Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway

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Problemas resueltos-cap-23-fisica-serway

  1. 1. CAMPOS ELECTRICOS CAPITULO 23 FISICA TOMO 2 Quinta edición Raymond A. Serway23.1 Propiedades de las cargas eléctricas23.2 Aislantes y conductores23.3 La ley de Coulomb23.4 El campo eléctrico23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua23.6 Líneas de campo eléctrico23.7 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com 1
  2. 2. Ejemplo 23.1 El átomo de hidrogenoEl electrón y el protón de un átomo de hidrogeno están separados (en promedio) por una distancia deaproximadamente 5,3 x 10 -11 m. Encuentre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerzagravitacional entre las dos partículas. q q 1 2 electrón protónFuerza electrica = K e r2 r = 5,3 * 10- 11 m m2K e = 8,9875 x 109 N C2q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombiosq2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombiosr = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m. ⎛ -19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ q1 q 2 2 ⎜1,6021917 * 10 ⎟ ⎜ ⎟ Fuerza electrica = K e = 8,9875 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r 2 C 2 2 ⎛ 5,3 * 10 -11 m ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2 Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N * = 8,9875 * 10 9 N * 0,0913854 * 10 -16 C 2 28,09 * 10 − 22 m 2Fuerza = 0,8213 *10-7 Newtonla fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton. m mp Fuerza gravitacional = G e r2 m2G = 6,7 x 10 -11 N Kg 2me = masa del electrón = 9,1095 X 10-31 Kgmp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kgr = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m. ⎛ - 31 Kg ⎞ * ⎛1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞ me m 2 ⎜ 9,1095 * 10 ⎟ ⎜ ⎟Fuerza gravitacional = G p = 6,7 * 10 -11 N m * ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r 2 Kg 2 2 ⎛ 5,3 * 10 -11 m ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ - 58 Kg 2 ⎞ 2 ⎜15,2366 * 10 ⎟Fuerza gravitacional = 6,7 * 10 -11 N m * ⎝ ⎠ = 6,7 * 10 -11 N * 0,5424 * 10 - 36 Kg 2 28,09 *10 - 22 m 2Fuerza gravitacional = 3,6342 *10-47 NewtonEjemplo 23.2 Encuentre la fuerza resultanteConsidere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triangulo recto, como se muestra enal figura 23.7, donde q1 = q3 = 5 µc, q2 = -2 µc, a 0 0,1 m. Encuentre la fuerza resultante ejercida sobreq3q1 = q3 = 5 µc = 5*10-6 Cq2 = -2 µc = -2*10-6 C 2
  3. 3. La fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3 es de atracción por tener cargas de diferente polaridad.La fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad. F3 F13Y = F13 sen 45 F13X = F13 cos 45 450 450 ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q q3 2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜ 5 * 10 C ⎟F23 = K e 2 = 8,9875 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,1 m ) 2 ⎛10 * 10 -12 ⎞ ⎜ ⎟F23 = 8,9875 * 10 9 N *⎝ ⎠= 8,9875 * 10 9 N * 10 3 * 10 -12 = 8,9875 Newton 0,01F23 = 9 Newton ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 C⎞ q 1 q3 2 ⎜ 5 * 10 C ⎟ * ⎜ 5 * 10 ⎟F13 = K e = 8,9875 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2a 2 ) C 2 (2 * 0,1 m)2 ⎛ 25 * 10 -12 ⎞ ⎜ ⎟F13 = 8,9875 * 10 9 N *⎝ ⎠ = 8,9875 * 10 9 N * 1250 * 10 -12 2 * 0,01F13 = 11,23 NewtonLa fuerza F13 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad y forma un ángulo de 45 grados con eleje de las x.F13X = F13 cos 45 = 11,23* cos 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 NewtonF13Y = F13 sen 45 = 11,23* sen 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 NewtonLa fuerza F23 esta en el eje negativo de las x.La fuerza resultante F3 que actúa sobre la carga q3 es:F3X = F13X - F23 = 7,94 Newton - 9 NewtonF3X = -1,06 NewtonF3Y = F13Y = 7,94 NewtonTambién se puede expresar la fuerza resultante que actúa sobre q3 en forma de vector unitario como:F3 = (-1,06 i + 7,9 j) Newton 3
