Hidraulica de pozos

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Hidraulica de pozos

  1. 1. CAPITULO 8 HIDRAULICA DE POZOS LEONARDO DAVID DONADO GARZON TABLA DE CONTENIDO Pág.1 INTRODUCCION 22 CONCEPTOS BASICOS 23 MOVIMIENTO NO PERMANENTE 33.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO 43.2 POZOS DE GRAN DIÁMETRO 204 MOVIMIENTO PERMANENTE 234.1 ACUÍFEROS CONFINADOS 234.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOS 264.3 ACUÍFEROS LIBRES 305 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 345.1 CASO DE DOS POZOS 345.2 MÉTODO DE LAS IMÁGENES 356 APLICACIONES 386.1 USO DE LA ECUACIÓN DE THEIS 386.2 USO DE LA ECUACIÓN DE JACOB 396.3 USO DE LA ECUACIÓN DE CHEN 396.4 USO DE LA ECUACIÓN DE PAPADOPULOS & COOPER 396.5 USO DE LA ECUACIÓN DE THIEM 406.6 USO DE LA ECUACIÓN DE DE GLEE - JACOB 406.7 USO DE LA ECUACIÓN DE DUPUIT - FORCHHEIMER 417 REFERENCIAS 41
  2. 2. 2 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS1 I NT RO D U C CI O N1 I NT RO D U C CI O NUna vez determinadas las posibilidades de producción de agua subterránea en una determinada zona, elsiguiente proceso es determinar su adecuada explotación.Para una adecuada producción de los pozos de explotación de los acuíferos fuente, es necesario determinar eluso y así caracterizar de manera económica el beneficio de la explotación del recurso.A continuación, se presentan los diferentes métodos de análisis de pozos en los diferentes tipos de acuíferosexistentes. La intención es mostrar el desarrollo matemático de todas las ecuaciones que gobiernan elmovimiento del agua subterránea en explotación, ya sea bombeo o recarga de acuíferos.La principal aplicación planteada en este capítulo es la de determinar los radios de influencia de los pozos paraasí se necesita determinar que interferencia pueden tener entre ellos. Además con los conceptos explicados, setendrá la capacidad de determinar el abatimiento del nivel freático del acuífero en cualquier punto cuando se estaextrayendo agua.2 CO N CE P T O S B A SI CO S2 CO N CE P T O S B A SI CO SLa Figura 1 ilustra un pozo en una formación acuífera. En ella se detallan cada uno de los conceptos definidos acontinuación: Nivel EstáticoEs el nivel de agua presente en la formación acuífera antes de comenzar el bombeo. Este nivel se ve afectadopor efectos meteorológicos (precipitación, infiltración) estacionales o por cargas adicionales (edificaciones), o porla descarga producida por pozos cercanos. Nivel DinámicoTambién llamada nivel de bombeo, por que es producido cuando comienza la descarga de l acuífero por el pozo.Este nivel depende del caudal de bombeo, del tiempo de bombeo y de las características hidrogeológicas delacuífero. También se debe tener en cuenta la técnica desarrollada en el diseño de pozo. AbatimientoBajo condiciones de extracción o inyección de un pozo, la carga hidráulica inicial en cualquier punto del acuíferocambia. En condiciones de extracción de un pozo, la distancia vertical entre la carga hidráulica inicial en unpunto en el acuífero y la posición baja de la carga hidráulica para el mismo punto es llamado abatimiento. Paraun acuífero libre el nivel del agua en el nivel freático está determinado por la distancia s(x,y,z,t), la cual es elabatimiento. Para el caso del acuífero confinado, el abatimiento es definido con respecto a la superficiepiezométrica. Este descenso de niveles, define la curva de abatimiento, por lo tanto es claro que el abatimientopresente su menor valor en lejanías del pozo y el mayor valor en el pozo. La dimensión del abatimiento es lalongitud [L]. El abatimiento es generalmente expresado en metros de agua
  3. 3. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 3 Cono de depresión Pozo Q Superficie piezométrica antes del bombeo Al producirse el descenso del nivel estático z Superficie del terreno Superficie piezométrica al tiempo t del pozo, se establece un gradiente hidráulico entre cualquier punto de la formación y el pozo, originándose un movimiento radial desde todas las direcciones hacia el pozo en una forma simétrica y de tal manera que el caudal Q Abatimiento que se extrae del pozo es igual al caudal Acuífero libre Superficie piezométrica al tiempo t +∆t que pasa por cualquier sección del acuífero. A medida que la velocidad aumenta mayor Capa filtrante confinate h 0 será el gradiente hidráulico ya que aumenta la fricción existente entre el fluido y las h(r,t) Acuífero confinado r ∆r partículas sólidas en contacto; es por eso b que lo que se forma alrededor del pozo se le Q(r) Q(r+∆r) conoce como cono de depresión que sobre 2rw un plano vertical presenta una curva Lecho impermeable Datum conocida con el nombre de curva de abatimiento. La forma, alcance y Figura 1 Esquema representativo del bombeo de un pozo. profundidad de este cono de depresión dependerá de las condicioneshidrogeológicas (transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero), del caudal y el tiempo de bombeoo inyección. En el acuífero confinado el cono de depresión es la representación de la variación de los nivelespiezométricos en tanto que en el acuífero libre es además la forma real de la superficie piezométrica. Capacidad EspecíficaEs la relación que existe entre el caudal que se obtiene de un pozo y el abatimiento producido y se expresa enunidades de caudal por longitud, [L3/T/L]. Este valor es contante para acuíferos confinados y variables para losacuíferos libres; es un término que representa el grado de eficiencia de un pozo ya que de dos pozos perforadosen una misma formación acuífera, el de menor capacidad específica tendrá menos eficiencia. El grado deeficiencia de un pozo lo determinaremos con base en la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento de laformación acuífera, (con la cual podremos calcular un valor de la capacidad específica teórica) el valor de lacapacidad específica real medida en el pozo.3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T E3 M O V I M I EN T O N O PE R M A N E N T EEn 1935 Theis planteó el modelo matemático para describir el movimiento de agua subterránea en acuíferoshomogéneos e isotrópicos. Este modelo describe el flujo transiente en acuíferos bajo condiciones constantes deextracción de un pozo en acuíferos. A pesar de sus limitaciones tiene muchas aplicaciones en la hidráulica depozos. Trata el pozo como una línea origen y no toma en consideración el agua obtenida del almacenamientodentro del pozo. Papadopulos y Cooper generalizaron la ecuación de Theis considerando los efectos dealmacenamiento.
