1. Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução desse fascículo. Cópia não autorizada é crime.
Matemática e
suas Tecnologias
Matemática
Adriano Aquino, Carlos Mattos,
Márcio Rebouças e Samyo Praciano
02
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3. Prezado(a) Leitor(a), de matemática aplicados no
as e explora conhecimentos
área de Matemática e suas Tecnologi s, porcentagem, juros e
Este fascículo contempla a ínio sobre razões, proporçõe
stões contex tualizadas que exigem dom rar o conhecimento
cotidiano por meio de que nessa área, além de aprimo
rcitará suas hab ilidades e suas competências problema em
função afim. Assim, você exe ndezas e solucionar situações-
qual é necessária para expressar a relação entre gra
da linguagem matemática, a
seu dia a dia.
Bom estudo!
Razões e Proporções
Considere que, no ano de 2010, o faturamento de uma
empresa tenha sido de R$ 200.000,00 e que, em 2011,
tenha sido de R$ 500.000,00. Poderíamos comparar
essas duas grandezas, subtraindo-as e dizendo que o
faturamento de 2011 é maior que o de 2010 em R$
300.000,00. Entretanto, a diferença não dá uma ideia
relativa do crescimento do faturamento.
Para obter essa ideia, podemos dividir os valores dos
faturamentos: 500000 = 2,5 . Desta maneira, dizemos
200000 Fonte: www.mundogeografico.sites.uol.com.br
que as vendas de 2011 equivalem a duas vezes e meia as
vendas de 2010 ou, ainda, que o crescimento foi de uma O mapa acima foi feito na escala 1:100000, ou seja,
vez e meia do faturamento de 2010. Essa comparação é a cada 1 cm no desenho, temos 100000 cm ou 1km de
denominada razão. comprimento real. A distância entre os pontos A e B é de
5,5 cm no desenho, o que equivale a 5,5 km de distância
Razão real. Observe que como a escala é uma razão, segue que
Dados dois números a e b, com , define-se quanto maior é o denominador (distância real) menor é
razão de a para b ou, simplesmente, razão entre a e b, a escala.
a
nessa ordem, ao quociente que também pode ser 2. Densidade Demográfica é a razão entre o número
b
de habitantes e a área do território ocupado por eles
indicado por a : b, em que o número a é denominado
antecedente e o número b é denominado consequente. número de habitantes
Densidade Demográfica =
As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de área do território
espécies diferentes (por exemplo, densidade demográ- A maneira como uma população está distribuída em
fica) ou de mesma espécie (por exemplo, escala) sendo determinado território e as transformações que essa dis-
expressas numa mesma unidade. tribuição sofre no decorrer do tempo são importantes
para evidenciar problemas e contradições socioeconômi-
Exemplos cas. Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em
1. Escala é a razão entre o comprimento no desenho e 2010 possuía 190.732.694 habitantes em uma área de
o comprimento real correspondente. 8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica
comprimento no desenho de 22,40 habitantes por quilômetro quadrado.
E =
comprimento real
Universidade Aberta do Nordeste 27
4. Proporção Exemplo de aplicação
Num bar, suco de tangerina é uma mistura de xarope
Define-se proporção a uma igualdade de duas ou mais com água na razão de 1 parte de xarope para 2 de água
razões. Dizemos que os números a, b, c e d, com e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com
água na razão de 1 para 5. Juntando um copo de suco
a c
e , formam uma proporção quando = ou a : com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope
b d
com água na razão de
b = c : d, em que a e d são os extremos enquanto b e c
são os meios. Por exemplo, os números 2, 4, 6 e 12 for- A. 1 para 3.
B. 2 para 5.
2 6
mam, nessa ordem, uma proporção, pois = , isto é, C. 3 para 5.
4 12 D. 5 para 13.
1 E. 6 para 17.
os resultados das duas frações são iguais a , sendo esse
2
resultado denominado constante de proporcionalidade. Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte
num total de 3 partes, enquanto a quantidade de água
representa 2 partes num total de 3 partes. O refresco é
constituído de 1 parte de xarope num total de 6 partes e
Propriedades: de 5 partes de água num total de 6 partes. Misturando-
-se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos
1. a = c ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c 1 1 2+1
b d copo + copo copo
xarope 3 6 6 3 1
2 6 = = = =
(por exemplo, = ⇔ 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ). água 2 5 4 +5 9 3
3 9 copo + copo copo
3 6 6
a c a +b c +d Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes
2. = ⇔ =
b d b d de água.
(por exemplo, 3 = 6 ⇔ 3 + 2 = 6 + 4 ). Resposta: a
2 4 2 4
a c a +b c +d Números Diretamente Proporcionais
3. = ⇔ =
b d a c Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são diretamente
3 6 3+2 6+4 proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando pode-
(por exemplo, = ⇔ = ). mos estabelecer uma proporção direta entre esses valo-
2 4 3 6
x1 x2 x
a c a −b c −d res, ou seja, = =…= n .
4. = ⇔ = y1 y2 yn
b d b d
5 10 5 − 3 10 − 6
(por exemplo, = ⇔ = ). Exemplo de aplicação
3 6 3 6
Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro in-
a c a −b c −d vestiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o
5. = ⇔ =
b d a c terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a
5 10 5 − 3 10 − 6 pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for
(por exemplo, = ⇔ = ). distribuído de forma que a quantia recebida seja direta-
3 6 5 10
mente proporcional ao valor investido. Quanto cada um
a c a +c a −c recebeu?
6. = = =
b d b +d b −d
Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas
6 4 6+4 6-4
(por exemplo, = = = ). por cada um dos sócios, temos:
9 6 9+6 9-6 a b c
a + b + c = 24 e = = .
30 40 50
28
5. Somando os numeradores e denominadores da propor- Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil
a b c a+b+c 24 1 reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais)
ção, obtemos: = = = = = .
30 40 50 30 + 40 +50 120 5 e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).
Daí:
Observações
a 1
30 = 5 1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais
a = 6 quando os valores da primeira grandeza e os valores
b 1
= ⇔ b = 8 . da segunda grandeza são diretamente proporcio-
40 5 c = 10 nais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma gran-
c 1
50 = 5
deza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por
uma constante k, o valor (absoluto) correspondente
Assim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo mul-
sócio receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10 tiplicada pela mesma constante k.
mil reais. 2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcio-
nais quando os valores da primeira grandeza e os
valores da segunda grandeza são inversamente pro-
Números Inversamente Proporcionais
porcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma
Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são inversamente grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada
proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando po- por uma constante k, o valor (absoluto) correspon-
demos estabelecer uma proporção entre os valores da dente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sen-
primeira sequência e os inversos dos valores da segunda do dividida pela mesma constante k.
sequência, ou seja,
x1 x2 x Exemplos
= =…= n ⇔ x1 × y1 = x2 × y2 =…= xn × yn 1. Velocidade e distância percorrida são grandezas di-
1 1 1
retamente proporcionais, para um mesmo intervalo
y1 y2 yn
. de tempo. Observe o caso em que é medido o des-
locamento de quatro móveis com velocidades dife-
Exemplo de aplicação rentes durante duas horas:
Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ Velocidade (km/h) 10 20 30 40
1.100.000,00 entre seus netos, de maneira inversamen- Deslocamento (km) 30 60 90 120
te proporcional às idades desses netos. Sabendo que as
Podemos observar que os valores da velocidade e do
idades dos netos são 10, 5 e 4, qual a quantia recebida
deslocamento formam uma proporção direta:
por neto?
