Lecciones sobre Derivadas Parciales - I. G. Petrovski [Con OCR]

1,273 views
1,176 views

Published on

Lecciones sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales - I. G. Petrovski [Con OCR]

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,273
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
105
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Lecciones sobre Derivadas Parciales - I. G. Petrovski [Con OCR]

  1. 1. l. G. PETROVSKI '. Lecciones sobre ecuaciones en DERIVADAS PARCIALES .. . .·-(!)"~"' INSTITUTO DEL LIBRO La Habana, 1969 ·,
  2. 2. . .... , . . , ... ' •. ... •.
  3. 3. ÍNDICE Prólogo a la tercera .edición ................ , . . . . . . . . . IX Del prólogo a la primera edición · ..................... . XI ....................... XIII Introducción. Clasificación de las ecuaciones .. 1 § l. Definiciones. Ejemplos ..........•.... : ........ . 1 § 2. Problema de Cauchy. Teorema de Kovalevskaya : . 23 Del prólogo a la segunda, edición CAPÍTULO I. § 3. Generalización del problema de Cauchy. Concepto de éaracterística ....................... •'· ...... . 45 § 4. · Sobre la unicidad de la s.olución del problema de Caúchy en la clase de funciones no analíticas ..... . 60 § 5,. Reducción a lá forma canónica en un punto y clasificaci~1! d~ la,s ..e.cuaciones de segundo orden con .una func1on mcogmta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 § 6. Reducción a la forma canónica, en la vecindad de un punto, de una ecuación en derivadas p,arciales de segundo orden respecto a dos variables independientes 79 § 7. ReduccicSn a la forma canónica de un ~isterna de ~1>ua­ ciones lineales en derivadas parciales de primer orden respecto a dos variables independientes ......... , . . CAPÍTULO 11. Ecuaciones hiperbólicas ... ; ........ : . . . . . 92 107
  4. 4. ÍNDICE SECCION I Pro?l.ema de Cauchy en la clase de funciones no anaht11;as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 - § 8. Planteamiento correcto del problema de Cauchy . . . . 107 , § 9. Concepto de soluciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . 112 § 10. Problema de Cauchy para sistemas hiperbólicos condos variaJ>l.es independientes .. : .............. : . . . · 118 § ·11. Problema de Cauchy para la ecuación de ondas.· Tedrema de la unicidad de la solución .............. ·: 132 § 12. Fórmulas que dan la solución del.problema de Cauchy par4' la, ecuacjón de ondas ............ .". . . . . . . . . . 139 § 13. ·Estudios de las fórmulas que dan la solución del problema d~ ~au.chy .. : .................. : . . . . . . . . . 148 § 14. Transf~rmación de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 § 15. Fl,Uldamento~ ma~emátÍcos de la· teoría especial de la 1'elativicfud .. ·· ............................. : . . . . 168 § 16. Reseña"d.~ lo~ resulfados principales de la teoría:·del problema de Cauchy y algunas ·investigaciones de las ero.aciones· hiperbólicas generales ............. : . . . 173 SECCION IÍ '. ~ Vibraciones de cuerpos finitos· . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 § 17. Int~oducció~ ................... : .....·. . • . . . . . . . . 193 de la solu~ióri del problema míxto.... . . . . 198 § ]8. 1Jni~idad ~ ~ 19. Dependencia continua eritre la solución y las condi, ciones iniciales ........................... : . . . . . 202 . ' § 20. Método de Fourier para la ecuación de fa cuerda . . . 210
  5. 5. ÍNDICE § 21. Método general de ·Fourier ( consideracioi:ies previas) VII 219· § 22. Propiedades generales de las funciones propias y de los valores propios . : '. .... '. .......... ~ ....... : . . 225 § 23. Fundamentación del método de Fourier ..........' . 256 § 24. Aplicación de la· función de Green al prpblei:na sobre· . los· valores propios y a la fondatnentaéión ·del método de Fourier ................. :· ....... , ..... ·. . . • . 274 § 25. Estudio de. las vibraciones de üna membrana .... ~. 291 § 26. Resultádos complemen_tarios sobre l~s funciones propias y la posibilidad de resolver el problema mixto ' para ecuaciones hiperbólicas ............... 1 • • • • • 304 Ecuaciones elípticas ........ : .... : . . . . . . . · 32{ § 27. Introducción .. ·....... ·.... ~..... . . . . . . . .... . . . . . . . 321 § 28. Propíedad <le máximo y mínimo. y sus corolarios . .. . . 324 § 29. Solueión del problema de Diri~let para el ~írculo . . 33.2 CAPÍTULO 1u. § .30. Teoremas sobre. las propi~dades principales de las funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 § 31. Demostración de la existencia de solución del problema de Dirichlet ............. : ...... : ... : . . . . § 32. 356 Problema exterior de Dirichlet 369 § 33. Segundo problema de contorno ................. . 375 § 34. Teoría del potencial ......................... ·. : 381 § 35. Solución de problemas de contorno mediante potenciales ......................................... ·. 405 § 36. Método de redes pa ..a la solución aproximada del problema de Dirichlet ............... : .... '. . . . . . . 430 § 37. Reseña de algunos resultados para ecuaciones elípticas de tipo general ............. ,_. . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
  6. 6. . ' f N DI CE' . . VIII cAPiTULO IV. · Ecuaeiones parabólicas ·457 § ,38, Primer problema (;le contorno. Teorema de. máximo ·· .. yinínimo:· ..................... :·'.·············· 457 __.;,. § 39. Solución del primer problema dé contorno para ·un rectángulo, § 40. :Problema § 41. ~eseña tipo ·ANEXO .po~ el mét()do de Fourier . . . . . . . . . . . . . dé Cauch~ ......... ·: . : ... : .. .. .. . .. . 462 467 <Je, .~studios. ulteriores de .las ecuaciones de parabol~co . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 ............................................ 479 § 42. Resolución 'del primer problema de .contÓrno para la ecuación de la conducción de calor 'por el método .de. redes ·.......................................... . 479 § 43. Observaciones sobre el método de redes 500
  7. 7. ... ..."• .... -.,; ,· 1 ' ' DEL PRÓLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN He dictado estas conferencias varias veces para los estudiantes de matemática de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de MÓscú y las he ampliado algo al preparar Ja edición. Durante el trabajo sobre este libro me han ofrecido una gran ·ayuda K. S. Kuzmin, A. D. Myshkis, Z. Y. Shapiro, B. M. Levitan y M. l. Vishik. K. S. K uzmin me facilitó los apuntes dé mis clases. Especialmente considerable. ha sido la ayuda de 'Z. Y .. Shar piro, quien redactó el manuscrito y escribió totalmente los·§§ 22-25 así cpmo algunas partes de otros epígrafes. Sin esta ayuda, el libro no se hubiera editado aún. A. D. Myshkis y M. l. Vishik han leído todo él manuscrito y han. 'hecha varias observaciones importantes. Además, A: D. Myshkis escribió los -§§ 34; 35 y parte del·§ 4. B. M. Levitan ha escrito el subepígraie 3 del §' 26 . . A todos estoy profundamente agradecido. 9 de abril de 1950. J. PETROVSKI . , .· '
  8. 8. DEL PRÓLOGO A -LA SEGUNDA EDICIÓN Durante la preparación de' esta edición ·ha na/izado un gratt. · trabajo O. A. Oleynik. En particular, ha escrito de nuevo ·los §§ 23, 28, 42, 43, 'algunas parte$ de otros epígrafes, y· también ha añadido nuevos problemas. Estoy muy agradecido a Olgá Arsenevna Oleynik por esta labor. . Agradezco también al' académi<;o V. l. Smirnl'v y a A. D. Myshkis, t>. A. Ladyzhenskaya y L. A. Chudov sus_ valiosas observaciones, 2 de agosto de 1953: I. • PETROVSKI • .. • /.
  9. 9. ' .· PRÓLOGO A L~ TERCERA EDICIÓN ·za En presente edición .se han hecho varias modificaciones y adiciones; las más importantes se refieren a· los §§ 9, J6, 24," 26, 29, 30, 37, 41 y 43,, y también se han añadj.do. nuevos problemas. El trabajo preparatorio de esta edición ha sido realizado por O. A. Oleynik y A. S. Kalashnikov, y el§ 43 ha sido escrito · de nuevo por L. A. Chudov. A todos estoy ·muy agradecido. 3 de mayo de 1960. I. PETROVSKI . '·
  10. 10. . , Capítulo 1 INTRODUCCIÓN. CLASIFICACIÓN DE: LAS ECUACIONES . § l. ·DEFINICIONES. EJEMPLOS l. Una ecuación en derivadas parciales de las funciones i:Q.. cógnitas Üi, U2, ••• , un, se dice de orden n si contiene al rn.enos una derivada d_~ orden n 'y no contiene derivadas de orden superior. El· orden de un sistema de ec!Jaciones en derivadas parciales es el mayor entre los órdenes de' las ·ecuaciones del sistema,. Una ecuación en derivadas parciales .se Üama lt•eal si es lineal respecto a· tooas las funciones -incógnitas y sus derivadas. Una ecuación ei;t ·derivadas parciales ·se llama casilineal si es lineal respecto a las derivadas de orden superior de las funciones 'incóg:. nitas: Así; por ejeihpIO, la ecuación au a u -·.-- + - -- .+ u ax '(},i-2 ay ()y2 'ou ; ·(Fu · 2 2 =O es una ecu~ciqn. casi~ineal de segundo orden respecto a la -función incógnita u. _La ecuación - · ·
  11. 11. 2 ECUACIONES EN· DERIVADAS PARCIALES es una ecuac1on lineal .de segundo orden respecto a la función incógnita u. Pero la ec~ación no es lineal ni casilineal respecto a esta función. .. Se llama solución de una ecuación en derivadas parciales, a todo sistema de funciones que al ser ~ustituido por las funciones incógnitas transforma la ecuación en una identidad respecto a las variables independientes. De forma análoga se define la soluc.ión · de un sistema. ' En este curso estudiaremos fundamentalmente ecuaciones lineales de segundb orden con una función incógnita. Como, por ejemplo, las ·siguientes ecuacioñes . at . a2 a2 u u a~ + a.t; + ax~ ' a2u atª = a2 u a2u . ax; + . a2 u ~u l. térmica. 2. 3. a~ a2 u ecuación de la conducció11 . a2u ' a2u ax; + ax; ' ecuación a2 u ,+ ax; + a~. = o, ecuación de de ondas. Laplace. Muchos problemas de física se reducen a ecuaciones en deriva-· . das parciales, y en particular él. las señaladas más arriba. 2. Ejemplo 1. Ecuación de la conducción del calor. Sea G un cuerpo, cuy~ temperatura en el punto (x1, X-2, x 8 ) en el instante t se determina por la función u(t, X1, x 2 , za). Supongamos que la función u(t, x 1 , x 2 , x 8 ) tiene .derivadas parciales
  12. 12. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES continuas de segundo orden respecto a las var,iables x-1 , x 2 , x 3 ; y una derivada co11tinua respecto. a t. La deducción de la ecuación que describe el proceso <le propa-' gación' del calor se basa en la siguiente ley. Supongamos que una superficie S pertenece al cuerpo G. Sobre la superficie S esti definido el vector continuo de la norm.al n. La cantidad l!ie calor q, que pasa por la superficie S en el sentido de la normal n en el intt!rva1o de tiempo de t1 a t2 , se determina por la siguiente fórmula : (}u Aquí - ' . on es la derivada en el punto (x 1 , %'2 , x 8 ) de la super- ficie S según la ·dirección de la normal n; l~ integral interior se toma por la superficie S. La función positiva k(x-1 , x-2 , x-3 ) se llama éoeficiente de conducción térmica interna del cuerpo en. el punto (x-1 , x- 2 , x-8 ). La fórmula (1,1) es equivalente a que una cantidad de calor igual a , atraviese una superficie infinitamente pequeña,, dS en un intervalo de tierppo infinitamente pequeño dt. En esta forma se expresa generalmente la ley física de la conduceión del calor. Si la superficie S está situada en la frontera entre el cuerpo y el medio ~terior, se cumple la siguiente ley. Sea u(t, X-1, X-2, xa),
  13. 13. 4 ECUACIONES EN DEllIVADAS l'ARCIALES como antes, la temperatura del cuerpo G en el punto (x1 x-2, x 3 ), y sea u1(t, X-1, X-2, x 3) la temperatura en un puntó arbitrario (x1, x 2, xa) fuera del cuerpo. Entonces la cantidad de calor que penetra en el cuerpo a· través· de la superficie S -situadi en la frontera del cuerpo- en el· intervalo de tiémpo de ti a t2 e~ t q ·= . f {ff ki(~1. ~2• fl . xa) (u1 - u) dS} dt, (l',l) B donde l~ integral interna se toma sobre la superficie S y las funciones U1 y U .se determinan sobre S pasando al límite por fuera y por <lentro del Fue'rpo respectivamente. En este caso k1(x1,..x2 , .x8) se llama coeficiente de conducción térmica externa en relaci6n al · medio dado. 0 Consideremos un cuerpo isotrópico .respecto a far conducción ) térmica: es decir, 'supongamos que la función k(xi. ;2, .x8 no· depende de la dirección de la normal a la superficie S en el punto (x1, x 2, ~3 ). Además-supongamos que esta función tiene primeras 'derivadas continuas respecto a' todas las coordenadas .. Para deducir la ecu~ción de la conducción térmica,. analizaremos denti;o del cuerpo G cierto v~lum~n D limitado por; la. superficie suave S y consideraremos la variación de la cantidad de calor en este volumen en el intervalo de tiempo de' t1 a t2. Según la fórmula (l,1), a través de la superficie S pasa tina cantidad. de calor igual a , ' (2,1)
  14. 14. . CLASIFICACIÓ~ DJi: • 1,.AS ECUAQO)!iES. donde ou . .· . ' . "" . ' . ' a; es la. derivada en la .dirección de .la·'noi.-rn.al .exterior a · la superficie S. Por otro lado, ·e~ta misma cantidad. de: calor'· se puede peterminar mediante la variación de la temperatura en el yolumen D, durante el intervalo de tiempo de t1 a t2. La variación de la cantidad .de calor es. igual a %2, Xa) p (x1, X2, Xa) [u(t2, X1, X2, Xa) - - u(i1, X1, X2, Xa) l d~1 dx2 ·dxa, (3,1) } donde .p (.i-1, X2, Xa) es la densidad, c(x1, ~2, x 3 es la capacidad calorífica del cuerpo en el punto (x1 , .i-2 , x 8 ) 1 y la. integral Se toma poda región ·D. IgtÍalando ( 2'.1) y ( 3;1) <?Dtendremos : fff cp [u(t2, X1, X2, xa) - D . u(t~, X1, X2, .:rs)] dx 1 dx2 dx8 == . ~· = f {ff *1 . . k(:i-1 , %2, Xa) ~= dS} dt. (4,1} B 1 Él valor de una característica física de un cuerpo en un punto P determinado (por ejemplo, la densidad, la capacidad calorífica, etc.) se entiende siempre como cierto límite. A saber, se tom;¡. una. sucesión de cubos de centro en .el punto ..P y l:uyo lad~ tiende a cero. · 5-e considera la razón entre la cantidad correspondiente :l. cada cubo y el. volumen del cubo y se toma el límite de esta razón cuando el lado del cubo tiende a cero. Por· ejemplo, . la densidad en un punto es el límite de la razón entre la 1I1;asa del cubo y su volumen. Análogameñte, la densidad superficial en un ·punto de. una placa es el límite del cociente de la masa de un cuadrado de ce~tro ~n es~ ·punto y el área del cuadrado. La densidad lineal en un punto de una varilla es el límite de la razón entre la masa de un segmento con centro en ese puntO y la longit¡;d del ~egmento. Análogamente sedetermina ·1a capacidad tér- • mica, la conducdón t~rmica en un punto, etc. . · .
