Varietats Lineals Colors

1,222 views
1,043 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,222
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
36
Actions
Shares
0
Downloads
77
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Varietats Lineals Colors

  1. 1. Varietats lineals a l’espai Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner I Definicions I.1 Recta Donats un punt P ∈ » 3 i un vector no nul z u ∈ V3 s’anomena recta que conté el Q punt P (o que passa pel punt P ) i té la direcció del vector u (o vector u P r director u ) el conjunt: y { r = Q ∈ »3 PQ = α · u } Equival a dir que PQ i u són linealment x { dependents (és a dir rang PQ , u = 1 ). } Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1. Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director de la recta. I.2 Pla Donats un punt P ∈ » 3 i dos vectors no z nuls u i v de V3 linealment indepen- Q dents, s’anomena pla que conté el punt v P (o que passa pel punt P ) i té la u direcció dels vectors u i v (o vectors P Π y directors u i v ) el conjunt: { Π = Q ∈ »3 PQ = α · u + β · v } x Equival a dir que PQ , u i v són linealment dependents (és a dir { } rang PQ , u , v = 2 ). Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2. Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació lineal de u i v també són vectors directors del pla.
  2. 2. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 2 II Equacions d’una varietat lineal II.1 Equacions d’un pla Sigui Π el pla que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vectors directors u = (u1 , u 2 , u 3 ) i v = (v1 , v 2 , v3 ) . Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u + β v α ∈» , β ∈» En forma analítica: ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) + β · ( v1 , v2 , v3 ) α ∈» , β ∈»  x = p1 + α u1 + β v1  Equacions paramètriques:  y = p2 + α u2 + β v2  z = p +α u + β v  3 3 3 x − p1 u1 v1 ( ) Equació general ( o implícita o cartesiana): y − p2 u2 v2 = 0 * z − p3 u3 v3 Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma: Ax + By + Cz + D = 0 El vector n = ( A , B , C ) té la mateixa direcció que el producte vectorial dels n = ( A, B , C) vectors directors: n = k · u ∧ v . ( ) Per tant, és ortogonal als vectors directors; v s’anomena vector normal associat al pla u o vector característic del pla. Π Pas d’una equació a una altra ( ) De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat * anterior. De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.
  3. 3. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 3  2  x = 4 + 3 α − 2β 12 + 2 y − 6 z  Exemple: 3 x − 2 y + 6 z − 12 = 0 ⇔ x = ⇔ y = α 3 z =β   És un pla que passa per P = (4, 0, 0) i té vectors directors: u = ( 2 / 3, 1, 0) ) , v = (− 2, 0, 1) II.2 Equacions d’una recta Sigui r la recta que passa per P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i té vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) Equació vectorial: ( x , y , z) = P + α u α ∈» En forma analítica: ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α · ( u1 , u2 , u3 ) α ∈»  x = p1 + α u1  Equacions paramètriques:  y = p2 + α u2  z = p +α u  3 3 x − p1 y − p2 z − p3 Equacions contínues: = = (sempre que els denominadors no u1 u2 u3 siguin nuls).  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Equacions implícites:  (suposant que el sistema sigui  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions. Observació: El vector u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) és vector director de la recta. Pas d’una equació a una altra De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema. x−3 y x−3 y  2 = −3  −3( x − 3) = 2 y −3 x − 2 y + 9 = 0 Exemple: = = z+4 ⇒ ⇔ ⇔  2 −3  y = z+4  y = −3( z + 4)  y + 3 z + 12 = 0  −3  D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.
