Matematicas para la Olimpiada

Introducción a los algoritmos Algunas matemáticas necesarias… Joemmanuel Ponce Galindo

Introducción
La computación surgió como apoyo para resolver problemas de carácter matemático que de haberse hecho a mano una persona seguramente hubiera tardado más años de los que viviría resolviendo el problema.

Introducción
No es de extrañarnos que comúnmente tengamos que resolver problemas relacionados con matemáticas.
La computación es una rama de las matemáticas.

Temas básicos
Divisibilidad
Números Primos
Factorización
Máximo Común Divisor
Mínimo Común Múltiplo
Conversión de Bases

DIVISIBILIDAD

Divisibilidad
Sean n y m dos números naturales. Decimos que n divide a m cuando existe otro entero positivo tal que:
Entonces n es un divisor de m.

Divisibilidad
La siguiente notación es empleada comúnmente:
indica que n es divisor de m
indica que n no divide a m

Divisibilidad
Si n no divide a m , entonces se cumple que existen q y r únicos tal que:
Con
A q le llamamos cociente y a r residuo.

NÚMEROS PRIMOS

Números primos
Dentro de las ciencias computacionales, el estudio de los números primos es de suma importancia en muchos temas.
Un ejemplo es los algoritmos de encriptación de datos como el RSA que se basa en el producto de números primos grandes (mayores que 10 100 )

Números primos
Un número primo se define como aquel número que es divisible solamente por el 1 y por sí mismo.
Por ejemplo: 3, 7, 11, 311 son ejemplos de números primos.
Números como el 4,8,32 no son números primos.
Los números que no son primos se denominan compuestos.

Ejercicio 1
Escribe un método esPrimo que reciba como parámetro n, y devuelva true si n es un número primo.
De lo contrario regresar false.
Condiciones :
Tu programa deberá correr en 1 segundo o menos.
Recuerda el uso del operador %
x%y = 0 si y divide a x

Ejercicio 1… primer acercamiento
Sin duda el primer acercamiento es un algoritmo O(n):
int i;
for (i=2;i<n;i++)
if (n%i==0)
return false ;
return true ;

Sin embargo, necesitamos algo mucho mejor que O(n) para resolver 2147483647 en menos de 1 segundo, que es nuestro peor caso (el número primo más grande en el rango de n).

Ejercicio 1… Segundo acercamiento
Pregunta:
¿Hasta dónde tenemos que revisar para asegurarnos que no necesitamos revisar más?

Ejercicio 1… Segundo acercamiento
Respuesta:

Ejercicio 2...
Implementa un algoritmo de menor complejidad para resolver el problema anterior.

Ejercicio 2
if (n<=1)
return true;
if (n==2)
return true;
if (n%2==0)
return false;
int i;
int tope=(int)Math.sqrt(n);
for (i=3;i<=tope;i+=2)
if (n%i==0)
return false ;
return true ;

Ejercicio 3
Escribe un método primos que reciba un entero n (n<1’000,000) como parámetro y que escriba todos los números primos del 1 al n

El primer acercamiento es llamar un millón de veces a nuestra función esPrimo

La criba de Eratóstenes
La manera más eficiente de encontrar todos los primos pequeños fue propuesta por Eratóstenes, un matemático griego.
Su idea fue poner en una lista todos los enteros menores a n y borrar secuencialmente los múltiplos de los primos menores o iguales a la raíz cuadrada de n.
Después de este procedimiento sólo los números primos quedarán no tachados en la lista.

La criba de Eratóstenes - Ejemplo
Supongamos n=15
Primero tenemos la lista de los 15 números:
Tomamos el primer número y tachamos sus múltiplos…
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

La criba de Eratóstenes - Ejemplo
Ahora tomamos el siguiente número no tachado, 3, y tachamos sus múltiplos…
El 4 es mayor que la raíz cuadrada de 15, así que no tiene sentido revisarlo.

La criba de Eratóstenes -Ejemplo
Podemos observar que han quedado no tachados los números primos menores que 15

Ejercicio 4
Implementa la Criba de Eratóstenes.

