diferencien en 15 cm. Si el perímetre fa 62 cm, calcula’nl’àrea.75) Troba un nombre tal que sumades la meitat més la tercera part sigui igual a aquest nombremenys la sisena part76) En Gerard té 12 anys i la seva àvia 72. D’aquí a quants anys l’àvia tindrà el quàdruple de l’edatdel nét? 3 177) En un partit de futbol parts dels espectadors són aficionats de l’equip local, ho són de 4 8l’equip visitant i els 9.500 espectadors restants són indiferents. Quants espectadors hi assisteixen entotal? Quants són de l’equip local? Quants són de l’equip visitant?
  25. 25. 2a AVALUACIÓ UNITAT 4: SISTEMES DEQUACIONS Mètode de substitucióConsisteix a aïllar una de les incògnites en una de les equacions i substituir-la a laltra. x + 2 y = − 1Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de substitució  2x − y = 3 1r) Substituïm una de les incògnites en una equació; per exemple la x de la primera equació: x = -1 -2y2n) Substituïm aquest valor a laltra equació: 2·(-1 -2y) -y = 33r) Resolem aquesta equació: -2 -4y -y =3 -4y -y = 2 + 3 -5y = 5 y= -14t) Substituïm aquest valor a qualsevol de les equacions: x + 2·(-1) = -1 x -2 = -1 x = 2 – 1 x = 15è) Comprovem el resultatActivitats1) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: x − y = 1 x + y = 12 x+ y = 5  2x + y = 3 a)  b)  c)  d)  x + y = 5 x− y = 2  − x + 2 y = − 2 x + 5 y = 15 x + 3y = 4  x − 2y = 1  2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16e)  f)  g)  h)  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 x − 3y = 0  3x − 3 y = 0  x− y = 5  x + 4y = 9  5x − 3 y = 1 3 x − 2 y = 5i)  j)  k)  l)  2 x + y = 1 3 x − 6 y = 9 4 x + y = 11 4 x + y = 14 Mètode digualacióConsisteix a aïllar la mateixa incògnita a les dues equacions i després igualar-ne el valors. x + 2 y = − 1Exemple: Resol el següent sistema pel mètode digualació  2x − y = 3  x + 2 y = − 1 3+ y1r) Aïllem la mateixa incògnita a les dues equacions:  x = -1 -2y i x = 2x − y = 3  2 3+ y2n) Igualem les dues equacions i resolem: -1 – 2y = 2 -2 – 4y = 3 + y -4y – y = 2 + 3 -5y = 5 y = -13r) Substituïm aquest valor a qualsevol de les dues equacions: x + 2·(-1) = -1 x – 2 = -1 x=2-1 x = 14t) Comprovem la solució
  26. 26. Activitats:2) Resol pel mètode digualació els següents sistemes: x− y = 1 2x − 3y = 5 x + 3y = 4  x − 2y = 1 a)  b)  c)  d)  x+ y = 5 x+ y = 0  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16 x− y = 5  x + 4y = 9 e)  f)  g)  h)  x − 3y = 0  3x − 3 y = 0  2 x + y = 1 3 x − 6 y = 9 Mètode de reduccióConsisteix a trobar un sistema equivalent; és a dir, amb la mateixa solució, a base dequacionsequivalents. x + 2 y = − 1Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de reducció  2x − y = 3 1r) Igualem els coeficients duna de les incògnites fent les multiplicacions adequades. Perexemple, si multipliquem tots els termes de la segona equació per 2, els coeficients de la y x + 2 y = − 1 x + 2 y = − 1queden igualats en les dues equacions:   2 x − y = 3  4 x − 2 y = 6 x + 2 y = − 12n) Sumem les dues equacions per tal deliminar una incògnita:  4 x − 2 y = 6 5x - / = 5 x = 13r) Substituïm el valor a una de les dues equacions; per