11. desigualdades
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  • 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa1MATEMÁTICAS BÁSICASDESIGUALDADESDESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLELa expresión ba ≠ significa que " a " no es igual a " b ".Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse ba > , que se lee “ a mayor que b ”, cuandola diferencia ba − es positiva y ba < que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia ba − esnegativa.La notación ba ≥ , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que ba > o que ba = pero noambos. Por su parte, la notación ba ≤ que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que ba < o queba = pero no ambos.Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con algunode los símbolos ≥<> ,, o ≤.Ejemplos de desigualdades:1) 34 >2) 10<a3) 5≥b4) 12≤xLo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signomayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman elsegundo miembro.De la definición de desigualdad, se deduce que:• Todo número positivo es mayor que cero• Todo número negativo es menor que cero• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto• Si ba > entonces ab < .Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primermiembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando elmiembro mayor se convierte en menor o viceversa.Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.• Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literalesque figuran en ella. Por ejemplo: xx >+12• Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Porejemplo: 0153 >−x que solamente satisface para 5>x . En este caso se dice que 5 es el límitede x .
  • 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa2Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.Sean ∈b,a R y 0≠a , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:≤+<+≥+>+0000baxbaxbaxbaxPropiedades de las desigualdades:Sean c,b,a tres números reales.I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembroEsto es, si ba > , entonces se cumple que cbca +>+ .Ejemplos.1) Si a la desigualdad 37 > se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 2327 +>+ ,ya que: 59 >2) Si a la desigualdad 816 > se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 58516 −>− ,ya que: 311 >Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad,teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puedepasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar unamisma cantidad a los dos miembros.Ejemplo.9348 −>− xx4938 +−>− xxII. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factorpositivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.Esto es, dado un número 0>c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅>⋅ y quecbca>Ejemplos.1) Si a la desigualdad 25 > se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 3235 ⋅>⋅ ,ya que 615 >2) Si a la desigualdad 2836 > se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que428436> ,ya que 79 >III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factornegativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.Esto es, dado un número 0<c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅<⋅ y quecbca<
  • 3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa3Ejemplos.1) Si a la desigualdad 36 > se multiplica por 4− a ambos miembros, entonces, se cumple que( ) ( )4346 −<− , ya que 1224 −<−2) Si a la desigualdad 1016 > se divide por 2− a ambos miembros, entonces, se cumple que210216−<−, ya que 58 −<−Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con talque se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.Ejemplo.xx 42186 −<+−xx 42186 +−>−INECUACIONES ENTERASLas inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, quesólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. Elprocedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta laspropiedades de las desigualdades.Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de unmiembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen ala incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, paradespejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercerapropiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente.Ejemplos.Resolver las siguientes inecuaciones enteras:1) 8264 −>+ xxSolución.Se transponen términos:6824 −−>− xxse reducen los términos semejantes:142 −>xdividiendo por 2 :7214−>⇒−> xx2) 621052313 ++−≥−+− xxxxSolución.Se transponen términos:261025313 −+−≥−−− xxxxse reducen los términos semejantes:63 −≥xdividiendo por 3 :236−≥⇒−≥ xx
