CIENCIAS BÁSICAS: BIOLOGÍA
BIOESTADÍSTICA
2008
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos
para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y
analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e
incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así
como de realizar inferencias a partir de ellos, con la
finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso
formular predicciones.
• Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de
datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan
la información contenida en ellos.
• Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a
partir de datos muestrales, efectúa estimaciones, decisiones,
predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.
¿Para qué sirve la estadística?
La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables
La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que los explican y
realizando experimentos para validar o rechazar dichas leyes
Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio (estocástico)
La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las ciencias donde la
variabilidad y la incertidumbre forman parte de su naturaleza
“La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de las
Ciencias de la Vida donde la variabilidad no es la excepción sino la regla”
Carrasco de la Peña (1982)
La Estadística es la Ciencia de la
Descriptiva
• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un
fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con
objeto de
Probabilidad
• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,
Inferencia
• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u
obtener conclusiones.
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Elementos. Población. Caracteres
- Individuos o elementos: personas u objetos que contienen cierta información que
se desea estudiar.
- Población: conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades
comunes.
- Muestra: subconjunto representativo de una población.
- Parámetro: función definida sobre los valores numéricos de características
medibles de una población.
- Estadístico: función definida sobre los valores numéricos de una muestra.
En relación al tamaño de la población, ésta puede ser:
- Finita, como es el caso del número de personas que llegan al servicio de urgencia
de un hospital en un día;
- Infinita, si por ejemplo estudiamos el mecanismo aleatorio que describe la
secuencia de caras y cruces obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda
al aire.
Caracteres: propiedades, rasgos o cualidades de los elementos de la población. Estos
caracteres pueden dividirse en cualitativos y cuantitativos.
Modalidades: diferentes situaciones posibles de un carácter. Las modalidades deben ser
a la vez exhaustivas y mutuamente excluyentes
—cada elemento posee una y sólo una de las modalidades posibles.
Clases: conjunto de una o más modalidades en el que se verifica que cada modalidad
pertenece a una y sólo una de las clases.
PASOS EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO
Plantear hipótesis sobre una población
Los fumadores tienen “más bajas” laborales que los no fumadores
¿En qué sentido? ¿Mayor número? ¿Tiempo medio?
Decidir qué datos recoger (diseño de experimentos)
Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras)
Fumadores y no fumadores en edad laboral.
Criterios de exclusión ¿Cómo se eligen? ¿Descartamos los que
padecen enfermedades crónicas?
Qué datos recoger de los mismos (variables)
Número de bajas
Tiempo de duración de cada baja
¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores?
Recoger los datos (muestreo)
¿Estratificado? ¿Sistemáticamente?

Describir (resumir) los datos obtenidos
tiempo medio de baja en fumadores y no (estadísticos)
% de bajas por fumadores y sexo (frecuencias), gráficos,...
Realizar una inferencia sobre la población
Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media que
los no fumadores.
Cuantificar la confianza en la inferencia
Nivel de confianza del 95%
Significación del contraste: p=2%
Plantear Diseñar
Hipótesis experimento
MÉTODO CIENTÍFICO Y
ESTADÍSTICA
Obtener Recoger
conclusiones datos y
analizarlos
POBLACIÓN Y MUESTRA
Población (‘population’) es el conjunto sobre el que
estamos interesados en obtener conclusiones (hacer
inferencia).
Normalmente es demasiado grande para poder
abarcarlo.
Muestra (‘sample’) es un subconjunto suyo al que
tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos
las observaciones (mediciones)
Debería ser “representativo”
Esta formado por miembros “seleccionados” de la población
(individuos, unidades experimentales).

