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Tipos de conjuntos
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Tipos de conjuntos

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  • 1. Unidad 3 Matemáticas Para Computadoras TEMA CONJUNTOS Alumno: José Manuel Bautista Santiago. Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales. Oaxaca de Juárez, Oax. A 4 de noviembre del 2010
  • 2. 1.- CONJUNTOS. 1.1.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE CONJUNTOS. 1.1.1.- Un conjuntoeslareuniónenuntodo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unos de los otros. El conceptode conjuntoesde fundamental importanciaenlas matemáticas modernas.Lamayoría de los matemáticos creen que es posible expresar todas las matemáticas en el lenguaje de la teoría de conjuntos.Nuestro interés en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matemáticas como a su utilidad en la modelización e investigación de problemas en la informática. Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor Después de que la teoría de conjuntos se estableciera como un área bien definida de las matemáticas,aparecieroncontradiccionesoparadojasenlamisma.Para eliminartales paradojas, s e des arrollaron aproximaciones más sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductoriode lateoríade conjuntosse ocupa,generalmente,de la teoría elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor. Utilizaremos esta aproximación más simple y desarrollaremos una teoría de conjuntos de la cual es posible Georg Cantor. Matemáticoalemán de origenruso(SanPetesburgo1845 -Halle 1 918). Después de estudia r en Alemania, fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribió numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el creador de la Teoría de los conjuntos Conjuntos y Elementos Intuitivamente, un con junto es cualquier colección de objetos que pueda tratarse como una entidad. A cada objeto de la colección lo llamaremos elemento o miembro del conjunto. A losconjuntoslosdesignaremoscon letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. La afirmación “el elemento a pertenecer al conjunto A” se escribe a ∈ A y la negación de este hecho, ¬(a ∈ A),se escribe a /∈ A La definiciónde unconjuntonodebe serambiguaene l sentidode que puedadecidirsecuandoun objeto particular pertenece, o no, aun conjunto.
  • 3. 1.1.2.- TIPOS DE CONJUNTOS. 1.1.2.1 Conjunto Universal En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideraciónpertenecenaungran conjuntofijollamadoconjuntouniversal.Lonotaremospor U. 1.1.2.2 Conjunto Vacío Al conjunto únicoque no contiene elementos,lollamaremos conjunto vacío. Lo notaremos con el símbolo Ø que proviene del alfabeto noruego. 1.1.2.2a Axioma de Extensión Dos conjuntosA y B son igualessi,ysolosi tienenlosmismoselementos. Es decir, cada elemento del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. Su expresión formal en notación lógica es: A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B ) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] o bien, A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B ) Nota.- El axiomade extensiónaseguraque si dosconjuntostienen los mismos elementos, ambos son iguales, independientemente de cómo estén definidos. 1.2 PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS    Asociativa:    Conmutativa:    Distributiva:  
  • 4.  Identidad:    Complementariedad:      Involutiva:   Ley de Morgan:    Para cualquier conjunto A y B  1.3 OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B. En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A yB de U sele asocia otro conjunto: de U. Si A y B son dos de ellos entonces su intersección se simboliza y se define como:
  • 5. La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y que, x pertenezca a B. Esta operación es conmutativa, asociativa, tiene neutro y tiene inverso: donde: es el complemento de A. Por lo tanto el conjunto potencia de nuestro universo U y la operación forman una estructura algebraica tipo grupo abeliano. UNIÓNDE CONJUNTOS:La uniónde 2 conjuntosA y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. En la teoría de conjuntos, la unión de conjuntos es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: de U. Si A y B son dos conjuntos, entonces su unión es: La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca a B. Esta operación es conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro.
  • 6. donde: es el complemento de A. DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO: La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, y se representa por A-B o por AB, al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no están en B, y que representaremos A - B. Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es: Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A − B son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. COMPLEMENTO DE UNCONJUNTO:Es el conjuntoformadopor loselementosque nopertenecen a A. Llamamos conjunto complementario de un conjunto y lo representamos por al conjunto diferencia: siendo U elconjunto universal. Esto es: El conjunto complemento de A es el conjunto los elementos x, que cumplen que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A. Por ejemplo, si tenemos que: entonces:
  • 7. 1.4 FORMA DE REPRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS

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