Ejercicio 4
Para implementar la Criba de Eratóstenes necesitaremos un arreglo de booleanos donde arreglo en la posición i será true sí i es número primo. De lo contrario, el arreglo en la posición i será false.

Ejercicio 4 - Criba
void criba( int MAX) {
int i,j;
for (i=0;i<MAX;i++) primes[i] = 1;
for (i=2;i<=(int)sqrt(MAX);i++)
if (primes[i])
for (j=i;j*i<MAX;j++)
primes[i*j] = 0;
}

FACTORIZACION

Teorema Fundamental de la Aritmética
Cualquier número positivo puede ser expresado como producto de números primos de una única manera.
El orden de los factores no altera el producto.

¿Y el 1?
El número 1 no es ni primo ni número compuesto. 1 no es compuesto porque no tiene dos divisores diferentes. Y si el 1 fuera primo, entonces, el número 10 por ejemplo, tiene dos diferentes representaciones como producto de primos:
10=5(2)(1)
10=5(2)
Lo cual contradice el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Teorema de Euclides
La cantidad de números primos es infinita.
Para demostrar esto, consideremos sólo n números primos, p 1 , p 2 , p 3 …p n . Pero no hay un número primo entre ellos que divida a:
Así que N no puede ser compuesto, por lo tanto es número primo.

Ejercicio 5 – Conjetura de Goldbach
Para cualquier entero (n>3) existen dos números primos, p 1 y p 2 tales que p 1+ p 2 =n. Tu tarea es encontrar todas las parejas (p 1, p 2 ) con que cumplan la condición para cualquier n par ( )
Por ejemplo, para n=10 tenemos 2 parejas, 10=5+5 y 10=3+7

Ejercicio 6 – Tamaño de Mantas (Topcoder SRM 304 DIV2 250p)
Las mantas se venden en varios tamaños. De hecho, podemos encontrar mantas de cualquier ancho y alto entero, excepto que no hay mantas que tengan diferentes tamaños de ancho y alto que sean pares ambos números. Por ejemplo, podemos encontrar una manta de 4x4 pero no una de 2x4. Queremos saber cuantas mantas diferentes podemos escoger dada el área.

Ejercicio 6 – Tamaño de Mantas (Topcoder SRM 304 DIV2 250p)
No cuentes la misma manta dos veces, una manta de 6x9 es la misma que una de 9x6 y debe ser contada sólo una vez.

Ejercicio 7 – Primos Ingenieriles (Topcoder SRM 181 DIV2 1000p)
Un número primo es un número que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Se ha demostrado que un algoritmo de tiempo polinomial sublinear determina la primalidad de un número con certeza, no como las pruebas probabilísticas, pero es bastante complicado. Debe existir un mejor camino….

Ejercicio 7 – Primos Ingenieriles (Topcoder SRM 181 DIV2 1000p)
..en ingeniería no son muy requeridas las soluciones exactas, sólo buenas aproximaciones. Entonces, un primo ingenieril de orden N es cualquier número que no es divisible por los primeros N números primos, dado que los primos más pequeños son mas fáciles de recordar: 2,3,5 y asi sucesivamente. Nota que 1 no es considerado como primo en este caso…
Dado N entero, tu programa debe regresar el primo ingenieril más pequeño de orden N que no es primo.

Factorización
¿Cómo se podría encontrar la descomposición en números primos de un número N ? :

Factorización
La técnica más simple de factorización representa un método de “fuerza bruta” en donde vamos a intentar dividir a n por todos los números i no mayores a la raíz cuadrada de n .

Factorización
void factorizar(int n) {
int i;
for (i=2;i<=(int)sqrt(n);i++) {
while (n % i == 0) {
System.out.println(i);
n = n/i;
}
}
if (n > 1)
printf ("%d",n);
}

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El MCD
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos números, n y m, es el número más grande tal que divide tanto a n como a m. Por ejemplo, MCD(205,10)=5
Es importante notar que siempre existe el MCD de dos números ya que el 1 divide a todos los naturales.