  • 4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa43) 10834365 −+>−+ xxxSolución.Se transponen términos:61034835 −−>−− xxxse reducen los términos semejantes:186 >− xdividiendo por 6− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:3618−<⇒−< xx4) xxxxx 4234813610523 +++−>−−−−Solución.Se transponen términos:6223413481053 ++++>−+−− xxxxxse reducen los términos semejantes:488 >− xdividiendo por 8− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:6848−<⇒−< xx5) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx ++++≤−++− 8241035341325Solución.Eliminando paréntesis:xxxxx ++++≤−++− 328303201211510Se transponen términos:201153230831210 +−++≤−−−+ xxxxxse reducen los términos semejantes:9610 ≤xdividiendo por 10:5481096≤⇒≤ xxUna inecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de laincógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes.Para resolver inecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplosanteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en elprimer miembro de la inecuación, se factoriza para poder despejarla.6) ( ) ( ) abaxabxxbax −+>−−− 56432Eliminando paréntesis:abaxabxbbxax −+>−+− 5561232Se transponen términos:babaxabxbxax 1255632 −−>−−−factorizando x :( ) babaabbax 1255632 −−>−−−si ( ) 05632 >−−− abba , entonces la solución es5632125−−−−−>abbababaxsi ( ) 05632 <−−− abba , entonces la solución es5632125−−−−−<abbababax
  • 5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa5INECUACIONES FRACCIONARIASPara resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por elmínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla enuna inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando estanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva intersección de lasrestricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos.Ejemplos.Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias:1)37543152−>+ xxSe multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 15:−>+375415315215 xxse efectúan las operaciones para cada término:351256 −>+ xxse transponen términos:635125 −−>− xxSe reducen los términos semejantes:417 −>− xdividiendo por 7− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:741741<⇒−−< xx2) xxx 3215283245−−≥−+Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 60 :−−≥−+ xxx 32152608324560se efectúan las operaciones para cada término:xxx 18030244804075 −−≥−+se transponen términos:48075301802440 +−−≥+− xxxSe reducen los términos semejantes:375196 ≥xdividiendo por 196:196375≥x3) xxx684106243549++>−+Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12:++>−+ xxx6841062124354912se efectúan las operaciones para cada término:xxx 16304482027 ++>−+
  • 6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa6se transponen términos:48273016420 +−>−− xxxSe reducen los términos semejantes:510 >xcomo la división por cero no está definida, entonces la expresión presenta un enunciado falso. Nóteseque simplificando la inecuación se llega a25354735+>− xx , expresión que es imposible que se cumpla.4)xx 41683567−>+Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x12 :Si 0>x se tiene:−>+xxxx416812356712se efectúan las operaciones para cada término:3162014 −>+ xxse transponen términos:1431620 −−>− xxSe reducen los términos semejantes:174 −>xdividiendo por 4 :417−>xdadas las restricciones 0>x y417−>x , su intersección es 0>xSi 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido417−<xdadas las restricciones 0<x y417−<x , su intersección es417−<xla solución está dada por: ( )∞−∞− ,, 0417∪5)xxxx 27312213254−−≤−−Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x30 :Si 0>x se tiene:−−≤−−xxxxxx273123021325430se efectúan las operaciones para cada término:1051060152024 −−≤−− xxse transponen términos:1524105106020 +−−−≤−− xxSe reducen los términos semejantes:12480 −≤− xdividiendo por 80− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
  • 7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa7203180124≥⇒−−≥ xxdadas las restricciones 0>x y2031≥x , su intersección es2031>xSi 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido:2031≤xdadas las restricciones 0<x y2031<x , su intersección es 0<xPor lo tanto, la solución está dada por: ( ) ∞∞− ,,20310 ∪6) 0352>+− xSe multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x−5 :( ) ( )053525 xxx −>+−−Si 05 >− x , que implica 5<x se tiene:( ) 0352 >−+ xse efectúan las operaciones para cada término:03152 >−+ xse transponen términos:1523 −−>− xSe reducen los términos semejantes:173 −>− xdividiendo por 3− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:317317<⇒−−< xxdadas las restricciones 5<x y317<x , su intersección es 5<xSi 05 <− x , que implica 5>x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido317>xdadas las restricciones 5>x y317>x , su intersección es317>xPor lo tanto, la solución está dada por: ( ) ∞∞− ,,3175 ∪7) 1218625−<+−xSe multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 62 −x :( ) ( )( )12621862562 −−<+−− xxxSi 062 >−x , que implica 3>x se tiene:( ) ( )( )126218625 −−<−+ xx