VARIABLES
Cuando hablemos de variable haremos referencia a un símbolo
(X, Y, A, B,. . .) que puede tomar cualquier modalidad (valor) de
un conjunto determinado, que llamaremos dominio de la variable
o rango. Por lo tanto…
Una variable es una característica observable que varía entre los diferentes individuos de
una población. La información que disponemos de cada individuo es resumida en
variables.
En los individuos de la población española, de uno a otro es variable:
El grupo sanguíneo
{A, B, AB, O} Var. Cualitativa
Su nivel de felicidad “declarado”
{Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz} Var. Ordinal
El número de hijos
{0, 1, 2,3,...} Var. Numérica discreta
La altura
{1’62 ; 1’74; ...} Var. Numérica continua
- Variables cualitativas, cuando las modalidades posibles son de tipo nominal. Por
ejemplo, el grupo sanguíneo tiene por modalidades: Grupos Sanguíneos posibles:
A, B, AB, O.
- Variables cuasicuantitativas u ordinales son las que, aunque sus modalidades
son de tipo nominal, es posible establecer un orden entre ellas. Por ejemplo, si
estudiamos el grado de recuperación de un paciente al aplicarle un tratamiento,
podemos tener como modalidades: Grado de recuperación: Nada, Poco,
Moderado, Bueno, Muy Bueno. A veces se representan este tipo de variables en
escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de 1 a 5. Debemos
evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas con estas cantidades. ¡Un
dolor de intensidad 4 no duele el dobleque otro de intensidad 2!
- Variables cuantitativas o numéricas son las que tienen por modalidades
cantidades numéricas con las que podemos hacer operaciones aritméticas. Dentro
de este tipo de variables podemos distinguir dos grupos:
• Discretas, cuando no admiten siempre una modalidad intermedia entre
dos cualesquiera de sus modalidades. Un ejemplo es el número de hijos
en una población de familias: Número de hijos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . .
.
• Continuas, cuando admiten una modalidad intermedia entre dos
cualesquiera de sus modalidades, v.g. el peso X de un niño al nacer.
En síntesis…
Variable cualitativa: Aquella cuyas modalidades son de tipo nominal.
Variable cuasicuantitativa: Modalidades de tipo nominal, en las que existe un orden.
Variable cuantitativa discreta: Sus modalidades son valores enteros.
Variable cuantitativa continua: Sus modalidades son valores reales.

Cualitativas
Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden
hacer operaciones algebraicas con ellos)
Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar
Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)
Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar
Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor
Cuantitativas o Numéricas
Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)
Discretas: Si toma valores enteros
Número de hijos, Número de cigarrillos, Num. de “cumpleaños”
Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios.
Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad
Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con
facilidad en un ordenador.
Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué
significan los códigos numéricos.
Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)

1 = Hombre
2 = Mujer
Raza (Cualit: Códigos arbitrarios)
1 = Blanca
2 = Negra,...
Felicidad Ordinal: Respetar un orden al codificar.
1 = Muy feliz
2 = Bastante feliz
3 = No demasiado feliz
Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como
0 = No sabe
99 = No contesta...
Estas situaciones deberán ser tenidas en cuentas en el análisis. Datos perdidos
(‘missing data’)
Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo
de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo
estadístico.
No todo está permitido con cualquier tipo de variable.
Los posibles valores de una variable suelen denominarse modalidades.
Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos)
Edades:
Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años
Hijos:
Menos de 3 hijos, De 3 a 5, 6 o más hijos
Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y excluyente
Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable
Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?
Bien: ¿Cuál es su grupo sanguíneo?
Excluyente: Nadie puede presentar dos valores
simultáneos de la variable
Estudio sobre el ocio

Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)
Bien: Le gusta el deporte: (Sí, No)
Bien: Le gusta el cine: (Sí, No)
Mal: Cuántos hijos tiene: (Ninguno, Menos de 5, Más de 2)
PRESENTACIÓN ORDENADA DE DATOS 7
6
Género Frec. 5
4
Hombre 4 3
2
Mujer 6 1
0
Hombre Mujer
Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos
maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen
ordenadamente la información recogida en una muestra.
Consideremos una población estadística de n individuos, descrita según un carácter o
variable C cuyas modalidades han sido agrupadas en un número k de clases, que
denotamos mediante c1, c2,. . ., ck. Para cada una de las clases ci, i = 1,. . ., k,
introducimos las siguientes magnitudes:
- Frecuencia absoluta de la clase ci es el número ni, de observaciones que
presentan una modalidad perteneciente a esa clase.
- Frecuencia relativa de la clase ci es el cociente fi, entre las frecuencias absolutas
de dicha clase y el número total de observaciones, es decir
Obsérvese que fi es el tanto por uno de observaciones que están
en la clase ci. Multiplicado por 100% representa el porcentaje de
la población que comprende esa clase.
Frecuencia absoluta acumulada Ni, se calcula sobre variables cuantitativas o
cuasicuantitativas, y es el número de elementos de la población cuya modalidad es
inferior o equivalente a la modalidad ci:
Frecuencia relativa acumulada, Fi, se calcula sobre variables cuantitativas o
cuasicuantitativas, siendo el tanto por uno de los elementos de la población que están en
alguna de las clases y que presentan una modalidad inferior o igual a la ci, es decir,
…sirve para presentar de forma ordenada las distribuciones de frecuencias. Su forma
general es la siguiente:

Ejemplo de cálculo con frecuencias
Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:
Solución:
Sabemos que la última frecuencia acumulada es igual al total de observaciones,
luego n = 200. Como N3 = 170 y n3 = 30, entonces N2 = N3 − n3 = 170 − 30 = 140.
Además al ser n1 = 60, tenemos que n2 = N2 − n1 = 140 − 60 = 80.
Por otro lado podemos calcular n4 teniendo en cuenta que conocemos la frecuencia
relativa correspondiente:
Así: N4 = n4 + N3 = 20 + 170 = 190.
Este último cálculo nos permite obtener n5 = N5 − N4 = 200 − 190 = 10.
Al haber calculado todas las frecuencias absolutas, es inmediato obtener las relativas:
Escribimos entonces la tabla completa:

En síntesis: Tablas de frecuencia.
Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de
información (o poca).
Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad
Frecuencias relativas (porcentajes): Ídem, pero dividido por el total
Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas
Muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante)
¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8
¿Entre 4 y 6 hijos? Soluc 1ª: 8,4%+3,6%+1,6%= 13,6%. Soluc 2ª: 97,3% - 83,8% =
13,5%
Sexo del encuestado
Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido
Válidos Hombre 636 41,9 41,9
Mujer 881 58,1 58,1
Total 1517 100,0 100,0
Nivel de felicidad
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válidos Muy feliz 467 30,8 31,1 31,1
Bastante feliz 872 57,5 58,0 89,0
No demasiado feliz 165 10,9 11,0 100,0
Total 1504 99,1 100,0
Perdidos No contesta 13 ,9
Total 1517 100,0
Número de hijos
Porcentaje Porcentaje
Frecuencia Porcentaje válido acumulado
Válidos 0 419 27,6 27,8 27,8
1 255 16,8 16,9 44,7
2 375 24,7 24,9 69,5
3 215 14,2 14,2 83,8
4 127 8,4 8,4 92,2
5 54 3,6 3,6 95,8
6 24 1,6 1,6 97,3
7 23 1,5 1,5 98,9
Ocho o más 17 1,1 1,1 100,0
Total 1509 99,5 100,0
Perdidos No contesta 8 ,5
Total 1517 100,0

EJEMPLO
¿Cuántos individuos tienen menos de 2 hijos?
frec. indiv. sin hijos
+
frec. indiv. con 1 hijo
= 419 + 255
= 674 individuos
¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos?
97,3%
¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad
inferior o igual?
2 hijos
Número de hijos
Porcent. Porcent.
Frec. (válido) acum.
0 419 27,8 27,8
1 255 16,9 44,7
2 375 24,9 69,5 ≥50%
3 215 14,2 83,8
4 127 8,4 92,2
5 54 3,6 95,8
6 24 1,6 97,3
7 23 1,5 98,9
Ocho+ 17 1,1 100,0
Total 1509 100,0
GRÁFICOS PARA V. CUALITATIVAS
Diagramas de barras
Alturas proporcionales a las frecuencias
(abs. o rel.)
Se pueden aplicar también a variables
discretas
Diagramas de sectores (tartas, polares)
No usarlo con variables ordinales.
El área de cada sector es proporcional a su
frecuencia (abs. o rel.)
Pictogramas
Fáciles de entender.
El área de cada modalidad debe ser
proporcional a la frecuencia. ¿De los dos, cuál
es incorrecto?.