  4. 4. 4 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS3.1 POZOS DE PEQUEÑO DIÁMETRO3.1.1 Acuíferos confinados3.1.1.1 Consideraciones BásicasPara el cumplimiento del Modelo de Theis hay que tener en cuenta las siguientes consideracionesesquematizadas en la Figura 2. Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b Descarga contante, Q No hay goteo Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero Antes del bombeo la carga piezométrica en el acuífero en la misma en cada punto del acuífero La descarga del pozo es obtenida exclusivamente del almacenamiento del acuífero El agua es inmediatamente liberada del almacenamiento del acuífero al declinar la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica Pozo Q Superficie piezométrica antes del bombeo z Superficie piezométrica Superficie del terreno al tiempo t Superficie piezométrica al tiempo t +∆t h Capa confinate 0 h(r,t) r Acuífero confinado ∆r b Q(r) Q(r+∆r) 2rw Datum Lecho impermeable Figura 2. Flujo inestable en un pozo que penetra totalmente en un acuífero confinado. Sección transversal vertical.3.1.1.2 Ecuación de MovimientoUtilizando la Ecuación de Movimiento que gobierna en flujo en acuíferos isotrópicos:  ∂ 2h ∂ 2h  ∂ 2 h S ∂h K 2 + 2  + K 2 =  ∂x [3.1]  ∂y   ∂z T ∂tDonde T es la transmisividad, S el coeficiente de almacenamiento y K es la conductividad hidráulica.
  5. 5. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 5Sabiendo que T = K b y S = S s b , analizando el problema bidimensional, se obtiene la siguienteecuación: ∂ 2h ∂ 2h S ∂ h + = [3.2] ∂x 2 ∂y 2 T ∂tUtilizando coordenadas polares, donde r = x 2 + y 2 y considerando la ley de Darcy, que en términos de ∂h(r, z, t )caudal es definida por v r = v r (r, z, t ) = −K , donde K es la conductividad hidráulica en dirección ∂rradial.La tasa total del flujo a una distancia r del pozo es: ∂h Q(r ) = A r v r = −(2 π r b ) qr = 2 π r T [3.3] ∂rLa carga piezométrica una distancia r es h(r,t); luego de un tiempo ∆t, la carga piezométrica es será h(r,t+∆t) y ladisminución de la carga piezométrica es: ∆h = h(r, t + ∆t ) - h(r, t ) [3.4]Usando la figura 3.1, y aplicando la ecuación de continuidad: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t = 2 π r ∆r ∆h S [3.5] ∂Q ∂hy como ∆r → 0 y ∆t → 0 =2π r S [3.6] ∂r ∂tReemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación 3.6, se obtiene: 1 ∂  ∂h  S ∂h r  = r ∂r  ∂r  T ∂t [3.7] ∂ 2h 1 ∂ h S ∂ h + = ∂r 2 r ∂r T ∂tSi el abatimiento está definido por: s = h0 − h ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s + = [3.8] ∂r 2 r ∂r T ∂tQue es la ecuación de movimiento en flujo transitorio radial.3.1.1.3 Condiciones de FronteraSegún las suposiciones de Theis, las condiciones son las siguientes:
  6. 6. 6 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Para el AbatimientoCuando no se está extrayendo agua en cualquier punto del acuífero el abatimiento es nulo; es decir:∀ r, en t=0, s(r,t) = s(r,0) = 0En condiciones de extracción de agua, se supone que en la distancia más lejana del pozo, el abatimiento es nulo;es decir: ∀ t>0, en un radio r = ∞ , s(r,t) = s(r, ∞ ) = 0. DescargaSi se tiene que en cuenta que sólo se produce abatimiento cuando se extrae agua, se concluye que:Cuando t < 0, Q=0Cuando t ≥ 0, Q = constanteAhora, como la tasa de bombeo es constante en el pozo, de la ecuación 3.6, se tiene que para t ≥ 0 :  ∂s  Q lim r  = − [3.9] r →0  ∂ r  2π T3.1.1.4 Solución de la Ecuación de MovimientoPara encontrar la solución se aplica el método de separación de variables (Piskunov, 1977); es decir se busca lasolución particular de la ecuación 3.8 en forma de un producto de dos funciones: s(r, t ) = f (r ) ⋅ g(t ) [3.10]Remplazando está función en la ecuación 3.8 se obtiene: 1 S f ′′g + f ′g = fg′ r T [3.11] f ′′ 1 f ′ S g′ + = f r f T gAl demostrar que son separables, estás funciones son iguales a una constante, que se llamará λ . Entoncesigualando λ al lado izquierdo de la ecuación 3.11: f ′′ 1 f ′ + =λ f r f 1 f ′′ + f ′ = fλ r 1 f ′′ + f ′ − fλ = 0 rAl solucionar por operador cuadrático: 1 D2 + D − λ = 0 r
  7. 7. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 7 D=− 1 2r [ 1 ± 1 + 4 λr 2 ]Pero dependiendo del valor que tome el discriminante, se obtendrán las diferentes raíces, así:i) Si 1 + 4λr 2 > 0 , existen 2 raíces reales diferentes: D = − 1 2r [ 1 ± 1 + 4 λr 2 . ] − 2 r 1 + 1 + 4 λr 2  − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2 Entonces la solución particular es: f (r ) = C1e 1 1       + C 2e   1ii) Sí 1 + 4λr 2 = 0 , existen 2 raíces reales iguales: D = − 2rEntonces la solución particular es: f (r ) = C1e 1 1 − 2r − 2r + C2 r e .iii) Si 1 + 4λr 2 < 0 , existen 2 raíces imaginarias diferentes: D = − 1 2r [ ( 1 ± i − 1 + 4 λr 2 )]Entonces la solución particular es:f (r ) = e 1 − 2r   1 ( 2   1 ) C1 cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 sen − 2r − 1 + 4λr 2 ( )  .      Igualando ahora al lado izquierdo de la ecuación 3.11 a λ: λ S g′ =λ T g , S g′ ∫T g ∫ , y luego despejando g(t) se llega a: = λIntegrando: S ln(g) = λt + M T g(t ) = P e S , donde P = e M = constante λTtPor lo tanto, como de f se obtienen tres soluciones, la solución de la ecuación 3.8 puede tener tres formas:  − 2 r 1 + 1 + 4 λr 2  − 2 r 1 − 1 + 4 λr 2   λSTt s(r , t ) =  C1 (λ )e  + C 2 (λ )e 1 1   i)      e   ii) ( s(r , t ) = C1 (λ )e 1 − 2r + C 2 (λ ) r e 1 − 2r )e λTt S (λSTt − 21r ) iii) s(r , t ) = e  1 2  (  1 ) C1 (λ ) cos − 2r − 1 + 4λr  + C 2 (λ ) sen − 2r − 1 + 4λr 2 ( )       Para cada valor de λ , las constantes arbitrarias C1, C2 y P tienen valores determinado; por eso C1 y C2; sonfunciones de λ y absorben el valor de P. También se aclara que la suma de las tres formas de solución sonsoluciones de la ecuación 3.8, debido a su linealidad..