exemple la primera: 1 + 2y = -1 2y = -1 -1 2y = -2 y = -14t) Comprovem el resultatActivitats:3) Resol pel mètode de reducció: x + y = 12 x+ y = 5  x + 3y = 5  2 x − 3 y = − 25a)  b)  c)  d)  x− y = 2  − x + 2 y = − 2 − x − y = − 3 12 x − 3 y = 75  x + 3y = 4  x − 2y = 1  2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16e)  f)  g)  h)  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 x − 3y = 0  3x − 3 y = 0 4) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: x = 3y + 2  x = 1− y  2 x + 5 y = 11  4x + y = 6 a)  b)  c)  d)  2 x − 5 y = 5 3x + 2 y = − 1 5 x − 3 y = − 19 − x − y = 0
  27. 27. 5) Resol aquests sistemes per igualació: 3x + 2 y = 7  2 x − 3 y = 13 2x + 4 y = 6a)  b)  c)  4 x − 3 y = 15 3x − 6 y = 12 3x + 7 y = 5 x + y = 13  2y − x = 3  3x + y = 11 d)  e)  f)  2 x − 5 y = − 23 3x + 7 y = 43 2 x + 5 y = 29 Resolució de problemes6) Busca dos nombres la suma dels quals sigui 14 i la diferència sigui 47) En una cafeteria el cambrer anota: taula A, 2 cafès i 4 sucs, 16 €; taula B, 3 cafès i 2 sucs, 12 €.Calcula el preu del cafè i del suc8) Quins dos nombres sumen 21 i el doble dun més el triple de laltre és 569) Un pare té el triple dedat del seu fill. Si el pare tingués 30 anys menys, i el fill 8 anys més, totsdos tindrien la mateixa edat. Quines són les edats del pare i del fill?10) Resol aquests sistemes per reducció: x+ y = 0  2x − 5 y = 1  3 x + 4 y = − 2 4 x − 2 y = − 2a)  b)  c)  d)  x − y = − 10 − x + 4 y = 4 2x + 3y = 0  5x + 3 y = 6 11) Resol pel mètode que creguis més adequat: x + y = 2 2 x + 3 y = 4 x + 2y = 5  2 x + 3 y = 8a)  b)  c)  d)  x − y = 6 2 x − 3 y = 4 2 x + 5 y = 11 x + 2y = 3 12) LAnna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun?13) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quantsbolígrafs i retoladors té?14) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula elnombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes.15) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potesi 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?16) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. Daquí a quants anys ledat den Pau serà el dobleque la de la seva germana?17) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: 3 x + 4 y = 25 2 x + 2 y = 0 x + 2 y = − 10 2 x + y = 13  a)  b)  c)  d)  x − 2y = − 5  4 x − y = 10  4x − 3y = − 7 3 x − 3 y = 24
  28. 28. 18) Resol aquests sistemes pel mètode d’igualació: 2 x + 3 y = − 1 3 x + 2 y = − 8 4x + 5 y = − 8  7 x + 2 y = − 4 a)  b)  c)  d)  5x − 4 y = 9  5 x − 3 y = 12  7 x + 2 y = − 14 4x − 3y = 6 19) Resol aquests sistemes pel mètode de reducció: 2 x − y = 2 2x − 2 y = 8 2 x + 3 y = 8 3 x + 5 y = 18  a)  b)  c)  d)  x+ y = 7  3x + 2 y = 2 3x − y = 1  2 x − 3 y = − 720) Dos germans tenen entre els dos 26 anys. Si un té 6 anys més que l’altre, quants anys tenencadascú?21) En un estable, entre bous i vaques hi ha 56 animals. Si hi ha 24 vaques més que bous, quantesvaques i quants bous hi ha?22) Compro dues camises per 27 €. Quant mha costat cada una si la més cara valia 3 € més que labarata?23) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una