  4. 4. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 4  x = y + z −1  x − y − z +1 = 0  x − y − z +1 = 0 y =α  Exemple:  ⇔ ⇔ ⇔ − x − 5 y − z + 27 = 0 −6 y − 2 z + 28 = 0  z = −28 + 6 y   −2  x = 13 − 2α  x − 13 z − 14 ⇔ y =α En forma contínua: =y=  z = 14 − 3α −2 −3  III Paral·lelisme i incidència de varietats lineals Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1). El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s Es diu que dos plans Π i Π ' són paral·lels si els vectors directors d’un són combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de l’altre. Es representa: Π Π ' Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues varietats. Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla. IV Rectes i plans especials IV.1 Plans Paral·lel al pla YZ Paral·lel al pla XZ Paral·lel al pla XY Equació: x = k Equació: y=k Equació: z=k Vector normal: Vector normal: Vector normal: n = (1, 0, 0) n = (0, 1, 0) n = (0, 0, 1) z z z k k O y y y O k O k x x x
  5. 5. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 5 Paral·lel a l’eix OX Paral·lel a l’eix OY Paral·lel a l’eix OZ Equació: By + Cz + D = 0 Equació: Ax + Cz + D = 0 Equació: Ax + By + D = 0 Vector normal: Vector normal: Vector normal: n = (0, B, C ) n = ( A, 0, C ) n = ( A, B, 0) z z z y O y y O O x x x IV.2 Rectes Paral·lela a l’eix OZ Paral·lela a l’eix OY Paral·lela a l’eix OX x = a x = a y = b Equacions:  Equacions:  Equacions:  y = b z = c z = c Vector director: Vector director: Vector director: u = (0, 0, 1) u = (0, 1, 0) u = (1, 0, 0) z z z c c O b y y b y a O O a x x x
  6. 6. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 6 V Posició relativa de varietats lineals V.1 Dos plans Sigui Π 1 el pla que passa per P i té vectors directors u1 i v1 , i Π 2 el pla que passa per Q i té vectors directors u 2 i v 2 . Suposem que les equacions generals respectives són: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues  A B1 C1   A B1 C1 D1  equacions: M = 1 A B C   i M'= 1 A B C D    2 2 2  2 2 2 2 Plans coincidents { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i rang u1 , v1 , PQ = 2{ } ( és a dir: det u1 , v1 , PQ = 0 ) rang M = rang M ' = 1 (Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric) P u1 u2 v1 Q v2 Π1 = Π 2 Plans paral·lels diferents P u1 { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 2 i v1 rang {u , v , PQ }= 3 1 1 Π1 és a dir: det ( u , v , PQ ) ≠ 0 1 1 u2 Q rang M = 1 , rang M ' = 2 v2 (Sist. incompatible) Π2 Π1 Π 2 i Π1 ≠ Π 2
  7. 7. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 7 Plans secants u1 { } rang u1 , v1 , u 2 , v 2 = 3 Π2 v1 P rang M = rang M ' = 2 u2 Q v2 (Sist. comp. indet. uniperamètric: es tallen en una Π1 recta) Π1 ∩ Π 2 ≠ ∅ V.2 Recta i pla Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel punt Q i té vectors directors v i w .  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Suposem que r: 1 i Π : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1      equacions: M =  A2 B2 C 2  i M ' =  A2 B2 C 2 D2  A B C  A B C D   3 3 3   3 3 3 3  Recta continguda en el pla P { } { rang u , v , w = rang PQ , v , w }= 2 Q u Π v r és a dir: det ( u , v , w ) = det ( PQ , v , w ) = 0 w rang M = rang M ' = 2 (Sist. comp. indet. uniparamètric) r⊂Π Recta exterior i paral·lela al pla { } rang u , v , w = 2 i P u r rang {PQ , v , w } = 3 és a dir: det ( u , v , w ) = 0 i v Π Q w det ( PQ , v , w ) ≠ 0 rang M = 2 i rang M ' = 3 (Sist. incompatible) r Π i r ∩Π = ∅