  4. 4. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza resultante F3 ?F3 = (F3X )2 + (F3Y )2 = (- 1,06)2 + (7,94)2 = 1,1236 + 63,0436 = 64,16 = 8 NewtonEjemplo 23.3 ¿Dónde es cero la fuerza resultante?Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la fig. 23.8. La cargapositiva q1 = 15μC. Esta en x = 2 m, la carga positiva q2 = 6 μC esta en el origen y la fuerza resultanteque actua sobre q3 es cero. ¿Cuál es la coordenada x de q3 ?Figura 23.8 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. Si la fuerza neta que actúa sobre q3es cero, entonces la fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud y opuesta endirección a la fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3Solucion: Puesto que q3 y q1 = 15μC., q2 = 6 μC son positivas, las fuerzas F13 y F23 son de atracción.Según se indica en la figura 23.8. A partir de la ley de coulomb F13 y F23 tienen magnitudes. q1 q3 q q3F13 = K e F23 = K e 2 (2 - x )2 x2Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F23 debe ser igual en magnitud y puesta en dirección aF13. Por lo anterior se igualan las ecuaciones.F13 = F23 q1 q3 q qKe = Ke 2 3 (2 - x )2 x2Se cancelan los términos semejantes como Ke , q3 q q2 1 =(2 - x )2 x2DespejandoX2 q1 = (2-x)2 q2X2 q1 = (4 - 4x +x2 )q2pero: q1 = 15 μC., q2 = 6 μC -6 -6X2 * 15 * 10 = (4 - 4x +x2 ) * 6 * 10 4
  5. 5. -6CANCELANDO 10 a ambos ladosX2 * 15 = (4 - 4x +x2 ) * 615 X2 = 24 - 24x + 6x2Ordenando y simplificando la ecuación de segundo grado15 X2 – 24 + 24x - 6x2 = 09 X2 + 24x - 24 = 03 X2 + 8x - 8 = 0a=3 b=8 c=-8 2 - b ± b 2 - 4 a c - (8) ± (8) - 4 * 3 * (- 8) - 8 ± 64 + 96x = = = 2a 2*3 6 - 8 ± 160 - 8 ± 12,649x= = 6 6 4,649x= = 0,775 6Ejemplo 23.4 ¿Encuentre la carga sobre las esferas?Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3*10-2 kg. De masa, cuelgan en equilibrio comose indica en la figura 23.9 a. La longitud de cada cuerda es e 0,15 m y el ángulo θ = 5 grados. Encuentrela magnitud de la carga sobre cada esfera.Figura 23.9 a) Dos esferas idénticas., cada una conduciendo la misma carga q, suspendidas enequilibrio. b) Diagrama de cuerpo libre para la esfera a la izquierda. aSolución: de acuerdo con el triangulo recto que se muestra en la figura 23.9 a, se ve que sen θ = por lconsiguiente, a = l sen θ = 0,15 * sen 5 = 0,15 * 0,087 = 0,013 metros. La separación de las dos esferases 2 * a = 2 * 0,013 = 0,026 metrosLas fuerzas que actúan sobre la esfera izquierda se muestran en la figura 23.9 b. Ya que la esfera estaen equilibrio, las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado.Σ Fx = T sen θ - Fe = 0 5
  6. 6. Σ FY = T cos θ - m g = 0Dividiendo las 2 ecuaciones y simplificando los términos semejantesT sen θ Fe =T cos θ m gsen θ Fe =cos θ m g Ftgθ = e mgFe = m g tg θFe = 3*10-2 kg.* 9,8 m/seg2 tg 5 = 2,572 *10-2 NewtonA partir de la ley de coulomb, la magnitud de la fuerza electrica es: qq q2Fe = K e = 8,9875 * 10 9 * (2a )2 (0,026 )2 q22,572 * 10 - 2 = 8,9875 * 10 9 * (0,026 )22,572 * 10 - 2 ⎛ 6,76 * 10 - 4 ⎞ = 8,9875 * 10 9 * q 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1,7386 * 10 - 3 * 10 − 2q= = 1,9345 * 10 - 4 * 10 − 2 * 10 − 9 8,9875 * 10 9q = 19,345 * 10 - 16 = 4,39 * 10 − 8 coulombiosEjercicio si la carga sobre las esferas fuera negativa, cuantos electrones tendrían que añadirsen a ellaspara producir una carga neta de – 4,4 * 10- 8 C.Ejemplo 23.5 Campo eléctrico debido a dos cargasUna carga q1 = 7 μC se ubica en el origen y una segunda carga q2 = -5 μC se ubica en el eje x a 0,3 mdel origen (Fig 23.13). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.4) mSolución. Comience por encontrar la magnitud del campo eléctrico en P producido por cada carga.Los campos E1 producidos por la carga de q1 = 7 μCLos campos E2 producidos por la carga de q2 = - 5 μC se muestran en la figura 23.13. ⎛ 7 * 10 - 6 ⎞ ⎜ ⎟ q1 -6E1 = K e = 8,99 * 10 9 *⎝ ⎠ = 8,99 * 109 * 7 * 10 = 8,99 * 10 9 * 43,75 * 10 − 6 (r1 )2 (0,4 m )2 0,16E1 = 393,31* 103 N/C 6
  7. 7. E2X = E2 cos θ θ0 E2Y = E2 sen θ E2 0,4 Esen θ = = 0,8 0,5 EY = E sen Φθ = arc sen 0,8 Φ0θ = 53,130 EX = EX cos ΦFigura 23.13 El campo eléctrico total E en P es igual al vector suma E1 + E2, donde E1 es el campodebido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2 ⎛ 5 * 10 - 6 ⎞ ⎜ ⎟ q1 -6E1 = K e = 8,99 * 10 9 * ⎝ ⎠ = 8,99 * 10 9 * 5 * 10 = 8,99 * 10 9 * 20 * 10 − 6 (r1 )2 (0,5 m )2 0,25E1 = 179,8* 103 N/CEl vector E1 solo tiene componente en el eje Y.El vector E2 tiene componente en el eje Y y en el eje X.La fuerza E1 se descompone en E1Y (Ver las graficas)E1Y = 393,31* 103 NewtonLa fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas)E2X = E2 cos 53,13 = 179,8 * 103 * 0,6 = 107,88 * 103 NewtonE2Y = - E2 sen 53,13 = 179,8* 103 *0,8 = -143,84 * 103 NewtonE es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas)La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)EX = E2X = 107,88 * 103 NewtonEY = E1Y - E2Y = 393,31* 103 Newton - 143,84 * 103 Newton = 249,47* 103 NewtonEY = 249,47* 103 Newton 7