10 20 30 40
Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por = = =
30 60 90 120 .
neto, temos:
Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30,
x y z a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a dis-
x + y + z = 11 e = =
,
1 1 1.
tância correspondente foi de 30 para 90, ou seja,
10 5 4 também multiplicada por 3.
Somando os numeradores e denominadores da propor-
2 Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamen-
ção, obtemos:
te proporcionais, para uma mesma distância. Observe
x y z x+y+z 1,1 o caso em que é medido o deslocamento de qua-
= = = = = 2.
1 1 1 1 1 1 11 tro móveis com velocidades diferentes para percorrer
+ +
10 5 4 10 5 4 20 uma distância de 200 km:
Velocidade (km/h) 10 20 40 50
Daí:
Tempo (h) 20 10 5 4
10x = 2 x = 0,2
Podemos observar que os valores da velocidade e do
5y = 2 ⇔ y = 0,4 . deslocamento formam uma proporção inversa:
4z = 2 z = 0,5
10 ⋅ 20 = 20 ⋅ 20 = 40 ⋅ 5 = 50 ⋅ 4
Universidade Aberta do Nordeste 29
6. Observe que, da velocidade 10 para a velocidade Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar
40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o a casa.
tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi
dividida por 4. Regra de Três Composta
Regra de Três Simples Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos
proceder de maneira idêntica à regra de três simples,
Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma
porém vamos adotar o seguinte procedimento:
grandeza e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta
•• escolher uma das grandezas e comparar com as ou-
medida estabelecendo uma proporção entre esses valores.
tras, verificando se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais;
Exemplo de aplicação
•• isolar a fração obtida da grandeza que foi usada
Se 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 ca- para comparação no primeiro membro e no segun-
chorros comem quantos quilos de ração? do membro colocamos o produto das frações obti-
Solução: O número de cachorros e a quantidade de das das outras grandezas, com o cuidado de inverter
ração são grandezas diretamente proporcionais, pois, as frações que são de grandezas inversamente pro-
quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Va- porcionais à grandeza escolhida para comparação.
mos representar que são diretamente proporcionais por
duas setas com mesmo sentido. Exemplo de aplicação
Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro
↑ (Nº de cachorros) ↑ (Qde de ração) semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta
3 5 quilos de feijão?
12 x Solução: Vamos escolher o número de pessoas para
comparar com as outras grandezas. Quanto mais pes-
Estabelecendo a proporção, temos: soas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade
3 5 de feijão e o número de pessoas são diretamente pro-
= ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20
12 x . porcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar
o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo são
Assim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração. duas grandezas inversamente proporcionais.
Exemplo de aplicação
Quatro pintores demoram 60 horas para pintar uma
casa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar ↑ (Nº de pessoas) ↑ (Qde de feijão) ↓ ( Tempo)
a mesma casa?
5 12 4
Solução: O número de pintores e a quantidade de horas
10 30 t
são grandezas inversamente proporcionais, pois, quan-
do aumentamos o número de pintores, vamos precisar Estabelecendo a proporção, temos:
de menos horas para executar o mesmo serviço. Vamos
representar as grandezas inversamente proporcionais 5 12 t
= ⋅ ⇔ 120t = 600 ⇔ t = 5
por duas setas com sentidos contrários. 10 30 4 .
↑ (Nº de pintores) ↓ (Qde de horas) Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão pre-
4 60 cisarão de cinco semanas.
5 x Questão comentada
(Enem/2011) A resistência das vigas de dado comprimento é
Estabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da al-
temos: tura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade
4 x k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
= ⇔ 5x = 240 ⇔ x = 48
5 60 .
30
7. Considere que a escala de tempo fornecida seja subs-
tituída por um ano de referência, no qual a evolução
química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e
a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h
59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência,
a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera
atingiu 10% no
A. 1º bimestre. B. 2º bimestre.
Considerando-se S como a resistência, a representação
C. 2º trimestre. D. 3º trimestre.
algébrica que exprime essa relação é
E. 4º trimestre.
A. S = k ⋅ b ⋅ d .
B. S = b ⋅ d 2 . 2. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasoli-
C. S = k ⋅ b ⋅ d 2 na ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes
cidades, essa possibilidade tem sido explorada, princi-
D. S = k ⋅ b palmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo
d2
relativamente curto o investimento feito com a con-
2
E. S = k ⋅ d versão por meio da economia proporcionada pelo
b uso do gás natural. Atualmente, a conversão para
Solução: A resistência S é diretamente proporcional à gás natural do motor de um automóvel que utiliza
largura b e ao quadrado da altura d, ou seja, dividindo S a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina
por b e por d2 obtemos uma constante: permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,80,
enquanto um metro cúbico de GNV permite percor-
S
rer cerca de 12 km e custa R$ 1,80. Desse modo,
b = k ⇔ S ⋅ 1 = k ⇔ S = k ⋅ b ⋅d 2 um taxista que percorra 6000 km por mês recupera o
d2 b d2
. investimento da conversão em aproximadamente
Resposta: C. A. 2 meses. B. 4 meses.
C. 6 meses. D. 8 meses.
Para aprender mais! E. 10 meses.
1. A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio
(O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões Leia mais!
de anos, desde a formação da Terra até a era dos O número (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar
dinossauros. de não ser tão conhecido, tem um significado muito in-
teressante. Durante anos, o homem procurou a beleza
perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então,
o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia
proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e,
a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim,
eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que
forma a face central e lateral). A profundidade dividida
pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma propor-
ção ideal de 1,618. Os egípcios fizeram o mesmo com as
pirâmides, cada pedra era 1,618 menor do que a pedra
de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que
era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.
Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003. Durante milênios, a arquitetura clássica grega preva-
pdf>. Acesso em: 1º mar.2009
leceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de
Universidade Aberta do Nordeste 31
8. muito tempo, veio a construção gótica com formas arre- obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cien-
dondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego. tista, pegava cadáveres para medir a proporção do seu
Mas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece
estudava o crescimento das populações de coelhos criou tanto à Divina proporção quanto o corpo huma-
aquela que é provavelmente a mais famosa sequência no... obra-prima Divina.
matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos,
Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir Exemplos
da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequên- 1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seu
cia em que um número é igual a soma dos dois números umbigo até o chão; o resultado é 1,618.
anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho
1 do seu cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618.
1 3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra cen-
1+1=2 tral até a ponta ou da dobra central até a ponta
1+2=3 dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618.
2+3=5 4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do
3+5=8 seu joelho até o chão; o resultado é 1,618.