  8. 8. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 8 Recta i pla secants u { } rang u , v , w = 3 P ( ) és a dir: det u , v , w ≠ 0 v rang M = rang M ' = 3 w Π r (Sist. comp. det.: es tallen en un punt) r ∩Π ≠ ∅ V.3 Dues rectes Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per Q i té vector director v .  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0  A x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 Suposem que r :  1 i s: 3  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0  A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1       A2 B2 C 2   A2 B2 C 2 D2  equacions: M = i M '=  A3 B3 C 3  A B3 C 3 D3     3  A B C  A B C D   4 4 4  4 4 4 4 Rectes coincidents r=s { } rang u , v , PQ = 1 P Q v u rang M = rang M ' = 2 (Sist. comp. indet. uniparamètric) r Rectes paral·leles diferents u P v { } rang u , v = 1 s rang {u , PQ } = 2 Q rang M = 2, rang M ' = 3 (Sist. incompatible) r s i r∩s=∅
  9. 9. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 9 Rectes secants v { } { rang u , v = 2 i rang u , v , PQ = 2 } r Q rang M = rang M ' = 3 u P (Sist. comp. det.: es tallen en un punt) s Els vectors directors de les rectes són vectors directors del pla que les conté. r s i r∩s ≠∅ Rectes que es creuen v Q { rang u , v , PQ = 3 } r ( és a dir: det u , v , PQ ≠ 0 ) u P rang M = 3, rang M ' = 4 s (Sist. incompatible) r s i r∩s =∅ V.4 Tres plans Considerem el plans: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Π 3 : A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres  A1 B1 C1   A1 B1 C1 D1      equacions: M =  A2 B2 C 2  M ' =  A2 B2 C 2 D2  A B C  A B C D   3 3 3  3 3 3 3 i les matrius:  A1 B1 C1 D1   A1 B1 C1 D1   A2 B2 C2 D2  N1 =  A B  N2 =   N3 =    2 2 C2 D2   A  3 B3 C3 D3   A  3 B3 C3 D3    A1 B1 C1   A1 B1 C1   A2 B2 C2  H1 =  A  H2 =   H3 =    2 B2 C2   A  3 B3 C3   A  3 B3 C3   Plans coincidents rang M = rang M ' =1 Π1 = Π 2 = Π 3 (Sist. comp. indet. biparamètric)
  10. 10. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 10 Dos plans coincidents i un altre Π3 paral·lel i diferent rang M = 1 i rang M ' = 2 Π1 = Π 2 rang N1 = 1 (Sist. incompatible) Tres plans paral·lels i diferents Π1 Π2 rang M = 1 i rang M ' = 2 Π3 rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2 (Sist. incompatible) Dos plans coincidents i l’altre Π3 secant rang M = rang M ' = 2 Π1 = Π 2 rang N1 = 1 (Sistema comp. indet. uniparamètric: es tallen en una recta) Tres plans secants amb una recta en comú Π1 rang M = rang M ' = 2 Π2 rang N1 = rang N 2 = rang N3 = 2 Π3 (Sist. comp. indet. uniparamètric) Dos plans paral·lels diferents Π3 i l’altre secant a tots dos Π1 rang M = 2 i rang M ' = 3 Π2 rang H1 = 1 (Sist. incompatible)
  11. 11. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 11 Plans secants per parelles sense punts en comú Π3 rang M = 2 i rang M ' = 3 rang H1 = rang H 2 = rang H 3 = 2 Π1 Π2 (Sist. incompatible: es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles) Plans secants amb un únic punt en comú Π3 rang M = rang M ' = 3 Π2 (Sist. compat. Determinat) Π1 VI Exemples de discussió de posició relativa de rectes i plans de l'espai 1. Posició relativa dels plans Π1 : 2 x + 3 y + 4 z − 5 = 0 i Π 2 : 4 x + ay + 8 z + b = 0 segons els valors de a i b .  2 3 4  2 3 4 − 5 Siguin M =  4 a 8 i M '=  4 a 8 b       a) Òbviament, si a ≠ 6 serà rang M = rang M ' = 2 i el sistema format per les dues equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i es tallaran en una recta. b) Si a = 6 i b ≠ −10 serà rang M = 1 i rang M ' = 2 i el sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents. c) Si a = 6 i b = −10 serà rang M = rang M ' = 1 i el sistema serà compatible indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.  x + 2 y + az = 4 2. Posició relativa del pla Π : ( a + 1) x + y + z = 3 i la recta r :  segons  x + ay + 2 z = 2a els valors de a . a +1 1 1 a +1 1 1 3      Siguin M =  1 2 a i M '=  1 2 a 4  1 a 2  1 a 2 2a     
