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Inverse Perspective Projection of Convex Quadrilaterals

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Presenter: Joo-Haeng Lee …

Presenter: Joo-Haeng Lee
Affiliation: ETRI
Venue: ACDDE 2011 (Asian Conference on Design and Digital Engineering)
- VR and Multimedia Workshop
- Session VRM-2 Paper ID 116

Comment:
- The talk was given at ACDDE 2011.
- The full paper was published in ETRI Journal: Joo-Haeng Lee "an analytic solution to projector pose estimation problem, " 34(6), 2012.
- Paper link: http://etrij.etri.re.kr/Cyber/BrowseAbstract.jsp?vol=34&num=6&pg=978
- The dual problem for the camera was solved and presented in ICPR 2012: Joo-Haeng Lee, "Camera calibration from a single image based on coupled line cameras and rectangle constraint."

Published in: Technology

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  • 1. Inverse Perspective Projection of Convex Quadrilaterals Joo-Haeng Lee ETRI KOREA ACDDE 2011 VR and Multimedia Workshop Session VRM-2 Paper ID11611년 8월 28일 일요일 1
  • 2. Quiz #1 Assume that you have a hand-held projector which can accept an rectangular source image of arbitrary aspect ratio. Which of the following convex quadrilaterals is projectable from this projector? 2 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 2
  • 3. Quiz #1 Assume that you have a hand-held projector which can accept an rectangular source image of arbitrary aspect ratio. Which of the following convex quadrilaterals is projectable from this projector? (a) Rhombus (b) Parallelogram Isosceles (c) Trapezoid___ (d) Trapezoid 2 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 2
  • 4. Quiz #2 (a) (b) (c) (d) 3 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 3
  • 5. Outline • Motivation - Investigation of a geometric projection property as a theoretic aspect of RSAR (Robotic Spatial AR) • Main Contribution - (1) Analytic solution to the inverse perspective projection of a convex quadrilateral - (2) Geometric interpretation • Experimental Results + Answer to the Quiz #2 • Discussion 4 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 4
  • 6. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
  • 7. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality • SAR - Spatial Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
  • 8. AR, SAR & RSAR • AR - Augmented Reality • SAR - Spatial Augmented Reality • RSAR - Robotic Spatial Augmented Reality 5 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 5
  • 9. Examples of AR • World Lens 6 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 6
  • 10. Examples of SAR • SixthSense (2009, MIT) 7 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 7
  • 11. Examples of RSAR • LuminAR (2010; MIT) 8 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 8
  • 12. FRC: RSAR System in ETRI 9 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 9
  • 13. FRC: Kinematic Features • 5 Motors: (tilt + pan) x 2 + (center pan) - Redundancy in Pan Rotation ! 10 ! Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 10
  • 14. FRC: Micro Projectors • Microvision SHOWWX - Laser-based - No need to control focus - 10~15 lumen • Optoma PK-301 - DLP - Manual focusing required - 20~50 lumen 11 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 11
  • 15. FRC: Applications ! ! ! ! 12 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 12
  • 16. Control Issues in RSAR • Kinematic Control - Inverse Kinematics, Redundancy in DOF • Inverse Projection - Approximation vs. Analytic Solution - Image Pre-Warping • High-Order Control - Constraints Handling; Collaborative RSAR 13 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 13
  • 17. Inverse Projection • End Effector (= Goal) - position, area, shape, intensity, precision, ... • Parameters - Internal - External: Pose Estimation • High-order Control - Soft and Hard Collision Avoidance - Image Pre-Warping 14 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 14
  • 18. Position Control • End Effector: a projected mid-point 15 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 15
  • 19. Area Control • End Effector: a portion of area 16 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 16
  • 20. Shape Control • End Effector: a certain shape of convex quadrilateral at a certain position 17 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 17