5 + 8 = 13 5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua
8 + 13 = 21 mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618;
13 + 21 = 34 6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o
e assim por diante. resultado é 1,618. (Considere erros de medida da
régua ou fita métrica que não são objetos acurados
Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de de medição.)
crescimento média da série é 1,618. Os números variam, 7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divina
um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a mé- Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maior
dia é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do de beleza em sua maior criação feita à sua imagem
Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa e semelhança?
descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal pro-
Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis,
porção que os cientistas começaram a estudar a natu-
árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes,
reza em termos matemáticos e começaram a descobrir
todas ligadas numa proporção em comum. Então, até
coisas fantásticas:
hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções.
•• a proporção de abelhas fêmeas em comparação
com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;
•• a proporção em que aumenta o tamanho das espi- Porcentagem
rais de um caracol é de 1,618;
•• a proporção em que aumenta o diâmetro das espi- Qualquer razão de denominador 100 é chamada de
rais sementes de um girassol é de 1,618; razão centesimal, taxa percentual ou simplesmente
•• a proporção em que se diminuem as folhas de uma porcentagem.
árvore à medida que subimos de altura é de 1,618.
Exemplos
E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas
galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um as- 3
1. = 3% .
tro principal numa espiral obedecendo à proporção de 100
1,618 também. Por isso, o número ficou conhecido 3 15
2. = = 15% .
como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores 20 100
descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria esco-
3 42, 86
lhido para fazer o mundo. 3. ≅ 0, 4286 = = 42, 86% .
Bom, por volta de 1500, com o Renascentismo, a 7 100
cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, princi- Observe, no terceiro exemplo, que, para transfor-
palmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cul- marmos um número escrito na forma decimal para por-
tura pagã, colocaram esta proporção natural em suas centagem, basta multiplicarmos o número por 100%.
32
9. Exemplos Por outro lado, caso um número seja multiplicado por
1. 0, 23 = 0, 23 ⋅ 100% = 23% . 0,6, sofrerá uma decréscimo de 0,4 em relação a 1 (valor
inicial), multiplicando 0,4 por 100%, concluímos que o
2. 0,3214 = 0,3214 ⋅ 100% = 32,14% . decréscimo foi de 40%.
Observação: Podemos calcular a porcentagem que um
número a representa de outro b, com , simples- Exemplos
a 1 A temperatura de um corpo que é de 15° aumentou
mente escrevendo a fração na forma de porcentagem.
b 40% e, assim, a temperatura final do corpo será de
Exemplo: O número 9 representa 60% do número 15, 15° ⋅ (1 + 40%) = 15° ⋅ 1, 4 = 21° .
9 2. Uma pessoa comprou um computador de
pois = 0, 6 60% .
=
15 R$ 1.200,00 com desconto de 15% e, as-
sim, o preço final do computador será de
Variação Percentual
1200 ⋅ (1 − 15%) = 1200 ⋅ 0, 85 = 1020 reais.
Sendo V0 o valor inicial e V o valor final de uma grande-
za, define-se variação percentual o número, escrito no Variações Percentuais Sucessivas
V −V0 Considere i1, i2, ..., in como sendo as variações sucessivas
formato de porcentagem, obtido pela razão , ou
V0 de uma certa grandeza, para obter o valor final V de
seja, Variação . uma grandeza, devemos multiplicar o valor inicial V0 por
Valor inicial 1 mais cada taxa de variação, isto é:
V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n ) .
Exemplos
1. O preço de uma mercadoria aumentou de R$ Exemplo de aplicação
13,00 para R$ 25,00. Observe que o aumento foi O preço de um livro é de R$ 60,00. Em dezembro, o preço
de 12 reais, enquanto o aumento percentual foi de aumenta 20%; em janeiro, aumenta 10% e, em março,
25 − 13 12 diminui 30%. Qual o valor do preço desse livro em março?
= = 0, 9231 = 92, 31% .
13 13
Solução: Aplicando dois acréscimos e um desconto su-
2. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ cessivamente, obtemos:
200,00 e vendeu com 50% de lucro. Observe que o
V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n )
lucro do comerciante foi de 50%⋅ 200 = 100 reais e,
portanto, o comerciante vendeu a mercadoria por 200 V = 60 ⋅ (1 + 20%) ⋅ (1 + 10%) ⋅ (1 − 30%) .
+ 100 = 300 reais, ou, ainda, o preço de venda foi de V = 60 ⋅ 1, 2 ⋅ 11⋅ 0, 7
,
200 + 50% ⋅ 200 = 200 ⋅ (1 + 50%) = 200 ⋅ 1,5 = 300 V = 55, 44
reais. Assim, o valor do preço desse livro em março será de
Observação: Para obtermos o valor de uma grandeza 55,44 reais.
após um acréscimo percentual, podemos multiplicar o
Questão comentada
valor inicial por 1+i, em que i é o acréscimo percentual,
caso seja um decréscimo, multiplicaremos por 1-i. (ENEM/2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No
primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no
segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois
Exemplos
desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00
1. Acréscimo de 30% ⇒ x (1 + 30%) = x1,3. gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa apli-
2. Acréscimo de 70% ⇒ x (1 + 70%) = x1,7. cou em ações corresponde ao valor de
A. R$ 4.222,22. B. R$ 4.523,80.
3. Decréscimo de 20% ⇒ x (1 - 20%) = x0,8.
C. R$ 5.000,00. D. R$ 13.300,00.
4. Decréscimo de 40% ⇒ x (1 - 40%) = x0,6. E. R$ 17.100,00.
Podemos raciocinar de forma contrária, caso um
número seja multiplicado por 1,3, sofrerá um acrésci- Solução: No primeiro mês, perdeu 30% do total C
mo de 0,3 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando
investido, ficando com (1 − 30%) ⋅ C = 0, 7 ⋅ C . No
0,3 por 100%, concluímos que o acréscimo foi de 30%.
Universidade Aberta do Nordeste 33
10. segundo mês, recuperou 20% do que havia perdi- várias taxas. A primeira delas é a Taxa de Abertura de Cré-
do, ou seja, 20% ⋅ (0, 3 ⋅ C ) = 0, 06 ⋅ C , ficando com dito (TAC), que pode variar, dependendo do lojista ou da
0, 7 ⋅ C + 0, 06 ⋅ C = 0, 76 ⋅ C . Daí: instituição financeira, de R$ 400,00 até R$ 1.000,00.
