Sistemas de numeração

Noções básicas de computação – Sistemas de NumeraçãoProfª Jocelma RiosMar/2012

O que pretendemos hoje:● Contar um pouco sobre a origem dos números e dos sistemas de numeração● Apresentar alguns sistemas de numeração utilizados no passado e atualmente● Mostrar as possibilidades de conversão entre os sistemas de numeração vinculados à computação● Refletir sobre a relação entre os sistemas de numeração estudados e o processamento computacional

A origem dos númerosNa pré- história, seráque os homens jácontavam?

A origem dos números● Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco da história humana, que pode ser feito através de: – estudo das ruínas de antigas civilizações – estudo de fósseis – estudo da linguagem escrita – avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos

A origem dos númerosA necessidade de contar começou com odesenvolvimento das atividades humanas,voltadas para sua “civilização”, quando ohomem foi deixando de ser pescador e coletorde alimentos para fixar-se no soloO homem começou a produzir alimentos,construir casas e domesticar animais,aproveitando-se dos mesmos através do uso dalã e do leite, tornando-se criador edesenvolvendo o pastoreio... tudo issotrouxe profundas modificações na vida humana

A origem dos númerosOlhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números...

A origem dos números● As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10 mil anos na região que hoje fica o Oriente Médio● A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua, e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário

A origem dos númerosNo pastoreio, o pastor usava várias formaspara controlar o seu rebanho. Pela manhã,ele soltava os seus carneiros e analisava aofinal da tarde se algum tinha sido roubado,fugido, se perdido do rebanho ou se haviasido acrescentado um novo carneiro aorebanho.Assim, eles tinham a correspondência um aum, onde cada carneiro correspondia a umapedrinha que era armazenada em um saco.

A origem dos númerosNo caso das pedrinhas, cada animal que saíapara o pasto de manhã correspondia a umapedra que era guardada em um saco de couro.No final do dia, quando os animais voltavamdo pasto, era feita a correspondênciainversa, onde, para cada animal queretornava, era retirada uma pedra do saco.Se no final do dia sobrasse alguma pedra, éporque faltava algum dos animais, e se algumfosse acrescentado ao rebanho, era sóacrescentar mais uma pedra.

A origem dos números● A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa “pedrinha”● A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação

Representação numéricaCom o passar do tempo, as quantidadesforam representadas por expressões,gestos, palavras e símbolos, sendoque cada povo tinha a sua maneirade representaçãoA faculdade humana natural dereconhecimento imediato dequantidades se resume a,no máximo, quatro elementosO senso numérico não pode serconfundido com contagem, que é umatributo exclusivamente humano quenecessita de um processo mental

Numeração egípciaOs egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.

Numeração Maia

Senso numérico ● Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção ● O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental "Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmoquatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

Senso numéricoTemos também alguns animais, ditos irracionais,como os rouxinóis e os corvos, que possuem estesenso numérico onde reconhecem quantidadesconcretas que vão de um até três ou quatrounidadesExiste um exemplo célebre sobre um corvo quetinha capacidade de reconhecer quantidade...

Um corvo que sabia contar...Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo quefez seu ninho na torre de observação de suamansão. Por diversas vezes, tentou surpreender opássaro, mas em vão: à aproximação do homem, ocorvo saía do ninho.Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saíado ninho.De uma árvore distante, ele esperava atentamenteaté que o homem saísse da torre e só então voltavaao ninho.

Um corvo que sabia contar...Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2homens entraram na torre, um ficou dentro e ooutro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foienganado: manteve-se afastado até que o outrohomem saísse da torre. A experiência foi repetidanos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda semsucesso.Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes,todos entraram na torre e um permaneceu lá dentroenquanto os outros quatro saíam e se afastavam.Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz dedistinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente aoninho e foi surpreendido.