  12. 12. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 12 M = − a 3 − a 2 + 6a = −a(a + 3)(a − 2) s'anul·la per a a = 0 , a = 2 , a = −3 a) Si a ≠ 0 , a ≠ 2 , a ≠ −3 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran en un punt. 1 1 1  1 1 1 3     b) Si a = 0 serà M = 1 2 0  , M ' = 1 2 0 4  i rang M = 2 , rang M ' = 3 (es pot 1 0 2  1 0 2 0     comprovar esglaonant les matrius o per menors). El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla. 3 1 1 3 1 1 3     c) Si a = 2 serà M =  1 2 2  , M ' =  1 2 2 4  . En aquest cas les equacions 1 2 2  1 2 2 4     implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents). − 2 1 1  − 2 1 1 3      d) Si a = −3 serà M =  1 2 − 3 , M ' =  1 2 −3 4   1 −3 2   1 − 3 2 − 6     i rang M = 2 , rang M ' = 3 El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.  x − 2z = 1  x + y + z =1 3. Posició relativa de les rectes r :  i s: segons els valors y−z=2  x − 2 y + 2z = a de a .  1 0 − 2 1 0 − 2 1     0 1 −1 0 1 −1 2 Siguin M = i M '=  1 1 1  1 1 1 1     1 − 2 2  1 − 2 2 a     M ' = 4a + 16 s'anul·la si a = −4 . a) Si a ≠ −4 serà rang M = 3 i rang M ' = 4 i el sistema format per les quatre equacions serà incompatible: les dues rectes es creuaran.  1 0 − 2 1 0 − 2 1      0 1 −1 0 1 −1 2  b) Si a = − 4 serà M =  , M '=  i rang M = rang M ' = 3 1 1 1  1 1 1 1      1 − 2 2  1 − 2 2 − 4     El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran en un punt.
  13. 13. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 13 4. Posició relativa dels tres plans: Π1 : x + ky + z = k + 2 , Π 2 : x + y + kz = −2(k + 1) i Π 3 : kx + y + z = k segons els valors de k . 1 k 1 1 k 1 k+2      Siguin M =  1 1 k  i M ' =  1 1 k − 2(k + 1)  k 1 1 k 1 1 k      M = k 3 − 3k + 2 . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a k = 1 i k = −2 a) Si k ≠ 1 i k ≠ −2 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú. 1 1 1 1 1 1 3      b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 − 4  i rang M = 1, rang M ' = 2 . El 1 1 1 1 1 1 1      sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.  1 −2 1   1 −2 1 0      c) Si k = −2 serà M =  1 1 − 2 , M '=  1 1 −2 2  − 2 1 1  − 2 1 1 − 2     i rang M = rang M ' = 2 . El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i es tallen en una recta. 5. Posició relativa segons els valors de k dels plans Π1 : kx + y + z − 4 = 0 , Π2 : x + y + z + 1 = 0 i Π 3 : x − ky + z − 1 = 0 .  k 1 1  k 1 1 − 4     Siguin M =  1 1 1 i M ' =  1 1 1 1   1 − k 1  1 − k 1 −1     M = k 2 −1 s'anul·la per a k = 1 i k = −1 a) Si k ≠ 1 i k ≠ −1 serà rang M = rang M ' = 3 i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú. 1 1 1 1 1 1 − 4      b) Si k = 1 serà M = 1 1 1 , M ' = 1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El 1 − 1 1 1 − 1 1 − 1      sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
  14. 14. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 14 1 1 1 1 1 1 − 4  rang  1 1 1 = 1 i rang  1 1 1 1  = 2 , els plans Π 1 i Π 2 seran paral·lels      diferents i Π 3 els tallarà.  − 1 1 1  −1 1 1 − 4     c) Si k = −1 serà M =  1 1 1 , M ' =  1 1 1 1  i rang M = 2 , rang M ' = 3 . El  1 1 1  1 1 1 −1     sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 = 1 i rang   1 1 1 − 1 = 2 , els plans Π 2 i Π 3 seran paral·lels rang       diferents i Π 1 els tallarà. Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes). Cas particular (mètode alternatiu) Per a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:  x = p1 + α u1  r :  y = p 2 + α u 2 i un pla donat en forma general: Ax + By + Cz + D = 0 es pot z = p +α u  3 3 resoldre l’equació: A( p1 + α u1 ) + B( p2 + α u2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0 i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El punt ( x , y , z ) obtingut així és la intersecció de la recta i el pla. VII Feix de plans  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Donada la recta r:  1  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (equacions implícites), s’anomena feix de plans determinat per r (o pels plans que la defineixen) el conjunt de tots els plans que contenen r . La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D 1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 r Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.