  8. 8. E= (E X )2 + (E Y )2 = (107,88*10 ) + (249,47 *10 ) 3 2 3 2 = 11639,82 *10 6 + 62235,28 *10 6 = 73875,1*10 6F = 271,79*103 Newton E Y 249,47 * 10 3 249,47tg φ = = = = 2,312476 E X 107,88 * 10 3 107,88Φ = arc tg(2,312476)Φ = 66,610 RESPECTO AL EJE X POSITIVOEjemplo 23.6 Campo eléctrico de un dipoloUn dipolo eléctrico se define como una carga positiva q y una carga negativa –q separadas por algunadistancia. Para el dipolo mostrado en la figura 23.14 determine el campo eléctrico E en P debido a estas E1 E1Y = E1 sen θ 0 θ E1X = E1 cos θ E2X = E2 cos θ θ E2Y = E2 sen θ y E2 sen θ = r a cos θ = rcargas, donde P esta a una distancia y >>a desde el origen.Figura 23.14 El campo electrico total E en P debido a dos cargas de igual magnitud y signo opuesto (undipolo electrico) es igual al vector suma E1 + E2.El campo E1 se debe a la carga positiva qEl campo E2 se debe a la carga negativa -qSolucion: En el punto P los campos E1 y E2 son iguales en magnitud, debido a que las carga q y –q soniguales, el punto P es equidistante de las cargas. q qE1 = K e E2 = Ke (r )2 (r )2E1 = E2 8
  9. 9. La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver graficar2 = y2 + a2 q q E1 = E 2 = K e = Ke (r ) 2 y 2 + a2La fuerza E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas)E1X = E1 cos θE1Y = E1 sen θLa fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas)E2X = E2 cos θE2Y = - E2 sen θE es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas)La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)EX = E1X + E2X = E1 cos θ + E2 cos θ = 2 E1 cos θ (no olvide que E1 = E2)EX = 2 E1 cos θ acos θ = rLa distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver graficar2 = y2 + a2Reemplazando a aE x = 2 E1 = 2 E1 r y2 + a 2EY = E1Y + E2Y = E1 sen θ - E2 sen θ = 0 (no olvide que E1 = E2)EY = 0 2 ⎛ ⎞ ⎜ a ⎟ aE= (E X )2 + (E Y )2 = ⎜ 2 E1 ⎟ + (0 ) = 2 E1 2 ⎜ ⎝ y2 + a 2 ⎟ ⎠ y2 + a 2 a qE = 2 E1 pero: E1 = K e y2 + a 2 (r )2 a q aE = 2 E1 = 2 Ke * y2 + a 2 (r )2 y2 + a 2 q aE = 2 Ke * 2 + a2 y y2 + a 2simplificando qaE = 2 Ke 32 ⎛ y2 + a 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9
  10. 10. Si observamos en la grafica y >>a, se puede ignorar el valor de a qa qaE = 2 Ke = 2 Ke 32 y3 ⎛ y2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ qaE ≅ 2 Ke y3Problema 1 Serway quinta edición. a) Calcule el número de electrones en un pequeño alfiler de plata,eléctricamente neutro, que tiene una masa de 10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masamolar es de 107.87 g/mol. b) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de 1mC (1*10-3 Coulomb). ¿Cuántos electrones se añaden por cada 109 electrones ya presentes?Masa molar de la plata es de 107.87 g/mol.La plata tiene 47 electrones por átomo.1 mol de plata 107,8 gr X 10 gr. Plata 1 mol de plata *10 grx= = 0,0927 mol de plata 107,8 gr1 mol plata 6,02 * 1023 átomos0,0927 mol de plata x átomos 0,0927 mol de plata * 6,02 * 10 23 atomosx= = 0,558 * 10 23 atomos de plata 1 mol de plata1 átomo de plata 47 electrones0,558*1023 átomos de plata x electrones 0,558 * 10 23 atomos de plata * 47 electronesx= = 26,2285 * 10 23 electrones 1 atomo de plata1 electrón (carga) 1,6*10- 19 Coulomb -3 x 1* 10 Coulomb 1 * 10 - 3 Coulomb * 1 electronx= = 0,625 * 1016 electrones 1,6 * 10 - 19 CoulombProblema 2 Serway quinta edición. a) Dos protones en una molécula están separados por unadistancia de 3.8 x 10-10 m. Encuentre la fuerza eléctrica ejercida por un protón sobre el otro. b) ¿Cómose compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dosprotones? c) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerzagravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas? protón protón r = 3,8 *10- 10 m q q m2Fuerza electrica = K e 1 2 K e = 8,9875 x 10 9 N r2 C2 10
