NOMBRE DE LA UNIDAD:   ECUACION DE LA RECTA
<ul><li>OBJETIVO FUNDAMENTAL   Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, s...
Ecuación de la recta Es toda igualdad de la forma  ax + by = c  , donde a,b,c     R, representa una ecuación lineal con d...
Ecuación Principal de la Recta <ul><li>Importante   </li></ul><ul><li>Tiene  la forma  y=  mx + n  y  se  llama  ecuación ...
En la ecuación principal encontrada  m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo c...
<ul><li>Ejemplo :  </li></ul><ul><li>Para obtener la pendiente de la recta de ecuación  x +  y = 4 </li></ul><ul><li>despe...
<ul><li>Ejemplo 2:  Sea L2 :  4x -  2y = 8 </li></ul><ul><li>despejamos la variable “y” en función de la variable “x”  así...
<ul><li>m >0   m<0 </li></ul><ul><li>Si b= 0  entonces m y n no existen  si a= 0  entonces  m=o </li></ul>x y x y x y x y
¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? <ul><li>Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una r...
Posiciones relativas de dos rectas en el plano <ul><li>Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: </li></...
<ul><li>Dos rectas L 1  y L 2  son paralelas si sus pendientes son iguales: </li></ul><ul><li>Es decir: </li></ul><ul><li>...
Ejemplo <ul><li>Grafiquemos las rectas de ecuaciones </li></ul><ul><li>y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3  </li></ul><ul>...
<ul><li>Dos rectas  que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto...
Ejemplo <ul><li>Grafiquemos las rectas de ecuaciones </li></ul><ul><li>y = 4x + 3 </li></ul><ul><li>y = - ¼ x + 1  En el m...
Rectas Coincidentes Rectas coincidentes:  Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su int...
Ecuación principal de la recta Llamaremos ecuación principal de la recta a la expresión  y =  m x +  n En esta “fórmula” s...
La recta es una de las curvas de mayor estudio  realizado en las matemáticas por la enorme cantidad de aplicaciones que pr...
Pendiente de una recta  l <ul><li>¿Cuál de las rectas está más inclinada? </li></ul><ul><li>¿Cómo medimos esa inclinación?...
Cálculo de la pendiente de una recta P 1 (x 1 ;y 1 ) P 2 (x 2 ; y 2 )  x =x 2  - x 1  y =y 2  - y 1 m = Sea  l  una rect...
Ejemplos <ul><li>Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos: </li></ul><ul><ul><li>A(-6; 1)...
m AB   = 1/7   m CD   = -3/4   m EF   = 0   m GH   = ¿?   x y
Conclusiones <ul><li>Si m > 0 la recta  l   es creciente </li></ul><ul><li>Si m < 0 la recta  l  es decreciente </li></ul>...
Ejemplo: Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo en $26 000.Dibuje una r...
Ecuación de la recta  1 . La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso  (x 1 , y 1 )  es: (x 1 , y 1 ) y -   y ...
La gráfica de una recta de pendiente  m  y ordenada en el origen  b , es: b y =   m x +   b Ecuación de la recta 2. X Y
Ecuación de la recta 3. <ul><li>ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA </li></ul><ul><li>La gráfica de una ecuación lineal: Ax + By ...
<ul><li>Ejercicios: </li></ul><ul><li>Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3. </li...
recta   recta  //   ecuación horizontal  al eje  X   y = b recta   recta  //   ecuación vertical  al eje  Y   x = a y = b ...
<ul><li>En resumen: </li></ul><ul><li>Formas de la ecuación de una recta: </li></ul><ul><li>Forma punto pendiente:   y-y 1...
Rectas paralelas <ul><li>Dos rectas   l 1   y   l 2  cuyas pendientes son   m 1   y   m 2  ,  son paralelas  ( l 1   //   ...
Rectas perpendiculares <ul><li>Dos rectas   l 1  y  l 2  cuyas pendientes son   m 1   y   m 2  ,  son perpendiculares  ( l...
<ul><li>Ejercicios: </li></ul><ul><li>Determine la ecuación de la recta que satisfaga:   </li></ul><ul><li>(Prob. 54)  pas...
Ejercicios: Problemas de la pag. 134 -135: 11, 15, 32, 49, 58, 59, 62.  Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-...