El MCD
Un algoritmo para calcular el MCD podría ser el siguiente, recorremos con un ciclo a partir del mínimo de n y m hacia abajo hasta encontrar el primer divisor de ambos. Este entonces será el más grande.
for (int i=min(n,m); i>=1; i--)
if (n%i==0 && m%i==0)
return i;

El MCD
Existe un método más rápido llamado el Algoritmo de Euclides, el cual itera sobre dos números hasta encontrar un 0.

El MCD
Como ejemplo, encontremos el MCD de 205 y 10. Empezaremos a expresar el número mayor (205) en términos del menor (10) más un residuo:
205= ( 10 x20)+5
Ahora hacemos lo mismo con el 10 y el 5:
10= ( 5 x2)+0
El número que haga que se regrese un 0 como residuo será nuestro MCD. Por lo tanto, el 5 es el MCD de 205 y 10.

Ejercicio 8
Implementa el Algoritmo de Euclides.
Nota: la versión recursiva es más corta.

Ejercicio 8 – Algoritmo de Euclides – Versión Recursiva
public int MCD(int n , int m )
{
if (m>n)
return MCD(m,n);
if (m==0)
return n;
return MCD(m,n%m);
}

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El MCM
El Mínimo Común Múltiplo de dos números n y m es el menor número que es múltiplo tanto de m como de n.
Por ejemplo, el MCM de 4 y 6 es 12

El MCM
El MCM puede ser encontrado usando el MCD con la siguiente propiedad:

Ejercicio 9 – OIEG
Escribe un programa que dadas n<100 fracciones expresadas calcule la suma y la exprese como una fracción irreducible.
Ejemplo:
Entrada Salida 3 1 5 3 2 3 10 19 10

CONVERSIÓN DE BASES

Dado que en la computación es muy común el uso del sistema binario como representación de estados encendidos y apagados, también es muy común la necesidad de convertir de este sistema a decimal y viceversa.

Considera el número decimal12345. Lo podemos expresar de la siguiente manera:
Observa como el exponente de la base ( 10 ) va aumentando en una unidad conforme avanzamos de derecha a izquierda en el número.

En el sistema binario ocurre lo mismo. Considera el número 111011, de igual manera lo podemos expresar así:
Lo que acabamos de realzar es una conversión de base binario a base decimal. Para cualquier base aplica la misma metodología.

Ejercicio 10
Haga un programa que convierta de un entero en base B ( ) a un número decimal.

Ejercicio 10
int aDecimal(int n, int b){
int resultado=0;
int multiplicador;
while (n>0) {
resultado+=(n%10)*multiplicador;
multiplicador*=b;
n/=10;
}
return result;
}

Conversión Decimal > Otra base
Para convertir desde un número decimal a cualquier otra base se sigue este algoritmo. Si queremos convertir el 23 a base 2:
Tomamos los residuos y nos queda el número 10111 binario, que en decimal equivale al 23.

Conversión Decimal > Otra base
Para convertir a cualquier otra base solo se sustituye el 2 en el procedimiento anterior por la base b.

Ejercicio 11
Implementa el algoritmo anterior. Convierte un número decimal N a cualquier base B

Ejercicio 11
int decimalAOtraBase(int n, int b){
int resultado=0;
int multiplicador;
while (n>0) {
resultado+=(n%b)*multiplicador;
multiplicador*=10;
n/=b;
}
return result;
}

http://gilberto2112.brinkster.net	2899
http://www.educacioncreativa.org	366
http://educacioncreativa.org	27
http://www.slideshare.net	24
http://www.babymoments.com.mx	5
http://umgvirtual.umg.edu.gt	3
http://carmencontreras.blogspot.com	2
http://localhost	1
http://matematicasrecreativasms.blogspot.com	1

Matematicas para la Olimpiada

by Joemmanuel Ponce

Accessibility

Upload Details

Usage Rights

9 Embeds 3,328

Statistics

Matematicas para la Olimpiada Presentation Transcript