per 3 i laltra per 2 elresultat sigui 12824) La suma de dos nombres és 243. Quins nombres són si lun és el doble de laltre?25) En un corral, entre conills i gallines n’hi ha 20. Si contem el total de potes en resulten 64.Quants conills i quantes gallines hi ha?26) La suma de dos nombres és 42, i la seva resta és 2. De quins nombres parlem?27) Entre el Pep i el Martí tenen 26 anys. D’aquí a dos anys el Martí tindrà el doble d’anys que elPep. Quants anys tenen actualment?28) Després de 8 jornades de lliga, un equip té 18 punts i no ha perdut cap partit. Quantes victòries iquants empats ha obtingut?29) La Maria i el seu germà sumen 12 anys entre els dos. D’aquí a 2 anys, la Maria tindrà el tripleque el seu germà. Quants anys tenen ara?30) El Pau Gasol ha fet un gran partit amb els Lakers: ha fet 13 cistelles!!! (entre triples i cistellesde dos punts). En total ha fet 29 punts!!! Quants triples i quantes cistelles de dos punts ha fet?31) La suma de dos nombres és 277 i la seva diferència és 27. Quins nombre són?32) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una part per 5 i l’altra per 3el resultat sigui 22233) La suma de dos nombres és 108. Quins nombres són sabent que l’un és el triple de l’altre?34) Dos investigadors tenen 48 ratolins blancs per experimentar. Si el primer li’n dóna dos al segon,aquest en tindrà el doble que el primer. Quants ratolins tenen cada un?
  29. 29. 35) Un canaricultor ven els canaris mascles a 15 € cada un i les femelles a 6 €, comptabilitzant unavenda total de 570 €. Si les femelles excedeixen en 5 el doble dels mascles, quants nhi ha de cadasexe?36) El doble de ledat de lAlfred més la del seu germà Eudald sumen els 44 anys del seu pare.Daquí a dos anys ledat de lAlfred serà el doble que la de lEudald. Quant anys tenen ara37) En una granja hi ha porcs i gallines, que sumen en total 4280 potes. Si disminuïm en 70 elnombre de porcs, el nombre de gallines en serà el triple. Quants porcs i gallines hi ha?38) Ledat dun pare més el doble de la del seu fill sumen avui 120 anys i fan cinc anys ledat delpare era el triple de la del fill. Quants anys té cada un?39) Per 7 m de cinta i 5 m de tela hem pagat 36,25 €. Si se sap que el metre de tela val 4,25 € mésque el metre de cinta, esbrina el preu de cada cosa40) En un taller hi ha vehicles de 4 i 6 rodes. Si disminuís en dos el nombre de vehicles de 6 rodes,nhi hauria el doble dels de 4 rodes. Quants vehicles hi ha de cada classe, si en total escomptabilitzen 156 rodes?41) Troba dos nombres la suma dels quals sigui 40 i que es troben a raó 2 és a 342) Resol per substitució (a), per igualació (b) i per reducció (c): x − 3y = 4  4 x − 5 y = 11  3x + y = 3a)  b)  c)  2 x − 5 y = 8 2 x + 7 y = − 4 6x − y = 043) Entre la Maria i la Joana tenen 27 anys. Si la Maria té 3 anys més que la Joana, quants anystenen cadascuna?44) El pare del Miquel té 31 anys més que ell, i daquí a 8 anys, el pare tindrà doble edat del fill.Quina és ara ledat dels dos?45) Tenim dos nombres i sabem que el gran excedeix en 7 unitats al petit. Si sumem el triple delgran i el doble del petit ens dóna 51. Quins nombres són?