  • 21. Problem Definition • Geometric Projectability of a Convex Quad - Given an arbitrary convex quadrilateral, find external and internal parameters of a projector to project this quad from an imaginary rectangle of an unknown aspect ratio. - Which type of named convex quadrilateral can be projected from a rectangle? - Why a certain quad is not projectable? - How to modify a such quadrilateral to be projectable? 18 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 18
  • 22. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
  • 23. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
  • 24. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefficients from inverse line projection for each diagonal. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
  • 25. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefficients from inverse line projection for each diagonal. 3. Check if these coefficients satisfy the basic conditions to solve the solution equations. 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
  • 26. Solution Outline: Analytic Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad. 2. Find values of length-related coefficients from inverse line projection for each diagonal. 3. Check if these coefficients satisfy the basic conditions to solve the solution equations. 4. Solve the analytic equations to get the projector parameters 19 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 19
  • 27. Solution Outline: Geometric Inverse Projection of Convex Quadrilateral 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad 2. Find two solution spheres from inverse line projection for each diagonal 3. Find an intersection circle of above two spheres 4. Find a point as center-of-projection where two line projections have the same field-of-view 20 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 20
  • 28. Line: Configuration p y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
  • 29. Line: Configuration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p p y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
  • 30. Line: Configuration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - filed-of-view: ψ y y ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
  • 31. Line: Configuration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - filed-of-view: ψ y y • Imaginary Source Line ms s2 s0 d q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
  • 32. Line: Configuration • External Param: - center-of-projection: p - projection direction: ms − p • Internal Param p - filed-of-view: ψ y y • Imaginary Source Line ms • Projected Line Image s2 d s0 - Projected mid-point: m q v2 v0 l2 m l0 21 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 21
  • 33. Line: Inverse Projection • Input - A projected line with a projected mid-point • Output - Ext param: p = (d ,θ ) p • center-of-projection: y y - Int param: ms • filed-of-view: ψ s2 d s0 q v2 v0 l2 m l0 22 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 22
  • 34. Line: Analytic Solution • Ext Param: l2 − l0 cosθ = d = dα 2 l 0l 2 • Int Param: p l2 − l0 tanψ = tanθ y y l0 + l2 ms 1 s2 s0 = tanθ d β q • Coefficients: α  and β v2 l2 m l0 v0 23 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 23
  • 35. Line: Coefficients • Coefficients defined by the given configuration: l2 − l0 α= 2l 0 l 2 p l0 + l2 y y β=   l 2 − l 0 ms s2 s0 d l0 + l2 γ = αβ = 2l 0 l 2 q v2 v0 l2 m l0 24 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 24
  • 36. Line: Geometric Meaning • Observation in 2D 1 pc #d ,θ & = d #cosθ ,sinθ & = cosθ #cosθ ,sinθ & α vv2 2 l22 l m 0 v m ll0 v00 c 25 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 25
  • 37. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 2D v2 l2 m l0 v0 c 26 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 26
  • 38. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 2D 1 ⎛ 1 ⎞ A circle of radius with the center at ⎜ ,0⎟ 2α ⎝ 2α ⎠ v2 l2 m l0 v0 c 26 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 26
  • 39. Line: Geometric Meaning • Solution Space in 3D 1 l2 A sphere S of radius with the center at #v 0 − m & 2α l2 − l0 27 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 27
  • 40. Quad: Configuration pc Qs ms v2 v3 v1 m v0 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
  • 41. Quad: Configuration • Ext Params - center of projection • Int Params pc Qs - filed-of-view v2 ms • Source Quad - v3 v1 rectangle (cf) aspect ratio m • Projected Quad - convex quadrilateral v0 • Length-related coefficients: 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