  • 8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa8x21-1-22−>xx21-1-22−>xx0-2-6-821125−≤x-4-10 x0-2-6-821125−≤x-4-10se efectúan las operaciones para cada término:7224108365 +−<−+ xxse transponen términos:1085722436 +−<+ xxSe reducen los términos semejantes:17560 <xdividiendo por 60 :123560175<⇒< xxdadas las restricciones 3>x y1235<x , su intersección es 31235<< xSi 062 <−x , que implica 3<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido1235>xdadas las restricciones 3<x y1235>x , no existe intersecciónPor lo tanto, la solución está dada por: 31235<< x .GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADOResolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, lasolución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir deun valor límite a . Si la solución es de la forma ax > , entonces la región será todos los números que estén a laderecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≥ , la región incluye al valor a . De la misma forma,si la solución es de la forma ax < , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sinincluirlo. Si la solución es de la forma ax ≤ , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdadel conjunto solución puede ser uno o dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío.Ejemplos.Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado:1) ( ) ( )623214 +−>+ xxSolución.186244 −−>+ xx418264 −−>+ xx2010 −>x1020−>x2−>x2) 541183529743++−≥−− xxx++−≥−− 5411835122974312 xxx6033962054849 ++−≥−− xxx5496020339684 +−+≥−+− xxx12521 ≥− x
  • 9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa921125−≤x3)xx 85413273−<+−si 0>x−<+−xxxx85413827385262824 −<+− xx2452628 +−<− xx192 <x219<xdadas las restricciones 0>x y219<x , su intersección es2190 << xSi 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido219>xdadas las restricciones 0<x y219>x , no hay intersección.Por lo tanto, la solución está dada por:2190 << xDESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLEUna desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:02>++ cbxax o 02≥++ cbxax o 02<++ cbxax o 02≤++ cbxaxdonde b,a y c son números reales y 0≠a . Su solución generalmente representa un intervalo o launión de dos intervalos de números reales.Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba.Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática02=++ cbxax .x7531 92190 << x11-1 x7531 92190 << x11-1
  • 10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa10Si 1r y 2r son números críticos y 21 rr < , entonces el polinomio cbxax ++2sólo puede cambiar designo algebraico en 1r y 2r por la tanto el signo más o menos de cbxax ++2será constante en cadauno de los intervalos ( )1r,∞− , ( )21 r,r , ( )∞,r2 .Para determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número x deprueba arbitrario en cbxax ++2para cada intervalo. Los resultados obtenidos sirven para ubicar elconjunto de soluciones de la desigualdad.Un procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente:1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda.2. Se hallan los números críticos 1r y 2r de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos ( )1r,∞− ,( )21 r,r , ( )∞,r2 .3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuálesson los que satisfacen la desigualdad.Ejemplos.Resolver las siguientes inecuaciones:1) 092>−xSolución.92=x9±=x3±=xLos números críticos son:31 =r y 32 −=rlos intervalos solución pueden ser ( )3−∞− , , ( )33,− y ( )∞,3probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :para 4−=x del intervalo ( )3−∞− , se tiene: ( ) 07916942>=−=−−para 0=x del intervalo ( )33,− se tiene: 0990902<−=−=−para 4=x del intervalo ( )∞,3 se tiene: ( ) 07916942>=−=−Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:( ) ( )∞−∞− ,, 33 ∪ .La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son mayores que cero:092>−x
  • 11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa11x1 432 5-1-2-3-4-552535y201510306 7-6-7-10( ] [ )∞∞− ,, 33 ∪2) 042<−xSolución.42=x2±=x2±=xLos números críticos son:21 =r y 22 −=rlos intervalos solución pueden ser ( )2−∞− , , ( )22,− y ( )∞,2probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 042<−x :para 5−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) 021425452>=−=−−para 0=x del intervalo ( )22,− se tiene: 0440402<−=−=−para 5=x del intervalo ( )∞,2 se tiene: 021425452>=−=−El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )22,− .La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son menores que cero:x1 432 5-1-2-3-4-55253540y201510306 7-6-7( )22,−3) xx 102 2≥Solución.0102 2≥− xx
  • 12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa120102 2=− xx( ) 0102 =−xxLos números críticos son:01 =r52101020102 2 ==⇒=⇒=− rxxlos intervalos solución pueden ser: ( ]0,∞− , [ ]50, y [ )∞,5probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0102 2>− xx :para 1−=x del intervalo ( ]0,∞− se tiene: ( ) ( ) 012102110122>=+=−−−para 3=x del intervalo [ ]50, se tiene: ( ) ( ) 0123018310322<−=−=−para 6=x del intervalo [ )∞,5 se tiene: ( ) ( ) 0126072610622>=−=−Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:( ] [ )∞∞− ,, 50 ∪ .La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son mayores o iguales que cero:x1 432 5-1-2-3-4-552535y201510306 7-6-7-15( ) ( )∞∞− ,, 50 ∪4) xx 123 2−≤Solución.0123 2≤+ xx0123 2=+ xx( ) 0123 =+xxLos números críticos son:01 =r43121230123 2 −=−=⇒−=⇒=+ rxxlos intervalos solución pueden ser: ( ]4−∞− , , [ ]04,− y [ )∞,0probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad :para 5−=x del intervalo ( ]4−∞− , se tiene: ( ) ( ) 0156075512532>=−=−+−0123 2<+ xx