  11. 11. q = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombiosr = es la distancia que los separa = 3,8 x 10 -10 m. ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ q*q m2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Fuerza electrica = K e = 8,9875 * 10 9 N *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r2 C2 ⎛ 3,8 * 10 -10 m ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2 Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N * = 8,9875 * 10 9 * 0,17728 * 10 -18 Newton C 2 14,44 * 10 − 20 m 2 -9Fuerza eléctrica = 1,59 *10 Newton, es de repulsión por que los protones tienen la mismapolaridad (positiva).b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre losdos protones?la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton. m mp m2 Fuerza gravitacional = G e G = 6,67 x 10 -11 N r2 Kg 2mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kgr = es la distancia que los separa =3,8 x 10 -10 m. ⎛ - 27 Kg ⎞ * ⎛1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞ mp m p 2 ⎜1,67261 * 10 ⎟ ⎜ ⎟Fuerza gravitacional = G = 6,67 * 10 -11 N m * ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r2 Kg 2 ⎛ 3,8 * 10 -10 m ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ - 54 Kg 2 ⎞ 2 ⎜ 2,7889 * 10 ⎟Fuerza gravitacional = 6,67 * 10 -11 N m * ⎝ ⎠ = 6,67 * 10 -11 * 0,1931 * 10 - 34 Newton Kg 2 14,44 * 10 - 20 m 2 -45Fuerza gravitacional = 1,28 *10 Newton Fe 1,59 * 10 - 9 = = 1,24 * 10 36 la fuerza eléctrica es mas grande 1,24 *1036 veces que la fuerzaFg 1,28 * 10 - 45gravitacional¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entredos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?Fuerza eléctrica = Fuerza gravitacional q q m mp 1 2 eFuerza electrica = K e Fuerza gravitacional = G r2 r2 q2 m2Ke =G r2 r2Cancelando términos semejantesKe q2 = G m2 11
  12. 12. q2 G q2 G = =m 2 Ke m 2 Keq G q G 6,67 * 10 -11 = = = = 0,7419 * 10 - 20m Ke m Ke 8,99 * 10 9q C = 0,861 * 10 -10m KgProblema 7 Serway quinta edición. Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un triánguloequilátero, como se muestra en la figura P23. 7. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 µC. F2X = F2 cos 60 F1 F1 F1Y = F1 sen 60 600 600 F2Y = F2 sen 60 + F1X = F1 cos 60 F F2 F2 F1 FX 600 FY 300 F 600 F -6q1 = 7 µc = 7 *10 C F2 -6q2 = 2 µc = 2*10 C -6q3 = - 4 µc = -4 *10 CLa fuerza F1 ejercida por q2 sobre q1 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas)La fuerza F2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad.a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m. ⎛ 7 * 10 - 6 C ⎞ * ⎛ 2 * 10 − 6 C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q 2 q1 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠F1 = K e = 8,99 * 10 9 N * a2 C2 (0,5 m )2 ⎛14 * 10 -12 ⎟ ⎜ ⎞F1 = 8,99 * 10 9*⎝ ⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 56 * 10 -12 = 0,5034 Newton 0,25F1 = 0,5034 Newton 12
  13. 13. ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q 3 q1 2 ⎜ 4 * 10 C ⎟ * ⎜ 7 * 10 C ⎟F2 = K e = 8,99 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,5 m ) 2 ⎛ 28 * 10 -12 ⎞ ⎜ ⎟F2 = 8,99 * 10 9*⎝ ⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 112 * 10 -12 = 1,0068 Newton 0,25F1 = 1,0068 NewtonLa fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas)F1X = F1 cos 60 = 0,5034 * 0,5 = 0,2517 NewtonF1Y = F1 sen 60 = 0,5034 * 0,866 = 0,4359 NewtonLa fuerza F2 se descompone en F2X y en F2Y (Ver las graficas)F2X = F2 cos 60 = 1,0068 * 0,5 = 0,5034 NewtonF2Y = F2 sen 60 = 1,0068 *0,866 = 0,8719 NewtonF es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas)La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)FX = F1X + F2X = 0,2517 Newton + 0,5034 Newton = 0,7551 NewtonFX =0,7551 NewtonFY = F1Y + F2Y = 0,4359 Newton - 0,8719 Newton = - 0,436 NewtonFY = - 0,436 NewtonF= (F3X )2 + (F3Y )2 = (0,7551)2 + (- 0,436)2 = 0,57 + 0,19 = 0,76F = 0,871 Newton F - 0,436tg θ = Y = = - 0,577406 FX 0,7551θ = arc tg(-0,577406)θ = - 300Problema 8 Serway quinta edición. Dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas 3q y q estánfijas en los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al puntox = d Como se muestra en la figura P23.8, una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarsesobre la barra. ¿En qué posición está en equilibrio la tercera cuenta? ¿Puede estar en equilibrioestable? Qq F1 = K e (d - X )2 Q 3qF2 = K e (X )2 13
