Teoriadeconsumo

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Teoriadeconsumo

  1. 1. APUNTES DE TEOR´ DE CONSUMO IA Gonzalo Hern´ndez Jim´nez a e Dana Marcela Chah´ Herrera ın 29 de octubre de 20081. Introducci´n o La econom´ es una ciencia social que estudia c´mo los individuos y las ıa osociedades eligen utilizar recursos escasos para producir bienes y serviciosque satisfacen sus necesidades. En especial, lo concerniente a la satisfacci´n de necesidades ser´ el punto o ade partida de estos apuntes sobre las teor´ del Consumo. Vamos a suponer ıasque buena parte de las necesidades de los individuos y las sociedades sonsatisfechas gracias al consumo de bienes y servicios. “El consumo es el unico prop´sito final de toda producci´n: y el inter´s ´ o o edel productor deber´ ser atendido solamente en tanto pueda ser necesario ıapara promover el del consumidor” (Smith, 1776). Precisamente para hacer m´s clara la importancia del consumo como avariable econ´mica y comprender sus determinantes, la primera parte del oactual curso de Macroeconom´ Avanzada I del Departamento de Econom´ ıa ıade la Pontificia Universidad Javeriana se concentra en este tema de estudio.Adem´s de la motivaci´n derivada de la propia definici´n de Econom´ el a o o ıa,Consumo, como variable macroecon´mica, es interesante por dos razones om´s: a 1. El Consumo representa entre el 50 y el 70 por ciento del Producto Interno Bruto de los pa´ ıses. En Colombia, por ejemplo, la participaci´n o del Consumo en el PIB oscila alrededor de 65 por ciento. 1
  2. 2. Figura 1: El consumo como porcentaje del PIB Las figuras 1 y 2 nos muestran datos para Colombia y para otros grupos de pa´ ıses. 2. Comprender los determinantes del Consumo significa comprender tam- bi´n los determinantes del Ahorro, variable clave en la determinaci´n e o del nivel de producto o la tasa de crecimiento del producto de largo plazo de acuerdo con varios modelos de crecimiento econ´mico. Suele o decirse que Consumo y Ahorro son dos caras de la misma moneda1 . Debido a su participaci´n en el PIB como componente de la Demanda oAgregada y a su estrecha relaci´n con el Ahorro, el Consumo es parte fun- odamental de los an´lisis econ´micos tanto de corto como de largo plazo. a o 1 “Hasta lo que se, todo el mundo est´ de acuerdo en entender el ahorro como el exceso ade ingreso sobre lo que es gastado en consumo´´(Keynes, 1936, cap´ ıtulo 7, traducci´n olibre). 2
  3. 3. Figura 2: El consumo como porcentaje del PIB y el crecimiento del consumoy del PIB real en Colombia En concordancia con el curso de Macroeconom´ Avanzada I, en estos ıaapuntes se discutir´n fundamentalmente 4 aproximaciones para explicar el acomportamiento del Consumo como variable macroecon´mica: la funci´n key- o onesiana de consumo y tres modelos basados en elecci´n intertemporal: el omodelo de Fisher, la hip´tesis de renta permanente y la hip´tesis de ciclo de o ovida.2. Funci´n Keynesiana de Consumo o Para Keynes (1936), el objetivo final era comprender qu´ determina el evolumen de empleo de una econom´ Keynes construy´ toda una teor´ al- ıa. o ıaternativa a la teor´ cl´sica en la que el Consumo, como elemento de la ıa afunci´n de demanda agregada cobraba un protagonismo especial. o 3
  4. 4. En la Teor´ General, la siguiente ecuaci´n representa el comportamiento ıa odel Consumo: Cw = χ(Yw ) (2.1)donde C es el consumo y Y es el ingreso neto2 . Partiendo de esta ecuaci´n llegamos a especificaciones m´s modernas co- o amo: C = C(Y − T ) (2.2)donde (Y − T ) es el ingreso disponible.Esta ecuaci´n en su versi´n lineal ser´ o o ıa: C = α + β(Y − T ) α > 0, 0 < β < 1 (2.3)donde α y β son coeficientes que representan el consumo aut´nomo y la opropensi´n marginal a consumir respectivamente. o Esta ecuaci´n recoge los determinantes del consumo que Keynes se˜ alaba o ny la forma que deb´ tener la funci´n de consumo. La forma funcional debe ıa otener en cuenta los siguientes aspectos: 1. El consumo depende principalmente del ingreso agregado. 2. De acuerdo con una “ley sicol´gica” que ´l observaba, los hombres est´n o e a dispuestos, como por una regla en promedio, a incrementar su consumo cuando el ingreso se incrementa, pero no tanto como se increment´ su o dCw ingreso ( dYw es positiva pero menor a 1). Para Keynes, las necesidades subjetivas asociadas al consumo incluyen caracter´ ısticas sicol´gicas de o la naturaleza humana, pr´cticas sociales e instituciones que improba- a blemente cambian en periodos cortos de tiempo, a menos que aparezcan circunstancias anormales o revolucionarias. Esto explica, por ejemplo, por qu´ en la funci´n keynesiana de consumo la propensi´n marginal a e o o consumir es un par´metro y no una variable. a 2 Ambas variables para Keynes estaban medidas en t´rmino de unidades salariales y el eingreso neto consist´ en el ingreso que el consumidor ten´ en mente en el momento de ıa ıadecidir sobre su nivel de consumo. 4
  5. 5. 3. Como regla, un nivel m´s alto de ingreso tender´ a ampliar la brecha a a entre ingreso y consumo. Es decir, cuando el ingreso se incrementa, las personas destinan una proporci´n m´s alta de su ingreso hacia el o a ahorro. Para hacer evidente esta ultima conjetura, dividamos ambos lados de la ´ecuaci´n (2.3) por (Y − T ) o C α = +β (2.4) Y −T Y −TDe esta manera tenemos al lado izquierdo la proporci´n del ingreso disponible odestinado al consumo. Si le restamos 1 a esta proporci´n, tenemos la proporci´n del ingreso o odisponible destinado al ahorro, que claramente es creciente a medida que elingreso disponible aumenta. Esta participaci´n tambi´n es conocida como la o epropensi´n media a ahorrar. o C α 1− =1− −β (2.5) Y −T Y −T Se propone desarrollar el ejercicio 1 de la secci´n 9. o Emp´ ıricamente, la funci´n keynesiana de consumo suele predecir bastan- ote bien el comportamiento del consumo en series de tiempo para periodoscortos y en estudios de datos a nivel de hogares, sin embargo, falla en suspredicciones en series de tiempo para periodos largos. Esto se evidenci´ con oalgunos trabajos en los que se utilizaron los datos estad´ ısticos para EstadosUnidos recopilados en Kuznets (1946). La figura 3 muestra la formaci´n de capital neto como porcentaje del oingreso nacional en Estados Unidos desde 1869 hasta 1928. Esta variable queest´ muy correlacionada con la tasa de ahorro y permanece constante a lo alargo del tiempo sugiere que la tercera conjetura keynesiana no se cumple. 5
  6. 6. Figura 3: Formaci´n de capital neto como porcentaje del ingreso nacional en oEstados Unidos2.1. Funci´n keynesiana de consumo: caso colombiano o Miremos las implicaciones de la funci´n keynesiana en el caso colombiano. oLa figura 4 muestra la relaci´n entre consumo e ingreso disponible para el operiodo 1950-2005 y la figura 5 la propensi´n media al ahorro para el mismo operiodo. Como podemos ver, las dos primeras conjeturas parecen ajustarse a losdatos, sin embargo, la propensi´n media al ahorro es relativamente cons- otante en el tiempo (con excepci´n del periodo post apertura econ´mica que o oha estado acompa˜ ado de una marcada disminuci´n de la tasa de ahorro n oprivada). 6