Sistema de numeração egípcio● Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html Sistema de numeração egípcio ● Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33

Sistema de numeração babilônico● Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há, aproximadamente, 4 mil anos

Sistema de numeração indo- arábico ● Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão ● O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade; e o número 3 significava muitos, multidãoSaiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

Sistema de numeração hindu● Evolução aos longo da história

Sistema de numeração - comparativo

Ábaco ● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem que podem fazer-se deslizar livremente ● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também serem apontados como seus inventores ● Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dezSaiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

Ábaco● No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais● No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular

Sistemas de numeração● Como existem infinitas quantidades, não é possível criar um símbolo para cada uma. Assim, para resolver este problema, foram desenvolvidos os sistemas de numeração● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto finito de símbolos somado a uma lei de formação que permite representar qualquer quantidade● Podem ser classificados em: – Sistemas de Numeração Posicionais – Sistemas de Numeração Não Posicionais

Sistema de numeração não- posicional● Neles, cada símbolo, independente da posição, representa um único valor, como é o caso do sistema romano É composto de um conjunto de sete símbolos {I,V,L,C,D,M} capazes de representar uma grande variedade de números, com base numa lei de formação, porém não é possível representar qualquer quantidade como o zero por exemplo

Sistema de numeração não- posicional● Sistema romano – é dito não-posicional...por exemplo, IV e VI representam 4 e 6 respectivamente, contudo I e V representam 1 e 5 em ambos os numerais – No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso, a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado, em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa

Sistemas de numeração posicional● Nos sistemas de numeração posicional, o valor posicional do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número – 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9 – 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100● Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária – 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1

Sistemas de numeração posicional● A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos

Bases de sistemas de numeração● A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60)● Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal

Bases de sistemas de numeração● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades● Generalizando, temos que uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1)

Bases de sistemas de numeração posicional● Sistema Decimal → Base 10 → alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}● Sistema Binário → Base 2 → alfabeto {0, 1}● Sistema Octal → Base 8 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}● Sistema Hexadecimal → Base 16 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Bases de sistemas de numeração posicional

Conversão de base Passagem de uma Base R para a base Z● Consiste em decompor o número de acordo com a estrutura posicional, usando operações de produtos, divisão e somas● Para facilitar o cálculo das operações de conversão de base, vale a pena relembrar as potências das bases numéricas mais utilizadas na teoria da computação – 2 – 10 – 8 – 16

Conversão de base● Potência de 2: ● Potência de 8: 20 1 80 1 21 2 81 8 22 4 82 64 23 8 83 512 24 16 84 4.096 25 32 85 32768 26 64 86 262.144 2 7 128 87 2.097.152 2 8 256 88 16.777.216 89 134.217.728 2 9 512 10 810 10.73.741.824 2 1.024

Conversão de base● Potência de 10: ● Potência de 16: 100 1 160 1 101 10 161 16 102 100 162 256 103 1.000 163 4.096 104 10.000 164 65.536 105 100.000 165 1.048.576 106 1.000.000 166 16.777.216 107 10.000.000 167 268.435.456 108 100.000.000 168 4.294.967.296 109 1.000.000.000 169 68.719.476.736 1010 10.000.000.000 1610 1.099.511.627.776

Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10● Converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetua-se as operações de produtos e somas Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R – (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13 – (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688

Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 10 correspondente a sua posição

Conversão de base Passagem de uma Base 16 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 16 correspondente a sua posição

Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida● Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero● Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R (341)10 = (2331)5

Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 2● Basta dividir o número repetidas vezes por 2, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1

Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 16● Basta dividir o número repetidas vezes por 16, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1

Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida● A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente.● As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado

Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2 – 0,4375*2 = 0,8750 – 0,8750*2 = 1,7500 – 0,7500*2 = 1,1500 – 0,5000*2 = 1,0000 resultado → 0,01112

Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base de potência 2 (8 ou 16 p.ex.)● A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n – Se essa base for 8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23● Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.

Para refletir... Por que o sistema de numeração hexadecimal étambém largamente utilizado na computação, se os computadores só conseguem compreender 0 e 1?

Referências● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.● Gongora, Miriam; SODRÉ, Ulysses. Introdução sobre a origem dos números. Disponível em: < http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>. Acesso em: 01 ago 2011.

Sistemas de numeração

by Jocelma Rios on Jun 18, 2012

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