  15. 15. 6 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Segt.ín 1a fórmula de 9strogradski ., : """.. ' .. f La integraJ del miembro izquierdo dela' igualdad (4,1) puede ser escrita en la forma t2 J{JJ J 11 ' cp ~~ dx1 dx2 dxa} dt, D De este modo, para cualquier volumen D dentro del cuerpo G, se cumple la igu~ldad 1 2 / / tl o bien J J. D. cp ~; • dx1 dx2 dxa dt -
  16. 16. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Como las funciones. bajo el signo de la integral son continwrs. y como el volumen D y, el intervalo de tiempo (t1 , t 2 ) son.arbitrarios, para cualquier punto (x1, x 2 , x 3) del cuerpo G y pará cualquier instante t, fa siguiente igualdad debe ser cierta cp ~ - L ax. (k ax, ·. at - """" _E_ ~) · '= (5,1) 1 Esta ecuación se llama ecuación de la conduc.ción del calor de un cuerpo heterogéneo~ en general, pero isotrópiCo. Si ei euerpo es homogéneo . k(x1, Xa. Xs) = const., c(x1, X2, x 8) p(xi. x 2, xa) const. const., = y la ecuación ( 5, 1) se cory.vierte en la ecuación cp k. k cp au at = (6,1) ' Sustituyendo - t por t' y denotando t' de nuevo por t, redu. ciremos. esta ecuación a la forma (7,1) . Las ecuaciones ( 5,1) y (7,1) tienen muchas soluciones. Para separar de entre el conjunto de soluciones una determinada, es preciso establecer ciertas condiciones complementarias, que jue-
  17. 17. 8 . ECU4CIONES EN DERIVA.DAS. p ARGJ:ALES gan el misl.llo papel que las.·condiciones iniciales en las ecuaciones difer~ialés ordinarias. J)e entre· las condicicme~, complementarias, las. más frecue~tes son las llamadas condiciones de frqt:tterp, es ·d~cir, .condiciones d.adas en la .frQµtera d~ la región. G 4~1 espacio (z1 , z 2 , za), en la cual buscamos ~ solución de la ecuación en derivadas parciales ; y las condiciones iniciales referentes a cualquier instante determinado. Desde el punto de vista físico 'está claro, en primer lugar, que la temperatura del cuerpo en un cierto instante y el régimen caloríficó en la frontera del cuerpo, determinan la temperatura, en los instantes posteri0res y,· en segundo lugar; que este régimen calbrí~ fico puede ser cualquiera. Si la región G coincide con todo· el espacio, se puede demostrar que la solución acotada de la ecuación de la Fondtícción térmica ·para t > to se determina de un modo único con sólo establecer las condici0nes iniciales : los valores de la función u(t, z 1 , z 2 , za) en el instant~ t . t0 : Par.a _una, región acotada G se puede, por ejemplo, dar·eJ valor de la temperatura en cada punto del cuerpo en el instante .. t =. t0 y dar el vaior de la temperatura en cada punto de la frontera del cuerpo para 't > to. Resulta ser que estas condiciones· son suficientes para determinar una solución acotada para t > -to y (zi. Z2 za) E G. · ' Para detennínár fa solueión · única de la ecuación de la conducción térmica, en lugar de definir u( t, x-1 , z 2 , z 8 ) _!'!n léJ. ~rontera de G para t > . . au an ' . t0 , se puede dar en esta frontera - - , que es la . derivada de la función i~cógnita u, en lá d.irección, de la normal a la frontera. de la región G. Llegaremos a un problema matemático de este tipo cada vez que estudiemos. la temperatµ.ra dentro de un cuerpc;> .9, siempre que ccmo~a;mos la:. cantidad ·de. calot transmitido, en cualquier interva19. d,e tiempo (t1, t2) ,. del espacio
  18. 18. CLASIFICACIÓN DE' LAS ECUACIOWES exterior a la superficie .del cuerpo G, a ·través de cu~lquier área S en la frontera del cuerpo. Cantidad· de calor· que debe ser igual a la cantidad de ~lot transmitida del área S al interior del cuerpo ; esta última, según la fórmula· (1,1), es i~l a donde. k > O es el coeficiente de conducción térmica en el punto fronterizo correspondiente. . . Por lo tanto, si conocepios la ley de la transril:isión deJ ~11¡lor para cada área S de la frontera del cuerpo G, s.e puede hallar el valor de ou . é}n en la frontera de G.· En particular, si no hay inter·. ca~bio de calor a través de la . t frontera, . ~= é}n .· O en la misma. .. Finalmente, se puede dar como condición de frontera, para t0 , los valores ~e la. combinación lineal : > (}u kan+ kiu, en la frontera de G, donde ki es ~l coeficiente de conducción 'térmica al pasar d~l espacio exterior ál cuerpo· G, y k es el coeficiente de conducción térmica interna del cuerpo. Estos coeficientes se . suponen conocidos. Llegaremos a este problema matemático si estudiamos la temperatura dentro de un cuerpo G bajo la condición de que conocemos la temperatura U1 deJ medio exterior al cuerpo G. Entonces, si realizamos el balance de la cantidad de
  19. 19. . 10 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Ca.Íor que pasa por un trozo arbitrario de la frontera de G, de acuerdo con las fórmulas (1,1) y (1',1), obt~ndremos que: · l. La cantidad de calor que pasa, ert un intervalo efe tiempo . . (.t1, h), del espacio exterior a fa superficie del cuerpo a través del área S, es igual a 2. La cantidad de calor transmitido en· este mismo tiempc;> del trozo S de su superficie al interior del ~erpo es igual a Cómo (t1 , 12) y S son arbitrarias ' . ou on k1U +•k -·- = . k1U1. En particular, si U1 =·O, esta condición se convierte en k ou an + kiu =' Q'•.·. Supongamos que la temperatura en cada punto (.x-1, ;t-2, xa) dentro del cuerpo G .se ha estabilizado, es decir, no varía con: el ,; ' .· tiempo .. Ent~nces ou ' . on · .O y las .ecuaciones (5,1) y (7,1) se
  20. 20. CLASIRICACIÓN DE LAS ECUACIONES ·11 convierten respectivamente en las' ecimciones a ·~-ª-(k~) . Lax, ax, =0, i=l 8 '' 02u =0. Lo~ i=l ' (8,1) _Para determinar ahora u(x1 , x 2 , x 8 ), no es necesario dar las condiciones iniciales. Es suficiente dar las condiciones de frontera, que deben ser independientes del tiempo. Es fácil representarse esto físicamente dél modo siguiente. Si las condiciones de frontera no dependen del tiempo, para cualquier temperatura inicial la temperatura u(t, X1, X2, xa) en cada punto (x1, X2, xa) del cue'rpo tiende a cierto límite u(x1 , X2, x 3) cuando t-+ oo. La función límite u(x1, x 2, x 3) satisface las ·ecuaciones estaciona~ias (8,1) y las condiciones de frontera anteriores que no dependen de t. El problema de la determinación de la solución de cualquiera de· las ecuaciones (8,~) ~ partir de sus valores eri la Í!ontera de la región considerada se llama pro~lema de Dirichlet~ o primer problema de frontera. Además de la propagación del calor en el espacio, .con frecuencia hay que estudiai; la variación de temperatura a lo largo de una varilla o en una placa; Si .en- este caso el grueso de la varilla homogénea es tal que h. temperatura en t~dos los puntos de una sección es la misma y sí no se transmite calor al exterior a través de la superficie lateral de la varilla, la temperatura depende solamente del tiempo t y una coordenada espacial x. En este caso la función u(t, x) satisface una ecuación de la forma _(9,1}
  21. 21. 12. ECV.ACIONES EN DERIVAD.AS ~.UCIALES si las unidades se escogen d~bidamente. La. temperatura u(t, Xi, x 2, .i:a) dentro de un cuerpo tridimensional satisfaría la misma · ecuación ( 9, 1) , si dependiera de una sola coordenada espacial, pór ejemplo, de X1 x. Así· sucede si lá temperatura en todos los puntos de cada plano x1· const. es la misma. Análogamente, 'al estudiar la propagaCión del calor en una placa homogénea plana y térmicamente aislada, obtenemos ·la ecuatión · ' = ~ ot = __:_ 02u • 02u - a~+ ax212 . 1 (10,1) • 3. ·Ejemplo 2. Ecuaciones: .de equilibrio y de las vibraciones de. una membrana Llamamos membrana a una película tensa que ofrece resistencia a la tracción y que no ofrece resistencia a la flexión, es decir, a un cambio de forma que no altera el área de ninguna parte de la membrana; el trabajo de una fuerza externa que produce la vaFiación del área de una parte de la membrana es propor.cional ·a esta variación. · El coeficiente positivo de proporcionalidad T, no depende de la forma de este á~ea. ni de . su situación y se llama tensión de la membr:¡;na. Hagamos notar que el trabajo de las fuerzas i.nten::1.as de elasticidad es igual en valot' absoluto ai' trabajo de las fuerzas externas que producen la alteración del área, pero ·de signo contrario. · Supongamos que en el estado de reposo la membrana está ~n el plano (x1, X2) y ti.ene la fÓl'.ma. de cierta región plana G de frontera· L. . Supongamos que sobre la membrana se aplica una fuerza cuya densidad en él pÚnto (x1, x 2) es igual a f(x1, X2) (vea la llamaqa en la pag. 5) y cuya dirección es perpendicular al plano (x1, x2). 0
  22. 22. CLASíFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Bajo el efecto de· esta ·fuerza, la membrana toma la· forma· de cierta superficie cuya ecuación ·escribiremos en la forma . !"=U (X1, X2). El eje u es perpendicular al plano (xJ, x?). Deduciremos la ecuacion que satisface la función u(x1 , .i-2 ) en las condiciones siguientes. ·En primer lugar,' supondremos que la superficie de la membrana no presenta gran cu~atura en la ·posición. de equilibrio, es decir, que está cerca de ser un trozo de . . au plano. En otras palabras, supongamos que las derivadas - - y . au ~ . .-.- son peqtJ.enas y a~ . d . . . . . ax1 . 1 espr:ec1efllOS .en nuestros razonamientos as . . . potencias más altas de estas derivadas. Además,. supongamos· qu'e bajo el efecto de la. fuerza f (»1 , x 2 ) los puntos de' la membrana se mueven solamente' por la· perpendicular al plano (x1 , x 2 ) de manera que sus· coordenadas (x1 , .i-2) no varían .. La deducción de· 1a ecuación 'está basada en uno de' los l?rinCipibs fundamentales de· la mecánica:. en el principio de los desplázamientos virtuales según el cu~l, en estado de equilibrio la ·suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema pará cualquier desplazamiento virtual (que admite las condiciones impuestas) es igual a cero. 2 Para calcular los trabaj~s elementales, hallemos el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre la membrana c~ando ésta se desplaza de la posición inicial plana a' la posición definida · 2 Véase G. K. ·susfov, Mecánica teórica, Gostiejizdat, 1946.
  23. 23. 14 ECUACKINES EN DERIVADAS PARCIALES porla función u(x1 , x 2 ): El trabajo de una fuerza cuya densidad es igual a f (x1, x2) está dado por la integral: · · Jj f (x1, X2) ~(x1, x~) d;.1 dx2, G ya que sobre el elemento dx1 dx 2 actúa la fue~za f(x 1, x 2 }dx1 dx 2 • La variación del área .de la membr~na para este' desplazamiento es igual a JJ(V +u:: +u::~1 ).a~1 dx2 ; 1 Q ' ' y el trab~jo de las fuerzas internas -para esta variación del área es igual a G Desarrollemos la fum::ión subintegral en serie seg'1.n las potendas de .u',, 1 y u',, 2 y, bas~ndonos en la suposición de que estas cantidades son pequeñas, omitiremos los términos de exponentes más a.lto de la descomposición. Entonces, '.obtendremos fa expresión p~ra el trabajo de las fuerzas internas de elasticidad. Por eso el trabajo .de todas las fuerzas interiores' que .actúan sobre la membrana y de la fuerza f, para un desplazamiento de
  24. 24. 15 CLASIFICACIÓN DE LAS ECTJACIONES la membrana de la posición de repÓso hasta cierta posición u(.i-1, .i-2), es igual a· (11,1} 8 ' G RealiCemos ahora un desplazamiento virtual de la membr~na, es decir, agreguemos a u(.i-1, x2) ·una cierta función au(xi. x2). El trabajo de todas las fuerzas que actúan en este desplazamiento es igual a la variación de la iritegral ( 11,1) que no es difícil de calcular: aA =.A(u = + au) J J[- T - A(u)::::::: (u~ au: .+ 1 u:; au; 1 ) + tau] dx1 .dxa, G ( 12,1) y que de acuerdo con el principio de los d~splazamientos virtua- les, debe ser igual a cero. Integrando por partes los primeros dos sumandos, ·encon~ tramos, G . . a La integral (11,1) difiere sólo en el signo de la energía potencial de la membrana en la posición de equilibrio. Por lo tanto, podemos decir que nuestra deducción se basa en que, en la posición de equilibrio, la. energía. · potencial de cualquier sistema mecánico es mínima.