  30. 30. UNITAT 5: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA Raó i proporció aUna raó entre dos nombres, a i b, és el quocient b a cUna proporció és la igualtat entre dues raons. Si = ---> a, b, c, d formen una proporció b d a cEn aquesta proporció, = , a i d són els extrems, i b i c són els mitjans. b dExemple: Si amb 5 kg de pintura pintem 4 m2 de paret, en podríem pintar 6 m2 amb7,5 kg?Per poder-ho fer, les raons entre els quilos de pintura i els metres quadrats de paret han deformar una proporció. 5kg 7,5kg 5 7,5 2 = 2 → = = 1,25 ----> Això sanomena constant de proporcionalitat 4 6 4m 6mEn una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. En aquest cas: 5 · 6 = 4 · 7,5 = 30 Activitats1) Escriu les raons corresponents a les situacions següents:a) De les 350 pàgines que té un llibre, nhe llegit 95b) Hem recorregut 260 km dun trajecte de 600 kmc) La Sílvia té 28 cromos duna col·lecció de 72d) De les 32 dents que tenim, a la criatura nhi han sortit 4 52) Escriu dos nombres que tinguin de raó i que no siguin 5 i 6 63) Calcula el terme que falta seguint lexemple: 4 7 12·7Exemple: = → 4· x = 12·7 → x = = 21 12 x 4 8 12 8 x 4 32a) = b) = c) = 5 x 12 6 x 16 x 18 x 4 4 xd) = e) = f) = 15 5 25 5 8 16
  31. 31. Magnituds directament proporcionalsDues magnituds són directament proporcionals si, quan multipliquem o (dividim) una per unnombre, laltra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre.Exemple: En una pastisseria venen rosquilles a 8 €/kg. Elabora una taula en la qual esrelacioni el preu de les rosquilles amb el pes Pes (kg) 1 2 3 ... 6 ... Preu (€) 8 16 24 … 48 ...1 2 3 6 = = = = 0 ,125 Per tant, les magnituds Pes – preu són directament proporcionals8 16 24 24 Activitat4) Completa la taula perquè correspongui als valors dues magnituds directament proporcionals. 1 2 4 6 10 30 50 70 Problemes de proporcionalitat directaExemple: Per fer 3 marcs iguals, la Lluïsa fa servir 2,79 m de llistó. Quants metres dellistó necessitarà per fer 4 marcs? Nre de marcs Metres de llistó Per a 3 marcs necessitem 2,79 m de llistó Per a 4 marcs necessitarem x m de llistó 3 2,79 2,79·4Formem una proporció: = → 3·x = 2,79·4 → x = = 3,72 m 4 x 3 Activitats5) Una màquina produeix 800 caragols en 5 hores. Quant tardarà la màquina a fabricar 1.000caragols?6) Tradueixo un llibre al preu de 6 € per pàgina. Si mhan pagat 2.532 €, quantes pàgines he traduït?7) Una família beu 2,5 litres de llet diaris. Quants litres consumeix en una setmana?8) Si per portar 15 barres de pa necessito 3 cistelles, amb una cistella tinc per a .......
  32. 32. Magnituds inversament proporcionalsDues magnituds són inversament proporcionals si quan multipliquem una per un nombre, laltra quedadividida pel mateix nombre.Exemple: Un pintor tarda 48 dies en pintar una casa. Elabora una taula que relacioni el nombrede pintors amb els dies i estudia si aquestes magnituds són inversament proporcionals.. Nombre de pintors 1 2 3 ... 6 ... Dies 48 24 16 ... 