  15. 15. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 15 VIII Perpendicularitat de varietats lineals VIII.1 Rectes perpendiculars Es diu que les rectes r :( x , y , z ) = P + α u i r⊥s s s :( x , y , z ) = Q + β v són perpendiculars si els seus vectors directors són ortogonals: u · v = 0 v u Poden ser secants o creuar-se. r Es denota: r⊥s VIII.2 Recta i pla perpendiculars r⊥Π Es diu que la recta r : ( x , y , z ) = P + α u i el pla Π : Ax + By + Cz + D = 0 són perpendiculars si el u vector director de la recta és vector normal al pla. Π Es denota: r⊥ Π r Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les rectes contingudes en el pla. VIII.3 Plans perpendiculars Es diu que els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 1 ⊥Π 2 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 són perpendiculars si els vectors normals respectius són ortogonals: Π1 n1· n 2 = 0 ( A2 , B2 , C2 ) Es denota: Π1 ⊥ Π 2 ( A1 , B1 , C1 ) Π2
  16. 16. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 16 IX Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat Considerem les rectes r , de vector director u = (u1 , u 2 , u 3 ) i s , de vector director v = (v1 , v 2 , v3 ) i els plans Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 i Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Paral·lels Perpendiculars u i v lin. dep., és a dir: u ⊥v és a dir: r i s u =kv u ·v = 0 u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0 u ⊥ ( A1 , B1 , C1 ) és a dir: u i ( A1 , B1 , C1 ) lin. dep.: r i Π1 Au1 + B u2 + C u3 = 0 u = k · ( A1 , B1 , C1 ) ( A1 , B1 , C1 ) i ( A2 , B2 , C2 ) ( A1 , B1 , C1 ) ⊥ ( A2 , B2 , C2 ) , Π1 i Π 2 lin. dep., és a dir: és a dir: ( A1 , B1 , C1 ) = k · ( A2 , B2 , C2 ) A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 X Projeccions ortogonals S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció P ' del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1) S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció P ' de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2) S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s , intersecció del pla amb el pla Π ' perpendicular a Π que conté r (Fig. 3) P r P Π' s P' P’ Π Π Π r r Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
  17. 17. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 17 XI Angles entre varietats lineals XI.1 Angle entre dues rectes Donades les rectes r i s de vectors directors respectius u i v , s’anomena u v angle entre r i s el nombre α que α compleix: r v v s u ·v π cos α = , 0≤α ≤ u · v 2 Les rectes poden ser secants o creuar-se. r s ⇔ α =0 π r⊥s ⇔α = 2 XI.2 Angle entre una recta i un pla Donada la recta r , de vector director u i el n pla Π , de vector normal n , s’anomena angle u entre r i Π el nombre α que compleix: α u ·n π sin α = , 0≤α ≤ Π u · n 2 r r Π ⇔ α =0 π r ⊥Π ⇔α = 2 XI.3 Angle entre dos plans Donats els plans Π 1 i Π 2 de vectors Π2 normals respectius n1 i n2 , s’anomena n1 angle entre Π 1 i Π 2 el nombre α que compleix: n2 α Π1 n1 · n2 π cos α = , 0≤α ≤ n1 · n 2 2