  8. 8. 8 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS3.1.1.5 Solución de TheisPara encontrar la solución y el valor de las constantes, Theis reemplazó las condiciones iniciales y de frontera enlas anteriores combinaciones, y así encontró la función de abatimiento por analogía de transferencia de calor ensólidos: A s(r, t ) = e −u [3.12] t r 2SDonde A es una constante y u = . Para t>0, el volumen total V, de agua tomado del acuífero es: 4tT ∞ V= ∫ 0 2 π r s S dr [3.13]Reemplazando 3.12 en 3.13: ∞ A −u V= ∫0 2 πr t e S dr [3.14] r2s ∞ A − V= ∫0 2 π r e 4tT S dr tAl solucionar esta integral se tiene que: r=∞  r 2s  r 2s 2 − r dr = 2 π S − Tt e 4tT  A ∞ − A V =2πS ∫ e 4tT t  S [3.15] t 0    r =0De donde: V =4πTA V A= [3.16] 4πTReemplazando 3.16 en 3.12 se tiene que:  r 2S  −   V s(r, t ) = 4Tt  [3.17] e   4πTtEl Volumen de agua V, del acuífero es removido durante el período de tiempo dt. Así que V=Q t. y dV=Q dt, yentonces:
  9. 9. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 9  r 2S  −   dV ds (r, t ) = 4Tt  [3.18] e   4πTtSi el agua es bombeada a una tasa de Q por unidad de tiempo de t=0 a t=t en el origen por integración seobtiene:  r 2S    Q dt −  4Tt  ds (r, t ) = e   [3.19] 4πT t  r 2S  t   Q dt −  4Tt  s(r, t ) = ∫t e  [3.20] 4πT 0 r 2SReemplazando: u = , entonces: 4Tt ∞ Q e -u s(r, t ) = h0 - h(r, t ) = 4πT∫ u du [3.21] uDonde: ∞ e −u ∫ u du = −Ei(− u) = W(u) u [3.22]La integral exponencial se conoce como la función de pozo de Theis, y su solución está dada por una serie depotencias: u2 u3 u4 W (u) = −0.5772 − ln(u) + u − + − +K 2.2! 3.3! 4.4! [3.23] n n u ∞ W (u) = −0.5772 − ln(u) − ∑ (− 1) n=1 n.n!Ahora se puede definir el abatimiento en términos de la curva de Theis: Q s(r, t ) = W (u) [3.24] 4πTLa Figura 3 muestra la curva típica de Theis, útil para determinar las parámetros hidrogeológicos de acuíferosconfinados usando datos de pruebas de bombeo. También se pueden trazar isolíneas de tiempo graficando elabatimiento en función del radio e isolíneas de radio, graficando el abatimiento en función del tiempo.
  10. 10. 10 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Figura 3 Curva de Theis. (Batu, 1998)La ecuación es aplicable a acuíferos libres si el abatimiento es pequeño comparado con el espesor b de laformación. (Batu, 1998) 2 rLa ecuación se cumple para la siguiente condición: t > 250 c , donde rc es el radio del pozo, por no tener en Tcuenta el almacenamiento en el pozo. Si los parámetros K, b, S y Q son conocidos, se puede determinar elabatimiento de la carga hidráulica en el acuífero confinado a cualquier distancia r del pozo, en cualquier tiempo.Lo único necesario es determinar el valor del parámetro u y así encontrar el valor de la función del pozo de Theis,W(u). Figura 4 Isolíneas de tiempo y de radio en función del abatimiento. (Batu, 1998)
  11. 11. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 113.1.1.6 Ecuación de JacobCooper & Jacob, 1946, tomaron en cuenta que cuando u,u < 0.01, la suma de los términos más allá de ln (u), enla ecuación 3.23, no es significativa. Los valores de u decrecen cuando el tiempo se incrementa y cuando ladistancia radial r decrece. Bajo esas condiciones: Q s(r, t ) ≅ [− 0.5772 − ln(u)] [3.25] 4πT s(r, t ) ≅ Q [ln(0.5614) − ln(u)] = Q ln (0.5614) [3.26] 4πT 4 πT   u   r 2S Reemplazando, u = 4 Tt   Q  (0.5614) Q  2.25 Tt  s(r, t ) ≅ ln 2 = ln r 2 S  [3.27] 4 πT  r S  4 πT     4Tt La ecuación 3.27 es conocida como la ecuación de Jacob. Que expresada en términos del logaritmo en base 10es igual a: 2.302 Q  2.25 Tt  s(r, t ) ≅ log [3.28] 4πT   r 2S  Como primera aplicación de la ecuación de Jacob se puede usar para obtener el radio se influencia, cuando elabatimiento es nulo. Entonces despejando el Radio se obtiene Q  2.25 Tt  0= ln R 2 S  4πT   2.25 Tt 0 = ln R 2S 1  Tt  2 [3.29] R = 1.5  SLa ecuación de Jacob tiene la ventaja, respecto a la ecuación de Theis, de no requerir la consulta o tablas de lafunción de pozo de Theis.3.1.1.7 Capacidad Específica y Estimación de TransmisividadLa capacidad específica, CE de un pozo es definida como la relación de su descarga con su abatimiento total[CE=Q/s]; en otras palabras es el caudal por unidad de abatimiento. Se puede desarrollar una muy simpleecuación para estimar la transmisividad a partir de la capacidad específica, usando la ecuación de Jacob. Estaderivación está basada en un diámetro medio del pozo en un período promedio de bombeo, y valores típicos delcoeficiente de almacenamiento y producción específica.