  25. 25. ~16 :e'cti'AClONES EN de donde,· DERivADAS PARCIALES ' ' J aA = ~ J ~: au .ds + Jcr~u + f) au dx1 T dx2,. a L (13,1) •. -. . , . . .. . -. -. . 0 2~ . 02u donde ..!lu representa la. suma de. las segundas denvada.s 'ór ou , . . .On es. la deri.vada .. ~n • .. 1 + ox 2 , ~ la dirección de la normal exterior a la fron- tera L. Como señalamos má~ arriba, au es un desplazamiento virtual, es decir, un desplazamiento que admite .las condiciones impuestas a la membrana. Estas condiciones se dan generalmente en la frontera -de la membrana, por eso la función au(X-1, x2) es una funcíón continua arbitraria en los puntos interiores' de la misma. Por consiguiente, -haciendo aA ·igual a cero se puede deducir que' para la- pqsición ,de equilibrio la función u(x-1, .X-2), en cualquier punto iñterior, satisface la ecuación 'T.ilÚ + f =o. (14,1) Esta ecuación se llama ecuación de Poisson. En cuanto a las condiciones de ligadura, éstas se reflejan en las condiciones de fro~tera, que pueden .ser muy variadas. Consi. deraremos por separado lqs casos más frecuentes. 1. Membrana fija Supongamos que el -borde d~ la membrana s.e ha fija.do a lo largo de cierta curva alabeada que se proyecta en. L ..· Si las ecua.. clones paramétricas de L son .t"1 = Z1(s); %2 = %2{s), exigimos que la membrana pase por cie!ta curva X1 = z1(s),· %2 ::::. x2(s),
  26. 26. CLASIFICACIÓN DE I.AS ECUACI0n5 11 = cp ( s). En .este caso, la condición ,Úpiaa impqesta ~ au, es au := O en L.. Gracias a esta condición, en la fórmtila (13,1) u desaparece la integral curvilínea . · El problema obténido (hallar la solución de la ecuac;:ión de cp ( s) en L) se llama Poisson con la condición de frontera u problema de Dirichlet para esta ecuación. = Para f = O, la ecuación pe Poisson se convierte en .la ecuación Laplaee con la cual ya nos hemos encontrado en el ej.~mplo anterior. ~e 2. Me.mbrana libre Si no imponemos ninguna condición a 'la posición de la meqibrana, SU borde puede desplazarse arbitrariamente ¡>Or la superficie lateral vertical de un cilindro de Qa.se · L. En este caso, au es arbitrario dentro y: en la frontera de G Y' obtenemos para la ecuación ( 14, 1) la siguiente condición en L : au an -=0. 3. Con frecuencia se .presenta el caso, cuando además de la fuerza f que aétúa sobre los puntos interiores de . la membrana, existe una fuerza vertical de densidad lineal· f 1 y aplicada al bórde de manera que la fuerza f ids -actúe sobre el elemento ds de la frontera. Si buscamos la posición de equilil?rio de la membrana en e'stas condiciones, a las integrales ( 11, 1) y (12, Í) es preciso f (f ff1 L L. u agregar !idu) ds y O au.ds respectívaménte. - -.
  27. 27. 18 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . La integral curvilínea en la fórmula ( 13,1) tiene, en este caso, la forma J(- T ~: + f i) au ds, L y para la ecuación de Poisson obtenemos la 'siguiente condición de frontera . ou on T- - /1 =O en L. Este problema se llama segundo problema de frontera (o, también, problema de N eumann) si f 1 no depende· de u. · -· 4. A veces se considera el llamado ajuste elástico de la membrana, es decir, el caso en que la fuerza que actúa sobre el borde de la membrana es proporcional al .desPl.azamiento : · f1(s) = 'ku(s). En este caso, la condición de frontera pará la ecuación de Poisson ou an toma la forma T - - . ku = O. Pasemos ahora a deducir la ecuación del movimiento de la m~brana. Consideraremos solamente las vibraciones pequeñas . 1 . L . . .f. y transversa1 de a misma. es o primero s1gm 1ca que u, y ou • 0 ~ . OX1 son nequeños; en la deducción de la fórmula (11,1) imnu- OX2 simos esta condición. Las vibraciones se llaman transversales si se realizan en la dirección de la perpendicular al plano (x1, X2).
  28. 28. 19 ·De"esé 1 mó<ló ·1as· cdótderiadas · (Ki,· x2) de ti:tí pu~to fijo·· d~ la • membrana'nó vaiía:'li'~ri et tielhp() t, sólo. varíá fa. función . ' .• ! ~ .' • ' '' ,' ! ' j 1 .,. ; l U = .u(t, Xi, ~1)·; : La velocidad de un· punto de coprdenada~ · {_x1, .i-2) es a1c1.U,x1,X2) .. , .... 02 u(t,x1,X:1) . - - - - - y . la acelerac1on . Para obte,ner la 2 at . - ·. ot . · · · ecuación del movimiento de la membrana es necesario tomar en éuenia; '~egún. el 'pritÍcipiO .de' b'AÍembért, Iá.· ~Üerza de' lnerda de la .misma.. ': ·. ·.. ·. . ·, .La densidád _··. . . • .• áe e'~ta fuerza es igual a - •.• -: ·._! . . . . , p (x~, %2) 02 0 . • .: .. • "' ot2· ·. dbnde - P(.t'r,. X2) es. la dens~dad superficial de. la."me!!mbraqa en el-punto (~1, .i-2). Obtendremos la ecua~ión de las vibraciones transyersales qe l~ i;i;iembrallfl, ,,s~!ep., la ecuación ( 1_4, 1) ; s.usfítuimos el segundo . . . u u sumand o por -....;.;·p·~: • ·.. · <··!.•• : .'·. ".'! .. ;.p_._12_ .· . :.. ·(º2u_., +.,aeu'). - ~ - = O. ,. 32u ---,.-, · -~.. . · ·· · ,. ·ar· 0%2 ot . · ,T ' . ·r' ·' '' ""·' _Jl,t·. , 2 • ( 15,1) ,..Jl .. IJa:s coqdi'Cioli~s de 'fronter~; ·en este caso, son- las ~ísmas que para la ecuación ( 14,1) con la diferencia de que las furrciotl,es de~in~d,as _en lfl Jr.9nte.:r;a pm:den;depender ah9ra del ti.empo:. , Los más frecu~ntes ,!IQA,el problema de la membrana cuyo borde se ha ajustado a lo largo de una lín~a L :u(t, X1, .i-2) = O en L; y el u(t, .i-1, x:) probfoma de la membrana libre: · O en L. . . o , , on . . = Al ígual que en el ·caso de la ecuación de la conducción térmica, 'd'e'Sde üh' pb'ntti de''vista: físico es' evidente que las cóndíciohes de frónterá no puedeii' por sí'sólas 'deterrriinat· tinfvocarhehte el mó-
  29. 29. ECUACIONES EN DEIUVÁDAS P.AactAµtS vimientó d,e la membrana, ya que éste depende esencia4nente de la ' posición y velocidad iniciales. En efecto, ¡nás tarde veremos que ta solución , de la ecuación ( 1, 5, 1 ) se détermina unívocamente si se Wµl las•condiciones iniciales ·, y las condiciones de frontera de alguno de los casos co~siderados. Teóricamente ~e puede tonsiderar la llamada membrana libre no acotada, es decir, las vibraciones de.todn el plano (x1, . .i'2), que satisface11 la ecuación (15,1). Podemos llegar a este problema, si iá membrana considerada es tan grande que se puede despre~iar el efecto de la frontera . • En este caso, como se verá a continuación, es ·suficiente conocer los datos iniciales para determinar la solúción única.de la ecuación (15,1). En cambio; para una membrana acotada las condiciones (16,1) no determinan unívocamente la soluc.ión para todos los valores de 't, sino para cada punto (x1, X2) y tan sólo en cierto intervalo ( - ti, t1), que depende del punto. Además, este interválo es tanto meno~ cuanto más cerca esté el punto (x1, .i-2) de la frontera de la· región G. · Si p es constante, por medio de una sustitución de fas variaples independientes, es posible transformar la ecuación (15,1.) en (17,1) ·Analizando las vibraciones pequeñas de un gas (ondas sonoras), se puede demostrar que la función u(t,. X1, Xa, xa), que
  30. 30. 21' OLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES caracteriza el incremento de la presión en el punto (x1, en. el instante t, satisface la ecuación • 1 .0 2u 02U 02U .i-2 , 02u , -·-=-+-+-. a o~ ox~ ,.ax; ox! (18,1) 2 donde a > O es una constante x8 ). (velocidad del sonido). La ecuación de la forma (18,1) se'llama ecuación de ondas en el espacio; muchos otros procesos vibratorios '(por ejemplo, los electromagnéticos) también se describen por la ecuacióii ( 18,l). La ecuación ( 17, 1 ) se llama ecuación· de ondas en el plano. · En el caso unidimensional (vibraciones de una cuerda o de , un gas en un tubo) la función u correspondiente, satisface la ecuación (19,1) Esta ecuación se llama ecuación de la .cuerda vibrante. Aquí p ( .r) es la densidad lineal en el punto ~ y V es la tensión de la 'Cuerda. La~ condiciones iniciales y de frontera para )as ecuaciones ( 18, 1) y (19, 1) son iguales. a las condiciones correspondientes , para la ecuación (15,1). Hagamos notar una vez más qu.e las ecuaciones (15,1), ( 18,l) y ( 19,1 ), se obtienen .si se desprecian ·las derivadas ou ax, 4 ( --) ou ax, 2 en comparación con ( - - ) . Si no las '. despre~iamos, , (es decir, si no se supone que las vibraciones son pequeñas), las ecuaciones del movimiento de los cuerpos elásticos correspondien- . tes son ectiaciones no lineales, mucho más complejas . .
  31. 31. ~. ,~l;ll<TI O /Jservación· 1. Si cqnsideramo,s. .co,qip. ~na c~ordenada espacial, la.función u(t, x 1 , -i-2) .qt,1.~,<;iescrip~)a,~,vjl;>l;a~ ciones de la membrana estará. definida' en un cilindro e con generatrices paralelas al eje Ot y que pasan por la· ftoniera de G sobre la cual se encuentra ia membrana. ~1 problema:.córisiderado anteriormente consistía en determinar los valor~s ~ de esta. 'función ~ ! ~· .¡ dentro del cilin.dro partiendo de ciertas condic10nes para la superficie lateral del cilindro C y para los valores de· ii~t0 , .f1.; ~2 ) y u~ (to, %1, -i-2) cilando el 'punto (.i' 1, x-2') E G sé· eneuentra ert la base <lel cilindro. · En este planteamierito, la:s 'condiciones iniciales to no se pueden: oponer a las condicfoh~s de frontera. para t Tanto unas· como Qtras. son ahora condicio,J;les, .de frontera. dadas en la frontera del cilindro C. . . . ., .... • ' ·• . ·, • ' • ' • • ' • • '' ; ! ' . 1 ' ' = Observación 2. Af considerar la ecuación de la. cond~c­ ción del Oitor o 'la ecuación de las vibraciones en un ·medio iso' trópico, teníamos que en esta~ ecuaciones figur:;tban las. e?Cpres10nes u. · ou 02 2 .r + "'--:; o.. 0 OXll . 1 ,. ' ... (Y'u ' · 0 2u . bien ~ .r ,' 0 " 1 o 1~ ' · ... + p + ~" · ~X . l! , • ,, 3 ..,!) (20,l) ,, : ., . ' 1 ···,·. :.· •,; ,. Así ocurre siempr~ en las. e<;uaciones lineales de segun.do ord~h planteadas para ·un medio is.otrópico ·homogéneo ·de ·dos o tres dimensione!;, porque· las· expresiones· (20,1}, .llamada~ operar dores de Laplace.aplicados a la función u, ,simplemente laplacianos, son las uni~s éonibinaciones lineaies. ( s~l'v~ . f~Ctor' cods4tntej de las segundas derivadas. parciales de u. que, son invar-iantes: .para cualqµier tr~nsformación ortQgona}, es decir.~ ,para ~,lalquier ,gii:o ·de los ejes de.C:G0 rdenaW,is en.el.e,spac:io d~ i.,P .~,~e:nsjQll~s· un''.
  32. 32. 23 CLA;SJFICACIÓN. DE .LAS ECUACIQNES § ..2. PROB~MA DE CAUCIJY. TEOREl~ DE KOVALEVSKA'VA. 1. Planteamientó del problema de Cauchy, Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales' de las funciones incógnitas U1, u'2, .••• ' UN respecto a las variables independientes t; X1 X-2, ••• , Xn: aku¡ '. ar 0 ax1'~ ... a.i-1' .. ''·. ·· · .) ' · n· · (k 0 1 (1,2) k 0 <n¡; i, j-: 1,2,. .;·., N).. + ki + ... ·+ kn ~ k ~ n¡; Como se ve de las ecuaciones anteri?re.s, para cada una de las funciones incógnitas Ui existe un orden superior n 0 de fas derivadas de esta función que figuran en el sistema considerado. La variable independiente t juega un papel especial entre las variables ya que, en primer lugar, entre las derivadas de orden superior de cada funcipn u 0. que apar:ecen en el sistema dado, .debe estar n, contenida la qeri:va~a ~::~i y, además, el sistema está resuelto respecto a estas derivadas. Generalmente en los problemas físicos t representad tiempo y xi; x 2, •••• , Xn, las coordenadas espac~ales. El número de ecuaciones es. igual al número de funciones incóg' nitas. '• Para un cierto valor. de t = t 0 se dan los valores ("valores iniciales") de ias funcione~ i~cógnitas: u, y de sus derivadas .respecto a t hasta el orden n~ __:.1 . Supongamos que para t = to ~k . U U¡ .. ,, '<k>(:• .. ·.' . ' .) ip X1,X2, ••• ,Xn --= ar , . .. . ('k. • .. - o·' 11 ·2·· ::··n·- 1)' " : .. ..