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    1. 1. NOMBRE DE LA UNIDAD: ECUACION DE LA RECTA
    2. 2. <ul><li>OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos. </li></ul><ul><li>CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS </li></ul><ul><li>Ecuación de la recta. </li></ul><ul><li>Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. </li></ul><ul><li>Condición de paralelismo y perpendicularidad. </li></ul>Objetivos de Aprendizaje 1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta. 2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta. 3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas. 4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano. 5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas. 6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.
    3. 3. Ecuación de la recta Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores Gráfico <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><li>A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. </li></ul><ul><li>Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación. </li></ul>1 -1 1 -1 2 2 3 3 4 4 5   L x y X Y (x, y) 2 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 0 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5)
    4. 4. Ecuación Principal de la Recta <ul><li>Importante </li></ul><ul><li>Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta </li></ul><ul><li>donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) </li></ul><ul><li>y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y. </li></ul>Ejemplo : Sea L 2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General 2x – y- 1 = 0 Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y = -2x + 1 / : - 1 Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1
    5. 5. En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1) Pero ¿Qué son m y n ? x y 1 2 3 1 1 2
    6. 6. <ul><li>Ejemplo : </li></ul><ul><li>Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4 </li></ul><ul><li>despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así: </li></ul>m = -1 pendiente negativa la recta forma un ángulo obtuso con el eje x ( mide más de 90º) n= 4 la recta corta al eje y en 4, en el punto (0,4) x y Ecuación x + y =4 Despejemos y y = -x + 4
    7. 7. <ul><li>Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8 </li></ul><ul><li>despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así: </li></ul>La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo (mide menos de 90º) con el eje x. La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0,-2) x y Ecuación 4x -2y - 4 =0 Despejemos y -2y = -4x + 4 Multipliquemos 2y = 4x - 4 Dividimos por 2 y = 4 x - 4 2 2 y= 2x - 2 m=2 n= -2
    8. 8. <ul><li>m >0 m<0 </li></ul><ul><li>Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o </li></ul>x y x y x y x y
    9. 9. ¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica? <ul><li>Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul><ul><li>Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta </li></ul><ul><li>Usaremos la ecuación </li></ul>donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta. ( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta. Por lo tanto remplazando tenemos : Luego la pendiente m = -1 m = = = = -1 1 -1 1 -1 2 2 3 3 4 4 5   L x y
    10. 10. Posiciones relativas de dos rectas en el plano <ul><li>Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: </li></ul><ul><li>Que sean Paralelas b) Que se intercepten </li></ul><ul><li>c) Que sean </li></ul><ul><li>Coincidentes </li></ul>1 -1 1 -1 2 2 3 3 4 4 5   L x y 1 -1 1 -1 2 2 3 3 4 4 5   L x y 1 -1 1 -1 2 2 3 3 4 4 5   L x y
    11. 11. <ul><li>Dos rectas L 1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales: </li></ul><ul><li>Es decir: </li></ul><ul><li>Sea L 1 : recta de ecuación y = m 1 x + n </li></ul><ul><li>L 2: recta de ecuación y = m 2 x + n L 1 // L 2 si m 1 = m 2 </li></ul>Rectas Paralelas L 2 x 1 x 2 y 1 y 2 L   x 2 – x 1 y 2 – y 1  x y
    12. 12. Ejemplo <ul><li>Grafiquemos las rectas de ecuaciones </li></ul><ul><li>y = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 </li></ul><ul><li>En el mismo plano cartesiano </li></ul>
    13. 13. <ul><li>Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares. </li></ul><ul><li>si L 1 es una recta de ecuación y=m 1 x + n </li></ul><ul><li> L 2 es una recta de ecuación </li></ul><ul><li>y= m 2 x +n </li></ul><ul><li>L 1 ┴ L 2 si m1 • m2 = -1 </li></ul>Rectas Perpendiculares L 1 x 1 x 2 y 1 y 2 L   x 2 – x 1 y 2 – y 1  x y
    14. 14. Ejemplo <ul><li>Grafiquemos las rectas de ecuaciones </li></ul><ul><li>y = 4x + 3 </li></ul><ul><li>y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano </li></ul>
    15. 15. Rectas Coincidentes Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto. Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2 L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta. L2 x 1 x 2 y 1 y 2 L1    x y
    16. 16. Ecuación principal de la recta Llamaremos ecuación principal de la recta a la expresión y = m x + n En esta “fórmula” se pueden distinguir los siguientes elementos: Recuerda, las expresiones de la forma y = m x + n , Representan rectas en el plano m = pendiente n = coeficiente de posición x = variable independiente y = variable dependiente <ul><li>Ejemplos </li></ul><ul><li>y= 3x+8 </li></ul><ul><li>y= x – 7 </li></ul>
    17. 17. La recta es una de las curvas de mayor estudio realizado en las matemáticas por la enorme cantidad de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen: problemas de costos-ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc. Introducción: 20 40 60 80 P. E.
