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Aulas 10 e 11 - Álgebra de Boole
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Aulas 10 e 11 - Álgebra de Boole

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Aulas 10 e 11 da disciplina Computação Aplicada, Unijorge, 2012.2

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  • 1. Álgebra de Boole George Simon Boole (1815-1864) O criador da álgebra dos circuitos digitaisProfª Jocelma RiosOut/2012
  • 2. O que pretendemos:● Contar um pouco sobre a história da Álgebra, especialmente a Álgebra de Boole● Mostrar a relação entre a Álgebra de Boole e a Computação Digital● Apresentar as possíveis variáveis da Álgebra Booleana, seus operadores fundamentais e os secundários● Apresentar os postulados e alguns teoremas da Álgebra Booleana● Refletir sobre a relação entre a Lógica Formal, a Álgebra Booleana e a lógica de Programação
  • 3. Um pouco de história● A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia.● Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione".
  • 4. Um pouco de história● Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”● Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
  • 5. Definição A Álgebra de Boole é um sistema matemáticocomposto por operadores, regras, postulados e teoremas.- Usa funções e variáveis, como na álgebraconvencional, que podem assumir apenas um dentredois valores, zero (0) ou um (1).- Trabalha com dois operadores, o operador AND,simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizadopor (+). O operador AND é conhecido como produtológico e o operador OR é conhecido como somalógica. Os mesmos correspondem, respectivamente,às operações de interseção e união da teoria dosconjuntos.
  • 6. OperadoresAs variáveis booleanas são representadaspor letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)
  • 7. Operadores Booleanos Fundamentais Operador AND (interseção)q Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. Símbolo Lógico: Tabela Verdade:
  • 8. Operadores Booleanos FundamentaisOperador OR (união)Definição: A operação lógica OR entre duas oumais variáveis apresenta resultado 1 se pelomenos uma das variáveis estiver no estadológico 1.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 9. Operadores Booleanos FundamentaisOperador NOT (inversor)Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 10. Operadores Booleanos secundáriosOperador NANDDefinição: A operação lógica NAND entre duas ou maisSímbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 11. Operadores Booleanos secundáriosOperador NORDefinição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 12. Operadores Booleanos secundáriosOperador XOR (OU exclusivo)Definição: A operação lógica XOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 13. Operadores Booleanos secundáriosOperador XNOR (negativo de OU exclusivo)Definição: A operação lógica XNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.Símbolo Lógico:Tabela Verdade:
  • 14. Postulados da Álgebra de Boole Postulados da Álgebra de BooleO significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associaçãocom a teoria dos conjuntos
  • 15. Postulados da Álgebra de BooleO significado dospostulados pode serentendido facilmentese fizermosassociação com aTeoria dos Conjuntos
  • 16. Teoremas da Álgebra de Boole
  • 17. Teoremas da Álgebra de Boole
  • 18. Funções booleanas vs. circuitos lógicos
  • 19. Funções booleanas vs. circuitos lógicos S = A.B.C + B.C + A.C
  • 20. Funções booleanas vs. circuitos lógicosF = (((A+B).D)+(A.D))+ (D.(B.C))
  • 21. Simplificação de funçõesS = A.B.C + A.C + A.BS = A(B.C + C + B) → DistributivaS = A(B.C + C.B) → De MorganS = A.1 → ComplementarS = A
  • 22. Simplificação de funçõesF = A.B + A.B + A.BF = A.B + A.B + A.B → ComutativaF = B(A + A) + A.B → DistributivaF = B.1 + A.B → ComplementarF = (B + A).(B + B) → DistributivaF = (B + A).1 → ComplementarF = (B.A) → De Morgan
  • 23. Para refletir...Como é possível utilizar a Álbebra de Boole para executar funções tão complexas como as que são executadas por um sistema operacional nogerenciamento de processos?
  • 24. Referências● BASTOS, S. Sistemas Digitais I. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/50293193/7/ALGEBRA-DE- BOOLE-E-PORTAS-LOGICAS>. Acesso em: 02 out. 2012.● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.
  • 25. Vídeos sugeridos● Funções booleanas e portas lógicas – Parte I – www.youtube.com/watch?v=fyPAX7gpUmg● Funções booleanas e portas lógicas – Parte II – www.youtube.com/watch?v=f9j3BMiAmsQ● Matemática discreta – circuitos lógicos – www.youtube.com/watch?v=g0Tfc1Lf3bY● Álgebra Booleana - USP - Introdução e Motivação – www.youtube.com/watch?v=Oopy6AqRs-I
  • 26. Vídeos sugeridos● Eletônica Digital - Aula 22 – (Introd. às Portas Lógicas - Porta NOT) – www.youtube.com/watch?v=Afh8wmTUoVc● Eletrônica Digital - Aula 23 - (Porta Lógica NOT - Continuação) – www.youtube.com/watch?v=HHUAm-9e9xY● Eletrônica Digital - Aula 24 - (Porta NOT - circuitos com várias portas lógicas) – www.youtube.com/watch?v=iI6cVVPa1k4● Eletrônica Digital - Aula 25 - (Correção exercicios - Porta NOT) – www.youtube.com/watch?v=PtJHxPtGnbI
  • 27. Vídeos sugeridos● Eletrônica Digital - Aula 26 - (Porta E/AND) – www.youtube.com/watch?v=TBaQkG-hrpI● Eletrônica Digital - Aula 27 - (Porta E/AND - Resolução de exemplos) – www.youtube.com/watch?v=v0dmvbkWGBg● Eletrônica Digital - Aula 28 (Circuitos com Porta E/NOT, Expressão e tabela-verdade) – www.youtube.com/watch?v=naVeL9WwsmQ● Eletrônica Digital - Aula 29 (Porta OU/OR) – www.youtube.com/watch?v=gnopBvdG_Qk