8 ...Si et fixes, es compleix que: 1 · 48 = 2 · 24 = 3 · 16 = 6 · 8 = 48Les magnituds Nombre de dies – Dies són inversament proporcionals Activitats9) Completa la taula de valors inversament proporcionals següents:Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 24 8 610) Divuit obrers duen a terme una feina en 30 dies. Completa els valors de la taula: Obrers 3 9 18 36 72 Dies 3011) Són inversament proporcionals:a) Velocitat i temps utilitzatb) Edat i estatura duna personac) Consum delectricitat i hores de llum solar Problemes de proporcionalitat inversaExemple: Un tren, a una velocitat de 90 km/h tarda dos hores per fer un trajecte. Quanttemps tardarà si va a 60 km/h?Aquestes magnituds són inversament proporcionals, ja que com més velocitat portarà el tren, menystemps li costarà fer el trajecte. Anem a fer un esquema del problema: Velocitat Temps Si a 90 km/h tarda 2 hores a 60 km/h tardarà x horesCom les magnituds són inversament proporcionals, per plantejar la proporció prenem la inversa de lasegona fracció: 90 x 90·2 = → 60· x = 90·2 → x = = 3 hores 60 2 60
  33. 33. Activitats12) Una aixeta aboca 18 litres per minut tarda 28 hores per omplir un dipòsit. Si el seu cabal fos de42 L/min, esbrina el temps que tardaria per omplir-lo.13) Un cotxe tarda 8 hores per recórrer un trajecte a 120 km/h. Quant tardaria a 90 km/h?14) Un ramader té bales de palla per alimentar 20 vaques durant 60 dies. Si compra 10 vaques més,per a quants dies tindrà aliment? Càlcul del tant per centExemple: Calcula el 30% de 600 30 30·60030% de 600 = · 600 = = 60 ---> el 30% de 600 és 180 100 10015) Calcula:a) 7% de 420 = b) 15% de 4000 = c) 90% de 1900 = d) 65% de 40=16) Troba el valor de la x si saps que:a) 30% de x = 20 b) 4,5% de x =152 c) 25% x =289 d) 67% de x =725 Problemes amb percentatges: Càlcul de la part, coneguts el percentatge i el totalExemple: El 40% dels 355 alumnes dun institut són nois. Quants nois hi ha?Els problemes de percentatge els podem resoldre mitjançant una proporcionalitat directa: Alumnes Nois Si de 100 alumnes són nois 40 nois de 355 alumnes seran nois x nois 100 40 355·40Formem una proporció: = → 100· x = 355·40 → x = = 142 nois 355 x 100 Activitats17) Un equip ha perdut el 25% dels 32 partits que ha jugat aquesta temporada. Quants partits haguanyat?18) La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte del 12%. A quina quantitatequival el descompte?19) De les 4.075 persones mortes durant lany passat en accident de trànsit, el 52% eren jovesmenors de 35 anys. Quantes persones menors de 35 anys van morir lany passat en accidents detrànsit?20) LEsteve paga dimpostos el 22% del seu sou. Si aquest any els seus ingressos són de 25.500 €,quant haurà de pagar dimpostos? Quina quantitat neta ha cobrat?
  34. 34. 21) A la carta dun restaurant els preus no inclouen el 8% dIVA. Un client ha menjat una amanidaque costa 3,15 €, un llenguado de 6,25 € i postres de 4,75 €. Quant pagarà en total?22) La Carme gasta el 26% del seu sou per menjar i el 35% per pagar lloguer. Si guanya 1.500 € almes, quant es gasta en cada concepte? Càlcul del percentatge, coneguts el total i la partExemple: La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte de 1.920 €. Quinpercentatge li descompten? Preu del cotxe Descompte Si de 16.000 € li descompten 1.920 € de 100 € li descomptaran x € 16000 1920 1920·100Formem la proporció: = → 16000· x = 1920·100 → x = = 12 % 100 x 16000El descompte aplicat és del 12%23) He comprat a les rebaixes unes esportives per 45 € que abans marcaven 50 €. Quin descomptemhan fet? Càlcul del total coneguts el percentatge i la partExemple: La Joana compra un cotxe. Si li fan el 12% de descompte, que equival a 1.920 €, quinés el preu del cotxe? Preu del cotxe Descompte Si de 100 € li descompten 12 € de x € li descomptaran 1.920 € 100 12 1920·100Formem la proporció: = → 12· x = 1920·100 → x = = 16.000 € x 1920 12 Activitats24) Quin era el preu dun ordinador que està rebaixat el 18% si mha costat 900 €?25) Quant val x si el seu 22% és 44?