  12. 12. 12 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOSPara acuíferos confinados, Driscoll en 1986 (Batu, 1998) asumió los siguientes valores típicos: Tabla 1 Valores típicos para acuíferos confinados según Driscoll. (Batu, 1998) Parámetro Valor Unidades Tiempo, t 1 Día Radio del pozo, rw 0.152 m Producción, S 0.001 Adimensional Transmisividad, T 373 m2/díaSustituyendo estos valores en la ecuación de Jacob, se obtiene: [ s ] = CE [m ] = T [m día] Q m 3 2 2 [3.30] s [m] w día 1.385 T m[2 día ] = 1.385 CE [m día] 2 [3.31]Para un acuífero libre, con producción específica Sy=0.075, como valor típico, y el resto de valores mostrados enla tabla 1, se produce la siguiente relación: [ s ] = CE [m ] = T [m día] Q m 3 2 2 [3.32] s [m] w día 1.042 T m[2 día ] = 1.042 CE [m día] 2 [3.31]Si se tienen múltiples pozos, la información obtenida de las anteriores ecuaciones puede usarse para estimar laconductividad hidráulica promedio (Kmed [m/d]) del acuífero, mediante la siguiente relación: K med = ∑K L n n [3.32] ∑L nDonde K es la conductividad de cada pozo, n es el número del pozo y L es la longitud del filtro.3.1.1.8 Ecuación de ChenEn 1984, Chen extendió la ecuación de Theis, para acuíferos de extensión lateral finita, como islas o meandros.Determinó que la distancia en la cual el abatimiento es nulo, en condiciones de bombeo, es conocida, y la llamaR. Es decir: s(R,t) = 0, donde R es la es la distancia radial donde la energía es cero. La solución encontrada seconoce como la Ecuación de Chen (Batú, 1998): Q s(r, t ) = [W(u) − W(U) + 2I] [3.33] 4π TDonde: R 2S U= 4Tt
  13. 13. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 13  u  12  J0   χn   U χ2 (1 − x )  ∞  U    1  − x − n 4U  dx  e I=∑ ∫    n=0 χn J1 (χn ) 0 x χn = R βnDonde:J0, J1: función de Bessel de orden cero y uno.βn: es la enésima raíz que satisface J0(R χn) = 0. 4π T sLa Figura 5 muestra la gráfica u contra Q , que es la usada para efectos prácticos. Se nota que cuando R 2SU ≥ 4, la solución es igual a la de Theis. En otras palabras, sólo cuando t ≤ , se justifica usar este 16Tmodelo. Solución de Theis Figura 5 Curva de Chen. (Batu, 1998)3.1.2 Acuíferos SemiconfinadosHantush y Jacob en 1955 (Batu, 1998), desarrollaron el modelo aplicable a acuíferos semiconfinados, isotrópicosy homogéneos, ilustrado en la Figura 6. Estos dos investigadores tuvieron en cuenta las siguientes suposiciones:
  14. 14. 14 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Superficie piezométrica antes del bombeo Q Superficie piezométrica durante el bombeo Superficie del terreno (cono de depresión) z Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Qv Capa confinante H hw Acuífero confinado b 2rw Lecho impermeable Figura 6. Acuífero semiconfinado Acuífero homogéneo e isotrópico Acuífero horizontal y de espesor constante, b, y su capa confinante posee un espesor constante b’ y una conductividad hidráulica vertical K’. Descarga contante, Q Acuífero de extensión infinita El diámetro del pozo es infinitesimalmente pequeño, es decir que no existe almacenamiento en el pozo El pozo penetra todo el acuífero La capa confinante no almacena agua El flujo en el acuífero es horizontal y el goteo es vertical Inicialmente, la tabla de agua posee la misma altura de la carga hidráulica del acuífero y es igual a h0.La ecuación diferencial parcial para flujo radial, fue obtenido por Jacob en 1946, es la ecuación que gobierna elmovimiento en este tipo de acuíferos. Aplicando el principio de continuidad, par el anillo dado, se tiene: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + Q v ∆t = (2πr )∆r ∆h S [3.34] Q v = A v = (2πr∆rb )v v [3.35] h −h Usando la Ley de Darcy: v v = K 0 [3.36] b
  15. 15. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 15Y combinado las anteriores ecuaciones, se concluye que: [Q(r ) − Q(r + ∆r )]∆t + (2πr∆r )K h0 − h ∆t = (2πr )S∆r∆h [3.37] bComo ∆r y ∆s, tienden a cero y aplicando la definición de la derivada, se llaga a: ∂Q h −h ∂h + (2πr )K 0 = (2πr )S [3.38] ∂r b ∂tY sabiendo que el abatimiento es el la diferencia de niveles, s=h0-h y que el caudal en el acuífero está dado por: ∂h Q(r ) = 2πrT [3.39] ∂rLa ecuación es igual a: ∂ 2 s 1 ∂s K S ∂s 2 + − s= [3.40] ∂r r ∂r Tb T ∂t TbY sí se reemplaza: B = , la ecuación toma la forma: K ∂ 2 s 1 ∂s s S ∂s 2 + − 2 = [3.41] ∂r r ∂r B T ∂tLas condiciones iniciales y de frontera planteadas, para la cabeza y el abatimiento son: h(r ,0 ) = h0 , para todo r s(r ,0 ) = 0 , para todo r h(∞, t ) = h0 , para todo t s (∞, t ) = 0 , para todo tLas condiciones de descarga son: Q = 0, cuando t=0 Q = constante, cuando t ≥ 0  ∂h  Q lim r  = r→0  ∂r  2πT , para t ≥ 0  ∂h  Q lim s  = − r→0  ∂r  2πT , para t ≥ 0Al igual que Theis, Hantush y Jacob encontraron la solución a la ecuación de movimiento, la cual es: Q  r s(r , t ) = W u,  [3.42] 4 πT  B 