  18. 18. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 18 Π1 Π 2 ⇔ α = 0 π Π1 ⊥ Π 2 ⇔ α = 2 XII Distàncies entre varietats lineals XII.1 Distància entre dos punts La distància entre els punts P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) és el nombre: Q 2 2 2 d ( P , Q ) = PQ = ( q1 − p1 ) + ( q2 − p2 ) + ( q3 − p3 ) d(P, Q) P En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra. XII.2 Distància d’un punt a un pla La distància del punt P = ( p1 , p 2 , p3 ) al pla P Π : Ax + By + Cz + D = 0 és la que hi ha entre el punt P i la seva projecció ortogonal P ' sobre el pla. d (P , Π ) A p1 + B p2 + C p3 + D P' d( P, Π ) = A2 + B 2 + C 2 Π P ∈Π ⇔ d( P, Π ) = 0 XII.3 Distància d’un punt a una recta La distància del punt P a la recta r : ( x , y , z ) = Q + α u és la que hi ha entre P el punt P i la seva projecció ortogonal P ' sobre la recta. r d (P, r) PQ ∧ u Q u d (P, r) = u P’ P∈r ⇔ d( P, r ) = 0
  19. 19. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 19 XII.4 Distància entre dos plans La distància entre els plans paral· lels P Π Π : Ax + By + Cz + D = 0 i Π ': Ax + By + Cz + D ' = 0 d ( Π , Π ') Π' és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π P' i Π' D − D' d( Π, Π ' ) = A + B2 + C 2 2 Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos coeficients A , B i C XII.5 Distància entre dues rectes Si les rectes r i s són secants, la distància entre r P elles és d (r , s ) = 0 . Π Si les rectes són d(r , s) paral·leles, la distància entre elles és la que hi ha entre un s Q P' Π' punt qualsevol d’una i l’altra. Si r i s es creuen, la distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla Π ' que conté s i és paral·lel a r . Si r : ( x , y , z ) = P + α u i s : ( x , y , z ) = Q + β v i no són paral·leles (vectors directors linealment independents) la distància és: d( r , s ) = det ( PQ , u , v ) u ∧v En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues. XII.6 Distància d’una recta a un pla Si la recta i el pla són secants o la recta r P està continguda en el pla, la distància és 0. Si la recta és paral· lela al pla, la distància serà la que hi ha entre un punt P’ qualsevol de la recta i el pla. Π
  20. 20. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 20 XIII Alguns exemples de determinació de rectes i plans XIII.1 Nocions prèvies A) Intersecció de dues rectes ♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les quatre equacions. ♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen x, y i z i es calculen els paràmetres resolent el sistema:  x = p1 + α u1  x = q1 + β v1  p1 + α u1 = q1 + β v1    r :  y = p2 + α u 2 s :  y = q 2 + β v2  p2 + α u 2 = q2 + β v2 z = p +α u z = q + β v p +α u = q + β v  3 3  3 3  3 3 3 3 B) Intersecció d'una recta i un pla ♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format per les tres equacions. ♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se substitueixen les expressions de x, y i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i es calcula el paràmetre:  x = p1 + α u1  r :  y = p2 + α u 2 z = p +α u A( p1 + α u1 ) + B ( p2 + α u 2 ) + C ( p3 + α u3 ) + D = 0  3 3 Π : Ax + By + Cz + D = 0 C) Intersecció de dos plans Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta intersecció (sempre que no siguin paral·lels). D) Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita  A x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Sigui r :  1 Un vector director pot ser:  A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 u = ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 )