  7. 7. Figura 4: Consumo e ingreso disponible en Colombia3. Algunos comentarios sobre la funci´n key- o nesiana Adem´s de los problemas emp´ a ıricos al predecir la propensi´n media al oahorro, suele atribuirse como un problema te´rico de la funci´n keynesiana o oel que no se tenga en la cuenta que las decisiones de consumo y por lo tantode ahorro pueden ser resultado de un problema intertemporal, en el quelas personas deciden de acuerdo con expectativas sobre ingresos futuros ydeciden el su consumo a lo largo del tiempo. Aunque ser´ muy interesante ver c´mo los economistas pueden analizar a a otrav´s de modelos estos temas, vale la pena aclarar que Keynes no evadi´ en e osu Teor´ General la intertemporalidad del consumo por ingenuidad o desco- ıanocimiento. Para Keynes, los cambios en la tasa de descuento y los preciosrelativos entre bienes presentes y futuros eran parte de algunos factores obje- 7
  8. 8. Figura 5: Tasa de ahorro en Colombiativos que influ´ en la propensi´n a consumir3 , sin embargo, estos elementos ıan ointertemporales eran para Keynes irrelevantes en periodos cortos de tiempo4 .Otro factor objetivo que para Keynes explicaba la propensi´n a consumir oeran las expectativas sobre ingresos presentes y futuros. Keynes tambi´n edej´ de lado este factor argumentando que aunque puede afectar la propen- osi´n a consumir de alg´ n individuo en particular, es poco probable que lo o u 3 Keynes tambi´n hace referencia a factores subjetivos que motivan a las personas a con- esumir, como la b´ squeda de independencia, la avaricia o el placer derivado de incrementar uel gasto de consumo, entre muchos otros. Este tema es analizado en la actualidad por eco-nomistas y sic´logos que trabajan conjuntamente en la explicaci´n de los determinantes o odel consumo de las personas. 4 “No hay mucha gente que alterar´ su forma de vida debido a que la tasa de inter´s ha a eca´do de 5 a 4 por ciento, si el ingreso agregado es el mismo que el de antes del cambio” ı(Keynes, 1936, cap´ ıtulo 8). 8
  9. 9. haga con la comunidad como un todo. Adem´s, planteaba que era un tema acon demasiada incertidumbre para ejercer demasiada influencia. Keynes alcanz´, tal como lo pretend´ una funci´n de consumo o ıa, o“fairly stable” en la que se tuvieran en la cuenta los elementosque para ´l eran los m´s relevantes, dejando de lado aquellos, que e asiendo conocidos, introduc´ıan demasiado ruido en circunstanciasordinarias. Las siguientes tres teor´ basadas en lo conocido como fundamentales, ıas,partir´n del concepto de que las personas consumen porque de este consumo aderivan utilidad. Weil (2005) se pregunta en sus notas sobre consumo ¿porqu´ las personas consumen? y responde: porque las hace felices. e4. Consumo y Felicidad En la actualidad, se calcula para 95 pa´ un indicador subjetivo de fe- ıseslicidad. Al responder la pregunta ¿qu´ tanto disfruta su vida? las personas ereportan su nivel de felicidad en una escala de 1 a 10, donde 10 representael valor m´s alto nivel de satisfacci´n. De acuerdo con Veenhoven (2006), a olos factores que parecen explicar las diferencias entre los ´ ındices de felicidadde los pa´ son la disponibilidad de bienes y servicios, la igualdad social, ısesla libertad pol´ ıtica, el acceso al conocimiento y algunas caracter´ ısticas so-cioecon´micas como la prosperidad, el crecimiento econ´mico, la seguridad o oecon´mica y la igualdad del ingreso. o Aunque usualmente se muestra la correlaci´n entre ingreso y felicidad, ola figura 6 muestra la correlaci´n entre consumo per-c´pita y felicidad para o adiferentes pa´ 5 en el periodo 1995-2005. Al igual que lo descrito por una ısesfunci´n de utilidad convencional, los datos parecen describir concavidad. A omayor consumo, mayor felicidad, pero a medida que aumenta el consumo,cambios en el consumo provocan cambios cada vez menores en la felicidad. Colombia reporta uno de los niveles m´s altos de felicidad a nivel mundial acon un ´ ındice de 8.1. Nos sentimos tan felices como los suizos que tienen un 5 La gr´fica s´lo contiene datos para 83 pa´ a o ıses, ya que los datos de consumo per-c´pita ano estaban disponibles para los 12 pa´ ıses restantes. Los pa´ ıses que se excluyeron son:Angola, Bosnia, Cyprus, Irak, Ivory Coast, Malta, Montenegro, Nigeria, Singapur, Taiwan,Uzbekistan, South Korea 9
  10. 10. nivel de consumo per c´pita 15 veces m´s alto y m´s felices que los peruanos a a ao los rumanos que tienen un nivel de consumo promedio parecido al nuestro.Tal vez lo que ocurre es que somos optimistas o felices por naturaleza. Sinembargo, s´ hay una tendencia: entre m´s ingreso o consumo, m´s felices en ı a apromedio. Figura 6: Consumo y felicidad Para modelar el supuesto de que el consumo hace felices a las personas,revisemos la funci´n de utilidad. o5. Funci´n de Utilidad o Para poder representar la idea de que el consumo hace felices a las perso-nas, describamos una funci´n de utilidad que asigna valores a las diferentes ocestas de consumo, dependiendo del placer que ´stas le generan a un agente e 10
  11. 11. representativo. Es importante resaltar que esta funci´n de utilidad es ordi- onal y no cardinal, es decir, no nos interesa el valor que toma la funci´n de outilidad, sino el valor relativo cuando la comparamos con otras cestas deconsumo. De esta manera, trabajaremos con una funci´n de utilidad, tal que oU = U(C), cuya representaci´n gr´fica ser´ la que se aprecia en la figura 7. o a ıa Figura 7: Funci´n de utilidad o Esta funci´n de utilidad debe cumplir con algunas caracter´ o ısticas im-portantes para nuestro an´lisis: utilidad marginal positiva pero decreciente, aaditividad y aversi´n al riesgo. o5.1. Utilidad marginal decreciente Como podemos apreciar en la figura 7, cuando el individuo aumenta sucantidad de consumo, su utilidad aumenta. Este aumento en la utilidad cau-sado por una unidad adicional de consumo es lo que llamamos utilidad mar-ginal. Nos damos cuenta tambi´n que el aumento que experimenta la utilidad ees cada vez menor a medida que aumenta el consumo. Decimos, por tanto,que la utilidad marginal es decreciente. Una unidad adicional de consumopara un individuo que consum´ poco, aumenta m´s el nivel de utilidad que ıa a 11
  12. 12. en el caso de un individuo que ya ten´ un alto nivel de consumo. Por ello, ıapara valores mayores de C, la gr´fica se ve cada vez m´s plana. a a ∂2U Matem´ticamente, debe cumplirse que ∂U > 0 y a ∂C ∂C 2 < 0 para garantizarutilidad marginal positiva pero decreciente.5.2. Aditividad de la funci´n de utilidad o Otra caracter´ıstica que deber´ tener la funci´n de utilidad ser´ la de adi- a o atividad. Es decir, que podamos sumar las funciones de utilidad instant´neas. aPara la construcci´n de los modelos intertemporales que revisaremos m´s o aadelante, es necesario que podamos contar con una funci´n de utilidad que orepresente la satisfacci´n del individuo por el consumo realizado en diferentes omomentos de tiempo. V = U(C1 ) + U(C2 ) + · · · + U(Ct ) (5.1)En el caso de un individuo que debe decidir su senda de consumo para t pe-riodos, la utilidad total ser´ la suma de las funciones de utilidad instant´neas. a a5.3. Aversi´n al riesgo o Todos los d´ nos enfrentamos a situaciones de incertidumbre. No sa- ıasbemos si vamos a ganar la loter´ si el precio de los alimentos va a subir, ıa,si va a haber un terremoto o si vamos a pasar macroeconom´ avanzada I6 . ıaDebido a que estos eventos afectan las decisiones de consumo, es importanteque veamos qu´ implicaciones tiene nuestra funci´n de utilidad c´ncava. e o o Para enfrentar la incertidumbre, las personas se crean expectativas acer-ca de lo que va a ocurrir en el futuro. Los economistas abordamos la formacomo se construyen estas expectativas a trav´s del concepto de utilidad es- eperada. Esta utilidad esperada parecer´ poder ser calculada de dos maneras ıadiferentes. Ahora veremos que s´lo una de esas formas es correcta. o Supongamos que el salario de un individuo depende del comportamientodel precio de las acciones. Por lo tanto, este individuo tiene incertidumbreacerca de la cantidad de dinero que puede ganar el siguiente mes. Supongamos 6 Esto por supuesto puede ser m´s controlado que el terremoto. a 12