  14. 14. Q F2 F1 X d -XPara estar en equilibrio se igualan las dos fuerzas y se halla en que posición esta la carga Q. F1 = F2 Qq Q 3qKe = Ke (d - X )2 (X )2Se cancelan términos semejantes 1 3 =(d - X )2 (X )2(X )2 = 3 (d - X )2 X 2 = 3 (d - X )2X = 3 (d - X )X= 3 d- 3XDespejando XX + 3X = 3dX + 1,732 X = 1,732 d2,732 X = 1,732 d 1,732 dX = = 0,6339 d 2,732X = 0,6339 dProblema 9 Serway quinta edición. n la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón se mueveen una órbita circular en torno a un protón, donde el radio de la órbita es 0.529 x 10-10 m. a) Encuentre lafuerza eléctrica entre los dos. b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es larapidez del electrón? q q Fuerza electrica = K e 1 2 electrón protón r 2 2 r = 5,3 * 10- 11 m K e = 8,9875 x 10 9Nm C2 14
  15. 15. q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombiosq2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombiosr = es la distancia que los separa = 0,529 x 10 -10 m. ⎛1,6021917 * 10 -19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q1 q 2 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Fuerza electrica = K e = 8,9875 * 10 9 N * r 2 C 2 2 ⎛ 0,529 * 10 -10 m ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2 Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N * = 8,9875 * 10 9 * 9,17447 * 10 -18 Newton C 2 0,2798 * 10 − 20 m 2 -9Fuerza = 82,45 *10 Newtonb) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón?F=ma v2a= r v2F= m* rDespejando la velocidad.Fr = V2 m m 43,616 * 10 -19 Kg *m F*r 82,45 * 10 - 9 Newton 0,529 * 10 -10 m seg 2 m2V= = = = 4,787711 * 1012 m 9,11 * 10 - 31 Kg 9,11 * 10 - 31 Kg seg 2V = 2,188*106 m/segProblema 11 Serway quinta edición.¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico queequilibrará el peso de a) un electrón y b) un protón? (Use los datos de la tabla 23.1.)E = campo eléctricoFe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)Igualando las ecuacionesqE=mgDespejando E para hallar el campo eléctrico del electrón y del protón ⎛ 9,1095 * 10 - 31 ⎞ kg * 9,8 m ⎜ ⎟ me g ⎝ ⎠ seg 2 89,2731 * 10 - 31 Newton = - 55,71 * 10 - 12 NewtonE electron = = = qe - 1,6021917 * 10 - 19 C - 1,6021917 * 10 -19 C Coulombios 15
  16. 16. ⎛1,67261 * 10 - 27 ⎟ kg * 9,8 m ⎜ ⎞ mp g ⎝ ⎠ seg 2 16,3915 * 10 - 31 Newton = 10,23 * 10 - 12 NewtonE proton = = = qp 1,6021917 * 10 - 19 C 1,6021917 * 10 -19 C CoulombiosProblema 12 Serway quinta edición. Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en uncampo eléctrico uniforme de 610 N/C que está dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si"flota" en el campo?E = campo eléctricoFe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)Igualando las ecuacionesqE=mgq = 24 μC = 24 * 10- 6 CDespejando m para hallar la masa - 6 kg * m ⎛ 24 * 10 - 6 ⎞ C * 610 N 14640 * 10 * ⎜ ⎟ q*E ⎝ ⎠ seg 2m= = C = = 1493,87 * 10 - 6 kg g m m 9,8 9,8 seg 2 seg 2Problema 13 Serway quinta edición. En la figura P23.13 determine el punto (distinto del infinito) en elcual el campo eléctrico es cero. q1 = - 2,5 μ C q2= 6 μ C d +1 d P E2 E1Los campos E1 producidos por la carga de q1 = - 2,5 μCLos campos E2 producidos por la carga de q2 = 6 μC se muestran en la figura 16
  17. 17. ⎛ 2,5 * 10 - 6 ⎞ ⎜ ⎟ q1 3E1 = K e = 8,99 * 10 9 *⎝ ⎠ = 22,475 * 10 (d )2 (d )2 d2 ⎛ 6 * 10 - 6 ⎞ ⎜ ⎟ q2 3 E2 = Ke = 8,99 * 10 9 *⎝ ⎠ = 53,94 * 10 (d + 1)2 (d + 1)2 (d + 1)2Igualando las ecuacionesE1 = E2 22,475 * 10 3 53,94 * 10 6 = d2 (d + 1)2 22,475 53,94 = d2 (d + 1)253,94 d2 = 22,475 (d+1)253,94 d2 = 22,475 (d2 +2d +1)53,94 d2 = 22,475 d2 + 44,95 d + 22,47553,94 d2 - 22,475 d2 - 44,95 d - 22,475 = 031,465 d2 - 44,95 d - 22,475 = 0a = 31,465 b = - 44,95 c = - 22,475 2 - b ± b 2 - 4 a c - (-44,95) ± (- 44,95) - 4 * 31,465 * (- 22,475) 44,95 ± 2020,5 + 2828,7d = = = 2a 2 * 31,465 62,93 44,95 ± 4849,2 44,95 + 69,63 114,58d = = = = 1,82 metros 62,93 62,93 62,93Problema 15 Serway quinta edición. En la figura P23.7 se muestran tres cargas colocadas en lasesquinas de un triángulo equilátero. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2 µCdebido a las cargas de 7 µC y -4 µC. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobrela carga de 2 µC.a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m. -6q1 = 7 µc = 7 *10 C -6q2 = 2 µc = 2*10 C 17
