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  • INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA GUÍA DIDÁCTICA Licenciaturas de Economía y ADE NELSON ÁLVAREZ VÁZQUEZ PEDRO ANTONIO PÉREZ PASCUAL BASILIO SANZ CARNEROIntroducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 1
  • Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 2
  • 1.- PRESENTACIÓN DE LA GUÍA.E l objetivo de esta Guía Didáctica es orientar al alumno en la preparación de una asignatura Introducción a la Econometría (medición de la economía). Es esta una parte de la ciencia económica que reviste dificultad incluso cuando se dispone declases presenciales. Las dificultades son mayores en la UNED, no sólo por la falta de clases,sino también por la falta de contacto con el profesorado, con los compañeros y con elmundo académico, que es parte esencial de la formación universitaria. Siendo la econometría una materia por cuantitativa, dominada por los aspectosinstrumentales y formales, su aprendizaje requiere haber asimilado otros conocimientos, locual ha de plantearse con criterio, y no a modo de inventario, enumeración y yuxtaposición.La formación en términos generales, es calidad, no cantidad, es reflexión, y es enconsecuencia, tiempo, algo que, en términos relativos, es escaso para el alumno de laUNED, muchas veces con trabajo y otras condicionantes. Ni ello exime de aspirar a unaformación de primera fila, ni exime por tanto, del cumplimiento de unos objetivos básicos. La presente Guía, trata de adaptarse a criterios estándar, que versan sobre losobjetivos, contenidos, criterios de evaluación y orientaciones para el estudio de cada tema. En la bibliografía básica hay aplicaciones resueltas, a nuestro juicio, suficientes, quepueden servir de autoevaluación. Puesto que partimos de la calidad y no de la cantidad,sobre cada problema basta con una aplicación si ésta es bien comprendida, no basta conmuchas, si falta el conocimiento. Se pone el acento, en que lo que se persigue es la realización de aplicaciones,directamente equiparables a lo que el futuro licenciado (y tal vez doctor) en Economía,debe realizar en su actividad académica y profesional. A los ejercicios dedicados a lacomprensión de una técnica dada, se les reserva la denominación de ilustraciones empíricas,de carácter más formal e instrumental, desempeñando por ello, sólo una etapa intermediaen la formación econométrica. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 3
  • 2. PRESENTACIÓN DEL EQUIPO DOCENTE. La asignatura se encuentra adscrita al Departamento de Economía AplicadaCuantitativa I y el Equipo Docente está formado por los profesores: • Dr. D. Nelson Álvarez Vázquez, Catedrático de Economía Aplicada • Dr. D. Pedro A. Pérez Pascual, Profesor Asociado de Econometría • D. Basilio Sanz Carnero, Profesor Asociado de Econometría El horario de guardia, en el que pueden contactar con el Equipo Docente , es losmiércoles de 16 a 20. Los teléfonos y direcciones de contacto son, Nelson Álvarez Vázquez 91 3986376 nalvarez@cee.uned.es Pedro A. Pérez Pascual 91 3987801 pperez@cee.uned.es Basilio Sanz Carnero 91 3986330 bsanz@cee.uned.esCon objeto de agilizar las contestaciones, se ruega no enviar simultáneamente el mismocorreo electrónico a todos los miembros del Equipo Docente.3.- INTRODUCCIÓN GENERAL A LA ASIGNATURA. Esta asignatura pertenece al Primer Ciclo de la licenciatura. Se imparte en elsegundo cuatrimestre del tercer curso. Encuadrada en las Enseñanzas Regladas, y se dirigepor tanto a aquellos alumnos que se encuentran a punto de terminar el Primer Ciclo de laLicenciatura. La Econometría nació a principios del siglo XX con el objetivo de medir ciclos yteorías económicas, en particular, con el propósito de dotar de contenido empírico a lasteorías económicas neoclásicas, calificadas como vacías. Esta es sin duda una respuesta aobjeciones concretas, en la que hay que separar lo esencial de lo accesorio. Que las teoríaseconómicas deban tener o no, contenido empírico, es una crítica propia del empirismo queha informado algunas corrientes de la econometría. El económetra parte de una teoría,proposición racional y abstracta, que no discute en cuanto tal, sino que se limita a medirla.Si se han formulado teorías, quiere ello significar que se busca retener medianteabstracción, lo esencial, y prescindir de lo accesorio, es decir, de los aspectos particulares,en buena medida empíricos, propios de cada experiencia, digamos mercado concreto. Puesto que hemos anticipado el criterio de la constante autoevaluación, este es elmomento en que el alumno debe detener la lectura de la Guía, y proceder a recordar yponer por escrito, mejor si breve, cual sea el estado de la cuestión respecto al realismo de lossupuestos. La descripción del objeto de la econometría, es sin duda una simplificación, de laque tiempo habrá de ir marcando distancias. El economista habla hoy más decomprobación y contrastación empírica de teorías, y no menos del modelo econométrico,cuya relación con la teoría puede llegar a difuminarse hasta el punto de que algunos no Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 4
  • conserven relación con las teorías económicas. Mencionemos que en la escala de objetivos,fácil de descubrir en la literatura, a veces, el objetivo se establece en la predicción. Laevaluación correspondiente debe ser ahora la de desarrollar en no más de dos páginas larelación entre hipótesis, teoría y modelo. Nuestro programa sigue su propia línea que cuenta con antecedentes. DecíaSchumpeter que la Economía nunca alcanzaría el prestigio que corresponde a una cienciamadura, mientras no fuera capaz de expresar numéricamente sus resultados. Las teoríaseconómicas no completan su aportación a la Ciencia Económica, mientras no son medidas.De manera que en términos ideales, el programa para ser considerado por superado, ha deservir para que el alumno acredite su capacidad en la medición y comprobación de teoríaseconómicas. Hay una afirmación clásica de que la Econometría es teoría y medida, lo cual esuna interpretación a nuestro modo de ver, una tanto laxa de medición de una teoría. Digamosque ésta parece más cerca del lema al que aquélla vino a sustituir en el seno de la CowlesCommission, ciencia es medida. El alumno debe captar desde el principio, la diferencia de matiz. En teoría y medida,se atribuye a la medición una cierta apariencia de sustantividad. En medición de una teoría,ésta es lo sustancial, y la medición el complemento necesario. Se cuenta que Einstein, nopublicó su teoría de las lentes gravitacionales hasta unos veinte años más tarde de haberladesarrollado, por considerar que no se podía comprobar empíricamente. Vamos a ver a lo largo del programa, que la medición de teorías económicas, es unobjetivo todavía no culminado a satisfacción de la profesión y de los económetras enparticular. De manera que a lo largo de la mayor parte de la historia de la econometría, éstaha experimentado ciertas derivaciones, a veces, difíciles de reducir al objetivo planteado.Digamos que el programa de la econometría tal como se desprende de la literatura ymanuales, puede verse orientado al objetivo de la modelización. No hay una correspondencianecesaria entre medición de teorías y modelización, y en el supuesto de discrepancias,cualquiera de los dos aspectos, dependiendo de la ecuación investigadora del economista,ofrece un amplio campo. En el intento de llevar a cabo la cuantificación, término que junto con el espíritunumérico, es muy del agrado de Schumpeter, cuya obra se supone bien conocida delalumno de econometría, los programas han evolucionado hacia el desarrollo y aplicación demétodos, cada vez más numerosos y sofisticados desde un punto de vista formal, sin que seperciba con nitidez el progreso que de tal inventario de técnicas se deriva. En todo caso,esto es sin duda un juicio de valor, que el alumno ha de afrontar con conocimiento decausa. En este programa, se considera que el conocimiento de los métodos no agota elcontenido de la Econometría, aunque es condición necesaria para su estudio. La medición toma los procedimientos de cálculo de la estadística, concebida yformulada para y por ciencias experimentales. Aunque una mirada rápida al programapuede dar la impresión de que se desarrollan múltiples técnicas, puede decirse, que todasellas gravitan en el empleo del análisis de la regresión, al que aparece asociado el criterio deajuste de los mínimos cuadrados. No es posible seguir sin establecer el inmediato ejercicio deautocomprobación. Es preciso recordar el significado y empleo de la regresión, de laestimación, de los principales coeficientes, de los criterios de ajuste de la media (regresión I) y delos mínimos cuadrados (regresión II), y todo lo relacionado con ello. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 5
  • No es analíticamente necesaria la asociación entre regresión y probabilidad, comoilustran los 7 primeros capítulos de la Addenda (1998), pero es frecuente y casi general enlos programas de econometría, que se presente de esta forma, siendo una prueba el resto delos capítulos. Por ello es obligado que se proceda a la autocomprobación de los principalesconceptos de probabilidades, desde la ley del azar, las características de distribuciones,especialmente, la normal, ji-cuadrado, t de Student, y F de Snedekor, los teoremas deconvergencia y leyes de los grandes números, la distribución en el muestreo y suspropiedades (insesgadez, eficiencia y consistencia), métodos de estimación (añádase a losmínimos cuadrados el de máxima verosimilitud y los momentos), construcción deintervalos de confianza y contrastación de hipótesis. Es esencial que la inferencia respecto auna sola variable, sea bien comprendida, porque en la econometría se trata de la inferenciacon varias variables, y además, siendo ésta atemporal, se va a generalizar al tiempo, es decir,la variable aleatoria se generaliza al denominado proceso estocástico. Recordados estos métodos, e iniciado en los nuevos, es fundamental que el alumnoadopte el planteamiento de que el punto de partida es la economía, a cuya medición puedencontribuir los métodos desarrollados en otras disciplinas. Una alternativa a la que no nosadherimos, es la de aplicar en economía métodos de otras ramas por ver si pueden ser útiles.Lo esencial es la medición de teorías y sólo si tales métodos contribuyen a dicha medición,son bienvenidos. Se trata en definitiva, de que el alumno recurra a los métodos adecuados, una veztiene definido el planteamiento económico, no al revés. Por ello es esencial elconocimiento de los problemas metodológicos de la ciencia en general y de la Econometríaen particular, así como la evolución de estos últimos a lo largo de la historia. A estos temasse dedica algún espacio al principio del texto. Para un estudio más detallado de los mismos,es recomendable acudir a Introducción a la evolución de la metodología de la econometría. Dentro de lo que es el programa, el tema 1 hace referencia fundamentalmente acuestiones de tipo metodológico. Así se trata de cuestiones como la definición de ciencia,concepto de ley, hipótesis y teorías económicas, definición de econometría, metodología dela econometría, objeto de la econometría, tipos de modelos, etc. Como ya quedó dicho, untratamiento más detallado de estas cuestiones, se encuentra en Introducción a la Evolución de laMetodología de la Econometría. Sugerimos que se complemente con los primeros capítulos delas Lecciones de Teoría Económica del Profesor Castañeda. Conocidos o recordados los fundamentos, se trata de los métodos. De hecho, elprograma clásico de Econometría no versa de forma expresa sobre la medición de teorías,sino sobre la especificación y estimación de modelos que expresan no tanto teorías comohipótesis económicas. Siendo cierto que la metodología debe ser comprendida y aplicada,es imprescindible que el alumno realice las aplicaciones prácticas para comprobar el gradode asimilación de los conceptos. Como no existen pruebas a distancia, éstas se sustituyencomo requisito imprescindible para aprobar la asignatura, por la presentación de unaaplicación práctica. En este sentido los tres últimos temas pueden servir de orientación.4.OBJETIVOS Se consideran objetivos básicos de este curso: Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 6