  13. 13. que con una probabilidad igual a 0.5, el individuo ganar´ un salario que le apermitir´ consumir 500 pesos y con una probabilidad igual a 0.5 el individuo aganar´ un salario que le permitir´ consumir 1000 pesos. a aPodr´ ıamos calcular: Utilidad esperada del consumo EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000)o la Utilidad del valor esperado del consumo UE(C) = U(0,5 ∗ 500 + 0,5 ∗ 1000) La primera forma es la que usaremos como nuestra funci´n objetivo cuan- odo hay incertidumbre. Veamos por qu´ es sensato que aceptemos esta defini- eci´n y descartemos la segunda. o En el ejemplo del individuo que enfrenta incertidumbre acerca de su con-sumo, podemos darnos cuenta claramente que los dos eventos que puedenocurrir son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir al mismotiempo. El individuo podr´ consumir 500 o podr´ consumir 1000, pero en a aning´ n momento va a consumir una cantidad intermedia entre las dos. u Eso es precisamente lo que est´ mostrando la utilidad esperada del aconsumo, ya que con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtenerutilidad por consumir 500 y con una probabilidad de 0.5 el individuo va aobtener utilidad por consumir 1000. De esta manera se garantiza adem´s la independencia entre los posibles aresultados. Si uno de los dos eventos no ocurre, eso no debe perturbar enlo m´s m´ a ınimo al evento que s´ sucede. En el caso en que el evento que ıocurra sea el segundo (que el individuo consuma 1000), el hecho de que elindividuo no consuma 500 no influir´ de ninguna forma. Esta funci´n de a outilidad esperada es com´ nmente conocida como Funci´n de Utilidad Von u oNeumann-Mortgenstern. 13
  14. 14. Cuando las personas se enfrentan a estas situaciones de incertidumbrecorren el riesgo de ganar o perder. Algunos individuos disfrutan ese riesgo, esdecir son amantes al riesgo; otros son indiferentes, es decir son neutrales alriesgo; pero hay otros, la mayor´ que hacen lo posible por evitarlo, es decir, ıa,son adversos al riesgo7 . Si suponemos aversi´n al riesgo para los individuos, ´stos tendr´n una o e afunci´n de utilidad c´ncava que cumple con la desigualdad de Jensen, es o odecir, se cumple que la utilidad del valor esperado del consumo es mayorque la utilidad esperada del consumo. Esta desigualdad puede verse conla figura 8. La utilidad de 750 (valor esperado del consumo) es mayor aEU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000). Figura 8: Aversi´n al riesgo o De esta manera, vemos que la concavidad de la funci´n de utilidad que odescribe la propiedad de utilidad marginal decreciente describe simult´nea- amente aversi´n al riesgo. o 7 Algunos estudiantes se consideran amantes al riesgo hasta el momento en que enfrentanla siguiente apuesta: si sale cara al lanzar una moneda usted obtendr´ dos puntos m´s en a asu primer parcial (si sac´ 3, por ejemplo, ahora tendr´ 5), si sale sello se le restar´n dos o a apuntos a su examen (si sac´ 3, por ejemplo, ahora tendr´ 1). ¿Acepta la apuesta? o a 14
  15. 15. 5.4. La Funci´n de Utilidad CRRA o Una funci´n de utilidad que cumple con las caracter´ o ısticas que hemos con-siderado importantes hasta el momento es la Funci´n de Utilidad de Aver- osi´n Relativa al Riesgo Constante, CRRA. o Ct1−σ U(Ct ) = σ>0 (5.2) 1−σEs una funci´n con utilidad marginal positiva pero decreciente y adem´s o aincorpora aversi´n al riesgo en las decisiones de consumo de los individuos. o Para probar que la CRRA tiene utilidad marginal positiva, miramos laprimera derivada de la funci´n: o ∂U(Ct ) 1 − σ −σ = C ∂Ct 1−σ t ∂U(Ct ) = Ct−σ > 0 ∂CtLa utilidad marginal es positiva: si aumenta el consumo en una unidad adi-cional, la utilidad tambi´n aumenta. e La segunda derivada de la funci´n respecto al consumo nos confirma que ola utilidad marginal es decreciente: ∂ 2 U(Ct ) −(1+σ) 2 = −σCt <0 ∂CtDado que la segunda derivada es negativa (porque σ > 0) y la primeraderivada positiva, entonces la utilidad marginal es positiva pero decreciente:si aumenta el consumo en una unidad adicional la utilidad va a aumentar,pero cada vez en una menor cuant´ ıa. El par´metro de importancia en nuestra funci´n de utilidad CRRA es a oσ, el cual se conoce generalmente como el coeficiente de aversi´n relativa al o 15
  16. 16. riesgo8 . Como es un par´metro que mide aversi´n, asumimos que entre m´s a o agrande sea su valor m´s adverso al riesgo es el individuo. (Si σ = 0, se dice aque el individuo es neutral al riesgo9 ). Recordemos que una manera de medir la aversi´n al riesgo de los indi- oviduos es mirando la curvatura de la funci´n de utilidad. Entre m´s curva o aes esta ultima, m´s adverso al riesgo es el individuo. σ es el par´metro que ´ a amide la curvatura de la funci´n de utilidad. o Si graficamos la funci´n de utilidad CRRA en tercera dimensi´n (por la o o 8 Para la funci´n CRRA podemos calcular dos ´ o ındices de aversi´n al riesgo. El primero ode ellos es el ´ ındice de aversi´n absoluta al riesgo de Arrow-Pratt, el cual est´ dado o apor U ′′ − (5.3) U′lo cual es equivalente a dU ′ 1 1 −σ σ − = −σC −σ−1 −σ = − = (5.4) dC U ′ C C CEl resultado de (5.4) muestra una propiedad interesante de la CRRA: a medida queel nivel de consumo es m´s alto la aversi´n absoluta al riesgo es menor. Esto puede a oexplicar por ejemplo por qu´ personas con niveles altos de consumo est´n m´s dispuestas e a aa enfrentar apuestas que personas con niveles bajos.El segundo ´ ındice de aversi´n al riesgo es el ´ o ındice de aversi´n relativa al riesgo oconstante, el cual est´ dado por a U ′′ −C (5.5) U′lo cual es equivalente a dU ′ C C − = −σC −σ−1 −σ = σ (5.6) dC U ′ CComo podemos darnos cuenta, el ´ ındice de aversi´n absoluta al riesgo de Arrow-Pratt de- opende del nivel de consumo, mientras que el ´ ındice de aversi´n relativa al riesgo constante, ocomo su nombre lo dice, no depende del nivel de consumo. Desarrollar ejercicio 2 de la secci´n 9. o 9 si σ = 0 la funci´n CRRA se convierte en U (C) = C. Gr´ficamente ser´ una l´ o a ıa ınearecta de pendiente positiva igual a 1. En este caso, la figura 8 mostrar´ que no se satisface ıala desigualdad de Jensen. 16
