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# Inverse Perspective Projection of Convex Quadrilaterals

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Presenter: Joo-Haeng Lee
Affiliation: ETRI
Venue: ACDDE 2011 (Asian Conference on Design and Digital Engineering)
- VR and Multimedia Workshop
- Session VRM-2 Paper ID 116

Comment:
- The talk was given at ACDDE 2011.
- The full paper was published in ETRI Journal: Joo-Haeng Lee "an analytic solution to projector pose estimation problem, " 34(6), 2012.
- The dual problem for the camera was solved and presented in ICPR 2012: Joo-Haeng Lee, "Camera calibration from a single image based on coupled line cameras and rectangle constraint."

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### Inverse Perspective Projection of Convex Quadrilaterals

1. 1. Inverse Perspective Projection of Convex Quadrilaterals Joo-Haeng Lee ETRI KOREA ACDDE 2011 VR and Multimedia Workshop Session VRM-2 Paper ID11611년 8월 28일 일요일 1
2. 2. Quiz #1 Assume that you have a hand-held projector which can accept an rectangular source image of arbitrary aspect ratio. Which of the following convex quadrilaterals is projectable from this projector? 2 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 2
3. 3. Quiz #1 Assume that you have a hand-held projector which can accept an rectangular source image of arbitrary aspect ratio. Which of the following convex quadrilaterals is projectable from this projector? (a) Rhombus (b) Parallelogram Isosceles (c) Trapezoid___ (d) Trapezoid 2 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 2
4. 4. Quiz #2 (a) (b) (c) (d) 3 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 3
5. 5. Outline • Motivation - Investigation of a geometric projection property as a theoretic aspect of RSAR (Robotic Spatial AR) • Main Contribution - (1) Analytic solution to the inverse perspective projection of a convex quadrilateral - (2) Geometric interpretation • Experimental Results + Answer to the Quiz #2 • Discussion 4 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 4
6. 6. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
7. 7. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality • SAR - Spatial Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
8. 8. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality • SAR - Spatial Augmented Reality • RSAR - Robotic Spatial Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
9. 9. Examples of AR • World Lens 6 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 6
10. 10. Examples of SAR • SixthSense (2009, MIT) 7 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 7
11. 11. Examples of RSAR • LuminAR (2010; MIT) 8 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 8
12. 12. FRC: RSAR System in ETRI 9 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 9
13. 13. FRC: Kinematic Features • 5 Motors: (tilt + pan) x 2 + (center pan) - Redundancy in Pan Rotation ! 10 ! Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 10
14. 14. FRC: Micro Projectors • Microvision SHOWWX - Laser-based - No need to control focus - 10~15 lumen • Optoma PK-301 - DLP - Manual focusing required - 20~50 lumen 11 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 11
15. 15. FRC: Applications ! ! ! ! 12 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 12
16. 16. Control Issues in RSAR • Kinematic Control - Inverse Kinematics, Redundancy in DOF • Inverse Projection - Approximation vs. Analytic Solution - Image Pre-Warping • High-Order Control - Constraints Handling; Collaborative RSAR 13 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 13
17. 17. Inverse Projection • End Effector (= Goal) - position, area, shape, intensity, precision, ... • Parameters - Internal - External: Pose Estimation • High-order Control - Soft and Hard Collision Avoidance - Image Pre-Warping 14 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 14
18. 18. Position Control • End Effector: a projected mid-point 15 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 15
19. 19. Area Control • End Effector: a portion of area 16 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 16
20. 20. Shape Control • End Effector: a certain shape of convex quadrilateral at a certain position 17 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 17
21. 21. Problem Deﬁnition • Geometric Projectability of a Convex Quad - Given an arbitrary convex quadrilateral, ﬁnd external and internal parameters of a projector to project this quad from an imaginary rectangle of an unknown aspect ratio. - Which type of named convex quadrilateral can be projected from a rectangle? - Why a certain quad is not projectable? - How to modify a such quadrilateral to be projectable? 18 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 18
22. 22. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
23. 23. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
24. 24. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefﬁcients from inverse line projection for each diagonal. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
25. 25. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefﬁcients from inverse line projection for each diagonal. 3. Check if these coefﬁcients satisfy the basic conditions to solve the solution equations. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
26. 26. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefﬁcients from inverse line projection for each diagonal. 3. Check if these coefﬁcients satisfy the basic conditions to solve the solution equations. 4. Solve the analytic equations to get the projector parameters 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