  • 4.1 Conocer a grandes rasgos la historia y evolución de la econometría, y los distintos problemas asociados a la medición.4.2 Obtener un conocimiento general de las diferentes escuelas econométricas y los enfoques desde los que puede ser abordado el estudio de la materia4.3 Adquirir un conocimiento sólido del uso de los diferentes métodos estadísticos aplicados a la medición.4.4 Elaborar una aplicación práctica que verse sobre el objeto propio de la econometría, donde se pruebe la capacidad para redactar un trabajo aplicado razonado extrayendo del mismo las conclusiones económicas pertinentes.5.- REQUISITOS PREVIOS Son necesarios conocimientos de, álgebra y análisis matemático: funciones, resolución de sistemas de ecuaciones, derivadas, cálculo matricial, ecuaciones en diferencias finitas, etc. estadística y probabilidad: distribuciones de frecuencias y sus características más significativas, regresión y correlación, distribuciones de probabilidad y teoremas de convergencia, incluidas las leyes de los grandes números, distribuciones muestrales y propiedades de los estimadores, puntuales y por intervalos, así como contrastación de hipótesis. teoría económica, es necesario recordar las principales relaciones postuladas por la teoría, como por ejemplo, la teoría cuantitativa del dinero o la ley de la demanda (oferta). Puede decirse que la inferencia estadística previa supone, por una parte, lo que seconoce como clásica, siendo objeto de generalización en el programa de econometría a losprocesos estocásticos, por otra parte, es la inferencia referida a una variable, siendogeneralizada a varias variables en el programa de econometría.6.- LOS MEDIOS Los medios de que dispone el alumno pueden clasificarse en: PERSONALES1. Los profesores de la sede central nos encontramos a su disposición en el horario de consulta para ofrecerles la mayor ayuda posible. Las consultas pueden ser personales, telefónicas, postales o por medio de correo electrónico. Se ruega no enviar simultáneamente los mismos mensajes a todos los profesores.2. Los profesores tutores de los Centros Asociados. Es aconsejable acudir a sus tutorías con regularidad.3. Actualmente funcionan también las denominadas tutorías virtuales a través de la red, de especial utilidad para aquellos alumnos que no disponen de profesor tutor en sus Centros Asociados. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 7
  • MATERIALES1. Los textos base, elaborados teniendo en cuenta las características de la enseñanza a distancia.2. La bibliografía complementaria. Si es razonable el dicho antiguo de que hay que temer a la persona de un solo libro, este argumento es más fuerte para quienes preparan un programa, en principio, sin clases presenciales. El material complementario permite una mejor comprensión de la materia, lo que constituye el mejor camino para superar las pruebas correspondientes.3. Tanto el manual, que se corresponde con el programa, como la bibliografía complementaria, son únicamente una recomendación, en el sentido de que permiten contestar al programa. Dada la naturaleza universitaria de la institución en la que se imparte la econometría, el alumno puede optar por adoptar su propia selección.4. Hay además otros documentos, como las instrucciones remitidas a todos los centros Asociados, que explican la forma de elaborar la aplicación práctica.5. Toda la bibliografía relacionada con la asignatura disponible en las bibliotecas de los Centros Asociados y la Biblioteca de la Sede Central, es accesible a los alumnos de la UNED sin más requisito que hacerse el correspondiente carné.6. Es intención de los responsables de esta asignatura, poner a disposición de los alumnos un paquete informático, para aquellos que no dispongan de otra alternativa. No es necesario que se utilice y más bien es recomendable que la primera vez se haga de forma manual (sin programa informático). Una vez entendida la rutina, puede hacer uso del paquete. En el examen, no dispondrá del programa informático, por lo que no tiene que albergar dudas respecto al proceso de cálculo correspondiente a la parte aplicada del examen.7.- CONTENIDOS Los contenidos de la asignatura se han distribuido a lo largo de 13 temas donde serecogen y desarrollan los aspectos que anteriormente señalamos como objeto de estudio dela materia. Destacan como temas más relevantes los números 6, 7 y 8, donde se estudianlos instrumentos básicos de la economía cuantitativa. El desarrollo concreto del Temario, es como sigue: Tema 1 Introducción a la econometría Tema 2 Ajuste de un modelo de regresión simple y múltiple Tema 3 Una introducción al enfoque de componentes inobservados Tema 4 La medición de las teorías económicas basada en la descomposición periódica (análisis del periodograma) de los ciclos empíricos Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilístico Tema 6 Inferencia en la regresión lineal múltiple Tema 7 Revisión de las hipótesis de trabajo Tema 8 El problema de la multicolinealidad Tema 9 Consistencia de los estimadores Mínimo Cuadráticos Tema 10 Aplicaciones (econométricas) de economía cuantitativa Tema 11 Medición y estimación de las teorías o hipótesis de consumo con datos trimestrales Tema 12 La medición de las leyes de demanda de productos ganaderos respecto a precios de productos relacionados y renta Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 8
  • 8.- ORIENTACIONES BIBLIOGRÁFICAS Los textos base para preparar la asignatura, son:1. ÁLVAREZ VÁZQUEZ, Nelson Introducción a la Econometría. Ediciones Académicas . Madrid 2003 (este puede sustituirse por el texto antiguo)2. ÁLVAREZ VÁZQUEZ, Nelson. Aplicaciones de Econometría. Editorial CERA. Madrid, 1999 Para ampliar las cuestiones referidas a la metodología, pueden consultarse: i. EPSTEIN, R.J. (1987): A History of Econometrics. North Holland. Amsterdam ii. MORGAN, M. S. (1990): The History of Econometric Ideas. Cambridge University Press. Cambridge. iii. DARNELL A. C.& EVANS J.L. (1990) The Limits of Econometrics. E. Elgar Publishing Limited. England. iv. DE MARCHI, N. & GILBERT, CH. (1989): History and Methodology of Econometrics. Clarendon Press. Oxford. Para el resto de los temas, puede consultarse cualquier manual general de Econometría, como: i. ALCAIDE INCHAUSTI A. y otros (1990), Economía Aplicada Cuantitativa I. Cuadernos de la Uned nº 88. Ed. UNED. ii. AZNAR GRASSA, A. (1984), Problemas de Econometría. Ed. Pirámide iii. DAGUM & DAGUM (1971), Introducción a la Econometría. Ed. Siglo XIX iv. GUJARATI, D (2003), Econometría. McGraw Hill. v. JOHNSTON, J, DINARDO, J.(2001), Métodos de Econometría. Ed. Vicens Vives. vi. MADDALA, G.S. (1977). Econometría. McGraw-Hill.vii. PINDYCK, R.S & RUBINFIELD, D.L. (1980) Modelos Econométricos. Labor.viii. PULIDO SAN ROMÁN, A. (1987). Modelos Econométricos. Pirámide. ix. URIEL, E. (1985) Análisis de series temporales. Modelos ARIMA. Paraninfo. x. WALLIS, K.F. (1972), Introducción a la Econometría. Alianza Universidad.9.- LAS ACTIVIDADES En otro lugar de esta guía ya se ha señalado la importancia que tiene en estaasignatura la realización de actividades. El alumno debe intentar realizar por su cuenta lasactividades resueltas en el manual de aplicaciones, al principio de forma manual siguiendopaso a paso todo el proceso hasta asegurarse de haberlo comprendido bien. Después puedeutilizar el software informático. En el capítulo de orientaciones bibliográficas se ofrecen al alumno algunos textoscon los que puede completar las actividades del manual. Consideramos que con losejercicios de los manuales teórico y práctico señalados como textos base, el alumno disponede suficientes aplicaciones para preparar la materia. Más que realizar muchas aplicaciones,se trata de que la que se haga, sea comprendida en su totalidad. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 9
  • 10.- LA EVALUACIÓN Estará basada en la prueba presencial y en la aplicación práctica a presentar por elalumno de la que se habló en el apartado anterior. La aplicación práctica mejorará la nota obtenida en la prueba personal en funciónde su calidad, pero es requisito previo para aprobar la asignatura, haber superado la pruebapersonal. Esta constará de dos partes, una teórica donde se plantearán cuestiones cortas delmismo estilo que las que figuran al final de cada tema, y una pregunta más larga que puedecoincidir con algún epígrafe del temario. La segunda parte será de naturaleza práctica yconsistirá en la resolución de algún ejercicio parecido a los del manual de aplicaciones.Ambas han de ser superadas independientemente para aprobar la prueba personal.La ponderación de cada una de las partes será: Teoría: 6 puntos (1 punto las preguntas cortas y 3 puntos la extensa) Aplicación: 4 puntos. Los informes de los profesores tutores, cuando existan, siempre tendrán unainfluencia positiva en la evaluación final. En esta guía se ofrece un ejercicio de examen resuelto.11.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE CADA UNIDAD O TEMA Este apartado pretende orientar al alumno a lo largo del temario con el objeto deayudarle a superar las dificultades que se encuentre en el proceso de aprendizaje,señalándole los aspectos más relevantes y orientándole en el estudio de los mismos. Aunque normalmente nos detendremos en cada epígrafe, a veces se han omitidoalgunos por considerar que no necesitan comentarios adicionales. En particular se ha hechoesto con casi todos los apartados que tratan ilustraciones empíricas, cuyo objetivo obvio, esla ilustración de los aspectos teóricos tratados con anterioridad. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 10
  • Todos los temas se encuentran en el texto base y, en aquellos epígrafes en que se haconsiderado necesario, se han proporcionado referencias bibliográficas para ampliar elcontenido de los mismos.Tema 1. Introducción a la EconometríaEn este tema se tratan cuestiones que no suelen ser objeto de atención en los textosintroductorios. No obstante hemos considerado que sin un mínimo conocimiento de losmismos, es difícil que el alumno/a pueda abordar con éxito la medición de las relacioneseconómicas, objetivo último de la econometría. Las ideas más importantes desarrolladas en cada uno de sus diferentes apartados, seexponen a continuación. 1. Consideraciones metodológicas (versa sobre la evolución histórica de la econometría;la diferencia entre el razonamiento inductivo y deductivo y su relevancia de cara a lacuantificación: las conclusiones inductivas rebasan el alcance de las premisas; la naturalezacausal de las leyes económicas y el tratamiento de la causalidad en econometría (ha tendido aser rechazado), así como a las diferencias entre hipótesis, teorías y modelo) 2. El objeto de la econometría. (de entre las dos alternativas básicas que se plantean, seelige como objetivo de la econometría, la medición de las teorías económicas cualitativas.La medición se concreta en proporcionar un signo y un valor para la pendiente(parámetro), comprobando si es acorde con el postulado por la teoría, determinar ladirección de la influencia, y verificar si es o no estable en el tiempo. Siendo esta unaalternativa hoy heterodoxa, requiere una justificación que el alumno puede asimismoencontrar en este epígrafe. Es esencial en este sentido, tanto la diferencia entre hipótesis yteoría, como el principio de causalidad que, como consecuencia del historicismo ha sidoabandonado en los modelos econométricos. Para la medición es importante tener en cuanta que las leyes han sido formuladas entérminos estáticos, en tanto que pretendemos medirlas con series históricas (dinámicas) locual genera un importante problema en la cuantificación) . 3. Los manuales de econometría. (En los diferentes manuales aparecidos a lo largo de lahistoria, puede apreciarse la evolución sufrida por la econometría. Al principio no habríamanuales propiamente dichos, sino tratados de métodos estadísticos aplicados a las cienciassociales (ni tampoco muchos datos) pero poco a poco éstos van siendo reemplazados porlos manuales de econometría. En este epígrafe se mencionan algunos de los másimportantes) 4. La econometría a partir de los primeros congresos de la Econometric Society (Secomentan las ponencias de los primeros congresos de la Econometric Society, que puedenayudar a comprender el significado de la econometría) 5. La inferencia estocástica (La econometría actual acepta el uso de la inferencia estocástica.En este apartado se señalan algunas críticas a su utilización, lo que no evita que hoy porhoy sea imprescindible su conocimiento) Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 11