  18. 18. -6 q3 = - 4 µc = -4 *10 C q1 = 7*10-6 C E1X 600 600 E2 = E2X a = 0,5 cm E1Y E1 E1X 600 θ0 E2 = E2X 600 600q2 = 2 *10-6 C E2 q3 = - 7 *10-6 C E1 E E1 El campo eléctrico E1 ejercida por q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas) El campo eléctrico E2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad. a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m. ⎛ 7 * 10 - 6 C ⎞ ⎜ ⎟ q1 m2 ⎝ 2 −6 E1 = K e = 8,99 * 10 9 N * ⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 7 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 28 * 10 − 6 a2 C2 (0,5 m )2 C2 0,25 m 2 C N E1 = 251,72 * 10 3 C E1 = 251,72 * 103 N/C ⎛ -6 ⎞ q3 2 ⎜ 4 * 10 C ⎟ 2 −6 E2 = Ke = 8,99 * 10 9 N m *⎝ ⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 4 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 16 * 10 − 6 a2 C2 (0,5 m )2 C2 0,25 m 2 C N E 2 = 143,84 * 103 C E2 = 143,84 * 103 N/C E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas) E1X = - E1 cos 60 = - 251,72 * 103 * 0,5 = -125,86 N/C E1X = - 125,86* 103 N/C E1Y = - E1 sen 60 = - 251,72 * 103 * 0,866 = - 217,99* 103 N/C E1Y = - 217,99* 103 N/C E2 = E2X (Ver las graficas). no tiene componentes en el eje Y. E2X = 143,84*103 N/C 18
  19. 19. E es la resultante entre E1 y E2 (Ver las graficas) E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas) EX = - E1X + E2X = - 125,86* 103 N/C + 143,84*103 N/C = 17,99 N/C EX = 17,99* 103 N/C EY = - E1Y = - 217,99* 103 N/C EY = - 217,99* 103 N/C 2 2 E= (E X )2 + (E Y )2 = ⎛18 * 10 3 ⎞ + ⎛ - 218 * 10 3 ⎞ = 324 * 10 6 + 47524 * 10 6 = 47848 * 10 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E = 218,74*103 N/C. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC. -6 q2 = 2 µc = 2*10 C F = q2 * E F = 2*10-6 C* 218,74*103 N/C F = 437,48*10- 3 NEWTON PROBLEMAS VARIOS Problema 1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triangulo recto, -6 q1 = - 80 µC = - 80 *10 C -6 q2 = 50 µC = 50 *10 C -6 q3 = 70 µC = 70 *10 C F32 F32 F Fq3 = 70 μC α r = 0,3 2 + 0,4 2 θ F31 a = 0,3 m F31 θ q1 = - 80 μC b = 0,4 m q2 = 50 μC Calcular la fuerza sobre la carga q3 debido a las cargas q1 y q2 La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión, por que q2 y q3 tiene cargas positivas. Se le denomina F32 . ver grafica. 19
  20. 20. ⎛ -6 ⎞ ⎛ − 6 C⎞ q3 q2 2 ⎜ 70 * 10 C ⎟ * ⎜ 50 * 10 ⎟F32 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,3 m ) 2 ⎛ - 12 ⎞ C 2 2 ⎜ 3500 * 10 ⎟F32 = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ = 9 * 10 9 * 38888,888 * 10 - 12 Newton C 2 0,09 m 2F32 = 350000 * 10- 3 NewtonF32 = 350 NewtonLa fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de atracción, por que q1 tiene carga negativa y q3 tiene cargapositiva. Se le denomina F31 . ver grafica.La distancia entre la carga q1 y la carga q3 se puede hallar por el teorema de Pitágoras.r = 0,32 + 0,4 2 = 0,09 + 0,16 = 0,5 metros ⎛ -6 ⎞ ⎛ − 6 C⎞ q 3 q1 2 ⎜ 70 * 10 C ⎟ * ⎜ − 80 * 10 ⎟F31 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r 2 C 2 (0,5 m ) 2 ⎛ - 12 ⎞ C 2 2 ⎜ - 5600 * 10 ⎟F31 = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ = - 9 * 10 9 * 22400 * 10 - 12 Newton C 2 0,25 m 2F31 = - 201600 * 10- 3 NewtonF31 = - 201,6 Newton 0,3tg θ = 0,4 ⎛ 0,3 ⎞θ = arc tg ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0,4 ⎠ 0θ = 36,86La fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas)F31X = F31 cos θ = 201,6 * cos 36,86 = 201,6 * 0,8 = 161,3 NewtonF31X = 161,3 NewtonF31Y = F31 sen θ = - 201,6 * sen 36,86 = - 201,6 * 0,6 = -120,93 NewtonF31Y = -120,93 NewtonLa fuerza F32 se descompone en F32Y y no tiene componente en el eje x. (Ver las graficas), es decirF32 = F32Y = 350 NewtonF es la fuerza resultante entre las fuerzas F31 y la fuerza F32 (Ver las graficas)La fuerza F se descompone en Fx y en Fy (Ver las graficas)FX = F31X = 161,3 Newton 20