  • 42. Quad: Configuration • Ext Params - center of projection • Int Params pc Qs - filed-of-view v2 ms • Source Quad - v3 v1 rectangle (cf) aspect ratio m • Projected Quad - convex quadrilateral v0 • Length-related coefficients: α , β  and γ  for each diagonal i i i 28 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 28
  • 43. Quad: Diagonal Parameterization • Transformation of a quad to a canonical form which is defined with simple shape parameters related to diagonals:  (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) 29 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 29
  • 44. Quad: Configuration • 1st diagonal - Ext Params • cop: p0 = (d0 ,θ 0 ) y0 pc - Int Params v2 y0 • filed-of-view: ψ0 - Source v3 m q0 v1 • a line segment - Projected Line • the 1st diagonal v0 - Coefficient: α 0  and β 0 30 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 30
  • 45. Quad: Configuration • 2nd diagonal - Ext Params • cop: p1 = (d1 ,θ1 ) y1 pc - Int Params v2 y1 • filed-of-view: ψ1 - q1 Source v3 m v1 • a line segment - Projected Line • the 2nd diagonal v0 - Coefficient: α1  and β1 31 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 31
  • 46. Quad: Inverse Projection pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 47. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 48. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output Qs y1 y0 pc ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 49. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) q1 v3 v1 m q0 v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 50. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • filed-of-view (fov) v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 51. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • filed-of-view (fov) • Constraints v0 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 52. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • filed-of-view (fov) • Constraints - v0 same cop: d0 = d1 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 53. Quad: Inverse Projection • Input - a convex quadrilateral • Output y1 y0 pc - Ext param v2 Qs ms y0y1 • center-of-projection (cop) - q1 Int param v3 m v1 q0 • filed-of-view (fov) • Constraints - v0 same cop: d0 = d1 - same fov: ψ 0 = ψ 1 32 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 32
  • 54. Quad: Analytic Solution pc y1 y0 Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
  • 55. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc Qs ms y0y1 v2 q1 v3 v1 m q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
  • 56. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc • Constraint 2: fov Qs ms y0y1 v2 tanθ 0 tanθ1 q1 tanψ 0 = = = tanψ 1 v3 m v1 β0 β1 q0 v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
  • 57. Quad: Analytic Solution • Constraint 1: cop cosθ 0 cosθ1 d0 = = = d1 α0 α1 y1 y0 pc • Constraint 2: fov Qs ms y0y1 v2 tanθ 0 tanθ1 q1 tanψ 0 = = = tanψ 1 v3 m v1 β0 β1 q0 • 2 Eqs and 2 Unknowns v0 33 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 33
  • 58. Quad: Analytic Solution Equation • Constraint 1: cop C 2 −1 cosθ 0 cosθ1 cosθ 0 = ± d0 = = = d1 A B 2 −1 α0 α1 α1 A= • Constraint 2: fov α0 tanθ 0 tanθ1 β1 tanψ 0 = = = tanψ 1 B= β0 β1 β0 • 2 Eqs and 2 Unknowns C= γ1 γ0 - Existence of solution? Coefficients - Geometric meaning? 34 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 34
  • 59. Quad: Analytic Solution Equation Coefficient C 2 −1 Conditions cosθ 0 = ± A ≥ 1,  B ≤ 1, C ≤ 1 2 2 2 A B 2 −1 OR α1 A= A 2 ≤ 1,  B 2 ≥ 1, C 2 ≥ 1 α0 β1 B= β0 γ1 C= γ0 Coefficients 35 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 35
  • 60. Quad: Geometric Meaning Steps 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad 2. Find two solution spheres from inverse line projection for each diagonal 3. Find an intersection circle of above two spheres 4. Find a point as center-of-projection where two line projections have the same field-of-view 36 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 36
  • 61. Quad: Geometric Meaning Step 1. Get a diagonal parameterization of a convex quad pc pc y0 y1 y0 y1 v2 v2 q1 v3 v1 v3 v1 m q0 m v0 v0 37 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 37
  • 62. Quad: Geometric Meaning Step 2. Find two solution spheres for each diagonal S0 pc pc v2 v2 v3 v1 S1 v3 v1 m m v0 v0 38 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 38