  • 6. Ciencia Económica y Econometría (En la interpretación de la econometría que se haadoptado, lo esencial es la teoría económica, que proporciona al económetra las leyes queéste debe intentar medir, es decir su objetivo es la cuantificación de las regularidadesestablecidas deductivamente por la teoría, que es un dato para él. Las leyes económicasdeben ser simples, un efecto y una sola causa, lo que permite atribuirles un determinadogrado de certeza. La cuantificación o medición es el primer paso, siendo posterior la predicción quetambién posee carácter estático como las propias leyes teóricas que se quieren medir, pormás que en la medición se utilicen series históricas (dinámicas). Los cuatro epígrafes siguientes tratan de ilustrar en términos prácticos cuanto se haseñalado anteriormente, tomando como ejemplo la teoría de la demanda, una de las teoríasque más atención ha merecido desde el punto de vista aplicado. 7. La teoría económica de la demanda. Se comienza definiendo en términosmatemáticos la ley que se pretende medir, lo que puede no ser inmediato. En este casoconcreto se supone que la cantidad demanda es función del precio D = f(p), de manera quela dirección de la causalidad iría de los precios a las cantidades. Esta relación es estática ysupone constantes el resto de los factores. Éstos vendrían recogidos en la forma funcional,de manera que si variasen, se desplazaría la demanda. Éste es un cambio diferente al quesucede a lo largo de la función demanda que se debe sólo a variaciones en el precio: estos sonlos movimientos que explica la teoría. En estas condiciones la teoría afirma que la pendiente esnegativa. El signo y el valor de la pendiente negativa postulada por la teoría, es lo quedebemos intentar cuantificar, si bien es previo el tratamiento que hemos de dar a la condiciónceteris paribus. 8. El significado de la medición de una teoría económica. Por medición se entiende darrespuesta a las siguientes cuestiones: a) verificación del signo de la pendiente, b)establecimiento de su valor, y c) fundamentación empírica de su constancia en el tiempo.Dada la dificultad extrema de c) en las aplicaciones nos ocuparemos de los dos primerosapartados. La ley a medir tiene una expresión estática y otra dinámica, inequívocamenterelacionadas y con el mismo significado económico, aunque contempladas desdeperspectivas diferentes. No hay pues contradicción, sino que se trata de dos expresiones dela misma ley. En el caso de la demanda, a la expresión estática, recta con pendiente negativa,corresponderían movimientos contrapuestos en términos dinámicos. Lo contrariosucedería en el caso de la oferta: recta con pendiente positiva en términos estáticos ymovimientos sincronizados en el tiempo en términos dinámicos. 9. El descubrimiento del proceso generador de datos Representa una forma alternativade entender la econometría, si bien hoy por hoy es la dominante. El alumno debecomprender bien las diferencias de enfoque entre una y otra. El último apartado se trata de ilustrar lo que sería una aplicación práctica concreta,aplicada en este caso al mercado del aceite, del que se pretende cuantificar la demanda(oferta). Aquí se exponen los primeros problemas que hay que se presentan en la medición:elección de las contrapartidas empíricas de las variables teóricas, clasificación de lasvariables en endógenas (efecto) y exógenas (causas), elección de la forma funcional, etc.Una vez se hayan resuelto estas cuestiones y suponiendo que se opte por una relación lineal Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 12
  • (lo habitual), el siguiente paso es ajustar una recta de regresión utilizando los datos de lasvariables empíricas.Tema 2. Ajuste de un modelo de regresión lineal simple y múltiple Los cálculos necesarios siendo imprescindibles en las aplicaciones, han de asimilarsebien. En primer lugar, es necesaria la obtención de medias, varianzas y covarianzas entre lasvariables, cuya obtención suponemos conocida. Lo que se pretende con el método de losMínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), es ajustar una recta (u otra función), de forma que $la suma de las discrepancias dt2, entre la variable observada Yt y la estimada Yt , sean mínimas.El motivo de elegir ∑ dt2 y no simplemente ∑ dt es que, si eligiésemos esta última suma, lostérminos positivos se cancelarían con los negativos y la suma sería cero. Aplicando las condiciones de mínimo a D = ∑ dt2 se obtienen las ecuacionesnormales (2.11 y 2.12) y, a partir de ellas podemos calcular los parámetros a y b. Un mecanismo aconsejable es trabajar con desviaciones a las medias, eliminando eltérmino independiente. Así se obtiene (expresión 2.15) el estimador de MCO de b. El términoindependiente carece de significado económico, siendo su utilidad mejorar el ajuste. Por elcontrario, el significado de b, es claro. Representa la tasa de cambio o cambio marginal de lavariable dependiente (endógena) ante una variación unitaria de la independiente (exógena).Puede representar también la elasticidad, si los datos están en logaritmos. Todo este proceso aparece descrito en el epígrafe 2.2, ilustrándose con los datos delmercado del aceite proporcionados en el tema anterior. Las expresiones más utilizadas en lapráctica son las ecuaciones (2.15) y (2.16). Obtenida la recta de regresión interesa conocer el grado de ajuste, para lo que sedispone de diferentes coeficientes. El coeficiente de correlación lineal, r, mide asociaciónde los movimientos de X e Y en la escala abstracta (-1, 1). En ningún caso cabeinterpretarlo como una medida de la causalidad entre las variables. En las aplicaciones serecurre al coeficiente de determinación R2, que coincide con el cuadrado del coeficiente decorrelación. La razón se debe a que 100*R2 es el porcentaje de la varianza de la variableendógena explicada por la regresión. Su valor suele tomarse como una medida de la bondaddel ajuste. No cabe atribuir tampoco un valor causal a este coeficiente. La causalidad en losmodelos estructurales, es una hipótesis previa al tratamiento de los datos. Su valor puedeobtenerse a partir de la expresión (2.20) y elevando luego al cuadrado, o bienrecurriendo a la expresión, sr2 R =1 − 2 2 sysiendo sr2 la varianza residual o varianza de las discrepancias que se calcula con lafórmula 2.19 En el epígrafe 2.3 se presentan diversas formas funcionales que pueden ser deutilidad en la cuantificación, así como el importante concepto de elasticidad que debe ser ya Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 13
  • conocido. El ejemplo del aceite vuelve a servir de base para ilustrar el cálculo de esteconcepto. Además en el epígrafe 2.5, se presenta un ejemplo de la medición de la curva dePhillips. Como el alumno/a dispone de los datos y los cálculos intermedios, es convenienteque intente reproducir todo el proceso de cálculo. Puede asimismo ejercitarse eligiendootras variables empíricas como imagen de las teóricas. Por ejemplo, sustituyendo lasuperficie por la producción como variable endógena, si bien esta última tiene el problemade estar influida no sólo por la superficie (variable que sí está plenamente determinada porel empresario, el agricultor en este caso), sino por las condiciones climatológicas. En el manual los cálculos están hechos con ordenador utilizando el softwareEconometric Views (Eviews, 4). Para aquellos que pudedan disponer de él, en la pág. 76 sedan unas indicaciones sobre las instrucciones básicas para obtener las salidas de las tablas2.4 o similares. Para aquellos otros (entendemos que la inmensa mayoría) que no dispongande este programa, pueden utilizar cualquiera de entre los muchos que efectúan estoscálculos. En la página web de la asignatura hay algunas direcciones donde se puedenencontrar programas gratuitos. Entre ellos uno que resulta aconsejable tanto por su calidadcomo por su facilidad de manejo, es Gretl. Puede descargarse de forma gratuita. Paraacceder a dicho programa, una vez situados en la web de la asignatura, hay que seguir laruta, Otros recursos en la red / Recursos en línea para estudiantes de econometría / Software Una vez aquí, hay que buscar dicho programa (están ordenados alfabéticamente).Como puede observarse hay muchos otros enlaces. Pero no todos los paquetes songratuitos y, entre los gratuitos, algunos son de difícil manejo o más limitados que elaconsejado. Un programa de gran difusión y que también puede ser utilizado en este curso, esEXCEL del paquete Office. En la última sección de esta guía se ofrecen unas instruccionesbásicas (para usuarios no avanzados) con las que el alumno/a podrá efectuar prácticamentetodos los cálculos econométricos exigidos en esta asignatura. Con ello se pasa a la regresión múltiple expuesta en los epígrafes 2. 6 y siguientes. Elmodelo de regresión múltiple no es más que una generalización del modelo simple en elque se incluyen más de una variable explicativa (o variable causa). Aunque es muy utilizado,presenta graves problemas, el más importante de los cuales es el de la multicolinealidad odependencia entre las variables explicativas, al que más adelante se dedica el capítulo 8.Éstas y otras dificultades, están recogidas en el epígrafe 2.6.1. A pesar de ello, el alumnodebe conocer bien esta técnica. El álgebra matricial, aunque en principio pueda suponer una complicación, es ventajosaa la hora de encontrar los estimadores de los parámetros. En el epígrafe 2.6.2 se explica elproceso de cálculo. El criterio para la obtención de los parámetros sigue siendo el mismo:la minimización de la suma cuadrática de las discrepancias. Si consideramos un modelo condos variables explicativas más el término independiente, ello conduciría a tres ecuacionesnormales en vez de dos, como en la regresión simple. Utilizando el artificio de trabajar condesviaciones a la media se elimina el término independiente y con ello una de las ecuacionesnormales, quedando únicamente las dos que se recogen en la expresión (2.70). La fórmula Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 14
  • (2.69) es la más práctica de cara al calculo de una regresión con dos variables explicativas.Dicha expresión se generaliza inmediatamente para k variables explicativas: ˆ  b1   s 2 s12 −1 ... s1k   s y1     1    ˆ ... s2 k   s y 2  ˆ b  s 2 s2 b =  2  =  21  ... ...   ...   ...   ... ...     b   sk 1 ˆ sk 2 ... sk   s yk  2  k     Las fórmulas (2.65) o su equivalente que aparece erróneamente numerada como (7.12),permiten calcular los parámetros de una regresión lineal simple utilizando el cálculomatricial. Se ilustra todo ello utilizando nuevamente el mercado del aceite, pero considerandoahora la renta como una nueva variable explicativa además del precio. Los signos esperadosson, positivo para la renta y negativo para el precio. Los resultados de la tabla 2.19muestran que, en el caso de la renta, el signo es contrario al esperado. Para el cálculo del ajuste en la regresión lineal múltiple, son especialmente útiles lasexpresiones (2.72), que proporciona la suma cuadrática de las discrepancias, y las (2.73) y(2.75), que dan el valor del coeficiente de determinación, según estemos trabajando endesviaciones con respecto a la media o con datos originales. Este capítulo finaliza con la consideración de formas funcionales no lineales. Eneconomía una de las más utilizadas es la parábola, que podría representar la función deingresos o de costes de una empresa. En este último caso puede emplearse también unafunción cúbica. El anexo (pp. 114 y ss) no será, en ningún caso, objeto de examen.Erratas advertidas en este capítulo:En la página 69, los datos de la columna Y2 de la tabla 2.1, son incorrectos.En la expresión (2.18) el numerador debe ir elevado al cuadrado. Inmediatamente más abajo,en la fórmula para calcular b, el numerador debe ser cov (qt, pt).Las expresiones (2.34) y (2.35) que corresponden al cambio marginal y la elasticidad de lafunción logarítmica inversa, deberían ser, bY (2.34) X2 b (2.35) X Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 15