Além disso, há a taxa de juros, que, no mercado de au-
0, 76 ⋅ C = 3800
tomóveis, pode chegar a até 2,5% ao mês, dependen-
3800 . do do valor a ser financiado e idade do veículo. Quanto
C =
0, 76 mais antigo, maior os juros. Há ainda impostos e o valor
380000 cobrado pelos bancos, por folha de boleto bancário emi-
C =
76 tida, que pode chegar a R$ 4,50. Todas estas cobranças
C = 5000 são legais e estão diluídas nas prestações. O problema
Assim, o valor investido no início foi de R$ 5.000,00. está na taxa de retorno, uma espécie de presente que
as financeiras dão aos lojistas, à custa do consumidor,
Resposta: C.
incluídas nas parcelas. Apesar disso, não é proibida por
lei. Mesmo assim, nós não reconhecemos a legalidade
Ampliando conhecimentos para o Enem dessa cobrança. A consideramos abusiva porque o con-
1. Um fabricante de papel higiênico reduziu o compri- sumidor, às vezes, nem sabe que a está pagando.
mento dos rolos de 40m para 30m. No entanto, o A taxa de retorno surgiu há vários anos, por sugestão das
preço dos rolos de papel higiênico, para o consu- instituições financeiras. Elas lançaram aos revendedores
midor, manteve-se constante. Nesse caso, é correto pelo menos dez tabelas de financiamentos diferentes,
afirmar que, para o consumidor, o preço do metro que vão de R1 a R10. “R” significa retorno, e, quando
de papel higiênico teve um aumento maior o “R”, maior é a comissão que os revendedores
A. inferior a 25%. de automóveis recebem das financeiras. É uma espécie
B. igual a 25%. de presente, pelo lojista ter sugerido aquela instituição
C. superior a 25% e inferior a 30%. financeira ao consumidor para o fechamento do negó-
D. igual a 30%. cio. Mecanismos de fidelização entre lojistas e financei-
E. superior a 30%. ras devem existir, mas não é o consumidor que tem que
pagar por isso.
2. Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os sa- O que deveria ser uma oportunidade de aumentar o vo-
lários de seus funcionários pelo índice de aumento lume de negócios, passou a ser, para os lojistas, uma
de preços ao consumidor, apurado no ano anterior. maneira fácil de ganho extra de dinheiro. Além de não
Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses darem o desconto sugerido pelas financeiras nos auto-
dados, pode-se estimar que um funcionário que, em móveis, ainda empurravam aos clientes as tabelas de fi-
maio de 2001, recebia R$ 540,00, passou a receber, nanciamento com taxas de retorno. Qual é o critério uti-
em maio de 2002, lizado para escolher entre a tabela R1 e a R10? Nenhum.
A. R$ 573,48. B. R$ 575,20. O lojista usa a tabela de acordo com a cara do cliente, o
C. R$ 577,28. D. R$ 580,34. carro e o valor que ele vai financiar. Se o vendedor perce-
E. R$ 591,34. be que o comprador é pouco esclarecido e tem dinheiro
para gastar, pode até lhe jogar uma tabela R10, da qual
Leia mais! o cliente pode chegar a pagar até 14,4% a mais do que
FINANCIAMENTO DE VEÍCULO o valor total do financiamento.
Consumidor desavisado paga mais por um financiamento Fonte: http://www.caesp.org
de veículo. Nem a resolução 3517 do Banco Central conse-
guiu disciplinar totalmente os valores extras que os consu- Juros
midores pagam embutidos nas prestações, sem saber.
Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os
Muitos lojistas ainda estão aproveitando-se da falta de
procedimentos utilizados em pagamentos de emprésti-
informação da maioria dos compradores para cobrar va-
mos, bem como os métodos de análise de investimen-
lores adicionais. Num financiamento, o consumidor paga
tos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um
34
11. valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é fórmula, o prazo t deve estar expresso na mesma unida-
denominada capital (ou principal) e é indicada por C. de de i, isto é, se a taxa i for definida em meses, o prazo
O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, virá também em meses. Além disso, embora a fórmula
ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é deno- tenha sido deduzida para t inteiro, ela é estendida tam-
minado juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada bém para qualquer prazo fracionário, por exemplo,
1
por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa 5 2
como porcentagem do capital. ano ou ano.
12
Ela representa os juros numa certa unidade de
tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao Exemplo de aplicação
dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc. Assim, por
Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado a juros simples,
exemplo, se o capital emprestado for R$ 8.000,00 e a
à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Qual o valor do
taxa, 1,5% ao mês, os juros pagos no mês serão iguais a
montante acumulado?
1,5% sobre R$ 8.000,00, que equivale a 0, 015 ⋅ 8000 e,
portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros em Solução: Os juros da aplicação, em reais, são:
cada período são determinados pelo produto do capital J = C ⋅ i ⋅t
pela taxa, isto é: .
J = 8000 ⋅ 0, 02 ⋅ 5 = 800
J = C ⋅ i (juros em cada período da taxa).
O montante da aplicação, em reais, é:
Se o pagamento do empréstimo for feito numa úni-
M =C + J
ca parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador .
M = 8000 + 800 = 8800
pagará a soma do capital emprestado com o juro, que
é denominado montante e indicado por M. No caso do Assim, o montante acumulado após 5 meses é 8.800 reais.
empréstimo de R$ 8.000,00, durante 1 mês, à taxa de
1,5% ao mês, o montante será igual a R$ 8.120,00. De Juros Compostos
modo geral, teremos:
Juros Compostos é o regime de capitalização em que os
M =C + J . juros são calculados sobre o montante do período ante-
As operações de empréstimo são feitas geralmente rior. Nesse caso, os juros em cada período são variáveis.
por intermédio de um banco que, de um lado, capta di- Considerando a taxa de juros constante igual a i, para
nheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de ou- obtermos o montante de cada período, vamos multipli-
tro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados car o de cada período anterior por 1+i.
no empréstimo. A captação é feita sob várias formas,
Montante
como cadernetas de poupança e certificados de depósi-
Início C
to bancário (cada aplicação recebe uma taxa de acordo
com o prazo e os riscos envolvidos). Os tomadores tam- Após 1 período C ⋅ (1 + i )
bém podem obter financiamento sob diversas maneiras,
C ⋅ (1 + i )
2
e as taxas cobradas dependem do prazo do empréstimo, Após 2 períodos
dos custos do capital para o banco e do risco de não
C ⋅ (1 + i )
3
pagamento por parte do tomador. Após 3 períodos
Juros Simples
Juros Simples é o regime de capitalização em que os ju-
C ⋅ (1 + i )
t
Após t períodos
ros são calculados sobre o capital inicial. Nesse caso, o
juro em cada período de tempo (mês, ano, ...) é cons- Portanto, o montante será dado por M = C ⋅ (1 + i ) .
t
tante e igual ao produto C ⋅ i , passados três meses, por
exemplo, os juros são 3 ⋅ C ⋅ i , mas, se considerarmos t Exemplo de aplicação
períodos de tempo, os juros acumulados serão dados
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma
por: J = C ⋅ i ⋅ t .
pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia R$
Os juros simples são resultado do produto do capital
6.000,00, à taxa de 1% ao mês?
pela taxa e pelo prazo da aplicação. Observe que, nessa
Universidade Aberta do Nordeste 35
12. Solução: Observe que C = 6000, t = 6 meses e i = 1% 2
é, 118 ≅ 1 392 . Logo, a rentabilidade do investimento C é
, ,
(a.m.). Logo: 39,2%. Assim, essa pessoa deve escolher o investimento A,
M = C ⋅ (1 + i ) pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades
t
anuais dos investimentos B e C.
M = 6000 ⋅ (1 + 1%)
6
. Resposta: C.
M = 6000 ⋅ 1, 016 ≅ 6369,12
Daí: Para aprender mais!