  33. 33. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . Todas las funciones q¡,<k> (x1, x 2, •.• , x,.) están definidas en una ~isma región Go del espacio (x1 , 2 , , •• , x,.). La derivada de orde.n cero de la función u, es la propia función u,. x El problema ·de Cauchy consiste en hallar la solución del sistema ( 1,2) que satisfaga para t t0 las condiciones iniciales (2,2). = La solución se busca en cierta región G del espacio (t, x 1 . . . . . x,.), que toca la región Go en el hiperplano t t0 donde están dadas las condiciones (2,2). · = Un caso especial del· problema de Cauchy es el problema de determinar las vibra<;iones de una membrana homogénea y . no acotada a partir de las condiciones inic~les, del cual se habló .en el epígrafe anterior y que consiste en hallar la solución de la ecuación si para t = t están dados · 0 u (to, xi, x2) u~(to, x 1, x 2) = q¡< 0>(x1, x2) (desplazamiento inicial), 1>(.%'1, x 2) (velocidad inicial). q¡< = 1, ni =i 1, n T' O el problema de Cauchy formulado Si N anteriorménte se cdnvierte en el ~iguiente problema : Hallar la solución u(t) de la ecuación diferencial ordinaria du -d . F(t, u), t = = tal que u(t0 ) u 0 • Este problema se estudia ampliamente en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
  34. 34. 25 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONEs 2. La función F(z1, Z2, ••• , z.) de m variable.s complejas se • llama analítica en la vecindad del punto zº , zº, ... , zº ·, sr la mis. 1 2 m ma es desarrollable en la serie de potencias F(z1, = . Z2, ••• , Zm) =L Ak 1 k 2 ... k z~)"1 ,..(z1 - (z2 - z~)". ... (z. - Z:.)11., "1k2···",. que converge para J z, - z~ J suficientemente pequeños. Es fácil demostrar que en este cáso F (z1 , z2 , ••• , Zm) tiene en el punto z~ , z~ , .•. , z~ derivadas tle todos los órdenes y q':le . . ok· ,._F ) A"" ... ,. = ----- oi'· oz"· ... cz". ki ! k2 ! ... km! 1 1 ·. 12 "' · ( , 1· · , + "· + ... m 2 z =:: o , ••. , z l l m = o• m· fl· Sean qi¡k> (x1, x 2,. •• _, x,.) los datos iniciales del problema de Cauchy' para el sistema ·(1,2) [véase la fórmula· (2,2)]. Introduzcamos, para abreviar, las siguientes notaciones para _las derivadas de estas funciones en cierto punto (x~, x~, ... , .%'~) : ak-ko q¡ ~k,> ( (i = º .· • ~ a i• ••• xk ) 1, 2, ... , N; "1 = ' lt:..... k0 1t,. = •: -. .,o Ti, kºJ kl, k', ... , kt& + k + .· .. + k,. = k ~ ni) . 1 Aquí se cumple el siguiente teorema fundamental. Teorema de Kovalevskaya. Si todas las funciones F, sen analíHcas en una vecindad del punto (t0 , x~, .. ., x~ , ... · · ·, f~ '"• .,. 1 , • •• 'k• , .•• ), y todas las funciones q¡~k> son analí- ticas en ·una vecindad del _Punto ( ~, x~, ... , x~) , el problema de
  35. 35. • 26. ECUACil'>"NES ·EN DERIVAl>AS PARCIALES • Gáwh~ :.·"admite·' soluci6n analítica en una vecindad ·de/. punto ·uo-; ~ ,· x~, .... , x~) , solución que 'es única e'ft ,la 'clase de las ' funciones analíticas ' 3... Daremos la delTiostración · del teorema de Kovalevsk,aya ·para sistemas· lineales ~rbitratios'. Para ~tos últimós el_ p~oblema · de Cauchy se redu<:e fácilmente al problema de Cauc4y para siste.mas lineq.les de. pr~er orden, mediante un prR~f!din;iie1;1to que, · pq.r~ s~iµp'lificar1: ~xpondremos parq. el -c~so de una .. ~cuación de segundo ord~ .. . , . . tí . . ••,, ou ou + ¿ b, (t, .t"1'. ... ,_x,.) - . + bo(t, .i:11 .·•• x,;) ~ + ax. ' ot; '= . . . • (3,2) .+ c(t, x,.) u+ f(t, x,.), . donde qH = a;., b,, c, f son funcioneá analíticas de sus argumentos l ¡ . . . X1, .... , ,•·. > • . • • . . ·.. . . . ' .. • eri la vecincfad'·de},t>Unto {·t°:;'K~, :·¡:~·~ 1~!). -' . X1, ••• , . ':~ . .' .. ' ·. i ,,,. ' ' ' . . ' El"problema"de ·cauchy pata' e~t~ 't!cuadón 'consiste 'en hallar la: solt.itión que 'satisfaga lf:i:s siguietit'es cond!C'tonés initiales :· . · · '' ·. U . (t 0; Xi,''.:., x,t')::::: iji¿(.ii," ~ ·• ~. X11); .} · ~tÚ0,' z11 · ., ·x,.)' . ~~(x11".'. ~~- ~~)·;·'. .. 1 . (,~ 42
  36. 36. CLASJFICAt:IÓ.N DE. LAS. ECU,ACIO;Nli:S donde. :fo y !f1 son ~unciones analítiqi.s ~n la. vecindad ·del punto .(x~, x~; •._~ , x~) ·, .. Sin perder. generalidad.. podemos consid~rar que . ·· , ya que d . ca~q, d~ ·t0 : tº , ~~; ··.i- 0 ._;. · : . ; ::::: 1 ·.:i-o .::.. .: ·O, . n •. : ,;~ ~rbit~~ri~~ se ..r~duce a .és~~ ui~-·· · <liante ·un dunbio de lás va.dables independientes que· '1'1<1 altere la forma de la ecuación. . . . Si.fa funeión -u(t; xn.: .·, x,.) satisface ·la ecuación (3,2) y las condiciones iniciales ( 4,2), es evidente que las funciones U, Uo satisf~cen au = -, Uk Qt . ·. cu =·- (k = QXrc las ecuaciones '· =1 i i,j=l ,._, 1,2, ... , n) • =1 . (5,2) ,ouk ot QUo (k. QX¡, = 1, 2, .. ., n), (5,2)' ' . (5,2)" Uo y. las condiciones iniciales u (O, .i-1, ... , x,.),'=l:!. ~º (.i1, '. :. : ; x;.), " uo(O, . 1;:..•' X1, '1 ••• , ' x,.) :.(6;2) (6,2)' = f1{x1, •.. , .r,.), •• .of~(.i-1, : : ·:, ~~)' (k ~ ), . ~ ., n): oxrc 1f '!-'":• (6,2)"
  37. 37. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES '' Demostremos la afirmación recíproca: si las funciot;tes . ·U, u0 , "11 •. . , u,. satisfacen las ecuaciones (5,2), (5,2)', (5,2)" para ábreviar, si··satisfacen (5,2) en cierta región G del espacio (t, .i-1, .i-2 , ••• , x,.} conti~a a la región Go del espacio (x1, .i-2, ••• • • •, .%',.) y las condiciones iniciales ( 6,2), ( 6,2) ~ ( 6,2 )" en la región G0 , entonces en toda la región G la función u(t, X1, .i-2,... , ... , x,.) . satisface la ecuación ( 3,2) y las condiciones iniciales (4,2). . o, En efecto, de las relaciones (5;2)" se deduce que en región G Sustituyendo ~; ~oda la por u0 en el miembro derecho de (5,2)' ob- tendremos: (}u¡,=~ ot ot ax-11 o bien-~ ª' [uk - ou J =O. (7,2) ax11 Por eso ou U11-- 0ZÍI no depende de t en toda la región. G. Según la condición (6,2)", Pa.i:a t.:.._ O, en la región G
  38. 38. 29 OLASIFICACIÓN DE LAS ECUAClóNES Por eso de (7,2) se deduce que para todos los t en la región G ou .ax11 . d Susbtuyen o Uo ou = -ot y uk ou, = -- en ox11 (8,2) "' (5,2), obtenemos que la ecuación (3,~) se satisface en toda l~ reg¡ón G. Es d~cir, hemos demostrado qu~ el sistema· (5,2) es equivalente a la ecuación (3,2), si para t = O "' Hablando estrictamente, de los razonamientos anteriores se desprende que no depende de t en todo segmento de la recta paralela al eje Ot íntegramente contenido en la . ~egión, G. Por lo tanto, uk --' ~ = O en la parte a~ . de G que se cubre totalmente por segmentos de rectas i>aralelas al eje Ot, íntegl:amente contenidos en G y que intersectan G0 • Pero las funciones consideradas son analíticas ; por eso de aquí se desprende, segÚn un teorema .conocido de la teoría de funciones analíticas, que eitas expresiones se .anulan en tod_a la región G. Es evidente que el problema de Cauchy para la. ecuación (3,2) se puede reducir al problema de Cauchy para el sistema (5,2) del modo sefialado sin suponer que los coeficientes de la ecuación y las funciones iniciales son analíticas, siempre que la región G sea convexa respecto a t, es decir, siempre que la recta paralela al eje t intersecte la frontera de G a lo sumo en dos puntos.
  39. 39. ECUAClONES· EN DERIVADAS PARci:AÜ:S ·et' sistema ( 5,2) en ciertQ sentido es más rico en soluciones que la ecuación (3.2), ya que las condieiones .iniciales arbitr~rias de la solución u., u 0 , u 1 , • .'. r u,. no tienen que estat vinculadas obligatoriamente · • . En: 'Canlbio; para cdndicioncs iniciales 'arbitrarfus, . por. 1a,s rela c~ones ou .' uk -:- ~. uXk Problema J; Demuestre que el problema ·de Cauchy ·para cl.talquier sistema (1,2) puede ser reclucido al problema de Cauchy ¡fara."ttn sistema de prímerorden de fa ícirma: (1,2). . ' . • ' • ~ : ' ' j ; ' • ' Problema 2. Demuestre que el problema de Cauchy para un sistema no lineal de primer orden de la forma (1,2) puede ser reducido, mediante la derivación de las ecuaciones del sistema y mediante la· introducción de m:.evas funciones incógnitas y ecuaciones complementadas, al problema de. Cauchy para un sistema casilineal de ,ecuaciones de primer orden, es decir, para un sistema lineal respecto a tod.as las derivadas. 4. Por lo· tanto el problema de ·eauchy para la ecuación de segun.do orden, (3,.2). se .redujo .al. problema de Cauchy, para el sistema lineal ( 5,2)' de primer orden. bel mismo modo se puede reducir ~uatquiei- sistema dé la forma '(lt) 'a un 'sistema de ecua,ciories de p~imer orden ..resuelto para. las .clerjvaQa.s respecto a -t de todas las funciones incignitas. Por. eso, el teorema de Kovalevskaya para un · sistema lineal · arbitrario· que puede ser planteado en la: formá ( 1',2) queda· démostrado; si lo: demostramos para un sistema lineal arbitrarió de primer ord'e:n de la forma LL.. N n • ' f .. l . (k) a. 1 • k " l ,' (i , 01'J - oX'k +· , N . ¿· = 1,2, J ·· =1· !'. ' V¡¡Uj +'" C¡ " · · .· ... , N) . (9,2)
  40. 40. cdrl cb~fidthteá"an~lítkbs para las condiciohes irtidal~s atialÍticas arbitrá:tfas ,.,,, ''·" 11 ' ..... : ,•. ' • r . ., .. • " = q¡,(x.11 .z2, .. •1 (i = 1,2, ... , N). .... u,(O, Z1, ... , Zn) : .1!... ; " : ' ' .. . (10,2) x,.) El c~só dé' clialesquiera .funcfones ~nalíticils •q¡l se reduce ·f áci1mehte ~l ·rasó eit' ~Htlal todas las '·· ~ U.¡ ,, • ·¡ 'Í: . 1 ; ' ;~ !, '>- .i . ) ¡ . : ; ' • ' 1 ' • ' . ' . ' ' ,P~r~, ~~.tQ ~. _11,1~1'.. ~e las ..funciones incógnitas anteriores (t, x1, ,'.. '.~ x-.,); i~ti.oduciremos nuevas funciones incógnitas ' •, " '.. ' , •. , . ¡ l • ! , ~l '• ' j • •• ' ' • ' • • . ' · Las funciones v, satisfacen el sistema de ecuaciones: '' 1=,1 J=l -k=l. N N n :·: +¡(~.-'+¡,~ ~ a~~i :·· . ,; . ·:~L . ., , J;=,1~ ,·: ... ,,.. oq¡¡ + ~ bijq¡¡),·· L ·. .. ... axk · .. 1 (12,2) i=l, análogo al sisteinlt '( 9,2), ·Y a las condiciónes iniciale5:. '¡ ''lfl ·~ •¡ " •. : ', . . ' .. v, (o, z1, zl!, •.•.• .x~) ' 1 ' . . ' l . r • ' == o_. . . (13,2) · 'Hábí~'ndo ·d~mostrado la existencia de ta' s~1ución del proble~a dé Oi.ii¿hy para el sistema ( 12,i) cqn condiciones iniciales nulas, del:h?stt'arémt>s ·tiitnbiéir que el· problema inicial tiene sokción.