  16. 16. 16 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS  r W u, Donde  B  es la función de pozo para acuíferos semiconfinados de Hantush y Jacob. Está funcióndescribe una serie, cuya expresión es:  r  2      −u −  B    u  ∞   [3.43]  r 1    u,  = ∫ e   du  B u u r 2SAdemás, u = . La Figura 7 tabula los valores de la función de pozo, que también están en tablas en libros 4 Ttde matemáticas avanzadas e hidráulica de pozos. Figura 7. Curva de Hantush y Jacob. (Batu, 1998)3.1.3 Acuíferos LibresEn 1972, Neuman, aprovechando desarrollos realizados por Boulton (1954), (Batu, 1998) simplifico la ecuaciónde movimiento en acuíferos libre, ilustrados en la Figura 8. Las consideraciones que él tuvo en cuenta son:
  17. 17. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 17 Q Superficie del terreno z Nivel Estático s sw FS r Superficie piezométrica antes del bombeo Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Superficie piezométrica durante el bombeo (cono de depresión) Kz A1 Kr Acuífero ξ H b libre 2rw A2 Datum Lecho impermeable Figura 3.7 Flujo a un pozo en un acuífero libre infinito La tasa de bombeo es contante, Q El diámetro del pozo es infinitamente pequeño El pozo penetra completamente en el acuífero En la zona saturada del acuífero , la ley de Darcy se cumple siempre El acuífero tiene extensión lateral infinita El material del acuífero es homogéneo pero anisotrópico, y su principal conductividad hidráulica está orientada paralela a los ejes coordenados El agua es bombeada por compactación del acuífero, expansión del aguay drena por gravedad de la superficie libre El pozo puede ser tratados como una línea hundida El abatimiento de la tabla de agua es pequeño comparado con el espesor de la zona saturada Los efectos de capilaridad son despreciablesLa ecuación de movimiento fue plantada en el capítulo 7 y es: ∂ 2 s K r ∂s ∂ 2 s S ∂s Kr 2 + + Kz 2 = , 0<z<ξ [3.44] ∂r r ∂r ∂z T ∂tLa posición de la superficie libre de los acuíferos libres cambia en el espacio bajo condiciones de flujo transiente,por este motivo, la superficie libre es tratada como una frontera en movimiento. Bajo esta concepción, la fronterade la región de flujo, consiste de tres partes complementarias, mostradas en la Figura 8: La frontera de cargaprescrita, A1, la frontera de flujo prescrito, A2 y frontera de la superficie libre, FS. Las otras fronteras tienden alinfinito. La pared del pozo se incluye en A1. Las condiciones iniciales para abatimiento, s(r,z,t) y espesorsaturado ξ(r,t), respectivamente son:
  18. 18. 18 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS s(r,z,0) = 0 ξ(r,0) = b ∂s(r ,0, t )La condición de frontera del abatimiento en el infinito es s (∞, z, t ) = 0 y en la frontera A2 es = 0. ∂zLa condición de tasa de bombeo constante Q en el pozo está dada por la siguiente expresión: ∞ ∂s Q lim ∫ r dz = − [3.45] r →0 0 ∂r 2πK rNeuman, simplificó la ecuación de movimiento, llegando a la siguiente expresión: ∂ 2 s 1 ∂s ∂ 2s 1 ∂s 2 + + KD 2 = , 0<z<b [3.46] ∂r r ∂r ∂z α s ∂tDonde: Kz K K KD = , αs = r , α y = z [3.47] Kr Ss Sy ∂s(r , b, t ) 1 ∂s(r , b, t ) =− [3.48] ∂z αy ∂tLa solución encontrada por Neuman, para el abatimiento es: [ ] ∞ Q  ∞  s(r , z, t ) = ∫ 4 xJ0 x (K D ) 2 ω0 (x ) + ∑ ωn (x )dx 1 [3.49] 4 πT 0  n =1 Donde J0 es la función de Bessel de primera clase de orden cero y ω0 (x ) = {1 − exp[− t K (x s D 2 − β0 2 )]}cosh(β z b ) 0 D D − (1 + σ )β − (x ) bσ   cosh(β b )   2  2 2 2 2  2 x 0 + β0 D  0 D      ω0 (x ) = {1 − exp[− t K (x s D 2 − βn 2 )]}cosh(β z b ) n D D − (1 + σ )β − (x ) bσ   cosh(β b )   2 2  2 2 2 D  2 x n + βn n  D      Tt Tt b z S ts = 2 , ty = 2 , b D = , zD = , σ = Sr S yr r b SyLas Figura 9 y 10 muestran la función de pozo de Neuman, en función del abatimiento relativo y el tiemporelativo.