  17. 17. propiedad de aditividad), podemos apreciar que para valores mayores de σ,la funci´n se hace cada vez m´s curva. o a La figura 9 nos muestra la funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.3 y la ofigura 10 cuando σ=0.8. Figura 9: Funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.3 o Si giramos la funci´n de utilidad graficada en la figura 10 hasta desapa- orecer el eje correspondiente a C2 vemos claramente la funci´n de utilidad ocuando el consumo del periodo dos se mantiene constante. (Ver figura 11). Si graficamos la funci´n de utilidad CRRA en dos dimensiones, la figura o12 nos muestra que para valores mayores de σ, la concavidad de la funci´node utilidad CRRA es m´s marcada, haciendo m´s evidente la desigualdad de a aJensen10 . 10 σ es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo que est´ dada por ala siguiente ecuaci´n: o dU ′ C U ′′ = C ′ = −σ (5.7) dC U ′ UA medida que σ aumenta en valor absoluto, la utilidad marginal se hace cada vez m´s ael´stica al consumo. Es decir, a medida que aumenta sigma, un aumento del consumo en a1 por ciento va a disminuir la utilidad marginal en m´s de 1 por ciento. Por eso, entre amayor es σ, mayor es la curvatura de la funci´n de utilidad. o 17
  18. 18. Figura 10: Funci´n de utilidad CRRA cuando σ=0.8 o Figura 11: Funci´n de utilidad CRRA o Al mirar la ecuaci´n (5.2), tambi´n podemos darnos cuenta que cuando o eσ > 1, la CRRA se vuelve negativa. Sin embargo, gracias a que la CRRAdescribe utilidad marginal positiva, a medida que aumenta el consumo, lautilidad se hace cada vez menos negativa, es decir, aumenta. La figura 13 nosmuestra esa situaci´n. o 18
  19. 19. Figura 12: Funciones de utilidad CRRA Como nos interesa la ordinalidad de la funci´n de utilidad basta como orestricci´n para σ que sea mayor a cero. o5.4.1. CRRA con σ = 1 Un caso particular de la funci´n de utilidad CRRA, se da cuando σ = 1. oLa funci´n CRRA queda convertida en una funci´n logar´ o o ıtmica. Veamos pasoa paso c´mo llegamos a esa conclusi´n. o oEmpecemos por replantear la funci´n de utilidad CRRA: o Ct1−σ − 1 U(Ct ) = (5.8) 1−σEsta transformaci´n simplemente afecta el nivel de la funci´n. o o Si evaluamos el l´ ımite cuando σ → 1, nos queda una expresi´n de la o 0forma 0 . En este caso, lo m´s conveniente ser´ utilizar la regla de L’Hospital. a aRecordemos que ´sta consiste en derivar con respecto al par´metro de inter´s, e a een este caso σ, tanto el numerador como el denominador. Sin embargo, derivarla ecuaci´n (5.8) con respecto a σ parece complicado. Facilitemos entonces o 19
  20. 20. Figura 13: Funci´n de Utilidad CRRA con σ > 1 oeste procedimiento reexpresando la ecuaci´n (5.8). o Ct Ct−σ − 1 U(Ct ) = (5.9) 1−σque es igual a Ct e−σ ln Ct − 1 U(Ct ) = (5.10) 1−σComo nos interesa ver cu´l es el l´ a ımite de la anterior expresi´n cuando σ → 1: o Ct e−σ ln Ct − 1 l´ ım (5.11) σ→1 1−σutilicemos L’Hospital y tenemos: −Ct e−σ ln Ct ln Ct l´ ım (5.12) σ→1 −1 l´ Ct e−σ ln Ct ln Ct ım (5.13) σ→1 20
  21. 21. Si evaluamos (5.13), tenemos finalmente que: l´ Ct e−σ ln Ct ln Ct = ln Ct ım (5.14) σ→1Hemos comprobado que la funci´n de utilidad CRRA se convierte en la fun- oci´n logar´ o ıtimica cuando σ → 1. La funci´n de utilidad logar´ o ıtmica ser´ muy aconveniente en los modelos de consumo intertemporal que veremos a conti-nuaci´n. o6. Modelo de Fisher Presentado seis a˜ os antes de la publicaci´n de la Teor´ General, el n o ıamodelo conocido como modelo de consumo de Fisher es el primero en forma-lizar el problema de elecci´n intertemporal propuesto por Eugen von B¨hm- o oBawerk11 . En el an´lisis de von B¨hm-Bawerk, las elecciones a trav´s del a o etiempo pod´ abordarse como cualquier problema econ´mico en el que las ıan opersonas deben decidir sobre la asignaci´n de dos bienes que son escasos. De- ocidir por ejemplo entre ca˜ ones o mantequilla12 . En estas notas, la disyuntiva nser´ Consumo Hoy vs. Consumo Ma˜ ana. a n En su obra de 1930, The Theory of Interest, Irving Fisher mostr´ el fa- omiliar plano cartesiano en el que el eje de las abscisas representa el consumopresente y el eje de las ordenadas el consumo futuro. As´ las curvas de in- ı,diferencia representan las preferencias del agente econ´mico representativo osobre su consumo intertemporal y en la restricci´n presupuestal las posibi- olidades de consumo presente y futuro que este agente puede alcanzar dadossus ingresos. Revisemos la presentaci´n moderna de este modelo con sus diferentes ovariantes. 11 Economista austroh´ ngaro cuya obra m´s importante fue Capital and Interest (1889) u a 12 Este trade-off mencionado casi siempre en los cursos de Principios de Econom´ fue ıaresultado de un comentario de Joseph Goebbels, jefe de opini´n del r´gimen de Adolf o eHitler. 21
  22. 22. 6.1. Caso 1: Modelo de Fisher para dos periodos sin tasa de inter´s y sin tasa de descuento intertem- e poral Supongamos inicialmente un agente que va a decidir cu´nto consumir aen el periodo 1 (hoy por ejemplo) y cu´nto va a consumir en el periodo a2 (ma˜ ana por ejemplo). Este agente no tiene activos iniciales y de igual nmanera los activos son cero al culminar el periodo 2. Es decir no deja herencias(intencionales o no intencionales)13 ni deudas. Sin embargo, recibe ingresosW1 en el periodo 1 e ingresos W2 en el periodo 2. Esos ingresos limitadosle permiten consumir. No va a ser relevante indagar sobre el origen de esosingresos en este modelo. Para el caso m´s sencillo, vamos a suponer que el precio relativo entre ael consumo del periodo 1 y el consumo del periodo 2 es igual a 1. La tasade inter´s es entonces igual a cero. Este supuesto se traduce en que los aho- erros hechos en el primer periodo no generan rentabilidad financiera, de igualmanera, endeudarse no cuesta nada. La funci´n de utilidad para este agente es la suma de las funciones de outilidad instant´neas. Esto es posible gracias al supuesto de aditividad que adiscutimos en la secci´n 5.2. Adem´s, para esta versi´n del modelo de Fisher, o a ovamos a suponer que este agente no descuenta la utilidad del futuro. V = U(C1 ) + U(C2 ) (6.1)Este agente representativo ahorra la parte del ingreso que no consume. Porsupuesto, este ahorro podr´ ser negativo. En ese caso estar´ consumiendo ıa ıam´s que su ingreso del primer periodo. a S1 = W1 − C1 (6.2)En el periodo 2, debe consumir tanto el ingreso del periodo 2 como los ahorrosrealizados en el periodo anterior. Decimos “debe” porque de lo contrarioviolar´ ıamos el supuesto inicial de activos cero al finalizar los dos periodos. 13 Es posible que las personas dejen herencias porque les importa la felicidad de sus hijoso nietos pero tambi´n es posible que las dejen porque simplemente la muerte los sorprende econ activos positivos que iban a ser destinados al consumo en un horizonte de vida quehabr´ podido ser m´s largo. ıa a 22
