Presentacion Splines

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Presentacion Splines

  1. 1. Splines: Generaciones de Curvas y Superficies<br />Por: José moreno<br />
  2. 2. Todo este desarrollo comenzó en 1950 por ingenieros que necesitaban la representación matemática precisa de superficies de forma libre como las usadas en carrocerías de automóviles, superfices de exteriores aeroespaciales y cascos de barcos, que pudieran ser reproducidos exacta y técnicamente en cualquier momento. <br />INTRODUCCION<br />
  3. 3. Los pioneros en estas investigaciones fueron Pierre Bézier quien trabajaba como ingeniero en Renault, y Paul de Casteljau quien trabajaba en Citroën, ambos en Francia. <br />Bézier y Casteljau trabajaron casi en paralelo, aunque ninguno de los dos conoció el trabajo que el otro desarrollaba. <br />INTRODUCCION<br />
  4. 4. Dado que el trabajo de Bezier fue publicado primero y por esta razón tradicionalmente se le ha asociado a las splines - que son representadas con puntos de control describiendo a la curva misma - como Bézier splines, mientras que el nombre de Casteljau solo es conocido por los algoritmos que desarrollo para la evaluación de superficies paramétricas.<br />INTRODUCCION<br />
  5. 5. Es una curva definida en porciones mediante polinomios.<br />Se utilizan para aproximar formas complicadas.<br />La mayoría son utilizadas en graficas de 3D.<br />Pero se pueden dibujar en 2D, en cuatro o más dimensiones. <br />SPLINES<br />
  6. 6. Se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos, partiendo del conocimiento de que existe un conjunto discreto de puntos. <br />La interpolación es el arte de aproximar valores intermedios desde un conjunto de una data incompleta.<br />INTERPOLACION<br />
  7. 7. Un ejemplo sencillo; supongamos que queremos encontrar el punto medio de dos puntos en el plano cartesiano, A (4,-2,10) y B (12, 14,6) sabemos que en algebra (x1 + x2)/2 = al punto medio, o sea el punto medio de A y B es (8, 6,8).<br />Esto puede representarse como <br />INTERPOLACION<br />
  8. 8. El factor 1/2 fue aplicado a los dos componentes A y B, vamos a encontrar el punto 1/4 para la línea desde A a B donde hay mas A que B. La combinación seria:<br />Esto es fácil de justificar porque la diferencia de A y B es el vector de A a B<br />INTERPOLACION<br />
  9. 9. <ul><li>Entonces una cuarta parte de la diferencia es (2,4,-1), así que el punto requerido es
  10. 10. Por lo tanto utilizaremos los puntos A y B para la posición de los vectores de los puntos A y B y los puntos entre ellos.
  11. 11. Consideremos como caso general lo siguiente: supongamos que queremos encontrar un punto P en algún lugar entre A y B</li></ul>INTERPOLACION<br />
  12. 12. INTERPOLACION<br /><ul><li>Donde P(u) es el punto fraccional de (u) entre A y B cuando (u) es un numero entre 0 y 1.
  13. 13. Cuando (u) cambia de 0 a 1, el punto P(u) se mueve a un ritmo constante de A hacia B.
  14. 14. Esto indica que (u) utiliza un tiempo (t).
  15. 15. Esta forma de interpolación la llamamos interpolación lineal. El punto P(u) se va a mover en línea recta, pero el movimiento es uniforme según el cambio en (u).</li></li></ul><li>INTERPOLACION<br />La formula para P(u) se puede escribir:<br />Donde, <br /> Las funciones lineales no contienen radicales o potencias mayores en (u). <br /> Estas son conocidas como funciones de mezclas, de la sumatoria de A y B obtenemos los resultados P(u), independientemente del valor de (u).<br />
  16. 16. También ; Si las masas de están en el lugar de A y B respectivamente entonces la posición de P(u) es el centro de la masa.<br />P(0) P(0.2) P(0.4) P(0.6) P(0.8) P(1) <br />A Q(0.2 ) Q(0.4) Q(0.6) Q(0.8) Q(1) B<br /> considere donde<br />También esta entre A y B, no es lineal, se utiliza cuando (u) es muy pequeño y para funciones que envuelven radicales.<br />
  17. 17. Este proceso se puede extender para crear curvas suaves, estas curvas son controladas por unos puntos de control en secuencias. <br />Nosotros nos vamos a concentrar en las curvas cubicas de Bézier, que son general -mente las más utilizadas. <br />Las funciones de mezclas envuelven términos cúbicos y esta definida en términos de cuatro puntos de control: P0, P1,P2 y P3 <br />BEZIER SPLINES “ DIBUJO DE CURVAS”<br />
  18. 18. BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />Puntos de control:(P)<br />Primera interpolación:(P’)<br />P1’ (u) P2<br />P1P2’(u)<br />P0’(u) P3<br />P0<br />
  19. 19. BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />Puntos, segunda interpolación: (P’’)<br />Puntos, tercera interpolación:(P’’’)<br /> P1’’(u)<br /> P0’’’(u)<br /> P0’’(u)<br />
  20. 20. <ul><li>Curva Lineal
  21. 21. Interpolación Segmentaria Lineal: P(x) = ax + b
  22. 22. Por ejemplo cuando t=0.25, B(t) es un cuarto de la dirección de P0 a P1. Y t varia de 0 a 1, B(t) describe la línea de la curva P0 a P1.</li></ul>BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />
  23. 23. Curva cuadrática<br />Interpolación Segmentaria Cuadrática: P(x) = ax² + bx + c<br />Para la curva cuadrática de Bézier se puede construir un punto intermedio Q0 y Q1 de tal modo que t varié de 0 a 1:<br />BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />
  24. 24. <ul><li>El punto Q0 varía desde P0 hasta P1 y describe la curva linear de Bézier.