M =C + J 3. O preço à vista de uma mercadoria é R$ 130,00. O
. comprador pode pagar 20% de entrada no ato da
J = 6369,12 − 6000 = 369,12
compra e o restante em uma única parcela de R$
Assim, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros. 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regi-
me de juros simples comerciais, a taxa de juros men-
sal cobrada na venda a prazo é de
Questão comentada
(ENEM/2011) Considere que uma pessoa decida investir uma A. 5,2%. B. 8%.
determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possi- C. 8,3%. D. 8,6%.
bilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garan- E. 9,8%.
tidas pelo período de um ano, conforme descritas:
•• Investimento A: 3% ao mês 4. Em 1626, Peter Minuit comprou a ilha de Manhattan
•• Investimento B: 36% ao ano (em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no
•• Investimento C: 18% ao semestre valor de 24 dólares. (dados extraídos de: Zvi Bodie.
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o Finanças. Porto Alegre, 1999.) Se os índios tivessem
valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproxi- recebido em dinheiro e aplicado esse valor a juros
mações para a análise das rentabilidades: compostos, à taxa de 8% ao ano, o valor do seu
n 1,03n montante em 2011, 385 anos depois, teria sido:
(Dado: 1, 08385 = 7, 4 ⋅ 1015 )
3 1,093
6 1,194 A. mais de 1 trilhão de dólares.
B. um valor entre 1 bilhão e 1 trilhão de dólares.
9 1,305
C. um valor entre 1 milhão e 1 bilhão de dólares.
12 1,426 D. um valor entre 1 mil e 1 milhão de dólares.
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, E. menos de 1 mil dólares.
essa pessoa deverá
A. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois Leia mais!
as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. A NOVA POUPANÇA
B. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilida- Determinada a reduzir os juros reais a 2% até o fim de seu
des anuais são iguais a 39%. mandato, a presidente Dilma Rousseff não viu alternativa
C. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anu-
senão mudar a remuneração das cadernetas de poupan-
al é maior que as rentabilidades anuais dos investimen-
ça. O rendimento fixo de 6,17% ao ano mais TR mostrou-
tos B e C.
-se um obstáculo à queda acentuada dos juros depois
D. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36%
é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e que a Selic ficou abaixo de um dígito. Na sexta-feira 4,
de 18% do investimento C. o governo publicou a Medida Provisória 567 com a nova
E. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% fórmula de cálculo. As cadernetas agora passam a render
ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos 70% da Selic mais TR. “Sei que a medida é ousada, mas
investimentos A e B. precisa ser feita”, disse a presidenta Dilma ao ministro
Solução: Para transformar uma taxa de 3% mensal para taxa da Fazenda, Guido Mantega, e ao presidente do Banco
anual, basta considerarmos 12 aumentos sucessivos, isto é, Central, Alexandre Tombini, ao bater o martelo. Na reu-
1, 0312 ≅ 1, 426 . Logo, a rentabilidade do investimento A nião do Conselho Político, com líderes de partidos da base
é 42,6%. Para transformar uma taxa de 18% mensal para aliada, a presidenta explicou que, depois de dois anos,
taxa anual, basta considerarmos 2 aumentos sucessivos, isto abriu-se uma janela de oportunidades que não poderia
36
13. ser desperdiçada. O momento, segundo Dilma, é ideal alunos de seus campus conforme indicado na tabela
por três motivos: o cenário econômico favorece a redu- a seguir:
ção de juros, sua popularidade recorde de 77% sustenta
reações negativas e a atenção da oposição está totalmen- Campus Número de Alunos
te voltada para a CPI do Cachoeira. Com a nova regra A 2.200
de reajuste, a poupança terá um gatilho. Sempre que a B 2.600
Selic se igualar ou ficar abaixo de 8,5%, a remuneração
C 5.200
da caderneta será de 70% da Selic mais TR. Ao defender
a mudança, Guido Mantega adiantou-se a possíveis críti- O valor recebido pelo campus B foi
cas: “Não há rompimento de contrato nem usurpação de A. R$ 37.400,00. B. R$ 42.500,00.
direito.” Frisou também que as mudanças não são ime- C. R$ 44.200,00. D. R$ 52.000,00.
diatas – hoje a Selic está em 9% –, que a liquidez conti- E. R$ 88.400,00.
nuará diária e a poupança permanece isenta de Imposto
de Renda. O mais importante é que o novo cálculo só vale
para os depósitos que forem feitos a partir de 4 de maio. 4. A hidrovia é o modelo de transporte menos oneroso
Antes dessa data, todos os investimentos em poupanças que qualquer outra modalidade disponível no mun-
estão preservados, com o rendimento tradicional. A me- do. Mas, no Brasil, onde há condições geográficas
dida manteve a caderneta simples e acessível. Os novos bastante favoráveis a esse tipo de operação, os in-
depósitos serão remunerados com base na Selic em vigor vestimentos no setor andam na contramão. O meio
no dia do investimento, independentemente do valor, po- mais utilizado é o rodoviário, que chega a ser 20 ve-
dendo ser R$ 10 ou R$ 100 mil. zes mais caro que o fluvial. Estudos indicam que, caso
o Brasil cresça uma média de 5% durante três anos
Fonte: www.istoe.com.br (09/07/2012)
consecutivos, o país pode entrar em colapso logístico.
Uma barcaça (unidade que compõe a embarcação)
pode transportar até 1.500 toneladas em cargas. Na
comparação com o transporte rodoviário, cada bar-
caça equivale a 60 carretas, que podem transportar
no máximo até 25 toneladas. “Nas hidrovias, não há
pedágios, estradas esburacadas que causam danos
à unidade de transporte e desperdício da carga, e o
risco de roubo também é menor”, destaca Rocha.
Quando o comparativo é com as ferrovias, o sistema
hidroviário também é mais vantajoso. Cada barcaça
pode substituir até 15 vagões, com capacidade para
carregar até 100 toneladas. Considerando a degra-
dação da malha ferroviária brasileira, abandonada há
cerca de 50 anos, a hidrovia se mostra ainda mais
viável, por não oferecer riscos.
Fonte: http://www.revistaportuaria.com.br
Uma empresa deseja transportar 30.000 toneladas de mi-
nério de ferro, podendo usar o transporte marítimo ou o
rodoviário, seria necessário, no mínimo, o equivalente a
A. 20 barcaças. B. 25 barcaças.
C. 60 carretas. D. 80 carretas.
Ampliando conhecimentos para o Enem E. 100 carretas.
3. Uma universidade recebeu do Governo Federal re-
cursos financeiros no valor de R$ 170.000,00 para 5. Segundo a Organização Pan-Americana de Saú-
serem divididos proporcionalmente ao número dos de (OPAS), cada indivíduo necessita de 189 litros
Universidade Aberta do Nordeste 37
14. de água por dia para atender suas necessidades apenas a água é retirada, até que a participação da
de consumo, para higiene e preparo de alimentos. água na massa de tomate se reduza a 20%. Após
Além disso, cada pessoa necessita de 1.325 litros o processo de desidratação, a massa de tomate, em
por ano só para beber. gramas, será de
A. 200. B. 225.
Tabela de
Consumo C. 250. D. 275.
consumo de água
E. 300.
Escovar os dentes com torneira cons-
15 litros/dia
tantemente aberta por 5 minutos
9. A tabela a seguir foi utilizada para calcular o Impos-
Escovar os dentes com torneira oca-
6 litros/dia to de Renda devido à Receita Federal nos meses de
sionalmente fechada por 5 minutos
janeiro a março de 2012.