  23. 23. Si el ahorro fue negativo, deber´ por supuesto pagar su deuda. As´ como los a ıagentes no pueden dejar herencias tampoco dejan deudas. C2 = S1 + W2 (6.3)Reemplazando la ecuaci´n (6.2) en (6.3) obtenemos (6.4) que nos dice simple- omente que la suma de los ingresos debe ser igual a la suma de los consumos enambos periodos. Esta igualdad nos confirma que la unica fuente de consumo ´son los ingresos de cada periodo y por lo tanto el supuesto de activos igualesa cero al iniciar y al terminar los dos periodos. W1 + W2 = C1 + C2 (6.4) Teniendo presente que las funciones de utilidad instant´neas cumplen las acaracter´ısticas de la secci´n 5, entonces podemos solucionar matem´ticamen- o ate este problema escribiendo el lagrangiano que en realidad es la funci´n de outilidad restringida por la ecuaci´n (6.4). o L = U(C1 ) + U(C2 ) + λ[W1 + W2 − C1 − C2 ] Las condiciones de primer orden son: ∂L 1. ∂C1 = U ′ (C1 ) − λ = 0 ⇒ λ = U ′ (C1 ) ∂L 2. ∂C2 = U ′ (C2 ) − λ = 0 ⇒ λ = U ′ (C2 ) ∂L 3. ∂λ = W1 + W2 − C1 − C2 = 0 De la primera y la segunda condici´n de primer orden podemos deducir oque C1 = C2 . Si introducimos esta condici´n en la restricci´n presupuestaria, o oobtenemos que W1 + W2 C1 = C2 = (6.5) 2 El resultado de este problema es que el individuo suaviza completamentesu consumo en ambos periodos. El consumo del periodo 1 es exactamenteigual al consumo del periodo 2. La igualdad de las utilidades marginalestiene una explicaci´n intuitiva importante. Si el consumo del primer periodo ofuera mayor al consumo del segundo periodo, entonces, U ′ (C1 ) < U ′ (C2 ),caso en el cual valdr´ la pena reducir el consumo del periodo 1 y aumentar ıael consumo del periodo 2 de tal manera que la utilidad total aumentar´ ıa. 23
  24. 24. Figura 14: Optimizaci´n del Consumo o La suavizaci´n del consumo depende de la propiedad de utilidad marginal odecreciente de la funci´n de utilidad que estamos utilizando. Esta propiedad, ocomo vimos en la secci´n 5, est´ estrechamente ligada con que los agentes o ason adversos al riesgo (aunque por ahora no se ha incluido ning´ n elemento ude incertidumbre). Si el ingreso de alguno de los periodos aumenta, la restricci´n presu- opuestal se desplazar´ permitiendo que el individuo alcance una curva de aindiferencia m´s alta. Independientemente de cu´l ingreso cambie, el indivi- a aduo distribuir´ el incremento de ingreso en el consumo de ambos periodos, apersistiendo as´ su preferencia por suavizar su consumo intertemporal. ı El ahorro ser´ el elemento clave para que el individuo pueda suavizar su aconsumo. Si el consumo ´ptimo del primer periodo es mayor al ingreso del oprimer periodo, el agente se endeudar´ (se convierte en prestatario) y luego aen el periodo 2 saldar´ sus deudas. Si el consumo ´ptimo del primer periodo a oes menor al ingreso del primer periodo, el agente, convertido en prestamista,utilizar´ sus ahorros para su consumo del segundo periodo. a 24
  25. 25. 6.2. Caso 2: ahora con tasa de inter´s e El modelo presentado en el caso 1 puede complementarse incluyendo unatasa de inter´s como remuneraci´n a los activos financieros de los presta- e omistas o un costo de financiaci´n para los prestatarios. Las ecuaciones que orepresentan este modelo ser´ las siguientes: ıan V = U(C1 ) + U(C2 ) (6.6) S1 = W1 − C1 (6.7)pero ahora el consumo del segundo periodo est´ dado por: a C2 = (1 + r)S1 + W2 (6.8)Y al combinar las ultimas dos ecuaciones obtenemos la siguiente restricci´n ´ opresupuestal, que nos dice que el valor presente de los ingresos debe ser igualal valor presente de los consumos en ambos periodos: W2 C2 W1 + = C1 + (6.9) 1+r 1+r La funci´n de utilidad restringida ser´ ahora: o a W2 C2 L = U(C1 ) + U(C2 ) + λ[W1 + 1+r − C1 − 1+r ] La soluci´n a este problema de optimizaci´n estar´ determinada por la o o asiguiente condici´n: o U ′ (C1 ) = U ′ (C2 )(1 + r) (6.10)Esta condici´n muy parecida a la condici´n obtenida en el caso 1 refleja el o oefecto sustituci´n que la tasa de inter´s tendr´ sobre las decisiones de con- o e asumo. Sin embargo, para conocer el efecto de un incremento o reducci´n de ola tasa de inter´s sobre los niveles de consumo de ambos periodos, es impor- etante recordar que adem´s del efecto sustituci´n, los cambios en los precios a orelativos tambi´n generan un efecto ingreso. Mientras el efecto sustituci´n es e oindependiente de que el individuo sea prestamista o prestatario, la condici´n oinicial ser´ esencial para determinar el efecto ingreso. a 25
  26. 26. Figura 15: Optimizaci´n del consumo con tasa de inter´s o e6.2.1. Efecto sustituci´n y efecto ingreso de un aumento en la tasa o de inter´s en el caso de un prestatario e Empecemos por analizar el caso de un prestatario, es decir, de una perso-na cuyo ahorro en el primer periodo es negativo y por lo tanto pide prestado. Efecto sustituci´n: Al aumentar la tasa de inter´s es preferible susti- o e tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que debe pagar sobre el dinero que pide prestado en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de inter´s. e Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inter´s, el individuo tendr´ que e a contar con una ca´ generalizada de su ingreso que lo hace menos ıda rico. Por lo tanto hay incentivos para disminuir el consumo en ambos periodos.Como podemos ver en la figura 16, el efecto sustituci´n y el efecto ingreso ovan en la misma direcci´n para el primer periodo, por lo que el efecto final oen el periodo uno es una disminuci´n del consumo. En el periodo dos, el oefecto final sobre el consumo depende de si el efecto sustituci´n prima sobre oel efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n. Para o 26
  27. 27. conocer las magnitudes de estos efectos ser´ necesario contar con una funci´n a ode utilidad expl´ ıcita.Figura 16: efecto sustituci´n y efecto ingreso para el caso de un prestatario o La figura 17 muestra el caso de un prestatario que aumenta su consumodel periodo dos ya que el efecto sustituci´n prima sobre el efecto ingreso. o La figura 18 muestra el caso de un prestatario que disminuye su consumodel periodo dos ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n. o6.3. Efecto sustituci´n y efecto ingreso de un aumento o en la tasa de inter´s en el caso de un prestamista e Efecto sustituci´n: Al aumentar la tasa de inter´s es preferible susti- o e tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que recibe por el dinero que presta en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de inter´s. e 27
  28. 28. Figura 17: El caso de un prestatario que aumenta su consumo del periododos cuando aumenta la tasa de inter´s e Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inter´s, el individuo con- e tar´ con un aumento generalizado de su ingreso que lo hace m´s ri- a a co. Por lo tanto hay incentivos para aumentar el consumo en ambos periodos.Como podemos ver en la figura 19, el efecto sustituci´n y el efecto ingreso van oen la misma direcci´n para el segundo periodo, por lo que el efecto final en oel periodo dos es un aumento del consumo. En el periodo uno, el efecto finalsobre el consumo depende de si el efecto sustituci´n prima sobre el efecto oingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n. o La figura 20 muestra el caso de un prestamista que disminuye su consumodel periodo uno ya que el efecto sustituci´n prima sobre el efecto ingreso. o La figura 21 muestra el caso de un prestamista que aumenta su consumodel periodo uno ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´n. o 28