  21. 21. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 21 També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per tant, un vector director.  5 − 3y + z  2x + 3 y − z = 5 x= 2   2x + 3y − z = 5 Exemple: r :  2 x + 3 y − z = 5  −3 + 5 z  −3 + 5 z ⇔ ⇔ y= ⇔y= ⇔ x − 4 y + 2z = 4  − 11 y + 5 z = 3  11  11  z =α   z =α    32 2  x = 11 − 11 α   3 5  2 5  ⇔ y = − + α Vector director: u =  − , , 1 o bé: v = (−2, 5, 11)  11 11  11 11  z =α    3 −1 −1 2 2 3  Noteu que (2, 3, − 1) ∧ (1, − 4, 2) =  , ,  = (2, − 5, − 11) n’és també  −4 2 2 1 1 −4  vector director XIII.2 Determinació de rectes 1 Recta r que passa per dos punts P i Q r El vector PQ és vector director de la recta. Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i Q = (q1 , q 2 , q3 ) , l'equació vectorial de la Q recta r és: P ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + α (q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 ) x − p1 y − p2 z − p3 i la contínua: = = (sempre que els denominadors no siguin q1 − p1 q2 − p2 q3 − p3 nuls.) 2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r Si u és vector director de la recta r , l'equació r vectorial de la recta és: ( x , y , z) = P + α u . u Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i r està donada en forma Q implícita: s  Ax + By + Cz + D = 0 P u r: A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
  22. 22. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 22 les equacions de la recta seran:  A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 s:  A '( x − p1 ) + B '( y − p2 ) + C '( z − p3 ) = 0 També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector: v = ( A , B , C ) ∧ ( A ', B ', C ') 3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i Π : Ax + By + Cz + D = 0 , u = ( A, B , C) el vector u = ( A , B , C ) (normal al pla) és vector director de la recta r i la seva equació vectorial és: P (x , y , z) = P + α ( A , B , C) Π x − p1 y − p2 z − p3 r i la contínua: = = A B C (sempre que els denominadors no siguin nuls) 4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i Π ' ♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de rectes possibles; només cal prendre com a vector director qualsevol vector ortogonal al vector normal a Π (o a Π ' ). ♦ Si les equacions dels plans són: Π : Ax + By + Cz + D = 0 P Π ': A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 i no són paral·lels, aquestes representen una r recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela Π' a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2. Π
  23. 23. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 23 5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t ♦ Si s i t són paral·leles, hi ha una infinitat de solu- cions possibles; només cal prendre com a vector direc- v u =v ∧w tor de r qualsevol vector t Q ortogonal al vector director de s (o de t ). w s Q' P ♦ Si s i t no són paral·leles i tenen vectors directors res- r pectius v i w , el vector u =v ∧w és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà: (x , y , z) = P + α u 6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t ♦ Si s i t són paral·leles hi ha una infinitat de rectes possi- t bles. ♦ Si s passa pel punt P i té u =v ∧w vector director v ; i t passa pel punt Q i té vector direc- tor w (i s i t no són paral- leles), es calcula el vector w s u = v ∧ w (ortogonal a tots dos). v La recta r serà la intersecció del pla Π que passa per P i té vectors P r directors v i u i el pla Π ' que passa per Q i té vectors directors w i u .