  35. 35. Augments i disminucions percentualsExemple daugments: El preu de la gasolina sha apujat el 2%. Si costava 0,95 € el litre, quantcosta ara?Com que augmenta el 2%, el que abans valia 100 cèntims deuro ara costa 100 + 2 = 102 cèntims Preu abans Preu augmentat 100 cèntims ------------- 102 cèntims 95 cèntims ------------- x cèntims 100 102 102·95Formem la proporció: = → 100· x = 102·95 → x = = 96,9 cèntims ≈ 97 cèntims costa 95 x 100araExemple de disminucions: Una càmera de vídeo costa 650 €, però el venedor em fa una rebaixadel 20%. Quant he de pagar?Com que disminueix el 20%, el que abans valia 100 € ara costa 100 – 20 = 80 € Preu abans Preu rebaixat 100 € -------------- 80 € 650 € ------------- x €Formem la proporció: 100 = 80 → 100· x = 650·80 → x = 650·80 = 520 € he de pagar 650 x 100 Activitats26) La paga mensual de la Sara és de 50 €. Si els seus pares li han apujat el 10%, quant li donaran apartir dara?27) A en Joan li han posat una multa per excés de velocitat de 150 €. Després del període voluntaride pagament, ara shi afegeix el 20 % de recàrrec. Quant haurà de pagar ara?28) Un fabricant de calçat ven les sabates al 120 % del preu que li costa fabricar-los. Si el cost defabricació dunes sabates és de 14 €, per quant les vendrà?29) La Seguretat Social paga el 60% del preu dalguns medicaments. Si he comprat un medicamentque té un preu de venda al públic de 19 €, quant he pagat? Activitats de repàs 3 18 b c30) Calcula el valor de a, b, c en aquestes proporcions: = = = 5 a 25 12 3 + x 1531) Calcula quant val x en la proporció: = 5 + 20 75
  36. 36. a 16 832) Calcula a i b si saps que = i que és la constant de proporcionalitat 45 b 9 7 2833) Calcula a i b si saps que a + b = 15 i que = a b34) Troba dos nombres que tinguin 2,25 de raó i que sumin 6535) Completa aquestes taules:a) Temps de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min Pàgines llegides 2b) Temps de fabricació 18 min 36 min 54 min 72 min Nre. dobjectes fabricats 436) Completa aquestes taules sabent que A i B representen magnituds inversament proporcionals: A 6 5 30 B 90 54 A 24 12 36 B 6 1837) En una fàbrica de cotxes es fan 300 unitats cada 5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12hores si es manté el mateix ritme?38) Un pintor cobra 425 € per 5 dies de feina. Quant cobrarà per 7 dies?39) Quatre tractors llauren un camp en 6 hores. Calcula el temps que tardarien 6 tractors per llaurar-lo.40) Vuit persones recullen les taronges dun bancal en 9 hores. Quant tardarien a fer-ho 6 persones?41) En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68% són dones. Esbrina el nombre dhomes del poble.42) En una classe de 30 alumnes, nhan faltat 6. Quin ha estat el percentatge dabsències?43) De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada elfutbol?44) Duna font hem recollit 200 litres daigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts?