Escovando os dentes com a torneira ocasionalmente fe-
chada por 8 minutos, pode-se, durante um ano, econo- Parcela a
mizar água suficiente para Base de cálculo Alíquota deduzir do
A. 2 pessoas beberem. mensal em R$ % Imposto
B. 3 pessoas beberem. em R$
C. 4 pessoas beberem. Até 1.499,15 - -
D. 5 pessoas beberem. De 1.499,16 até 2.246,75 7,5 112,43
E. 6 pessoas beberem. De 2.246,76 até 2.995,70 15,00 280,94
De 2.995,71 até 3.743,19 22,5 505,62
6. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de Acima de 3.743,19 27,5 692,78
gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta
pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros O Imposto de Renda devido por Alfredo, que presta ser-
deste combustível para percorrer 259 km. Suponha viços a uma empresa, é calculado da seguinte maneira:
que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve toma-se por base de cálculo o seu salário bruto em reais,
ser o preço do litro do álcool para que o custo do aplica-se a alíquota (porcentagem) e, do resultado deste
quilômetro rodado por esse automóvel, usando so- produto, subtrai-se a parcela a deduzir. O salário líquido
mente gasolina ou somente álcool como combustí- de Alfredo é calculado subtraindo-se do seu salário bru-
vel, seja o mesmo? to o valor do Imposto de Renda devido. Em fevereiro de
2012, o salário bruto de Alfredo foi R$ 3.000,00, então
A. R$ 1,00. B. R$ 1,10. seu salário líquido, nesse mês, foi de
C. R$ 1,20. D. R$ 1,30.
E. R$ 1,40. A. R$ 1.530,94. B. R$ 1.830,94.
C. R$ 2.530,94. D. R$ 2.650,00.
E. R$ 2.830,62.
7. Uma fábrica produz 2000 peças em 2 dias de traba-
lho, usando 6 máquinas iguais. No momento, duas
máquinas estão quebradas, porém a fábrica recebeu 10. Com o início da temporada de turismo na ilha de Flo-
uma encomenda de 6000 peças, então para atender rianópolis, observa-se uma alta de preços em vários
essa encomenda, serão necessários produtos, principalmente no mês de janeiro. Veja na
tabela as diferenças de preços de alguns produtos
A. 5 dias de trabalho. observados no dia 30 de dezembro de 2007, em
B. 6 dias de trabalho. comparação com os meses anteriores.
C. 7 dias de trabalho.
D. 8 dias de trabalho. Meses Dezembro
E. 9 dias de trabalho. Produtos
anteriores de 2007
Cerveja R$ 3,00 R$ 7,00
8. Um quilograma de tomates é constituído por 80% Coquetel de frutas R$ 10,00 R$ 20,00
de água. Essa massa de tomate (polpa+H2O) é sub- Milho cozinho R$ 2,00 R$ 2,00
metida a um processo de desidratação, no qual
38
15. Água de coco R$ 3,00 R$ 3,00 13. A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada por Robet Boyle
e Edme Mariotte) diz que: “Sob temperatura cons-
Tomate (Kg) R$ 0,95 R$ 2,49
tante (condições isotermas), o produto da pressão e
Corvina (Kg) R$ 6,00 R$ 8,00
do volume de uma massa gasosa é constante, sen-
Filé de peixe (Kg) R$ 8,00 R$ 10,00 do, portanto, inversamente proporcionais. Qualquer
Sorteve artesanal R$ 4,50 R$ 5,00 aumento de pressão produz uma diminuição de vo-
Gasolina (litro) R$ 2,49 R$ 2,60 lume e qualquer aumento de volume produz uma
Álcool (litro) R$ 1,65 R$ 1,79 diminuição de pressão.” Aumentando a pressão do
gás em 25%, o volume do gás diminuirá
Segundo a tabela, o conjunto de produtos que tiveram
aumento entre 10% e 110% é compreendido por A. 20%. B. 18%.
C. 15%. D. 12%.
A. cerveja, coquetel de frutas, corvina e filé de peixe.
E. 10%.
B. álcool, corvina, filé de peixe e sorvete artesanal.
C. sorvete artesanal, coquetel de frutas, corvina e filé
de peixe. 14. O crescimento anual das exportações de um país,
D. sorvete artesanal, cerveja, coquetel de frutas e corvina. em um determinado ano, é medido tendo-se por
E. filé de peixe, sorvete artesanal, coquetel de frutas e base o valor total das exportações do ano imediata-
álcool. mente anterior. Considere um país em que o cresci-
mento das exportações foi de 12% em 2008 e 8%
11. A Suíça tem um dos mais altos IDH (Índice de Desen- em 2009. Em 2009, o valor das exportações, em re-
volvimento Humano) do mundo. Sua área é 41.285 lação a 2007, foi maior em
km² e sua população é de 7 milhões de habitantes. A. 8%.
A tabela abaixo mostra a área degradada em km² da B. 12%.
Floresta Amazônica. C. entre 12 % e 20 %.
D. 20%.
E. maior que 20%.
15. “Pão por quilo divide opiniões em Campinas” (Cor-
reio Popular, 21/10/2006).
Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a
um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 g. Atualmente,
Se a área degradada na Suíça fosse igual a média de a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$
km² degradados na Amazônia no período 2007-2009, 4,50 por quilograma do produto.
o porcentual aproximado de natureza destruída nesse A taxa de variação percentual do preço do pãozinho provo-
país seria de cada pela mudança de critério para o cálculo do preço foi de
A. 25%. B. 30%. A. 10%. B. 12,5%.
C. 35%. D. 40%. C. 15%. D. 17,5%.
E. 45%. E. 20%.
12. Define-se renda per capita de um país como a razão 16. Um determinado cidadão recebe um salário bruto de
entre o produto interno bruto (PIB) e a população R$ 2.500,00 por mês e gasta cerca de R$ 1.800,00
economicamente ativa. Em certo país, o governo por mês com escola, supermercado, plano de saúde,
pretende aumentar a renda per capita em 50%. Se, etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa
nesse período, a população economicamente ativa com esse perfil tem seu salário bruto tributado em
aumentar em 20%, o acréscimo do PIB deverá ser de 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos
A. 50%. B. 65%. produtos e serviços que consome. Nesse caso, o per-
C. 80%. D. 95%. centual total do salário mensal gasto com tributos é
E. 110%. de cerca de
Universidade Aberta do Nordeste 39
16. A. 40%. B. 41%. mas será depositado nessa conta corrente apenas
C. 45%. D. 36%. no dia 10/12. Maria está considerando duas opções
E. 30% para pagar a prestação:
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros
17.