  29. 29. Figura 18: El caso de un prestatario que disminuye su consumo del periododos cuando aumenta la tasa de inter´s e En el trabajo de Juan Nicol´s Hern´ndez (2006), en el que se hace una a arevisi´n de los determinantes macroecon´micos del consumo total de los ho- o ogares en Colombia, se comprueba que la elasticidad del consumo a la tasade inter´s real es negativa. En la revisi´n de la literatura del trabajo de e oHern´ndez (2006) se referencia el trabajo de Leonardo Duarte (2003) quien aencuentra que cuando la tasa de inter´s disminuye en un punto porcentual, el econsumo aumenta en 0.13 puntos porcentuales. En otro trabajo, el realizadopor L´pez, G´mez y Rodr´ o o ıguez (1996) se encuentra que ante una disminuci´n ode la tasa de inter´s en un punto porcentual, el consumo per c´pita aumenta e aentre 0.6 y 1 punto porcentual. 29
  30. 30. Figura 19: efecto sustituci´n y efecto ingreso para el caso de un prestamista o6.4. Caso 3: incluyendo una tasa de descuento inter- temporal Tanto en el caso 1 como en el caso 2 del modelo de Fisher que hemospresentado, la funci´n de utilidad corresponde a una suma de las funciones ode utilidad instant´neas en la que U(C1) y U(C2) tienen la misma impor- atancia. Sin embargo, podemos modelar unos agentes econ´micos que suelen oser impacientes y descuentan la utilidad del consumo futuro. Si les preguntamos a los lectores de estos apuntes ¿cu´ndo prefiere tener avacaciones? ¿hoy o en dos meses? (manteniendo todo lo dem´s constante, acomo tasa de inter´s, salarios, etc´tera, es decir, si nos interesa unicamente e e ´que nos revele su preferencia sobre el consumo presente vs el consumo futuro),en la mayor´ de los casos la respuesta ser´ que prefiere las vacaciones hoy. ıa ıa Esta “impaciencia” puede ser modelada incluyendo un factor que descuen-te la utilidad futura en relaci´n con la utilidad de consumir en el presente. o Los determinantes sicol´gicos, neurol´gicos, incluso filos´ficos de esta “im- o o o 30
  31. 31. Figura 20: El caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodouno cuando aumenta la tasa de inter´s epaciencia” son tan variados como interesantes. El libro Time and Decision(2003) es una excelente referencia para quienes quieran profundizar en estetema. En este libro se citan diferentes trabajos, por ejemplo, el de algunosfil´sofos para los cuales descontar la utilidad futura es resultado de la d´bil o erelaci´n que podemos establecer entre nuestro yo actual y nuestro yo futuro. oPensar en nuestra utilidad futura puede ser como pensar en la utilidad de otrapersona, por lo tanto se justifica asignarle mayor importancia al presente, esdecir, a lo que podemos sentir y no es tan dif´ de imaginar. ıcil De igual manera, neur´logos y sic´logos se han preocupado siempre por o oexplicar las diferencias en los niveles de paciencia. Entre las explicacionesest´ que las personas con da˜ os en la corteza pre-frontal del cerebro no tie- a nnen en la cuenta las consecuencias futuras de sus acciones y sus eleccioness´lo dependen de premios o remuneraciones inmediatas. As´ mismo, en expe- o ırimentos con animales, se ha identificado que algunos componentes qu´ ımicos,como el Prozac, pueden elevar el grado de paciencia. 31
  32. 32. Figura 21: El caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodouno cuando aumenta la tasa de inter´s e Para nuestro modelo, no ser´ esencial conocer todos los posibles determi- anantes del descuento intertemporal, sin embargo, vale la pena reconocer estoselementos como una fuente inagotable de estudio en la que la ciencia econ´mi- oca y la sicolog´ pueden converger y trabajar juntas. Adem´s, estos aportes ıa ainterdisciplinarios confrontan constantemente los supuestos que manejamoslos economistas al describir el comportamiento y la toma de decisiones denuestros agentes econ´micos. o Matem´ticamente, por ahora, veamos c´mo podemos incorporar el des- a ocuento intertemporal en nuestro modelo de Fisher. Utilizando la tasa dedescuento θ, vamos a decir que la utilidad total, para dos periodos, es iguala: U(C2 ) V = U(C1 ) + (6.11) 1+θ 32
  33. 33. Esta funci´n para T periodos de tiempo ser´ igual a: o ıa U(C2 ) U(C3 ) U(CT ) V = U(C1 ) + + + ...+ (6.12) 1+θ (1 + θ)2 (1 + θ)T −1 Esta funci´n de utilidad con descuento intertemporal fue presentada por oPaul Samuelson en 1937 en el art´ ıculo “A note on Measurement of Utility” yha sido acogida en muchos trabajos por su sencillez. Podemos observar quesi las preferencias de un agente son descritas por esta funci´n, este individuo ovalora menos la utilidad futura que la utilidad presente. Adem´s, el descuento aentre el periodo 1 y el periodo 2 es exactamente igual al descuento aplicadoentre los periodos 2 y 3 o entre los periodos T − 1 y T . Esta caracter´ ısticaes especialmente criticada por economistas y sic´logos que de acuerdo con osus estudios consideran que las personas pueden ser m´s pacientes al tener aque decidir sobre su asignaci´n de consumo entre periodos lejanos de tiempo oque cuando tienen que decidir en periodos cercanos de tiempo. Si tenemosque elegir entre vacaciones hoy o el pr´ximo a˜ o, somos m´s impacientes que o n asi tenemos que decidir hoy entre unas vacaciones en 10 a˜ os o en 11 a˜ os. n nEl descuento exponencial utilizado en la funci´n de Samuelson no puede odescribir ese fen´meno mientras que una funci´n con descuento hiperb´lico o o os´ ı. Este caso, en el que los niveles de paciencia cambian en el tiempo, noes el unico problema de la funci´n de utilidad con la que trabajaremos14 y ´ oaunque en cursos m´s avanzados se trabajar´ con funciones m´s complejas, a a apor ahora, consideremos esta primera aproximaci´n para ser incluida en el omodelo de Fisher. Para el modelo de dos periodos, el lagrangiano quedar´ igual a: ıa U (C2 ) W2 C2 L = U(C1 ) + 1+θ + λ[W1 + 1+r − C1 − 1+r ] La restricci´n presupuestal no cambia y las condiciones de primer orden oser´ ıan: ∂L 1. ∂C1 = U ′ (C1 ) − λ = 0 ∂L U ′ (C2 ) λ 2. ∂C2 = 1+θ − 1+r =0 14 Ver Time and Decision (cap. 1) 33
  34. 34. ∂L W2 C2 3. ∂λ = W1 + 1+r − C1 − 1+r =0 Que al ser organizadas nos permiten llegar a la expresi´n: o U ′ (C1 ) 1+r = (6.13) U 2 ′ (C ) 1+θ Esta ultima expresi´n que s´lo se diferencia de (6.10) en el factor de des- ´ o ocuento, describe los incentivos que tendr´ el individuo para sustituir consumo apresente o futuro de acuerdo con la interacci´n entre la tasa de inter´s y la o etasa de descuento intertemporal. La tasa de descuento intertemporal es latasa a la que el individuo quiere descontar la utilidad futura y la tasa deinter´s es la tasa a la que puede. Si la tasa a la que puede (r) es mayor a la etasa a la que quiere (θ) entonces seguramente tendr´ incentivos para susti- atuir consumo presente por consumo futuro. A diferencia del caso 2 en el quela tasa de descuento intertemporal era igual a cero, ahora esta tasa podr´ ıaanular el efecto de la tasa de inter´s. e6.5. Restricciones crediticias El modelo de Fisher puede considerar otras variantes que hacen m´s rea- alista su descripci´n. Por ejemplo, podemos incluir el que los agentes enfrenten orestricciones crediticias. Si los consumidores no tienen acceso al mercado decr´dito, por asimetr´ de informaci´n o carencia de colaterales, no podr´n e ıa o afinanciar un consumo presente que exceda el ingreso del primer periodo. Las personas que se enfrentan a restricciones crediticias son personas conbajos ingresos que no pueden acceder a un cr´dito en un banco o personas eque han dejado de pagar sus obligaciones en el pasado y son castigados conla negaci´n de nuevos cr´ditos. o e Esta consideraci´n ser´ capturada en el modelo dependiendo de dos esce- o anarios: 1. Cuando la restricci´n crediticia no es relevante. o 2. Cuando la restricci´n crediticia s´ es relevante. o ı El primer caso se da cuando la persona que enfrenta la restricci´n crediti- ocia es un ahorrador. Esto significa que este individuo no estaba interesado en 34