  • Tema 3. Introducción al enfoque de componentes inobservadosDebe comprenderse bien la fundamentación de este enfoque, en particular el significado de lainclusión de t como un regresor más en la regresión, o el criterio de separación entre tendenciay ciclo. Ello es importante de cara a la interpretación de los resultados. Puesto que dentro de esta aproximación, el primer paso es separar la serie histórica entendencia y ciclo, una vez se ha definido lo que se entiende por ambos tipos de movimiento elalumno ha de aprender a estimar ambos. En este capítulo nos ocupamos de la separación entendencia y ciclo empírico, y en el siguiente, de la descomposición del ciclo empírico en ciclosteóricos de periodicidades fijas. Los epígrafes 3.3, 3.4 y 3.5 enseñan cómo calcular diversos tipos de tendencias (tasasde variación, diferenciación, medias móviles, tendencias exponenciales, polinómicas, métodode la cuerda) a la vez que muestran las ventajas e inconvenientes de cada una de ellas. Estánbasados en sencillos procedimientos de cálculo y, habiendo comprendido (o recordado) elcálculo de una regresión lineal, no deberían plantear ninguna dificultad. Una vez que hemos calculado la tendencia, el ciclo empírico se obtiene restando de la serieoriginal la de tendencia (ver expresión (3.10)). En el epígrafe 3.6 se expone una primeraaproximación a la cuantificación a partir de dichos ciclos empíricos. Debe observarse que ladirección de la causalidad así como la existencia de desfases y su tamaño, son cuestiones quese determinan a posteriori, a partir de la evidencia empírica, ya que la teoría económica no esclara al respecto. Aparecen dos conceptos nuevos, el de flexibilidad que es equivalente al de elasticidadpero implica que la dirección de la causalidad va de las cantidades a los precios, y el decorrelación en el tiempo, que no es más que una generalización del concepto de correlaciónutilizado en las distribuciones atemporales. Es una herramienta útil para determinar ladirección de la causalidad y la longitud de los desfases. La fórmula utilizada en el cálculo es la(3.14). La interpretación de esta herramienta se ilustra en la tabla 3.7 que se refiere al mercadodel aceite. Parte del hecho de que si existe causalidad entre precios y cantidades, la causa debepreceder al efecto en el tiempo. Es decir que si la causalidad va de los precios a las cantidades,entonces los cambios en los precios deben preceder a los registrados en las cantidades. En lacolumna encabezada con la leyenda “lag” (retardo), aparece la correlación entre el ciclo de lasuperficie, CLSUPOLI (que se mantiene fijo) y el de precios, CLPRACEI, este últimoretardado 0, 1, 2, ..., 16 periodos. En la columna siguiente, “lead” (adelanto), se muestra lacorrelación del mismo ciclo de la superficie y el del precio adelantado 0, 1, 2, ... 16 periodos. Sila máxima correlación se da en la primera columna, quiere decir que los cambios en los precios(que aparecen retardados) preceden a los habidos en las cantidades, mientras que si ocurre enla columna lead, el significado es el contrario: los cambios en las cantidades preceden a los delos precios. En el primer caso, la causalidad irá de los precios a las cantidades y en el segundode las cantidades a los precios. El tamaño del desfase vendrá indicado por el valor de i dondese produce la máxima correlación. Queda claro que en el ejemplo examinado la direccióncausal va de las cantidades a los precios, y el tamaño del retardo es 5. Por tanto regresaríamosel ciclo de precios sobre el de cantidades retardado 5 periodos (tabla 3.8). El resultado muestrauna flexibilidad de – 2.76 (no –2.83 como erróneamente aparece en la página 141). Como el proceso de cálculo anterior es muy laborioso, se puede optar por laalternativa representada por la ecuación (3.16), cuyos resultados se muestran en la tabla 3.10. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 16
  • La equivalencia entre ambas, postulada por Frisch y Waugh, se refiere al coeficiente deflexibilidad, no al de determinación. Vemos que la flexibilidad es prácticamente idéntica (no esexactamente igual porque Frisch y Waugh se refieren a los ciclos obtenidos tras eliminar unatendencia lineal mínimo cuadrática, y aquí se ha utilizado la tendencia que pasa por losextremos de la serie, o método de la cuerda). Como antes, conviene que el alumno intente reproducir los cálculos utilizando lastablas de valores intermedios (tablas 3.9 y 3.15), lo que le servirá como ejercicio deautocomprobación.Tema 4 La medición de las teorías económicas basada en la descomposiciónperiódica.La medición de la teoría de la demanda llevada a cabo entre los ciclos empíricos no puedeconsiderarse satisfactoria, dada la elevada dispersión que reflejan las figuras 3.20 y 3.22. Lainadecuación se debería al hecho de que el ciclo empírico es un movimiento heterogéneo,resultado de la superposición de ciclos teóricos de diferentes periodicidades. Ladescomposición periódica trata de avanzar un paso más en la cuantificación, descomponiendoel ciclo empírico en ciclos teóricos inobservables de diferentes periodicidades. De ahí elnombre de modelo de periodicidades ocultas. La fundamentación de esta aproximación está contenida en los dos primeros epígrafes,mientras que en el tercero se ilustra el proceso de cálculo de los coeficientes de Fourier, utilizandouna vez más el mercado del aceite. Aunque este instrumento pueda suponer una novedad parael alumno, el cálculo no es muy complicado aunque sí algo tedioso. Las fórmulas (4.7) y (4.8) yel hecho de que los distintos armónicos son ortogonales, facilitan dicho proceso. Si se disponede los datos de varianzas y covarianzas, como en la tabla 4.3 (p. 154), el resultado de lasfórmulas anteriores en inmediato. Si no, han de obtenerse las series trigonométricas wij . En latabla 4.2 se ofrecen las correspondientes a los dos primeros armónicos. Un detalle que generaalguna confusión, es que no siempre se advierte que W0=0.209439 no son gradossexagesimales, sino radianes. La equivalencia es, 0.209439·360 W0 = =12o 2πque puede ser más cómodo para trabajar con la calculadora. Conocidos los coeficientes de Fourier correspondientes a los diferentes armónicos,la contribución a la varianza de cada uno de ellos se deriva inmediatamente de lasexpresiones 4.11 y 4.13. Representando gráficamente estos valores en ordenadas y susperiodos en abcisas, se tiene el periodograma, instrumento básico en esta aproximación quenos indica la contribución de cada armónico a la explicación de la varianza. En el de la figura 4.6 se observan picos (se entiende por “pico” un valor mayor quelos de los dos adyacentes) coincidentes en las periodicidades de 30 y 2,3 años, lo quesignifica que esos ciclos teóricos son importantes tanto en la serie de precios como en la decantidades (aquí representada por la superficie). En consecuencia mediríamos la ley de lademanda en dichas periodicidades, calculando previamente los ciclos teóricoscorrespondientes y efectuando luego la regresión entre los mismos. Este proceso se ilustra Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 17
  • en 4.5: en la periodicidad de 30 años se obtiene una ley de demanda, como se muestra enla figura 4.8 donde se aprecia la reducción de la dispersión con respecto a la mediciónefectuada entre los ciclos empíricos. Por el contrario, en los 2,3 años la ley es de oferta fig.4.9). No es necesario estudiar el anexo.Erratas advertidas en este capítulo:En la página 153, los primeros valores de las columnas 6, 7, 8 y 9 son positivos, nonegativos.Tema 5 Modelos uniecuacionales en un contexto probabilístico Con la introducción de la probabilidad el objeto de la econometría deja de ser la medición deuna teoría establecida a priori, para pasar al descubrimiento de hipótesis. Este cambio deenfoque, operado entre los años 30 y 40 del siglo pasado, fue criticado por importanteseconomistas, pero acabó imponiéndose y constituye hoy el programa ortodoxo deeconometría en cualquier Universidad. En el primer epígrafe se señalan algunos aspectosespecialmente delicados de este enfoque. Conviene que el alumno repase sus conocimientos de probabilidad e inferencia antesde abordar el estudio del resto del programa. La introducción de la probabilidad en el modelo de regresión simple presentado en eltema 2, se concreta en la adición de un nuevo término inobservable, Vt que es consideradocomo una variable aleatoria. La aleatoriedad se traslada así a Yt y a los valores de a y b. Las Xtse suponen fijas, es decir no aleatorias o estocásticas. Las series históricas se consideran ahora muestras de una población hipotética. Con unamuestra concreta de Y, obtendremos unos valores concretos para a y b. Pero si dispusiésemosde una muestra diferente, los valores de a y b serían también distintos. Como en economíasólo disponemos de una serie (una única realización en la terminología probabilística), suconsideración como una muestra resulta cuestionable. En 5.4 se intenta ilustrar el denominadoproceso de muestreo artificial. Respecto de la perturbación aleatoria, cuya imagen empírica son las discrepancias de laregresión, se formulan determinadas hipótesis, necesarias para garantizar que los estimadoresde los parámetros poblacionales gocen de las propiedades deseables (insesgadez, eficiencia yconsistencia) y para hacer posible el empleo de la inferencia estadística. Las hipótesis másimportantes son, media nula, varianza constante, no autocorrelación y normalidad.. Las tres primerasgarantizan la insesgadez y la eficiencia y la cuarta, aunque no es necesaria para que se cumplanestas propiedades, sí lo es para el empleo de los procedimientos habituales de contraste. Todasellas se exponen con detalle en los epígrafes 5.5 – 5.8. En 5.9 se aborda la estimación de los parámetros por los métodos mínimo cuadrático yde la máxima verosimilitud. La estimación por MCO es idéntica a la que se expuso en el tema 2 ytambién lo es el cálculo del coeficiente de determinación. La de MV, aunque basada en uncriterio diferente, conduce en este caso a la misma solución, de manera que basta con unconocimiento teórico de este método. Una novedad es que proporciona un estimador para la Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 18
  • varianza de las perturbaciones que, aunque máximo verosímil, es sesgado (expresión 5.43). Enlas aplicaciones es habitual utilizar un estimador insesgado que, como veremos, es algo mayoral dividir la suma cuadrática de las discrepancias, no por n sino por n-2, es decir teniendo encuenta el número de grados de libertad perdidos. En todo caso cuanto mayor sea el númerode observaciones, menor será la diferencia entre uno y otro. El epígrafe 5.10 trata de la distribución en el muestreo de los estimadores a y b. Comodijimos, en el enfoque probabilístico, éstos son variables aleatorias. Aceptada por hipótesis lanormalidad de Vt, se sigue que tanto a como b, son v.a. normales. Se demuestra (sección 5.10.2) que los estimadores a y b son insesgados y eficientes, es decirson los que poseen varianza mínima dentro de los estimadores de su clase (lineales einsesgados). La demostración de esta última propiedad termina con la expresión (5.59). Lafórmula (5.60) ofrece la varianza del estimador b, que va a ser necesaria en los ejercicios deinferencia estadística (contraste de hipótesis, construcción de intervalos de confianza,predicción por intervalos). La varianza de a viene dada por, 1 X2  var(a) = σ v2  + 2  n ∑ xt   en tanto que la covarianza entre a y b, responde a la fórmula (5.87). Finalmente (5.70) proporciona una fórmula para el cálculo del estimador insesgado delas perturbaciones aleatorias: σ v2 = ∑ dt2 ˆ n−2 Con todas estas expresiones y teniendo en cuenta la distribución en el muestreo de losestimadores, podemos efectuar los diversos ejercicios de inferencia que se exponen en 5.12. Apesar de que a y b son v.a. normales, no es posible utilizar las tablas de la normal en lacontrastación de hipótesis debido al desconocimiento de la varianza poblacional de lasperturbaciones aleatorias, que aparece en las fórmulas de la varianza de a y b y en cov(a, b). Porello es necesario recurrir a otras distribuciones (t –Student, χ2 y F de Snedecor). Hecha estasalvedad, el procedimiento de contraste es el habitual y se ilustra en el epígrafe (5.12) con elejemplo del mercado del aceite. Por ejemplo, si queremos contrastar la hipótesis de que laelasticidad demanda/precio es significativamente distinta de cero, a) Se postula la denominada hipótesis nula, en este caso H0: β = 0 b) Hemos visto que la expresión (b-β)/s(b) se distribuye según una t con 29 grados de libertad. Luego si la hipótesis nula es cierta (β=0), b/s(b) → t29. c) Se calcula dicha expresión y se compara el valor obtenido con el tabulado para el nivel de significatividad elegido. Éste suele ser el 95% d) Podemos comprobar en tablas que para una t con 29 grados de libertad el valor estará comprendido en el intervalo (-2,045, 2,045), 95 veces de cada 100, luego si la hipótesis nula es cierta, es decir si el parámetro no es estadísticamente distinto de cero, el valor de b/s(b) debe comprendido en dicho intervalo. En otro caso (si b/s(b) es mayor en valor absoluto que 2.045), se rechaza la hipótesis nula, lo que significa que aceptamos la significatividad del parámetro. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 19