27. 27. Solution Outline: Geometric Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad 2. Find two solution spheres from inverse line projection for each diagonal 3. Find an intersection circle of above two spheres 4. Find a point as center-of-projection where two line projections have the same ﬁeld-of-view 20 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 20
28. 28. Line: Conﬁguration p y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
29. 29. Line: Conﬁguration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p p y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
30. 30. Line: Conﬁguration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - ﬁled-of-view: ψ y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
31. 31. Line: Conﬁguration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - ﬁled-of-view: ψ y y • Imaginary Source Line ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
32. 32. Line: Conﬁguration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - ﬁled-of-view: ψ y y • Imaginary Source Line ms • Projected Line Image s2 d s0 - Projected mid-point: m q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
33. 33. Line: Inverse Projection • Input - A projected line with a projected mid-point • Output - Ext param: p = (d ,θ ) p • center-of-projection: y y - Int param: ms • ﬁled-of-view: ψ s2 d s0 q v2 v0 l2 m l0 22 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 22
34. 34. Line: Analytic Solution • Ext Param: l2 − l0 cosθ = d = dα 2 l 0l 2 • Int Param: p l2 − l0 tanψ = tanθ y y l0 + l2 ms 1 s2 s0 = tanθ d β q • Coefﬁcients: α  and β v2 l2 m l0 v0 23 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 23
35. 35. Line: Coefﬁcients • Coefﬁcients deﬁned by the given conﬁguration: l2 − l0 α= 2l 0 l 2 p l0 + l2 y y β=   l 2 − l 0 ms s2 s0 d l0 + l2 γ = αβ = 2l 0 l 2 q v2 v0 l2 m l0 24 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 24
36. 36. Line: Geometric Meaning • Observation in 2D 1 pc #d ,θ & = d #cosθ ,sinθ & = cosθ #cosθ ,sinθ & α vv2 2 l22 l m 0 v m ll0 v00 c 25 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 25
37. 37. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 2D v2 l2 m l0 v0 c 26 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 26
38. 38. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 2D 1 ⎛ 1 ⎞ A circle of radius with the center at ⎜ ,0⎟ 2α ⎝ 2α ⎠ v2 l2 m l0 v0 c 26 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 26
39. 39. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 3D 1 l2 A sphere S of radius with the center at #v 0 − m & 2α l2 − l0 27 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 27
40. 40. Quad: Conﬁguration pc Qs ms v2 v3 v1 m v0 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
41. 41. Quad: Conﬁguration • Ext Params - center of projection • Int Params pc Qs - ﬁled-of-view v2 ms • Source Quad - v3 v1 rectangle (cf) aspect ratio m • Projected Quad - convex quadrilateral v0 • Length-related coefﬁcients: 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
42. 42. Quad: Conﬁguration • Ext Params - center of projection • Int Params pc Qs - ﬁled-of-view v2 ms • Source Quad - v3 v1 rectangle (cf) aspect ratio m • Projected Quad - convex quadrilateral v0 • Length-related coefﬁcients: α , β  and γ  for each diagonal i i i 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
43. 43. Quad: Diagonal Parameterization • Transformation of a quad to a canonical form which is deﬁned with simple shape parameters related to diagonals:  (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) 29 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 29
44. 44. Quad: Conﬁguration • 1st diagonal - Ext Params • cop: p0 = (d0 ,θ 0 ) y0 pc - Int Params v2 y0 • ﬁled-of-view: ψ0 - Source v3 m q0 v1 • a line segment - Projected Line • the 1st diagonal v0 - Coefﬁcient: α 0  and β 0 30 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 30
45. 45. Quad: Conﬁguration • 2nd diagonal - Ext Params • cop: p1 = (d1 ,θ1 ) y1 pc - Int Params v2 y1 • ﬁled-of-view: ψ1 - q1 Source v3 m v1 • a line segment - Projected Line • the 2nd diagonal v0 - Coefﬁcient: α1  and β1 31 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 31
46. 46. Quad: Inverse Projection pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
47. 47. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
48. 48. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output Qs y1 y0 pc ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
49. 49. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
50. 50. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • ﬁled-of-view (fov) v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
51. 51. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • ﬁled-of-view (fov) • Constraints v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
52. 52. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • ﬁled-of-view (fov) • Constraints - v0 same cop: d0 = d1 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
53. 53. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • ﬁled-of-view (fov) • Constraints - v0 same cop: d0 = d1 - same fov: ψ 0 = ψ 1 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
54. 54. Quad: Analytic Solution pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
55. 55. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
56. 56. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc • Constraint 2: fov Qs ms y0y1 v2 tanθ 0 tanθ1 q1 tanψ 0 = = = tanψ 1 v3 m v1 β0 β1 q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
57. 57. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc • Constraint 2: fov Qs ms y0y1 v2 tanθ 0 tanθ1 q1 tanψ 0 = = = tanψ 1 v3 m v1 β0 β1 q0 • 2 Eqs and 2 Unknowns v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