  25. 25. El punto Q1 varía desde P1 hasta P2 y describe la curva linear de Bézier.
  26. 26. El punto B(t) varía desde Q0 hasta Q1 y describe la curva cuadrática de Bézier.</li></ul>BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />
  27. 27. <ul><li>Curva cubica
  28. 28. Para una curva cubica podemos construir puntos intermedios Q0, Q1 & Q2 que describan la curva lineal de Bézier , y los puntos R0 & R1 que describen la curva cuadrática:</li></ul>BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />
  29. 29. <ul><li>Curvas de cuarto orden
  30. 30. Para las curvas de cuarto orden podemos construir una donde, Q0, Q1, Q2 & Q3 describen la curva linear, los puntos R0, R1 & R2 describen la curva cuadrática, y los puntos S0 & S1 describen la curva cubica.</li></ul>BEZIER SPLINES “DIBUJOS DE CURVAS”<br />
  31. 31. Para crear animaciones convincentes necesitamos crear continuidad en el tiempo.<br />Un objeto animado para que simule un movimiento natural, es importante que la velocidad no tenga saltos, sino que las curvas tengan continuidad.<br />Consideremos dos curvas, con u representando el tiempo; la velocidad del punto en la primera curva es y la velocidad en la segunda es donde<br />Control de animación mediante curvas Bézier cúbicos<br />
  32. 32. Donde, es el segmento desde<br /> a y es el segmento desde<br /> a .<br /> Para obtener continuidad y velocidad constante, el punto de transferencia de una curva a la próxima, y tienen que coincidir y los segmentos de las líneas y tienen que tener la misma medida y la misma dirección, la segunda curva <br />Control de animación mediante curvas Bézier cúbicos<br />
  33. 33. comienza en los parámetros;<br />donde, para la primera curva.<br /> es el cambio de 0 – 1 para la curva (P)<br /> es el cambio de 0 – 1 para la curva (Q)<br />Para obtener el tiempo de un objeto que pasa por un punto a un tiempo definido.<br />Por definición:<br />Control de animación mediante curvas Bézier cúbicos<br />
  34. 34. Control de animación mediante curvas Bézier cúbicos<br />Para la velocidad en que el objeto llega a <br /> Esta velocidad tiene que ser igual para P y Q<br />Por definición:<br />Las medidas también tienen que ser iguales.<br />Por definición:<br />
  35. 35.
  36. 36. Excelente herramienta para generar y controlar curvas en el espacio.<br />Nos permite crear un sistema interactivo para los cambios de posición de los puntos de control y poder ver los efectos de las curvas.<br />Para esto se utilizan las tangentes de la curva, las tangentes definen la dirección de la curva y la medida de esta.<br />INTERPOLACION “SPLINE” PARA GENERAR CURVAS<br />
  37. 37. Para determinar exactamente los puntos de control cuando la curva pasa atreves de ellos, utilizamos la formula de tangente que esta dada: , los valores constantes positivos para i = 1 y para n – 1.<br />INTERPOLACION “SPLINE” PARA GENERAR CURVAS<br />
  38. 38. INTERPOLACION “SPLINE” PARA GENERAR CURVAS<br />
  39. 39.
  40. 40.