  35. 35. Figura 22: Restricci´n presupuestaria con restricci´n crediticia relevante o opedir dinero prestado para financiar sus necesidades, por lo que su decisi´n ode consumo no se va a ver afectada. El segundo caso, se da si la decisi´n ´ptima de consumo, sin restricciones, o ohace que el individuo sea un prestatario. En este caso, la restricci´n crediticia oevita que el individuo pueda consumir m´s que su ingreso del primer periodo, apor lo tanto, la restricci´n crediticia s´ es relevante y le costar´ al individuo o ı aen t´rminos de utilidad. Podr´ como m´ximo consumir su ingreso del primer e a aperiodo y no podr´ suavizar su consumo tanto como esperaba. La figura 22 amuestra las limitaciones en las posibilidades de consumo impuestas por larestricci´n crediticia. o Cuando las restricciones crediticas son relevantes, un aumento del ingresopresente ser´ acompa˜ ado seguramente por un incremento del consumo del a nprimer periodo. En esta situaci´n el comportamiento del consumo ser´ bas- o atante parecido al que predice la funci´n keynesiana de consumo con excepci´n o ode que la propensi´n marginal a consumir ser´ igual a 1. o a Claramente, las restricciones crediticias relevantes limitan las eleccionesde un consumidor en un modelo intertemporal. 35
  36. 36. Para el caso colombiano, se ha encontrado evidencia emp´ ırica que sopor-ta la influencia de las restricciones crediticias en las decisiones de consumo alargo plazo. Juan Nicol´s Hern´ndez comprueba en su trabajo del 2006 que a aen presencia de restricciones crediticias, la elasticidad del consumo al ingresoes mayor que en ausencia de dichas restricciones. Esto nos hace corroborarque para el caso colombiano, las restricciones crediticias hacen que los con-sumidores se comporten como lo predice la funci´n keynesiana de consumo, oimpidiendo as´ que los individuos suavicen su consumo completamente. En ı,ese trabajo, se toma como proxy de las restricciones crediticias las ventas yavances con tarjetas de cr´dito. e6.6. Tasa de colocaci´n vs. tasa de captaci´n o o Aunque con frecuencia trabajamos con una sola tasa de inter´s r, si vamos ea un banco a pedir un pr´stamo seguramente la tasa de inter´s sobre la cual e enos van a prestar el dinero (tasa de colocaci´n) es mucho m´s alta que la tasa o ade inter´s sobre la cual nos pagar´ ese mismo banco si depositamos nuestro e ıadinero en una cuenta de ahorros (tasa de captaci´n). o Recordemos que la pendiente de la restricci´n presupuestal es igual a o(1 + r). Si la tasa de inter´s de pedir dinero prestado es mayor a la tasa ede inter´s de prestarlo, la restricci´n presupuestal tomar´ la forma que se e o ıamuestra en la figura 23. Como nos muestra la gr´fica, en el segmento donde el ingreso del indivi- aduo es menor a su consumo, es decir, cuando el individuo pide prestado, lapendiente de la restricci´n presupuestal es mayor que cuando el individuo es oun ahorrador. La restricci´n crediticia de la secci´n anterior puede verse como un caso o oparticular en el que la tasa de inter´s de pedir prestado es infinita. e6.7. Modelo de Fisher para m´s de dos periodos a Luego de haber entendido el an´lisis econ´mico del modelo de Fisher para a odos periodos podemos extenderlo para T periodos conservando el an´lisisadiscreto de las secciones anteriores. 36
  37. 37. Figura 23: Restricci´n presupuestaria con tasa de inter´s diferenciable o e Consideremos una persona que desea planear su consumo para los perio-dos comprendidos entre 0 y T − 1. Esta persona obtiene utilidad de acuerdoa la funci´n de utilidad: o T −1 U(Ct ) V = (6.14) t=0 (1 + θ)tConservando los supuestos del modelo para dos periodos, esta persona em-pieza y termina su vida con activos igual a cero. Es decir, A0 = 0 y AT = 0.Esto ultimo quiere decir que dicha persona gasta todos sus ingresos, incluidos ´sus activos acumulados, antes de morir. No deja herencias ni deudas. Para construir la restricci´n presupuestal, miremos los activos en cada operiodo de tiempo. En el periodo 1 los activos ser´n iguales a: a A1 = (1 + r)(W0 − C0 ) (6.15)Los activos en el periodo 2 ser´n iguales a: a A2 = (1 + r)(W1 − C1 ) + (1 + r)2 (W0 − C0 ) (6.16) 37
  38. 38. Si continuamos hasta el periodo T , los activos del individuo estar´ dados ıanpor la siguiente ecuaci´n: oAT = (1 + r)(WT −1 − CT −1 ) + (1 + r)2(WT −2 − CT −2 ) + · · ·+ (1 + r)T (W0 − C0 ) (6.17) Donde AT debe ser igual a cero para satisfacer el supuesto de activosiguales a cero al finalizar la vida.Dividiendo ambos lados de la ecuaci´n (6.17) por (1 + r)T y teniendo en ocuenta que AT = 0 tenemos que: WT −1 − CT −1 WT −2 − CT −2 0= + + · · · + (W0 − C0 ) (6.18) (1 + r)T −1 (1 + r)T −2Si expresamos la ecuaci´n (6.18) en sumatorias obtenemos que: o T −1 Wt − Ct 0= (6.19) t=0 (1 + r)t Podemos reorganizar los t´rminos de la sumatoria para finalmente llegar ea nuestra restricci´n presupuestal, que muestra, como esper´bamos, que el o avalor presente de los ingresos es igual al valor presente de los consumos. T −1 T −1 Wt Ct = (6.20) t=0 (1 + r)t t=0 (1 + r)t Una vez tenemos la funci´n de utilidad y la restricci´n presupuestal pro- o ocedemos a calcular los consumos ´ptimos. o T −1 T −1 U(Ct ) Wt − Ct L= +λ t=0 (1 + θ)t t=0 (1 + r)tLas condiciones de primer orden en este ejercicio de T periodos ser´n calcu- aladas para dos periodos adyacentes: t y t + 1. ∂L U ′ (Ct ) λ 1. ∂Ct = (1+θ)t − (1+r)t =0 ∂L U ′ (Ct+1 ) λ 2. ∂Ct+1 = (1+θ)t+1 − (1+r)t+1 =0 ∂L T −1 Wt −Ct 3. ∂λ = t=0 (1+r)t =0 38
  39. 39. Igualando λ encontramos la expresi´n que resume la condici´n de optimalidad o odel consumo. U ′ (Ct )(1 + θ)t+1 (1 + r)t+1 = (6.21) U ′ (Ct+1 )(1 + θ)t (1 + r)t U ′ (Ct ) (1 + θ) = (1 + r) (6.22) U ′ (Ct+1 ) U ′ (Ct ) 1+r = (6.23) U t+1 ) ′ (C 1+θ La explicaci´n econ´mica de esta ecuaci´n es id´ntica a la utilizada para o o o eel modelo de Fisher de dos periodos.6.7.1. Condici´n de optimalidad con una funci´n de utilidad CRRA o o Si trabajamos con una funci´n de utilidad de la forma U(Ct ) = ln Ct o(CRRA con σ = 1), podemos obtener la condici´n de optimalidad, aplicando ola ecuaci´n (6.23). o 1 Ct 1+r 1 = (6.24) Ct+1 1+θReorganizando la ecuaci´n obtenemos que la condici´n de optimalidad para o oeste tipo de funci´n de utilidad est´ dada por o a Ct+1 1+r = (6.25) Ct 1+θPara la funci´n de utilidad CRRA con σ = 1 la ecuaci´n (6.23) ser´ igual a: o o ıa Ct−σ 1+r −σ = (6.26) Ct 1+θ σ Ct+1 1+r = (6.27) Ct 1+θ 1 Ct+1 1+r σ = (6.28) Ct 1+θ En este caso, σ funciona como un par´metro que matiza las diferencias aentre tasa de inter´s y tasa de descuento intertemporal. Este resultado no es esorprendente cuando recordamos que σ mide la aversi´n al riesgo y explica la otendencia a suavizar el consumo que tiene el individuo. As´ r sea muy grande ıfrente a θ un valor muy alto de σ ser´ suficiente para que Ct+1 sea muy ıaparecido a Ct . 39
