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MatemáTica
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  • 1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “ DANIEL ÁLVAREZ BURNEO” GEOMETRÍA DEL ESPACIO DR. VICENTE MATAMOROS
  • 2.
    • Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.
  • 3. Sitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de manera que cada línea de tres números, sume 13.
  • 4.  
  • 5. PIRAMIDES
  • 6.  
  • 7.  
  • 8.  
  • 9. DEFINICIÓN
    • Poliedro que tiene una cara llamada base, que es un polígono cualquiera y las otras, llamadas caras laterales, son triángulos que tienen un vértice común, llamado vértice o cúspide de la pirámide.
  • 10. ELEMENTOS
  • 11. CLASIFICACIÓN
  • 12. Calculo de la apotema
  • 13. Calculo de la arista
  • 14. Cálculo de la apotema lateral b=15m a= 1,8m c=?
  • 15. TEOREMAS
  • 16. Área de una pirámide
  • 17. Área lateral “ El área lateral de una pirámide regular es la mitad del producto del perímetro de la case y la apotema de la pirámide” Hipótesis: S-ABCDE pirámide regular Demostración: A ﺎ = área ∆ ASB . N área ∆ ASB = ½ AB . a A ﺎ = ½ AB . a n AB . n = p A ﺎ = ½ p a Tesis: A ﺎ = ½ p a S A B C D E S a
  • 18. Área total El área total de una pirámide regular es la suma del área lateral y el área de la base A t = A ﺎ + A b A ﺎ = ½ p a A b = ½ p a’ A t = ½ p a + ½ p a’ A t = ½ p (a + a’)
  • 19. Volumen de una pirámide
  • 20. “ Si dos pirámides tienen bases equivalentes a la misma altura, entonces tienen el mismo volumen” Hipótesis: h altura de las pirámides V-ACD y O-PQRS B misma área de las bases Tesis: Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen Demostración: A’C’D’ y P’Q’R’S’ secciones transversales a las dos pirámides Sección A’C’D’ es equivalente a P’Q’R’S’ Pirámides V-ACD y O-PQRS tienen el mismo volumen V A C D A’ D’ C’ h B P Q R S O P’ Q’ R’ S’ B h
  • 21. Volumen de una pirámide triangular “ El volumen de una pirámide triangular es un tercio del producto del área de su base y su altura” Hipótesis: S-DEF pirámide triangular B área de la base h altura V volumen Tesis: V = ⅓ B . h A C S D E F N P M
  • 22. Demostración: ASCDEF prisma triangular de base DEF y de altura H Prisma ASCDEF = S-DEF + S-ADF + S-AFC ∆ ADF = ∆AFC y ∆DSE = ∆DSA Pirámides S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen Pirámides F-DSE y F-DSA tienen el mismo volumen Pirámides S-DEF , S-ADF y S-AFC tienen el mismo volumen V V p = 3V V p = B . h 3V = B . h V = ⅓ B . h
  • 23. “ El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de la base por la medida de la altura” HIPOTESIS: ABCDEF es una pirámide cualquiera. B es la base de la pirámide. h es la altura y V es el volumen TESIS:
  • 24. DEMOSTRACIÓN :
    • Δ BED y Δ BFE
  • 25. “ Dos tetraedros de igual altura y bases equivalentes, son equivalentes”
    • HIPOTESIS:
    • ABCD y A´B´C´D´
    • Son dos tetraedros de igual altura y bases equivalentes, es decir
    • Área Δ BCD=Área Δ B´C`D`
    • TESIS:
    • Tetraedro ABCD es equivalente al tetraedro`B`C`D`.
  • 26. Demostración: Llamamos V 1, V 2 y V 3 a los volúmenes de los prismas inscritos en el tetaedro ABCD y V´ 1, V´ 2 y V´ 3 a los volúmenes de los prismas inscritos en el tetaedro A´B´C´D´ V 1 =V´ 1 V 2 =V´ 2 V 3 =V´ 3 Sumando miembro a miembro: V 1 +V 2 + V 3 = V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 V 1 +V 2 + V 3 +V 4 + … = V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 +V´ 4 +….
  • 27. (V 1 +V 2 + V 3 +V 4 + …)= V (volumen del tetaedro ABCD) (V´ 1 +V´ 2 +V´ 3 +V´ 4 +….) = V´ (volumen del tetraedro A´B´C´D´) V = V´ por lo tanto: Los tetraedros ABCD y A´B´C´D´
  • 28.  
  • 29. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
    • La base de una pirámide regular es un hexágono que tiene de perímetro 6.12m. La apotema de una de las caras laterales del triángulo mide los 2/3 del perímetro de la base y su altura es de 4m.
      • Calcular:
      • * Apotema de la base
      • * Área total
      • * Volumen
  • 30. Datos: P= 6.12m Ap. lat.= (2/3m* 6.12m)= 4.08 m Altura de la Pira= 4m Ap. Base= ? Área Total= ? Volumen= ? Ap. lat.= c h= b ap.=a
  • 31.  
  • 32. V=1/3 B.h
  • 33.  
  • 34. “ Todo tronco de pirámide triangular de bases paralelas es equivalente a la suma de tres pirámides de la misma altura del tronco y cuyas bases son las dos del tronco y una media proporcional entre ambas”
    • HIPOTESIS:
    • ABCA´B´C´ es un tronco de pirámide triangular de bases paralelas de áreas B Y b
    • TESIS:
    • ABCA´B´C´ es equivalente a la suma de tres pirámides de altura igual a la del tronco y cuyas bases sean B, b y
  • 35. DEMOSTRACIÓN :
    • DM || BC
    • Δ ABC ≈ Δ ADM
  • 36. “ Un tronco de pirámide de bases paralelas es equivalente a un tronco de pirámide triangular de la misma altura y bases equivalentes a las del tronco dado” HIPOTESIS: ABCDEA´B´C´D´E´ es un tronco de pirámide cualquiera de bases paralelas TESIS: El volumen de ABCDEA´B´C´D´E´ = al volumen de MNPQRT MNPQRT es un tronco de pirámide triangular de la misma altura que el tronco dado y bases equivalentes a las del tronco dado y situadas en los planos α y β paralelos.
  • 37. DEMOSTRACIÓN :
    • S-ABCDE ≈ S`-MNP
    • :. Volumen S-ABCDE = Volumen S`-MNP (1)
    • A`B`C`D`E` ≈ QRT
    • :. Volumen S-A`B`C`D`E` = Volumen S`-QRT (2)
    • Vol SABCDE - Vol SA`B`C`D`E` = Vol S`MNP - Vol S`QRT (3)
    • Vol SABCDE - Vol SA`B`C`D`E` = Vol ABCDEA´B´C´D´E´ (4)
    • Vol S`MNP - Vol S`QRT = Vol. MNPQRT (5)
    • :. Vol. de ABCDEA´B´C´D´E´ = al Vol. de MNPQRT
  • 38.