  24. 24. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 24 7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t És la intersecció del pla Π que conté P i la recta s amb el pla Π ' que conté P i la recta t . s Π' Vegeu a l'apartat XIII.3-6 com es calculen aquests plans. s P Π P r t XIII.3 Determinació de plans 1 Pla Π que passa per tres punts P , Q i R ♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) ♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors Q PQ i PR són vectors directors del pla Π . R Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) , Q = (q1 , q 2 , q3 ) i R = (r1 , r2 , r3 ) , P l'equació general del pla serà: Π x − p1 q1 − p1 r1 − p1 y − p2 q2 − p 2 r2 − p2 = 0 z − p3 q3 − p3 r3 − p3
  25. 25. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 25 2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla Π ' ♦ Si el pla Π ' té vectors directors u i v l'equació vectorial del pla Π és: n = ( A, B , C) ( x , y , z) = P + α u + β v v Π P u ♦ Si P = ( p1 , p 2 , p 3 ) i l'equació del pla Π ' és Ax + By + Cz + D = 0 , l'e- n = ( A, B , C) quació del pla Π serà: v A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 Q u Π' 3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s ♦ Si r i s són paral·leles hi ha una infinitat de plans r possibles (tot un feix.) ♦ Si r i s no són paral·leles u v Q Q' i tenen vectors directors s respectius u i v , l'equa- ció vectorial del pla serà: P u v Π ( x , y , z) = P + α u + β v 4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral· leles r i s ♦ Si r = s , hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) QR Π ♦ Si r passa per Q i té vector P u director u , i s passa per R i té vector director v (i r ≠ s ), els v R s vectors QR i u (o QR i v ) són vectors directors del pla, i la seva Q u equació vectorial és: r
  26. 26. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 26 ( x , y , z ) = P + α u + β QR 5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r ♦ Si P = ( p1 , p 2 , p3 ) i la recta r té vector director u = (a , b , c) , aquest vector serà nor- u mal al pla i l'equació general de Π serà: Q a ( x − p1 ) + b( y − p2 ) + c( z − p3 ) = 0 P ♦ Si la recta r ve donada de forma implícita: Π  Ax + By + Cz + D = 0 r: els vectors A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 r u = ( A , B , C ) i v = ( A ', B ', C ') seran vectors directors del pla Π . 6 Pla Π que conté el punt P i la recta r ♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.) r ♦ Si r passa per Q i té vector director u (i Q u P no pertany a r ), els vectors u i PQ P són vectors directors del pla i la seva equació vectorial serà: Π ( x , y , z ) = P + α u + β PQ  Ax + By + Cz + D = 0 ♦ Si la recta ve donada de forma implícita: r :  el pla buscat A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 serà del feix que té per eix la recta r : k ( Ax + By + Cz + D ) + k '( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 0 i es calcula substituint x , y i z per les coordenades de P i calculant k i k ' .
  27. 27. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 27 7 Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s ♦ Si les rectes són paral·leles hi ha una infinitat de solucions u r (tot el feix de plans que té per eix la recta r ). P v ♦ Si les dues rectes no són Π paral·leles, els seus vectors directors respectius, u i v són vectors directors el pla. Q v s Si P és un punt de la recta r , l'equació del pla serà: ( x, y , z ) = P + α u + β v Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i u ∧ v = ( A, B, C ) , l'equació del pla serà: A( x − p1 ) + B ( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0 8 Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans Π1 i Π 2 ♦ Si els plans són paral·lels hi ha una infinitat de solucions. ♦ Suposem que els plans no són paral·lels i que les seves equa- cions són: Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 P Si P = ( p1, p 2 , p3 ) i ( A1 , B1 , C1 ) ∧ ( A2 , B2 , C2 ) = ( A, B, C ) Π2 Π1 l'equació del pla serà: r A( x − p1 ) + B( y − p2 ) + C ( z − p3 ) = 0
  28. 28. Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 28 9 Pla que està a una distància d del pla Π Si Π : Ax + By + Cz + D = 0 , el pla buscat tindrà per equació: Ax + By + Cz + D ' = 0 on D ' es calcula Π1 re-solent l'equació: d Π D − D' =d d A2 + B 2 + C 2 Π2 Hi haurà dues solucions Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π Suposem que Π : Ax + By + Cz + D = 0 . P r 1) Es busca la recta que passa per P i és perpendicular a Π : r : ( x, y, z ) = P + α ( A, B, C ) Q 2) Es calcula la intersecció de la recta amb el Π pla: Q = r ∩ Π 3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ P' Simètric d'un punt P respecte d'una recta r Suposem que r : ( x , y , z ) = ( p1 , p2 , p3 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) . Π P 1) Es busca el pla que passa per P = ( p1 , p2 , p3 ) r i és perpendicular a r : Q Π : u1 ( x − p1 ) + u2 ( x − p2 ) + u3 ( x − p3 ) = 0 P' 2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla: Q = r∩Π 3) El simètric serà el punt P ' = P + 2 PQ

×