    18. 18. Pendiente de una recta l <ul><li>¿Cuál de las rectas está más inclinada? </li></ul><ul><li>¿Cómo medimos esa inclinación? </li></ul>La pendiente m de la recta l es: L 1 L 2 0 x y
    19. 19. Cálculo de la pendiente de una recta P 1 (x 1 ;y 1 ) P 2 (x 2 ; y 2 )  x =x 2 - x 1  y =y 2 - y 1 m = Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P 1 (x 1 ;y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ). y 2 - y 1 x 2 - x 1 0 x y
    20. 20. Ejemplos <ul><li>Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos: </li></ul><ul><ul><li>A(-6; 1) y B(1; 2) </li></ul></ul><ul><ul><li>C(-1; 4) y D(3; 1) </li></ul></ul><ul><ul><li>E(3; 2) y F(8; 2) </li></ul></ul><ul><ul><li>G(2; 1) y H(2; -3) </li></ul></ul>
    21. 21. m AB = 1/7 m CD = -3/4 m EF = 0 m GH = ¿? x y
    22. 22. Conclusiones <ul><li>Si m > 0 la recta l es creciente </li></ul><ul><li>Si m < 0 la recta l es decreciente </li></ul><ul><li>Toda recta horizontal tiene m = 0 </li></ul><ul><li>Las rectas verticales no tienen pendiente definida. </li></ul>
    23. 23. Ejemplo: Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo en $26 000.Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio de venta del automóvil y el año en que se vendió. Determine e interprete la pendiente.
    24. 24. Ecuación de la recta 1 . La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x 1 , y 1 ) es: (x 1 , y 1 ) y - y 1 = m(x - x 1 ) X Y
    25. 25. La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b , es: b y = m x + b Ecuación de la recta 2. X Y
    26. 26. Ecuación de la recta 3. <ul><li>ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA </li></ul><ul><li>La gráfica de una ecuación lineal: Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. </li></ul>Ax + By + C = 0
    27. 27. <ul><li>Ejercicios: </li></ul><ul><li>Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3. </li></ul><ul><li>2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4). </li></ul><ul><li>3. Determine la pendiente y la </li></ul><ul><li>intersección con el eje y de la recta determinada </li></ul><ul><li>por la ecuación x- 9 = 5y+3. </li></ul><ul><li>4. Determine la ecuación general de la </li></ul><ul><li>recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9). </li></ul>
    28. 28. recta recta // ecuación horizontal al eje X y = b recta recta // ecuación vertical al eje Y x = a y = b x = a RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL b a
    29. 29. <ul><li>En resumen: </li></ul><ul><li>Formas de la ecuación de una recta: </li></ul><ul><li>Forma punto pendiente: y-y 1 = m (x-x 1 ) </li></ul><ul><li>Forma pendiente ordenada y = m x+b </li></ul><ul><li>al origen </li></ul><ul><li>Forma general Ax + By + C = 0 </li></ul><ul><li>Recta vertical x = a </li></ul><ul><li>Recta horizontal y = b </li></ul>
    30. 30. Rectas paralelas <ul><li>Dos rectas l 1 y l 2 cuyas pendientes son m 1 y m 2 , son paralelas ( l 1 // l 2 ) si y sólo si tienen la misma pendiente o si ambas son verticales . </li></ul><ul><li>Es decir: </li></ul>m 1 = m 2
    31. 31. Rectas perpendiculares <ul><li>Dos rectas l 1 y l 2 cuyas pendientes son m 1 y m 2 , son perpendiculares ( l 1  l 2 ) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. </li></ul><ul><li>Es decir: </li></ul><ul><li>Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí. </li></ul>m 1 . m 2 = -1
    32. 32. <ul><li>Ejercicios: </li></ul><ul><li>Determine la ecuación de la recta que satisfaga: </li></ul><ul><li>(Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x. </li></ul>
    33. 33. Ejercicios: Problemas de la pag. 134 -135: 11, 15, 32, 49, 58, 59, 62. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y es perpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C? ¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?

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