  21. 21. FY = F31Y + F32Y = -120,93 Newton + 350 Newton = 229,06 NewtonFY = 229,06 Newton F 229,06tg α = Y = = 1,42 FX 161,3α = arc tg 1,42α = 54,840F= (FX )2 + (FY )2 = (161,3)2 + (229,06)2 = 78486,17F = 280 NewtonProblema 2. Calcular la fuerza de interacción eléctrica en el vacío entre las cargas de la figura r=2m q1 = + 2,5 * 10 - 6C q2 = + 1,5 * 10 - 5C ⎛ -6 ⎞ ⎛ −5 ⎞ q1 q 2 2 ⎜ 2,5 * 10 C ⎟ * ⎜1,5 * 10 C ⎟Fuerza electrica = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r2 C 2 (2 m ) 2 3,75 * 10 - 11Fuerza electrica = 9 * 10 9 * Newton 4 33,75 * 10 - 2Fuerza electrica = = 8,4375 * 10 - 2 Newton 4Problema 3. Calcular la fuerza neta debido a la interacción eléctrica en el vacío que actúa sobre lacarga q2. a=2m b=1m F23 F21 q1 = + 2,5 * 10 - 6C q2 = + 1 * 10 - 6C q3 = + 2 * 10 - 6CLa fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se ledenomina F21. VER GRAFICA ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q1 q 2 2 ⎜ 2,5 * 10 C ⎟ * ⎜1 * 10 C ⎟F21 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (2 m ) 2 2,5 * 10 - 12F21 = 9 * 10 9 * Newton 4 22,5 * 10 - 3F21 = = 5,625 * 10 - 3 Newton 4 21
  22. 22. La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se ledenomina F23. VER GRAFICA ⎛ 2 * 10 - 6 C ⎞ * ⎛1 * 10 − 6 C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q3 q2 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠F23 = K e = 9 * 10 9 N * a2 C2 (1 m )2F23 = 9 * 10 9 * 2 * 10 - 12 Newton F23 = 18 *10 - 3 NewtonSea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia laizquierda en el eje de las X.F = F21 - F23 = 5,625 * 10- 3 - 18*10-3 = -12,375 * 10- 3 NewtonF = -12,375 * 10- 3 NewtonProblema 4. Tres cargas puntuales se hallan en los vértices de un triangulo equilátero de lado a = 10cm. Calcular la fuerza resultante sobre la partícula 3. -6q1 = 2 *10 C -6 -6q2 = 2 *10 C q3 = 4 *10 C F F F32 0 F31 0 F32 F31 30 30 0 60 0 q3 = + 4 * 10 - 6C 60 F32 F31 60 0 F32Y F31Y 0 0 60 60 0 60 q1 = + 2 * 10 - 6C q2 = + 2 * 10 - 6C F32X F31Xla distancia entre cada carga por ser un triangulo equilátero a = 10 cm = 0,1 m La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se ledenomina F31. VER GRAFICA ⎛ 2 * 10 - 6 C ⎞ * ⎛ 4 * 10 − 6 C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q1 q 3 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F31 = K e = 9 * 10 9 N * a 2 C 2 (0,1 m ) 2 8 * 10 - 12F31 = 9 * 10 9 * Newton 0,01F31 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 Newton 22
  23. 23. F31 = 7,2 NewtonLa fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se ledenomina F32. VER GRAFICA ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q2 q3 2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜ 4 * 10 C ⎟F32 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,1 m ) 2 8 * 10 - 12F32 = 9 * 10 9 * Newton 0,01F32 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 NewtonF32 = 7,2 NewtonLa fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas)F31X = F31 cos 60 = 7,2 * 0,5 = 3,6 NewtonF31X = 3,6 NewtonF31Y = F31 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 NewtonF31Y = 6,2352 NewtonLa fuerza F32 se descompone en F32X y en F32Y (Ver las graficas)F32X = - F32 cos 60 = 7,2 * 0,5 = - 3,6 NewtonF32X = - 3,6 NewtonF32Y = F32 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 NewtonF32Y = 6,2352 NewtonF es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas)La fuerza F se descompone en FX = 0 y en FY (Ver las graficas)FX = F31X - F32X = 3,6 Newton - 3,6 Newton = 0FX = 0 (no tiene componente en el eje de las X) . (Ver las graficas)FY = F31Y + F32Y = 6,2352 Newton + 6,2352 Newton = 12,47 NewtonFY = 12,47 NewtonF= (FX )2 + (FY )2 = (0)2 + (12,47 )2 = 12,47F = 12,47 NewtonProblema 5. Determine la fuerza neta sobre la carga de q2 = 2,5 μC = 2,5 * 10 – 6 C. Todas las cargasson positivas. a = 0,5 m b = 1,5 m F23 F21 q1 = + 1,3 * 10 - 6C q2 = + 2,5 * 10 - 6C q3 = + 3,2 * 10 - 6C 23