  37. 37. 45) Tres cavalls consumeixen una càrrega farratge en 10 dies. Quant els duraria la mateixa càrregasi hi hagués 5 cavalls?46) Quatre excavadores han obert les voreres dun carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies, quantesexcavadores caldrien?47) El 18% duna collita denciam són 10.800 kg. Quants quilograms té la collita sencera?48) Un vestit costa 280 €. Si napugen el preu el 12%, quant costarà?49) Les reserves daigua dun pantà eren de 350 hm 3. Si han augmentat el 12%, quines són lesreserves actuals?50) En un rellotge antic, un engranatge té dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la rodagran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita.51) Per fer dues camises calen 4,5 m de roba. Quanta roba cal per fer 3 camises?52) Amb la mateixa proporció que en lactivitat anterior, quanta roba caldrà per fer 7 camises?53) Amb la mateixa proporció que les activitats anteriors, quantes camises es poden fer amb 15metres de roba?54) Quatre persones realitzen un treball en dues hores i quart. Quant tardaran a fer aquest mateixtreball 3 persones?55) En una població de 8.000 habitants, el 52% són dones. Quin n’és el percentatge d’homes?Quants homes hi ha?56) El 8% de les ovelles d’un ramat són negres. Quantes ovelles hi ha en total si les negres són 22?57) Una samarreta costa 30 €. Quant pagarem si ens fan una rebaixa del 15%?58) Per fer una paella necessitem 2 gots daigua per cada got darròs. Si hi tirem 4 gots i mig daigua,quants gots darròs hi haurem dafegir?59) LAlícia i lAntoni reparteixen propaganda. Els 5 paquets de lAlícia pesen 6 kg. Quant pesen els7 paquets de lAntoni? (Els paquets pesen tots igual)60) La propietària duna pensió té menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vénen 6hostes nous, per a quants dies tindran menjar?61) La Maria escriu dues pàgines en mitja hora. Quantes pàgines escriurà en 3 hores? Quant tempstardarà en escriure 84 pàgines?62) Dels 1.200 alumnes dun institut, el 25% practiquen atletisme; el 15%, bàsquet; el 40% futbol, ila resta no practiquen cap esport. Calcula el nombre dalumnes que practiquen cada esport i elsalumnes que no en practiquen cap.63) Tres excursionistes senduen aliments per a una estada a la muntanya. Quant arriben al refugidescobreixen que tenen el 15% més de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quanten tenien al principi
  38. 38. 64) Dues rodes dentades engranen mútuament. La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primeraha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona?65) Les rodes del darrere dun vehicle fan 1,3 metres de diàmetre, i les del davant, 1 metre. Si lesdel darrere han fet 260 voltes, quantes nhan fet les del davant?66) Una aixeta aboca un cabal de 25 L/min i omple un dipòsit daigua en una hora i 20 minuts.Quant tardarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixeta amb un cabal de 20 L/min?67) En una banyera laigua arriba a 12 cm daltura amb una aixeta que treu 180 ml/s daigua en 12minuts. Si laixeta tragués 90 ml/s, a quina altura arribaria laigua en el mateix temps?68) Una piscina té dos desguassos. El primer tarda 8 hores per buidar la piscina. Quan obre el segondesguàs, la piscina tarda 6 hores per buidar-se. Quant de temps tardaria en buidar-se la piscina ambels dos desguassos alhora?69) Dos desguassos iguals buiden una bassa daigua en 4 hores i quart. Quant tardaria amb tresdesguassos iguals als anteriors?70) Un establiment venia el cafè a 5 €/kg. Si ara el ven a 4,75€/kg, calcula el percentatge dedescompte que sha aplicat.71) Volem fer la fotocòpia duna làmina de la qual reduirem laltura de 12,5 cm a 6 cm. Quinpercentatge de reducció hi aplicarem?72) Una aixeta oberta durant 5 minuts fa que el nivell d’un dipòsit pugi 20 cm. Quant pujarà elnivell si obrim l’aixeta durant 7 minuts?73) Tres quilos de taronges costen 3,60 €. Quant en costen 5 kg?74) Un cotxe ha recorregut 12 km en els últims 9 minuts. Si continua a la mateixa velocitat, quantsquilòmetres recorrerà en els pròxims 30 minuts?75) L’altre dia vaig pagar 3,45 € per 300 grams de formatge. Quant pagaré per un tros del mateixformatge que pesa 280 grams?76) En una població de 2.000 habitants, el 40% viu de l’agricultura i el 30% viuen de la ramaderia.Quants en viuen de l’agricultura i quants de la ramaderia?77) Un hotel disposa de 400 llits, dels quals 280 estan ocupats. Quin és el percentatge d’ocupació del’hotel?78) Els 12 nois d’una classe representen el 40% del total. Quantes noies hi ha a la classe?79) El preu d’una bicicleta que costava 400 € l’any passat. Ha pujat un 20%. Quin és el preuactual?80) Una cadena musical costava 800 €, però m’hi han fet una rebaixa del 15%. Quant he de pagarper la cadena?81) En una classe de 30 alumnes, el 60% són nois i la resta són noies. Quants nois i quantes noies hiha a la classe?