  40. 40. 6.8. La restricci´n presupuestal en tiempo continuo: o para generalizar el modelo de Fisher La evoluci´n de los activos en el caso continuo est´ determinada por la o aecuaci´n diferencial lineal de primer orden: o dA(t) ˙ = A = rA(t) + w(t) − c(t) (6.29) dtLa forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es: x − A(t)x = b(t) ˙donde x = x(t). En el caso que estamos estudiando, a(t) es constante y corresponde a latasa de inter´s. Aunque es posible tambi´n considerar la tasa de inter´s como e e euna variable que depende del tiempo, trabajaremos por ahora el caso m´s asencillo. La ecuaci´n puede ser re-escrita de la siguiente forma: o ˙ A − rA(t) = w(t) − c(t) (6.30)Para solucionar esta ecuaci´n, utilizaremos el factor de descuento e−rt que es oconocido como factor integrante. ˙ Ae−rt − rA(t)e−rt = [w(t) − c(t)]e−rt (6.31) −rtPuede observarse que el lado izquierdo de la ecuaci´n corresponde a dA(t)e , o dtentonces, dA(t)e−rt = [w(t) − c(t)]e−rt (6.32) dt Antes de integrar, vale la pena hacer un cambio de variable con el fin deevitar m´s adelante una confusi´n. Pensemos entonces que: a o ˙ F (s) = f (s). Podemos decir entonces que: t F (s) = F (0) + f (t)dt 0 40
  41. 41. Integrando y evaluando la integral en el intervalo [0, s] llegamos a: s A(s)e−rs = A(0) + [w(t) − c(t)]e−rt dt (6.33) 0donde A(0) es la constante de integraci´n. o Despejando A(s) y haciendo uso del supuesto de que los activos en elperiodo 0 son 0, A(0) = 0: s A(s) = [w(t) − c(t)]er(s−t) dt (6.34) 0Ahora, si s = T , donde T es el periodo final: T A(T ) = [w(t) − c(t)]er(T −t) dt (6.35) 0Pero adem´s, se sabe que A(T ) = 0, ya que otro supuesto del modelo es que ano se dejan activos (positivos o negativos) al final del periodo 15 T T r(T −t) w(t)e dt = c(t)er(T −t) dt (6.36) 0 0Si dividimos ambos lados de la ecuaci´n por erT (en el caso discreto, dividimos o Tpor (1 + r) llegamos a la expresi´n de la restricci´n presupuestal para el o ocaso continuo donde el valor presente de todos los flujos de ingreso es igualal valor presente de todos los flujos de consumo. T T w(t)e−rt dt = c(t)e−rt dt (6.37) 0 06.9. Tasa de crecimiento del consumo usando la fun- ci´n de utilidad CRRA o Una vez definida la restricci´n presupuestal para el caso continuo revise- omos ahora la tasa de crecimiento del consumo (caso continuo) si trabajamoscon una funci´n de utilidad CRRA. o 15 Este supuesto es consistente con la funci´n de utilidad utilizada en el modelo de oFisher. No hay razones por la cuales un agente racional deje de consumir por completo susactivos. Las herencias, por ejemplo, no generan utilidad. Adem´s, debido a la restricci´n a opresupuestaria, el agente (representativo) no puede consumir m´s que el total de sus aactivos, dejando as´ deudas. ı 41
  42. 42. Empecemos por definir la tasa de crecimiento del consumo ˙ Ct+∆t −Ct C ∆t = l´ ım (6.38) C ∆t→0 C Ct+∆t ˙ C Ct −1 = l´ ım (6.39) C ∆t→0 ∆tdonde 1 ∆t σ Ct+∆t 1+r = (6.40) Ct 1+θEsta ultima expresi´n puede ser obtenida de la condici´n de optimalidad del ´ o omodelo de Fisher para m´s de dos periodos cuando solucionamos el lagran- agiano para los periodos adyacentes t y t + ∆t. Teniendo en cuenta que para valores peque˜ os de x, ln(1 + x) ≃ x o n xalternativamente 1+x ≃ e podemos reescribir la ecuaci´n (6.40) (asumiendo ovalores peque˜ os para r y θ). n 1 r ∆t σ Ct+∆t e = (6.41) Ct eθreorganizando los t´rminos tenemos que e Ct+∆t (r−θ)∆t =e σ (6.42) CtSi reemplazamos la anterior ecuaci´n en la ecuaci´n (6.39), obtenemos que o o (r−θ)∆t ˙ C e σ −1 = l´ ım (6.43) C ∆t→0 ∆t ımite nos encontramos con una expresi´n 0 . Apli-Al pretender calcular el l´ o 0cando la regla de L’Hospital, obtenemos: (r−θ)∆t ˙ C e σ r−θ σ = l´ ım (6.44) C ∆t→0 1Si evaluamos lo anterior cuando ∆t → 0 obtenemos finalmente la tasa decrecimiento del consumo dada por la siguiente ecuaci´n o ˙ C 1 = (r − θ) (6.45) C σ 42
  43. 43. La tasa a la que el consumo crece o decrece depende de la diferencia entre ry θ.Por otra parte, σ, el par´metro que mide la curvatura de la funci´n de utili- a odad, matiza la tasa de crecimiento del consumo. Ver ejercicios del 3 al 14 de la secci´n 9. o7. Hip´tesis del Ingreso Permanente o Este modelo fue desarrollado por el premio nobel de econom´ Milton ıaFriedman. La clave es la descomposici´n del ingreso en dos componentes: el oingreso permanente y el ingreso transitorio. Y = YP + YT (7.1)donde YP representa el ingreso permanente y YT representa el ingreso tran-sitorio. El ingreso permanente, como su nombre lo indica, es la parte del ingresoque persiste a lo largo de toda la vida. El ingreso transitorio es un componenteinesperado del ingreso. Un ejemplo del ingreso permanente es el salario quegana un empleado por su trabajo. Un ejemplo de ingreso transitorio es elingreso que recibe una persona cuando gana la loter´ ıa. El argumento principal de Friedman es que el consumo es una funci´n que odepende fundamentalmente del ingreso permanente y no del ingreso transito-rio. Esto no significa que los individuos no consuman su ingreso transitorio,significa que cambios en el comportamiento del consumo ser´n fundamen- atalmente explicados por cambios en el ingreso permanente. Por lo tanto, seasume que el consumo no responde significativamente ante cambios en elingreso en el corto plazo. Dado este razonamiento, una funci´n de consumo que logra expresar las oideas de Friedman es C = αYP (7.2)donde α representa la proporci´n del ingreso permanente que es dedicada al oconsumo. Llevando al extremo la ecuaci´n (7.2) (α = 1) tenemos: o C = YP (7.3) 43
  44. 44. Tal como se plantea en Romer (2001) miremos qu´ ocurre si especificamos euna regresi´n lineal en la que el consumo es la variable dependiente y el oingreso corriente es la variable explicativa. Este ingreso corriente es el quepuede ser descompuesto en transitorio y permanente. Ci = a + bYi + ei (7.4)El ingreso transitorio ser´ definido como las desviaciones del ingreso perma- anente respecto a su media suponiendo que el valor esperado de estas desvia-ciones es igual a cero. As´ mismo, supongamos que el ingreso permanente y el ıingreso transitorio no est´n correlacionados. Este supuesto tambi´n es bas- a etante intuitivo ya que por ejemplo, el hecho de ganarse la loter´ no depende ıa,en absoluto del salario recibido mensualmente. Volviendo a nuestra regresi´n del consumo, podemos darnos cuenta que la oregresi´n est´ hecha sobre una sola variable, en este caso, el ingreso corriente. o aPor lo tanto, el estimador de b, es decir, del coeficiente de la variable indepen-diente es igual al cociente entre la covarianza de las variables independientey dependiente y la varianza de la variable independiente. ˆ = Cov(Y, C) b (7.5) V ar(Y )Como el ingreso corriente es igual al ingreso permanente m´s el ingreso tran- asitorio, reemplazamos esa condici´n tanto en el numerador como en el deno- ominador. ˆ = Cov(YP + YT , C) b (7.6) V ar(YP + YT )Recordemos tambi´n que definimos el consumo como una funci´n del ingre- e oso permanente, de tal forma que C = YP . Por lo tanto, al reemplazar esaexpresi´n en (7.6) obtenemos: o ˆ = Cov(YP + YT , YP ) b (7.7) V ar(YP + YT )El numerador de (7.7) puede ser reescrito teniendo presente la definici´n de ocovarianza. ¯ ¯ ¯ Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP + YT − YP − YT )(YP − YP )] (7.8) 44

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