  41. 41. 32 ECUACIONES EN DERIVADAS 1:ARCIALES 'Para abreviar tas denotaciones, consideraremos que las funciones u, (t, x 1 , . . . . , x,.)" satisfacen las condiciones iniciales 1 . (14,2) u,(O, x1, •.. , a-,.) ==: O. 5. Demostremos primeramente la unicidad de la solución del problema de Cauchy para. el sistema (9,2) con las condiciones · . ' iniciales ( 14,2), en la clase de funciones analíticas, en una vecindad del punto O de coordenadas t = O, x 1 O, ... , x 11 = O; es decir, demostremos que en· ninguna. vecindad de este punto existen dos soluciones analíti~s distintas del sistema (9,2) que satisfagan para t = O las mismas condiciones iniciales ( 14,2) . Las funciones u,(t~ .i-1, ••• , x,.), analíticas en una vecindad del origen de coordenadas, se descomponen en series de potencias d~ t, x 1 , ••• , x,. = en una . vecindad del origen. El cofeiciente tk• ~· .•. x!• del desarrollo de la a!_,., . . . función u,(t, x 11 ,· •• , de x,.) -es La unicidad de Iá. solución del problema de Cauchy quedará demostrada si ~omprobamos que las cÓndiciones inieiales ( 14,2) determinan de un modo único los coeficientes del desarrollo d~ . las funciones u,~ que -satisfacen el sistema. (9,2), en series de potencias de t, x 1 , ••• , x .., o lo que es lo mismo, si demostramos que estas condiciones determinan de una manera única los valores . . . de todas las derivadas de 14• en el punto O de .coordenadas t X1 = x,. = O. Determinaremos estas derivadas sucesivamente. Las condiciones iniciales determinan de una ma- . ''' 1c. = = ...
  42. 42. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 33 nera única los valores, en el punto O, de todas la:s derivadas· de la forma · ' ( . 0ku, Q~l • • • Q~• ) (15,2) 1 = t: = ••• = t: "'G 1 •• Todas estas· derivadas son iguales a. cero, ya qu,e las identidades ( 14,2) se pueden derivar respecto a x 1 , x 2 , ••• , x,.. Supongamos que existe una. solución ºdel problema de Cauchy. Sustituyamos en las ecuaciones (9,2) u 1 por· las funciones que constituyen esta solución. Derivemos todas las identidades obtenidas k1 veces respecto a X1, k.~ veces respecto a .i-2," ••• , k,. veces respecto a x,.. Entonces en los miembros izquierdos se obtienen derivadas de ·1a forma . · º' a~· .:. o~· · (16,2) y en los derechos, las derivadas respecto a X1, X2, ••• , x,. de las funciones idcógnitas y de los coeficientes de la ecuación, es decir, cantidades determinadas unívocamente ~!1 el punto O por las ecuaciones y las condiciones iniciales. Las identidades obteni.das determinan en el punto O los valores de las derivadas de · la forma {16,2) (una derivación respecto a t). Derivemos cada una de las•identidades (9,2) una vez respectó a t, ki veces respecto a X1, ••• , k,. veces respecto a x,.. Entonces, en los miembros derechos se obtienen expresiones formadas por derivadas. de u, de Ja forma- ( 16,2) y ( 15,2) y por las derivadas de los coeficientes a'~] , b H y e,. En los .miembtos izquierdos, se obtienen derivadas de la forma (17,2)
  43. 43. 34 , ECUACIONES EN. I!ERIVA~A..S P~y~S (dos derivaciones respecto a t) .. , Como qu.~ ..Yr~· h.Aµi'?s. ,.~erpp~­ . frado que las derivadas de la forma ( 16,2) y ( 15,2) .. qt.Je,qan determinadas unívocamente en el punto O por las ectiacion.es (9,2) . . y las condiciones iniciales ( 14,2), '. de ~quí se. ded):tce que todas las de:rivadas (17,2) · 'J.Uedan determinadas Uriívócamente en el puhto O. Continuando este proceso, compróbaremos de ese modo, que todas las derivadas de u, quedan determirladáf &n e( punto O de 'úna manera única por las ecuaciones' (9;2) · y· iás' ccíiidkiones iniciales· (14,2). · Pero los valores de todas &tivaélair' di:da íunción ii.nalítica u, (t~ i1, .. ~, %,.) eri. el pti~to' !fijo 'O &termina~ unívocamente !Os' valores de los coeficientes de' la' s'erie' de· potencias de· t, X1> ••• , Xn que es el desarrollo de esta'fuilción en ·una vecindad de y' por eso, determinátflos valotes .die, esta' misina: función en la vecindad del punto O. Por lo tanto, las dos sol u~ dones analíticas del sistema (9,2) con las mismas condiciones iniciales ( 14,2) y· en _cierta ve<:lndad del origen de coordenadas. coinciden necésariamente. Con esto queda demostrada la· unicidad de la solución ·del probl~a de Cauchy para··el· sistema' (9,2) en la: cla'se de· funciones analíticas. · .,. :: " · · · ·' ! .. " tas· o .. l . ' . • ' ' ' : t • : ·, '. 1 • l • •• : •. 1- ; ~. . , ·6. En. el subepfgrafe 5 hemos demostr~do que.'las coi:idiciones iniciales determinan los coeficientes del desárrollo ·dé lq.s fun~ ciories ·ú, eri series'.<le .potencias d~ i, i1, ... ,·;~:"Para i~ dem~~~ tración de la existencia' de la so1ució~ del pr~ble~a de" Cauchy es suficiente demostrar. que· las· series de póterié!ias édrt' lóS' cúéficientes determinados en ehubepígrafe 5 convúgen en lá vecihdad del punto O. Eri efeeto, si estas, series cdnveigen; 'fas 'funciones analíticas u;.(t, x 1 , •• '.', x~) .representadas por ésTu.s;'són iguales a ceró en 'el puÍito O ál ··igual que todas deliVadas ··parcial e~ respecto a x 11 x2, .•. , X',. [ véas.e ( 15,2.)]. P01;, cQnsiguient;e,: son idénticamente nulas respecto· a x 1 , x 2 , •• • , x,. para t = O y, por eso, estas funciones satisfacen las 'condiciones iniciales ( 14,2). Además, satisfacen el sistema (9,2). En· efecto, por la constr~c- sus ·
  44. 44. ci<;)n misma ge, estas funciofés,. ~.. eL puntQ 0 11 los. rnifn;ibrQs. iz:quierdos de las ecuaciones (9,2) y todas suS...d.ervadas respecto ~ t, ..i-1, .... , .xn~ si sustituimos eR los mismos las u, deter.minadas de ese modo,· toman el mismo vaL?t 'que los ·mi,embros derechos y sus derivadas correspondientes en el prbpio punto O,· por consiguiente, los· miembros izquierdos d~ las ecuadones son• idénti<OOs a los derec?os, en cierta vecindad del origen de coordenadas. Para demostrar la ·convergencia de las series potenciales que hemos ob,tenido para las fun.ciones Ui, utilizaremos el método de. -. ·' las mayorantes. 7. Se llama mayorante (o función mayorante) de una ftin'ción analítica 1<p (t, .X1, ... :, .t"n): en' cierta vecindad del 'punto . . . . (tº, .X~' ••• ' .x~), a toda foncióri. analítica ~(t. 'xi, ...• .i-,.) en esta vecindad par~ Ja cual todos los .<;:oeficifntes, dt: su .desarrollo . en serie qe potencias· respectp ·~. t - i0 , ..i-1;• ...:.... .x~, ... , .r ~ - ~! .~ . ..~ -~· ' .., - ' ...... .' "' . .' ' ..... -· son positivos o ·iguales a cero y no menores que lqs valores abso.:. lut~s .. de lós coeficientes correspondiehtes del desarróll~ de· la función <p '( t, ..i-1~ ••• , .x,.). · Traslademos el origen de coordenadas al punto (t°; ~o; ~: .i-6) 1 1 n y construyamos para la función analítiCa"<p ( t, .i-1; · •.. ;'i,.) ·eti la :vecindaq del . orig.en. q~. c;o<?r~ev,adas, una mayo,,-iµit(1. de, for~ · especial que utiliza:r~mQs'. (!ri lo .que sigu~. .. , .... .. ... Sea .'••, ~-. n (18,2) La serie del miembro derecho. converge absolutamente en cierto punto .•..,, t =: ªº' ,.f1 ,= l' ( ¡' - ,, '. '¡¡:, ,a1, • ···~~~" r·!'T· p,., ,dppde tqdo.s. I~. 1 -: ;:· ;j ª•. I .> O. 1.
  45. 45. 36 ECUACIONÉS EN DERIVADAS PARCIALES Entonces existe .un número positivo M tal que para todos los ko, k1 , ••• , kn enteros y no negativos · . Por consiguiente, para todos los k 0, k 11 lCkok. l Por eso~ •.• kn 1 ~ -.;;;:: ••• , kn, se tiene M j.llo j k • j a1 J k 1 .••• j a. j k •• • la función (19,2) es mayorante para la función f (t, X1, ••• , Xn). Se ·puede señalar otro modo de construcción de una serie mayorante. Así, por ejemplo, para la función f (t, . .i-1, ••• , Xn), · representada por la serie ( 18,2), también será mayorante .la · función t + + ... + .i-n .i-1 1 - - - -a - - - ' donde a= min (laol. lail, ... , la;.I), ai 7':0 (i =O, 1, ... , n.) y (ªº' ai,. . .. , an) es un pUlltO de convergencia de la serie ( 18,2).
  46. 46. a.ASIFICACIÓN DE LAS ~ACIONES En efecto, para !ti + se desarrolla en la serie. . ¿ 1 ·oo . =M - a, esta. función )--.. a"' k=O lx1I + ... + lx.I < ¿,._; k0 +k1 + ••• +k.=k (20,2) pero ( ko + ki + ... + k,.) 1 . . ko ! ki ! •.. k,. ! p ----------~ 1 1 , <i' 1 >-----~~~~ 1 ao 1 ko 1 ai , ,.•.•• 1 a. 1 k. , es decir, los coeficientes de. nuestra serie son· positivos y no menores que los coeficientes correspondientes de la serie ( 19,2). Por lo tanto, la función (20,2) también es mayorante para la funcjón. (18,2). ·Exactamente del mismo modo, para la función~ (t, la mayorante es • ~ M ---.t------- = M L -+x1+ ... +x. tencias .de t, r 1 , ••• , k +x1+ ... +x..) ª,. -. , (21,2) donde a tiene el valor anterior, y O < a n~evo • (; x.) k=O (% 1-------a Si desarrollamos de Xi, ••• , ( + + < l. X1 + ... + x,. r en po- x,., obtendremos una serie cuyos coeficientes
  47. 47. W:iC!ONEs. EN. DERIVÁDAS l'ARCÍALES son positivos' Y' mayotes que los; coeficientes correspondientes del desarrollo en potencias de t, x1, ·•.. , x,. de la fi.ukión {20,2):; ya que los coeficientes de la primera .de estas series se obtienen de los coeficientes correspondientes de Ja. segunda serie multipli<~ando - -1 k ' ' . 0 ·por(-) , donde O·< a< l. .. . - 'a . . Observación. J.- Supongámos que la serie potencial~ .' . .. . - ····f(~1• ¿ . :.,z;..)= . . ~ A,. 1,. 2... ,.~~1~• ... z!•, i1,,.1; ...• ,._ + + · converge para lz1I ~ di e,.~., ¡.z.. ¡ ~ d.,. e, donde s~> o es un número,· Supongamos que M* es el valor mayor del módulo de fa función ~ (z1, ... " Zm)' cuando Z1, ... ' Zm toman valores reales; .y .complejos que: satisfacen .las condiciones r•' • .. · · · lzd • t ; : . ¡ ~ . . , ~· . d¡, · · ·1. f Zm • • • ' . ' •• , ' ;. • l i < d.,.. , ' • . Se puede demostrar (véase. V. l. Smirnov-, Curso (le tnateroática sup~rior, tomo 3, part~.2, ~·s3~ 1Fi~~~tgttiz, 1958),.que ~función . M* ,_ (1---'- . l.,-..- ·.....·(··1 -d,,. · •. ;di. · , da. . . 1 Zm) Z1)( Z2) - . . es mayorante para la funciqíi" q¡ (111, •• •', .:,,.) 1 De aquí se deduce que. la función M* Z1 '1- donde d ip (zi, '. ·.. , = + + ·.~ + Zm Z2 d ,. mm ( d1, .•. , · d,i.), ·taÍnbi¿n es mayorante para Zm)~
  48. 48. - K ·Pasemos ahora a· la demo5tl'ación de· la existencia de la solución• de"Ca'ltchy· para 'el· 1sistemá (9,2) coh 'las cdndki'ones iniciales (14,2); uimemoSla' t'problerha 1'' y ai sistema (9,2) . "~istema, 1". · ··. ·Supougainos que· de algún· triódo hemos. mayoraqó' los· coeficientes del· sistema y fos datos irticialés ·de C3.uchy...Obtendremos un nuevo- sistema y un •nuevo· problerrla de ·Cauchy (Hamémoslos, respectivamehte, ·!'sistema· 2" y «problénm ·2'?); Derrtostretnos que la solución; analítica del 1'probfoma 2' 1 ·es máyorante para la soluci6n analítica·· del ·"pro~lema 11'. Si la ·solución del "problema l" .se representa: en fa vecindad del origen por lá serie de potértci~s (22,2) y la solución del "problema 2" poF la serie ,. (i) '" ,.. U, = . '. A,..,. :.. k n 01 ' ' ' " .y,~ ....... ~ •., n 1 '" i " '" '" . ' " debemos demostrar la siguiente desigualdad ·entre fos· coeficíerttes 1 a,.,. .... ,. : ~ A",.. •··,. . '<O (i) ' 1 01 " 01 ' (24,2) " = Para el ~so k 0 O; estas desigualdades se desprenden directamente de que los datos in~ciáles del "problema 2" mayoran los, datos iniciales del "problema·l".: , Para el caso ko > 01 ios c0efi- • . . .,,; ., . , cientes a¡e 0 , ,. .... ,.,. , 1 , .. ' m y respectivamente A,.0 .... , , 1c 1 ... ,,.,., se. , ,: " o~tienen . mediante la suma y ·el producto de»tos ·coeficientes a''>, respecti,.. vamente A<•>, de menor subíndice k 0 ; y de los valores en el punto O de los coeficientes. del sistema 1, respectivam~nte del sistema 2, y de las derivadas de ·estos coefici'éntes. ·'Por eso; es fácil ·com-
  49. 49. ECUACIONES EN DEIUVADAS PARCIALES prqbar.que si para k 0 < k son ciertas las desigualdades (24,2), tambiép lo.serán.para ko = k~ Es decir, son ciertas para todos los coeficientes de los desarrollos (22,2) y (23,2). Por consiguiente, si el "problema 2" tiene solución [converge la serie (23,2)), el "problema 1" también tienesolución.[converge · la serie ( 22,2)]. Pero el "problema 2" puede construirse muy arbitrariamente, ya que podemos escoger de distintas maneras los mayorantes de los c9eficie~tes y los datos iniciales del "problema l". Construyamos el "problema. 2" de. modo tan simple, que su solución se pueda encontrar directamente. Para esto escojamos tos. números M > O, a > O de manera que la función M t . -+x1+ ... +xn 1- <% ----------a para O < a < 1, sea mayorante para todos los coefiéientes del sistema excepto los términos independientes. Para estos· últimos tomaremos una mayorante Coi?lún de la forma t . . -+x1+ ... +xn 1- <% • . " , a Esto se puede hacer, ya que una mayorante de esa forma existe para cada coeficiente y para construir la mayorante común debemos atribuir a los números M y M1 el valor mayor, y para el número a el ~enor, de todos los valores correspondientes a los " La posibilidad de ·escoger M 1 ipdependientemente de M · será útil en lo . sucesivo (compárase con la observació_n 2 al final del epígrafe presente).