  41. 41. B - SPLINES<br />El término B-spline se refiere con frecuencia a una curva spline paramétrica por funciones spline que se expresan como combinaciones lineales de B-splines . <br />Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede ser evaluada de una manera estable sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline.<br />
  42. 42. Es el caso más general de Bézier. <br />Las curvas de Bézier son un tipo de B-Splines.<br />Ventaja sobre Bézier: los puntos de control no se alejan tanto de la forma que queremos modelar, por lo que podemos asemejarnos más al modelo sin necesidad de utilizar muchos puntos de control. <br />B-SPLINES<br />
  43. 43. Dado m valores reales ti, llamados nudos,<br /> con <br />Una B-spline de grado n es una curva paramétrica<br />Compuesta por una combinación lineal de B-splines básicasbi,n de grado n<br />B - SPLINES<br />
  44. 44. B-SPLINES<br />
  45. 45. Los Nurbs son muy populares en las graficas de computadoras y en los sistemas CAD.<br />Son más complicados de evaluar y de entender que los Bézier y B-Splines, pero te proveen una representación exacta de los círculos, figuras cónicas, elipses, parábolas e hipérbolas.<br />Una curva NURBS se define mediante cuatro elementos: grados, puntos de control, nodos y regla de cálculo.<br />NURBS = Non Uniform Rational B-Splines<br />
  46. 46. Un grado es un número entero positivo.<br />Este número normalmente es 1, 2, 3 o 5 pero puede ser cualquier número entero positivo. Las líneas y polilíneas NURBS son grado 1, los círculos son grado 2 y la mayoría de las formas libres son grado 3 o 5.<br />Los puntos de control son una lista de puntos de grado+1 como mínimo.Una de las maneras más sencillas de cambiar la forma de una curva NURBS es mover los puntos de control<br />NURBS = Non Uniform Rational B-Splines<br />
  47. 47. Los nodos son una lista de números de grado+N-1, donde N es el número de puntos de control. A veces esta lista de números se denomina vector nodal.<br /> En este contexto, la palabra vector no significa una dirección 3D.<br /> NURBS pueden representar con precisión objetos geométricos estándar tales como líneas, círculos, elipses y esferas, así como formas geométricas libres como carrocerías de coches y cuerpos humanos<br />NURBS = Non Uniform Rational B-Splines<br />
  48. 48. Los B-Splines y las curvas de Bézier son casos particulares de NURBS.<br />No son simples polinomios, sino cocientes de polinomios.<br />NURBS = Non Uniform Rational B-Splines<br />
  49. 49.
  50. 50. Una superficie de producto tensorial es la superficie obtenida al mover cada uno de los puntos de control de una curva del tipo<br /> P(t)=i bi Ni(t) a lo largo de otra curva de expresión similar. <br />La superficie viene controlada por una malla rectangular.<br />Las superficies de Bézier de producto tensorial que se llaman parches de Bezier ó Bezier “patches”.<br />SUPERFICIES<br />
  51. 51. Los puntos {bij / i=0…m, j=0…n} son los puntos de control de la superficie, y forman la malla de control<br />Ejemplo: puntos de control<br /> malla de control<br />SUPERFICIES “Parches de Bezier”<br />
  52. 52.
  53. 53.
  54. 54. El circulo y otras figuras conicas<br />Los nurbs tienen la habilidad de darnos exactamente la representación de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.<br />Los arcos y los círculos son creados con dos poderosos nurbs y tres puntos de control.<br />Se emplean siete nodos que al multiplicarlos por tres al final de los nodos, se mantiene el balance en el punto final y las tangentes de control. La secuencia de balance de nodos es {0,0,0,0.5,1,1,1} <br />
  55. 55. Con los puntos de control P0, P1, P2 organizados, entonces P0P1 = P1 P2 = a y <br />b = P0P2 /2, el arco menor entre P0 y P2, donde<br />P0P1 y P2P1 son tangentes que se encuentran dentro del casco convexo de P0, P1, P2 esta dada por la potencia 2 (cuadrática) Nurbs con un peso de w0 = 1 para P0 y w1 = b/a para P1 y w2 = 1 para P2. P1,b/a<br /> a<br /> P0, 1 P2, 1<br /> b<br />El circulo y otras figuras conicas<br />
  56. 56. Para construir una circunferencia, los puntos de control son ,…, = . El grado k=2. Se necesitan los nodos [ ,x1,…, ]=[ ,…, ]. Entonces, <br /> = = =0, = = =1<br />La curva se dibuja en 3 tiempos igualesasí que habrá nodos interiores 1/3, 2/3.La curva pasa por y en esostiempos. Por el algoritmo de De Boor, sonnodos que aparecen 2 veces cada uno, esdecir, <br /> = =1/3, = =2/3.<br />
  57. 57. El circulo y otras figuras cónicas<br />
  58. 58. El circulo y otras figuras cónicas<br />Hélice cónica Esfera<br />

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