  • El mismo procedimiento seguiríamos si la hipótesis a contrastar fuese H0: β = h, con h≠ 0, con la única diferencia de que ahora el numerador de estadístico de contraste será b − h. Finalmente, la ecuación de regresión estimada puede utilizarse para la predicción, quepuede ser por puntos o por intervalos y referirse al predictor o a su media teórica. Se demuestra ˆ ˆque el predictor Y0 es una variable aleatoria normal, con media E (Y0 ) = Y0 y varianza dada porla expresión (5.93), con lo que el cálculo de un intervalo de confianza para la predicción essimilar al descrito para los valores de a o b. En el caso de que lo que interese pronosticar sea, no el predictor sino su media teórica,la varianza responde a la expresión (5.90).Tema 6 Inferencia en la regresión lineal múltipleEste tema simplemente generaliza los resultados del tema anterior al supuesto de que hayamás de una variable explicativa (regresión múltiple). La estimación de los parámetros delmodelo, y del coeficiente de determinación, sigue el mismo procedimiento que se expuso en eltema 2. Las hipótesis sobre la perturbación aleatoria son las mismas que en el tema 5 (6.5), ylas características y propiedades de los estimadores a, b1, ..., bk, son también análogas a lasvistas en el tema 5: es decir son variables aleatorias normales y gozan de las propiedades deinsesgadez (6.23) y eficiencia (6.24). Ahora la expresión (6.24) proporciona una estimación para las varianzas y covarianzasde los estimadores, apareciendo aquéllas en la diagonal principal. En la página 240 una errata: deben suprimirse todas las numeraciones de fórmulas queaparecen a la derecha, de manera que la siguiente fórmula, es decir la (6.25) corresponde a laque aparece al principio de la página 241, que se refiere al estimador insesgado de la varianzade las perturbaciones aleatorias: presenta la única diferencia con respecto al de regresiónsimple, de que en el denominador se corrige por n-k en lugar de n-2. Para contrastar hipótesis sobre el valor de σ 2 puede utilizarse (6.28). Con estas expresiones se pueden realizar contrastes de hipótesis y construir intervalosde confianza como se ilustra en las páginas 242-246. En el epígrafe 6.3 se muestran algunos contrastes de hipótesis adicionales que suelenutilizarse en el trabajo aplicado. Comprendidos los anteriores, no deberían plantear ningúnproblema.Tema 7 Revisión de las hipótesis de trabajo Decía Pareto que desde un punto de vista teórico (la referencia esta tomada deHaavelmo, 1944), es posible demostrar cualquier proposición. Basta con actuar sobre elalcance de los supuestos. Si se acepta que los números de la lotería del Comisariado de Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 20
  • Finanzas de Moscú, son series puramente aleatorias en el tiempo, la tesis de la generaciónde ciclos regulares a partir de la pura aleatoriedad queda establecida de modo necesario. Hasta ahora se ha justificado la racionalidad de aplicar a los movimientoseconómicos, los supuestos de la teoría de las probabilidades. Cuando se aplica ésta aevidencias empíricas, es decir, a series históricas concretas extraídas de los anuarios, seobservan resultados contrarios a lo esperado: las discrepancias de la regresión presentanautocorrelación, varianza no constante, etc. El mantenimiento de la inferencia estocástica como esquema conceptual válido parasu aplicación a la economía, requiere revisar tales incumplimientos. Es decir, el economistadebe saber como actuar si alguna de las hipótesis no es válida. La revisión del incumplimiento de aquellas hipótesis, incluye la detección delmismo, las consecuencias, así como su corrección. En particular se revisan las hipótesis deautocorrelación, homocedasticidad y normalidad. El próximo tema se dedica al problemade la multicolinealidad. El incumplimiento de las hipótesis relativas a las perturbaciones, puede detectarseen términos intuitivos, con sólo observar su trayectoria en la correspondienterepresentación gráfica. La econometría provee además de contrastes paramétricos. En loque sigue se comentan los principales.7.1 Incumplimiento de la hipótesis de no autocorrelación. Asumiendo que el concepto de autocorrelación haya sido debidamente asimilado, semencionan posibles razones del incumplimiento de esta hipótesis: inercia del sistema,métodos empleados para la desestacionalización, sesgos de especificación por omisión devariables o forma funcional inadecuada, por ejemplo. Si se incumple esta hipótesis, los estimadores obtenidos por MCO son insesgadospero ineficientes. No verifican la propiedad de eficiencia (ELIO). Para la detección se analizan las discrepancias de la regresión, pudiéndose realizarun contraste gráfico y paramétrico. El método gráfico consiste en representar lasdiscrepancias y observar si presentan o no, patrones definidos de comportamiento. Elprincipal contraste paramétrico, es el de Durbin-Watson (7.12), que analiza laautocorrelación de primer orden. Si entre los regresores figurasen variables endógenas retardadas, el empleo delcontraste de D-W no sería adecuado, al estar sesgado hacia 2. Se utilizaría el contraste h deDurbin (7.25). Se ofrece una ilustración empírica en las páginas 273-274. Puesto que la autocorrelación implica la aleatoriedad del modelo, caben dosposibilidades. O bien se mantiene el modelo, corrigiendo la no autocorrelación conprocedimientos ad hoc, o bien, se especifica un nuevo modelo. Lo primero puedeconsiderarse la alternativa tradicional, lo segundo lo preconizado por modelizaciones másrecientes. La primera posibilidad se basa en el supuesto de que mediante D-W, se hadetectado con el análisis de las discrepancias un proceso autorregresivo de primer orden. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 21
  • En este apartado, cabe incluir los procedimientos, de Cochrane-Orcutt, Hildreth y Lu, deDurbin, y los métodos de los Mínimos Cuadrados Generalizados., que se ilustran empíricamenteen los epígrafes 7.1.3 y 7.2 y en la Addenda.7.3 Modelos con perturbaciones heterocedásticas. Trata del incumplimiento de la hipótesis de varianza constante u homocedasticidad.En el caso de perturbaciones heterocedásticas, los estimadores obtenidos son insesgadospero no eficientes (no son ELIO). De nuevo se hace necesario transformar el modeloeconométrico para recuperar la propiedad de la eficiencia. Existen diferentes transformaciones posibles para solucionar al menos en parte esteproblema, como se ilustran en el manual (epígrafes 7.3.3 y 7.3.4) y Addenda. Es aplicable elprocedimiento de los MCG, ilustrado en el epígrafe (7.4) y en la Addenda. Para detectar su presencia (epígrafe 7.3.5), puede ser de utilidad representargráficamente las discrepancias y ver su variabilidad, observando si esta crece, decrece opermanece constante. Entre los contrastes paramétricos, uno de los más empleados es eldebido a Goldfeld-Quandt, considera la partición de la muestra en dos subgrupos, sobre losque se analiza si poseen varianzas o no distintas, problema resuelto en la inferenciaestocástica.7.5 Modelos ARCH Se hace referencia a una formulación reciente de heterocedasticidad en datos deseries de tiempo, denominada ARCH (heterocedasticidad condicional autorregresiva), que hacereferencia a una especie de autocorrelación en la varianza de las perturbaciones. Estapropuesta se desarrolló a partir de un trabajo seminal de Engle (1982), recientementelaureado con el premio Nobel junto con Granger. Engle sugería que la heterocedasticidadpuede darse también con datos de series temporales: en este contexto había observado quelos pequeños y los grandes errores tendían a aparecer agrupados, de manera que el pasadoinmediato proporcionaría información útil sobre la varianza del término de error. Aunque el artículo original de Engel ha dado lugar a una gran cantidad de literatura,en un curso introductorio como es el nuestro basta con que el alumno tenga unconocimiento elemental de esta cuestión.7.6 Incumplimiento de la hipótesis de normalidad. La construcción de intervalos y el contraste de hipótesis están basados en elsupuesto de normalidad de las perturbaciones, cuya revisión no es frecuente en lasaplicaciones. Ésta puede llevarse a cabo empleando estadísticos formales como el deJarque-Bera, cuya expresión es (hay erratas en la expresión 7.104), N −K  2 ( K − 3) 2  S +  (7.104) 6  4  Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 22
  • donde K es el coeficiente de curtosis y S el de asimetría . El estadístico anterior se distribuyecomo una Chi cuadrado con dos grados de libertad. La hipótesis nula es que S = 0 y K = 3. La revisión de esta hipótesis puede hacerse también en términos descriptivos,atendiendo a la simetría de la forma de la distribución de las discrepancias de la regresión. Sino es simétrica, no sería aplicable la estimación por intervalos y los contrastes basados en lanormalidad.Tema 8 El problema de la multicolinealidad No afecta a la insesgadez ni a la propiedad ELIO de los estimadores, perodetermina que la varianza de los mismos sea elevada. Ello es debido a que la varianza de losestimadores depende de (X´X)-1 y los elementos de esta matriz toman valores elevadoscuando el determinante |X´X| es próximo a cero, lo que sucede si hay multicolinealidadelevada. Como consecuencia, los intervalos se hacen imprecisos y los estadísticos t nosignificativos. En el supuesto de que exista multicolinealidad, no pueden establecerse porseparado las respectivas causalidades. Es decir, si la teoría trata de determinar que parte delmovimiento (varianza) de la variable endógena es imputable a cada una de las causas, lamulticolinealidad no permite tal conclusión. El problema es grave por cuanto no puedeestablecerse a partir de qué valor cuantitativo de la correlación entre cada dos explicativas,puede ser cualitativamente grave la multicolinealidad. Se entiende por ello que se recurra aotros criterios, aun cuando tales coeficientes sean bajos (Addenda, pp 201-202, 1998). En el contexto de la inferencia probabilística, se interpreta que el problema seríamuestral, dado que la hipótesis afirma que las causas actúan de forma independiente. Elprocedimiento de eliminar alguna de las variables, nos sitúa fuera del problema: con unavariable explicativa menos u otra distinta, se estaría modelizando una hipótesis diferente. Existen ciertos indicios de multicolinealidad cuando obtenemos signos contrarios alos postulados por la teoría, cuando no sean significativas variables que la teoría señalacomo causalmente importantes, o cuando coinciden valores elevados de R2 con estadísticost no significativos. El cambio en éstos no implica necesariamente que se haya corregido. Aunque la multicolinealidad no tiene solución, si pueden recomendarse ciertas medidaspara intentar atenuarla:1. Eliminar alguna de las variables explicativas ya se ha comentado. Si de lo que se trata es de descubrir un modelo, y que sea la evidencia empírica el criterio para llegar a la hipótesis económica, se puede eliminar alguna de las variables, puede que entre las menos significativas, y estimar los parámetros correspondientes al resto.2. Incorporación de información cuantitativa independiente de la muestral, referida a los propios datos o a los parámetros.3. Complementar la información empleando datos temporales y atemporales.4. Establecer la regresión entre las primeras diferencias de las variables.5. Emplear métodos especiales de estimación. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 23