GRÁFICOS DIFERENCIALES PARA VARIABLES NUMÉRICAS
Son diferentes en función de que las variables sean discretas o continuas. Valen
con frec. absolutas o relativas.
Diagramas barras para v. discretas
Se deja un hueco entre barras para indicar los valores que no son
posibles
Histogramas para v. continuas
El área que hay bajo el histograma entre dos puntos cualesquiera
indica la cantidad (porcentaje o frecuencia) de individuos en el
intervalo.
419
250
400 375
200
300
Recuento
255
Recuento
150
215
200
100
127
100
54 50
24 23 17
0 1 2 3 4 5 6 7 Ocho o más
20 40 60 80
Número de hijos
Edad del encuestado
DIAGRAMAS INTEGRALES
Cada uno de los anteriores diagramas tiene su correspondiente diagrama integral. Se
realizan a partir de las frecuencias acumuladas. Indican, para cada valor de la variable, la
cantidad (frecuencia) de individuos que poseen un valor inferior o igual al mismo. No los
construiremos en clase. Se pasan de los diferenciales a los integrales por integración y a la
inversa por derivación.

ANEXO REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Figura 1.2: Diagramas
de barras para
comparar una variable
cualitativa en diferentes
poblaciones. Se ha de
tener en cuenta que la
altura de cada barra es
proporcional al número
de observaciones
(frecuencias relativas).
Diagramas de sectores (también llamados tartas). Se divide un círculo en tantas porciones
como clases existan, de modo que a cada clase le corresponde un arco de círculo
proporcional a su frecuencia absoluta o relativa (figura 1.3).
El arco de cada porción se calcula usando
la regla de tres:
Como en la situación anterior, puede
interesar comparar dos poblaciones.
En este caso también es aconsejable el uso
de las frecuencias relativas (porcentajes) de
ambas sobre gráficos como los anteriores.
Otra posibilidad es comparar las 2
poblaciones usando para cada una de ellas
un diagrama semicircular, al igual que en la
figura 1.4. Sean n1 _ n2 los tamaños
respectivos de las 2 poblaciones. La
población más pequeña se representa con
un semicírculo de radio r1 y la mayor con
otro de radio r2.
La relación existente entre los radios, es la que se obtiene de suponer que la relación
entre las áreas de las circunferencias es igual a la de los tamaños de las poblaciones
respectivas, es decir:

Figura 1.4: Diagrama de sectores para
comparar dos poblaciones
Pictogramas. Expresan con dibujos alusivo al tema de
estudio las frecuencias de las modalidades de la variable.
Estos gráficos se hacen representado a diferentes escalas
un mismo dibujo, como vemos en la figura 1.5.
El escalamiento de los dibujos debe ser tal que el área 1
de cada uno de ellos sea proporcional a la frecuencia de
la modalidad que representa.
Este tipo de gráficos suele usarse en los medios de comunicación, para que sean
comprendidos por el público no especializado, sin que sea necesaria una explicación
compleja.
1Es un error hacer la representación con una escala tal que el perímetro del dibujo sea proporcional a la
frecuencia, ya que a frecuencia doble, correspondería un dibujo de área cuádruple, lo que da un efecto visual
engañoso.
Figura 1.9: Diagramas diferenciales e integrales para una variable continua.