  24. 24. La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F21. VER GRAFICA ⎛1,3 * 10 - 6 C ⎟ * ⎛ 2,5 * 10 − 6 C ⎞ ⎜ ⎞ ⎜ ⎟ q1 q 2 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F21 = K e = 9 * 10 9 N * a2 C2 (0,5 m )2 3,25 * 10 - 12 29,25 * 10 - 3 F21 = 9 * 10 9 * Newton F21 = = 117 * 10 - 3 Newton 0,25 0,25 La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F23. VER GRAFICA ⎛ 3,2 * 10 - 6 C ⎞ * ⎛ 2,5 * 10 − 6 C ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q3 q2 m2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ F23 = K e = 9 * 10 9 N * a 2 C 2 (1,5 m ) 2 8 * 10 - 12 72 * 10 - 3 F23 = 9 * 10 9 * Newton F23 = = 32 * 10 - 3 Newton 2,25 2,25 Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la izquierda en el eje de las X. F = F21 - F23 = 117 * 10- 3 – 32 *10-3 = 85 * 10- 3 Newton F = 85 * 10- 3 Newton Problema 6. Para la configuración de cargas eléctricas que se muestra en la figura determine en que dirección se moverá inicialmente una carga Q (+) al ser colocada en el centro de un hexagono. q2 =+2q q2 =+2q q3 = - q q3 = - q q1= - 2q q1= - 2q F3 F1 Q(+) Q(+)q4 =+2q q4 =+2q q6 = - q F2 q6 = - q q5 =+2q q5 =+2q La fuerza que ejerce Q (+) sobre q1 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F1. VER GRAFICA La fuerza que ejerce Q (+) sobre q2 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F2. VER GRAFICA 24
  25. 25. La fuerza que ejerce Q (+) sobre q3 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F3. VER GRAFICA q2 =+2q q2 =+2q F5 q3 = - q q3 = - q q1= - 2q q1= - 2q F4 F3 F4 F1 F1 Q(+ Q(+ q4 =+2qq4 =+2q F6 F2 q6 = - q q6 = - q q5 =+2q q5 =+2q La fuerza que ejerce Q (+) sobre q4 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F4. VER GRAFICA. La fuerza que ejerce Q (+) sobre q5 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le denomina F5. VER GRAFICA La fuerza que ejerce Q (+) sobre q6 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta fuerza se le denomina F6. VER GRAFICA Se observa en la grafica, que la fuerza F3 y la fuerza F6 tienen la misma magnitud pero en sentido contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas. Se observa en la grafica, que la fuerza F2 y la fuerza F5 tienen la misma magnitud pero en sentido contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas. a F4 F1Y F1 F F4 F4Y F1 F4Y a/2 F1Y 30 30 30 Q(+ 30 Q(+ F4X a/2 F1X F4X Q(+ F1X Q2q F1 = K e a2 Q2q F4 = K e a2 F 1 = F4 La fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas) 25
  26. 26. F1X = F1 cos 30F1Y = F1 sen 30La fuerza F4 se descompone en F4X y en F4Y (Ver las graficas)F4X = F4 cos 30F4Y = F4 sen 30F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F4 (Ver las graficas)La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)FX = F1X + F4X = F1 cos 30 + F4 cos 30FY = F1Y + F4Y = F1 sen 30 + F4 sen 30F= (FX )2 + (FY )2Problema 7. Que fuerza electrostática, debido a las otras dos cargas actúa sobre q1 -6q1 = - 1,2 *10 C -6q2 = 3,7*10 C -6q3 = - 2,3 *10 C q3 = - 2,3 μC q3 = - 2,3 μC θ = 320 θ = 320a = 10 cm q2 = 3,7 μC q1 = - 1,2 μC F12 q2 = 3,7 μC b = 15 cm q1 = - 1,2 μC F13La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q3 (-) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza sele denomina F13. VER GRAFICALa fuerza que ejerce q1 (-) sobre q2 (+) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A estafuerza se le denomina F12. VER GRAFICA ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q1 q 3 2 ⎜1,2 * 10 C ⎟ * ⎜ 2,3 * 10 C ⎟ F13 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,1 m )2 26
  27. 27. q3 = - 2,3 μC q3 = - 2,3 μC θ = 320 θ = 320 α = 580 F12 α = 580 F12 α = 580 q2 = 3,7 μC μ q2 = 3,7 μC F13Y F13 F13X 320 F13 F 2,76 * 10 - 12F13 = 9 * 10 9 * Newton 0,01 24,84 * 10 - 3F13 = = 2484 * 10 - 3 Newton 0,01F13 = 2,484 Newton ⎛ -6 ⎞ ⎛ −6 ⎞ q1 q 2 2 ⎜1,2 * 10 C ⎟ * ⎜ 3,7 * 10 C ⎟F12 = K e = 9 * 10 9 N m *⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 2 C 2 (0,15 m ) 2 4,44 * 10 - 12F12 = 9 * 10 9 * Newton 0,0225 39,96 * 10 - 3F12 = = 1776 * 10 - 3 Newton 0,0225F12 = 1,776 NewtonLa fuerza F13 se descompone en F13X y en F13Y (Ver las graficas)F13X = F13 cos 58 = 2,484 Newton * 0,5299 = 1,31 NewtonF13X = 1,31 NewtonF13Y = - F13 sen 58 = - 2,484 Newton * 0,848 = - 2,106 newtonF13Y = - 2,106 NewtonLa fuerza F12 = F12X (Ver las graficas), es decir no tiene componente en el eje Y.F12 = F12X = 1,776 NewtonF es la fuerza resultante entre las fuerzas F13 y la fuerza F12 (Ver las graficas)La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)FX = F13X + F12 = 1,31 Newton + 1,776 Newton = 3,08 Newton 27
  28. 28. FY = - F13Y = - 2,106 NewtonFY = - 2,106 NewtonF= (FX )2 + (FY )2 = (3,08)2 + (- 2,106)2 = 9,48 + 4,43 = 13,91 = 3,72 NewtonF = 3,72 Newton - FY - 2,106tg μ = = = - 06837 FX 3,08μ = arc tg - 0,6837μ = - 34,360 28

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