  • Se incluye una ilustración empírica del problema de la multicolinealidad (8.5).Tema 9. Consistencia de los estimadores MCO Las hipótesis anteriores suponían constante el tamaño de la muestra. Ahoranecesitamos conocer en qué medida, los valores de los estimadores se acercan a los valores delos parámetros, cuando crece el tamaño de la muestra. Establecer este resultado requiere unaformalización analítica, con sus correspondientes hipótesis y teoremas. Un estimador se dice que es consistente, si a medida que aumenta el tamaño de lamuestra, la probabilidad de que dicho estimador sea igual al valor del parámetro, tiende a launidad (9.5) Para probar la consistencia de los estimadores MCO es necesario establecer lahipótesis de convergencia. La convergencia establece la existencia de un límite para la sucesiónde medias y varianzas de cada variable exógena, cuando el número de observaciones n tiende ainfinito (9.2 y 9.3) En estas condiciones, se demuestra que los estimadores MCO cumplen la propiedadde consistencia (p. 333). No sólo se establece lo anterior sino la tendencia de la distribución en el muestreo auna distribución de probabilidad conocida, denominada distribución asintótica. Se definen enconsecuencia las características de esta distribución (epígrafe 9.4). Hasta ahora se ha supuesto que las X no eran estocásticas, sino fijas en muestrasrepetidas. Este supuesto es básico para las propiedades de los estimadores. En elapartado 9.5 se trata el problema de los regresores estocásticos. En este caso losestimadores no gozan de las mismas propiedades, dependiendo éstas del tipo de relación quese asuma entre las variables y las perturbaciones. En lo anterior, se suponía mediante el axiomade insesgadez, que eran independientes. El epígrafe 9.6 ofrece una ilustración empírica de estacuestión.Temas 10, 11 y 12No contienen teoría nueva, sino que tratan de mostrar los principales problemas que surgencuando se intentan aplicar los métodos econométricos a la medición de teorías. Constituyenuna buena orientación para la elaboración el trabajo práctico necesario para aprobar laasignatura. El tema 10 se ocupa de los pasos imprescindibles en cualquier aplicacióneconométrica: descripción del objeto, elección de la teoría o hipótesis económica, selección delos datos y tratamiento previo de los mismos, medición propiamente dicha, interpretación delos resultados y redacción de un informe final, donde se presenten las conclusiones del trabajo. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 24
  • Para los alumnos más indecisos a la hora de seleccionar la teoría, se ofrecen dossugerencias: la medición de una ley de demanda (oferta) de algún producto agrario, o lamedición de la teoría del consumo. Los temas 11 y 12 se ocupan de una medición clásica de la teoría del consumoelaborada en su momento por Schultz. Se enmarcaría dentro de la alternativa deldescubrimiento de hipótesis. Puesto que se proporcionan los datos básicos (pág. 390 y diversas tablas a lo largo dela exposición), el alumno está en condiciones de reproducir los resultados. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 25
  • 12. EJEMPLO DE EXÁMENINTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Licenciatura de ADE. Junio de 2003.TEORÍA1.- Objeto de la econometría.2.- Eliminación de la estacionalidad.3.- Consistencia del estimador MCO de β en el modelo Yt = α + βXt + ut.4.- Estimación de modelos con perturbaciones heterocedásticas (extensa).APLICACIÓNCon los siguientes datos correspondientes al mercado del maíz en USA (Aplicaciones deEconometría, pp. 32 y sig.), X Y LX LY TX TY obs T precio produción Log precio Log produc Tasa precio Tasa producción 1867 1.000000 57.00000 768.3200 4.043051 6.644206 20.25316 -11.47836 1868 2.000000 46.80000 906.5270 3.845883 6.809621 -17.89474 17.98821 1869 3.000000 59.80000 874.3200 4.091006 6.773446 27.77778 -3.552790 1870 4.000000 49.40000 1094.255 3.899950 6.997829 -17.39130 25.15498 1871 5.000000 43.40000 991.8980 3.770459 6.899620 -12.14575 -9.354035 1872 6.000000 35.30000 1092.719 3.563883 6.996424 -18.66359 10.16445 1873 7.000000 44.20000 932.2740 3.788725 6.837627 25.21246 -14.68310 1874 8.000000 58.40000 850.1480 4.067316 6.745410 32.12670 -8.809213 1875 9.000000 36.70000 1321.069 3.602777 7.186197 -37.15753 55.39283 1876 10.00000 34.00000 1283.828 3.526361 7.157602 -7.356948 -2.819005 1877 11.00000 34.80000 1342.558 3.549617 7.202332 2.352941 4.574600 1878 12.00000 31.70000 1388.219 3.456317 7.235777 -8.908046 3.401045 1879 13.00000 37.50000 1547.902 3.624341 7.344656 18.29653 11.50272 1880 14.00000 39.60000 1717.435 3.678829 7.448587 5.600000 10.95244 1881 15.00000 63.60000 1194.916 4.152613 7.085831 60.60606 -30.42438 1882 16.00000 48.50000 1617.025 3.881564 7.388343 -23.74214 35.32541 1883 17.00000 42.40000 1551.067 3.747148 7.346698 -12.57732 -4.078972 1884 18.00000 35.70000 1795.528 3.575151 7.493054 -15.80189 15.76083 1885 19.00000 32.80000 1936.176 3.490429 7.568470 -8.123249 7.833239 1886 20.00000 36.60000 1665.441 3.600048 7.417845 11.58537 -13.98297 1887 21.00000 44.40000 1456.161 3.793239 7.283559 21.31148 -12.56604 1888 22.00000 34.10000 1987.790 3.529297 7.594779 -23.19820 36.50894 1889 23.00000 23.80000 2112.892 3.169686 7.655813 -30.20528 6.293522 1890 24.00000 50.60000 1489.970 3.923952 7.306511 112.6050 -29.48196 Tabla 1. Datos originales T X Y LX LY TX TY T 47.91667 -27.59792 2271.324 -0.677697 1.733351 34.69044 -10.69383 X -27.59792 97.70832 -2488.407 2.269648 -1.896475 186.0753 -79.33415 Y 2271.324 -2488.407 142175.2 -59.81959 106.5982 -2985.681 2133.984 LX -0.677697 2.269648 -59.81959 0.053793 -0.044940 4.266049 -1.718599 LY 1.733351 -1.896475 106.5982 -0.044940 0.081451 -2.090813 1.599257 TX 34.69044 186.0753 -2985.681 4.266049 -2.090813 1034.494 -490.4068 TY -10.69383 -79.33415 2133.984 -1.718599 1.599257 -490.4068 401.1391 Medias 12.50000 42.54583 1371.602 3.723818 7.184177 4.356731 4.150932 Tabla 2. Varianzas, covarianzas y mediasse pide, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 26
  • a) medir la ley de la demanda indicando el valor de la elasticidad (debe usarse el cálculo matricial, y b) Construir un intervalo de confianza del 5% (valor crítico = 2) para la predicción en 1891, siendo los valores en dicho año, Y = 2060.15, X = 40.6.SOLUCIÓN A LA APLICACIÓN a) La teoría de la demanda establece en términos estáticos, una relación inversa entrecantidades demandadas y precios. Dicha relación está sujeta a la cláusula ceteris paribus. Lamedición con series históricas ha de tener en cuenta esta circunstancia. Una forma de hacerlo consiste en considerar que junto con la tendencia se eliminan elresto de los factores diferentes del precio, que pudieran influir sobre la demanda. Por ello unaespecificación adecuada sería: Yt = a + bXt + cTdonde Y representa la producción, X el precio y T la tendencia. Para medir directamente laelasticidad, consideramos las dos primeras series en logaritmos. Por tanto: −1  0.053793 −0.677697   −0.04494   47.91667 0.677697  −0.04494 b =    1.733351  = 0.4720748  0.677697 0.053793  1.733351  =  −0.677697 47.91667        22.62025 0.319924  −0.04494   −0.462014  =   =    0.319924 0.025394  1.733351   0.02964  La elasticidad es negativa y la relación inelástica. Ambos resultados son acordes con lahipótesis teórica: el signo de la pendiente ha de ser negativo y, por otra parte, la elasticidad delos productos agrarios suele ser menor que la unidad. El término independiente es: a = Y + 0.462014 X − 0.02964T = 8.534 b) Para construir el intervalo de confianza del predictor, necesitamos conocer primero lavarianza de las perturbaciones, cuyo estimador insesgado es:  2  s yx1   n  s y − ( b1 b2 )   σ = ˆ 2 ∑ dt2 = Y´Y − b´X´Y =   s yx 2    = n−k n−k n−k   −0.04494   24 0.081451 − ( −0.462 0.02964 )     1.733351   = = 0.0106425 24 − 3 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 27
  • Teniendo en cuenta que, ˆ  1  D 2 (Y f ) = σ 2 1 + + x´F (x´x) −1 x F  =  n   1 1  22.62025 0.319924   −0.02   0.0106425 1 + + ( −0.02 12.5 )     = 0.012778  24 24  0.319924 0.025394   12.5   ˆy por tanto D (YF ) = 0.0127 = 0.113 La predicción, en desviaciones a las medias, será, y f = − 0.462· x f 1 + 0.02964· x f 2 = − 0.462·(3.70377 − 3.723818) + 0.02964·(25 − 12.5) = = − 0.462·( − 0.02) + 12.5·0.02964 = 0.37974Luego el intervalo será: y f ± tα / 2 ·σ = 0.37974 ± 2·0.113 ˆEn valores reales, teniendo en cuenta que yF = YF − Y , el intervalo queda, 7.56374 ± 2·0.113 La solución presentada no es la única posible. Pueden utilizarse también los valoresoriginales (no los transformados en logaritmos), o las tasas de variación. En cualquier caso elmodelo empleado debe instrumentar el ceteris paribus. Una forma de hacerlo es incluir latendencia como un regresor más, interpretando que la influencia del resto de los factores (losincluidos en la cláusula ceteris paribus), se elimina junto con la tendencia. En el caso de empleartasas de variación, puesto que éstas ya eliminan directamente la tendencia, la medición puedereducirse a una regresión simple. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 28
  • APÉNDICE 1 Cálculos econométricos con EXCELDadas las dificultades de los alumnos para encontrar paquetes informáticos adecuados para larealización de cálculos econométricos, especialmente las derivadas de su precio, exponemos acontinuación una guía para la realización de los cálculos más elementales con la hoja de cálculoEXCEL que, al venir incluido en el paquete OFFICE, está bastante extendido. No hace faltaseñalar que lo primero que debe hacer el alumno es asimilar bien el proceso manual de cálculo,entre otras cosas porque en la Prueba Presencial tendrá que realizarlo con la única ayuda deuna calculadora no programable. Sólo cuando esté seguro de dominarlo, puede utilizar losprogramas informáticos. Hay que advertir finalmente que no somos expertos en la materia y es seguro que losusuarios avanzados encontraran algo rudimentarios algunos de los procedimientos descritos.No obstante la idea es ayudar a los más necesitados, es decir a aquellos que nunca hanmanejado la hoja de cálculo. Utilizaremos el ejemplo del mercado del aceite como ilustración, el mismo ejemplopor tanto que en el manual de la asignatura. Ello permitirá comparar los resultados en todomomento. El manual de referencia es el texto nuevo, publicado en 2003 en EdicionesAcadémicas. Quienes dispongan del antiguo habrán de remitirse a las páginascorrespondientes. 1. Cálculo de una regresión simpleSupongamos que deseamos calcular la regresión entre la superficie de olivar y el precio(páginas 69 y ss) .Las instrucciones necesarias para calcular la regresión de la tabla 2.4, seríanlas siguientes1: 1. Tras arrancar Excel, introducir los datos en la hoja de cálculo. Llamemos por ejemplo Y a la superficie y X al precio. 2. Seleccionar una tabla de 5 filas y 2 columnas a la derecha de las columnas que contienen los datos. Es en esta tabla es donde aparecerán los resultados de la regresión. 3. Seleccionar la función Estimación lineal que se encuentra dentro del grupo de funciones Estadísticas. Aparece el siguiente cuadro de diálogo: conocido_y conocido_x constante estadística1 Hay otra posibilidad seguramente más adecuada para este propósito, que consiste en utilizar Análisis dedatos (Menú Herramientas), pero requiere tener esta opción previamente instalada. El funcionamiento esanálogo pero las salidas son más completas. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 29
  • Tabla 1 donde han de introducirse los datos. En el cuadro de diálogo conocido_y se introducen los datos correspondientes a la variable endógena, en este caso Y. Para hacerlo hay dos opciones. La más sencilla es introducir el rango donde están comprendidos dichos valores, por ejemplo A2:A32, si esas son las columnas que contienen los datos de la superficie. En el siguiente cuadro, hacemos lo propio con los valores de la variable explicativa, B2:B32. En dos cuadros siguientes se introduce simplemente el número “1”. (Son valores lógicos. El primero indica si queremos término independiente (1) o no (0), y el segundo si queremos obtener los estadísticos habituales de la regresión (1) o no (0)). Efectuadas todas estas operaciones, el cuadro debe presentar el siguiente aspecto, conocido_y A2:A32 conocido_x B2:B32 constante 1 estadística 1 Tabla 24. Pulsamos a la vez las teclas CTRL.+ Mayúsculas ( ⇑ )+ Intro (↵ ). El resultado debe ser algo como lo siguiente: A B C D E 1 Y X 2 2148 21,66 3 2153 22,81 4 2167 25,04 5 2194 31,26 -1,590146443 2209,901339 6 2295,3 28,18 0,194513166 22,07366945 7 2293 33,15 0,6973831 74,3829386 8 2255,4 33,52 66,83073521 29 9 2244,4 34 369762,5323 160451,8251 10 2239,9 35,28 11 2231,1 33 12 2074,9 34,09 13 2145,3 36,13 14 2120,2 41,91 15 2189,2 49,07 16 2054,4 61,12 17 2046,6 76,32 18 2042,3 67,49 19 2013,7 72,51 20 1977,6 85,78 21 1966,8 92,03 22 1961,7 102,95 23 1939,7 114,33Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 30