  • 63. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop pc constraint v2 v3 v1 S1 m v0 39 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 39
  • 64. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop constraint pc v2 v3 v1 S1 m v0 39 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 39
  • 65. Quad: Geometric Meaning Step 3. Find an intersection of two solution spheres S0 cop constraint pc v2 v3 v1 S1 m v0 40 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 40
  • 66. Quad: Geometric Meaning Step 4. Find a center-of-projection where two line projections have the same field-of-view: f and y yi fov constraint 1.4 pc 1.2 v2 1.0 pc Hf,yL v3 v1 m 0.8 v0 0.6 pc 0.4 v2 v3 m v1 0.2 v0 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 41 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 41
  • 67. Quad: Geometric Meaning Step 4. Find a center-of-projection where two line projections have the same field-of-view: ψ 0 = ψ 1 f and y yi fov constraint 1.4 pc 1.2 v2 1.0 pc Hf,yL v3 m v1 0.8 0.6 v0 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 42 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 42
  • 68. Quad: Geometric Meaning Different field-of-views: ψ 0 ≠ ψ 1 f and y yi 1.4 fov constraint pc 1.2 is not satisfied! v2 1.0 v3 v1 0.8 m 0.6 pc Hf,yL v0 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 43 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 43
  • 69. Type of Quads 44 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 44
  • 70. Diag Param Types Projectability Remarks   d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) ( square (1, π / 2, 0.5, 0.5) always rectangle (1,  ρ, 0.5, 0.5) always rhombus  (d 2 , π / 2, 0.5, 0.5) never no int. param parallelogram  (d 2 ,  ρ, 0.5, 0.5) never no int. param kite  (d 2 , π / 2, t 1 , 0.5) conditionally remark 1 iso. trapezoid  (1, π / 2, t 1 , t 1 ) always trapezoid  (d 2 , π / 2, t 1 , t 1 ) never no ext. param quad  (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) conditionally remark 211년 8월 28일 일요일 45
  • 71. Kite pc v2 yi f and y v3 m v1 1.4 1.2 v0 1.0 0.8 pc Hf,yL 0.6 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 46 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 46
  • 72. Kite f and y yi 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 47 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 47
  • 73. Isosceles Trapezoid pc f and y yi v2 1.4 1.2 v3 m 1.0 v1 0.8 0.6 0.4 v0 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 48 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 48
  • 74. General Quad pc f and y yi v2 v1 1.4 1.2 m 1.0 pc Hf,yL 0.8 v0 0.6 v3 0.4 0.2 f 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 49 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 49
  • 75. Quiz #2 (a) (b) (c) (d) 50 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 50
  • 76. Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) 51 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 51
  • 77. Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) Solution Coefficients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 521, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 52
  • 78. A 2 ≥ 1,  B 2 ≤ 1, C 2 ≤ 1 OR Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) A ≤ 1,  B ≥ 1, C ≥ 1 2 2 2 Solution Coefficients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 531, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 53
  • 79. A 2 ≥ 1,  B 2 ≤ 1, C 2 ≤ 1 OR Quiz #2 Diagonal Parameters: (d 2 , ρ, t 1 , t 2 ) A ≤ 1,  B ≥ 1, C ≥ 1 2 2 2 Solution Coefficients: ! A 2 ,  B 2 , C 2 (a) (b) (1.3, π / 2, 0.75, 0.3) (1.3, π / 2, 0.6, 0.2) (0.3, 1.5, 0.4) (12.0, 0.11, 1.33) (c) (d) Projectable (1.3, 0.7, 0.6, 0.2) (1.3, π / 2, 0.6, 0.3) (12.0, 0.11, 1.33) (3.1, 0.3, 0.8) at etri.re.kr) Joo-Haeng Lee (joohaeng 541, 1.33) 11년 8월 28일 일요일 54
  • 80. Summary • Geometric Projectability of a Convex Quad - Given an arbitrary convex quadrilateral, we can find projector parameters analytically with a geometric interpretation. • Future Works - How to modify an un-projectable quad to be projectable? Note that a projectable bounding quad is important in RSAR application - Can it be applied to a triangle or other polygons? - Comparison with PnP (perspective-n-point) problem in computer vision 55 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 55
  • 81. Q &A Contact: Joo-Haneg Lee joohaeng at gmail dot com 56 Joo-Haeng Lee (joohaeng at etri.re.kr)11년 8월 28일 일요일 56
  • 82. Thank You!11년 8월 28일 일요일 57