  39. 39. 82) Els habitants d’una ciutat determinada es distribueixen en: 880.000 europeus, 60.000 africans,50.000 americans i 10.000 asiàtics. Quin percentatge representa cada grup, respecte del total?83) Actualment els meus pares em donen 15 € mensuals de paga, però els he convençut perquè mela pugin el 15%. Quina serà la meva paga a partir d’ara?84) Una CD de música costa 11,35 €. Quant pagaré si m’han fet una rebaixa del 40%?85) En una granja el 15% dels animals són vaques. Si sabem que hi ha 30 vaques, quin és el nombretotal d’animals?86) Un jersei rebaixat en un 20%, m’ha costat 40 €. Quant costava abans de la rebaixa?87) Quatre aixetes omplen una bassa en 6 hores. Quant tardaran a omplir-la tres aixetes iguals a lesanteriors?
  40. 40. UNITAT 6: PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA Recta, semirecta i segmentUna recta és una línia contínua formada per infinits punts que no té ni principi ni finalUna semirecta és una recta que té principi, però no té finalUn segment és el tros o la part de la recta delimitat per dos punts (extrems) Raó de dos segmentsAnomenem raó de dos segments, AB i CD, el nombre que resulta de dividir la longitud del segment AB(que mesura 3 cm) pel segment CD (que mesura 5 cm) AB 3 = = 0,6 CD 5 La raó de AB i CD és 0,6 Segments proporcionalsEls segments AB i CD són proporcionals a EF i GH si la raó de AB i CD és igual a la raó de EF i GH AB EF = = r CD GH La raó de AB i CD és r, i la de EF i GH també Teorema de TalesSi tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues rectes, r i s, els segments que determinen sónproporcionals. A A a B B b C C c r s
  41. 41. A B B C  = AB BC  A B B C A C  → = = ⇒ Aquesta igualtat sanomena teorema de TalesA B A C  AB BC AC =AB AC   Activitats1) Calcula la longitud de OA i BC , sabent que: OA = 3cm ; AB = 2,25cm ; A B = 1,5cm iB C = 5cm C B A O A B C2) Calcula la longitud del segment OC a la figura de lexercici anterior OA3) En la següent figura, sabem que OA = 4,7cm; AB = 5 cm, i la raó = 1,6 . OACalcula: A B , OB i OB B A O A B4) Observa la figura següent i calcula quant fan els segments: AP , PQ i QB .Sabem que AB = 10cm 4cm 3cm 1cm A P Q B
  42. 42. SEMBLANÇA DE TRIANGLES ADos triangles ABC i ABC són semblants si:- Tenen els angles iguals: ˆ ˆ A = A ˆ ˆ B = B ˆ ˆ C = C B C A- Tenen els costats proporcionals: A B B C A C = = AB BC AC B C Triangles en posició de TalesDiem que dos triangles ABC i ADF estan en posició de Tales quan tenen un angle comú, A, i els costatsoposats a aquest angle, FD i BC, són paral·lels. C D A B F Criteris de semblançaEls criteris de semblança de triangles són les condicions mínimes que han de complir els trianglesperquè siguin semblantsPRIMER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals A B B C A C = = AB BC ACSEGON CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals ˆ ˆ A = A ˆ ˆ B = BTERCER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats que el formen sónproporcionals ˆ ˆ A = A A B B C = AB BC

×