  • 24 1932,6 134,61 25 1935,5 138,78 26 1917,1 162,52 27 1929,1 159,97 28 1935,1 173,7 29 1915,3 201,45 30 1899,7 194,54 31 1908,5 251,43 32 1927,4 251,83 Tabla 3 Los datos contenidos en la tabla de la derecha (que aparecen en el lugarseleccionado en el paso nº 2) corresponden a los siguientes estadísticos: B a std. error(b) std. error(a) coef. Determinación std regresión F Statistic grados libertad Suma cuadrática regres Suma cuadrática resid Tabla 4que coinciden con los correspondientes en la tabla 2.4 del manual (p. 77). De losestadísticos que habitualmente utilizaremos en este curso, sólo falta el de Durbin y Watson,que puede calcularse fácilmente como veremos más adelante. 2. Cálculo de un regresión múltipleEl procedimiento es idéntico. Reproducimos la regresión de la tabla 2.19 (p. 107), donde sehace depender ahora la superficie del precio y de la renta. Lógicamente hemos de introducirlos datos de la renta en la hoja de cálculo, por ejemplo en la columna C lo que se tendría: A B C D E 1 Y X R 2 2148 21,66 5.533 3 2153 22,81 6.069 4 2167 25,04 6.531 ... ... ... ... ... ... 31 1927,4 251,83 20251 Tabla 5 Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la regresión simple, con dos únicoscambios, a) seleccionar una tabla mayor para dar cabida a un nuevo parámetro, es decir queahora se seleccionaría una tabla de 5 filas y 3 columnas, y b) en el cuadro conocido_x seintroduce la celda superior izquierda e inferior derecha de las columnas correspondientes a lasvariables explicativas (B2:C32). El resultado sería ahora, c b a Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 31
  • -0,02064726 -0,49767946 2377,31591 0,0061329 0,36495733 53,2171072 0,78458281 63,8685283 50,9901695 28 415997,068 114217,29 Tabla 6es decir Yt = 2377,31-0.4977*Xt-0.021*Rt, que coincide con el de la tabla 2.19 (p. 107). 3. Cálculo de una tendencia lineal 3.1. Por regresión con respecto al tiempo Esta tendencia podría calcularse como una simple regresión con respecto al tiempo, siguiendo el mismo procedimiento que en la regresión simple: Introduciríamos previamente los datos de la serie tiempo, T. Por ejemplo supongamos que queremos calcular la tendencia de los precios del aceite entre 1960 y 1989 (30 observaciones). En la columna D introducimos los valores de la serie T, A B C D E 1 Y X R T 2 2148 21,66 5.533 1 3 2153 22,81 6.069 2 4 2167 25,04 6.531 3 ... ... ... ... ... ... 31 1908,5 251,43 19535 31 Tabla 7 Obtenemos los valores de la ecuación de regresión X = a + bT, siguiendo los pasos del apartado 1, b a 6,7631079 -19,8738391 0,51181967 9,08630089 0,8618006 24,2642474 174,605807 28 102799,815 16485,1036 Tabla 8 de manera que la ecuación de regresión es X = -19,87 + 6.76T, que proporciona los valores de la serie de tendencia. Podemos calcularlos de la siguiente manera, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 32
  • En la celda E2 (por ejemplo) introducimos -19,87 + 6.76T pero sustituyendo T por D2que es donde se halla el primer valor de la serie T. Para ello nos situamos en dicha celday insertamos desde el teclado “= -19,87 + 6.76*I2”. Después de pulsar Enter, la hojadevolverá el primer valor de la tendencia, –13.11.Para obtener el resto de los valores sencillamente copiamos el contenido de la celda E2en el portapapeles y a continuación seleccionamos con el ratón el resto de las celdas dela columna E3:E31 y tocamos Pegar. Se debe obtener, A B C D E 1 Y X R T XT 2 2148 21,66 5.533 1 -13.11 3 2153 22,81 6.069 2 -6.35 4 2167 25,04 6.531 3 0.41 ... ... ... ... ... ...... 31 1908,5 251,43 19535 31 182.93 Tabla 9Sin embargo Excel este cálculo puede hacerse directamente con la función Tendencia.Para ello seleccionamos con el ratón las celdas de la columna donde han de aparecer losvalores de la tendencia, y después de tocar en el botón de fórmulas, seleccionamostendencia. Aparece un cuadro de diálogo análogo al de regresión donde únicamentehace falta rellenar conocido_y con el rango de los datos de precios, y constante dondeintroduciremos el valor “1”. Después de pulsar la combinación de teclas CTRL +Mayúsculas ( ⇑ ) + Intro (↵ ), debemos obtener el mismo resultado. Podemos representar gráficamente las series de tendencia y ciclo a través de lossiguientes pasos,a) En la barra de herramientas tocamos el botón de Asistente para gráficos,b) Seleccionamos el tipo y subtipo de gráfico preferido,c) En Rango de datos seleccionamos el rango de valores de la serie de tendencia, lo que podemos hacer introduciendo la primera y la última celda o tocando con el ratón el icono a la derecha del cuadro de diálogo y seleccionado toda la columna de datos.d) Tocamos la pestaña Serie y en el cuadro Serie tocamos Agregar. En el cuadro de diálogo correspondiente a Serie 2 introducimos el rango de valores de la serie original de precios.e) En el cuadro de diálogo de Rótulos del eje de categorías (X), introducimos los valores de T (o los correspondientes a los años 1960 –1989 si los tuviésemos). Pulsamos Siguiente.f) Introducimos los rótulos y damos formato al gráfico (hay muchas posibilidades). Pulsamos siguiente.g) Elegimos si queremos el gráfico en una hoja nueva (recomendable) o como objeto.Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 33
  • El resultado final debe ser algo como lo representado en la figura 13.1, Precios, original y tendencia 300 250 200 150 Precios 100 50 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 -50 Tiempo Figura 13.1. Precios, serie original y tendencia3.2. Por el método de la cuerdaHabría que calcular la tendencia a partir de la fórmula (3.10) de la página 133.Procederíamos de la siguiente manera, a) Nos situamos en la columna donde aparecerá la tendencia, por ejemplo en la columna F. En la primera celda de dicha columna introducimos la fórmula (3.10), que en formato Excel y teniendo en cuenta la situación de la serie original de precios, X y de la serie T, sería,  B$31 − B$2  B$2 +   ( D 2 − 1)  29  El signo “$” sirve para que las referencias a celdas sean fijas. b) Tras pulsar Enter debemos obtener el primer valor de la serie de tendencia que en este caso ha de ser igual al primer valor de la serie original de precios. c) Como hicimos antes, seleccionamos el contenido de la primera celda y pulsamos copiar. A continuación seleccionamos con el ratón el resto de los valores de la columna, y Pegar. La hoja devuelve el resto de los valores de tendencia, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 34
  • A B C D E F 1 Y X R T XT XT2 2 2148 21,66 5.533 1 -13.11 21.66 3 2153 22,81 6.069 2 -6.35 29.58 4 2167 25,04 6.531 3 0.41 37.51 ... ... ... ... ... ...... … 31 1908,5 251,43 19535 31 182.93 251.43 Tabla 10 La figura 2 muestra la serie original de precios y las dos tendencias calculadas, Precios, original y tendencias 300 250 200 150 Precios 100 50 0 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 -50 Años Figura 34. Cálculo de los coeficientes de Fourier Supongamos que tenemos los datos ordenados como en la tabla 11. Ilustramos elcálculo de los dos coeficientes correspondientes al primer armónico (el procedimiento seríaanálogo para el resto), 1. En una casilla arbitraria introducimos (o calculamos) el valor de 2π/T 2. Introducimos la fórmula de cálculo correspondiente a la onda de coseno, que denominamos como en el manual w11. Si tuviésemos los datos ordenados de la forma, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 35
  • A B C D E F G 1 y x R T W0 2 2148 21,66 5.533 1 0,20943951 3 2153 22,81 6.069 2 4 2167 25,04 6.531 3 5 2194 31,26 7.202 4 6 2295,3 28,18 7.527 5 ..... ..... ..... ..... 31 1908,5 251,43 19535 30 Tabla 11introduciríamos en la celda E2 la fórmula para el cálculo de la onda de coseno, cos(G$2*D2), y copiaríamos esta fórmula en el resto de la columna. Haciendo lo propio en lacelda F2 [sen (G$2*D2)] con la onda de seno, obtendríamos: A B C D E F G 1 y x R T W11 W12 W0 2 2148 21,66 5.533 1 0,9781476 0,207911691 0,20943951 3 2153 22,81 6.069 2 0,91354546 0,406736643 4 2167 25,04 6.531 3 0,80901699 0,587785252 5 2194 31,26 7.202 4 0,66913061 0,743144825 6 2295,3 28,18 7.527 5 0,5 0,866025404 ..... ..... ..... ..... ..... ..... 31 1908,5 251,43 19535 30 1 0 Tabla 12Obtenidos los valores de las series trigonométricas correspondientes a las ondas de seno ycoseno de este armónico, los coeficientes de Fourier ap y bp se hallarían mediante lacorrespondiente regresión múltiple. Se obtiene, b1 a1 c 16,70277232 28,74526605 -51,5906667 2,689817368 2,689817368 1,9019881 0,849803934 10,41761787 #N/A 76,38251398 27 #N/A 16579,09385 2930,222577 #N/A Tabla 13que es idéntico al de la tabla 4.4 del manual (pág. 156). El coeficiente de determinación obtenido en esta regresión, 0.85, mediría lacontribución a la varianza del primer armónico, es decir del ciclo teórico de 30 años. Para calcular el ciclo teórico de 30 años, elegimos una columna donde apareceránlos datos (por ejemplo la H en la tabla 13) y en la primera celda de la misma (después delencabezado C30a) sencillamente introducimos la ecuación de regresión de la tabla 13, Y=- Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 36
  • 51.591+28.7453*W11+16.7028*W12 , sustituyendo W11 y W12 por las referenciascorrespondientes (con la disposición datos de la tabla 12, en la primera celda escribiríamos“=-51.591+28.7453*E2+16.7028*F2”). Obtenido el primer valor del ciclo teórico, conCortar y Pegar hallaríamos los demás, A B C D E F G H 1 y x R T W11 W12 W0 C30a 2 2148 21,66 5.533 1 0,9781476 0,207911691 0,20943951 -20.001 3 2153 22,81 6.069 2 0,91354546 0,406736643 -18.537 4 2167 25,04 6.531 3 0,80901699 0,587785252 -18.518 5 2194 31,26 7.202 4 0,66913061 0,743144825 -19.944 6 2295,3 28,18 7.527 5 0,5 0,866025404 -22.753 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...31 1908,5 251,43 19535 30 1 0 -22.846 Tabla 12.bis La representación gráfica del ciclo empírico y el teórico de 30 años, se muestra enla figura siguiente: ARMÓNICO Nº 1 0 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 Figura 2.bis De forma análoga podríamos obtener los coeficientes de Fourier correspondientesal segundo armónico. La única diferencia está en que las series trigonométricascorrespondientes a este armónico, serían ahora cos(2w0T) y sen(2w0T). Con los datosordenados como en la tabla 14, donde xc representa el ciclo empírico de los precios, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 37
  • A B C D E F G H I1 y x xc T W11 W12 W21 W22 W02 2148 21,66 0 1 0,9781476 0,207912 =cos (2*I$2*D2) =seno (2*I$2*D2) 0,209439513 2153 22,81 -6.773 2 0,913545 0,4067374 2167 25,04 -12.466 3 0,809017 0,5877855 2194 31,26 -14.169 4 0,669131 0,7431456 2295,3 28,18 -25.172 5 0,5 0,866025 ..... ..... ... ..... ..... .....31 1908,5 251,43 0 30 1 0 Tabla 14introduciríamos en la celda G2 la fórmula cos (I$2*2D2) y en H2 sen (I$2*2D2),siguiendo después el mismo procedimiento que para el primer armónico (copiar y pegar).Así tenemos, A B C D E F G H I 1 y x xc T W11 W12 W21 W22 W0 2 2148 21,66 0 1 0,9781476 0,207912 0.91354 0.40674 0,20943951 3 2153 22,81 -6.773 2 0,913545 0,406737 0.66913 0.74314 4 2167 25,04 -12.466 3 0,809017 0,587785 0.30902 0.95105 5 2194 31,26 -14.169 4 0,669131 0,743145 -0.10453 0.99425 6 2295,3 28,18 -25.172 5 0,5 0,866025 -0.5 0.86603 ..... ..... ... ..... ..... ..... ... ...31 1908,5 251,43 0 30 1 0 1 0 Tabla 15 Los resultados para el segundo armónico serían, b2 a2 c 7,39457402 4,87707314 -51,5906667 6,72792832 6,72792833 4,75736374 0,06032931 26,0571544 #N/A 0,86673515 27 #N/A 1176,98351 18332,3329 #N/A Tabla 16Como en la tabla 4.5 (pág. 157). Por tanto la contribución a la varianza del segundo armónico es de 0.06, 0.85 parael primero. Estos serían los dos primeros valores del periodograma. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 38
  • 5. AutocorrelaciónEl análisis de la hipótesis de autocorrelación puede comenzar con la representación gráficade los residuos de la regresión. Los valores de los mismos pueden calcularse fácilmente.Lo ilustramos con la regresión entre superficie y precios. ˆ Puesto que la ecuación de regresión es (tabla 3) Y = 2209.9-1.59·X, podemosobtener los valores estimados para la superficie introduciendo aquella fórmula en laprimera celda de la columna donde elijamos que aparezcan. Sustituyendo X por lareferencia correspondiente se tiene el primer valor y luego con Cortar y Pegar, el resto. ˆCalculado Y los residuos se obtienen por diferencia dt = Yt − Yt , ˆ A B C D ˆ ˆ dt = Yt − Yt Y X Y 2148 21,66 =2209,9-1,59*B2 =A2-C2 2153 22,81 2167 25,04 ... … 1927,4 251,83 Tabla 17Debe obtenerse, A B C D ˆ ˆ dt = Yt − Yt Y X Y 2148 21,66 2175,4606 -27,4606 2153 22,81 2173,6321 -20,6321 2167 25,04 2170,0864 -3,0864 ... … ... ... 1927,4 251,83 1809,4903 117,9097 Tabla 18Una vez obtenidos los valores de las discrepancias, podemos representarlas gráficamentesiguiendo el mismo proceso que en el epígrafe dedicado a las tendencias, Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 39