58. 58. Quad: Analytic Solution Equation • Constraint 1: cop C 2 −1 cosθ 0 cosθ1 cosθ 0 = ± d0 = = = d1 A B 2 −1 α0 α1 α1 A= • Constraint 2: fov α0 tanθ 0 tanθ1 β1 tanψ 0 = = = tanψ 1 B= β0 β1 β0 • 2 Eqs and 2 Unknowns C= γ1 γ0 - Existence of solution? Coefﬁcients - Geometric meaning? 34 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 34
59. 59. Quad: Analytic Solution Equation Coefﬁcient C 2 −1 Conditions cosθ 0 = ± A ≥ 1,  B ≤ 1, C ≤ 1 2 2 2 A B 2 −1 OR α1 A= A 2 ≤ 1,  B 2 ≥ 1, C 2 ≥ 1 α0 β1 B= β0 γ1 C= γ0 Coefﬁcients 35 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 35
60. 60. Quad: Geometric Meaning Steps 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad 2. Find two solution spheres from inverse line projection for each diagonal 3. Find an intersection circle of above two spheres 4. Find a point as center-of-projection where two line projections have the same ﬁeld-of-view 36 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 36
61. 61. Quad: Geometric Meaning Step 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad pc pc y0 y1 y0 y1 v2 v2 q1 v3 v1 v3 v1 m q0 m v0 v0 37 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 37
62. 62. Quad: Geometric Meaning Step 2. Find two solution spheres for each diagonal S0 pc pc v2 v2 v3 v1 S1 v3 v1 m m v0 v0 38 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 38
63. 63. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop pc constraint v2 v3 v1 S1 m v0 39 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 39
64. 64. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop constraint pc v2 v3 v1 S1 m v0 39 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 39
65. 65. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop constraint pc v2 v3 v1 S1 m v0 40 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 40
66. 66. Quad: Geometric Meaning Step 4. Find a center-of-projection where two line projections have the same ﬁeld-of-view: f and y yi fov constraint 1.4 pc 1.2 v2 1.0 pc Hf,yL v3 v1 m 0.8 v0 0.6 pc 0.4 v2 v3 m v1 0.2 v0 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 41 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 41
67. 67. Quad: Geometric Meaning Step 4. Find a center-of-projection where two line projections have the same ﬁeld-of-view: ψ 0 = ψ 1 f and y yi fov constraint 1.4 pc 1.2 v2 1.0 pc Hf,yL v3 m v1 0.8 0.6 v0 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 42 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 42
68. 68. Quad: Geometric Meaning Different ﬁeld-of-views: ψ 0 ≠ ψ 1 f and y yi 1.4 fov constraint pc 1.2 is not satisﬁed! v2 1.0 v3 v1 0.8 m 0.6 pc Hf,yL v0 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 43 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 43
69. 69. Type of Quads 44 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 44
70. 70. Diag Param Types Projectability Remarks   d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) ( square (1, π / 2, 0.5, 0.5) always rectangle (1,  ρ, 0.5, 0.5) always rhombus  (d 2 , π / 2, 0.5, 0.5) never no int. param parallelogram  (d 2 ,  ρ, 0.5, 0.5) never no int. param kite  (d 2 , π / 2, t 1 , 0.5) conditionally remark 1 iso. trapezoid  (1, π / 2, t 1 , t 1 ) always trapezoid  (d 2 , π / 2, t 1 , t 1 ) never no ext. param quad  (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) conditionally remark 211년 8월 28일 일요일 45
71. 71. Kite pc v2 yi f and y v3 m v1 1.4 1.2 v0 1.0 0.8 pc Hf,yL 0.6 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 46 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 46
72. 72. Kite f and y yi 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 47 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 47
73. 73. Isosceles Trapezoid pc f and y yi v2 1.4 1.2 v3 m 1.0 v1 0.8 0.6 0.4 v0 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 48 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 48
74. 74. General Quad pc f and y yi v2 v1 1.4 1.2 m 1.0 pc Hf,yL 0.8 v0 0.6 v3 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 49 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 49
75. 75. Quiz #2 (a) (b) (c) (d) 50 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 50
76. 76. Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) 51 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 51
77. 77. Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) Solution Coefﬁcients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 521, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 52
78. 78. A 2 ≥ 1,  B 2 ≤ 1, C 2 ≤ 1 OR Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) A ≤ 1,  B ≥ 1, C ≥ 1 2 2 2 Solution Coefﬁcients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 531, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 53
79. 79. A 2 ≥ 1,  B 2 ≤ 1, C 2 ≤ 1 OR Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) A ≤ 1,  B ≥ 1, C ≥ 1 2 2 2 Solution Coefﬁcients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) Projectable (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 541, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 54
80. 80. Summary • Geometric Projectability of a Convex Quad - Given an arbitrary convex quadrilateral, we can ﬁnd projector parameters analytically with a geometric interpretation. • Future Works - How to modify an un-projectable quad to be projectable? Note that a projectable bounding quad is important in RSAR application - Can it be applied to a triangle or other polygons? - Comparison with PnP (perspective-n-point) problem in computer vision 55 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 55
81. 81. Q &A Contact: Joo-Haneg Lee joohaeng at gmail dot com 56 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 56
82. 82. Thank You!11년 8월 28일 일요일 57