  50. 50. 41• CLASIFICACIÓN DE LAS ECUAQONES distintos coeficientes. Habiendo escogido de ese modo los números M, M 1 y a, escribamos el sistema mayorante en la forma au. ot = M t .. -;- + + ··· + Xn X1 1- _______,...._ a donde el número m n N • oi, < O a < 11 [LL~~:+¿u,+m],. J =1 k =1 J =1 (25,2) 1, lo escogeremos más tarde, y Mi = -¡;¡.. Sin fijar aún los datos iniciales buscamos una solución del sistema en la forma U1(t, x,.) X11 ••• , . . . == U11(t, == U,(t,' .i-1, X1, ••• , == donde z = _:!__ OI x,.) U (: ••• , = U(t, + + +. ··· + x,.-. .i-1 x,.) X1 == ... X1, ••• , x,.) = + ... + Xn) = U(z), Sustituyendo la supuesta solu-. ción en el sistema ( 25 ,2), obtendremos que la función U ( z) debe satisfacer la ecuación 1 dU -;- dz = A(z) ( Nn dU + ,NU + m )., dz (26,2) M donde A(z) ~---.Separando en esta ecuación las varia· z 1-bles tendremos a · dU N -.U+ 1 m mA(z)dz .- 1 - - NnA(z) Gr = B(z) dz.
  51. 51. 42 ,.'._&coja.mQs· ahora el núm.~o .posit;ivo, ~ :qn .p.equ~o que. en ,una ·vecindad d.c;Lp~to z..= 0-se . cu¡nple,que . . . ·· · ..l ;_:NnA(z). >·o. .« ·. Entonces B(z) es ' (27,2) en esta vecindad una fundó~-analítica.. ... . " , Demostremos que la 'Solución parcial de la ecuación (26,2) .. • ;. f .• ' o, ....;.. ¡.. ·' = ----- m •" N ' """ V (z) et> dt B (J· . ··,: nos da la mayorante de~ea'.da para la solución del "problema l". Como las fttnciories ú,('t, + ;.. + ~~) ~l; satisfacen el sistema •• • , x,.(= u(!:_ + X1 + ~-~5,2); que ~y~;a el ·sistema inicial, ento11ces_para ciemo.s~~r la afirmación anterior es. sufici~n~e comprobar que U'( z) para t = Ó' es desarroÍlable en .Sede respecto a X1, .%':2~ .'. ·; ~.. COÍ::i' Coeficientes' 'PositIVoS¡ dedi', es maJbratlte del cero idéntico (de los datos iniciales del "pfdblema 1 "): ._. ·es · · En. efecto, ,,... M ... ·4 ('z) = . , . 3· ' es . una. tuncfóri .qu~ tiene 1-:·Í .. ', ,: •.• , . • ¡'' « t1! ¡;.,:·: ¡.: t»' .. f. '! coeficientes no negativos en su desarrollo. segúq z. Por lo tantó B(z) maA(z) 1 ~ aA{.z)Nn. · · ------ = = maA(z) (1 ~·': ~ ':- t. + ·rANttAfz) + a"Wn1Á. 2 (z) + ... ]
  52. 52. CLASIFICACIÓ·N i>'E'. LAS' ECT.Í'ACIONES tambiéfr ·tiene ·toefidehtes ·no negativo~ :en su desarrollo según las potencias de z. Por eso, ·. · · . · . .N f. . . , . .+ 7 czr C(z}~· m' · B(z)ds,·ec<:o . '"el.. . " . ' . tarnbié~ 1 ::::·C(z) ' . " . z) ' " . + ... , U(a) ·.' '•' tjepep, ~.s~ p~~pi~c;lad~ . Ente,>.~~!!~, tam~ién Íqs, co~ficientes del desarrollo de U (.i-1 x2 . .%',.) ;e~ potenciás- de . . X1, x~, . ,., x,r son no negativos, es decir, U (O, .i-1, .i- 2, ••• , .r,.) es en ·realidad una mayorante de cero. ·Por consiguiente, fas funcio- nes + + .. : + . q,·V; x~ • .:.. , x,.) =V (f +:,.t'1··+ ;..,: +'x,.) son solu:- ción del "prpbletna 2". La a~alitiddad de esta solución s·e desprende de que U(z), como se ha mostrado más arriba, es desarrollable en serie. de potencias de z y por fo tan~o en serie de potencias de t, .i-1, • •• , De aquí, según hemos señalado más arriba, se deduce la convergencia de las series· potenciales (22,2) que representan la solución del proble¡:na inicial. x,.. Con esto termina la d~mostración del teorema de Kovalevskaya pa_ra_ ~istem~s lineale,s. .. , . ' ' Obse~ación ·2 . .be 'hi' 4e~~str~dó~ d~l -tepr~rna· se v.e que para las series que dan la solución · al problema de Cauchy el sistemá (9,2) convergen, .en todo casQ, en.la· región donde convergen las series que. dan la solución 'del .problema mayorante. De aquí se deduce que la 'soluci6n del probkina inicial de Cauchy para el sistema (9,2) y para las funciones illiciales. ~·· no 'necesariamertte iguales· a 'éero, t!xist~, · ett· lodo· dísd, en la tegión . ,:·: 'f.'
  53. 53. 44 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES si los coeficientes del sistema (9,2) y las funciones iniciales eran holomorfas en la región 1 t l ~ R, 1.i-;1 ~- R (i = 1, 2, .. ., n,"R· > O). Aquí p y ~ dependen sólo de R y del número M, pero no dependen . de · ninguna forma de Jos valores de las funciones iniciales q?; (.i-1, .i-2, ... , x,.) ni de los términos independientes de las ecuaciones, ya que ni a ni región de vaúación de z, donde se verifica (27,2), dependen de estos valores. la Observaci6n 3. Para los sistemas que no son de la forma ( 1,2) el teorema de Kove.levskaya, en general, no es ~álido como lo ilustra el siguiente ejemplo que pertenece a la propia Kovalevskaya. Consideremos la ecuación ou . 02 u Tt = aa- (28,2) 2 con la condición inicial 1 u(O,.i-)=l.-x' lxl<;:l.. (29,2) Es fácil ver que la solución analítica u(t, x) del problema (28,2), (29,2), si existe, debe repte&entarse en u~ vecindad del · , · 'origen de ~oordenadas por la serie. . ~ (2n)! L- . ni · (1 - t" .i-)2n+1 .. =o sin embargo, esta s~rie divérge en to1o punto ~ra t =F O. Problema. Demuéstrese el teorema de Kovalevskaya para un sistema casilineal de ecuaciones de primer orden.
  54. 54. 45 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES § 3. GENERAUZAOóN DEL PROBLEM. DE CAUCBY. CONCEPTO DE CARACTERtSTICA . 1 Generalizaoi6n del problema de Cauchy. Sea un sistema de N ecuaciones con N funciones incógnitas u1, • f lf>, Xo, ( X1, ••• , Uii, ••• » Uy o"u1 , ) . ' xi' , •.• = 0 . a o•o •... a • · • X,.; U1, ••• , Uy, .• ., xi' xi' 1 .. (i, j = 1, 2, ... , N). . (1,3) Para cada función u; existe el orden mayor n, de las derivadas parciales de esta función respecto a'. las variables independientes x 0 , x 1 , •• ., x,., que figuran en el sistema (1,3). En la región señalada de los puntos (x0, ·X1, .. ., x,.) se define una superficie. S, n-dimensional, suficientemente suave, y en cada punto de la superficie una línea l no ·tangente a S y que varía de forma suficientemente suave al moverse a lo largo de S, por ejemplo, la ·, normal a la superficie. Sobre esta superficie se definen todas las funciones u, y sus d,erivadas en la dirección de la línea l hasta el orden tt• - l. Estas condiciones·impuestas a la superficie S son una generalización de las condiciones ·de Cauchy (de las condiciones iniciales), consideradas en el epígrafe anterior. Tenemos que hallar la soluciónu1 , "2, ... , Uy del sistema (1,3) en cierta vecindad de la superficie S que satisface las· condiciones impuestas a S. 2. Trataremos de reducir este problema al problema de (,auchy, .enunciado en el epígrafe :¡,nterior. Para simplificar, nos limitaremos primero a considerar, en lugar del sistema (1,3), et .siguie.nte sistema lint>al : . . L A<" ... k >(.... .... ,,. ) ;¡¡' • ""º' ""1• ••• , ..... ~ .. + 0"1~1 .~ ..k ~Je u~o·u~11 ~ ¡, + ... us,,.• ~ Í•(Xo, X1, •• ;, x.) =O (i,j=l,2, ... ,N). . (2,3)
  55. 55. Hemos escrito aquí sólo los miembros que contienen las derivadas · ni~s .a,tiás: 1e ·t~s)ú~~drté~ · ili~ó~il~~. •. K.1,. f ,.,~ ! . ~ ., ~ lt ¡ ~ J j ~·~" t } · 1 ' • ; 1 ' :.. ·. _., 1 ! 1 t i : ,.,.., • • r . '· _ ,t. •f '' ' En. l~ vecindad 4e la superficie :S introduciremos nuevas coordenadas CUl'Vilíneas ~~ 1 ~1 ¡ • ·; , de rmnera ·que la ecuación . de la superficies tome la forma o que las líneas l coincidan con las líneas coordenadas en eo·= y . e1·= C11'~ :_ C2, · .. ,en= e,,. Para esto p;recisemos la supÓsidón sobre. ei carácter suave de la superficie S y de las iíneas l. Supongámos que para 1á superffcie se pUed~n irítioducir fos ..P,arámetrós 1 , . ~ •• ; ~n : . . .. e . Xo X1 '"7" = Xo X1 en.), } .. (~i, • • •• (q:r, .... ., e,t), ·, . ·~~····~~·(~1~":::.:~e~):, de mat;iera .que el rango de la . ox· llill (i = < 3 .~) . mati:iz fw;iciona,l .. ' . O, 1,' ... , n; k.~-:::; . ' 1,' 2, .,.. , n) sea igual a n én cada punto de S, .y que los. miembros d<i!rec:hos -en ( 3,3) sean funciones suficientemente ;suave&, ,. Suponga~os qtie las Hticas t· se ·definen por 'las ecuaciones paramétricas · ·· · ·· ' ~? ...•~; ,'.:·:..:·:.:: :'. :''.}:} .t;t1 donde x.. .ceo.. ~h ••• , ····';" (4,3) en), eo es el parámetro 4~.. l1Í pu~to a lo largo de 1~ línea l y e ···,·en son los Pét:r~etr9~ d~l pUt~to ·d~: intersección de l con S. 1,
  56. 56. . 49.'. Además,. $e &upone .que lo.& mieml>ros: dereehos.de las. ecua,<;iones (4,3) so.n fa_ncj~ne$ suficientemente suave$ d~. tc:>dos..$U& ,;¡.rgµ, mentos. Respecto al parámetro · 1 denva.da¡¡ as ax. e· ~o supóndremós qúe; al m~~o's una' d~ o 1,. ·.··, n. es 1.11~tmta d~.cero, y ·_que ) ..1· • · ~ i ::::::;:. , :. • o . , . . . ' ; .. ' ·. el punto de mtirrsecc1on de la lmea l cqn la superf1c1e S. corresponde al valor ·= és decir' las ecuaciones: ( 4,3) ..J.>ara ~~ " o son iguales a tas eé:uaCiones· ( 3;5) de ia· superficie S). · · · ' ~. 1 eo : . . . . :· • '... • • ·, ' •• o( .. Demostremos ahora que el determinante func;ional ' - ' ' ., .. ' ' ',. . 0X~ oXo 0X1. aeo aeo• ... : aeo ' . I ......: ·axº ax1 a;1 a;l· . 1 ·ex.·. Ti (S,3) . ... . . ' oXo 0X1 0Xn ae.. aen ... aen es distinto de cero en cierta v~cindad de la superfic~e S. O, · · · · · ·· · superficie S, es decir, para ~º En la = ex.. .a.;., ... , .... - , .. :r1 ''.1 '.· . •. . . , . . •.. . .· •I . ' ' (~,3)
  57. 57. 48 ECUACIONES EN DERIVADAS PAll.CIALES · · Las últimas n filas del determinante ( 6,3) son linealmente independientes, ya que por suposición el ·rango d~ la . matriz funcior{al 11 ~:: ff (i = O: 1 , .. ., n ; k = 1 , ... , n) es igual a n. Si el determinante ( 6,3) fuera igual a cero, su primera fila, que representa un Vl'!ctor no nulo tangente a l, sería una combinación lineal de las últimas .n filas. Pero esto es imposible, ya que · las últimas n filas representan vectores situados sobre el hiperplano tangente a S y las líneas l por suposición no son tangentes a S. Por continuidad, el determinante (5,3) es distinto de cero en cierta, vecindad de S .. Por eso, en esta ·vecindad, se pueden tomar como nuevas coordenadas del punto (x0 , X1, • •• , Xn). eo, ei, ... , e,. e , , ... , e Pasemos a las variables indepehdientes o ~ 1 en las n ecuaciones ( 2,3). En las ecuaciones transformadas nos van a interesar principalmente los términos que contienen las derivadas de u, respecto a ~o de orden superior a n;. Escribiendo sólo estos miembros obtendremos Por eso, escribiendo sólo los miembros.éon las dérivadas de mayor ·orden de las funciones U¡ respecto· a ~o en las ecuaciones obtenidas ·de la transformación de las, ecuaciones (2,3), tendremos N ==o '=1 =nJ 11:, + ••• + 11:. (i = 1, 2, (7,3) ... , N).