  19. 19. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 19 is The a de Curv Figura 9 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998) de Th e is C u rva Figura 10 Función de Pozo de Neuman. (Batu, 1998)
  20. 20. 20 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS3.2 POZOS DE GRAN DIÁMETROLos pozos de pequeño diámetro generalmente varían entre 0.05 m y 0.25 m. Como se mostró anteriormente,esos son representados por una línea en los modelos matemáticos. Esta aproximación es válida para los pozosen este rango de diámetros, pero inapropiada para pozos con un diámetro mayor. En particular, los radios de pozos excavados pueden ser de Superficie piezométrica antes del bombeo 0.5 m a 2 m o más. Q Superficie piezométrica La teoría de Theis asume que el durante el bombeo Superficie del terreno z (cono de depresión) pozo es una línea en el origen. Esta suposición no tiene en cuenta los efectos significativos Nivel Estático de almacenamiento. Los efectos s de este almacenamiento en el sw pozo, llegan a ser importantes cuando la transmisividad y el r coeficiente de almacenamiento Superficie piezométrica del acuífero son pequeños o rc al tiempo t +∆t cuando diámetro del pozo de bombeo es grande. Papadopulos y Cooper (1967) Capa confinante desarrollaron soluciones analíticas en y alrededor de Acuífero confinado pozos de gran diámetro en acuíferos confinados b homogéneos e isotrópicos, 2rw tomando en cuenta los efectos del almacenamiento dentro del pozo. Después, Moensch (1985) Lecho impermeable presentó modelos matemáticos que combinaron los acuíferos Figura 11 Esquema representativa de un pozo de gran diámetro. semiconfinados de Hantush (1985) con la teoría antesmencionada del flujo en pozos de gran diámetro.3.2.1 Consideraciones BásicasLa Figura 11 muestra la sección transversal de un pozo de gran diámetro que penetra totalmente un acuíferoconfinado. Papadopulos y Cooper (1967) desarrollaron una solución analítica bajo condiciones de explotacióncon las siguientes suposiciones: El acuífero es un homogéneo e isotrópico El acuífero es horizontal y tiene un espesor constante (b) La tasa de descarga (Q) del pozo es constante El acuífero no tiene goteo y es horizontalmente infinito El pozo penetra totalmente el acuífero Las pérdidas en el pozo son despreciables Antes del bombeo, la carga hidráulica en el acuífero es la misma en todos los puntos del acuífero La descarga de los pozos es derivada exclusivamente del volumen almacenado en el acuífero El agua es inmediatamente tomada en el bombeo, lo que hace decaer la carga hidráulica El almacenamiento en el acuífero es proporcional a la carga hidráulica
  21. 21. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 21La Ecuación de Movimiento es la misma ecuación 3.8, con la condición de que el radio, r ≥ rw . ∂ 2 s 1 ∂s S ∂s + = [3.34] ∂r 2 r ∂r T ∂tDonde s es el abatimiento en el acuífero a una distancia r en un tiempo t; r es la distancia radial desde el centrodel pozo; S es el coeficiente de almacenamiento del acuífero; T es la transmisividad y rw es el radio efectivo dela pared del pozo.Las condiciones iniciales en el acuífero y el pozo, respectivamente, son: r ≥ rw , cuando s(r,0) = 0, sw (0) = 0Las condiciones de frontera son: s(rw,t) = sw(t) s( ∞ ,t)= 0 ∂s(rw , t ) 2 ∂s w (t ) Almacenamiento dentro del pozo: 2πrw T − πrc = −Q t≥0 ∂t ∂tDonde sw(t) es el abatimiento en el pozo a un tiempo t y rc el radio del pozo en el intervalo sobre el cual el nivel deagua decae. Las condiciones iniciales muestran que en un comienzo el abatimiento en el acuífero y en el pozoes cero. La primera condición de frontera indica que el abatimiento en el acuífero, en una cara del pozo es igualal abatimiento en el pozo. La segunda señala que el abatimiento en el acuífero en el infinito es cero. Finalmente,se expresa el efecto que tiene la tasa de descarga del pozo, que es iguala la suma de la tasa de flujo de aguadel pozo y la tasa de descenso en el volumen de agua dentro del pozo.3.2.2 Ecuación de Papadopulos & CooperEl problema planteado fue resuelto por Papadopulos & Cooper, mediante la transformada de Laplace (Batu,1998). Q s(r, t ) = F (u, α, ρ ) [3.35] 4 πTDonde 8α C (β) ∞ F (u, α, ρ ) = π ∫ D(β )β2 dβ [3.36] 0    2 ρ2   −β C(β) = 1 − e  4u  [J0 (βρ )A (β) − Y0 (βρ )B(β )]     [3.37]   A (β) = βY0 (β ) − 2αY1 (β ) [3.38] B(β) = βJ0 (β ) − 2αJ1 (β ) [3.39] D(β ) = [A (β)] + [B(β )] − [3.40] 2 2 2 r 2S r S r u= , α= w2 , ρ = [3.41] 4Tt rc rwJ0 y Y0 son las funciones de Bessel de orden cero y primera clase. Y1 es la función de Bessel de primer orden yde segunda clase.