  • 150 100 50 Discrepancias 0 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 -50 -100 -150 Años Figura 3. Discrepancias de la regresiónA simple vista se ve que el trazado no corresponde a una serie puramente aleatoria: seaprecia claramente un ciclo largo, 150 100 Discrepancias 50 0 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 -50 -100 -150 Años Figura 4. Discrepancias de la regresiónlo que constituye evidencia suficiente para cuestionar la hipótesis de no autocorrelación. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 40
  • El contraste paramétrico habitual se basa en el estadístico de Durbin y Watson, queresponde a la expresión, ∑(d − d ) 2 t t −1 DW = ∑d t 2Para calcularlo añadimos al lado de la columna correspondiente a dt , la serie dt-1 y acontinuación calculamos la diferencia dt − dt −1 A B C D E F Y X Yˆ dt dt-1 dt − dt −1 2148 21,66 2175,4606 -27,4606 ... ... 2153 22,81 2173,6321 -20,6321 -27,4606 6,8285 2167 25,04 2170,0864 -3,0864 -20,6321 17,5457 ... … ... ... ... ... 1927,4 251,83 1809,4903 117,9097 98.3737 19,536 Tabla 19 La función SUMA.CUADRADOS (botón fórmulas) calcula directamente las sumas N N ∑ dt2 y ∑(d − dt −1 ) , pero la primera ya está calculada puesto que forma parte 2cuadráticas t t =1 t =2de los resultados de la regresión: en la parte sombreada de la tabla 3, aparece en la celdainferior derecha (160451.8251). Para calcular la segunda, basta con situarse en una celda vacíaseleccionar la función y dar el rango de valores correspondiente en el cuadro de diálogo que seabrirá. De esta manera se obtendría 76933,761, y por tanto: DW = 76933.761/160451.833 = 0.479valor lo suficientemente alejado de 2 como para asegurar la autocorrelación, lo que confirma eldiagnóstico obtenido mediante inspección visual.6. HomocedasticidadEl gráfico de los residuos anterior no parece revelar la presencia de discrepanciasheterocedásticas, aunque tampoco es suficientemente claro. Para llevar a cabo el contraste deGoldfeld-Quandt para la regresión simple de la superficie en función del precio, abrimos unahoja nueva con los datos de estas dos variables únicamente. En este caso como la única variable explicativa son los precios, suponemos que laheterocedasticidad va ligada a los mismos, de manera que ordenamos las series de menor amayor en función de los valores de los precios. Casi lo están ya pues éstos crecenprácticamente todos los años, aunque hay excepciones. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 41
  • Para llevar a cabo la ordenación utilizamos el botón Orden ascendente de la barra deherramientas (si no aparece en la barra, seleccionarlo conHerramientas/Personalizar/Datos/Orden ascendente). Seleccionamos con el ratón las columnas deprecios y superficie empezando por los precios y una vez ambas estén seleccionadas,pulsamos el botón Orden ascendente. A continuación efectuamos las dos regresiones de la formahabitual. Por ejemplo, eliminando los 7 valores centrales, se obtienen para los primeros y losúltimos 12, los siguientes resultados: 3,08965246 2108,66143 4,1467669 128,747205 0,05259399 68,7357188 0,55513679 10 2622,79876 47245,9904 Tabla 20 -0,28690571 1978,00331 0,07566455 13,0463306 0,58979127 13,2512318 14,3778334 10 2524,67772 1755,95144 Tabla 21Por lo tanto el estadístico vale 1755,95/47245,99 = 0.037 que es menor que el valor en tablasde la F8, 8 . Por tanto se no se puede rechazar la hipótesis de homocedasticidad.7. Otras utilidadesLa hoja de cálculo dispone de muchas fórmulas que pueden ser de utilidad. Por ejemplo,calcula directamente el coeficiente de correlacion o la desviación típica y puede asimismoutilizarse el álgebra matricial, por ejemplo para calcular, b = (X´X)-1X´Y Para ello están disponibles las funciones TRASPONER, MMULT o MINV quetrasponen matrices, las multiplican o calculan la matriz inversa. Por ejemplo, supongamos que deseaos obtener b = (X´X)-1X´Y para los cincoprimeros valores de superficie y precio. Creamos una serie c cuyos valores son todos 1, querepresentará al término independiente. A continuación seleccionamos una tabla con 2 filas y 5columnas, y con la función TRASPONER, obtenemos, 1 1 1 1 1 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 42
  • 21,66 22,81 25,04 31,26 28,18que es la traspuesta de X. Para calcular X´X seleccionamos una tabla de 2x2 y con la fórmulaMULT., el programa da, 5 128,95 128,95 3387,7533Con MINVER, se tiene, 10,9048789 -0,4150786 -0,41507867 0,01609456De nuevo con MULT. calculamos X´Y, 10957,3 283163,284y finalmente también con MULT., 1952,99  b=   9, 2466 que son los valores de los correspondientes estimadores. y c x 2148 1 21,66 2153 1 22,81 1 1 1 1 1 XT 2167 1 25,04 21,66 22,81 25,04 31,26 28,18 2194 1 31,26 2295,3 1 28,18 5 128,95 10,9048789 -0,4150786 XTX (XTX)-1 128,95 3387,7533 -0,41507867 0,016094569,24659761 1952,990257,11764474 185,270893 10957,3 1952,99025 XTY b0,36002521 56,1043803 283163,284 9,246597611,68768466 35312,32752 9443,10448 Tabla 22La matriz XT se obtiene con la función TRASPONER, XTX, XTX y b, con MMULT., (XTX)-1con MINVER. Debajo de los valores originales, la salida de ESTIMACIÓN LINEAL. Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 43
  • APÉNDICE 2. TABLAS ESTADÍSTICAS NORMAL z 0,00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 004286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0022 0.0021 0.0020 0.0014 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.6 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 44
  • DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR (5%) g.l Grados de libertad en el numeradordenomi nador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 45
  • DISTRIBUCIÓN CHI – CUADRADO (χ 2)G.L. .995 .99 .975 .95 .90 .75 .50 .25 .10 .05 .025 .01 .005 1 7.88 6.63 5.02 3.84 2.71 1.32 0.455 0.102 .0158 .0039 .0010 .0002 .0000 2 10.6 9.21 7.38 5.99 4.61 2.77 1.39 0.525 0.211 0.103 .0506 .0201 .0100 3 12.8 11.3 9.35 7.81 6.25 4.11 2.37 1.21 0.584 0.352 0.216 0.115 .0720 4 14.9 13.3 11.1 9.49 7.78 5.39 3.36 1.92 1.06 0.711 0.484 0.297 0.207 5 16.7 15.1 12.8 11.1 9.24 6.63 4.35 2.67 1.61 1.15 0.831 0.554 0.412 6 18.5 16.8 14.4 12.6 10.6 7.84 5.35 3.45 2.20 1.64 1.24 0.872 0.676 7 20.3 18.5 16.0 14.1 12.0 9.04 6.35 4.25 2.83 2.17 1.69 1.24 0.989 8 22.0 20.1 17.5 15.5 13.4 10.2 7.34 5.07 3.49 2.73 2.18 1.65 1.34 9 23.6 21.7 19 16.9 14.7 11.4 8.34 5.90 4.17 3.33 2.70 2.09 1.73 10 25.2 23.2 20.5 18.3 16.0 12.5 9.34 6.74 4.87 3.94 3.25 2.56 2.16 11 26.8 24.7 21.9 19.7 17.3 13.7 10.3 7.58 5.58 4.57 3.82 3.05 2.60 12 28.3 26.2 23.3 21.0 18.5 14.8 11.3 8.44 6.30 5.23 4.40 3.57 3.07 13 29.8 27.7 24.7 22.4 19.8 16 12.3 9.30 7.04 5.89 5.01 4.11 3.27 14 31.3 29.1 26.1 23.7 21.1 17.1 13.3 10.2 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07 15 32.8 30.6 27.5 25.0 22.3 18.2 14.3 11.0 8.55 7.26 6.26 5.23 4.60 16 34.3 32 28.8 26.3 23.5 19.4 15.3 11.9 9.31 7.96 6.91 5.81 5.14 17 35.7 33.4 30.2 27.6 24.8 20.5 16.3 12.8 10.1 8.67 7.56 6.41 5.70 18 37.2 34.8 31.5 28.9 26.0 21.6 17.3 13.7 10.9 9.39 8.23 7.01 6.26 19 38.6 36.2 32.9 30.1 27.2 22.7 18.3 14.6 11.7 10.1 8.91 7.63 6.84 20 40 37.6 34.2 31.4 28.4 23.8 19.3 15.5 12.4 10.9 9.59 8.26 7.43 21 41.4 38.9 35.5 32.7 29.6 24.9 20.3 16.3 13.2 11.6 10.3 8.90 8.03 22 42.8 40.3 36.8 33.9 30.8 26.0 21.3 17.2 14.0 12.3 11.0 9.54 8.64 23 44.2 41.6 38.1 35.2 32.0 27.1 22.3 18.1 14.8 13.1 11.7 10.2 9.26 24 45.6 43 39.4 36.4 33.2 28.2 23.3 19.0 15.7 13.8 12.4 10.9 9.89 25 46.9 44.3 40.6 37.7 34.4 29.3 24.3 19.9 16.5 14.6 13.1 11.5 10.5 26 48.3 45.6 41.9 38.9 35.6 30.4 25.3 20.8 17.3 15.4 13.8 12.2 11.2 27 49.6 47.0 43.2 40.1 36.7 31.5 26.3 21.7 18.1 16.2 14.6 12.9 11.8 28 51 48.3 44.5 41.3 37.9 32.6 27.3 22.7 18.9 16.9 15.3 13.6 12.5 29 52.3 49.6 45.7 42.6 39.1 33.7 28.3 23.6 19.8 17.7 16.0 14.3 13.1 30 53.7 50.9 47 43.8 40.3 34.8 29.3 24.5 2036 18.5 16.8 15.0 13.8 40 66.8 63.7 59.3 55.8 51.8 45.6 39.3 33.7 29.1 26.5 24.4 22.2 20.7 50 79.5 76.2 71.4 67.5 63.2 56.3 49.3 42.9 37.7 34.8 32.4 29.7 28.0 60 92 88.4 83.3 79.1 74.4 67.0 59.3 52.3 46.5 43.2 40.5 37.5 35.5 70 104.2 100.4 95.0 90.5 85.5 77.6 69.3 61.7 55.3 51.7 48.8 45.4 43.3 80 116.3 112.3 106.6 101.9 96.6 88.1 79.3 71.1 64.3 60.4 57.2 53.5 51.2 90 128.3 124.1 118.1 113.1 107.6 98.6 89.9 80.6 73.3 69.1 65.6 61.8 59.2 100 140.2 135.8 129.6 124.3 118.5 109.1 99.3 90.1 82.4 77.9 74.2 70.1 67.3 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 46
  • DISTRIBUCIÓN t-StudentG.L. 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767 24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,397 3,745 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 60 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 47
  • ESTADÍSTICO d DE D-W. Nivel de significación: 0.05 k`=1 k`= 2 k`= 3 k`= 4 k`= 5 k`= 6 k`= 7N dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU 10 0.879 1.320 0.697 1.641 0.525 2.016 0.376 2.414 0.243 2.822 -- -- -- -- 11 .927 1.324 0.758 1.604 0.595 1.928 0.444 2.283 0.316 2.645 0.203 3.005 -- -- 12 .971 1.331 0.812 1.579 0.658 1.864 0.512 2.177 0.379 2.506 0.268 2.832 0.171 3.149 13 1.01 1.340 0.861 1.562 0.715 1.816 0.574 2.094 0.445 2.390 0.328 2.692 0.230 2.985 14 1.045 1.350 0.905 1.551 0.767 1.779 0.632 2.030 0.505 2.296 0.389 2.572 0.286 2.848 15 1.077 1.361 0.946 1.543 0.814 1.750 0.685 1.977 0.562 2.220 0.447 2.472 0.343 2.727 16 1.106 1.371 0.982 1.539 0.857 1.728 0.734 1.935 0.615 2.157 0.502 2.388 0.398 2.624 17 1.133 1.381 1.015 1.536 0.897 1.710 0.779 1.900 0.664 2.104 0.554 2.318 0.451 2.537 18 1.158 1.391 1.046 1.535 0.933 1.696 0.820 1.872 0.710 2.060 0.603 2.257 0.502 2.461 19 1.180 1.401 1.074 1.536 0.967 1.685 0.859 1.848 0.752 2.023 0.649 2.206 0.459 2.396 20 1.201 1.411 1.100 1.537 0.998 1.676 0.894 1.828 0.792 1.991 0.692 2.162 0.595 2.339 21 1.221 1.420 1.125 1.538 1.026 1.669 0.927 1.812 0.829 1.964 0.732 2.124 0.637 2.290 22 1.239 1.429 1.147 1.541 1.053 1.664 0.958 1.797 0.863 1.940 0.769 2.090 0.677 2.246 23 1.257 1.437 1.168 1.543 1.078 1.660 0.986 1.785 0.895 1.920 0.804 2.061 0.715 2.208 24 1.273 1.446 1.188 1.546 1.101 1.656 1.013 1.775 0.925 1.902 0.837 2.035 0.751 2.174 25 1.288 1.454 1.206 1.550 1.123 1.654 1.038 1.767 0.953 1.886 0.868 2.012 0.784 2.144 26 1.302 1.461 1.224 1.553 1.143 1.652 1.062 1.759 0.979 1.873 0.897 1.992 0.816 2.117 27 1.316 1.469 1.240 1.556 1.162 1.651 1.084 1.753 1.004 1.861 0.925 1.974 0.845 2.093 28 1.328 1.476 1.255 1.560 1.181 1.650 1.104 1.747 1.028 1.850 0.951 1.958 0.874 2.071 29 1.341 1.483 1.270 1.563 1.198 1.650 1.124 1.743 1.050 1.841 0.975 1.944 0.900 2.052 30 1.352 1.489 1.284 1.567 1.214 1.650 1.143 1.739 1.071 1.833 0.998 1.931 0.926 2.034 35 1.402 1.519 1.343 1.584 1.283 1.653 1.222 1.726 1.160 1.803 1.097 1.884 1.034 1.967 40 1.442 1.544 1.391 1.600 1.338 1.659 1.285 1.721 1.230 1.786 1.175 1.854 1.120 1.924 45 1.475 1.566 1.430 1.615 1.383 1.666 1.336 1.720 1.287 1.776 1.238 1.835 1.189 1.895 50 1.503 1.585 1.462 1.628 1.421 1.674 1.378 1.721 1.335 1.771 1.291 1.822 1.246 1.875 55 1.528 1.601 1.490 1.641 1.452 1.681 1.414 1.724 1.374 1.768 1.334 1.814 1.294 1.861 60 1.549 1.616 1.514 1.652 1.480 1.689 1.444 1.727 1.408 1.767 1.372 1.808 1.335 1.850 65 1.567 1.629 1.536 1.662 1.503 1.696 1.471 1.731 1.438 1.767 1.404 1.805 1.370 1.843 70 1.583 1.641 1.554 1.672 1.525 1.703 1.494 1.735 1.464 1.768 1.433 1.802 1.401 1.837 75 1.598 1.652 1.571 1.680 1.543 1.709 1.515 1.739 1.487 1.770 1.458 1.801 1.428 1.834 80 1.611 1.662 1.586 1.688 1.560 1.715 1.534 1.743 1.507 1.772 1.480 1.801 1.453 1.831 85 1.624 1.671 1.600 1.696 1.575 1.721 1.550 1.747 1.525 1.774 1.500 1.801 1.474 1.829 90 1.635 1.679 1.612 1.703 1.589 1.726 1.566 1.751 1.542 1.776 1.518 1.801 1.494 1.827 95 1.645 1.687 1.623 1.709 1.602 1.732 1.579 1.755 1.557 1.778 1.535 1.802 1.512 1.827100 1.654 1.694 1.634 1.715 1.613 1.736 1.592 1.758 1.571 1.780 1.550 1.803 1.528 1.826 Introducción a la Econometría. Guía Didáctica. Página 48