  58. 58. 49 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Para que estas ecuaciones se puedan resolver unívocamente o"iu¡ . . . ~ respecto a - - - en cierta vecmdad de s , siendo arh.· itrar1os 1 os . ae~1 . demás términos. de la ecuación (que no están escritos explícitamente), es necesario y suficiente que en todos los puntos de la · superficie S el determinante ' IL (i, J = 1, 2, .. . , N). sea distinto de cero. Entonces, en virtud de la continuidad de los ~ ~, coeficientes A ª'• ... k.> y de las derivadas H (}X¡, . este determinante también es· distinto de cero en cierta vecindad de la superficie S en el espacio (x0, X1, ... , x,.).' La ecuación IL A<k./'1 ... ,..> (x ij o 1 º' .•• , X',.) izl'o iz1'1 .' •• (i, j = 1, 2, q,k. , .. =O ... , N) se llama ecuación característica d«:>l sistema (2,3) ; aquí ªº' ,. son ciertos parámetros para los cuales ¿::: a~ .• del hiperplanoti L "'"º • ix11o(x,. - (8,3) x~) - O fJ.1, •• ., a,. :/= O. lA dirección
  59. 59. ·so , stH-lama dir'ección caracferística en el' punto · ( x~ , • .. ; ~) del sis- t~m~ (2,.3 ).; :si. , ""'·. · .,_, '·.·~ .....-~·l~:·1·"•>(~,·~, .. ·~, ·~~) ~º .; •. ~ k +.~=n 1=:0 6 • . .La superfici~ q¡ (xo, Xi1 •• ., .rn) · · O se llama superficie característica del sistema (2¡3) o simplemente cara~t~rística, si en cada. punto de'· esta superficie L J. A~~·k,. .. k.>(xo,X1, ••. ,xn)X "• + •• ; +1'. =·ni . X.·( Oq> .. ' .. 3ro ),.º (· ~ ),.'..' .e·~.)·"·' 1 QXn QX1 . o . y si al meno; una de las derivadas íc}q¡ ( k = O; l¡ ... , n) es . distinta de . . cero._ · ax,. De estas definiciones se deduce que la dirección de cada:hiperplano tangente a· la superficie i;aracterís.tica o, como vamos a deci~ para abreviar, la dirección ·de 'fa ¿uperficie 'característica es carac.terística pi todo punto, · · . . '' '!•"¡ 6 a2, · que • , .• ·"' ,, ,,, •¡ Debido a que la ecuaciprr-(8,3) es homogénea respecto a las incógnit.as 1 ••• , a,., estas variables se pueden normar suponiendo, por ejemplo, ª n ¿ a~ = ' l. En~onces .ª''. será el coseno~9el k=o al hiperplano característico y el ·eje Ox,.. . ángulo entre la norma
  60. 60. 51 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 3. De lo anterior se ve que si ·la dirección de la superficie S de la cµal ·se ti;ató en el ·enunciado del problema generalizado de Cauchy, no es dirección característica del sistema: (2,3) en ningún. punto, entonces, después de sustituir por t;o , t; 1 , ... ; .;.. las éoor.- · • denadas Xo, X1, • · ·, X,., según se describió en el subepígrafe 2, el sistema t,ransformado (7,3) se puede resolver siempre en la vecindad de l:¡. superfiéie . S, respecto. ·a. las derivadas de orden superior de. u, respecto a ~0 • Se obtiene el sistema O"•Ut ot;"~ o "'"""' • .= Lp~~· ... k,,>(t;o, " OkU; ... ,t;;.) a.;k, ... º~" o /,k +F.(t;o, ... ,.;!') " (9,3) (i, j ._:.._ 1, 2, ... , N; k·= k0 + k ·+ ... + k,. ~·n;; kCJ < n1). 1 1 Las condiciones definid~s para la superficie S se convierten en las condiciones k = O,J, .... , n,-1, (10,3) i=1,2, . . ·,,N: Por lo tanto, si la superficie S no tiene direcéión característica en ningún plinto, el problema generalizado de Cauchy se .reduce al problema anterior de Cauchy. El P.aso del primero de estos problemas al segundo es totalmente reversible: a cada solución suficientemente suave7 de uno ~orresponde una única ;solución suave del otro. u, · 1 Es suficiente exigir que· las funciones tengan derivadas continuas inclusive, y que las funciones que determinan el cambio hasta el orden de coordenadas tengan derivadas continuas hasta el orden máx (no), inclu. . sive. n, .
  61. 61. 52 ECUACIONES E~ DERIVADAS PARCIALES . Pero en el epígrafe antenor se trató de la solución de un sistema. con co¿<ficientes analíticos y. con condicianes iniciales analíticas. Para que el sistema (9,3) y el problema. de Cauchy para él satisfagan estas exigencias es suficiente que- se cumplan las s~guientes condiciones complementarias : (a) Los coeficientes del sistema (2,3) son funciones ana!Hicas de Xo, ·. · ·, Xn. = (b). Las funciones xi X• ( ~ 6 , ; 1 , • • • , ~n) (i = O, 1 , ... ; n) són funciones aruuíticas de sus argumentos. La posibilidad de escoger las f undones analíticas X depende del carácter de la superficie S y de la familia de líneas l. Llamaremos a la superficie S y a la fámilia de líneas l~ para las cual~s esto es posible, superficie analítica y familia analítica de líneas, respectivamente. · ' . Si la superficie está.dada por la ecuación F(x 0 , x 1 , •. ., Xn) =O, es analÍtica siempre que F(xo, X1, .. ., Xn) sea una función analítica . de sus. argumentos y la ·superficie no tenga puntos singulares (puntós donde todas las primeras derivadas de la función F se convierten en cero). La familia de las norinales a la superficie analítica es una familia analíti~.de líneas. . ( c) Las condiciones iniciales son fu,ncio"ues analíticas de ·~ 1 ,· ... ' .... • l: De ácuerdo con el teorema de Kovalevskaya, podemos decir . ' que al cumplirse las ·condiciones (.a), ( b) y ( c) el problema generalizado de Cauchy tiene siempre solución única, eh una ·cierta vecindad de la superficie S, si la superficie no tiene dirección característica en ningún punto.
  62. 62. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUAc;:IONES 53 Si la superficie S tiene en el punto .A una dirección carac'terística, es decir, si en el punto A de la superficie ~o(Xo, .•• , Xn) - O se cumple la igualdad entonces en la superficie S, en general, no se pueden dar valores • arbit~arios a las funciones u 0 ni. a sus derivadas, si s~ quiere que "el probléma generalizado de Cauchy tenga solución. En efecto, dejemos todos los términGs que contenia.Il derivadas de orden ff_• respecto a 1;0 de las funciones u, en los miembros izquierdos de Ia·s ecuaciones ( 7,3) y pasemos el resto de los términos a la derecha. Entonces, en virtud de la condición (11,3), en el punto A, ·existe dependencia lineal entre los miembros izquierdos de las ecuaciones obtenidas. Esa misma dependencia lineal debe existir también entre los miembros derechos de estas ecuaciones,_ los cuales se determinan totalmente por los valores dados a las funciones u, y a sus derivada~, en la superficie S. Esto impone una relación · determinada a las condiciones iniciales, siempre que la dependencia lineal exigida entre los miembros derechos de las ecuaciones no se cumpla idénticamente para todos los valores en S de las funciones u, y de sus derivadas. En este último caso, y también en el caso en qu~ las_ condiciones de Cauchy ·para la superficie característica S estén _dadas de tal manera que el sistema tenga
  63. 63. 54 ECUACIONES EN DERIVADA.S PARCIALES ' .solución r-especto a las derivad~.s de orden superior respecto a ~º' considerada~ como funciones de las variables independientes ~o, . • ., ~n' . (k = .U¡, L ka.~ n,:. • • • ' UN, · ko < o"u1. k a~oº··· a~ft n;, j = 1, ... , N), ·esa solución puede no ser única en la vecindad del punto A. ·Determinemos, para alglinos. ejemplos concretos, las direcciopes características de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. Supondremos siempre que (12,3). es decir; ac; denota el coseno del ángulo entre el 'eje Ox• y la normal al hiperplano de di~ección característica. Ejemplo 1. Para la ecuación de Laplace a2u a2u . -+ ... +-=O ox! . ax~ la relación ( 8,3) toma la. forrr.ia a~ + a; + . . . + a! = O. Teniehdo en cuenta ( 12,3), probemo·s que la ecuación de Laplace' no tiene direcciones características reáles . . Ejemplo 2. Para la ecuación de ondas 02U 02U -=-· ax~ 0 +ax~ ax;. 2 U
  64. 64. . . 55 CLASIF.ICACIÓN DE LAS ECUACIONES la relación (8,3) toma la rorma. a~ - ·a~ - a~ = O. De acuerdo con ( '1.4,3), d.ebe cumplirse que a2+a2+a2=l o 1 2. • ' ·• . 1 y, por eso 2a 2 = 1 ; . a = -+- -=. Es decir, los planos tangentes u o . y2 • '. . a todas las superficies cara1;terísticas forman con el eje Ox0 un ángulo de 4Só. Valiéndonos de esta propiedad de las superficies características es fácil imaginar qué forma tienen las superficies const. características que pasan por cier.tas curvas en el plano Xo Por ejemplo, la superficie característica que pasa por una recta cualquiera l de este plajio, es un plano que pasa por l y que forma con el plano x 0 = const. un ángulo de 45°. La superficie característica que pasa por una circunferencia K contenida en el pla~Q Xo = const., es la superficie lateral del cono circular·cuyo eje es . . paralelo al eje 0~0 y cuyas generatrices forman ún ángulo de 45° con el plano x 0 = const. o, lo que es lo mismo, éon el eje Ox0 • = . . ' . Es fácil ver, que para la llamada ecuación de ondas', en ,el espacio n dimensional Q2tt 02U ~· = ;-2 v.i o vX i + ~fu + vX2 -;---;¡ . + ()2u -;---;¡ vx,. son válidos resultados· análogos. Ejemplo 3. Para ·1a ecuación de la conducción térmica
  65. 65. 56 ECUACION~S EN DERIVADAS PARCIALES la relación ( 8,.3) toma la forma ª12 + ... + a2n.= O. De acuerdo con ( 12,3) de aquí se deduce que a~ = l. Por eso lbs hiperplanos %o = const. son .las superficies características. Ejemplo 4. Para la ecuación ' ou + adx1;. ·· . . , Xn) ;-- + ou a1(Xi, . ... , Xn) ;--uX1 • .uX2 la relación ( 8,3) toma la forma a1(X1, .. . , Xn) 1%1 + a2(r1, ... ; Xn) «2 '• •· + + ... an (.r1, .. ., Xn) an = 0. Por'eso, todos los hiperpianos que pasen por el punto (,r1 , ••• , Xn) ·y por el vector que sale de este punto y cuyos componentes son ( a11 ••• , a,.), tienen en· este punto una dirección característica. Ejemplo S. Para los sistemas de ecuaciones con· dos variables independientes. n .. .. . + )"' Ci;(X1, "--J /=l (i, j = 1, 2, .. :, n) ' %2)Uj = 0
  66. 66. 57 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES la relación (8,3) toma la forma 1 Gl1aiJ(X1, X2) + Gl2bt;(Xi, X2) = Ü. 1 Las líneas características serán las líneas a lo largo de· 1as. cuales dx2 d . . o~ oq¡ . l . , k I . . -d-.-~ es ec1r., - -':-- : -':--, es 1gua a una ra1z cua qu1e.ra X¡ uX1 vX2 de la ecuación 1- ka;.¡(xi. x,) + b~1(x1, .i-2) Consideramos aquí que q¡ (x1, X2) la línea característica. 1=·o. = con!;t. es la ecuación de Problema. Demuestre ·que· para una transformación suave' no degenerada de las coordenadas, ta superficie característica del sistema (2,3) se convierte en 'la superficie característira del sistema transformado, es decir, las características son invariantes respecto ª.una transformación no degenerada de las coordenada1>. 4. Para sistemas no_ lineales de la forma ,.~o"ui oo• i•···Gl x",.• ,·.... )=º . (13,3) k = k + ki + + kn ~ n1) <1>.(xo, ... ,x,.; u1, .. .,uN,···· (i, j = 1, ... , N; 0 la ecuación característic;a se.define de la siguiente manera· . 0<1>. --{-.-.-i()-"-1u_¡ _ _ _ }_ 'o . ox"o0 0~· , · · ox"· 1 .. ª~º .. · ~· O· (14,3)
  67. 67. , 58 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES La superficie . (15,3) se llama característica para el sistema ( 13,3) y para la solución . «lada u1, u2, .. ., uN .de este ~istema, si en todo punto de esta: superficie y para las funciones consideradas· u 1 , u 2 , ••• , uN se cutÍlple l.a siguiente identidad : o. Análogamente se definen la·s direcciones caracter,ísticas del sistema (IJ,3) en un punto dado delespacio (x-0, ••• , X'n) para la solución· dada u1 , • u 2 , .••• , uN. En el caso de sistemas no lineales, sólo tiene seb.tido hablar 9e la dirección característica del hiperplano L ak(X'k - .~Z) ='o en el punto dado, si nos referimos a una solución determinada U1, U2, ••• , uN del sistema ( 13,3) ya que los coeficientes dt; la ecuación ( 14,3) dependen, en este caso, en general, de las funciones Ui y de sus derivadas hasta el orden ·ni. Con. un, procedimiento análogo al utilizado en el subepígrafe anterior se puede: dén'iostrar lo siguiente : Supongamos que en una superficie analítica están dadas. las condiciones d~ Cauchy y supongamos que todas las funcione:;• definidas en esa superficie son analíticas. Puesto que después de pasar a· las coordenadas · ~º; /;_1 , • • • , l;n el sistema deja de ser lineal, obtendremos para 1 ª"'Ui un sistema no lineal de ecuaciones;· designémoslo por .• a.;~, ~-
  68. 68. CLASIFICACIÓ~. DE LAS .ECUACIONES 59 Este sistema tiene, .en general, varias soluciones respecto a i . = 1., 2, . . . 0:•U¡ ' a.. ~, ... , N, consideradas como funciones de 'las variables . independientes ~ =:E. ks ~ti¡, kc º , .. ·. , < ~ , ... , u , ... , ,. (j = é)ku¡ a~· ' ti ... a~-· , k = " Z, ... , N): Supongamos que en Un entor110 de la hipersuperficie e~ = q y para los valores de U¡ y n¡ ' 1, de sus- derivadas definidas sobre aquélla hemos escogido p<,i.ra o"•U· ~ (i a..~, = 1 , 2, ... , N) un sistema cualquiera de func.iones analíticas de ~ 0 ... ' e ' ... ' u. ' " ;J 'Oku¡ ... ' 1 ae~. . .. ae!· ' k = ~ k, ~ n;, -k < n1 (j = 1, 2, ... , N), que satisface las ecua0 . cione~ de ~. De ese modo determinaremos los valor~s de ·0 :·~• a,o"' en la super~icie S a partir de ·1as condiciones iniciales del p~oblema generalizado de Cauchy definidas en la misma.· Volviendo a las · coordenadas x 0 , ••• , x,. obtendremos en la superficie S los valores de todas las funciones Ui y de todas . sus derivadas respecto á · x 0 , ••• , x,. hasta el orden n._ 'sustituyén.dolas por ui y sus de: rivadas en la ·ecuadón ( 14,3), obtendremos una ecuación totalmente determinada para a0, a1, ••• , ex,,. Por consiguiente, podremos de ese modo determinar las direcciones característiéas en, ca<h.l punto (xq, x1, ... , x,.) de la superficie·s. Supongamos que la superficie S no tiene dirección· característica en ningún puntó. Entonces se puede demostrar que el problema .generalizado de Cauchy, planteado de ese modo para el sistema (13,~), tiene una 0"•U¡ solución. analítica única para los valores de - - seleccionados d~ esta manera en S. a.;:, .