  22. 22. 22 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Abatimiento dentro del PozoEl abatimiento dentro del pozo es obtenido cuando r = rw y puede ser expresado como: Q s(r, t ) = F (u w , α) [3.42] 4 πTDonde: F (u w , α) = F (u, α,1) [3.43] 2 rw S uw = [3.44] 4TtLos valores de F (u, α, ρ) son tabulados por integración numérica de la ecuación 3.36. En la Figura 12, los swvalores son representados como una familia de cinco curvas de contra 1/uw; una curva para cada uno Q 4πTde los cinco valores del parámetro α. La curva de Theis, es también mostrada en la Figura 12, de la que seobtienen importantes características de F (u, α, ρ) :El abatimiento predicho por la ecuación de Theis, se aproxima al abatimiento en el pozo de diámetro finito sólopara valores de tiempo relativamente grandes. Papadopulos (1967) comparó su aproximación con la Theis, así: 10 3 rc αρ 2 F (u, α, ρ ) ≈ W (u) para t > 2.5 , > 10 4 [3.45] T u 10 2 rc α F (u w , α ) ≈ W (u w ) para t > 2.5 , > 10 3 [3.46] T uwLas aproximaciones en las ecuaciones 3.38 y 3.39, son válidas para ambas condiciones: Para pozos que tienenun pequeño diámetro o acuíferos de transmisividad relativamente alta, el período definido en las anterioresecuaciones es muy pequeño. Así pues, para pozos de gran diámetro y acuíferos de baja transmisividad, esteperíodo es considerablemente largo.Sí 1/uw llega a ser suficientemente pequeño, las curvas se aproximan a líneas rectas que satisfacen la ecuación: Qt Volumen de agua descargada Q α sw = = = [3.47] πrc 2 Área del pozo 4 πT u wo α F (u w , α ) = [3.48] uw
  23. 23. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 23 Curva de Theis Figura 12. Curvas de Papadopulos y Cooper (Batu, 1998)En los primeros períodos, las líneas rectas representan las condiciones bajo la cual todo el agua bombeada esobtenida del almacenamiento dentro del pozo. Como resultado, los datos que están dentro del tramo de línearecta, de las curvas tipo, no dan información acerca de las características hidrogeológicas del acuífero.4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T E4 M O V I M I EN T O PE R M A N E N T EDespués de largos períodos de bombeo o recarga de un pozo, el flujo de aguas subterráneas alrededor de unpozo se aproxima al estado estable. Esto significa que la carga hidráulica del pozo en cualquier punto delacuífero no cambia con el tiempo. El período requerido para alcanzar el estado estable depende de lascaracterísticas hidráulicas del acuífero. Para los acuíferos menos permeables el período es más largo que paralos altamente permeables.Las soluciones de estado estable juegan un papel muy importante en el análisis de datos de abatimiento para ladeterminación de las características hidráulicas del acuífero y hacer el avalúo de la zona de influencia de un pozoo una batería de pozos.4.1 ACUÍFEROS CONFINADOS4.1.1 Consideraciones BásicasThiem (1906) fue el primero en derivar una solución para el flujo hacia un pozo en condiciones estables paraacuíferos confinados con base en las siguientes suposiciones:
  24. 24. 24 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS Acuífero horizontal y con espesor constante Acuífero homogéneo e isotrópico y de extensión lateral infinita La carga hidráulica tiene una superficie horizontal antes del bombeo La ley de Darcy es válida en el acuífero El agua es instantáneamente removida del almacenamiento proporcionalmente con el decaimiento de la carga hidráulica La tasa del bombeo del pozo es contante El flujo es simétrico con respecto al eje del pozo La ecuación de movimiento (3.8), en flujo estable se reduce a: Superficie piezométrica Q antes del bombeo Superficie piezométrica Superficie del terreno durante el bombeo z (cono de depresión) Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica al tiempo t +∆t Capa confinante hw H Acuífero confinado b K 2rw Lecho impermeable Figura 13 Esquema representativa de un pozo en un acuífero confinado ∂ 2h 1 ∂h S ∂h + = T = K rb [4.1] ∂r 2 r ∂r T ∂tPara condiciones de flujo estable, el término de la derecha tiende a cero, entonces: ∂ 2h 1 ∂ h + =0 [4.2] ∂r 2 r ∂r
  25. 25. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 25Es necesario conocer las condiciones de frontera de Dirichlet (primer tipo), con referencia en la Figura 13: h = hw Carga piezométrica conocida en la frontera del pozo r = rw Radio del pozo h=H Nivel de la carga piezométrica antes del bombeo r=R Radio de influencia del pozo en el cual el abatimiento es cero4.1.2 Ecuación de ThiemUtilizando la ecuación de continuidad, a cualquier anillo concéntrico al pozo y teniendo en cuenta que se analizael proceso de bombeo, el caudal es negativo (si el pozo fuera de inyección el caudal sería positivo), se tiene que: − Q = AV = (2πrb ) v r [4.3]Donde vr es la velocidad radial dada por la Ley de Darcy: ∂h(r , z, t ) v r = v r (r, z, t ) = -K [4.4] ∂rEntonces: ∂h Q = 2πrbK [4.5] ∂rResolviendo por variables separables: Q K∂h = ∂r [4.6] 2πrb Q ln(r ) h(r ) = +C [4.7] 2πTPara evaluar C, se aplican las condiciones de frontera:Si h = hw, entonces r = rw; por lo tanto: Q ln(rw ) hw = +C 2πT Q ln(rw ) C = hw − 2π TReemplazando la ecuación 4.5, se obtiene la Ecuación de Thiem Q ln(r ) Q ln(rw ) h(r ) = + hw − 2π T 2π T Q h(r ) − h w = [ln(r ) − ln(rw )] 2π T Q   r  h(r ) − hw = ln  [4.8] 2 π T   rw   Analizando la Ecuación de Thiem se puede concluir que:
  26. 26. 26 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS La carga piezométrica h se incrementa asintóticamente con el incremento de la distancia radial r La superficie piezométrica no puede ascender sobre h(r). Es válida sólo en la proximidad de un pozo donde el flujo estable ha sido definido.Con la Ecuación de Thiem, se puede predecir el Radio de Influencia de un pozo, en términos del abatimiento enel mismo cuando h = H, r = R, Q   R  Q   R  h(R ) − h w = ln  ∴ H − hw = r  ln    2 π T   w  2π T   rw  Q   R  s = h(R ) − h(rw ) = ln  [4.9] 2 π T   rw   Esta forma de la ecuación de Thiem, posee las siguientes características: La distancia R, para la cual el abatimiento es cero, es el radio de influencia del pozo. El parámetro R tiene que ser estimado antes de la predicción de los abatimientos.4.2 ACUÍFEROS SEMICONFINADOSLa Figura 14 muestra un pozo que penetra totalmente un acuífero semiconfinado, a través del cual la filtraciónproviene de un acuitardo superior. La solución propuesta independientemente por De Glee & Jacob, se basa enlas siguientes suposiciones: El acuífero es limitado abajo por un lecho impermeable, y arriba por una capa semiconfinate. Sobre la capa semiconfinante, existe un acuífero libre que tiene una tabla de aguas horizontal, cuya carga hidráulica es constante (h0). El suministro de agua al acuífero libre es suficiente para mantener h0 constante. El flujo en la capa semiconfinante es vertical Las mismas suposiciones del acuífero confinadoAplicando la ecuación de continuidad a cualquier anillo de radio r, mostrado en la Figura 14 se tiene que: Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr∆r )v v = 0 [4.10]Donde vv es la velocidad de goteo desde la capa semiconfinate. Si se divide por ∆r y como ∆r tiende a cero, sellega a:  Q(r + ∆r ) − Q(r )  lim  + (2πr )v v  = 0 ∆r → 0  ∆r  ∂Q + 2πrv v = 0 [4.11] ∂rLa Ley de Darcy por el acuífero semiconfinado, conduce a:
  27. 27. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 27 Superficie piezométrica Q antes del bombeo Superficie piezométrica Superficie del terreno durante el bombeo z (cono de depresión) Nivel Estático s sw r Superficie piezométrica K’ vv al tiempo t +∆t Capa b’ semiconfinante Acuífero hw b K H0 semiconfinado 2rw Datum Lecho impermeable Figura 14. Esquema representativa de un pozo en un acuífero semiconfinado. Q(r + ∆r ) − Q(r ) + (2πr )v v = 0 ∆r ∂h Q(r ) = (2πrb )K ∂r ∂h Q(r ) = 2πrT [4.12] ∂rLa Ley de Darcy también controla la velocidad de goteo: h0 − h v v = K [4.13] b
  28. 28. 28 CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOSDonde K’ y b’ son la conductividad hidráulica y el espesor de la capa confinante (acuitardo).Reemplazando 4.12 y 4.13 en 4.10, se obtiene:  ∂h  ∂  2πrT   ∂r   h −h + 2πr  K 0 =0 ∂r  b  ∴ [4.14] ∂  ∂h   h 0 − h  1 ∂  ∂h  h 0 − h  r  + r   = 0∴  r  + =0 ∂r  ∂r   B 2 r ∂r  ∂r  B2 b ⋅ b⋅KDonde B 2 = , es llamado factor de filtración. En la misma ecuación b/K es conocida como la Kresistencia hidráulica.La ecuación puede ser escrita como una Ecuación de Movimiento ordinaria porque h sólo depende del radio r.Reemplazando s = h - h0,, en la ecuación: 1 d  dh  h0 − h 1 d  ds  s 1 ds d2 s s r + 2 =0 r  + 2 = 0 + 2 − 2 =0 r dr  dr  B ∴ r dr  dr  B ∴ r dr dr B ∴ 2 ds ds 2 s r2 2 + r −r 2 = 0 [4.15] dr dr BSi r/B=x, entonces r = B x, y dr = B dx, d2 s ds s d2 s ds (Bx )2 2 2 + Bx − B2 x 2 2 = 0 ∴ x 2 2 + x − x 2s = 0 [4.16] B dx Bdx B dx dx4.2.1.1 Ecuación de De Glee - JacobLa ecuación 4.16 es un a ecuación diferencial no lineal no homogénea que se puede solucionar por el método deCauchy – Euler. Este método consiste en aplicar la regla de la cadena luego de hacer el siguiente reemplazo:u = ln(x ) .Entonces: e u = x ∴ e 2u = x 2Ahora se encontrarán las derivadas: du 1 = dx x ds ds du 1 ds = = dx du dx x du d2 s d  1 ds  1 ds 1 d2 s du =  =− 2 + dx 2 dx  x du  x du x du2 dx d2 s 1 ds 1 d2 s 1  d2 s ds  =− 2 + 2 = 2 2 −  dx 2 x du x du2 x  du  du  Reemplazando en la ecuación 4.16, se llega a:
  29. 29. CAPÍTULO 8 — HIDRÁULICA DE POZOS 29 d2 s ds ds 2 − + = e 2u s ∴ s ′′ − x 2 s = 0 [4.17] du du duAhora se soluciona esta ecuación por medio del operador cuadrático, explicado en el numeral 3.1.1.4,obteniendo las raíces D = ± x .Entonces, la solución es igual a: s = C1 e x + C 2 e − x r r r −Que al reemplazar el valor de x = , se obtiene: s = C1e B + C 2 e B . Para encontrar el valor de las Bconstantes, se sabe que cuando el radio tiende al infinito, el abatimiento es nulo, y que cuando el radio es igual alradio del pozo, el caudal es constante. Entonces: si s(r) = s( ∞ ) = 0, entonces 0 = C1 (∞ ) , pero esto esindeterminado, lo cual no permite concluir el valor de C1. Es decir que la solución planteada no es compatiblecon las condiciones de frontera dadas. Sólo se sabe que las soluciones son linealmente independientes, por loque usando las función de Bessel se pueda encontrar la solución compatible. r  r s = C1I 0   + C 2 I 0  −  [4.18] B  BDonde: rI 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de primera clase. B  r rI 0  −  = K 0   : es el modificador de la función de Bessel de orden 0, de segunda clase, así que la  B Bsolución queda definida como: r r s = C 1 I 0   + C 2K 0   [4.19] B BLos valores de los modificadores de Bessel están ya tabulados, y se pueden encontrar en libros de CálculoAvanzado.Con las condiciones de frontera antes mencionadas, se concluye que: I 0 (∞ ) = ∞, K 0 (∞ ) = 0 , así que C1 esigual a cero.Ahora cuando r = rw: ∂s Q = −2πrwbK dr r ∂s ∂   r  1 r rSi s (r ) = C 2K 0   entonces, = C 2  K 0    = C 2 K 1   , donde K 1   , es el operador de   B ∂r ∂r   B   B B Bla función de Bessel de primer orden de segunda clase.

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