Integrales

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  • sorry pero comprobe el ejercicio una de la integral impropia de primera especie y esta incorrecto, puesto que es 1-1/t , de todos modos da como resultado 1 por ende converge pero verifiquen
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Integrales

  1. 1. Integrales<br />Integrales impropias <br />Una integral es impropia si: <br />Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie) <br />La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie) <br />Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones: <br />o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde con el valor del límite (ejemplo superior). <br />o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado. <br />Integrales impropias <br />· Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson. <br />· Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie. <br />· Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental. <br />INTEGRALES IMPROPIAS. <br />Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.       <br />Integrales impropias de primera especie. <br />Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) =1 x2 con el eje X, a partir de x = 1.         =<br />1+∞dx= limb →∞1b1x2dx=+ limb →∞ x-1-1b1limn→∞1+1nn       <br />Integrales impropias de segunda especie. <br />Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:         <br />ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1. <br />  El recinto tendrá 1 u.a. <br />   <br />Carácter y valor de las Integrales Impropias <br />Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:<br />1-Primera especie<br />Son del tipo: -∞+∞fxdx= lima →∞cbf xdx+ limb →∞cbf xdx.<br />Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):<br />Si existe él y es finito y en ese caso, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.<br />2-Segunda Especie <br />Son del tipo: y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración.<br />Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a):<br />Si existe el existe y es finito y en este caso , entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso o no.<br />3-Tercera Especie <br />Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.<br />Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.<br />

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