  69. 69. 60 ECUACIONES EN DERIVA_DAS P.ARCIALES § 4. SOBRE LA UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CAUCHY EN LA el.ASE DE FUNCIONES NO ANALÍTICAS l. Del teorema de Xovalev~ya se d!ducen la existencia y la unicidad de la solución del problema de Cauchy en la clase. de funciones analíticas, si las condiciones analíticas de Cauchy se dan en una superficie analítica S, que no' tiene dirección característica en ningún punto. De los razonamientos realizados en los §§ 2 y 3 se deduce que si todas las funciones que figuran en las ecuaciones dadas y en las condiciones iniciale~ toman valores .reales para valores reales de los argumentos; las soluciones d~l problema de Cauchy también serán reales. Surge la cuestión : ¿No habrá en este caso otras soluciones del problema de Cauchy que la solución analítica de Kovalevskaya? Para qne un sistema de funciones (u,, ... , uN) sea solución del problema de Cauchy no es necesario exigir, en el caso real, que todas las funciones u';, sean analíticas y, además, es suficiente que tengan derivadas. de los órdenes que figuran en las ecuaciones consideradas. A, pesar de' los esfuerzos de muchos matemáticos destacados, esta cuestión hasta ahora no ha sido resuelta: · En 1901 Holmgren demostró la unicidad de la solución del problema de Cauchy para las condiciones iniciales ( 10,3) y los sistemas de ecuaciones lineales de la forma (9,3) con coeficientes analíticos, en la clase de funciones con: derivadas continuas de todos los órdenes que figuran en el sistema considerado. Hagamos la demostración 1de este teorema. Para simplificar la exposición, supondremos que el núme_ro de variables independientes es igual a dos, aunque la misma demostración,, en esencia, es aplicable a cualquier número de variables
  70. 70. CLASIFICACI(>N DE LAS ECUACIONES . 61 independientes. -Supongamos también que d sistema considerado es de primer orden. De acuerdo con lo dicho en el § 2 el caso general se reduce a éste. Sean'":: e y las variables independientes y supongamos_, ·primeramente, que el problema de Cauchy.. se · plantea para el tramo de la recta '?' coordenadas. = O qu~ ~ontiene el origen de Es decir, consideramos el sistema de ecuaciones " 'Oz; · ""' --;:: = L ax ,. ._, oz j A,;(x, y) OY ... +L ""' ,_ B,;(x, y)z1 ,..., + c,(x, y)· . (1.4) =1 , ·. (i = 1, 2, ..'., n) j" 1 j . y las condiciones iniciales Z;(O, y) qJ; (y) . .. e, (2,4) A 01 , BH, son funciones analíticas de sus argum~ntos en cierta vecindaq del origen de coordenadas. Supongamos .que en un entorno del origen de coordenadas hay dos soluciones del sistema ( 1,4) que satisfacen las mismas condiciones iniciales (2,4) y que ,_, ,_, constan de las_ funciones z1, : •• , z,. (pritne~a solución) y Z1, .. ., z,. (segunda solución), cuyas primeras· derivadas parciafos son continuas. Es necesario demostrar que estas soluciones son iguales en cierta vecindad del origen 'de coordenadas. Supongamos que ,..., Z¡ - Z¡ = ,_, U¡ (i = 1, 2, ... , n). ;o
  71. 71. ··.92 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES .·,...., Entonces, todas las "' son, en un entorno de O, fondones· derivables que. satisfacen las. ecuaciones ¿.. · ,. . , . - º"1 + ¿ Bii(x,, y)u1 ,. . -- n oii, -- = '>.";'· n Ail (x, y)-.-. J=l V oy . • (i ~ 1, 2; ... , n) J=l, y las condiciones iniciáles ,....., U¡{O, y)= o Demostremos que todas (i = 1, 2, ... , 1i). ,.._, la~ . u, O .en un entorno del punto ==;= ,...., O ( 0,0). Introduzcamos .en lugar de x la nueva variable indepen. diente y· consideremos t r,.J ,......, · u;,(x, y) ~ u,(x,· y) = u_.(..i'- y .. ,_..,, 1 2 y) , (i = ( 2, .. . , n) . .Entonces las funciones u; verificarán el sistema· de ecuaciones . é)u, ~ vx = 2y ¿ • n . i +¿ · . +¿ y•,' • t1 'Qu¡ Ail(x-y2,y) ~ vX· =1 A, 1(.1: - y2 ,y) j n · =1 • B, 1 (.x - l.= 1 é)u¡ ".:·+ • vY · y)u; (3,4) • o bien, despejando en este sistema las derivadas respecto a x e int:r;oduciendo. nuevas notaciones, obtendremos' .OUi • ·~ ax· = L 'Ou{ ai;(X, y) /=1 ~ ay + L . b.•1(.x, y)u¡ /=1 (i = 1, 2, ... , n). (4,4)
  72. 72. 63 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES (La posibilidad de despejar en el sistema (3,4) las derivadas indicadas se deduce del hecho de que. el determinante. del sistema no puede ser cero en un entorno del -·origen de coordenadas O del plano (x, y) . .¡Compruébese!) Los coefiCientes aii y bt¡ son analíticos en un entorno del .punto O. ·Las funciones Ui son derivables ~n un entorno de O y se anulan en la parábola ':f = ·x .. Demostraremos que i:odas las u, O en un entorno de :O para == x >y 2 ~ • Con esto quedará probado· que todas las ui ,...., -- entorno de O para x x ,...., > O. El caso· x < . = O en un ' O se reduce al caso > 15 sustituyendo x por -x. , Tracemos la recta x = a (a > O; fig. 1) y denotemos con Ha la región comprendida entre el segmento la de esta recta y la parte Ka de la parábola y 2 x. Si a es suficientemente pequeño, todas las funciones u, son continuas al igual .que sus derivadá.s parciales de primer orden, incluso hasta la frontera Ha (decimos que una función definida en la región H es contiriua incluso hastá. la frontera H* de esta región, si · se . puede extender· la función a H* de manera que la función obtenida sea continua H*). en H Denotemos, para abreviar, = + ti .F,(u) • == ou, - ~ au ()u¡ - ~ bi,UJ oxL oy·L J=l J:st . (s _. 1, 2, ••• , n), G,(v) "· = ti == ~:• -.¿ :y i=t • (aHv1) + L b,.v, J=l (i -: l, 2, .. ., n). . Fig. 1
  73. 73. • 64 ECUACIONES EN DERIVADAS RARCIALES Supongamos que en Ha se tienen dos funciones u; y v; continuas incluso la frontera_ H 0 , al igual que su~ primeras derivadas parcúilé~. Entonces, la integración por partes da hasta JJ['f . H,¡ + [v;F,(u) ·i u 0G0 (v)]} dx dy ·=· '"'1 donde el contorno que limita a Ha (es decir, Ka+ la), se recorre en la dirección positiva. Si, en particular, u, es el sistema de soluciones de las ecuaciones ( 4,4 )' d~terminado anteriormente y si el sistema de funciones 'V1 , ••• , v,. satisface las ecuaciones G;(v) =O (i = 1, ., n), (6,4). l ehtonces de (5,4) se obtiene i n· J¿ i u,v,dy o. ' (7,4) • i =1 Recurramos ahora a algunos resultados obtenidos al realizar la demostración del teorema dt: Kovalevskaya para un sistema de ecuaciones lineales. Utilicemos las observaciopes 1 y 2 del § 2 y resolvamos el sistema de ecuaciones ( 6,4) en un entorno .del punto 1 .! . '' j
  74. 74. 65 CLASIFICACIÓN DE LAS 'ECUACIONES (a, O), tomando como condiciones i~iciales para la todos los sis; temas posibles 'de polinomios. La constante M puede ser tomada igual a la constante M*, definida en la observación 1 del § 2 y común para todos los puntos (a, O). Entonces, en virtud de la observación 2 del § ?. ,pocj.emos afirmar que, si a es suficientemente pequeño, todas las funciones que constituyen la .solución del sistema ( 6,4) y verifican las condiciones inicialc::s establecidas, son, desde luego, definidas y analíticas en Ha y, por consiguiente, son continuas incluso hasta la frontera Ha al igual que sus derivadas parciales. (ao De modo que laigualdad (7,4) se verifica si O <a < es "un número positivo fijo) y toqas las v, son polinomios cualesquiera. Fijemos un a que cumpla esta condición y"sea s~ la longitud del segmento la. Según el conocido teorema de Weierstrass; para cualquier e > O existe un sistema de polinomios v, (i .:.._ 1, ... , n), tales que en todos los puntos de la se tiene ªº 1 Ui - Vi 1< i (i = 1, ... , n). (8,4)• De acuerdo con las fórmulas (7,4) y (8,4), a = i =1 . J¿ ¡ • i u,v,dy + . J¿ .. u,(u• -v.) dy =1 ~esa¿ Il:xl u,¡., i=1 de donde, en virtud de la arbitrariedad de e, obtendremos ¡¿ u~dY, = º· i• • =1 ~
  75. 75. 66 ECUACil)NES EN DERIVADAS PARCIALES ~s decir, todas las u; ;;;;a. O en la, siempre que O < a esto queda demostrado ~1 teorema· de Holmgren. <. ao. Con Aplicando este teoren;ia y mediante un cambio de variables · independientes, es fácil demostrar la unicidad .de la solución del problema generalizado de Cauchy,. con las suposiciones anteriores respecto al sistema' ( 1,4) y para el caso en qtie las condiciones iniciales se den sobre una línea analí~ica que no tiene dirección característica en ningún P.Unto. Un teorema a~álogo es válido para sistemas lineales con un número mayor de variables. i~de­ pendientes, cuando las condiciones iniciales· se dan para uri~ superficie analítica s; sólo es necesario que la superficie· s no tenga .dirección característica en ningún punto. De las funciones que con~tituy~n la solución se puede exigir que estén definidas solamente de un ladp de S y que sean continuas, al igual que sus derivadas· parciales de primer orden, incluso .hasta S. Si para estas condicioil.'es, dos soluciones s,on iguales en S, también lo son en una vecindad de S. Obser:vación. Se puede describir de _una manera más exacta la región del plano (r, y ) dónde. la solución del problema .de Cauchy para el sistema ( 1,4) se determina unívocamente por las condiciones iniciales. (región de unicidad). Supongamos que estas condiciones iniciales se plantean para, el segmento AB del eje ·;"' = O y las solucion~s se -consideran a la d~recha de este eje. Tracemós, por los puntos· A y B y hacia la. qerecha, las características más próximas al segmento AB. Entonces sé puede demostr.ar que la región comprendida entre el segmento AB y estas .dos características es la región de unicidad de la solución del ·problema de Cauchy. Análcígamente se determina la región dé unicidad .para el cáso en que el número de variables independientes

×