Há um ano, Bruno comprou uma casa por compostos de 2% ao dia sobre o saldo negativo em
R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados sua conta corrente, por dois dias.
R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos, 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma
prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, multa de 2% sobre o valor total da prestação.
acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A
Suponha que não haja outras movimentações em sua
casa valorizou 3% durante esse período de um ano.
conta corrente. Se escolher a opção 2, ela terá, em rela-
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou
ção à opção 1
o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de
A. desvantagem de 22,50 euros.
A. R$ 400,00. B. R$ 500,00.
B. vantagem de 22,50 euros.
C. R$ 600,00. D. R$ 700,00.
C. desvantagem de 21,52 euros.
E. R$ 800,00.
D. vantagem de 21,52 euros.
E. não há diferença.
18. Uma rede de lojas promove a venda de uma má-
quina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve
21. O mercado automotivo na América Latina crescerá,
agora e pague daqui a três meses”. Caso o paga-
no máximo, 2% em 2012. A estimativa é que, após
mento seja à vista, a rede de lojas oferece ao con-
esse período, ele voltará a expandir-se mais rapi-
sumidor um desconto de 20%. Caso o consumidor
damente, o que permitirá um crescimento médio
prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º
de 5% nos próximos 5 anos. A afirmação foi feita
mês a compra, a taxa anual de juros simples que
pelo presidente da GM na América do Sul. Suas
está sendo aplicada ao financiamento é de
estimativas para as vendas, especificamente da GM
A. 20%. B. 50%. na América Latina, são de 1,1 milhão de unidades
C. 80%. D. 100%. em 2012 e de chegar a 1,4 milhão de veículos por
E. 120%. ano até 2015.
(http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.)
19. Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$
O A estimativa de que as vendas da GM, na América Lati-
30.000,00 em duas partes, uma a ser aplicada no na, chegarão a 1,4 milhão de unidades no ano de 2015
banco A, que paga juros simples à taxa de 0,5% ao pode ser considerada
mês, e a outra no banco B, que também paga juros
simples, mas à taxa de 0,8% ao mês. A aplicação A. otimista, pois, para isso, a taxa média de crescimen-
no banco A é por dois anos e a aplicação no banco to anual das vendas para o período deveria ser maior
B por dois anos e meio, os juros obtidos nas duas que 5%.
aplicações são iguais, então, no banco A, foi apli- B. tímida, pois, para isso, a taxa média de crescimento
cado o valor de anual das vendas para o período deveria ser menor
que 5%.
A. R$ 20.000,00.
C. correta, pois, para isso, a taxa média de crescimento
B. R$ 21.000,00.
anual das vendas para o período deveria ser igual a 5%.
C. R$ 22.000,00.
D. realista, pois, para isso, a taxa média de crescimento
D. R$ 23.000,00.
anual das vendas para o período deveria ser menor
E. R$ 24.000,00.
ou igual a 5%.
E. não matematicamente verificável, pois não são for-
20. No próximo dia 8/12, Maria, que vive em Portugal, necidos dados suficientes para isto.
terá um saldo de 2.300 euros, em sua conta corren-
te, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 eu-
22. A nota do Ceará no IDEB (Índice de Desenvolvimen-
ros. O salário dela é suficiente para saldar a dívida,
to da Educação Básica), relativa ao Ensino Médio,
40
17. em 2009 foi 3,6. Admitindo um aumento percentu- Como exemplo, considere a velocidade de um mó-
al cumulativo e constante desta nota, ao longo dos vel dada por v = vo + at, em que a velocidade inicial é de
próximos 11 anos, para que, em 2020, a nota atinja 4m/s e a aceleração de 2m/s²:
valor 6,0, é necessário que haja um aumento em v = 4 + 2t
5 t = 1s v = 6 m/s
torno de: (Dado: 11 ≅ 1, 047 ) t = 2s v = 8 m/s
3
A. 3,5% a.a. t = 5s v = 14 m/s
B. 4,1% a.a. Observe que de t = 1s para t = 2s, a velocidade pas-
C. 4,7% a.a. sou de 6m/s para 10 m/s . A taxa de variação da veloci-
D. 5,2% a.a.
E. 5,6% a.a. dade em relação ao tempo foi de ∆v = 10 − 8 = 2m / s ² .
∆t 2−1
De t = 2s para t = 5s, a velocidade aumen-
Função Afim tou de 8 m/s para 14 m/s. A taxa de variação foi de
∆v 14 − 8
João pegou um táxi que cobra uma parcela fixa, cha- = = 2m / s ² .
∆t 5−2
mada de bandeirada, mais um valor que depende da
distância rodada. A tabela abaixo fornece esses valores. Note que a taxa de variação da função afim é cons-
tante, igual ao coeficiente angular.
Preço(R$)
Bandeirada 5,00 Gráfico
Quilômetro Rodado 2,00 O gráfico da função afim é uma reta oblíqua aos eixos
Ox e Oy. Para traçar o gráfico da função afim, basta atri-
Para uma distância de 10Km, João terá pago buir dois valores a uma das grandezas para se obter os
10 .R$2,00 = R$20,00 pela distância percorrida e mais
valores da outra. Dessa maneira, obtemos dois pontos
R$ 5,00 pela bandeirada, totalizando R$20,00 + R$ 5,00 que são suficientes para traçar a reta.
= R$25,00. Ex: Construa o gráfico da função y = 2x + 3.
Para uma determinada distância d (km), o valor gas- Para a construção do gráfico, podemos atribuir
to V por João foi R$2,00 . d pela distância percorrida, qualquer valor ao x, no caso usaremos os valores 0 e 1.
mais a bandeirada de R$ 5,00 resultando na expressão x =0 y = 2.0 + 3 = 3 Ponto (0,3)
abaixo. x =1 y = 2.1 + 3 = 5 Ponto (1,5)
V(d) = 2.d + 5, com V em reais.
A expressão V = 2d + 5 é um exemplo de função Marcamos os pontos no plano cartesiano.
afim, também conhecida como função do 1º grau.
Chama-se função afim ou função do 1º grau qual-
quer função real do tipo f(x) = ax + b, com a e b sendo
números reais e a ≠ 0.
Na função y = f(x) = ax + b,o número a é chamado
de coeficiente angular e b como coeficiente linear ou
termo independente .
Ex:
•• f(x) = 2x + 3, em que a = 2 e b = 3 Então, traçamos a reta passando pelos dois pontos.
•• g(x) = – 3x + 5 em que a = – 3 e b = 5
•• h(x) = 4x, em que a = 4 e b = 0
Taxa de Variação
A taxa de variação ou taxa de crescimento é represen-
tada pela razão entre as variações de duas grandezas.
Universidade Aberta do Nordeste 41
18. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada Raiz da função
3, esse valor é o coeficiente linear. Zero ou raiz da função é o valor de x que anula a função,
Na função y = ax + b, o valor b representa o ponto ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0.
em que a reta intercepta o eixo y.
f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = – b
x = – b/a
O zero da função representa o ponto de ordenada
zero, ou seja, o ponto em que o gráfico corta o eixo Ox.