Ejemplo
La siguiente distribución se refiere a la duración en horas (completas) de un lote de 500
tubos:
- Representar el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias.
- Trazar la curva de frecuencias relativas acumuladas.
- Determinar el número mínimo de tubos que tienen una duración inferior a 900
horas.
Solución:
En primer lugar observamos que la variable en estudio es discreta (horas completas),
pero al tener un rango tan amplio de valores resulta más conveniente agruparla en
intervalos, como si de una variable continua se tratase. La consecuencia es una ligera
perdida de precisión.
El último intervalo está abierto por el límite superior. Dado que en él hay 25
observaciones puede ser conveniente cerrarlo con una amplitud “razonable”. Todos los
intervalos excepto el tercero tienen una amplitud de 200 horas, luego podríamos cerrar el
último intervalo en 1.300 horas2.
Antes de realizar el histograma conviene hacer una observación importante.
El histograma representa las frecuencias de los intervalos mediante áreas y no
mediante alturas. Sin embargo nos es mucho más fácil hacer representaciones gráficas
teniendo en cuenta estas últimas. Si todos los intervalos tienen la misma amplitud no es
necesario diferenciar entre los…
2Cualquier otra elección para el límite superior del intervalo que sea de “sentido común” seria válida.
… conceptos de área y altura, pero en este caso el tercer intervalo tiene una amplitud
doble a los demás, y por tanto hay que repartir su área en un rectángulo de base doble (lo
que reduce su altura a la mitad).
Así seria conveniente añadir a la habitual tabla de frecuencias una columna que
represente a las amplitudes ai de cada intervalo, y otra de frecuencias relativas
rectificadas, f0 i, para representar la altura del histograma. Los gráficos requeridos se
representan en las figuras 1.10 y 1.11.

Figura 1.10: Histograma. Obsérvese que la altura del histograma en cada intervalo es f0 i
que coincide en todos con fi salvo en el intervalo 700 — 1.100 en el que fi0 = 1/2 fi ya que
la amplitud de ese intervalo es doble a la de los demás.
Por otro lado, mirando la figura 1.10 se ve que sumando frecuencias relativas, hasta las
900 horas de duración hay 0,10 + 0,30 + 0,275 = 0,675 = 67,5% de los tubos.
Esta cantidad se obtiene de modo más directo viendo a qué altura corresponde al valor
900 en el diagrama de frecuencias acumuladas (figura 1.11).
Como en total son 500 tubos, el número de tubos con una duración igual o menor que 900
horas es 0,675 × 500= 337,5. Redondeando, 338 tubos.

Cuadro 1.1: Principales diagramas según el tipo de variable.
Problemas
Ejercicio 1.1. Clasificar las siguientes variables:
1. Preferencias políticas (izquierda, derecha o centro).
2. Marcas de cerveza.
3. Velocidad en Km/h.
4. El peso en Kg.
5. Signo del zodiaco.
6. Nivel educativo (primario secundario, superior).
7. Años de estudios completados.
8. Tipo de enseñanza (privada o pública).
9. Número de empleados de una empresa.
10. La temperatura de un enfermo en grados Celsius.
11. La clase social (baja, media o alta).
12. La presión de un neumático en Nw/cm2
Ejercicio 1.2. Clasifique las variables que aparecen en el siguiente cuestionario.
1. ¿Cuál es su edad?
2. Estado civil:
a) Soltero c) Separado e) Viudo
b) Casado d) Divorciado
3. ¿Cuanto tiempo emplea para desplazarse a su trabajo?
4. Tamaño de su municipio de residencia:
a) Municipio pequeño (menos de 2.000 habitantes)
b) Municipio mediano (de 2.000 a 10.000 hab.)
c) Municipio grande (de 10.000 a 50.000 hab.)

d) Ciudad pequeña (de 50.000 a 100.000 hab.)
e) Ciudad grande (más de 100.000 hab.)
5. ¿Está afiliado a la seguridad social?
Ejercicio 1.3.
En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados a libras) de
niños nacidos en cierto intervalo de tiempo:
4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6, 9, 7, 4, 7,
6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5.
1. Construir una distribución de frecuencia de estos pesos.
2. Encontrar las frecuencias relativas.
3. Encontrar las frecuencias acumuladas.
4. Encontrar las frecuencias relativas acumuladas.
5. Dibujar un histograma con los datos del apartado a.
6. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una
grafica de barras?
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
Ciencias básicas: Biología
Bioestadística 2008
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MATERIAL Nº 1 DE BIOESTADÍSTICA
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