  • 13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa13para 2−=x del intervalo [ ]04,− se tiene: ( ) ( ) 0122412212232<−=−=−+−para 1=x del intervalo [ )∞,0 se tiene: ( ) ( ) 015123112132>=+=+El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: [ ]04,− .La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son menores que cero:x1 432 5-1-2-3-4-5525y201510306 7-6-7-15[ ]04,−5) xx 282<−Solución.Trasponiendo términos: 0822<−− xx0822=−− xx821 −=−== c,b,aSustituyendo en la fórmula general se tiene:( ) ( ) ( )( )( ) 26223622324212814222±=±=+±=−−−±−−=xLos números críticos son:4282621 ==+=r2242622 −=−=−=rNótese que la ecuación también puede factorizarse y los números críticos pueden obtenerse más rápidamente:( )( ) 024 =+− xx404 1 =⇒=− rx202 2 −=⇒=+ rxlos intervalos solución pueden ser: ( )2−∞− , , ( )42,− y ( )∞,4probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0822<−− xx :para 3−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) ( ) 0786983232>=−+=−−−−para 0=x del intervalo ( )42,− se tiene: ( ) 0880080202<−=−+=−−
  • 14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa14para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) 078102585252>=−−=−−Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )42,− .La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son menores que cero:x1 432 5-1-2-3-4-552535y201510306 7-6-7( )42,−6) 3042 2≥+ xxSolución.Trasponiendo términos: 03042 2≥−+ xxSimplificando: 01522≥−+ xx01522=−+ xx( )( ) 035 =−+ xx505 1 −=⇒=+ rx303 2 =⇒=− rxlos intervalos solución pueden ser ( ]5−∞− , , [ ]35,− y [ )∞,3probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad03042 2≥−+ xx :para 6−=x del intervalo ( ]5−∞− , se tiene: ( ) ( ) 0183024723064622>=−−=−−+−para 0=x del intervalo [ ]35,− se tiene: ( ) ( ) 03030003004022<−=−−=−+para 4=x del intervalo [ )∞,3 se tiene: ( ) ( ) 0183016323044422>=−+=−+Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es:( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪ .La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son mayores que cero:
  • 15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa15x1 432 5-1-2-3-4-5-10y510156 7-6-7-30-25-15-20( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪7) 43161 2<+ xxSolución.( )4631616 2<+ xx2422<+ xxTrasponiendo términos:02422<−+ xx2421 −=== c,b,aSustituyendo en la fórmula general se tiene:( ) ( )( )( )122414222−−±−=x29642 +±−=21002 ±−=2102±−=Los números críticos son:42821021 ==+−=r621221022 −=−=−−=rlos intervalos solución pueden ser ( )6−∞− , , ( )46,− y ( )∞,4probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad02422<−+ xx :para 7−=x del intervalo ( )6−∞− , se tiene: ( ) ( ) 011241449247272>=−−=−−+−para 0=x del intervalo ( )46,− se tiene: ( ) 0242400240202<−=−−=−+para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) ( ) 011241025245252>=−+=−+
  • 16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa16Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )46,− .La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porquesus ordenadas son menores que cero:x1 432 5-1-2-3-4-5-1020y510156 7-6-7-15-20( )46,−8) xxxx 2125 22+<+−Solución.Trasponiendo términos: 0144 2<+− xx0144 2=+− xx144 =−== c,b,aSustituyendo en la fórmula general se tiene:( ) ( ) ( )( )( ) 80480481616442144442±=±=−±=−−±−−=xLos números críticos son:21848041 ==+=r21848042 ==−=rlos intervalos solución pueden ser ∞−21, y ∞,21probando con dos números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0144 2<+− xx :para 0=x del intervalo ∞−21, se tiene: ( ) ( ) 0100104042>+−=+−para 1=x del intervalo ∞,21se tiene: ( ) ( ) 01144114142>=+−=+−Ninguno de los valores que cumplen la desigualdad, por lo que no tiene solución.Nótese como la desigualdad 0144 2<+− xx se puede expresar como:( ) ( ) 012222<+− xx
  • 17. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa17Factorizando:( ) 0122<−xPuesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces secomprueba que esta inecuación no tiene solución.Toda la parábola se localiza por arriba del eje x , por eso no hay solución:x21-1-2482y765339-319) 543186 22++−<++− xxxxSolución.Trasponiendo términos: 0443 2<−+− xxConvirtiendo esta desigualdad a un trinomio cuadrado perfecto, se tiene:434344304430443 2222−>−⇒−>+⇒>−+⇒<−+− xxxxxxxx98323832334494343222−>−⇒−>−⇒+−>+−⇒ xxxxPuesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se trata deuna desigualdad absoluta.Toda la parábola se localiza por abajo del eje x y su solución es cualquier número real:-30-10y-15-20-25-45x1 432 5-1-2-3-4-5 6-6-7-35-40