O coeficiente angular a representa a tangente do
ângulo que a reta forma com o eixo Ox, situado acima
do eixo Ox e à direita da reta, como indicado abaixo.
f(x) = ax + b
Estudo do sinal
Estudar o sinal da função é analisar o valor de y em cada
a = tg ponto do gráfico, a parte do gráfico que está acima do
Se a > 0 teremos tg >0, o que ocorre quando o ân- eixo x tem y positivo, enquanto a parte do gráfico que
gulo é agudo, portanto a função será crescente. está abaixo do eixo x tem y negativo.
Se a > 0, teremos:
Se a < 0 teremos tg <0, o que ocorre quando o
ângulo é obtuso, portanto a função será decrescente.
b
f(x) < 0 ⇒ x < − a
b
f(x) = 0 ⇒ x = −
a
b
f(x) > 0 ⇒ x > − a
Se a < 0, teremos:
42
19. Nesse caso, temos a função afim dada pela lei f(x) = ax,
com a real e diferente de zero.
Ex: y = 3x, em que a = 3 e b = 0
Quando duas grandezas são relacionadas por uma
função linear, dizemos que elas são diretamente propor-
cionais, podendo, inclusive, usar regra de três.
Ex: O valor arrecadado com a venda de um pro-
duto depende da quantidade de unidades vendidas.
A tabela abaixo apresenta alguns exemplos de arreca-
b
f(x) < 0 ⇒ x > − a dação ou receita.
b Unidades vendidas Arrecadação (R$)
f(x) = 0 ⇒ x = −
a 25 625
b 50 1250
f(x) > 0 ⇒ x < − a
75 1875
Ex: Um comerciante de camarão tem uma despesa 100 2500
fixa de R$ 3.000,00, com aluguel, energia, etc. O comer-
ciante compra o camarão por R$ 3,00 e vende por R$ 5,00 o Com base nos dados da tabela, a função que me-
quilo. A partir de quantos quilos esse comerciante terá lhor descreve a arrecadação é a
de vender para ter lucro? A. exponencial
O lucro por quilo é de R$ 2,00, considerando que B. quadrática
são vendidos x quilos de camarão, o valor do lucro com C. linear
a venda do camarão é de R$ 2,00.x. Descontando a des- D. logarítmica
pesa fixa, temos:
R = 2.x – 3000, em que R representa o resultado A razão entre os valores da arrecadação e o núme-
financeiro. ro de unidades vendidas é constante, indicando que as
Igualando a receita a zero, obtemos a raiz da função: grandezas são proporcionais.
0 = 2.x – 3000 arrecadaçao 625 1250 1875 2500
= = = = = 25
5
2x = 3000 quantidade vendida 25 50 75 100
x = 1500
Como as grandezas são proporcionais, a função que
relaciona as duas grandezas é a linear.
A função R = 2x – 3000 apresenta coeficiente an-
gular (a = 2) positivo, portanto, a função é crescente.
Fazendo o estudo do sinal temos, Questão Comentada
04. (ENEM-2011) O saldo de contratações no mercado for-
mal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo re-
gistrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês
de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento
de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores
com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor vare-
jista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
O resultado será positivo, ou seja, terá lucro ao ven- Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as
der mais de 1500 quilos de camarão. quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por
Função Linear diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades
nesses meses é
Um caso particular de função afim é aquele em que b = 0.
Universidade Aberta do Nordeste 43
20. A. y = 4300x Esse índice, que é denotado por WCI (índice de sensação
B. y =884905x térmica), pode ser obtido pela seguinte fórmula
C. y = 872 005 + 4300x
D. y = 876 305 + 4300x T , se 0 ≤ v ≤ 4
E. y = 880 605 + 4 300x
( )
WCI = 91, 4 + (91, 4 − T ) 0, 02 − 0, 3 v − 0,5 , se 4 < v < 45
v
Solução: O mês de janeiro corresponde a x = 1, o mês de 1, 6T − 55, sev ≥ 45
,
fevereiro corresponde x = 2 e assim por diante. em que T é a temperatura do ar em graus Fahre-
x = 1s y = 876305
nheit e v é a velocidade do vento em milhas por hora.
x = 2s y = 880605
880605 − 876305
O coeficiente angular é a = = 4300 , Para aprender mais!
2 −1
para encontrar o coeficiente linear, podemos substituir qual- 5. O Museu do Louvre é um dos mais visitados do
quer um dos pontos na função y = 4300x + b. mundo. Em 2001, recebeu a visita de 5.093.280
(1, 876305) y = 4300x + b pessoas. A tabela apresenta o número de visitantes,
876305 = 4300.1 + b em três anos consecutivos.
b = 872005
A função é y = 4300x + 872005. Anos 2004 2005 2006
Resposta: C.
Números de visitantes
6,7 7,5 8,3
(em milhões)
Leia mais! Observe que o aumento do número de visitantes, por
ano, entre 2004 e 2006, é constante. Supondo-se que o
De alguns anos para cá, quando procuramos informações
aumento, nos anos seguintes, se mantenha constante, o
sobre a previsão do tempo, é comum encontrarmos dois ti-
ano em que haverá ou houve, no Louvre, 12,3 milhões
pos de temperatura: a real e a relativa à sensação térmica.
de visitantes é
A. 2010 B. 2011
C. 2012 D. 2013
E. 2014
6. O dono de uma loja de pneus distribuiu a tabela
abaixo para seus vendedores, para que não perdes-
sem muito tempo calculando o custo dos pneus,
que são iguais.
Mas o que é essa tal sensação térmica?
Muitas vezes, quando olhamos um termômetro que Número de pneus (n) Custo (C)
registra a temperatura ambiente, parece que a tempe-
1 R$ 100,00
ratura que ele acusa não condiz com a sensação de frio
que estamos sentindo. Não é raro notarmos que está 2 R$ 190,00
calor, que o sol brilha intensamente, mas, mesmo assim, 3 R$ 280,00
ainda sentirmos um certo “friozinho”... Pois é, esse tal 4 R$ 370,00
friozinho é um exemplo da chamada sensação térmica,
A função C(n) que relaciona o custo, em reais, com o
a qual é mais intensamente sentida em dias com muitos
número de peças é dada por
ventos, uma vez que, nesses dias, parece que o vento
“rouba” calor do corpo das pessoas, aumentando a sen- A. C(n) = 90n – 10 B. C(n) = 90n + 10
sação de frio. Uma fórmula empírica, baseada em ex- C. C(n) = 10n – 10 D. C(n) = 10n + 10
periências e observações, permite-nos obter, a partir da E. C(n) = 10n.
temperatura externa do ar e da velocidade do vento, um
índice que representa o valor numérico da temperatura, Ampliando conhecimentos para o Enem
em graus Fahrenheit, equivalente àquela que a pele sen- 23. Para a produção de um alimento matinal, uma in-
tiria com um vento a uma velocidade de 4 milhas/hora. dústria utiliza dois tipos de cereal, A e B, na razão
44
